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INSTITUTO DE APLICAÇÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA

Disciplina: Matemática Professor: Marcello Amadeo Série: 9º ano / EF Aluna(o): __________________________________________________ Turma: _____

LISTA 3 – SEMELHANÇA

FIGURAS SEMELHANTES

Em Matemática, quando usamos medidas proporcionais para desenhar figuras, ampliando-as ou reduzindo-as, dizemos que são figuras semelhantes. A semelhança de figuras é usada na construção de mapas, de maquetes de prédios, em fotografias e em muitas outras situações.

Pentágonos semelhantes Decaedros semelhantes

Desenho original Cópia reduzida do

desenho

Cópia ampliada do desenho

FIGURAS SEMELHANTES Dizemos que duas figuras têm a mesma forma ou são semelhantes quando:

Todos os ângulos correspondentes têm medidas iguais e

As medidas dos segmentos correspondentes são proporcionais.

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Os retângulos representados a seguir têm ângulos congruentes e seus lados homólogos (correspondentes) são proporcionais. Nesse caso os retângulos são semelhantes. Já os retângulos a seguir têm ângulos congruentes, mas seus lados formados por vértices correspondentes (lados homólogos) não são proporcionais. Logo, esses retângulos não são semelhantes.

SEMELHANÇA ENTRE POLÍGONOS

Dizemos que dois polígonos são semelhantes se possuem ângulos iguais e lados respectivamente proporcionais. Intuitivamente, isto quer dizer que os polígonos possuem o mesmo “formato”, embora não necessariamente o mesmo “tamanho”.

Os lados situados entre ângulos respectivamente iguais são chamados de lados homólogos. Assim, na figura

anterior, o homólogo de AB é A′B′ , o homólogo de BC é B′C′ , e assim por diante. Ainda, a razão entre dois lados homólogos quaisquer é chamada razão de semelhança.

Por exemplo, os pentágonos ABCDE e A′B′C′D′E′ representados a seguir, são semelhantes:

Assim, a razão de semelhança entre os pentágonos é dada por:

𝑎

𝑎′=𝑏

𝑏′=𝑐

𝑐′=𝑑

𝑑′=𝑒

𝑒′= 𝑘

RAZÃO DE SEMELHANÇA Dois polígonos são semelhantes quando têm seus ângulos correspondentes congruentes e os lados homólogos proporcionais. A razão entre qualquer lado de um polígono e seu lado homólogo é denominada de razão de semelhança.

A

B

C D

A'

B'

C' D'

ETIMOLOGIA Em matemática, existem duas possíveis origens para o uso da palavra homólogo.

Homólogo = homo + logos Homo (grego, ὁμο): mesmo Logos (grego, λόγος): razão Homólogo = homo + locus Homo (grego): mesmo Locus (latim): lugar

Os lados homólogos são proporcionais

3

2=6

9

Os lados homólogos não são proporcionais

15

20≠50

50

3

EXERCÍCIOS 7 questões

1) Sabendo que os trapézios da figura são semelhantes:

a) Dê a medida dos ângulos D, G, M e P.

b) Determine a medida do lado DG .

2) As medidas dos lados de um quadrilátero são 8cm,10cm, 12cm e 14cm. Quais as medidas desses lados numa ampliação de 2 para 3?

3) Os paralelogramos a seguir são semelhantes? Justifique sua resposta.

4) As figuras ao lado são semelhantes. Determine a medida x indicada.

5) Três terrenos têm frente para a rua “A” e para a rua “B”, como na figura. As divisas laterais são perpendiculares à rua “A”. Qual a medida de cada lote de frente para a rua “B”, sabendo-se que a frente total para essa rua é 120m?

6) Observe os dois retângulos semelhantes a seguir e calcule o que se pede:

a) Razão de semelhança entre o primeiro e o segundo retângulo:

b) Razão dos perímetros entre o primeiro e o segundo retângulo:

c) Razão das áreas entre o primeiro e o segundo retângulo:

7) Observe os dois retângulos semelhantes a seguir e calcule o que se pede:

a) Razão de semelhança entre o primeiro e o segundo retângulo:

b) Razão dos perímetros entre o primeiro e o segundo retângulo:

c) Razão das áreas entre o primeiro e o segundo retângulo

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PERIMETRO E ÁREA: INICIAÇÃO AO RACIOCÍNIO MATEMÁTICO

Após esses exercícios estamos induzidos a enunciar os seguintes resultados:

Observe no caso de dois triângulos semelhantes, podemos fazer uma breve demonstração desse fato. Sejam ABC e A’B’C’ triângulos semelhantes cuja razão de semelhança seja um número k.

