LISTA 2 – RADICIAÇÃO

ESTUDO DOS RADICAIS

Denomina-se raiz de índice n de um número real a, o número real b tal que bn = a. Para que exista essa raiz, observam-se as seguintes condições: 1 – quando n é um número ímpar, a pode assumir qualquer valor real e b terá o mesmo sinal de a. 2 – quando n é um número par, a só pode assumir valores não negativos, isto é, a ≥ 0, e b será sempre não negativo.

Simbolicamente, representamos: abba nn

Lembremos ainda que os elementos da sentença acima assim se denominam:

n índice sinal do radical

a radicando b raiz

Observação: Quando n = 1, temos: 1 a a e quando n = 2, não escrevemos o índice no sinal do radical

LEMBRE-SE!

Quando n é par, a 0 e b 0 Exemplos:

5

3

6

4

) 32 2

) 64 4

) 81 9

) 64 2

) 81

a

b

c

d

e

PROPRIEDADES DOS RADICAIS ARITMÉTICOS

1) Multiplicação de radicais com índices iguais

nnn baba

2) Divisão de radicais com índices iguais

nnn baba :: ou nn

n

b

a

b

a

3) Potenciação de radicais

n pp

n aa

INSTITUTO DE APLICAÇÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA

Professores: Gabriela Brião / Marcello Amadeo

Aluno(a): _______________________________________________ Turma: _______

4) Radiciação de radicais: mnn m aa

5) aan n

6) pn pmn m aa

PROPRIEDADES

1) Um radical não se altera quando o índice e o expoente do radicando são divididos por um fator

comum. 2) Quando o radicando possui um fator cujo expoente é divisível pelo índice do radical, esse fator

pode ser colocado fora do radical, elevado a um expoente igual ao quociente do expoente desse fator pelo índice do radical.

3) Ao se introduzir um fator num radical, deve-se multiplicar o expoente desse fator pelo

índice do radical. 4) Dois ou mais radicais são semelhantes quando possuem o mesmo índice e o mesmo radicando.

EXPOENTE FRACIONÁRIO

Considere o radical n pa .

Dividindo o índice e o expoente por n (n 0), vem: n

p

n

pn

n

n

p

n p aaaa 1

Igualando a expressão inicial com a final, temos:

p

n pna a

CONCLUSÃO: Todo radical é igual a uma potência cujo expoente é uma fração.

O numerador é o expoente do radicando e o denominador é o índice.

1. Calcule:

a) 36 ______ .

b) 81 ______ .

c) 25 ______ .

d) 49 ______ .

e) 169 ______ .

f) 196 ______ .

g) 400 ______ .

h) 900 ______ .

i) 1600 ______ .

j) 1024 ______ .

k) 256 ______ .

l) 225 ______

2. Calcule:

a) 3 8 ______.

b) 4 16 ______.

c) 3 27 ______.

d) 3 125 ______.

e) 4 81 ______.

f) 3 1000 ______.

g) 3 8000 ______.

h) 4 256 ______.

3. Calcule:

a) 3 8 ______.

b) 4 16 ______.

c) 3 27 ______.

d) 3 125 ______.

e) 4 81 ______.

f) 3 216 ______.

g) 3 1000 ______.

EXERCÍCIOS:

1) Calcule o valor da expressão 50

12

1

2)Assinale a igualdade verdadeira:

a) 4

10

2

52

b)

16

9

4

32

c)

8

1

2

13

d)

4

9

3

22

3)

3

3

1

é equivalente a:

a) 9

1 b)

27

1 c)

27

1

d) -27

4) O decimal 0,09 é igual a:

a) 9-2 b)

2

10

3

c) 203,0 d)

2

10

3

5)A potência

32

3

1

é igual a:

a) 18

1 b)

27

1 c)

81

1 d)

729

1

6) Calcule o valor da expressão 2

3 1 0,45

5 2

7)Assinale a alternativa correta:

a) 3

21

3

2 5 b) 416 c)

4

3

4

31

d) 04

7

5

1

3

20

8)Considere as afirmações:

I) 14

30

II) 5

15 1

III) 10-1 = 0,1

Quantas são verdadeiras?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

9)Se a =

2

2

1

e b =

3

2

1

, então a – b é igual a:

a) 8

3 b)

8

1 c)

8

3 d)

8

1

10) Calcule o valor numérico da expressão x3 – y3, para x = 1 e y = 3

2

11) Se 1

x 4x

, calcule o valor de 2

2

1x

x e 3

3

1x

x

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE RADICAIS SEMELHANTES

Quando todos os radicais são semelhantes, a soma é um só radical semelhante, que se obtém

calculando a soma algébrica dos coeficientes (fatores externos).

