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Conceitos de Mecânica Quântica – Prof. Antônio Carlos

1

Instituto de Física - UFRJ

Curso de Física Médica

Conceitos de Mecânica Quântica

Professor Antônio Carlos F. dos Santos ([email protected])

Bibliografia:

Griffits D. J. ,Introduction to Quantum Mechanics, Prentice Hall (1995).

Programa:

Parte 1 (tópicos para a P1- aula 1 até aula 10) [1] -A função de onda (capítulo 1); [2]- A Equação de Schrodinger (capitulo 2); Parte 2 (tópicos para a P2- aula 11 até aula 20) [3]- Formalismo (capítulo 3); Parte 3 (tópicos para a P3- aula 21 até aula 28 ) [4]-Mecânica Quântica em três dimensões (capítulo 4); [5]- Partículas idênticas (capítulo 5);

Avaliação: 3 provas (Pi, i= 1,2,3) + listas em sala de aula (Li), onde Li é a média entre as 75% maiores notas daquele período correspondente, uma prova de segunda chamada (S) e um exame final (E). A cada prova será atribuída uma nota (Ni, i=1,2,3) onde Ni = 0,7*Pi + 0,3*Li Cálculo da Média (M) e grau final (G) Presente às provas parciais: M = (N1 + N2 + N3)/3 Se M < 3,0, então reprovado com grau igual à M (G=M) Se M > ou igual a 7,0, então aprovado com grau igual à M (G=M) Se 7,0 > M > ou igual a 3,0, então G = (M + E)/2 ; Ausente em uma das provas Fará o exame final obrigatóriamente. M será calculado como anteriormente, com E substituindo a nota da prova não realizada. Se M < 3,0, então reprovado com grau igual à M (G=M) Se M > ou igual a 7,0, então aprovado com grau igual à M (G=M) Se 7,0 > M > ou igual a 3,0, então realizará a segunda chamada e G = (M + S)/2 ;

Dicas para um bom aproveitamento desta disciplina: Assiduidade, pontualidade e disciplina para trabalhar nos exercícios propostos!

2

Avaliação de aprendizagem - Aula 1 – Equação de Schrödinger , Interpretação Estatística,

probabilidade, normalização

Nome:______________________________________________________________________

1- Considere a seguinte distribuição proveniente de uma série de medidas da posição de

uma partícula:

Posição x (nm) Número de

medidas

1 1

2 0

3 6

4 5

5 7

6 4

7 1

8 0

9 1

a) Calcule <x>

b) Calcule <x2>

c) Calcule <x>2

d) Calcule a variância σ2 e o desvio

padrão:

2- Verdadeiro ou falso?

a- A densidade de probabilidade não pode nunca ser negativa

b- A função de estado ψ não pode nunca ser negativa

c- Se z = z* (complexo conjugado), então z deve ser um número real.

d- A função de onda ψ deve ser uma função real

e- ∫+∞

∞−

=Ψ 1dx

3

3- Considere uma partícula cuja função de onda normalizada é :

<

>=

−

00

02)(

x

xxex

xαααψ

a- Esboce ψ(x). Para qual valor de x, P(x) = |ψ(x)|2 é máximo ?

b- Calcule <x>

c- Qual a probabilidade de que a partícula seja encontrada entre x = 0 e x =1/α ?

4

Avaliação de aprendizagem - Aula 2 – Momentum, principio da incerteza

Nome:_______________________________________________________________________

1– calcule <x>, <x2>, e ∆x, assim como , <p2>, e ∆p para o sistema descrito pela função de

onda normalizada 2

)( xAex −=ψ . Calcule também ∆x∆p.