Tente acompanhar o seguinte raciocínio matemático: 𝑎

𝑎′= 𝑘 ⇒ 𝑎 = 𝑘𝑎′ (1)

𝑏

𝑏′= 𝑘 ⇒ 𝑏 = 𝑘𝑏′ (2)

𝑐

𝑐= 𝑘 ⇒ 𝑏 = 𝑘𝑐′ (3)

𝑑

𝑑= 𝑘 ⇒ 𝑏 = 𝑘𝑑′ (4)

(1)+(2)+(3)+(4)⇒

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 𝑘𝑎′ + 𝑘𝑏′ + 𝑘𝑐′ + 𝑘𝑑′

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 𝑘(𝑎′ + 𝑏′ + 𝑐′ + 𝑑′)

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑

𝑎′ + 𝑏′ + 𝑐′ + 𝑑′= 𝑘

Isto é, mostramos que a razão entre os perímetros de figuras semelhantes é igual à razão de semelhança:

𝑎

𝑎′=𝑏

𝑏′=𝑐

𝑐′=𝑎 + 𝑏 + 𝑐

𝑎′ + 𝑏′ + 𝑐′= 𝑘

Note que para o caso de quadriláteros, o raciocínio algébrico seria o mesmo:

𝑎

𝑎′=𝑏

𝑏′=𝑐

𝑐′=𝑑

𝑑′= 𝑘 ⇒

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑

𝑎′ + 𝑏′ + 𝑐′ + 𝑑′= 𝑘

Assim como para o caso de pentágonos semelhantes:

𝑎

𝑎′=𝑏

𝑏′=𝑐

𝑐′=𝑑

𝑑′=𝑒

𝑒′= 𝑘 ⇒

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒

𝑎′ + 𝑏′ + 𝑐′ + 𝑑′ + 𝑒′= 𝑘

E, analogamente, para qualquer outro par de polígonos semelhantes:

𝑎

𝑎′=𝑏

𝑏′=𝑐

𝑐′= (… ) =

𝑧

𝑧′= 𝑘 ⇒

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + (…) + 𝑧

𝑎′ + 𝑏′ + 𝑐′ + (… ) + 𝑧′= 𝑘

Podemos fazer um raciocínio semelhante para justificarmos o resultado relativo às áreas de figuras semelhantes. Para tanto, considere novamente dois triângulos ABC e A’B’C’ semelhantes, cuja razão de semelhança seja k.

PERÍMETRO DE FIGURAS SEMELHANTES Se dois polígonos são semelhantes, a razão entre seus perímetros é igual à razão de semelhança entre os polígonos.

ÁREA DE FIGURAS SEMELHANTES Se dois polígonos são semelhantes, a razão entre suas áreas é igual ao quadrado da razão de semelhança entre os polígonos.

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Note que as alturas h e h’, relativas às bases c e c’, respectivamente, também respeitam a mesma razão de semelhança k, isto é:

𝑐

𝑐′= 𝑘 e

ℎ

ℎ′= 𝑘

Que poderia equivalente a:

𝑐 = 𝑘𝑐′ e ℎ = 𝑘ℎ′ As áreas dos triângulos seriam:

Á𝑟𝑒𝑎𝐴𝐵𝐶 =𝑐⋅ℎ

2 e Á𝑟𝑒𝑎𝐴′𝐵′𝐶′ =

𝑐′⋅ℎ′

2

Portanto, a razão entre as áreas ficaria:

Á𝑟𝑒𝑎𝐴𝐵𝐶

Á𝑟𝑒𝑎𝐴′𝐵′𝐶′=𝑐ℎ/2

𝑐′ℎ′/2=𝑐 ⋅ ℎ

𝑐′ℎ′=𝑘𝑐′ ⋅ 𝑘ℎ′

𝑐′ ⋅ ℎ′= 𝑘 ⋅ 𝑘 = 𝑘2

Analogamente, podemos adaptar o mesmo raciocínio para qualquer outro polígono.

EXERCÍCIOS 6 questões

8) Um retângulo cuja medida da base é 7 cm e a da altura é 12 cm é semelhante a outro retângulo com 6 de altura. Qual a razão entre a área do primeiro retângulo e a do segundo?

