INEQUAÇÕES VARIACIONAIS E ALGORITMO DO … · quatro ópticas principais: concorrência perfeita,...

INEQUAÇÕES VARIACIONAIS E

ALGORITMO DO EXTRAGRADIENTE:

UMA APLICAÇÃO AO EQUILÍBRIO

ESPACIAL DE PREÇOS COURNOT-

NASH

Rogério Malta Branco (FURG / UFSC)

[email protected]

Dayse Regina Batistus (UTFPR / UFS)

[email protected]

Sérgio Fernando Mayerle (UFSC)

[email protected]

Antônio Sérgio Coelho (UFSC)

[email protected]

O presente trabalho versa sobre a aplicação de inequações

variacionais nos problemas de equilíbrio em redes e no uso do

algoritmo do extragradiente como forma eficiente e rápida de sua

solução. Como os problemas de inequações variacionais ttratam de

uma formulação geral para problemas que abrangem a programação

matemática, tomá-los em conjunto ao intuito de estudar sua

potencialidade no suporte administrativo de sistemas na cadeia

logística, parte-se por focar, no âmbito da economia industrial, no

equilíbrio espacial de preços de mercado Cournot-Nash. O objetivo da

aplicação destas técnicas de formulação e também do método de busca

de solução pelo método do extragradiente é promover uma aplicação

no cálculo do excedente dos grupos produtores por meio das utilidades

L de Nash. Um exemplo numérico é proposto e implementado em

código Matlab, calculando o lucro de grupos produtores no regime de

mercado supracitado.

Palavras-chaves: Inequações variacionais; equilibrio em redes;

método do extragradiente.

XXIX ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO A Engenharia de Produção e o Desenvolvimento Sustentável: Integrando Tecnologia e Gestão.

Salvador, BA, Brasil, 06 a 09 de outubro de 2009

XXIX ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO A Engenharia de Produção e o Desenvolvimento Sustentável: Integrando Tecnologia e Gestão


2

1. Introdução

O sistema mercadológico apresenta modelos conhecidos na literatura como estruturas de

mercado. Cada uma dessas estruturas procura destacar aspectos essenciais da interação entre

oferta e demanda, baseando-se em características observadas nos mercados existentes. A

classificação efetiva dessas estruturas, de acordo com Rossetti (2003), pode ser vista sob

quatro ópticas principais: concorrência perfeita, monopólio puro, concorrência monopolística

e oligopólio, sucintamente descritas a seguir.

O monopólio e a concorrência perfeita constituem as estruturas clássicas básicas e

representam, respectivamente, os extremos de concentração da produção e atomização.

Enquanto na primeira as empresas possuem poder de mercado por serem as únicas provedoras

de determinado produto, na segunda, a dimensão de cada empresa é desprezível em relação às

demais, fazendo com que se configurem como meras tomadoras de preços. (PINHO, 1998).

Outra estrutura clássica importante é a concorrência monopolística, a qual se caracteriza por

apresentar um elevado número de empresas, como a concorrência perfeita, mas que produzem

produtos diferenciados, embora com substitutos próximos.

A quarta estrutura definida por Rosseti (2003), o oligopólio, caracteriza-se pela existência de

um reduzido número de produtores e vendedores, produzindo produtos que são substitutos

próximos entre si.

Independente da estrutura de mercado, as alterações nas quantidades das mercadorias

transacionadas interferem diretamente nas curvas de oferta e demanda, ocasionando uma

perturbação nos preços. Caso haja aumento significativo na oferta de determinado produto, o

excesso deste no mercado fará com que seus preços baixem e, conseqüentemente, torne sua

produção menos atrativa. Antagonicamente, se a oferta do produto for insuficiente para

corresponder à demanda, a escassez do produto no mercado ocasionará uma elevação nos

preços e a respectiva entrada de novos produtores no mercado em decorrência deste fator.