5

Avaliação de aprendizagem - Aula 3 – estados estacionários

Nome:______________________________________________________________________

1- Estado estacionário significa:

a- A função de onda não depende do tempo;

b- A densidade de probabilidade não depende do tempo;

c- A partícula está em repouso;

2- O quê podemos dizer sobre o valor esperado da posição de uma partícula em um

estado estacionário?

a- <x> = 0 b- <x> não depende do tempo; c- ∆x = 0;

3- O quê podemos dizer a respeito de para um estado estacionário?

b- = 0; b- não depende do tempo; c-∆p = 0;

4- O quê podemos dizer a respeito da energia de um estado estacionário?

a- ∆E = 0; b- <E> = 0; c- Não é bem definida;

5- Se duas funções de onda diferem por uma fase, ou seja, ψ1 = eiϕ ψ2, então:

a- Ambas representam o mesmo estado;

b- |ψ1|2 =ei2ϕ|ψ2|

2;

c- |ψ1|2 =-|ψ2|

2;

6- Seja {ψi }, com i = 1, 2,..N o conjunto de soluções linearmente independentes da

equação de Schroendinger para um sistema ( cada ψi representa um estado

estacionáio) e {Ei} as respectivas energias de cada um destes estados estacionários.

a- Escreva a solução geral da equação de Schroendiger para este sistema;

b- Em um determinado instante, mede-se a energia do sistema e encontramos E3.

Qual será a função de onda para o sistema logo após a medida?


6

Avaliação de aprendizagem - Aula 4 – o poço de potencial infinito

Nome:______________________________________________________________________

1- Verdadeiro (V) ou falso (F) ?

a- O estado fundamental de uma partícula em uma caixa possui número quântico n =

0.

b- As funções de onda de estado estacionário de uma partícula confinada em uma

caixa são descontínuas em certos pontos

c- A primeira derivada dos estados estacionários de uma partícula em uma caixa é

descontinua em certos pontos.

d- A densidade de probabilidade para uma partícula em uma caixa é máxima no

centro da caixa.

e- Para o estado estacionário n=2 de uma partícula confinada em uma caixa, a

probabilidade de encontrar a partícula no quarto à esquerda é igual a

probabilidade de encontrar a partícula no quarto à direita.

f- Para n=1, o estado estacionário de uma partícula em um caixa a probabilidade de

encontrar a partícula no terço à esquerda é igual a probabilidade de encontrá-la

no terço do meio da caixa.

2- (GRE) Os autoestados do Hamiltoniano de uma partícula de massa m em uma caixa de

comprimento L são funções de onda φn (x) = [2/L]1/2sen(nπx/L) e energias En =

(nπħ)2/2mL2, onde n = 1,2,3,...No instante t =0, a função da partícula era descrita por

ψ=1/(14)1/2[φ1 +2φ2+3φ3]. Quais das seguintes opções é um resultado possível para

uma medida da energia ?

a- 2E1 b- 5E1 c-7E1 d-9E1 e-14E1


7

Avaliação de aprendizagem - Aula 5 – O oscilador Harmônico I

Nome:______________________________________________________________________

1 –(ENADE 2008)- Do ponto de vista da Física Moderna, a respeito do espectro de energias do

oscilador harmônico, são feitas as seguintes afirmações:

I- O espectro de energia é contínuo;

II- O espectro de energia é discreto:

III- Em acordo com o principio da Correspondência de Bohr, para grandes números

quânticos a separação de energias entre dois níveis consecutivos torna-se

desprezível quando comparada com estas energias.

Está(ão) correta(s) APENAS a(s) afirmação(coes)

a- I b- II c-III d-I e II e-II e III

2 - Escreva os operadores x e p em termos dos operadores de criação a+ e destruição a-

3- As autofunções do oscilador harmônico podem ser escritas como

h2

2

)(

xm

n

nn eaA

ω

ψ−

+= . Obtenha ψo e ψ1

4- O estado fundamental do oscilador harmônico é dado por ϕ (x)= Ao exp(-mωx2/2ħ).