9) As áreas de dois polígonos semelhantes estão entre si na razão 144 ∶ 25. Qual a razão de semelhança entre os polígonos semelhantes?

10) Os trapézios ABCD e MNOP são semelhantes. A razão de semelhança entre ABCD e MNOP é 0,25. Se o perímetro de MNOP é igual a 48,4 cm, qual é o perímetro de ABCD?

11) Os pentágonos ABCDE e A’B’C’D’E’

desenhados abaixo são semelhantes. Calcule os valores de x e y.

12) Um lado de um triângulo mede 45m. Num triângulo semelhante, o lado correspondente mede 30m. Se o perímetro do primeiro é de 120m, o do segundo é de: (A) 80m. (B) 50m. (C) 70m. (D) 100m.

13) Os perímetros de dois triângulos semelhantes estão entre si na razão 4: 3. Os lados do maior medem 8cm, 6cm e 10cm. Determine as medidas dos lados do triângulo menor.

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SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS O caso de semelhança em triângulos segue uma particularidade bastante conveniente, enunciada abaixo:

Pela própria definição de semelhança entre polígonos, temos que dois triângulos semelhantes têm ângulos correspondentes congruentes (mesma medida) e ângulos congruentes proporcionais. No entanto, a expressão se, e somente se, quer dizer que a recíproca também é verdadeira, isto é:

I. Se dois triângulos têm ângulos correspondentes congruentes, então eles são semelhantes.

II. Se dois triângulos têm lados homólogos proporcionais, então eles são semelhantes.

Observe a justificativa desse teorema, a começar com um triângulo ABC cortado por uma reta DE, paralela a BC.

Observe que:

A ≡ A (ângulo comum aos dois triângulos)

B ≡ D (ângulos correspondentes)

C ≡ E (ângulos correspondentes) Para provar que os lados homólogos são proporcionais, traça-se por E, no triângulo

ABC, a reta EF paralela a EF , com F ∈ BC e aplica-se o teorema de Tales:

AD

AB=AE

AC=BF

BC

Sendo DBFE um paralelogramo, então BF ≡ DE e logo:

AD

AB=AE

AC=DE

BC

Donde se conclui que os triângulos ABC e ADE são semelhantes.

TEOREMA FUNDAMENTAL DA SEMELHANÇA Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os ângulos correspondentes são congruentes ou os lados homólogos proporcionais.

Separando os triângulos

SE E SOMENTE SE Em matemática, a expressão se, e somente se, quer dizer que há uma equivalência entre o que vem antes e o que vem depois da expressão, isto é, elas são equivalentes.

[1] se, e somente se [2] Quer dizer:

[1] ⇒ [2] [1] ⇐ [2]

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Observe o triângulo a seguir, com seus ângulos e lados com medidas aproximadas:

Note que os ângulos homólogos têm mesma medida:

𝛼1 = 𝛼2 = 56,13° 𝛽1 = 𝛽2 = 36,04° 𝛾1 = 𝛾2 = 87,82°

A menos de aproximação, a razão entre os lados homólogos é constante:

5,54

2,77= 2,0

3,93

1,96≅ 2,0

6,67

3,33≅ 2,0

EXERCÍCIOS 26 questões 14) Na figura, determine as medidas x e y, sabendo

que BE // CD .

15) Sabendo que DE // BC , utilize o teorema

fundamental da semelhança para determinar x e y.

16) Para determinar a altura de um edifício, seu

zelador usou um artifício. Mediu a sombra do prédio, que deu 6 metros, e mediu sua própria sombra, que deu 0,20 metros. Sabendo-se que sua altura é 1,60 metros, qual a altura do prédio?

17) A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60 cm. No mesmo momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2,00 m.Se, mais tarde, a sombra do poste diminuiu 50 centímetros, a sombra da pessoa passou a medir: (A) 30 cm (B) 45 cm (C) 50 cm (D) 80 cm (E)90 cm

18) Sabendo-se que um poste de 6m projeta uma sombra de 4,0m, a altura de um prédio que projeta uma sombra de 124m mede: (A) 82,6cm (B) 31m (C) 186m (D) 20,6m

19) Observe a figura abaixo, onde AB // ED . Os valores de x e de y, são, respectivamente:

(A) 7,5 e 12,5 (B) 12.5 e 7,5 (C) 14,7 e 24,5 (D) 24,5 e 14,7

8

20) Um triângulo de lados a = 6, b = 8 e c = 11 é semelhante a outro de lados x, y e z. Se o lado x corresponde ao lado a e x = 3, temos:

(A) y = 3 e z = 4. (B) y = 5 e z = 4. (C) y = 5 e z = 3. (D) y = 4 e z = 5,5. 21) Calcule o valor numérico de x e y na figura a

seguir. (Sugestão, separe os triângulos BCA e DEA)

22) Na figura abaixo, calcule os valores de a e de b.

