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I N S T I T U T O D E P E S Q U I S A S E N E R G É T I C A S E N U C L E A R E S SECRETARIA DA INDÚSTRIA, COMÉRCIO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA

AUTARQUIA ASSOCIADA À UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

A A P R O X I M A Ç Ã O FN P A R A A S O L U Ç Ã O D E P R O B L E M A S D E T R A N S P O R T E

José Eduardo Fernandes

Dissertação apresentada ao Instituto de Pesquisas Energéticas e Nucleares como parte dos requisitos para otitençãc do Grau de "Mestre • Área Reatores Nucleares de Potência e Tecnologia do Combustível Nuclear".

Orientador: Dr. YuJI Ishiguro

S ã o Paulo 1 9 7 9

INSTITUTO DE PESQUISAS ENERGÉTICAS E NUCLEARES

Secretaria da Industria, Comércio, Ciência e Tecnologia Autarquia associada à Universidade de São Paulo

A A P R O X I M A Ç Ã O F N P A R A A S O L U Ç Ã O D E

P R O B L E M A S D E T R A N S P O R T E

JOSÉ EDUARDO FERNANDES

Dissertação apresentada ao Instituto de Pesquisas

Energéticas e Nucleares como parte dos requisitos

para obtenção do grau de "Mestre - Área Reatores

Nucleares de Potência e Tecnologia do

Combustível Nuclear"

Orientador: Dr. YUJI ISHIGURO

São Paulo

1979

fTÑs-f I T U T O C E P E S Q U S A S E .^E R G É T I C ^ S E N U C L E A R E S I I P F N .

A meus pais e Maria de Lourdes

A Edna

Expresso meus agradecimentos a todas as pessoas

e instituições que de forma direta ou indireta contribui^

ram para a exeoução deste trabalho^ e em particular :

Professor Dr. Yugi Ishiguro pela segura orienta

ção no desenvolvimento deste trabalho;

Colega, Adimir dos Santos pelo auxílio prestado

e sugestões valiosas;

Pessoal do Centro de Processamento de Dados pelo

auxílio no trabalho computacional;

Srta. Creusa Moreira Diniz pelo excelente traba

lho de datilografia.

Pronuclear - Programa de Formação de Recurso Hu

manos para o Setor Nuclear pelo auxílio financeiro neces

sário na execução deste trabalho;

Instituto de Pesquisas Energéticas e Nucleares

pelas facilidades apresentadas i

Professor Dr. José Antonio Dias Dieguez, gerente

do Centro de Engenharia Nuclear.

RESUMO

O método F^, recentemente introduzido, ê

um método aproximado para solução de problemas de transporte.

Investigações prelimiinarcs atravãs de

aplicações a problemas de modelos simples da teoria de trans-

porte revelam que o método F̂ ^ possui um grande potencial na

solução de alguns problemas » que sao difíceis e/ou exigem mui

to trabalho computacional pelo método exato, devido âs suas

duas características, ou seja,{l) simplicidade na analise e

computação e (2) boa precisão, mesmo para ordens de aproxima-

ção relativam.ente baixas.

Neste trabalho, o método F^ é estudado nas

teorias de um e dois grupos com espalhamento isotrópico e geo

metria plana.

Na teoria de um grupo, o problema de cri-

ticalidade para reatores com tres regiões é solucionado, sa ~

lientando-se que a utilização da variável complexa na aplica-

ção do método F̂ ^ é uma nova característica.

Os resultados analíticos e numéricos con-

firmam as conclusões anteriores sobre a facilidade de uso e

boa precisão do método para o caso que requer computação no

campo complexo.

No modelo de dois grupos a teoria do raêto

do F̂ ^ é desenvolvida, pela primeira vez, e aplicada â solu-

ção de dois tipos de problemas, i.ê., o problema clássico de

Milne para semi-espaço e o problema de criticalidade para rea

tores tipo placa refletida.

Algumas dificuldades vem sendo encontra -

das na obtenção de resultados numéricos precisos e são neces-

sárias mais investigações para que se estabeleça o método F^

no modelo de dois grupos como um método preciso e simples pa-

ra a solução de problemas de transporte.

ABSTRACT

The recently introduced F̂ ^ method is an approximate method of solution of transport px-oblems. •

Initial investigations in its applications C O sirp.ple model problems of transport theory show that the Fĵ-j method has a great potential in the solution of some problems, that are difficult and/or require much computational effort in exact theory, through its two properties, i.e. , (l) Sihiplicitj/ in analysis and computation and (2) good ac_ curacy obtainable in relatively low-order approximations.

In this work the F̂ . method is studied in one-group and two-group theory with isotropic scattering in plane geometry.

In one-group theory, the critical proolem for three-region reactors is solved. The introduction of the complex variable is a nev/ feature in the application of the F,,j method.-

Analytical and numerical results confirm -the earlier conclusions on the ease of use and the good accuracy of the method for the case that requires complex ma d e c omput at ions.

In the two-group model the theory of the F^ method is developed, for the first time, and applied to solve two model problems,i.e., the classical Milne problem for a half-space ând the critical problem for reflected slab reactor?.

Some difficulties have been encoimtered in obtaining accurate num,erical results and further investigations are necessary to establish the two-group Ifj^ method as a simple and accurate method of solution of transport pro hi eras ̂

These difficulties are discussed and dire£ tions of further research are suggested.

http://sirp.pl

S U M A R I O

Pag.

1 1. INTRODUÇÃO

1.1- Aspectos Gerais 1

1.2- Histórico ®

1.3- Método Aproximado F̂ ^ 1 1

1.4- Objetivos 1 2

2 . FUNDAMENTOS B A S I C O S DA TEORIA DE TRANSPORTE 13

2.1- A Equação de Transporte de Neutrons 13

2 . 2 - A Equação de Transporte em Geometria Plana no

Modelo Multigrupo e Espalhamento Isotrópico 19

2 . 3 - Solução Elementar da Equação de Transporte no

pódelo de um Grupo 2 2

2.4- Solução Elementar da Equação de Transporte no

Modelo de Dois Grupos 3 1

3. FUNDAMENTOS DA TEORIA DO MÉTODO F̂ ^ 43

4. DESENVOLVIMENTO DA TEORIA DO MËTODO F̂ ^ PARA O MODE

LO DE DOIS GRUPOS 56

5. O PROBLEMA DE CRITICAI.IDADE PARA SISTEMAS COM TRÊS

REGIÕES NO MODELO DE UM GRUPO 68

5.1- Sistema Critico com Refletor Finito 68

5.2- Sistema Crítico com Refletor Infinito 78

pag.

6. PROBLEMAS CONSIDERADOS NO MODELO DE DOIS GRUPOS 80

6.1-0 Problema de Milne 80

6.2- Problema de Criticalidade 84

6.2.1- Sistema Crítico com Refletor Finito 84

7. RESULTADOS NUMÉRICOS 9 5

7.1- Modelo de um Grupo 95

7.2- Modelo de Dois Grupos 117

7.2.1- Problema de Milne 118

8. CONCLUSÕES E SUGESTÕES 1^4

APÊNDICE A - DETALHES DEDUTIVOS DAS FUNÇÕES

A^( Ç) E B^( O E FORMULARIO DAS

EXPRESSÕES ANALÍTICAS DE A^(£) E B^(4) 145

A-1 - Modelo de um Grupo - Funções A^{Ç) e

P.^(Ç) 145

A-2- Modelo de Dois Grupos - Função A^(Ç) e

B^(0 150

APÊNDICE B - PROCEDIMENTOS COMPUTACIONAL - MODELO

DE UM GRUPO 153

APÊNDICE C - PROCEDIMENTO COMPUTACIONAL - MODELO DE

DOIS GRUPOS 155

C-1- Problema de Milne 155

C-2- Problema de Criticalidade 156

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 158

LISTA DAS FIGURAS E TABELAS

P a g .

FIG.5.1.1- Geometría do Problema 70

FIG.6.2.1.1- Geometria do Problema 86

TABELA VII.1.1- Casos Estudados y6

TABELA VII,1.2- Meia Distância Crítica do Cerne

Multiplicador 97

TABELA VII,1.3- Desvios Percentuais 99

TABELA VII.1.4- Tempo de Computação e Número de

Iterações para os Casos 3 e 12 100

TABELA VII.1.5- Fluxo Angular para o Caso 3 - inter

face oi 103

TABELA VII.1.6- Fluxo Angular para o Caso 3 - Inter

face B 104


face O j 10 5


face 6- 106

TABELA VII.1,9- Comparação entre os Fluxos Angulares

(Exato e Aproximados) para o caso 3 -

Interface ai 107

TABELA VII.1.10- Cálculo da Meia Distância Crítica

«1 - Caso 3 108

TABELA VII,1.11- Cálculo da Meia Distância Crítica

dl - Caso 12 108

TABELA VII.1.12- Fluxos Angulares para o Caso 3 109

FIG. 7.1.1- Fluxo Angular para o Caso 1 110

FIG. 7.1.2- Fluxo Angular para o Caso 3 111

Paq.

Fig. 7.1.3- Fluxo Angular para o Caso 7 112

Fig. 7.1.4- Fluxo Angular para o Caso 12 113

TABELA VII.1.13- Fluxos Escalares para o Sistema

com Refletor Finito e Infinito

Caso 3 ' 116

TABELA VII,1.14- Correntes para o Sistema com Re-

fletor Finito e Infinito - Caso 3 116

TABELA VI1.2.1.1- Secções de Choque Macroscópicas 119

TABELA VII.2.1.2- Distribuição de Saída do Problema

de Milne l(0,-u) 120

TABELA VII.2.1.3- Fluxos Angulares para o Caso I 122

TABELA VII.2.1.4- Fluxos Angulares para o Caso 2 124








TABELA VII,2,1,12- Fluxos Angulares para o Caso 2 136

TABELA VII,2,2.1- Secções de Choque Macroscópicas 138

TABELA VII.2.2.2- Autovalores discretos positivos 138

TABELA VII.2.2.3- Meia Espessura Crítica (aj 140

TABELA VII.2.2.4- Mela Espessura Crítica (a,) 141

TABELA VII.2.2.5- Tempo de Computação e Número de

Iterações 14 3

1. INTRODUÇÃO

1.1- Aspectos Gerais

Um dos problemas essenciais &a pesquisa de reatores ê

predizer com detalhes e precisão o comportamento da dis-

tribuição neutrônica e como está vinculada a operação de

tais sistemas.

O comportamento da distribuição angular, espacial e

energética de neutrons é descrito matematicamente pela

Equação de Boltzroann, derivada considerando-se o princí

pio de conservação do numero de neutrons no interior de ura

elemento de volume arbitrário. De forma similar são obtl -

das as equações básicas de outros fenômenos físicos tais

como: condução de calor, transferência de massa, ener-

gia, etc.

Esta equação constitui a parte central âa teoria â@

transporte,originariamente desenvolvida por Boltzmann em

problemas de cinética de gases.

A grandeza fundamental que caracteriza esta equação ê

a densidade angular de neutrons Nír̂ fl̂ Ê -fc ) (*) , função -

de sete variáveis independentes , que são;

- três para a posição ( r)

(*) N e s t e t r a b a l h o , o til c o l o c a d o embaixo da representa -

çao de umã d a d a g r a n d e s a d e n o t a que a mesiaa e tsm vetor ou

laatriz. O til c o l o c a d o acima r e p r e s e n t a a o p e r a ç ã o de t r a n £

p o s i ç ã o .

- duas para a direção de movimento de neutrons (ñ)

- energia do neutron ( E )

- tempo (t )

A equação de Boltzmann descreve o comportamento me-

dio da população de neutrons nura melo material, utilizan

do-se parâmetros conhecidos COSBO secções de choque, que

caracterizam as probabilidades de ocorrência de determi-

nados tipos de interação entre neutrons e o meio material.