Encontre Ao. Dica ∫+∞

∞−

=− πdxx )exp( 2


8

Avaliação de aprendizagem - Aula 6 - O oscilador Harmônico II

Nome:______________________________________________________________________

1 – A equação diferencial de Hermite surge em vários problemas de física: y” -2xy’ +2ny = 0

com n= 0,1,2,3,.. e admite soluções na forma de polinômios, chamados de polinômios de

Hermite, dados pela fórmula e Rodrigues ).()1()(22 x

n

nxn

n edx

dexH −−= Obtenha os

primeiros polinômios: Ho (x) = 1, H1 (x) = 2x, H2 (x) = 4x2 -2 , H3 (x) = 8x3 -12x.

2 - A função geratriz dos polinômios de Hermite é ∑∞

=

− =0

2

!

)(2

n

n

nttx

n

txHe . Expandindo o lado

esquerdo da função geratriz e comparando a duas séries, obtenha Hn (x) (n=0,1,2, e 3).


9

3 - Derivando a função geratriz, prove que Hn’(x) = 2nHn-1 (x)

4 – Os polinômios de Hermite são mutualmente ortogonais em relaçõ a função peso exp(-x2),

ou seja,

=↔

≠↔=∫

+∞

∞−

−

)(!2

)(0)()(

2

nmn

nmdxxHxHe

nnm

x

π.Utilize esta relação para mostrar

que 0)()( 32

2

=∫+∞

∞−

− dxxHxHe x e π8|)(| 22

=∫+∞

∞−

− dxxHe m

x .


10

5 – Calcule dxxHex n

x )(22∫

+∞

∞−

−

6 - Se ∑∞

=

=0

)()(k

Kk xHAxf , mostre que ∫+∞

∞−

−= dxxHxfek

A k

x

kk )()(!2

1 2

π(dica:

multiplique ambos os lados por exp(-x2) Hn(x) e integre.


11

7 – Desenvolva x3 em série de polinômios de Hermite.

12

Avaliação de aprendizagem - Aula 7 – A partícula livre

Nome:______________________________________________________________________

1- Para ondas em águas rasas, a relação entre a freqüência e o comprimento de onda é

dado por

2/1

3

2

=

ρλπ

νT

, onde T é a tensão superficial e ρ a densidade. Qual é a

velocidade de grupo das ondas, e a sua relação com a velocidade de fase, definida

como vfase=λν ? Para ondas de gravidade (águas profundas), a relação é dada por 2/1

2

=πλ

νg

. Qual é a velocidade de grupo ? e a de fase ?

2- Considere um pacote de onda definido por ∫+∞

∞−

= dkekgxf ikx)()( , com g(k) dado por

<

<<−

−<

=

kK

KkKN

Kk

kg

2/0

2/2/

2/0

)( .

a- Encontre a forma de f(x)


13

b- Encontre o valor de N para o qual f(x) é normalizada

c- Como isto está relacionada com a escolha de N para que ∫+∞

∞−

=π21

)(2dkkg

d- Mostre que uma definição razoável para ∆x para sua resposta do item a) resulta

∆x∆k>1

3-GRE


14

Avaliação de aprendizagem - Aula 8 – o potencial delta

Nome:______________________________________________________________________

1- Calcule as seguintes integrais:

a- ( )∫+

−

=+−+−1

3

23 )2(123 dxxxxx δ

b- [ ]∫+∞

=−+0

)(2)3cos( dxxx πδ

c- [ ]

∫+

−

+ =−1

1

3)2( dxxe

x δ

2- Considere o potencial delta duplo: V(x)= α[δ(x+a)+δ(x-a)], onde a e α são

constantes positivas.

a- Esboce este potencial

b- Quantos estados ligados possui? Encontre as energias permitidas para α=

ħ2/ma e α= ħ2/4ma, e esboce as autofunções.

15

Avaliação de aprendizagem - Aula 9 – o poço de potencial finito

Nome:______________________________________________________________________

1- Normalize a função de onda: ψ(x) = Fe-kx (para x>a); ψ(x) = Dcos(lx) (para 0< x<a); ψ(-

x)= ψ(x) (para x<0) para determinar as constantes D e F.