Dessa forma, à medida que este processo vai se desenvolvendo, a tendência é que a

quantidade de produto ofertada se enquadre à quantidade de produto demandada, fazendo com

que o preço se ajuste ao contexto do mercado em que o produto encontra-se inserido. Esse

comportamento continua até que o preço e a quantidade atinjam, de forma natural, um nível

de equilíbrio. A dinamicidade desse processo faz com que os agentes envolvidos, em situação

de equilíbrio, assumam uma posição na qual uma mudança de comportamento é algo

desfavorável para qualquer uma das partes.

2. Equilíbrio espacial de preços

Equilíbrio é um conceito central para análise do fenômeno economia. Metodologias que têm

sido aplicadas para a formulação, análise qualitativa e a computação de equilíbrio econômico,

têm incluído Sistemas de Equações, Teoria de Otimização, Teoria da Complementaridade,

bem como Teoria do Ponto Fixo. (NAGURNEY, 1999).

Em sua publicação, Anna Nagurney estabelece a fundamentação da Teoria de Inequações

Variacionais (variational inequations – VI) e a relação desta metodologia para outras análises

de equilíbrio existentes (identificadas anteriormente). A teoria de VI é utilizada por Nagurney

em sua obra como metodologia fundamental em operações de modelos de rede de equilíbrio

econômico.



3

3. O problema de inequações variacionais

Originalmente desenvolvidos como ferramenta para o estudo de certas classes de equações

diferenciais parciais, como as aplicadas em mecânica e definidas em espaços dimensionais

infinitos, o problema de inequações variacionais trata de uma formulação geral para

problemas que abrangem a programação matemática, incluindo, dentre outros, equações não-

lineares, problemas de otimização e de complementaridade.

3.1 Inequações variacionais

O problema de VI dimensional-finito, tratado por Nagurney (1999), denotado por VI(F,K), é

determinar o vetor x* K R

n, de modo que:

F(x*)

T, x-x

* ≥ 0, x K, Eq. 1

em que F é uma função contínua de K para Rn e K é um espaço convexo fechado.

Fonte: Nagurney (1999, p. 05).

FIGURA 1- Interpretação geométrica VI(F,K).

Como forma equivalente, observa-se os vetores u e v da Figura 1, onde u, v Rn. O produto

interno uT , v = ║ u║ . ║ u║ . cos() em que é o ângulo entre os vetores u e v. Logo, para

00

≤ ≤ 900, tem-se que u

T , v ≥ 0. Dessa forma, x

* é solução para VI(F,K) se e somente se

F(x*)

T e x-x

* formem entre si ângulo 0

0 ≤ ≤ 90

0, para x, x

* K.

Problemas de VI(F,K) incluem problemas de complementaridade não-lineares (onde K = Rn

+)

e sistemas de equações não-lineares (quando K = Rn). (NAGURNEY, 1999).

A formulação de problemas de inequação variacional anteriormente explicitada é

particularmente conveniente uma vez que permite um tratamento unificado aos problemas de

equilíbrio e de otimização. Além disso, muitos outros problemas matemáticos podem ser

formulados como problemas de VI.

3.2 Problemas de ponto fixo

Os problemas de ponto fixo têm sido utilizados para formular, analisar e calcular soluções

para problemas de equilíbrio econômico, sendo que a relação entre eles e os problemas de VI

é realizada através de um operador de projeção. (NAGURNEY, 1999).

Apresenta-se o método de projeção de Goldstein-Levitin-Polyak como uma alternativa

simples de solucionar problemas de VI(F,K).

Basicamente, esse método inicia com qualquer ponto x0 K e iterativamente é substituído por

xk+1

, de acordo com a fórmula:



4

xk+1

= PK [xk

- K.F(xk)], Eq. 2

em que K é o passo positivo escolhido e PK denota a projeção de um vetor em K. O método

de projeção de Goldstein-Levitin-Polyak é considerado um método explícito, pois xk+1

ocorre

apenas de um lado da equação (Eq.2).

Fonte: Nagurney (1999, p. 05)

FIGURA 2 - Projeção y de x no conjunto K.

Esse método de projeção é global e linearmente convergente. Entretanto, a eficiência do

método depende de alguns parâmetros, como a constante L e o módulo de .

3.3 Método do extragradiente

O método disposto na seção anterior apresenta grande simplicidade de implementação na

busca de soluções para o problema de ponto fixo; entretanto, sua dependência em estimar a

constante L e o módulo o tornam bastante custoso.