As secções de choque são determinadas por processos

experimentais e corrigidas, quando necessário, por mode -

los teóricos desenvolvidos pela Física Nuclear.

Portanto a equação de Boltzmann estabelece a conexão

entre os efeitos no nível microscópico (interação neu -

tron-núcleo caracterizado pelas secções de choque) ao ni

vel macroscópico no meio material (densidade angular de

neutrons).

O objetivo da Teoria de Transporte de neutrons é

pesquisar a solução desta equação num sisteasa definido por

ura certo contorno de interesse, utilizando-se as secções -

de choque que descrevem o comportamento dos neutrons no

meio material. Entretanto, o modelo físico real contisn uma

imensa quantidade de detalhes, tais como: heterogeneidade

geométrica, isótopos com diferentes propriedades físicas ,

função representativa da secção de choque ccan a energia do

neutron extremamente complexa, efeito de anisotropia no es

palhamento do neutron, etc.

Portanto, a pesquisa das soluções para a Equação de

Transporte somente se t o m a viável se o sistema for sia -

pli ficado ou ideal la ado, de tal modo que se obtenha uma

formulação matemática mais concisa.

Assim, pode-se considerar constantes as propriedades

do sistema num intervalo de tesapo determinado. Tem-se, as

sinv o sistema operando no estado estacionario.

Em relação â sua variável energética, geralmente ado

ta-se o modelo de multigrupos. Este método consiste em

proceder-se a uma partição no intervalo total de interes-

se da energia, em subintervalos denominados grupos de

energia.

Em cada intervalo de energia ura grupo de neutrons é

considerado e os parâmetros são ponderados sobse o mesmo

de maneira aproximada. Em princípio, haverá uma melhor

identidade entre o modelo e a realidade física, quanto

maior for o niãraero de grupos considerados. Entretanto,con

siderando-se o aspecto computacional, é importante que se

estabeleça um certo critério de escolha. Outra alterna

tiva ê expandir-se a dependência angular em polinomios com

intervalo de definição conveniente (zero a infinito), uti-

iizàrtdo-se, por exemplo, os polinomios de Chebyshev- Laguer

rëi

Otí^nt» ao fato do aspalhamento ©."̂ ibir anisotropia, o

que se faz é expandlr-srí a fuíição de transferência em po-

linomios de Legendre, truncando-se a série num certo ter-

mo. O modelo de espalhamento isotrópico ê obtido reten -

f í Ñ s T I T U i C Di P f c S Q U ¿ A S E ^ ( ' r l Z ^ - -

do-se apenas o terao de ordem zero, e para o modelo linear

mente anlsotrópico retéro-se o termo de ordem um.

Assim, por meio dessas aproximações, a Equação geral -

de Transporte recai nura sistema de equações integro-dife-

renciais simplificad©,

Este trabalho constitui uma parte da pesquisa para o

desenvolvimento do novo método F̂ ^ , Os modelos de um e dois

grupos com espalhamento isotrópico são considerados em geo-

metria plana.

Devido às dificuldades matemáticas encontradas na ob -

tenção de soluções, surgiram duas correntes básicas de pes-

quisa, onde diversos métodos são empregados, que são:

1 - Métodos aproximados para a obtenção de soluções ma

tematicamente aproximadas. Estes métodos são de

grande interesse por serem üteis era aplicações

práticas, ccmo cálculo de reatores, etc.

2 - Métodos exatos - obtenção de "soluções analíticas','

cujos resultados poden servir como padrão para os

métodos aproximados, alem de conduzirem a uma com-

preensão da estrutura matemática da equação de

transporte e de sua solução, abrindo campo P^ra

que se investigue a solução de problemas mais com-

plexos. Salienta-se ainda, que, em algumas situa -

ções especiais os métodos exatos conseguem repre -

sentar com boa aproximação a realidade física

Atualmente, estes métodos se restringem ã aplica-

ção de problemas em geometria plana, nos modelos

de um e dois grupos de energia, havendo, entretan

to, trabalhos em geometria cilíndrica / 4 3 / e esfê

rica /II/.

Em relação aos métodos exatos, o mais utilizado ê o

de expemsão em autofunçoes singulares, ou método de Ca-

se /6/, inspirado inicialmente nos trabalhos de Van Kam-

pen /42/, sobre oscilações do plasma. A utilidade principal

deste método é a de fornecer uma boa compreensão da estrutu

ra matemática e do comportamento geral das soluções da equa

ção de transporte. Este método consiste numa separação de

variáveis conveniente no fluxo angular, gerando um conjun-

to completo de autofunçoes singulares ortogonais, A solvtção

do problema é expressa por uma combinação linear das auto -

funções com coeficientes arbitrários, sendo estes determina

dos através do uso das propriedades de ortogonalidade e nor-

malização dessas autofunçoes, impondo-se condições de con -

torno.

A mesma teoria mat^aâtica/ •^^'^ãeste método v&a sendo

aplicada em outros campos, tais como física do plasma,trans

ferencia radiativa, etc.

Uma alternativa diferente foi introduzida pelo astro -

físico Ambarzumian /l/, conhecida como método da invariân -

ça ("invariant imbedding"). Este método consiste na formu-

lação de equações integrais para funções que descrevem a

reflexão e transmissão de radiação por meio do princípio da

invariança. Este método foi sistentatizado por Chandra -

sekar /8/ e em seguida aplicado ã teoria de transporte de

neutrons.

Soluções exatas da equação de transporte só podem ser

obtidas para problemas idealizados, mesmo limitando-se o

número de variáveis. Portanto, no início do desenvolvimen-

to dos reatores nucleares, optou-se pela teoria da difu -

são /23/, que ê uma aproximação da teoria de transporte .

Nesta teoria utiliza-se uma equação diferencial (equação -

de Helraholtz) para o fluxo total de neutrons e uma direção

preferencial na migração de neutrons e considerada, obede-

cendo a lei de Pick. Esta teoria ê relativamente simples ,

entretanto, devido às hipóteses simplificadoras assumidas

durante a sua derivação, a mesma não descreve bem o compor

taroento neutronico nas proximidades de fontes explícitas e

fronteiras físicas. Estes fatores são de extrema importân-

cia em pequenos sistemas, como por ex^tiplo, os reatores de

pesquisa.

Outros métodos foram desenvolvidos em que soluções da

teoria de transporte são obtidas com boa precisão, tais co

mo o método de expansão em termos de harmônicos esféricos -

(Pjj) é o método de ordenadas discretas ou simplesmente meto

do .

Nó método Pjj, devido a Mark /Itf, a dependência angu-

lar dò fluxo de neutrons ê representada por uma expansão ,

mais comumente em harmônicos esféricos (*), e a dependên-

(*)Em geometria plana ou esférica, o matodo utiliza a expan sao em polinomios de Legeadre simplesmente. ~

cia espacial ê considerada em termos dos coeficientes des-

sa expansão.

No método Sj^, devido a Carlson /5/, a dependência an

guiar do fluxo neutronico ê discretizada para um conjunto -

conveniente de direções. As integrais angulares são então -

transformadas por somatórias sobre as direções discretas

A dependência espacial também ê considerada para pontos dis

cretos do sistema.

üm método aproximado que foi recentemente desenvolvi-

do, o método /19, 3/ fornece resultados cora boa precisão

e exige tempo de computação pequeno em relação aos métodos

aproximados citados anteriormente.

Uma versão mais simples deste último vem sendo desen-

volvida atualmente, o método F̂ .̂ Suas equações básicas são

mais simples e mesmo sua solução numérica ê mais eficiente.

A obtenção de suas equações analíticas básicas é feita com

o emprego do método exato de Case(*), e em seguida o fluxo

angular é aproximado por uma expansão em série, tjnancada nura

determinado termo. Os fluxos angulares são determinados ape

nas nas fronteiras dos meios físicos, portanto, a variável -

espacial não aparece explícitamente. Entretanto, os fluxos -

no interior dos meios físicos podem ser deterrüínadoa através

dos fltixos nas interfaces.

(*) O m é t o d o emprega epenas as propt i edades de ortogoaali^

dade de intervalo c o m p l e t o , que é simples em r e l a ç ã o ãa pro-

p r i e d a d e s ' meio intfsrvalo.

1.2- Histórico

Nesta secção ê apresentado de forma resumida, © desen-

volvimento histórico da teoria de transporte atê o atual es

tigio» dando-se ênfase ao método exato de expansão era auto -

funções singulares, tima vez que o método aproximado P^, con

siderado neste trstóalho é estabelecido a partir do mesmo.

Os primeiros trabalhos relacionados â teoria de trans-

porte surgiram em estudos de transferência radiativa no

campo da astrofísica /15,29/, a partir de 1921.

Quanto â aplicação da teoria de transporte no campo

nuclear; o seu desenvolvimento teve Início através dos méto-

dos aproximados (P̂ ,̂ e outros) /2,10/ devido âs necessida

des de caráter essencialmente prático que a construção dos

primeiros reatores impunha na época.

Em relação aos métodos exatos, tun grande desenvolvimen

to foi atingido com a introdução da técnica de expansão em

autofunçoes singulares, independentemente proposta por Da-

vison /9/ em 194 5 e por Wigner /44/ em 1959 e sua aplicação

foi feita por Van Kampen /42/ em 1955 em trabalhos de oscila

ção do plasma. No entanto somente em 1960 é que Case demons-

trou convincentemente a generalidade e o poder deste método,

A publicação deste trabalho permitiu a solução de diversos

problemas nos modelos de um e dois grupos de energia,em geo-

metria plana. Pode-se citar entre outros, o problema do rea -

tor tipo placa, sem refletores, devido a Zelazny /4 5/ e o

mesmo problema , com a placa constituída por várias camadas

de materiais diferentes e com refletores por Kussell/22/

Nesta mesma época Case e Zweifel /7/ demonstraram os teore

mas de existência e unicidade das autofunçoes.

Os trabalhos citados utilizam as propriedades de orto-

gonalidade de intervalo completo, isto e, para iie(-lsl)(*)

tornando a aplicação bastante dificultosa era problemas de

um raeio semi-infinito e problemas de dois ou mais meios adja

centes.

Kuscer et al/21/ simplificaram aa soluções de tais pro

blemas com a introdução de propriedade de semi-intexvalo

(O, 1 ) , o que facilitou e extendeu o campo de aplicação do

método, Estas propriedades permitiram soluções de problemas

de meios finitos /25/, problemas ctm espalhajTiento anisotrôpi-

co / 2 4 , 3 4 / , como também, foram resolvidos problemas em geo -

metria cilíndrica e esférica / 4 3 , ̂ 1 / .

Para o modelo de dois grupos de energia, o método de

Case foi aplicado inicialmente por Zelasny e Kuszell / 4 6 / ,

Posteriormente, Siewert e Shieh / 3 9 / conferiram maior rigor

matemático (no mesmo modelo) discutindo ® teorema da completi

vidade das autofunçoes para expansões de intervalo completo ,

bem como propriedades de ortogonalidade e normalização. Estes

problemas se restringiram a meios infinitos.

(*) Em gsoaetrla plana, y cocO, sendo 9 o angulo compreen-

dido eatre a coordenada esiistcíal iodependente e a direçio de

movimento de neutrons.

