Informe N°5

INDICE

1 ENUNCIADO DEL PROBLEMA: ..................................................................................................... 2

2 MODELADO DE LA VIGA .............................................................................................................. 4

3 MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTOS ........................................................................................... 4

4 MATRIZ DE RIGIDEZ LOCAL:......................................................................................................... 6

5 ESFUERZOS LONGITUDINALES: ................................................................................................... 9

6 DIAGRAMA DE FLUJO DEL PROGRAMA: ...................................................................................... 1

7 USANDO MATLAB ........................................................................................................................ 2

8 C ONCLUCIONES: ......................................................................................................................... 8

2

QUINTA PRÁCTICA CALIFICADA

(FLEXIÓN)

1 ENUNCIADO DEL PROBLEMA:

Modelar la viga mostrada con 4 elementos finitos (por lo menos), y calcular en ellos

los esfuerzos debido a la flexión de la misma.

Material:

Acero estructural A-36

E=2.1x10^5 N/mm2

ρ =7.8 gr-f/cm3

A-A

d (variable)25 mm

13 mm

100 mm

3

-Esfuerzos.- En cada elemento finito de la viga; en un punto genérico ( , y):

43212

136136 q)ξ(qξq)ξ(qξyE

σee

e

e

43213max

226

qqqqA

EIα

A

Vατ

ee

e

e

Donde “y” es la distancia del punto genérico a la fibra neutra.

4

2 MODELADO DE LA VIGA

Hacemos el modelado de la viga, en 4 elementos finitos:

4

32

1

Q10

Q9

Q8

Q7Q5

Q6Q4

Q3Q1

Q2

4321

3 MATRIZ DE RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS

Para el elemento finito 1:

13100)2

13

2

200(2

12

13100

12

)1313200(25

12

13100 2333

1 xxxxxx

I

3

1012245501 I mm4

100 mm

13 mm

25 mm 200 mm

5

Matriz de Rigidez Local:

2250000450011250004500

450012450012

1125000450022500004500

450012450012

750

)3

101224550()101.2( 5

1

xx

k


13100)2

13

2

400(2

12

13100

12

)1313400(25

12

13100 2333

2 xxxxxx

I

3

6191195502 I mm4


2250000450011250004500

450012450012

1125000450022500004500

450012450012

750

)3

619119550()101.2( 5

2

xx

k


13100)2

13

2

400(2

12

13100

12

)1313400(25

12

13100 2333

3 xxxxxx

I

3

6191195503 I mm4


2250000450011250004500

450012450012

1125000450022500004500

450012450012

750

)3

619119550()101.2( 5

3

xx

k

100 mm

13 mm

25 mm 400 mm

100 mm

13 mm

25 mm 400 mm

6


13100)2

13

2

200(2

12

13100

12

)1313200(25

12

13100 2333

4 xxxxxx

I

3

1012245504 I mm4

2250000450011250004500

450012450012

1125000450022500004500

450012450012

750

)3

101224550()101.2( 5

4

xx

k

4 MATRIZ DE RIGIDEZ LOCAL:

Hallamos las fuerzas que es sometida la viga debido al peso del material:

363 /10518.76/8.7 mmNxcmfgr

5318001.0))26200(25213100(518.764141 xxxxAApp N/mm

9143901.0))26400(25213100(518.763232 xxxxAApp N/mm

12

7505318001.0

2

7505318001.0

12

7505318001.0

2

7505318001.0 22

1

xxxxW

12

7509143901.0

2

7509143901.0

12

7509143901.0

2

7509143901.0 22

2

xxxxW

12

7509143901.0

2

7509143901.0

12

7509143901.0

2

7509143901.0 22

3

xxxxW

12

7505318001.0

2

7505318001.0

12

7505318001.0

2

7505318001.0 22

4

xxxxW

100 mm

13 mm

25 mm 200 mm

7

1296875.24928

4250375.199

90625.17933

321325.542

0

792575.685

90625.17933

321325.542

1296875.24928

4250375.199

W

Hallamos las fuerzas debido a la carga distribuida:

12

7505

2

7505

12

7505

2

7505 22

2

xxxxP

12

7505

2

7505

12

7505

2

7505 22

3

xxxxP

0

0

234375

1875

0

3750

234375

1875

0

0

P

1296875.24928

4250375.199

90625.252308

321325.2417

0

792575.4435

90625.252308

321325.2417

1296875.24928

4250375.199

F

8

LA FUERZA TOTAL A LA QUE ES SOMETIDA LA VIGA ES:

Como los desplazamientos Q1, Q2, Q9 y Q10, quedan restringidos a cero, necesitamos

encontrar Q3, Q4, Q5, Q6, Q7 y Q8.