2- A energia da maioria das estrelas resulta da fusão do núcleo de hidrogênio com o

núcleo do hélio. O interior do sol (uma estrela típica) está a 15×106 K. A esta

temperatura, praticamente nenhum núcleo tem energia suficiente para atravessar a

repulsão eletrostática entre os núcleos e se aproximar o suficiente para que a fusão

ocorra. No entanto, quando Eddington propôs em 1920 que a fusão nuclear é a fonte

de energia estelar, foi rejeitada. Explique por quê a fusão ocorre em estrelas, a

despeito da dificuldade aparência citada acima.


16

Avaliação de aprendizagem - Aula 10 – matriz de espalhamento

Nome:______________________________________________________________________

1- Construa a matriz S para o potencial delta V(x)=αδ(x).

17

Avaliação de aprendizagem - Aula 11 – álgebra linear I

Nome:______________________________________________________________________

1- Considere os vetores |α > = ( 2, i, -1, 0) e |β > = ( i, - i , 1, 2).

a- Calcule || |α > || e || |β > ||

b- Normalize |α > e |β >

c- Calcule <α |β > e <β |α >

d- Calcule o ângulo entre |α > e |β >


18

Avaliação de aprendizagem - Aula 12 – álgebra linear II

Nome:______________________________________________________________________

1- Seja

i

iA

−

=

00

00

101

ˆ e

1

0

1

−

=α , calcule A|α>

2- Calcule At (transposta) , A-1 (inversa), A* (complexo conjugado), A† (conjugado

hermitiano). A é hermitiana?

3- Seja

i

B

−

−

=

01

000

101

ˆ , calcule [A,B]

4- Considere:


19

Avaliação de aprendizagem - Aula 13 – álgebra linear III

Nome:______________________________________________________________________

1- Calcule os autovalores e auto-vetores normalizados do operador

−=

010

100

001

A .A

é Hermitiano? Calcule o Tr(A) e det(A).

2- Os autovalores de um operador Hermitiano são sempre

a- Reais;

b- Imaginários;

c- Degenerados;

d- Lineares;

e- Positivos;

3- Realize as transformações Hermitianas de:

a- ⟨ψA φ⟩

b- ⟨ψ(2i φ⟩)

c- 01

2 iiA

−=

d-

1

2i

i

−=ψ


20

Avaliação de aprendizagem - Aula 14 – espaços de funções

Nome:______________________________________________________________________

1- Quais das seguintes funções são autofunções dos operadores a) d/dx e b) d2/dx2 ?

i- exp(ax2)

ii- x

iii- x2

iv- ax+b

v- sen(x)

2- Ortonormalize as potências de x P(x)= ao + a1x + a2x2 +... no intervalo -1≤x≤1 para obter

os quatro primeiros polinômios de Legendre

Dica: Processo de ortogonalização de i) normalize o primeiro vetor (função) (

|1’⟩=|1⟩/||1||); ii)Encontre a projeção do segundo ao longo do primeiro e

subtraia(|2⟩ - ⟨1’|2⟩|1’⟩); iii) normalize o segundo; iv) subtraia do terceiro as suas

componentes na direção do primeiro e do segundo (|3⟩ - ⟨1’|3⟩|1’⟩-⟨2’|3⟩|2’⟩ ;v)normalize o terceiro e assim por diante


21

Avaliação de aprendizagem - Aula 15 – Interpretação estatística generalizada

Nome:______________________________________________________________________

1- Um operador A possui autofunções f1, f2, ..fn, com os correspondentes autovalores a1,

a2, .., an. O estado do sistema é descrito pela função normalizada |ψ ⟩= (1/2)|f1 ⟩–

(3/8)1/2 |f2 ⟩+ (3i/8)1/2 |f3⟩

a- Quais os possíveis resultados para a medida de A e suas respectivas

probabilidades?

b- Qual o valor esperado de A?

c- Se ao medirmos A encontramos a2, qual é o estado do sistema logo após a

medida?