10

Pahor e Zweifel /32/ , em 1969, empregjgrara uma nova

técnica baseada na combinação do método da invariança com

o método de Case, demonstrando sua aplicabilidade em pro-

blemas de semi-espaços. Este método determinava a distri-

buição de niutrons emergentes da superfície de um meio se

mi-infinito, conhecendo-se a incidente. Era 1972, Siewert

e Ishiguro /38/ introduziram a matriz H para determinar -

as propriedades de ortogonalidade de meio intervalo e re-

solveram problemas de semi-espaços. A existencia e unici -

dade foram demonstradas paralelamente por Siewert et al/41/

e Burminston et al /4/,

As dificuldades destes métodos é a de.eecair em sis

temas de equações singulares para os coeficientes, tornan-

do a solução numérica muito trabalhosa de acordo com o

problema considerado, e âs vezes são inviáveis como é o ca-

so dos problemas multi-regiões. Entretanto, num trabalho

recente /16/, Ishiguro propôs um novo método ( m.êtodo de

regularização das equações integrais singulares), válido -

nos modelos de um e dois grupos de energia, e em princípio

pode ser aplicado a qualquer problema de multi-regiões. Di-

versos problemas foram resolvidos, seguindo esta filosofia,

por Ishiguro e Garcia /13, 17/.

Quanto ao método aproximado F^, o seu desenvolvimento

teve início em 1978 nos primeiros trabalhos devido a C. E.

Siewert e P. Benoist /37/ e em seguida por P. Grandjean e

C E . Siewert /14/. Este método vem sendo introduzido também

na área de transferência radiativa /35, 36/. Todos os pro -

I N S T I T U T O Ct-: P E S O U P A S E M , R . É - I C - - ^ S E N U C L E A R E S

I. p . e . N .

11

blemas atê o momento são considerados em gemetria plana.

1,3 - Método Aproximado F, N

Os métodos de "soluções exatas" (método de expansão

em autofunçoes singulares e o método da antitransformada ,

basicamente), apesar de gerar«n resultados numa forma ana-

lítica fechada ou pelo menos desenvolverem a maior parte do

problema analiticamente, são, em diversas situações de di -

fícil aplicação, como por exemplo: restrição qua^e exclusi-

va era geometria plana, a complexidade analítica se eleva -

muito com o número de diferentes meios homogêneos ou se a

conliguração da fonte i modificada, dificuldade matemática

na descrição dos modelos de mxjltigrupos , etc.

O método aproximado foi,pela primeira vez,introduzi

do por Siewert e Benoist /37/ em 1978 e vem sendo ainda de

senvolvido.

Inicialmente este método foi aplicado com sucesso em

problemas padrões para modelos simplificados, tais como:pro

blema de semi-espaço com meio homogêneo na teoria de \m gru

po e espalhíunento isotrópico, problema da placa plana no -

mesrao modelo.

Os resultados das pesquisaír iniciais mostram que o

método conduz a equações finais particularmente concisaEi ,

que são resolvidas numéricamente com facilidade, fornecendo

12

resultados com boa precisão, Além do que este método é eco

nomico no que se refere âs exigencias do tempo de computa-

cao e promete ser de grande utilidade na aplicação a pro -

bleraas raultiregiões , o que constitui uma das principais -

dificuldades dos métodos exatos atuais, e ao modelo de multi

grupos.

Ha possibilidade ainda que a sua aplicação a gecme -

trias esférica e cilindrica venha a se tornar viável.

1.4 - Objetivos

1 - Confirmar a simplicidade de aplicação e a boa pre

cisão do método numérico F^, recentemente desenvolvido, no

modelo de um grupo de energia, através da aplicação do mes-

mo a problemas de criticalidade era reatores constituidos de

três regiões; cerne multiplicador, "blanket" e refletor

Esta última é considerada para duas situações diferentes ,

dependendo da espessura ser finita ou infinita ( a solução

desses problemas por este método é original).

2 - Desenvolver a teoria do método F̂ j para o modelo

de dois grupos. Aplicá-la a alguns problemas simples, obten

do resultados numéricos , discutl-los e apresentar suges

toes para trabalhos posteriores.

13

2. FUNDAMENTOS BÁSICOS DA TEORÍA DE TRANSPORTE

O método aproximado F^, que i o escopo deste trabalho,

ê estabelecido a partir de propriedades básicas da solução -

exata da equação de transporte, por meio da expansão em auto

funções singulares /7/.

Portanto, neste capítulo, são consideradas os fundamen

tos teóricos necessários para os modelos de um e dois grupos.

Achou-se conveniente incluir preliminarmente o modelo de muí

tigrupos, uma vez que os modelos de um e dois grupos consti

tuem casos particulares do mesmo. Este capítulo é apresenta-

do de forma condensada, uma vez que descrições teóricas mais

pormenorizadas podem ser encontradas nas referências bási-

cas /2, 10, 7, 38, 39/.

2.1 - A Equação de Transporte de Neutrons

Seja um volume arbitrário dv, localizado na posição ge

nérica r do espaço.

Define-se no interior deste volume:

N( r,n,E,t) = Densidade angular de neutrons , que representa

o número médio de neutrons na posição r, com

velocidades na direção e energia E no tempo t,

por unidade de volume , ângulo sólido e ener

gia.

14

V

De acordo com a definição de N (r,n,E,t) ,N (r ,n,E,t)dv í),E)vN(r,í2',E',t)

15

tre E e E+dE de uma interação,em t, ocorrida

entre um neutron,cora direção Q' e energia

E', e um núcleo,

Q(r,n,E,t) = Termo fonte - número de neutrons que são in

trodusidoa na posição r por fontes exter -

nas , por unidade de volume, de ângulo sôli

do, de energia e de tempo.

O significado físico de cada termo da equação, apôs a

multiplicação de cada um por dE dííd^ , ê o seguinte:

^ N(r ,n,E,t)dEdMv = Taxa de variação da densidade angular 3t

de neutrons, que possuem energias e dire-

ções entre E e E + dE , e n e n+ dQ, res

pectivamente, no volume dv situado em r .

vfÍV (r ,n,E,t)dEdndv = Taxa líquida de neutrons que saem atra-

vés da fronteira do volume dv localizado na

posição r , com ©nergias e direções entre

E e E + dE, n e fJ + dQ, respectivamente,no

instante t.

vo(r,E)N(r,í2,E,t)dEdQdv = Taxa de neutrons que sofrem intera

ções, no volume dv localizado na posição r,

que são absorvidos ou saem do intervalo con

siderado de energia e direção.

/j.,/jj,a(r,E')f {r;n',E'-»-Ç,EjvN(r;n',E',t)dE'dn'dEdndv= Taxa -

de neutrons transferidos, no volume dv loca

lizado em r, de quaisquer energias e dire -

ções, para quaisquer energias e/ou direções

16

entre E e E dE . e, Ü e fi + dSÎ , r@s

pectivamente, no volume dv, no instante t.

Q(r,fi,E,t)dvdEdfi = Taxa de neutrons produzidos por uma fonte

externa, com energias e direções entre E

e E + d E e Q e f i + d n ^ respectivamente, no

volume dv, no instante t.

A equação de transporte também pode ser representada

por:

-i- ^ (r,n,E,t)+fiVt(r,n,E,t)+o(r,E)^(r,fi,E,t) =

= Jg , / j j,a{r,EMf (r ;a;E'-^«,E)({í(r ,Q' ,E' ,t)dn'+Q(r,fi,E,t) ,

2,1.2

onde: T Í j(r ,Q,E,t) = vN(r,fi,E,t) 2.1.3

Esta última expressão i o fluxo angular de neutrons ,

definido como sendo o número de neutrons por cm^, por según

do e por unidade de ângulo no volume dv, localizado na posi

ção r do espaço.

Ao ser derivada a equação de transporte, algumas hipó

teses foram consideradas, que a rigor, nem ®empre podem ser

justificadas na pratica. Principalmente, os seguintes efei-

tos são desprezados:

I N S I I T U I O Dil P b S Q U : - - ' . S c R „ É : I C - S F. N U C L E A R E S

17

- Comportamento Ondulatorio

O neutron é considerado uma partícula puntvial, sendo

assim completamente caracterizado pela sua posição e velo-

cidade. Para neutrons de energia muito baixa, o com.primen-

to de onda é comparável âs distancias interatômicas. Coro

isto, as secções de choque sofrem uma dependencia da orien-

tação dos neutrons. Mo entanto, estes efeitos são despre-

zíveis em Teoria de Reatores.

- Flutuações Estatísticas

Em estado estacionario, as flutuações não causam des

vios apreciáveis na densidade angular de niutrons preditos

pela equação de transporte. Essas flutuações, em regime per

manente, são denominadas ruídos do reator de modo geral, e

sua descrição pode ser feita através de outras teorias, co-

mo a análise de Fourier.

- Correções Relativisticas

Nos casos de interesse para a Engenharia Nuclear não

hâ necessidade de se considerar os niutrons de energia mui^

to alta, onde as correções relativisticas seriam importan -

tes.

- Interação Niutron-Niutron

Mesmo em reatores térmicos operando em um alto fluxo

de niutrons, a densidade dos mesmos é menor que 10''"̂ niutrons

por cm"', que é pequena quando comparada com densidades nu

18

? 2 3 ' oleares que são da ordein de 10' núcleos por cm nos solidos.

Assim, as interações nêutron-nêutron são bem menos frequentes

do que interações nêutron-núcleo. Desprezando-se essas intera

ções a equação de transporte fica linear.

A equação de transporte (Boltzmann) inclui termo não

linear para a teoria cinética de gases, onde colisões ocorren

do entre moléculas são relevantes, que não e o caso dos nêu -

trons.

- Neutrons Atrasados

Considerados no estudo de cinética de reatores, onde é

descrito o comportamento temporal do sistema. Para o estudo -

em estado estacionário não há necessidade de considerâ-los ,

como ê o caso deste trabalho.

- Dependência Angular das Secções de Choque

Ocorre para casos muito raros, como para alguns cris -

tais.

- Desintegração Radioativa do Neutron

Visto que o tempo de vida dos neutrons no raeio mate -

rial ê insignificante, comparado â sua meia-vida, deslnte -

grações radioativas não são levadas em conta.

- Polarização

Os efeitos de polarização devido a interações do "spin"

e momento magnético dos neutrons, não são relevantes em teo-

19

ria de reatores.

A equação geral de transporte de niutrons representa

bem a realidade física para os casos de interesse em Engenha

ria Nuclear, apesar das limitações descritas, serem, impostas

no desenvolvimento.

2,2- A Equação de Transporte em Geometria Plana no Modelo Mui

tigrupo e Espalhamento Isotrópico

Considerando-se o caso estacionário, em geometria pla-

na com simetria azimutal (simetria na superfície de qualquer

cone gerado em torno do eixo z ) , a equação de transporte re

duz-se a:

y — t|í(z,y,E)+o(z,E) i}

20

Retendo-se apenas o termo de ordem g, = O ( espalhamen-

to isotrópico), a equação (2.2.1) pode ser escrita comos

p_l ^(z,ii,E)+a(E)tf»(z,y,E)= i Jg./^,a^(E'-^E)ij)(z,v',E')ày'dE' +

+ Q(z,y,E) 2.2.3

O intervalo total de energia é dividido em G grupos .

Integrando-se a Equação (2.2.3) para cada sub-intervalo de

energia, obtém-se um sistema de equações integro-diferenciais

acopladas do tipo:

y — (z,p)+a.4i . (z,y)= i l I a. . ij». (z ,y ' )dp'-f-q (z ,y) ; 32 ^ ^ ^ 2 j=l ^-1 ^ ^

i = 1, 2,...,G, 2.2.4

onde,por definiçãos

}̂>i(z,y) = /^^(z,M,E)dE 2.2.5

f,0(E)ii^{z,y,E)dE = ii 2.2.6

Jj,i})(z,y ,E)dE

/,,*(z,y,E')/^a^(E«-.>E)dEdE' a s o = -J

^ ̂ /ji|»(z,y,E')dE'

q^(z,y) = Q(2,y,E)dE, 2.2.8

para i = l,2,.,,,G e j =1 , 2,.., ,G .