FKQ

00015127226102175159000006500755275260030211000

217515900092.8067853260030211096.693413800

00650075527526003021100000260030211000065007552752600302110

260030211096.6934138092.13868277260030211096.6934138

00006500755275260030211000015127226102175159000

00260030211096.6934138217515900092.8067853

8

7

6

5

4

3

Q

Q

Q

Q

Q

Q

90625.252308

321325.2417

0

792575.4435

90625.252308

321325.2417

Obtenemos:

0

0

1084626414653.7

1078870117175.6

0

1020005353989.1

1084626414653.7

1078870117175.6

0

0

11

8

7

11

8

x

x

x

x

x

Q

9

5 LOS ESFUERZOS LONGITUDINALES:

Para un punto genérico (z,y), donde zє[-1,1]

43212)13(6)13(6)( qlzzqqlzzq

l

Eyee

e

e

Para y=50 mm

Para z=-1

6

6

7

6

1075343739030.3

1084030037338.1

108665358764.6

1076239135134.5

x

x

x

x

Para z=1

6

7

6

6

1076239135134.5

108665358764.6

1084030037338.1

1075343739030.3

x

x

x

x

Para z=0

6

6

6

6

1050447698051.1

1050447698051.1

1050447698051.1

1050447698051.1

x

x

x

x

6 DIAGRAMA DE FLUJO DEL PROGRAMA:

INICIO

Leer

datos de

Para i=1:4

Calcula la matriz de rigidez de

cada elemento y también la

global.

Calcula desplazamientos,

reacciones

Imprime esfuerzos y

reacciones.

Para i=1:4

Calcula esfuerzos

para e=-1,1

Si ES1<=ES2

Emax=ES2 Emax=ES1

2

7 USANDO MATLAB

PROGRAMA EN MATLAB

clc; format long; n=input('Ingrese Numero de Elementos Finitos:'); e1=input('Espesor de las alas(mm):'); e2=input('Espesor del alma(mm):'); l1=input('Longitud de las alas(mm):'); L=input('Ingrese Longitud de la Viga(mm):'); E=input('Modulo de Elasticidad(N/mm2):'); yp=input('Ingrese Peso Especifico(N/mm3):'); pe=input('Carga Distribuida Externa(N/mm):'); disp('MOMENTOS DE INERCIA') for i=1:(n/2) d(i)=(4*(L*(i-1)/n)/15+100+4*(L*i/n)/15+100)/2; I(i)=2*(l1*e1^3/12)+e2*(d(i)-2*e1)^3/12+2*(d(i)/2-e1/2)^2*l1*e1; end for i=((n/2)+1):n d(i)=(900-4*(L*(i-1)/n)/15+900-4*(L*i/n)/15)/2; I(i)=2*(l1*e1^3/12)+e2*(d(i)-2*e1)^3/12+2*(d(i)/2-e1/2)^2*l1*e1; end disp(I) disp('MATRIZ DE RIGIDEZ ESTRUCTURAL K') k=zeros(2*(n+1),2*(n+1)); for i=1:n l=L/n; ke(:,:,i)=E*I(i)/l*[12 6*l -12 6*l; 6*l 4*l*l -6*l 2*l*l; -12 -6*l 12 -6*l; 6*l 2*l*l -6*l 4*l*l]; gl1=2*i-1; gl2=gl1+1; gl3=2*(i+1)-1; gl4=gl3+1; gl=[gl1 gl2 gl3 gl4]; k(gl,gl)=k(gl,gl)+ke(:,:,i); end disp(k) disp('FUERZAS DEBIDO AL PESO DEL MATERIAL') for i=1:n A(i)=l1*e1*2+e2*(d(i)-2*e1); p(i)=-yp*A(i); end w=zeros(1,2*(n+1));

3

for i=1:n l=L/n; we(:,:,i)=[p(i)*l/2 p(i)*l^2/12 p(i)*l/2 -p(i)*l^2/12]; gl1=2*i-1; gl2=gl1+1; gl3=2*(i+1)-1; gl4=gl3+1; gl=[gl1 gl2 gl3 gl4]; w(1,gl)=w(1,gl)+we(:,:,i); end wt=w'; disp(wt) disp('FUERZAS DEBIDO A LA CARGA DISTRIBUIDA') c=zeros(1,2*(n+1)); for i=2:3 l=L/n; ce(:,:,i)=[pe*l/2 pe*l^2/12 pe*l/2 -pe*l^2/12]; gl1=2*i-1; gl2=gl1+1; gl3=2*(i+1)-1; gl4=gl3+1; gl=[gl1 gl2 gl3 gl4]; c(1,gl)=c(1,gl)+ce(:,:,i); end ct=c'; disp(ct) disp('FUERZA TOTAL') f=ct+wt; disp(f) disp('DESPLAZAMIENTOS') disp('Q=') kf=k(3:8,3:8); ff=f(3:8,1); qf=inv(kf)*ff; Q=[0;0;qf;0;0]; disp(Q) disp('ESFUERZOS LONGITUDINALES(N/mm2)') y=input('Ingrese punto generico a analizar:'); z=-1; es1=zeros(n,1); for i=1:n gl1=i*2-1; gl2=gl1+1; gl3=(i+1)*2-1; gl4=gl3+1; gl=[gl1 gl2 gl3 gl4]; q=Q(gl); es1(i)=-E*y/l^2*[6*z (3*z-1)*l -6*z (3*z+1)*l]*q; end disp('z=-1') disp(es1)