2- Um determinado observável é descrito como 22

21ˆ =A .

a- Quais os possíveis resultados para a medida de A?

b- O estado do sistema em t = 0 era |ψ⟩ = (25)1/2 [3 |1⟩+4|2⟩], onde |1⟩ e |2⟩ são os

autovetores de A correspondentes aos autovalores menor e maior,

respectivamente. Escreva o estado para t>0


22

c- Qual a probabilidade de medir cada um dos autovalores de A?

d- Escreva o operador que projeta na direção do autovetor correspondente ao menor

autovalor de A.

23

Avaliação de aprendizagem - Aula 16 – O principio da incerteza

Nome:______________________________________________________________________

1 – Mostre que [A,BC] = B[A,C]+[A,B]C

2 – Mostre que [AB,C] = A[B,C]+[A,C]B

3 – O Hamiltoniano de um sistema é dado por 20

01=H

) .Nesta mesma base, um operador A

é expresso como : 11

11=A

). O sistema encontra-se no estado

it

it

e

et

22

1)( =ψ . Calcule

d<A>/dt.

4 – Um operador é dado por: t

B1

01=

). Calcule ∂ /dt para um sistema onde

it

it

e

et

22

1)( =ψ

3 – Mostre por indução que [xn, px ] =iħnxn-1 e que [x, pxn] = iħnpx

n-1


24

Avaliação de aprendizagem - Aula 17 – Equação de Schrodinger em coordenadas esféricas

Nome:______________________________________________________________________

1- Encontre Po(x), P1 (x) e P2 (x) usando a fórmula de Rodrigues:

l

l

l

ll xdx

d

lxP )1(

!2

1)( 2 −

=

2- Expresse cada um dos polinômios a seguir como combinações lineares de plinôminos

de Legendre (dica: comece com a maior potência de x):

a- 5-2x

b- 3x2 + x -1

c- x4

3- Calcule os seguintes valores para a função de Legendre associada:

a- P11 (cosθ)

b- P14 (cosθ)

4- Dado um vetor de módulo r e coordenadas x, y, z em coordenadas cartesianas. Mostre

que Y10 = (3/4π)1/2 (z/r), Y1

±1 = (3/8π)1/2 (x±iy)/r

5- Inverta as equações do exercícios anterior para obter x,y e z em termos de Y1m.

25

Avaliação de aprendizagem - Aula 18 – A equação radial

Nome:______________________________________________________________________

1- A partir da relação de recurrência (d/dx) jn = njn(x)/x – jn+1(x) obtenha j1(x) a partir

de jo(x) = (senx)/x

2- Utilize a relação de recurrência para a função de Bessel esférica jn-1(x) + jn+1(x) =

(2n+1)jn(x)/x para calcule j2(x), a partir de jo(x) = (senx)/x e j1(x) = (senx)/x2 –

(cosx)/x2

3- Esboce Veff = V (r) + (ħ2/2m)l(l+1)/r2 em função de r para l =0,1 onde V(r) é o poço

de potencial quadrado V ( r ) = - Vo para r < ao e V (r ) = 0 para r> ao, onde ao é o

raio de Bohr . Para facilitar as contas, utilize unidades atômicas: ħ =1, m = 1 (massa

do elétron) e ao = 1. Considere também Vo = 1

26

Avaliação de aprendizagem - Aula 19 – o átomo de hidrogênio

Nome:______________________________________________________________________

1- Considere o átomo de hidrogênio cuja função de onda em t = 0 é a superposição das

autofunções do Hamiltoniano: ψ (r,θ,ϕ, t =0) = (14)-1/2[2ψ100 (r) -3ψ200 (r ) + ψ322 (r)]

a- Escreva ψ (r,θ,ϕ,, t )

b- Qual a probabilidade de encontrar o sistema no estado fundamental?