Quando nem todos os radicais são semelhantes, calcula-se a soma parcial em cada grupo de radicais semelhantes, obtendo-se a expressão final. (Não se pode adicionar as somas parciais.)

Observação Dadas duas expressões com radicais, cada uma chama-se fator racionalizante da outra, quando o produto delas for uma expressão sem radicais.

Exemplos: 7 + 2 e 7 – 2 pois

( 7 + 2 ) . ( 7 – 2 ) = 7 – 2 = 5

4. Simplificar os radicais:

a) 20 =

b) 50 =

c) 8 =

d) 27 =

e) 24 =

f) 28 =

g) 32 =

h) 40 =

i) 1000 =

j) 3 16 =

k) 3 250 =

l) 3 54 =

m) 3 32 =

n) 4 32 =

o) 4 80 =

p) 5 160 =

5. Introduza os coeficientes nos radicais:

a) 2 5 =

b) 5 2 =

c) 2 10 =

d) 10 10 =

e) 16 2 =

f) 32 2 =

g) 35 2 =

h) 33 2 =

i) 42 2 =

6. Efetue os produtos de radicais abaixo, simplificando sempre que possível.

a) 3 27

b) 2 32

c) 5 125

d) 2 18

e) 5 20

f) 3 75

g) 7 28

h) 6 6

i) 8 8

j) 10 10

k) 18 18

l) 123 123

m) 1001 1001

7. Efetue os produtos, usando a propriedade distributiva, simplificando os resultados obtidos.

a) 10 3 10 3

b) 511511

c) 15 2 15 2

d) 12 2 12 2

e) 10 5 10 5

f) 1001 101 1001 101

8. Simplificando 4 32 obtemos:

a) 2 3 2 b) 2 4 2 c) 2 d) 4 2 e) 3 2

9. Simplificando 3 54 obtemos:

a) 2 3 3 b) 3 3 2 c) 2 3 6 d) 3 3 6 e) 3 2

10. Efetuando o produto 5205 temos um número que é:

a) maior que 20 b) múltiplo de 4

c) ímpar d) o dobro de 10

e) a raiz quadrada de 25

11. O radical 12 16 20 25 é igual a:

a) 4 b) 5 c) 9 d) 12 e) 20

12. O produto 511511 vale:

a) 6 b) 16 c) 11 d) 5 e) 55

13. A soma 7518 é igual a:

a) 8 3 b) 93 c) 3 3 d) 5 3 e) 57

14. A soma 2 + 8 + 18 + 32 + 50 é igual a:

a) 110 b) 15 2 c) 14 2 d) 13 2 e) 12 2

15. Considere o número x = 3 52 . Introduzindo o coeficiente no radical do número x, encontramos:

a) 40 b) 40 c) 3 40 d) 20 e) 20

16. A raiz quadrada do resultado da soma (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27) é: a) 15 b) 14 c) 13 d) 12 e) 11 17. A raiz quadrada de 9% é igual a a) 3% b) 3 c) 30 d) 30% e) 81