O método do Extragradiente (EG) é considerados um método de projeção simples e é

empregado na solução de problemas de inequações variacionais, contudo mais versátil que o

anterior, por não ter no módulo de a necessidade de atender somente a funções de elevada

monotonicidade.

Definindo-se que o método extragradiente, para um dado x K, seja:

( )def

p P x F x , Eq. 3

e assumindo-se que:

( ) ( ) , v (0,1)F x F p v x p , Eq. 4

o método Extragradiente toma p como preditor, gerando uma nova etapa de iteração:

( )EGx P x F p

. Eq. 5

Dessa forma, o método a ser aplicado na busca de soluções para problemas de VI(F,K)

finitos-definidos, vinculados aos problemas de equilíbrio de mercado, serão doravante tecidos

sobre o método EG.



5

3.4 A aplicação do método

O método clássico consiste na aplicação do “algoritmo do ponto próximo”, que inicia com

qualquer vetor x0

K, e iterativamente atualiza para xk +1

, satisfazendo os seguintes

requisitos:

1 10 ( ) ( )k k k

kx x F x . Eq. 6

Em outras palavras, para um dado xk K, uma nova iteração x

k+1 é obtida ao encontrar:

, ' (( ( )) 0, 'T k

kx K x x x x F x x K . Eq. 7

Isso significa que xk+1

é solução para:

( )k

K kx P x x x F x

, Eq. 8

e que:

(Algoritmo do Ponto Próximo) 1 1( )k k k

K kx P x F x . Eq. 9

Uma vez que xk+1

ocorre de ambos os lados da igualdade da Eq. 9, o algoritmo do ponto

próximo é visto como um método implícito.

A predição pode ser realizada pela aplicação do método da projeção simples:

( )Kp P x F x , Eq. 10

e posteriormente aplicando o método do ponto próximo para realizar a correção:

( )K Kx P x F p , Eq. 11

o resultado é a fórmula do método extragradiente:

( )EG K Kx P x F p . Eq. 12

A fim de facilitar esta e futuras análises, algumas igualdades serão definidas na sequência. De

posse da Eq. 10, tem-se ainda que:

( , )e x x p , Eq. 13

( , ) ( )g x F p , Eq. 14



6

( , ) ( ) ( ) ( )d x x p F x F p . Eq. 15

Dessa forma, pode-se reescrever a equação do método extragradiente geral:

( , )EG Kx P x g x . Eq. 16

A proposta desta seção é viabilizar a aplicação dos métodos tratados na seção anterior em

problemas de inequações variacionais. Com o propósito de encontrar a condição de equilíbrio

de Nash em mercados oligopólicos, como os tratados por Cournot, será utilizado o método

Extragradiente Modificado na busca de solução do problema de VI estabelecido para um

exemplo deste tipo de equilíbrio de mercado.

O problema consiste de produtores e de mercados consumidores. Em linhas gerais, no

mercado estudado por Cournot, o produtor leva o produto ao mercado consumidor, que paga o

valor econômico adequado. As quantidades produzidas e demandadas por cada produtor e

mercado consumidor são estabelecidas quando ocorrer o equilíbrio do mercado.

No exemplo, serão considerados quatro produtores, sendo que dois estarão atuando em um

mesmo grupo produtor e os demais atuarão como grupos produtores individuais. Os mercados

consumidores são em número de três, cada qual constituindo seu grupo consumidor

individual. A representação da rede bipartida de equilíbrio espacial de preço para essa

situação é apresentada na Figura 3, a seguir.

Fonte: própria.

FIGURA 3 - Rede representando ligações de mercados produtores e consumidores.

As curvas de custo econômico de produção e de demanda de consumo, para cada mercado

produtor e consumidor da rede bipartida, apresentadas acima, encontram-se no Apêndice A do

presente trabalho.

As funções de custo econômico para os grupos produtores são dadas, para este exemplo, pelas

curvas características que obedecem aos parâmetros descritos na Tabela 1.

i ai bi

1 2 1



7

2 3 2

3 2 1

4 4 1

Fonte: própria.