23) Determine o valor de x e y nos triângulos abaixo.

24) Qual é, em cm, o perímetro do triângulo ABP na figura abaixo?

25) Considere o triângulo ACD desenhado abaixo.

Determine a medida do lado AD .

26) Observe os triângulos representados abaixo, onde

os ângulos A e B assinalados são congruentes. Calcule O perímetro do menor triângulo.

27) As bases de um trapézio medem 8 dm e 12 dm. Os lados não paralelos medem 3 dm e 5 dm. Prolongam-se os lados não paralelos até se encontrarem. Calcule a medida dos dois lados do menor triângulo assim obtido. (Sugestão: prolongue os lados não paralelos do triângulo para formar dois triângulos semelhantes)

28) Sendo ABCD um trapézio e MN // AB , calcule o

comprimento de MN na figura, sabendo que todas as medidas estão em centímetros.

P

A

C B 16cm

20º

20º

6cm

2cm

9

29) Observe a figura abaixo, onde AD = 4cm, DE =

9cm, FC = 27cm e BD // CE // FB // AG . Então,

GC mede:

(A) 60,75cm (B) 39cm (C) 12cm (D) 15cm

30) Na figura, temos AB // CD . Calcule o valor de x:

31) Sabendo que AB // CD , calcule o valor de x na figura:

32) Na figura, o quadrado DEFG está inscrito no triângulo ABC. Sabendo que BD = 3,6cm e CE = 1,6cm, calcule a medida do lado do quadrado.

33) No interior de um triângulo retângulo foram colocados dois retângulos congruentes, como mostra a figura abaixo. Se cada retângulo possui dimensões 6 cm e 16 cm, determine o valor de x.

34) Dada a figura abaixo, tem-se que:

(A) n = 9,6 e h = 7,2 (B) m = 5,4 e h = 8,4 (C) a = 14 e m = 9,6 (D) h = 7,2 e n = 5,4 35) Observe a figura e assinale a alternativa falsa:

(A) PAC QBC

(B) ABQ ACR

(C) 𝑧

𝑥=

𝑛

𝑚+𝑛

(D) 𝑧

𝑥=𝑚+𝑛

𝑚

A G

F

C

D B

E

C

D

P A

B

4

8

12

x

A B

P

D C 18

x

12

9

Q

P

A B C

R

z

m n

y x

10

36) O quadrilátero ABCD representado a seguir é um

paralelogramo. Determine o valor numérico da medida x.

37) Na figura abaixo, AC é bissetriz dos ângulos A e

C do quadrilátero ABCD. Calcule o valor de x.

38) Na figura abaixo, os triângulos ABC e BDE têm os ângulos  e Ê congruentes. Sabendo que AD = 8cm, BD = 4cm e BE = 6cm, calcule, em

centímetros, a medida de CE .

39) Na figura abaixo, AD = 8cm, BD = 3cm e AE =

5cm. Sabendo-se que ABE ≡ ACD a medida de

CE .

EXERCÍCIOS DE REFORÇO 14 questões 40) Os lados de um triângulo ABC medem AB = 8cm,

BC = 18cm e CA = 12cm. Calcule as medidas dos lados de um triângulo semelhante a esse, cujo perímetro é 76cm.

41) Dois triângulos isósceles são semelhantes e suas bases medem 14cm e 7cm. Se o perímetro do segundo triângulo mede 27cm, cada lado congruente do primeiro mede: (A) 10 cm (B) 5 cm (C) 15 cm (D) 20 cm

42) Os lados de um triângulo ABC medem AB =12cm, BC = 19cm e AD = 10cm. Sabendo que ΔABC ~ ΔMNP e que o perímetro do triângulo MNP é igual a 123 cm, determine a medida dos lados do triângulo MNP.

