Instituto de Fısica de Sao Carlos

Universidade de Sao PauloEletromagnetismo (7600021)

25 de junho de 2018

Prof. D. Boito

1◦ sem. 2018: Bacharelados em FısicaMonitor: Leonardo Carvalho leo.fc.tavola@gmail.com

Lista 8 — Campos magneticos na materia

Instrucoes: Um exercıcio desta lista devera ser entregue na monitoria do dia 28/06.Cada estudante deve entregar o exercıcio em folha separada com nome e numero USP e respostafinal escrita a tinta.

Exercıcio 1Um cilindro muito longo de raioR tem magnetizacao ~M = kr2φ, onde k e uma constante, r adistancia ao centro do cilindro e φ e o versor angular das coordenadas cilındricas. Encontre ocampo magnetico devido a essa magnetizacao para pontos dentro e fora do cilindro. Discutaquantitativamente a relacao que existe entre as correntes ligadas superficial e volumetrica.

Exercıcio 2Um cilindro infinito de raio R tem uma magnetizacao fixa paralela ao eixo dada por ~M =krk, novamente com k constante e as convencoes usuais de coordenadas cilındricas.

(a) Encontre as correntes ligadas e use-as para determinar o campo magnetico que elasproduzem.

(b) Agora resolva o problema novamente usando a lei de Ampere para ~H para encontrar~B. (O paralelo com problemas deste tipo que fizemos na parte de eletrostatica e claro.)

Exercıcio 3Um cabo coaxial consiste de dois tubos cilındricos muito longos, separados por materialisolante de suscetibilidade χm. Uma corrente I passa pelo condutor interno e retorna aolongo do externo; em cada caso a corrente se distribui uniformemente sobre a superfıcie(Figura 3). Encontre o campo magnetico na regiao entre os tubos. Como verificacao,calcule a magnetizacao e as correntes ligadas, confirmando que (juntamente, e claro, comas correntes livres) elas geram o campo correto.

Figura 1: Figura referente ao exercıcio 3.

Exercıcio 4Observe o seguinte paralelo:{

~∇ ·D = 0, ~∇×E = 0, ε0E = D−P, (nao ha carga livre)~∇ ·B = 0, ~∇×H = 0, µ0H = B− µ0M, (nao ha corrente livre)

Pagina 1

Assim, a transcricao D→ B, E→ H, P→ µ0M, ε0 → µ0 torna um problema eletrostaticoem um problema magnetostatico analogo. Use esta observacao juntamente com sue conhe-cimento de resultados eletrostaticos para obter

(a) o campo magnetico dentro de uma esfera uniformemente magnetizada;

(b) o campo magnetico dentro de uma esfera de material magnetico linear em um campomagnetico que inicialmente e uniforme.

Exercıcio 5Numa situacao em que nao ha correntes ligadas o rotacional de ~H e zero. Essa e umasituacao analoga aquela da eletrostatica, onde o rotacional de ~E e zero. Por isso, nestecaso, e possıvel definir um potencial escalar para ~H tal que ~H = −~∇W . Assim, o potencialW obedece a uma equacao de Poisson (verifique)

∇2W = ~∇ · ~M.

Neste contexto, considere o problema da esfera com magnetizacao uniforme. Como o diver-gente de ~M e zero em todo espaco, W satisfaz a Eq. de Laplace, cuja forma geral da solucaoconhecemos em coordenadas esfericas. Para resolver esse problema por este metodo, bastaportanto determinar as condicoes de contorno para W usando aquelas para ~H. Faca issoe determine novamente o campo da esfera com magnetizacao uniforme atraves da Eq. deLaplace para W .

Exercıcio 6Uma esfera de material magnetico linear de constante χm e colocada em um campo magnetico~B0 que inicialmente e uniforme. A magnetizacao final e proporcional ao campo no equilıbrio.Uma forma de entender isso e considerar que o campo ~B0 gera uma magnetizacao ~M0, quegera um campo ~B1, que gera uma magnetizacao ~M1 e assim ate o infinito. Escreva essa serieinfinita para ~B e somando-a encontre o campo magnetico dentro da esfera no equilıbrio.