TABELA 1- Parâmetros de curvas de custo dos produtores.

As curvas atribuídas aos mercados consumidores são construídas com base nos parâmetros

existentes na Tabela 2, sendo que os esboços das mesmas encontram-se em Apêndices, na

Figura A.1.

j Rj Sj

1 20 -2,0

2 25 -1,0

3 30 -1,5

Fonte: Própria.

TABELA 2 - Parâmetros de curvas de custo dos mercados consumidores.

É dado, também, o quadro que relaciona os custos fixos de transporte entre cada produtor e

cada mercado consumidor, descritos a seguir:

j Consumidor

I 1 2 3

Pro

duto

r

1 1 2 2

2 2 1 3

3 2 1 4

4 4 1 1

Fonte: Própria.

QUADRO 1- Custos fixos de transporte produtor/consumidor

De posse desses dados, parte-se por elaborar a função F e a compor o problema de inequações

variacionais. Posteriormente, o problema a ser construído VI(F,K) será solucionado pela

aplicação do método Extragradiente.

Parte-se do vetor coluna x, o qual é composto pelas quantidades a serem transportadas de cada

produtor para cada mercado consumidor, com dimensão Rm+n

.

A função F(x) é composta de parcelas advindas da formulação da utilidade do produtor, como

segue:

(receita) (transporte) (produção)mnL Eq. 17

0

[( ) ] [ ] ( )nq

mn n n in mn mn mn m m

i

L r s x x c x a b w dw , Eq. 18



8

2

( )2

mmn n n in mn mn mn m

i

b wL r s x x c x a w

, Eq. 19

Em que mj

j

w x

2

1

( )2

k

m mjcj

k n n in mn mn mn m mj

m G n i j

b x

L r s x x c x a x

. Eq. 20

Observa-se que aos custos de produção é aplicada a integral, uma vez que se necessita

considerar tudo o que é produzido, por cada um dos produtores.

Dando prosseguimento, pode-se apresentar que o lucro do grupo produtor k, ou seja, a

utilidade do grupo k, pode ser dada pela fórmula:

2

1

( )2

k

cm

k n n in mn mn mn m mj mj

m G n i j j

bL r s x x c x a x x

Eq. 21

Do teorema apresentado por Nagurney (1999, p.212-213), que trata da formulação do

equilíbrio de Nash por Inequação Variacional, tem-se que:

* *( ), 0, ,F x x x x K em que

1 1( ) ( ),..., ( )m mF x x L x x L x , considerando que

1

( ) ( )( ) ,...,k k

k k

k kn

L x L xx L x

x x

, então

1k

ck

n n n in mn m m mj

m G n i jmn

Lr s s x c a b x

x

. Eq. 22

Dessa forma, F(x) deverá seguir:

1

( )

( )k

k

mn

c

n n n in mn m m mj

m G n i j

LF x

x

F x r s s x c a b x

1

( )k

c

m m mj mn n n n in

m G n j i

F x a b x c r s s x

. Eq. 23

Assim, o vetor F(x) fará uso dos seguintes sub-cálculos:



9

3

1

4

1

i ij

j

i i i i

j ij

i

j j j j

Q x

CMg a b Q

D x

P r s D

Subseqüentemente, são mostrados os cálculos para cada um dos valores do vetor x. Observa-

se que os produtores i=1 e i=2 constituem um mesmo grupo produtor, logo há a interação do

que for transportado por ambos.

1, 1 1, 1, 2,

2, 2 2, 1, 2,

3, 3 3, 3,

4, 4 4, 4,

j j j j j j

j j j j j j

j j j j j

j j j j j

x CMg CTrans s x x P

x CMg CTrans s x x P

x CMg CTrans s x P

x CMg CTrans s x P

No Apêndice A, tem-se o código Matlab que compõe tal função. São utilizadas as matrizes

geradas das Tabelas 1, 2 e Quadro 1. O vetor x é a variável de entrada que se deseja aplicar à

função. Como resultado, a função retorna outro vetor, de mesma dimensão de x.

No Apêndice B, tem-se o código da função responsável por aplicar o método de projeção

simples, já discutido no capítulo 2.