As secções de choque medias de grupo e ^, seguin

do as definições acima, deveriam ser escritas como funções

21

de z e p. No entanto, evita-se, sempre que possível, traba-

lhar com secções de choque dependentes de z e y, para slmpli

ficar o problema. A maneira usual ê assumir a separabilidade

do fluxo angular em funções de ( z,vi) e (E) , o que mêitas -

vezes não é uma boa suposição. Métodos melhores são apresen-

tados na literatura / 2 / . Neste trabalho considera-se que es-

tes parâmetros sejam calculados, de alguma maneira, como sen

do independentes de z e u no meio homogêneo.

A secção de choque de transferência a^^ ê dada por;

'̂ ij = ^sij ^̂ sj °f1 ^'^'^

onde a .. representa a secção de choque macroscópica de trans S 1 3

ferencia do grupo j para o grupo i por espalhainento isotrópi-

co, é a secção de choque macroscópica de fissão do grupo

j, V . é o número médio de niutrons emitidos por fissão gera s j

da por niutrons do grupo j e x¿ ê definido como sendo a fra-

ção de niutrons de fissão que aparecem no grupo i.

0 sistema de equações do tipo da Eq.(2.2.4) pode ser

representado por uma equação na fojrma matricial:

3 1 y t(z»y) + l^{z,\i) ^ S / Í>{z,M')ãM' + q(z,ui. 2.2.10

32 ~ " - 1 -

onde,

^(z,u) - vetor dos fluxos angulares dos G grupos 1 1 •• representa a matriz diagonal G x G com os elemen

tos na diagonal principal;

22

S - representa ima matriz quadrada G x G com ele

mentos síj = i a^^ .

Como neste trabalho somente são considerados sistemas

sem fontes externas, a equação (2.2.10) pode ser reescrita:

3 U —

3z

¿(2,y)+ lt{z,]i) = s jl^^{-z,\í)ãM' 2.2.11

Hâ,assim, necessidade de encontrar-se apenas as soluções

homogêneas das equações.

2.3 - Solução Elementar da Equação de Transporte no Modelo

de um Grupo

Para este caso particular considera-se o grupo como

contendo o intervalo total de energias possíveis dos nêu -

trons.

Retomando-se a equação matricial(2.2.11) para G=l, ob-

tém-se a equação valida para o grupo.

1_ . . . X - 1

23

Da definição (2.2.9) , a secção de choque que aparece

no integrando da equação (2.3.1), pode ser expsessa como

sendo:

^11 = ^s ^ ^s ^f ' ^'^'^

onde a representa a secção de choque macroscópica de espa-

3 Ihamento , é a seção de choque macroscópica de fissão e V é o numero medio de niutrons emitidos por fissão, s

É conveniente expressar-se distancias em termos de li-

vre caminho medio de colisão, através da variável ótica, de

finida como sendo (na sua forma mais geral)s

X = 1^ a(z')dz'. 2.3.3 o

Como neste trabalho somente se consideram meios homo-

gêneos :

x = az 2.3.4

Considerando-se esta definição, obtem-se de (2.3.1) :

y t(x,y)+i!;(x,v)= c/2 J^.tMx,M')dy« , 2,.3.5 3x

onde,

c , 2.3.6 a

que representa o número médio de niutrons secundários que

emergem de uma interação entre um neutrón e um núcleo.

A equação (2.3.5) representa a equação básica do mo-

delo de um grupo de energia a ser utilizada neste trabalho.

24

- Técnica de Expandió em Autofunçoes Singulares

Nesta secção descreve-se resumidamente o método de ex

pansão em autofunçoes singulares { método de Case) /7/.

O processo utilizado ê o de separação de variáveis, e

a solução geral obtida para o fluxo angular de neutrons é

constituida de termos assimptôticos e de um termo contínuo.

O método empregado é descrito a seguir:

Considerando-se a equação (2.3.5), propõe-se a solu -

ção do tipo:

i})(x,y) = (v,u) « ^ 2.3.8 2

onde se fez uso da normalização ã unidade:

J].l (v,ii' ) d)j' « 1 2.3.9

Ha dois casos a serem considerados:

25

CASO 1 V ¿ (-1,1)

Neste caso, da expressão ( 2 . 3 . 8 ) resulta:

26

(4) Pelo teorema do argumento demonstra-se que Mz) ten somen

te dois zeros no domínio definido em (3) /7/. Logo, de

(3) e (2) segue que as raizes de Mz) podem estar somente

no eixo real (exceto no intervalo de -1 a 1) ou então so-

mente no eixo imaginario. Considerando-se somente o eixo

real positivo, verifica-se ainda que:

(5) í,im A(z) = - «>

z^l+

(6) lím A(z) = 1- c

Se c < ,A(z) muda de sinal entre z = 1 e z = «>, assim de^

verexistir urna raiz v real neste intervalo e outra raiz ~ v o

real como decorrência da propriedade (1).

Como A(z) possui raízes reais somente para c < 1 segue

que para c > 1 as raízes são imaginárias puras. Para c -l,A(z)

apresenta raiz dupla no infinito.

Simboliza-se essas raízes por + v^, que são autovalores

discretos . As autofunçoes associadas a esses dois auto\'alores

são dadas por:

({,{+ v^,y) = ^ - - 4 ^ , 2.3.15 2 v ^ í p

e as duas soluções para a equação de transporte são:

\¡j +(x,y) = (|)(+ V ,y)exp(+ x/vj 2.3.16

CASO 2 VG(-1,1)

Neste caso,como a variável y pertence ao mesmo inter-

l I N S T I T U T O ce P E S O U S A S E - v t R C É H C - S E N U C L E A R E S {

2 7

valo que o autovalor v, podem coincidir e, a rigor, a equa-

ção (2.3.10) não pode ser obtida da expressão (2.3.8), de-

vido ãs singularidades. Se a autofunção ^{"4,]}) puder ser

uma distribuição /31/ , ela devera conter um termo propor-

cional a 6 (v -vj) . Portanto, da equação (2.3.8) pode-se con

cluir somente que: o

(v,p) = - P v - H — + X(v)Ô(u, V ) , 2.3.17 2 V - y

onde o símbolo Pv significa que a integral sobre p ou v de-

ve ser efetuada pelo valor principal de Cauchy /12/, 6 ê o

delta de Dirac e X(v) ê uma função a ®er determinada através

da condição de normalização. Logo, inserindo-se a equação -

(2.3.17) na equação (2.3.9) resulta:

1 = " V Pv ^ X(v), 2.3.18 2 '^-l V- y

encontrando-se, explicitaiTiente:

X(v) =̂ 1 - cv tanh'-^v 2.3.19

Portanto, existe \ima continuidade de soluções, dadas

por:

° 4> (v,y)exp(-x/v) , 2^3.20

para todos os autovalores contínuos reais tal que -l

28

O

Resumindo cada caso descrito:

(1) Para v^(-l,l), existem:

a) para c < 1 -^2 raízes reais -

b) para c > 1 •*• 2 raízes imaginarias para -

c) para c = 1 -•• "° (raíz dupla).

com as correspondentes autofunçoes (+Vq ,v) , fornecendo duas

soluções discretas através da expressão (2,3.16).

(2) Para v real e(-l,l) existem:

uma continuidade de autovalores v no intervalo citado, sen

do que, a cada autovalor v corresponde urna autofunção

(|){v,y), fornecendo uma continuidade de soluções do tipo

(2.3.20).

Portanto, a solução geral pode ser representada por

uma combinação linear das soluções encontradas:

tj;(x,u)=A(v̂ )(!> (v^,y)exp(-x/v^)+A(-v^)(f.(-v^,y)exp(x/v^) +

A(v)(}.(v,p)exp(-x/v)dv 2.3.22

^-1

onde A(v^), A(-v^) e A(v) são os coeficientes da expansão,

que podem ser determinados por meio das condições de contor

no do problema específico. Entretanto, a determinação des-

tes coeficientes não é necessária na solução através do mé-

todo aproximado P^j, pois os meamos aparecem apenas em pas

sagens intermediárias do desenvolvimento de equações.

29

As condições de contorno podem ser classificadas em

dois tipos:

de intervalo completo ~ que resultam em expansões do

tipo:

f ( M ) = A(v^ )(í.( v^,u ) -í- A(-v^) 4»(-v^,M ) +

+ jl^ A(v)(!)( v,ü )ãM , ii€(-l,l), 2.3.23

de meio intervalo - que resultam CTI expansões do tipo:

g(u)=A{v^)

30

A solução de problemas através do método aproximado

Fçj, entretanto, requer apenas as relações de ortogonalida-

de de intervalo completo, que é de aplicação muito simples

em comparação âs de meio intervalo.

Ortogonalidade e Normalização das Autofunçoes de In-

tervalo Completo t

Para este trabalho são suficientes as seguintes rela

ções de ortogonalidade /2,7/:

u

2.4 - Solução Elementar da Equação de Transporte no Modelo

de Dois Grupos

Para este caso particular, considera-se o intervalo to

tal de energia dividido em dois grupos ,

A equação de transporte no modelo de dois grupos na for

ma matricial pode ser obtida da equação (2.2.11), onde os pa-

râmetros e o fluxo angular são considerados para G - 2, obten

do-se um sist^a de duas equações integro-diferenciaia aco -

piadas.

Nesta equação o fluxo de cada grupo representa a inte

gral do fluxo angular no intervalo de energia de cada grupo ,

e as secções de choque de cada grupo representam as secçõas -

de choque (dependentes da energia) ponderadas pelo fluxo angu

lar no intervalo de energia de cada grupo , de acordo com de-

finições ( 2.2.5) a (2,2.7).

Escolhendo-se convenientemente os grupos de energia po-

de-se ter sempre oi > az- Dividindo-se as duas equações por

Oj , o que é equivalente a se considerar as duas equações es -

cri tas em termos da variável adimensional x =» OjS (medida em

livres caminhos médios dos nêufcrons do segundo grtipo de

energia), denominada variável óptica.

As duas equações são:

V -A_4,^(x,y) + oi|,j(x,y)= qj3^/];4'j(x,li')dy'+q^2 /-l'í'2Í^^^'>^y'' 3x

2,4,1

32

3x

onde, a = o i / o¿ > 1 ,

e, q^j = Oj^j/ 2a2 , i » 1,2 e j = 1,2

2.4.2

2.4.3

2.4.4

As duas equações (2.4,1) e (2.4.2) podem ser represen-

tadas pela forma matricial:

U — I (x,ii)+ EI(x,p) ^ Q I(x,y')dy' , 3x -1

2.4.5

onde foram definidas as novas matrizes:

I(x,y) 4», (x,v)

Jf^ (x,v)

2.4.6

o o

o 1

2.4.7

Q

'11 '̂ 12

'21 ^22

2.4.8

Supondo-se que a matriz Q não seja diagonal ou trian-

gular ^^\2'^2\ ^ ' define-se uma matriz:

33

2.4.9

1 J

Fazendo-se a transformação:

I (x,u) = P"-̂ ^ (x,ii) 2.4.10

substituindo-a na equação (2.4.5) e a seguir multiplicando-se

cada termo pela matriz P , pela esquerda, obtêro-sej

3x ^(x,u)+ l ^{yi,\y) = Ç j^^^(x,y')du' 2.4.11

onde a matriz simétrica C é definida como sendo:

C = P.Q.P -1 2.4.12

O caso em que a matriz Q ê triangular pode ser resolvido

pela teoria de um grupo de energia. O caso particular em que

det.Q = O, foi resolvido por Siev/ert e Zv/eifel /40/.