Exercıcio 7Uma barra se estende infinitamente nas direcoes x e y e possui espessura ` na direcao z.Todos os pontos da barra tem a mesma magnetizacao ~M , constante, que forma umangulo θ com a direcao do eixo z, vide a figura que mostra um corte transversal de umaporcao da barra

(a) Calcule e explique as correntes ligadas que existem neste material.

(b) Encontre o campo magnetico gerado em todo espaco.

(c) Verifique as condicoes de contorno para ~B.

(d) Encontre uma expressao para o potencial vetor ~A associado a este campo no calibrede Coulomb (~∇ · ~A = 0). Verifique que ele satisfaz as propriedades necessarias.

Prova 3 - FCM0114 (Eletromagnetismo I)

26 de junho de 2015

M✓

x

z

`

Figura 1:

1. Um barra que se estende infinitamente nas dire-ções x e y e possui espessura ` na direção z apresentauma magnetização uniforme M. O vetor M forma umângulo ✓ com o eixo z como indicado na Fig. 1.

(a) (1,5 ponto) Explique como estão distribuídas ascorrentes ligadas neste material.

(b) (1,5 ponto) Calcule o campo magnético B(r) parapontos dentro e fora da barra.

m

z

a

v

Figura 2:

2. Um pequeno ímã, representado por um dipolomagnético m = mz, está situado na origem. Umaespira circular de raio a e com eixo de simetria alinhadocom o eixo z se move com velocidade constante v = vz(veja a Fig. 2), cruzando o plano xy no instante t = 0.

(a) (1,5 ponto) Calcule a força eletromotriz induzidasobre a espira em função do tempo.

(b) (1,0 ponto) Supondo que a espira tem resistênciaR, faça um gráfico esquemático que representa a cor-rente elétrica I(t) na espira em função do tempo desdet < 0 com |vt| � a até t > 0 com vt � a. Interprete osinal de I(t) em termos da lei de Lenz.

(c) (1,0 ponto) A força que o dipolo exerce sobre aespira em cada instante é de atração ou repulsão? Otrabalho total para carregar a espira desde z ! �1até z ! +1 é positivo, negativo ou nulo?

�

B(t)

Figura 3:

3. Um campo magnético B(t) = B0 cos(!t)z quevaria lentamente penetra um cilindro muito longo deraio a, como mostra a Fig. 3. O cilindro é feito de ummaterial ôhmico com condutividade �.

(a) (1,5 ponto) Calcule o campo elétrico em pon-tos dentro do cilindro desprezando os efeitos de auto-indutância (ou seja, desprezando a contribuição aofluxo magnético devida à corrente induzida).

(b) (1,5 ponto) Calcule o campo magnético produ-zido pela corrente que flui no condutor, em função daposição dentro do cilindro.

(c) (0,5 ponto) Qual é a condição sobre os parâme-tros do problema para que a aproximação assumida noitem (a) seja válida?

Dados:

• B = µ0(H + M).

• B(r) = µ0I4⇡

´

dl0 ⇥ r�r0

|r�r0|3 .

• r⇥ E = �@B@t .

• r⇥ B = µ0J + µ0✏0@E@t .

• Bdip(r) = µ0

4⇡r3 [3(m · r)r � m].

• F = r(m · B).

•´ a

0dx x

(x2+b2)5/2 = 13|b|3 � 1

3(a2+b2)3/2 ;´ a

0dx x3

(x2+b2)5/2 = 23|b| � 3a2+2b2

3(a2+b2)3/2 .

z

x

M

M

M

Figura 2: Esquema do material magnetizado do Ex. 7.

Pagina 2

Exercıcio 8Considere um meio magnetico infinito, com uma cavidade esferica, conforme a figura abaixo.Esse meio e linear e homogeneo e possui constantes µ e χm. Nesse meio e aplicado um campo~B0 paralelo ao eixo z. Encontre o campo ~H em todo espaco.

a

Figura 3: Figura referente ao exercıcio 6.

Exercıcio 9Suponha que o campo dentro de um grande pedaco de um material magnetico seja ~B0, demaneira que ~H0 = (1/µ0) ~B0 − ~M . Uma pequena esfera e retirada desse material. Calculeo campo no centro da cavidade, em termos de ~B0 e ~M . Encontre tambem ~H no centro dacavidade, em termos de ~H0 e ~M .(Observe que diferentemente do exercıcio anterior, o campo ~B0 nao e uniforme.)

Pagina 3