O critério de parada para o algoritmo pode ser definido: pode-se considerar um número

máximo de iterações ou que o erro quadrático máximo entre o ponto obtido na iteração K e o

anterior (K-1) seja inferior a um parâmetro estipulado (tipicamente 10-7

).

No capítulo seguinte, serão tratados os resultados obtidos com a aplicação do método

apresentado.

5. RESULTADOS E DISCUSSÕES

Neste capítulo, serão abordados os resultados encontrados com a aplicação do método do

extragradiente proposto no artigo.

O método da Projeção Simples necessita encontrar um valor preditivo a fim de permitir sua

convergência. Já quanto aos preços, tendo-se as quantidades a serem transportadas de cada

mercado produtor para cada um dos mercados consumidores, pode-se calcular os preços finais

a serem praticados em cada mercado. Isto pode ser facilmente obtido pela substituição dos

valores de x nas fórmulas específicas para este fim.

Os resultados para o problema podem ser observados a seguir, considerando-se um erro

máximo de 0,000001%:

=0.1

2,04969



10

0,55430

3,85188

0,00000

3,22632

0,00000

1,17246

4,02263

2,01597

0,00000

2,96243

3,30905

Fonte: Própria.

TABELA 3 - Resultados obtidos pela aplicação dos métodos EG e projeção simples.

Assim, os valores encontrados para os preços a serem praticados baseiam-se novamente na

utilidade de Nash, Lk. Tais formulações foram vistas no capítulo anterior, culminando na Eq.

20, a qual denota a utilidade para o grupo produtor. A aplicação destas formulações irá

resultar nos cálculos sintetizados nos quadros que seguem:

j ij ijP CTrans x 3

1

j ij ij

j

P CTrans x

j (merc. consumidor) Receita

Do produtor i 1 2 3

i (p

roduto

r)

1 25,735 6,781 54,830 87,347

2 0,000 42,698 0,000 42,698

3 13,549 53,237 24,665 91,450

4 0,000 39,206 50,412 89,618

Fonte: Própria.

QUADRO 2 - Cálculo da parcela da receita de cada produtor, da utilidade L (Eq. 20).

2

0( )

2

nqi

i i i ij ij

j j

ba b w dw a x x

Custo total

i (p

roduto

r)

1 33,751

2 20,088

3 40,422

4 44,752

Fonte: Própria.

QUADRO 3 - Cálculo da parcela do custo total, da utilidade L (Eq.20).

Receita:

Custo total

Lucro Líquido

Final (produtor i)



11

Lucro Líquido

i (p

roduto

r)

1 51,418 76,206

2 23,683

3 49,328 51,028

4 43,694 44,866

Fonte: Própria.

QUADRO 4 - Cálculo do lucro líquido de cada grupo produtor (utilidade L: Eq.20).

6.CONCLUSÕES

O presente artigo, que estabeleceu como objetivo principal viabilizar a aplicação do método

extragradiente em problemas de inequações variacionais, como é o caso dos equilíbrios

espaciais de preços em mercados, exemplificado neste trabalho, permitiu a verificação de que

o mesmo é bastante eficiente na busca de soluções. Também, para demais problemas de

variáveis contínua envolvendo equilíbrio em redes, o método mostra-se bastante adequado e

com boa convergência.

Novos estudos estão sendo conduzidos para aprimorar a convergência do algoritmo, que se

mostrou bastante sensível para valores de . Contudo, embora as dimensões do problema-

exemplo não sejam grandes, acredita-se que, para problemas de maior porte, o método revela

bom potencial na busca de resultados, como por exemplo, em problemas de definição de

preços envolvendo cadeias de suprimento, transporte e logística.

Referências

KUPFER, D.; HASSENCLEVER, L. Economia Industrial – fundamentos teóricos e práticas no Brasil. 2. Ed.

São Paulo: Editora Campus, 2002.

NAGURNEY, A. Network economics – a variational inequality approach. Revised Second Edition. Boston:

Kluwer Academic Publishers, 1999.

PINHO, D. B.; VASCONCELOS, M. A. S. (Org.). Manual de economia – Equipe de professores da USP. 3. ed.