18. Calculando o radical 140 10 31 25 , obtemos:

a) 14 b) 12 c) 5 d) 6 e) 4

19. Calculando o radical 144139911 , obtemos:

a) 1 b) 12 c) 10 d) 11 e) 4

20. Calculando o valor de 144 144 encontramos um número que é:

a) menor que 5 b) ímpar

c) o dobro de 12 d) terminado em zero

e) a raiz quadrada de 144

21. Simplificando 2048 encontramos:

a) 2 2 b) 4 2 c) 8 2 d) 16 2 e) 32 2

22. O quadrado de x é igual a 64. Então, a raiz cúbica de x é igual a: a) 8 b) 2 2 c) 4

d) 2 e) 3 2

23. A raiz cúbica de 1 728 é igual a: a) 14 b) 144 c) 12 d) 8 e) 16 24. A raiz cúbica de 12 800 na sua forma simplificada, é igual a:

a) 5 3 8 b) 8 3 25 c) 40 10 d) 8 3 5 e) 80 10

25. Simplificando 4 80 encontramos:

a) 5 2 b) 20 c) 2 5 d) 5 4 2 e) 2 4 5

RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES

Racionalizar o denominador de uma fração consiste em eliminar, através de propriedades algébricas, o radical ou os radicais do denominador. Casos principais:

a) O denominador é uma raiz quadrada:

2

..

N N a N a N a

aa a a a

.

b) O denominador é uma raiz com índice n > 2:

..

n n nn x n x n x

n n n nx x n x n

N N a N a N a

aa a a a

.

c) O denominador apresenta uma soma (ou diferença) envolvendo raízes quadradas:

.

a b N a bN N

a ba b a b a b

EXERCÍCIOS:

26. Determine o fator racionalizante dos radicais abaixo:

a) 5 _______.

b) 12 _______.

c) 7 _______.

d) 15 _______.

e) 10 _______.

f) 7 5 _______.

g) 2 51 _______.

h) 4 10 _______.

27. Calcule o fator racionalizante dos seguintes radicais abaixo:

a) 3 5 _______.

b) 3 4 _______.

c) 4 5 _______.

d) 4 2 _______.

e) 23 5 _______.

f) 25 3 _______.

g) 46 15 _______.

h) 38 15 _______.

i) 5 9 _______.

j) 27 7 _______.

28. Determine o fator racionalizante dos radicais abaixo:

a) 5 2 __________.

b) 3 2 __________.

c) 5 2 __________.

d) 3 6 __________.

e) 15 13 __________.

f) 5 2 __________.

g) 5 2 __________.

h) 3 2 __________.

i) 7 7 __________.

j) 15 2 2 __________.

k) 8 2 8 __________.

l) 17 17 17 __________.

29. Racionalize os denominadores abaixo, simplificando sempre que possível o resultado obtido:

a) _______________________________________________________

5.

2

b) _______________________________________________________

2.

5

c) _______________________________________________________

2.

7

d) _______________________________________________________

7.

2

e) _______________________________________________________

3.

11

f) _______________________________________________________

12.

2

g) _______________________________________________________

4.

2

h) _______________________________________________________

21.

7

i) _______________________________________________________

9.

6

j) _______________________________________________________

5.

15

k) _______________________________________________________

6.

21

l) _______________________________________________________

50.

5

30. O que você observa na racionalização dos seguintes denominadores?

a) _______________________________________________________

2.

2

b) _______________________________________________________

3.

3

c) _______________________________________________________

5.

5

d) _______________________________________________________

6.

6

31. Na racionalização de 13

13 encontra-se:

a) 1

b) 1

13

c) 13

13

d) 13

e) 13

32. Racionalize os denominadores abaixo, simplificando o resultado sempre que possível:

a) _______________________________________________________

2.

3

b) _______________________________________________________

5.

2

c) _______________________________________________________

2.

7

d) _______________________________________________________

7.

11

e) _______________________________________________________

15.

7

f) _______________________________________________________

15.

2

33. Racionalize os denominadores abaixo

a) 3

_______________________________________________________

3.

4

b) 4

_______________________________________________________

3.

2

c) 6 2

_______________________________________________________

1.

2

d) 3

_______________________________________________________

5.

6

e) 4

_______________________________________________________

2.

8

34. Racionalize os denominadores das seguintes frações, simplificando quando possível:

a) _______________________________________________________

1.

3 2

b) _______________________________________________________

1.

5 3

c) _______________________________________________________

1.

7 2

d) _______________________________________________________

1.

5 2

e) _______________________________________________________

12.

7 3

f) _______________________________________________________

4.

6 2

g) _______________________________________________________

2.

13 10

h) _______________________________________________________

24.

15 3

i) _______________________________________________________

36.