- Técnica de Expansão em Autofunçoes Singulares

Propondo-se para a equação (2.4.11) uma solução do

tipo /37/:

(x,y) = F(v,n)exp(-x/v) 2.4.13

onde, analogajnente ao efetuado para o modelo de um grupo, v

f i M S T I T L M O C c F E 2 Q U S A S E .-v R::. í T ; C ' S E N U C L E A R E S ¡

34

representa os autovalores e F(v,u)representa, o vetor de au-

tofunçoes ( ou autovetor).

A expressão (2.4.13) substituída na equação (2.4.11 )

fornece:

[ V E - u l]F(v,y) = ^Ç??^'^) 2.4.14

onde: I é a matriz unitária.

M(v) = F(v,y')dy' 2.4.15

Existem dois casos a se considerar:

Caso 1 - V ¿ (-1,1)

Para este caso o autovetor ê representado por:

F(+ v,y) V D(v, + y)CM(v), 2.4.16

onde definiu-se:

D(v, + y) = [v 5 ; Vil]"''" 2. 4.17

Substituindo-se a equação (2.4.16) na equação (2.4.15)

resulta:

; I - V jl^ D(v,vi)dy Ç"]M(^) = O 2.4.18

Considerando-se esta equação como duas equações linea-

res acopladas para os elementos do vetor M(v), o autovalor -

deve satisfazer:

35

A(v) = det.A (v) = O, 2 .4 ,19

onde define-se a matriz de dispersão como sendo:

A(z) = I - z jl^ D(z,y)duÇ,

que pode ser representada tamb&n por:

A{z) = I + z jli^lVi) dp

M- Z

onde.

E (p) o

o 1

2 . 4 , 2 0

2 . 4 . 2 1

0(p)=l, para p e ( - 1 / ^ , 1 /^) 2 .4 .22

E(p)í=0, de outro modo.

Nota-se na expressão ( 2 . 4 .20 ) que.

A(-z) A (z)

deduzindo-se, portanto, que:

2 ,4 .23

M(-z) = M(z) 2 .4 .24

Siewert e Shieh / 3 9 / publicaram o numero e os tipos de

raízes da função de dispersão; havendo a possibilidade de -

existir um par de raízes (+v¡) ou dois pares de raízes (+ V j

et Vi) reais e/ou imaginárias (possibilidade de duas raízes

no infinito também). O número e tipo das raízes dependem de

a e dos elementos da matriz C.

36

Essas raízes são denotadas , neste trabalho, por

+ V. , k = 1,2,..., K.

Caso 2 - V€(-l,l)

fi conveniente definir-se inicialmente:

Região (T) v£(- l/o , l/a)

Região @ * ve{-l,-l/a) U (l/o ,1)

Foi verificado que os autovetores encontrados para

este caso são:

F^^^ ( v , y ) » r v K ( v , u ) + w ^ ^ N v ) 6 ( v , y ) ] C M y (V) , a=l,2 ; v e região(J) (1) (1)

2.4.25

F^^^ (v,u)»[vK(v,p)+(tí^^Nv) 6 ( v , y ) ] C M ^ ^ M v ) , V ¿ r e g i a o @ (2) (2)

onde.

2.4.26

K(v,y) =• Py( ~ ^ )

O V - U O

Pv( )

2.4.27

37

5 ( V , lí} =

6 (av- m) O

O 5(v- y) 2.4.28

e ü ) ( v ) ê um parâmetro determinado pela inserção das equações

(2.4.25) e (2.4.26) na equação (2.4.15), isto ê, da condição:

det. r ^ (v) - u (v) il { V) 1 = O, A.4.29

onde, X(v) = I -í- v Pv f-'", i|>(y)-^ ''-1 - u- V

2.4.30

A equação (2.4.29) fornece uma soíução ta (v) para

V£ região (g) e duas soluções para ve re

38

os coeficientes de expansão em autofunçoes de Case, podendo

ser determinados com a aplicação das condições de contorno

específicas para cada problema considerado. Entretanto ,

estes coeficientes não são necessários na solução de proble

mas através do método aproximado F̂ ^ .

Estes novos autovetores são expressos como sendos

$1^^ (1I,U) 'll^^^V- vi")"*" ^ s í Í ^ ^ ^ Í " ^ ~

Cj^Vl + Xai {v)6( V -y )

2.4.32

* 2 ^ ^ (v,y)' üv -y

u C22VPvf A) - y

+ Xi2(v)6(ov- y )

+ X 2 1 (v)«( V -y ) .

2 .4.33

(v,y)

^12^

39

ou,

X(Ç) = 1 - 2C^^ÇT( ^ ) - 2c22ÇtCÇ)+4Cc 'T(Ç )T(5|- ) , 2.4,37

para Ç = vc região ( 2 )

f ( Ç ) = C 2 2 - 2 C C T ( ^ ) , para ^ =' ± on vt região (2), 1,4.38

e X^j(C), i,j = 1,2 são os elementos de XÎÇ), utilizados pa

ra Ç = ve região (ï) .

Nestas expressões as abreviações C = det, C e

T(Ç) « arctanh U ) foram introduzidas.

Dma propriedade imediata para os autovetores, conforme

expressão (2.4,32) a (2.4.35) é:

iK," V) =

(2.4.31) forma um conjunto completo de autofunçoes /40/.

Similarmente ao modelo de im grupo; a solução de pro-

blemas através do método aproximado no modelo de dois

grupos, requer apenas as relações de ortogonalidade de in -

tervalo completo.

- Ortogonalidade e Normalização dos Autovetores de

Intervalo Completo

Os autovetores ̂ ''"Nv,v) , a = 1,2, embora mais conci-

sos que os autovetores F^^Nv,v) , não são ortogonais para

V «a v'. Entretanto, como foi discutido por Siewert e Zwei-

fel/40/, utiliza-se vetores adjuntos convenientes,assim:

/-l-^-^k'"^í ^i^k'^^^*^^ ° - N^^k^' ^ 1,2,..., K 2.4.40

B = 1,2; v,v'e região (l)

2.4.41

jl^X^^^ (v',y)^^2) (v,M)ydM = N^^^ (v)6(v- V ' ) ;

v,v'c. região (?) 2,4.42

onde,

X(i Vĵ ,|i) = $ ( + Vjç,y) 2,4.43

x{^'(v',u)=N22(v')${^^ (v',y)-N^2 $j^Nv',y) 2.4.44

X^^^(v',u)= N^j^(v')$^^Nv,u)-N23^(V) ${^^(v',ii)

2.4.45

41

2.4.46

também, os fatores de ortogonalidade são os seguintes

Nj^^(v) = 1 - 4QjL3^VT(ov)+4v2[c3^^T* (av)+ C i 2 ° 2 l ' ^ ' ^

2.4.47

- 2 V T ( V ) + IT^V^C^j^j^ + ° 2 2 ^ ^ ' ^ ^ ' 2.4.48

N22(v) = 1-4C22''^^^^ 4v*fc^2^^í^i+ ''l2'^21^^ ̂ ^"^ ̂

+ ^'vMc22 + 0^2^21^ ' 2.4.49

0V, 1 .^2

av.

v2 p V- , ^ \ 2.4.50

N^^'(v) >= VA ' ^ ( V ) A " ( V ) , ve r e g i ã o © . 2.4.51

N^^Nv) « VA " ^ (V ) A " (V) , ve r e g i ã o @ , 2.4.52

Óhde^ A-(v) denota os valores dos cortes dos ramos de A(z)

guando este tende pelo semiplano superior (+) ou inferior(-)

em relação ao eixo real.

Das expressões (2.4.47) a (2.4.49) verifica-se a se-

guinte propriedade imediata:

42

N^j(v) = N^^ (-V), i = 1,2 e j = 1,2, ve regiio ® 2.4.53

Das expressões (2.4.50) a (2.4.52) tem-se que:

N ( - 0 = - N(C), ^'^'^^

para qualquer autovalor Ç

43

3. FUNDAMENTOS DA TEORIA DO MÉTODO F̂ ^

O método F^, como citado no Capítulo 1, foi recentemen

te introduzido por Siewert e Benoist /37/ para resolver apro

ximadamente problemas da teoria de transporte,

Primeircimente, o método foi aplicado aos problemas pa-

drões nos modelos simples tais como, problemas de semi-espa-

ço de meios homogéneos na teoria de um grupo com espalhamen-

to isotrópico, e problemas de placa plana no mesmo modelo.

Mais recentemente, o método foi aplicado a problemas -

de multi-regiões /35/,

Nestes problemas foram mostrados os seguintes méritos

do método F„ : N

1. Análise básica e estabelecimento das equações funda

mentais, são simples era comparação com a teoria de

difusão e o método aproximado P^, especialmente, pa

ra os problemas de multi-regiões /3 5/.

2. cálculos necessários para se resolver as equações -

finais, são muito menores do que se precisa para a

solução exata e, são comparáveis aos dos outros mé-

todos aproximados.

3. Pode-se ter boa precisão numérica com relativamente

baixa ordem de aproximação, por exemplos 3 a 4 dígi

gitos com aproximação de ordem 5,

44

O método F„ esta ainda em fase de desenvolvimento e N

as pesquisas vim sendo feitas em varios aspectos tais como:

aplicação do método a problemas com meio multiplicador, ex-

tensão do método para outras geometrias, e desenvolvimento

da teoria do F„ no modelo de dois grupos. N

Neste trabalho serão abordados dois desses problemas:

aplicação do F̂ ^ para o problema de criticalidade em geome -

tria plana usando-se modelo de um grupo, e desenvolvimento

da teoria do F̂ ^ e a sua aplicação a problemas padrões no mo

delo de dois grupos em geometria plana. O desenvolvimento

do método F̂ ^ no modelo de dois grupos será considerado no

Capitulo 4.

Basicamente, o método F̂ ^ consiste das seguintes fases:

1. A solução da equação de transporte é escrita pela

expansão em autofunçoes singulares, isto é, a solu

ção de Case.

2. üm sistema de equações integrais, exatas, acopla -

das é derivado, usando-se as propriedades das auto

funções para os fluxos angulares nas interfaces.

3. Os fluxos angulares nas interfaces são aproximados

por expansões polinomiais , com os coeficientes ar

bitrãrios.

4. Substituindo-se estas expansões no sistema de equa

ções exatas, citado na fase 2, é deduzido um siste

ma de equações lineares algébricas para os coefi -

cientes das equações da fase 3.

45

5. Este sistema de equações é resolvido por um método

padrão.

Neste Capitulo, o método básico de aproximação F̂ ^ é

apresentado considerando-se dois problemas simples, no mode

lo de um grupo.

O primeiro problema consiste basicamente, em se deter

minar o fluxo refletido na interface situada em x = -a^ e

o fluxo transmitido na salda situada â direita ( x = â ^ ) ,

sob as seguintes condições físicas impostas.

- Fluxo incidente em x = - â ,̂ do tipo:

,y ) = ,ye(0,l), 3 = 0,1,2,... 3.1

- Inexistência de fluxo incidente em. x = â ^ .

r\> (o. ,- y) = 0 , ye{íQ,l) 3.2

A equação de transporte homogênea (2.3,5) juntamente

com a respectiva soluçãç geral (2.3.22) são reescritas, a

seguir, para a região - «ĵ £ x £ Oj^ .