Ver. amp. São Paulo: Saraiva, 1998.

ROSSETTI, J. Introdução à economia. 20. ed. São Paulo: Atlas, 2003.

ANEXO A – Função Matlab para cálculo de F(x)

function [Fx]=oligo1(X0) %fprintf('Calculo de Fx, considerando X: \n'); %clc a=[2 3 2 4]'; b=[1 2 1 1]'; r=[20 25 30]'; s=[-2 -1 -1.5]'; ct=[1 2 2;2 1 3;2 1 4;4 1 1]; n=1; X=zeros(12,n); Fx=zeros(12,n);



12

X(:,1)=X0; %variável para teste da montagem da função Fx [nprod,nmerc]=size(ct); Q=zeros(nprod,1); CMg=Q; CTot=Q; D=zeros(1,nmerc); Preco=D; X_=zeros(nprod,nmerc); %matriz auxiliar X_ de X Fx_=X_; %matriz auxiliar Fx_ de Fx X_(1,:)=X(1:3,1)'; X_(2,:)=X(4:6,1)'; X_(3,:)=X(7:9,1)'; X_(4,:)=X(10:12,1)'; c=1; %variável que vai ser incrementada de 1 a n em um laço while (considerando c<=n e erro<erro_max) %Calculando X na função Fx for i = 1:nprod for j = 1:nmerc Q(i,1)=Q(i,1)+X_(i,j); end CMg(i,1)=a(i,1)+b(i,1)*Q(i,1); CTot(i,1)=(a(i,1)*Q(i,1))+0.5*(b(i,1)*Q(i,1)^2); end for j = 1:nmerc for i = 1:nprod D(1,j)=D(1,j)+X_(i,j); end Preco(1,j)=r(j,1)+s(j,1)*D(1,j); end %Calculando Fx -> Inserindo parcela CMg e ct=custo transporte (fixo) for i = 1:nprod for j = 1:nmerc if i==1 Fx_(i,j)=Fx_(i,j)+CMg(i,1)+ct(i,j)-(s(j,1)*(X_(i,j)+X_(i+1,j)))-Preco(1,j); else if i==2 Fx_(i,j)=Fx_(i,j)+CMg(i,1)+ct(i,j)-(s(j,1)*(X_(i,j)+X_(i-1,j)))-Preco(1,j); else Fx_(i,j)=Fx_(i,j)+CMg(i,1)+ct(i,j)-(s(j,1)*X_(i,j))-Preco(1,j); end; end; end end Fx(1:3,c)=Fx_(1,:)'; Fx(4:6,c)=Fx_(2,:)'; Fx(7:9,c)=Fx_(3,:)'; Fx(10:12,c)=Fx_(4,:)';

ANEXO B – Função Matlab – método projeção simples

function [Xf,eu_,u,eu]=projecao(X0,alfa) c=0; nlin=size(X0); l=nlin(1,1); %ex: b matriz 8x1, l=8 n=input('Entre com o numero máximo de iteracoes:'); u=zeros(l,n+1); fu=zeros(l,n); m=zeros(l,n+1,n+1); u(:,1)=X0; %insere ponto inicial de busca eu_=1; %realiza busca considerando número máximo de passos ou erro inferior a 1e-7 while ((eu_>1e-7) & (c<n)) c=c+1; fu(:,c)=oligo1(u(:,c)); %calcula a funçao no ponto X



13

u(:,c+1)=u(:,c)-alfa*fu(:,c); %ajustar para coordenadas não-negativas for i=1:l if u(i,c+1)<0 u(i,c+1)=0; end; end Xf=u(:,c+1); eu(1,c)=sum((u(:,c+1)-u(:,c)).^2); % diferença entre ponto e sua projeção eu_=eu(1,c); end; subplot(3,2,1:4); plot(1:c,u(:,1:c),'-r.'); ylabel('{\itu}^{k\it}'); xlabel('Iterações'); subplot(3,2,5:6); plot(eu(1,1:c)','-r.'); ylabel('{\itNorma de u}^{k+1\it}-{\itu}^{k\it}'); x

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