2- Calcule <r> para no estado fundamental


27

Avaliação de aprendizagem - Aula 20 – o espectro do hidrogênio

Nome:______________________________________________________________________

1- Considere o modelo de Bohr para o átomo de hidrogenóide, sendo este constituído de um núcleo (q= +Ze) e um elétron (q’=-e). Suponha que o núcleo permanece em repouso enquanto o elétron (de massa m) orbita circularmente à sua volta.

a- Partindo da quantização do módulo do momentum angular, L= nħ, com n = 1,2,3,..., determine o módulo da velocidade do elétron nas possíveis órbitas, em função de seu raior r.

b- Considerando que a força Coulombiana mantém o elétron preso a uma órbita em torno do próton, determine os raios das possíveis órbitas.

c- Considerando o movimento do elétron como não relativístico, determine sua energia cinética numa órbita caracterizada pelo número quântico n.

d- Determine a energia potencial do elétron em uma órbita caracterizada pelo número quântico n, supondo que ela seja puramente eletrostática e tomando como zero o seu valor no infinito.

e- Determine o valor dos níveis de energia em função de n.


28

Avaliação de aprendizagem - Aula 21 – Momentum Angular

Nome:______________________________________________________________________

1- As relações [Li, Lj] = iħLk εijk implicam que:

a- É possível medir simultaneamente as três componentes do momentum angular;

b- É impossível medir simultaneamente as três componentes do momentum angular;

c- Que Lx , Ly e Lz são compatíveis;

d- Existem uma base de autovetores comuns a Lx, Ly e Lz;

2- Considere uma partícula em um potencial central V(r) . Classimente, o momentum

angular se conserva. Podemos afirmar então que:

a- [H,L2] =[H,Lx] = [H,Ly]= [H, Lz] =0

b- [H,Lx] ≠ 0

c- [H,L] ≠ 0

3- Definindo L± = Lx ± iLy e lembrando que Lx e Ly são observáveis, então:

a- L± são observáveis

b- L± são hermitianos

c- L± não são observáveis

4- Mostre que L+L- = Lx2 + Ly

2 + ħLz e que L-L+ = Lx2 + Ly

2 - ħLz


29

5- Mostre também que L+L- = L2 –Lz2 +ħLz e L-L+ = L2 – Lz

2 - ħLz

6- E ainda que L2 = ½ (L+L- +L-L+) + Lz2

30

Avaliação de aprendizagem - Aula 22 – Autofunções de L2 e Lz

Nome:______________________________________________________________________

1- Considere os seguintes operadores no espaço de Hilbert:

010

101

010

2

1=xL ;

00

0

00

2

1

i

ii

i

Ly −

−

= ;

100

000

001

−

=zL

a- Quais são os possíveis resultados se Lz é medido?

b- Suponha que seja medido Lz = 1. Neste estado, calcule <Lx>, <Lx2> e ∆Lx ?

c- Encontre os autovetores normalizados de Lx e autovalores na base de Lz.

d- Se a partícula tem Lz =-1, e Lx é medido, quais os possíveis resultados e suas

respectivas probabilidades?


31

e- Considere o estado

2

12

12

1

=ψ na base se Lz. Se Lz2 é medido e encontra-se +1,

qual o estado após a medida? Qual a probabilidade de encontrar Lz2= +1 ? e logo

após a medida? Se Lz é medido quais os possíveis resultados e respectivas

probabilidades?


32

Avaliação de aprendizagem - Aula 23 – SPIN

Nome:______________________________________________________________________


33


34

Avaliação de aprendizagem - Aula 24 – elétron em um campo magnético

Nome:______________________________________________________________________

1- Considere um elétron em repouso na presença de um campo magnético B = Bo k cujo

Hamiltoniano é dado por

−

−=10

01

2

hoBHγ

. Em t=0 o estado do sistema era

−

=1

1

2

1)0(χ

a- Escreva |χ(t)⟩

b- Se a componente x do spin fosse medida no tempo t, qual é a probabilidade de

encontrar +ħ/2 ?

c- O mesmo para a componente y

d- O mesmo para a componente z


35

Avaliação de aprendizagem - Aula 25 – adição de momenta angular

Nome:______________________________________________________________________

1- Considere dois elétrons com momenta angular l1 = 1 e l2 = 3.

a- Quais os possíveis valores para o spin total?

b- Quais os possíveis valores para o momentum angular orbital total?

c- Quais os possíveis valores para o momentum angular total J?