3 c ^ y- tp(x,y)+ \f»(x,y)= - / ,t|;(x,y ' )dy ', xe(-a, ,a,) 3.3 3x 2

i(>(x,y)= A(vQ)())(v^,y)exp(-x/v^)+ A(-v^)

46

Na expressão (3.4), para x = + â ,̂ tem-se:

\}j(+ aj^,ii)=A(v^)(t. (vQ,vi)exp(Í a-^/\>^)-i-A{-v^,\i)exp{+ a^/v^) +

^ A(v)(l) (v,y)exp(- a^/ v)dv, vie(~l,l) 3.5

Nota-se que estas expressões representam duas expan-

sões típicas de intervalo completo em termos das autofun -

ções de Case. Pode-se aplicar, então, as relações de ortogo

nalidade de intervalo completo ( 2.3.25) a (2.3.27), isto e,

multiplicando-se a expressão (3.5) por y

4 7

f'̂ V= Piit(-Ç,p)M%y, ÇeP, 3 . 1 0 J o

py*(Ç,v)^( a,,y)du+g^(Ç) Í̂ y(|) (-Ç ,P )'l» (-«i,-P ) clu =

= F^iO j\v^il,v)\i^àv, ÇeP , 3 . 1 1

N o t a - s e q u e e s t a s e q u a ç õ e s r e p r e s e n t a m o s i s t e m a d e e q u a

ç õ e s i n t e g r a i s a c o p l a d a s e x a t a s p a r a o s f l u x o s d a s i n t e r f a c e s .

N a a p r o x i m a ç ã o F^^, p r o p õ e - s e a s u b s t i t u i ç ã o d o s f l u x o s

a n g u l a r e s n a s i n t e r f a c e s p e l a s e x p a n s õ e s em s é r i e d o s s e g u i n -

t e s t i p o s .

N

,j>(-a,,-y) = d^ y*̂ , pe(0,l) , 3 . 1 2 -'• a

a = 0 V

4;(a,,y) = E , V e ( 0 , 1 ) , 3 . 1 3

a«= o

o n d e N é a o r d e m d e e x p a n s ã o d o s p o l i n o m i o s , o u s e j a , a s é -

r i e é t r u n c a d a n o t e r m o d e o r d e m ( N + 1 ) .

D e s d o b r a n c l o - s e c a d a i n t e g r a l d a s e q u a ç õ e s (3.8) e (3.9)

em o u t r a s d u a s com l i m i t e s d e d e f i n i ç ã o p a r a a v a r i á v e l u e n -

t r e ( - 1 , 0 ) e ( 0 , 1 ) , e f e t u a n d o - s e a l g u m a s m a n i p u l a ç õ e s a l g é -

b r i c a s n a s i n t e g r a i s com l i m i t e s ( - 1 , 0 ) d e modo q u e e s t a s f_i

quem d e f i n i d a s e n t r e o s l i m i t e s ( 0 , 1 ) , f a z e n d o - s e u s o d a p r o -

p r i e d a d e ( 2 . 3 . 2 1 ) e f i n a l m e n t e a p l i c a n d o - s e a s c o n d i ç õ e s d e

f r o n t e i r a ( 3 . 1 ) e ( 3 . 2 ) , o b t é m - s e a s s e g u i n t e s e q u a ç õ e s e x p r è s

s a s numa f o r m a m a i s c o n v e n i e n t e .

4 8

Substituindo-se (3.12) e (3.13) nas equações (3.10) e

(3.11) e invertendo-se a ordem das somatórias com as integrais

obtém-se as seguintes equações:

R d^ fí;*(Ç,y)y°'"*"% + E, (Ç) ? d^ ({. (-Ç ,y)y°'"*"̂ dM a=o ^ ° 1 a=o " o

=/o (-Ç,y)y^'"^dy, Ç eP ^'^^

? df fí;(S>(Ç,Y)y°'"*'̂ dy + E , (Ç) E d^ P * ( - Ç , Y ) y^^^^dy = a=o « ^ a=o " Jo

= E ^ ( Ç )

49

A (O = 1 - Ç îln (1 Î3.20) o

Substltuindo-ae estas funções (3.18) a (3.21), nas

equações (3.14) e (3.15) , tem-se:

N ^

N E

B^(CJ+ ^^iVãl \iV] = Ag(Ç), ÇeP, (3.22)

B (Ç)+ E, (Ç)d^ A (Ç)]= E, (Ç)B^(Ç), ÇeP (3.23) a a i a a - ' x p

Nota-se que os coeficientes d^ e d^ constituem 2(N+1) ^ • a a

valores desconhecidos (incógnitas) que devem ser determina-

das para os cálculos dos fluxos . Logo, há necessidade em se

considerar 2(N+1) equações para a solução do sistema linear-

mente independente, o que pode ser feito selecionando-se

(N+1) valores de Ç, ou seja, Çj , j = 0,1,...,N.

O esquema adotado para a seleção dos autovalores Ç^ -

exerce influencia na precisão dos resultados, urna vez que o

método é um método aproximado.

O esquema de seleção adotado neste trabalho é o mesmo

esquema ótimo estabelecido por P. Grandjean e C E . Sie -

wert /14/, após alguns resultados preliminares, que consis-

te no seguinte: ÇQ= ,Çĵ =» O e os restantes autovalores -

selecionados no intervalo (0,1), igualmente espaçados entre

50

si, ou seja:

f =, 3 " 1 , j » 2,3,..., N 3.24 3 N - 1

Dessa forma âas equações (3.22) e (3.23), obtêm - se

o seguinte sistema com 2(K+1) equações a 2 (N+1) incógni-

tas:

N 1 ..2 l

a^o

3.25

^ ^ 2 l K Ba^^jí-^ ^ 1 ^ ^ ) ^ Ei(?j)B0ÍÇj), 3.26 a=o

onde, Ç^cP, j = 0,1,2,,..,N

Este sistema de equações ê resolvido, determinando-

1 2

se assim os coeficientes d^ e d^ , que det®rminam, por sua

vez, os polinomios que representam os fluxos !íi(-aĵ -p) e

t|;(aĵ ,M), respectivamente ( os polinomios são apenas funções

aproximadas que representam os fluxos ^xatos, pois a sê -

rie foi truncada no termo de o r d ^ N + 1 ).

Estes fluxos possibilitam a computação do albedo /IO/

na interface , definido como sendo a razão entre corren-

te refletida de neutrons e corrente de neutrons que incide

na interface , isto ê:

M^i) (-a^,-y)dvi

/Jy^(-a,,M)dy « ^

N d ̂ •= (e+2) S — 3 .27

^-se ainda calcular o fator de transmissão / 8 /

51

na interface a^, definido como sendo a razão entre a corren

te de neutrons que sai pela corrente d e neutrons que entra,

ou seja:

ñ Ut | . { a j , p ) d M N d^

« (3+2) i . " 3 . 2 8

y^yt^(-a^,Vi)dy a -o a + 2

Como citado anteriormente, a solução do método foi

considerada apenas nas interfaces do meio. Entretanto, é

possível determinar-se o comportamento da função íp(x,u) pa-

ra qualquer ponto no interior do meio através do conhecimen

to do fluxo em uma das interfaces, isto ê, ú> (ai,\i) ou

t(-aj^,vi).

De fato, os coeficientes da expansão podem ser deter-

minados por meio da aplicação das relações de ortogonalida-

de (2.3.25) a (2.3.27). Como isto já foi efetuado na deriva

ção das expressões (3.6) e (3.7), obtém-se das mesmas as

seguintes expressões:

A(-|) « N"'^(-Ç)exp {t a^/O ¡I y*(-C,u)'í'{+a^,u)dp, ÇeP

3.29

-1 -

A( Ç) = N (+Ç)exp(+ttj/Ç) /_3^M^(Ç,y)!Í»(-5- aĵ ,vi)dy , ÇeP

3.30

onde as funções N(- Ç) são dadas por (2.3,28) e (2.3.29).

As autofunçoes são conhecidas, conforme (2.3.15) e

(2.3.17). Portanto a solução geral para o interior do meio.

I N S T I T U T O U L P E G O U S A S & P G.É l ;C - S E N U C L E A R E S ,1

52

de acordo com (2.3.22), ê determinada pela expressãos

\|;(x,u) = A(v^) (f) (v^,y)exp(-x/v^)+â(-VQf(-v.^,fj)exp(+x/v^_) +

+ 1^ A(v)*(v,y)exp(-x/v)dv 3.31

Para o segundo problema considera-se um sistema tipo

placa constituída de um material homogêneo e multiplicador -

(c > 1). O problema em questão consiste em se detemünar o

valor de â ^ para que o sistema seja crítico (meia espessura

crítica da placa ctĵ )̂ , e os fluxos de niutrons qtie saem pe-

las interfaces.

As novas condições físicas sioí

- Inexistencia de fluxos incidentes era x = - â ^

i|)í- a,, + y)= O , ye(0,l) 3,32

- Simetria em relação ao plano x = O, pois o material

da placa ê homogêneo.

«í»(x,y) =ij>(-x,-p) , ye (-1,1) 3.33

Portanto, da condição (3,33) , tem-se que os fluxos •

nas interfaces e -a^^, dados pelas expressões (3.12) e

(3.13) respectivamente, devem ser iguais. Disto resulta;

» d^ = d^ , a « 0,1,..., N , 3,34

reduzindo assim, o número de coeficientes ã metade.

53

Logo , aplicando-se as duas condições físicas,(3.32)

e ( 3 . 3 3 ) , diretamente em uma das equações (3.25) ou ( 3 . 2 6 ) ,

obtém-se o seguinte sistema homogêneo de equações lineares

algébricas:

N

« a s o

B^(Çj)+E^(Ç^)A^j^(Çj)J= O, ÇjeP,j = 0,1,...,N 3 . 3 5

Este sistema possui (N+1) equações e (N+1) coeficien-

tes d a serem determinados, além de a,, ou seja, o núme-

ct J

ro de incógnitas excede o número de equações de uma unidade.

Logo, o sistema é indeterminado.

Entretanto, deseja-se encontrar uma solução não tri -

vial para o fluxo, o que implica que os coeficientes não po

dem ser todos nulos para um determinado valor de meia espes

sura crítica ct^ = â ^̂ .

Para a solução não trivial, é necessário que o deter-

minante da matriz desses coeficientes seja nulo.

Esta condição possibilita a determinação de â ^̂ , En-

tretanto, este procedimento não ê conveniente na pratica ,

pois os cálculos envolvidos são, de modo geral, muito traba

Ihósos, Dessa forma, prefere-se empregar outro procedimento,

que, ê descrito a seguir.

Primeiramente, notarse que a magnitude da solução (flu

xo) para o reator depende da sua potência de operação, o que

introduz um grau de liberdade no sistema. Portanto, pode- se

normalizar arbitrariamente um dos coeficientes.

54

N r 1 r 1

Ç^eP,j « 1,2,...,N

3.36

N E d.

a = o = O 3.37

©a equação (3.37) explicita-se otĵ , resultando na seguin

te expressão:

a. In

N

(gas o d B !v ) a a o

N E d A (v^ ) _ a a o

3.38

V

«1

N

( i T Í)alo ^a^^^

1 ~ E d„ A„ ( v„)

a—o

3.39

Como c > 1, decorre que o autovalor ê imaginário ,

portanto,

3.40

que introduzido- na expressão (3.39) e após algumas passagens

algébricas chega-se, finalmente, à seguinte expressão:

r ; N E T I T U P E S O U E"S E \ E P

I P P M É S E N U C L E A R E S

° 1 ir V

N T ã B (v )

> _ a a o . 0 ,

N

a=o

3.41

üm processo iterativo entre o sistema de equações

(3.36) e é efetuado, então, para a determinação da meia

espessura crítica â ^̂ .

56

4. DESENVOLVIMENTO DA TEORIA DO MËTODO F̂ ^ PARA O MODELO DE

DOIS GRUPOS

Como citado anteriormente, o método F̂ ^ ainda está em

fase de desenvolvimento e a teoria deste método para o mo-

delo de dois grupos é um dos campos em aberto para pesqui-

sa.

Neste Capítulo a teoria básica do método F^ no mode-

lo de dois grupos é desenvolvida.