10 2

j) _______________________________________________________

5.

10 5

35. A fórmula de Herão fornece a área de um triângulo qualquer quando são conhecidos os seus lados. Segundo a

fórmula, a área A de um triângulo de lados a, b e c é dada por A p.(p a).(p b).(p c) , onde p é o

semi-perímetro do triângulo, ou seja, a b c

p2

.

Determine o semi-perímetro p e a área A de um triângulo de lados a = 5 cm , b = 4 cm e c = 3 cm.

36. Os números a ; b ; c ; d são tais que a raiz cúbica de ( a . b . c ) é 4 e a raiz quarta de ( a . b . c . d ) é 2 10 . O

valor de “d” é:

a) 25 x b) 100 c) 2 500 d) 320 e) 5

37. Racionalizando-se o denominador da fração 3 6

5 3 2 12 32 50

obtemos:

a) 1 b) 2 c) 3 x d) 2 e) 6

38. O número 3 + 2 2 é igual a raiz quadrada de:

a) 6+ 5 2 b) 9 + 4 2 c) 12 + 8V d) 15 + 10 2 e) 17 + 12 2

x

39. Mostre que o número 1 1 1

n2 1 3 2 2 3

é inteiro.

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

1) Efetue cada uma das operações seguintes:

a) 96333 343492448189563

b) 4 2 9651243279 xxxx

c) 22 a27xa9275x255

d) 1248108

e) 125357205

f) 6342831752

2) Desenvolva as seguintes expressões, aplicando produtos notáveis:

a) 223

b) 257

c) 2626

d) 237

e) baba

g) 132132

f) 2nm

3) Sendo x um número real maior que zero, calcule a expressão 5 4x

x.

4)O produto de 6352 é:

a. ( ) 187 b. ( ) 53 c. ( ) 106 d. ( ) 155

5) Simplifique as expressões:

a) 321

1

b) 51

32

51

32

c) 222

2

2

2

a

b

b

a

para a > 0 e b > 0.

6)A expressão 10101010 é igual a:

a) 0 b) 90 c) 10 d) 103

7)Se 1551 A , calcule o valor de A

8) Racionalize:

a) 11

12,

11

12

aa

a

aa

a

b)

acca

ca

3

2,

3535

32

9) Efetue as operações a seguir, simplificando os resultados:

a) xa

1a

a

x1

a

x1

xa

axxa2

b)

1

21

2 2

3

a

a

aa

a

a

xax

c) abaaba2

d)

5

1024

4

1

aa

10) 17541008285 é igual a:

a) 12119 b) 718 c) 8059 d) 8059

11) b

c

c

ba 32 2

4 é igual a:

a) 4

22

8c

ba b)

2

22bca c)

2

2ac d)

2

ac

12) 3 625125 vale:

a) 2

5

1 b) 3

5

1 c) 3

2

5

1 d) 6 5

13) Subtraindo-se 37

12de

738

5

, obtém-se:

a) 7481 b) 72122 c) 72122 d) 81741

14) A expressão 5005000 é igual a:

a) 260 b) 5510 c) 510250 d) 55250

15) Considere as afirmações:

I) 523

II) baba 22 III) aaa 2

Quantas são verdadeiras? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

16) Se 6

1

3a , então 3a vale:

a) 3 3 b) 6 3 c) 4 3 d) 3

17) Simplificando

6

1

3

2

1

2

, obtemos:

a) 4 2 b) 3 2 c) 2 d) 4 22 18)Assinale a alternativa correta:

a. ( ) yxyx 22 b. ( ) 63 55

c. ( ) 532 d. ( ) 532

19)Assinale a alternativa falsa:

a. ( ) 22 4

1

b. ( ) 22 2

1

c. ( ) 33

1

22 d. ( ) 44

1

22

20) Sendo x e y positivos, a expressão 22 2 yxyx equivale a:

a. ( ) yx b. ( ) yx c. ( ) yx d. ( ) yx

21) Se a = 2

1 e b = a, então

1b22

a vale:

a) 4

11 b)

4

13 c)

4

13 d)

4

15 e)

4

15

22) Calcule o resultado das expressão 0,444...

0,4555... - 8 2 3

2

2