36

Avaliação de aprendizagem - Aula 26 – coeficiente de Clebsh-Gordan

Nome:______________________________________________________________________

1 – Uma partícula de spin 1 e uma partícula de spin 2 estão em repouso em uma configuração

que o spin total é 3, e sua componente z é 1 (ou seja, o autovalor de Sz é ħ). Se você medisse a

componente z do momentum angular da partícula de spin 2, quais os valores que você poderia

obter e com quais probabilidades?


37

Avaliação de aprendizagem - Aula 27 – partículas idênticas

Nome:______________________________________________________________________

1– Quais as funções a seguir são simétricas (S), anti-simétricas (A) ou não tem simetria (N) ?

a- f(1)g(2)α(1)α(2)

b- f(1) f(2)[α(1)β(2)- β(1)α(2)]

c- f(1) f(2) f(3) β(1) β(2) β(3) d- exp[-a(r1 –r2)]

e- [f(1)g(2)-g(1)f(2)][α(1)β(2)-α(2)β(1)] f- r12

2 exp[-a(r1 + r2)

2- Moste que os operadores simetrizador S = ½ (1+P12) e anti-simetrizador A = ½ (1-P12)

são projetores, i. e., S2 = S e A2 = A

3- Mostre também que S e A são suplementares, i.e., S + A = 1

4- Indique se verdadeiro (V) ou falso (F)

a- Bósons possuem spin semi-inteiro;

b- Todos os férmions possuem o mesmo spin;

c- Elétrons são distinguíveis;

d- Férmions possuem funções de onda anti-simétricas;

e- Duas partículas são idênticas se todas as suas propriedades intrínsecas (massa,

carga, spin, etc..) são exatamente iguais. Nenhum experimento pode distingui-las;

f- Prótons e elétrons são férmions;

g- Prótons e elétrons são idênticos;

h- Os autovalores do operador de troca são ± 1;

i- O operador de troca é hermitiano;

j- O operador de troca comuta com o Hamiltoniano;


38

Avaliação de aprendizagem - Aula 28 – sistemas com um número arbitrário de partículas

Nome:______________________________________________________________________

1- Considere um sistema de três elétrons com funções de onda α, β e χ. Escreva a função

de onda para este sistema.

2- Considere três partículas distinguíveis: a primeira encontra-se no estado ψ1, a segunda

no estado ψ2 e a terceira no estado ψ3. Escreva a função de onda total para este

sistema

3- Indique se verdadeiro (V) ou falso (F)

a- Quando um sistema inclui várias partículas idênticas, somente alguns “kets” de seu

estado podem descrever seus estados físicos;

b- Quando um sistema inclui várias partículas distinguiveis, somente alguns “kets” de

seu estado podem descrever seus estados físicos;

c- Quando um sistema inclui vários férmions, somente alguns “kets” de seu estado

podem descrever seus estados físicos;

d- 3He é um bóson;

e- 4He é um férmion;

f- O Boro (Z = 5, A = 11) é um férmion;

g- O Boro (Z=5, A= 10) é um bóson;


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7- Dado o vetor

=

...

0

1

2

1

ψ , calcule com os operadores do oscilador harmônico

( ) mnnm nHuu ωδh21+= , ( ) 1,1 +

+ += nmnm nuAu δ , 1, −= nmnm nAuu δ , as

quantidades: a) ⟨H⟩; b) ⟨x2⟩; c)⟨x⟩; d) ⟨p2⟩; e) ⟨p⟩; f) utilize os itens anteriores

para calcular ∆x∆p. (nota: as expressões para p e x em termos de A e A+ podem ser obtidas de

hh ωω

m

pix

mA

22+

= e

hh ωω

m

pix

mA

22−

=+ )

11- Qual é o fluxo associado com a função , onde u(x) é uma função real ?

12- Uma função de onda é representada por ikxikx BeAex −+=)(ψ . Calcule o fluxo.


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