Os conceitos básicos da teoria para o modelo de dois

grupos são semelhantes àqueles estabelecidos no modelo de

um grupo. Entretanto, no modelo de dois grupos, a complexl

dade é maior, devido aos seguintes motivos:

1. Os fluxos das interfaces são vetores logo hã um

maior número de incógnitas para uma dada ordem de aproxima

ção, o que implica na seleção de maior quantidade de auto-

valores Çj .

2. O critério de seleção dos autovalores Ç^ ê mais

complicado do que aquele para o modelo de um grupo, deven-

do-se distinguir dois intervalos (O, l/o) e (l/o,l), para

a escolha dos autovalores.

3. Como mostrado no Capítulo 3, para o modelo de um

grupo, obtém-se um sistema de equações lineares algébricas,

cujos coeficientes são funções de Ç^, nas quais estão con-

tidas as expressões logarítmicas de.A^{Çj)e B^ÍÇ^). As fun

57

ções A^(C) e B^(Ç) são contínuas em todo o intervalo Çe(0,l).

Analogamente, no modelo de dois grupos, chega-se tam -

bem a equações lineares algébricas, cujos coeficientes são

funções de Ç, nas quais estão contidos termos logarítmicos .

A partir dessas equações um sistema de equações lineares al-

gébricas ê montado, escolhendo-se autovalores no interva

lo (0,1) ( além dos autovalores discretos). Entretanto, es -

tas funções são expressas por formas analíticas diferentes

para os intervalos (O, l/o ) e (l/o, 1) , salientando-se que

são descontínuas para Ç = l/o . Além disso, algumas das fun-

ções referentes ao intervalo (l/o ,1) tornam-se singulares -

no limite de ç l/o , pela direita. Logo, neste intervalo,

(l/o ,1) , o autovalor Ç --l/o e os que lhe sejam muito prõ -

ximos devem ser excluídos da seleção.

A seguir um problema simples é considerado, através do

qual a teoria do método Fj^ no modelo de dois grupos de ener-

gia é desenvolvida.

Para isto, o sistema dado no segundo problema do Capí -

tulo 3, é considerado novamente neste Capítulo, ou seja, de -

terminação da meia espessura crítica â ^̂ de uma placa plana

infinita constituída de um material homogêneo e multiplicador.

Considera-se que as propriedades físicas desse material

sejam dadas e que o mesmo preencha a região-a^ £ x £ .

A equação de transporte no modelo de dois grupos(2.4.11)

ê reescrita como sendo:

58

3 X

para - O j £ x £ .

As condições físicas que a solução I(x,vi)= P ^]j;(X,M)

deve obedecer são:

- Inexistência de fluxo incidente em x = + a^.

- Simetria era relação ao plano x ° O, pois o material

da placa é homogêneo.

$(x,u) = 4;(-x,-y), ye(-l,l), 4.3

logo, fiO.M) (0,-y), ye(-l,l) 4,4

Tendó-se em vista a condição de simetria, pode-se con

siderar apenas o semi-espaço x > O para se encontrar a so

luçâo do problema.

A solução geral dada por (2.4.31) ê escrita novamente

para a placa:

K t (X,p) E [A ( ) $ (Vj^, y) exp (-x/Vj^) +A (-Vj^) * (-Vj^,y) exp (x/v^)] +

+ / ^ [ A { ^ ^ (V)^{^^ (v,y)+ A ] ^ ^ (v)$j^^ (v,y)]exp(-x/v)dv +

J ^ À ^ 2 ^ (v)$^2Mv,y)exp(-x/v)dv, ye(-l,l) 4.5

Incorporando-se a condição de simetria (4.4) na

59

expressão (4.5) para x = 0ê utilizando-se a propriedade pa

ra autofunçoes (2.4.39), tem-sej

K l/o r [A(Vj^)$(v,^,y)-9-A(-Vjç)$(-v^,v)]+|Q '^[A^^Nv)$|^^ (v,y) + = 1 1

K ^ , íl/o

k

+ /^^""[A}^^ (-v,y)+A^^^ {-vy^^^^ (-v,ii)]dv +

+ li, A^^^ ( v ) t ^ ^ ^ ( v , y ) d v +

1 K + ( - v ) $ ^ ^ ^ ( - v , v ) d v=Ê ^ f A ( V j^)n - V j ç » y í + A ( - v ^ ) M V j^,u)] +

+ J ^ ^ ^ [ A | ^ ^ ( v ) ^ | ^ ^ (- v,v) + A ^ ^ ^ (V) ^ ( - v , p ) 1 dv +

-•o

+ A^^^ (v)̂ ^̂ (-v,M)dv+ í}yh^Û'V)^^Ûv»v)àv, ye(-l,l) •'l/o "

4.6

Aplicando-se as relações de ortogonalidade de interva-

lo completo , (2.4.40) a (2.4,42), na equação (4.6) , ou se-

ja , multiplicando-se cada termo por yX(Ç ,y) ou yX(-f,u) pa-

ra Ç « Vj, ou ve(0,l), e integrando-se sobre ue(-l,l), ob -

têm-seI

A(Ç) = A(-Ç), Ç = ou ve(0,l) 4,7

Portanto, aplicando-se a expressão (4,7) na solução da

da pela expressão (4,5), obtêm-se para x =» ,

60

4»(a,,M) » E A(Vj^) [MVj^,y)exp(-ayvj,)H(-Vj^,y)exp(a,/Vj,),] + k=l

-¥ A^^Nv) [$^^Nv,y)exp(~ax/v)+^^^M-v,y)exp(ai/v)ldv +

1/a

l/o

+ J A{^NV)[(|»|^^ (v,y)exp(-aj/v) + (-v,y)exp(oi/v)ldv +

+ |^'^'^AJ^Nv)f¿^^^ {v,y)exp(-aj/v) + ^^^N-v,y)exp(a/v)}dv o

4.8

A meia espessura crítica a^^ é agora procurada através

do método .

Aplicando-se as relações de ortogonalidade de interva-

lo completo (2.4.40) a (2.4.42) na equação (4.8) , obtém -se*.

j[^yX(Ç,y)|{»(a, ,y)dy =» A(Ç) N (O exp {-a,/Ç) , 4.9

j^yX(-Ç,y)4í (ax/y) dy •= A(-Ç)N (-Ç)exp(aa/Ç) , 4.10

onde os símbolos X(Ç,y), A(Ç) e N(Ç) representam generaliza

ções dos autovetores, coeficientes de expansão e fatores de

normalização, respectivamente, daqueles representados para

Ç = , C = ve(0,l/o)e Ç = V€(l/o,l).

Como A(Ç) = A(-Ç) , conforme (4.7) , e N(-Ç) = -N(Ç) ,

conforme (2.4.54), das equações (4.9) e (4.10) obtém-se:

61

j];ĵ yX(Ç,M)]||(ai ,y)dv + E^iO J^j^yX (-Ç ,y) (ai ,y) dy = O, 4.11

onde novamente , E^^ÍÇ) exp(-2ai/Ç).

Desdobrando-se cada integral em duas cora intervalo de

integração para y igual a (0,1) , e incorporando-se a condi-

ção física (4.2) chega-se às seguintes equações para C ^'j^,

Ç = ve(0,l/a) e Ç= ve(l/o,l).

j¿ pX(v,^,y)$(ai,y)dy + E^ív,,) J¿MX(-Vj^,y))j|(a, ,y)dy = ©

4.12

{\),M)^(a ,y)dy+ E, (v) í^yx;^'(-v,y)(j;(oi ,y)dy=0,a= 1,2

4.13

JJyX^2Nv,u)$(a» ,v)dy + Ej^ (v)/^yX^^N-v,y)iji (oj ,y)dii = O

4.14

fi conveniente exprimir-se as equações (4.12) a (4.14)

em termos dos autovetores MÇ,y) em todo o desenvolvimento

que segue. Para isto , substitui-se nessas equações as

expressões dos autovetores ortogonais (2.4,43) a (2.4.46) ,

qua gãô escritas a seguir:

X(+ v^,y) = $ ( + Vj^,y) 4.15

x|^Mv,y) = N3^(v)|j|^^ (v,y) - Nj2^^^*2^^ ^'^^

X^^>(v,y)=N^^(v)$^l>(v,y) - (v) ̂ ^«^^ (v ,y) 4.17

62

4.18

Dessa maneira, substituindo-se (4.16) e (4.17) nas equa

ções dadas por (4.13) para a = 1 e a = 2 respectivamente, ob-

tém-se:

N 2 2 ( v ) [ J ^ (u,y)tí;(a, , y )ày+E^(v )J"Jy N - v , y ) $ ( a í , y)dy]-

-^12^"^^ jjOHt'^ ( v , y ) H a i , y)dM+E^ ( v ) j^4>2^^ (-v,ij)i)j(ai ,y)dyj= O,

ve(0, 1/0) 4.19

-N2j^{v) tjo^í{^' ( v , i i ) t ( a i , y ) d y+E^ ( v ) j ^ y $ | ^ ^ {-v,M)f{(x^ , y ) à y ] +

+Nj^j^(v)y^ $2^^ (v,y)!j|(ai ,u )dy+Ej^(v)jJy$^^^ (-v,y)|^(oti , y ) d y j=0,

v e(0 , l / a ) 4.20

Nota-se que estas duas expressões podem ser representa

das na seguinte forma matricial;

-»21 (v) Hĵ iCv)

flvl[^^ ( v , p ) $ { i i , ,ii)dM+E (̂v)/Jy^}^^ (-v,p)|í;(a, ,u)dy

IIH2^^ (v ,p )$(a i ,u )dv+Ei (v>/Jy$í^' {-v ,v) J í a » ,v)dy

0

4.21

63

O determinante da matriz que contém os elementos

Nj^j(v), 1= l,2,j=l,2, de modo geral, não é nulo. Logo -

segue que:

io^ía^^ (v,ii)|i|(aa ,y) du+E^ (v)J¿y$¿-^' (-v,y)j||(aí ,n) dy«0 ,a=l ,2 1 .1(1)

4.22

Esta expressão representa as duas equações válidas pa

ra Ç =ve{0,l/a).

De forma análoga, substituindo-se (4.15) e (4.18) nas

equações (4.12) e (4.14), respectivamente, obtéra-se:

/¿yf (Vj^,íi)ij;(a, ,y)dy+Ej, (Vjç)/^y$(-v^,y)i(»(aí ,y)dy = O 4.23

J^y$^^Nv,y)ij|(ai,y)dy+Ej^(v)j¿$^^N-v,y)t(oij,y)dy = O 4.24 11(2)

Estas equações são válidas para Ç = Vj^ e Ç=ve{l/o,l )

respectivamente.

As equações (4.22) a (4,24) constituem as equações bá-

sicas do método F̂ î desenvolvido para o modelo de dois grupos.

A seguir, é proposto neste modelo, representar-se apro-

ximadamente, o fluxo angular na interface O j v c o m o sendo:

I(ai,y) = Z D.y^ , i=o~^

onde.

5i=

4.25

4.26

64

1 2 ~ sendo d^ e d^ os coeficientes da expansão nos grupos 1 e 2,

respectivamente,

Tem-se de ( 2 . 4 . 1 0 ) que ^{ai,]i) ~ P I ( a i , y ) , ou seja:

N

t|>(ai ,y) = P £ D.y-~ 1=0""̂

4 . 2 7

A expressão ( 4 . 2 7 ) ê substituída nas equações ( 4 . 2 2 ) a

( 4 . 2 4 ) , das quais , após algumas manipulações algébricas^re

sultam as seguintes equações:

N -

1=0" ~ 1=0 5i ° ' 4 . 2 8

N " ( 1 ) " ~ ( 1 )

Z B¡^1 (V)P + E,(V) I A;^'(V)P D^» O, 4 . 2 9

Z B)^^ (V)P + E,(V) Z A}^'(V)P i=o"^ ~ ^ 1=0"

5i" °' 4 . 3 0

onde foram introduzidas as seguintes definições;

A^(ÇJ 1 fl i + 1 ^ , V J

= V $(-Ç,y)dy 4 . 3 1

BJ(Ç)

BJ(0

4 . 3 2

Para i = O, A (Ç) e B (Ç) são calculadas diretamente

65

efetuando-se as integrais nas definições (4.31) e (4.32) res

pectivamente. Para i > 1, A^(Ç) e Bj^(Ç) são obtidas através

de A^_i(Ç) e B^_j^(Ç) .