43) Os lados de um triângulo ABC medem 4cm, 6cm e 8cm. As medidas dos lados do triângulo semelhante ao triângulo ABC, cujo perímetro é 22,5cm, são: (A) 6cm, 10cm e 6,5cm (B) 5cm, 9cm e 8,5cm (C) 6cm, 9cm e 7,5cm (D) 5cm, 10cm e 7,5cm

44) Se DE é paralelo a BC e suas medidas são dadas em centímetros, determine x e y nos casos abaixo.

D

A

B

C

17 3x –5

19

C

A D B

E

A

D

E

B C

18cm

12cm

8cm

B

C A

11

45) Sabendo que AB // CD , calcule o valor de x na figura:

46) Na figura ao lado, r // s. t ⊥ s, AB = 21cm e CD = 12cm, calcule o valor numérico de x.

47) No triângulo ABC a seguir, as medidas são dadas em centímetros. Determine a medida do segmento

AE .

48) Seja um triângulo retângulo cujos catetos AB e AC medem, respectivamente, 12cm e 5cm. A

mediatriz da hipotenusa BC intercepta AC no

ponto P. Então, PC mede: (A) 31,2cm (B) 2,5cm (C) 16,9cm (D) 7cm

49) As bases de um trapézio isósceles ABCD medem

50cm e 30cm e a altura, 10cm. Prolongando-se os

lados não paralelos, AC e BD , eles se intersectam num ponto E. Determine a altura do triângulo ABE e a altura do triângulo CDE.

50) Na figura seguinte, sabendo-se que AB = 6cm,

BC = 10cm e AC = 8cm, m e h são, respectivamente, iguais a:

(E) 6,4cm e 3,6cm (A) 4,8cm e 3,6cm (B) 6,4cm e 4,8cm (C) 3,6cm e 4,8cm

C E A

B

D

x

5

10

5

A

C B D

m

h

12

51) Sabendo-se que AB = 3cm, BC = 5cm e AD = 2,4cm, o valor de b na figura abaixo é:

(D) 1,44 cm (A) 4,00 cm (B) 6,25 cm (C) 3,30 cm

52) O valor de n na figura anterior é:

(A) 1,80 cm (B) 1,92 cm (C) 3,20 cm (D) 3,00 cm

53) Assinale a alternativa que possui medidas

possíveis, para que FG // BC :

(A) AB = 14, AF = 6, AC = 7, AG = 3. (B) AB = 12, FB = 3, AC = 8, AG = 6. (C) AF = 6, FB = 5, AG = 9, GC = 8. (D) AC = 21, GC = 9, AB = 14, AF = 5.

EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES 14 questões

54) No trapézio ABCD, o ponto M pertence a AD e

AM = 2AD

3. O ponto N ∈ BC e NB = 2NC.

a) Mostre que MN é paralelo às bases do trapézio.

b) Sendo AD = 12 cm e BC = 15 cm, calcule as

medidas dos segmentos determinados por MN sobre os lados.

55) Observe a figura e assinale a alternativa correta:

(A) 𝑥 =𝑏+𝑐

𝑎𝑐

(B) 𝑥 =𝑎𝑏

𝑎+𝑏

(C) 𝑥 =1

𝑎+𝑐

(D) 𝑥 =𝑏+𝑐

𝑎𝑐

(E) 𝑥 =𝑎𝑐

𝑏+𝑐

A

B C

D

b

n

C

A B

G

B

D C

A B

M N

G

L

K

B M

c b

a

50 50

x

13

56) Na figura a seguir, os quadrados ABCD, EFGC e MNPG têm os lados medindo b, a e x, respectivamente. Determine x em função de a e b.

57) No trapézio ABCD representado abaixo de base menor AB = a, base maior CD = b, altura h, I é o ponto de interseção das diagonais. O segmento

MQ, paralelo as bases do trapézio intersecta os

segmentos AD , ID, IC e BC nos pontos M, N, P e Q, respectivamente.

58) Se MN = NP = PQ , então a distância x, entre as

paralelas AB e MQ vale:

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

59) Num triângulo ABC de lado MN = 12, a reta AD divide internamente o lado BC em dois segmentos

BD = 18 e DC = 6 . Se ABD = 𝑥 e ACD = 𝑦 , o

ângulo BDA é dado por: (A) y – x (B) x + y (C) 2x – y (D) 2y – x (E) 2x + y

60) Mostre que a medida das diagonais de um

pentágono regular de lado x é dada por 𝑑 =𝑥(1+√5)

2.

ba2

ah2

ba3

ah2

b2a

ah2

b2a

ah3

ba3

ah3

x

h M

A B

I

C

N P

D b

Q

a