4

z=1; es2=zeros(n,1); for i=1:n gl1=i*2-1; gl2=gl1+1; gl3=(i+1)*2-1; gl4=gl3+1; gl=[gl1 gl2 gl3 gl4]; q=Q(gl); es2(i)=-E*y/l^2*[6*z (3*z-1)*l -6*z (3*z+1)*l]*q; end disp('z=1') disp(es2) z=0; es0=zeros(n,1); for i=1:n gl1=i*2-1; gl2=gl1+1; gl3=(i+1)*2-1; gl4=gl3+1; gl=[gl1 gl2 gl3 gl4]; q=Q(gl); es0(i)=-E*y/l^2*[6*z (3*z-1)*l -6*z (3*z+1)*l]*q; end disp('z=0') disp(es0)

EJECUCIÓN DEL PROGRAMA Ingrese Número de Elementos Finitos: 4 Espesor de las alas (mm):13 Espesor del alma (mm):25 Longitud de las alas (mm):100 Ingrese Longitud de la Viga (mm):3000 Módulo de Elasticidad(N/mm2):2.1e5 Ingrese Peso Específico(N/mm3):76.518e-6 Carga Distribuida Externa(N/mm):-5 MOMENTOS DE INERCIA 1.0e+008 * 0.33741516666667 2.06373183333333 2.06373183333333 0.33741516666667 MATRIZ DE RIGIDEZ ESTRUCTURAL K 1.0e+017 *

5

Columns 1 through 4 0.00000113371496 0.00042514311000 -0.00000113371496 0.00042514311000 0.00042514311000 0.21257155500000 -0.00042514311000 0.10628577750000 -0.00000113371496 -0.00042514311000 0.00000806785392 0.00217515900000 0.00042514311000 0.10628577750000 0.00217515900000 1.51272261000000 0 0 -0.00000693413896 -0.00260030211000 0 0 0.00260030211000 0.65007552750000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Columns 5 through 8 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.00000693413896 0.00260030211000 0 0 -0.00260030211000 0.65007552750000 0 0 0.00001386827792 0 -0.00000693413896 0.00260030211000 0 2.60030211000000 -0.00260030211000 0.65007552750000 -0.00000693413896 -0.00260030211000 0.00000806785392 -0.00217515900000 0.00260030211000 0.65007552750000 -0.00217515900000 1.51272261000000 0 0 -0.00000113371496 -0.00042514311000 0 0 0.00042514311000 0.10628577750000 Columns 9 through 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.00000113371496 0.00042514311000 -0.00042514311000 0.10628577750000 0.00000113371496 -0.00042514311000 -0.00042514311000 0.21257155500000 FUERZAS DEBIDO AL PESO DEL MATERIAL

1.0e+004 * -0.01994250375000 -2.49281296875000 -0.05423213250000 -1.79339062500000 -0.06857925750000 0 -0.05423213250000 1.79339062500000 -0.01994250375000 2.49281296875000

6

FUERZAS DEBIDO A LA CARGA DISTRIBUIDA 0 0 -1875 -234375 -3750 0 -1875 234375 0 0 FUERZA TOTAL 1.0e+005 * -0.00199425037500 -0.24928129687500 -0.02417321325000 -2.52308906250000 -0.04435792575000 0 -0.02417321325000 2.52308906250000 -0.00199425037500 0.24928129687500 DESPLAZAMIENTOS Q= 1.0e-006 * 0 0 -0.06887011717571 -0.00007462641465 -0.10005353989168 -0.00000000000000 -0.06887011717571 0.00007462641465 0 0

7

ESFUERZOS LONGITUDINALES(N/mm2) Ingrese punto genérico a analizar: 50

z=-1 1.0e-005 * 0.56239135133738 -0.06865358764229 -0.14030037338828 -0.35343739030681 z=1 1.0e-005 * -0.35343739030681 -0.14030037338828 -0.06865358764229 0.56239135133738 z=0 1.0e-005 * 0.10447698051528 -0.10447698051528 -0.10447698051528 0.10447698051528

8

8 CONCLUSIONES:

Las matrices que se analizan en estos sistemas son de orden muy elevado, por tal

razón es necesario utilizar un lenguaje de programación que nos permita manejar las

variables con mayor flexibilidad y poder generalizar el método de análisis.

El análisis de viga de sección variable es la generalización del análisis de una viga se

sección constante.

El vector desplazamiento es desarrollado en base a la conectividad de los elementos,

por ello es importante manejar una tabla de conectividad ordenada y secuencial.

En este caso de viga se sección variable era de esperarse que cada elemento tuviera 4

grados de libertad.

Cada elemento de la viga está sujeto a fuerzas y un momento; las fuerzas que pueden

ser de compresión o tensión directa mientras los momentos son de flexión.

Como es propio de la viga, en este caso todas las cargas son aplicadas en los nodos,

además los cálculos se realizan despreciando la fricción en los nodos.

Informe N°5

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