Esses cálculos são efetuados, considerando-se os dois

grupos de energia e as três regiões possíveis para a seleção

dos autovalores, Ç =Vj, , Ç = ve(0,l/a)e Ç « VE(1/0,1). AS ex

pressões resultantes possuem estruturas analíticas diferen -

tes , de modo geral, üm formulário completo das expressões fi

nais é fornecido no Apêndice A.

As equações (4.28) a (4.30) podem ser representadas nu

ma forma genérica através da seguinte equação:

r N - N - 1 Z B. (Ç) P E. (Ç) E A. (Ç)P D.= O 4.33

i=o - 1 - 1 i^o"^ " -^"^

Efetuando-se o produto matricial de cada termo -

A^(Ç)P e Aj^(Ç)P , obtém-se o seguinte tipo de equação

linear algébricas

N N r p E \b} (Ç) + E, (Ç) Aj(Ç)]d^ + l [BJ(Ç)+E, (Ç)Aj(C)ldJ = O

1=0 ^ í •> 1. ^^Q- X i 1 J 1

4.34

onde,

P =V^21/ ' , 4.35 '12

eonforme definição de P era (2.4.9).

66

Nota-se na equação (4.34) que existem 2(N+1) coefi-

cientes di a serem determinados ( o dobro do número de coe

ficientes considerados no modelo de um grupo para o mesmo

reator), que juntamente com ai(implícita na exponencial )

formam 2(N+1)+1 incógnitas.

O processo nvimêrico de solução ê totalmente análogo -

ao considerado para o modelo de um grupo,no Capítulo 3, ou

seja, consideram'^se 2(N+1) equações selecionando-se 2(N+1 )

autovalores , desmembra-se a primeira equação , da qual

explicita-se ai e em seguida efetua-se uma iteração entre ô ,

e o sistema de equações remanescente» determinando-se, assim

O nú@ero e os valores dos autovalrea selecionados nos

intervalos (O,l/o) e (l/o, 1) são arbitrários. Entretanto ,

emalogcunente ao modelo de \an grupo, o critério de escolha -

exerce influência sobre os resultados numéricos obtidos. Al-

gumas opções de escolha sao discutidas na secção de resulta-

dos numéricos do modelo de dois grupos, no Capítulo 7.

Em princípio, os números de autovalores escolhidos nos

intervalos (O, l/o) e (l/a,l) satisfazem a seguinte relação

de igualdade:

Numero de equações = 2(N+i) = K + 2mj + m2 4.36

onde,

K = número de autovalores discretos ( 1 ou 2) (que de-

vem ser considerados com primazia sobre os autova-

lores contínuos);

67

= número arbitrário de autovalores selecionados no

intervalo (0,l/o);

TOj = número arbitrário de autovalores selecionados no

intervalo (l/a,l).

O número m^ aparece duplicado em (4.36) devido a

existência de duas equações distintas para um mesmo autova-

lor selecionado no intervalo (O, l/a).

68

5. O PROBLEMA DE CRITICALIDADE PARA SISTEMAS COM TRÊS REGIÕES

NO MODELO DE UM GRUPO

O objetivo deste Capítulo ê aplicar o método aproximado

Fjj, no modelo de um grupo, para a solução do problema de cri

ticalldade do sistema tipo placa plana, composto por três re

gioes distintas: um cerne multiplicador, um "blanket" e um

refletor.

Dois casos distintos foram considerados para este proble

ma no que concerne âs dimensões da região refletora. Os ca-

sos considerados são:

1) A espessura do refletor é finita.

2) A espessura do refletor é infinita.

A formulação matemática do problema é elaborada inicial-

mente para o primeiro caso, uma vez que a segunda configura-

ção é um caso particular, podendo ser derivado do primeiro

fazendo-se, no limite, a espessura do refletor tender ao in-

finito.

5.1 - Sistema Crítico ccxn Refletor Finito

éòrisidera-se aqui o sistema constituído de uma placa de

material multiplicador (meio 1, ĉ ^ > 1) ocupando a r e -

gião - ài < x< Oi , um "blanket" de espessura oa( meio 2 ,

Cj < 1 ) ocupando a região a» £ |x |< (3 e um material refle-

tor de espessura a, (meio 3, C3 < 1 ) ocupando a região

69

B £ ! X i £ Y, confonne mostra a Figura 5.1.1, sendo os

tris materiais homogêneos.

O problema em questão consiste em se determinar o va-

lor da meia espessura da placa multiplicadora para que exis

ta \ima solução estacionária não trivial, ou seja, deseja-

se, determinar o valor de a,, para o qual o sistema seja

crítico.

A equação de transporte (2.3.5) é reescrita para os

tris meios como sendo:

^ (x,ii)+ ij;, (x,y) = — i l . (x,yMdii' , 5.1.1 3x . 2 * -1

onde:

2. = 1 , -CXj < X <

i = 2, a j < x < B

I , = 3 , P < x < Y

As condições físicas que a solução ij/̂^ (x ,y) deve obede-

cer são:

- Condição de simetria em relação ao plano x " O

i|;̂ (x,y) = (|;ĵ (-x,-y) , ye(-l,l) 5.1.2

Portanto, pode-se considerar apenas o semi-espaço

X >^ O para se encontrar a solução do problema. Em x = O,

de (5.1.2), tem-se que:

70

(T) M e i o m u l t i j í l i e s d o r

0 " e i o n f e e í "

(3) M e i o r e f l e t o r

00 ®

sCOS

-8

-EO -00

-06. .)

-co

PIE. 5.4.1 - GEOMETRÍA 00 PROSLEM/̂

I INSTITU C Vf C U R É IC S E N U C L E A R E S I I C3 q fvl

71

iPj{0,y) =({/,(0,-y) , vie(-l,l) 5.1.3

- Condição de continuidade dos fluxos nas interfaces

entre dois meios materiais.

if), ( Oj ,y) =ijíj{aj,y) , ye(-l,l) 5.1.4

tjíB^y ) = (B,y ) , yE(-l,l) 5.1.5

- Inexistência de fluxo incidente na interface y.

^\,^[ y,- y) = O, ye{0,l) 5.1.6

A solução geral para a equação de transporte (5.1.1)

pode ser reescrita da equação (2,3.22), para cada região l,

como sendo:

(x,y)=Aj^ (Vj^)(í)^(Vj^,y)exp(-x/Vjj)+Aj^(-Vj^)4>£ (-v̂^ ,y)exp(x/\)¿) +

+ ií:iAjj(v)

72

A, (V ) = A. (-V.) 5.1.8 1 1 1 '

e,

A^( V) = A ^ ( - v ) , ve(0,l) 5.1.9

Assim a solução, para a região do meio 1, ê dada por :

ifî (x,y)=Aj^(Vj) ( V i ,M)exp(-x/vi)+j(-vi ,p) exp (x/vi)] +

+ A^ (v) [*i (v,y)exp(-x/v)+(})i (-v,vi)exp{x/v)] dv

5.1.10

As soluções para as regiões dos meios 2 e 3 são dadas

pela equação (5.1.7) com í, = 2 e 3, respectivamente.

A meia espessura critica do cerne é agora procurada -

através do método F̂ .̂

Aplicando-se as relações de ortogonalidade de interva

lo completo (2.3.25) a (2.3.27) na equação (5.1.10), para

X = Oi , obtém-se:

ĵy())i (Ç,y)t|íi (ai ,y)dy=A^(Ç)N^(Ç)exp(-a»/0 ,Çe Pĵ , 5.1.11

ií:;̂ y4'j(-Ç,y)'{'i (aj ,y) dy=A3^ (Ç)N^ (-Ç)exp(ai/Ç) ,ÇeP2^ ' 5.1.12

onde Pj^ representa o conjunto de autovalores positivos Ç,

tal que, Ç = v̂ ^ ou ve (0,1).

73

Como pode ser observado de (2.3.28) e (2.3.29),

= - N(Ç), logo obtém-se de (5.1.11) e ( 5.1.12) a

seguinte equação.

j^^U(|)^ (Ç,y)i!.i (ai ,y)dy+E^(Ç)/^^U, (ttj ,ia)du = O

5.1.13

onde, Ej^(Ç)= exp(-2ai/Ç) , conforme considerado no Capítu-

lo 3.

De forma análoga ao que foi efetuado nas equações

(3.8) e (3.9) do Capítulo 3, desdobra-se cada integral em

outras duas com intervalos de integração definidos pelos li

mites (0,1) , obtendo-se:

Vi j {-Ç ,y) tí/j (aj ,-u) dy +

+ E^(Ç) /Jyi (C , y) t» (ot, ,-y) dy=0

5.1.14

que é a equação para o cerne do sistema.

Pelo fato dos fluxos angulares serem contínuos nas in

terfaces, omite-se de ora em diante, o índice representa -

tivo dos mesmos, assimj

t|;(a^,y) = «1̂^ (a^ ,y) = tp̂^ (a, ,y) 5.1.15

^(B,y ) = i>^(B,M ) = t})3(B,y ) 5.1.16

Aplicando-se agora as relações de ortogonalidade na

74

equação (5.1.7) com í. = 2 , para cada interface x = Oj e

X = B, obtém-se:

(Ç,y)'('(cij ,vi)du= A j í a W j í r j e x p í - a / Ç ) 5.1.17

i^j^y(^^{C,y).{

75

5 . 1 . 2 4

que são as duas equações para a região do "blanket ".

Através de tratamento matemático cuiálogo ao efetuado pa

ra as regiões do cerne e do "blanket", obtém-se as seguin -

tes equações para a região do material refletor:

- - / Q (C,y)ií'(Y,y)dM = O, 5 . 1 . 2 5

./^y(í)^(-Ç,y)ií»(B,y)dy - ./¿y*^ (Ç,y)t|;(6y)dy -

-E^(OJ^ yj(-ç,y) y,)i)

7G

N c ^¡>{y,M) = E d ^ * ^ , ye (0,1) 5.1.31

Estas expansões substituídas nas equações (5.1.14) e

(5.1.23) a (5.1.26), e através de desenvolvimento analíti-

co análogo ao efetuado no Capítulo 3, fornecem o seguinte

sistema de 5(N-^l) equações lineares algébricas:

? d^[Bj(Ç.)-HE^(Ç.)Aj(Ç.)J- ? d^[Aj(Ç.)+E^(Çj)B^(Ç.)]= O

a=o a=o 5.1.32

ÇjeP^, j = O ,1,... , N,

M r d j Eît, )bI(X^)- Í d2E-(Ç.)A2(Ç.)- Ç d ^ B2(Ç ) +

a 1 a • J a-o a 2 a J a=o a ct 3 a=o

^ 4 -) + l d X í ^ - í ) = O' 3 = 0 , 1 , . 5 . 1 . 3 3

a=o °' " J J ^

N 1 2 ^ 2 2 N 3 2

N 4 2 + Z dÊ2(^)B;(Ç ) = O, Ç.e P,, j = 0,1,..., N

a=o J J J 5.1.34

?d3 EÛ)B¡iF ) - E d ^ E 3 ^ S ^ \ ' ^ S ^ " ^ á«(Çj)Sa^^^j^= ^' a=o a=o ' -' a=o

Çj e P 3

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