aspectos da dinámica de reatores náo-uniformes

1 . 51 >

dezembro 1971

I N S T I T U T O D E P E S Q U I S A S R A D I O A T I V A S

. F. M. G. Ciddde Universitária - Pampui

Í E L O H O R I Z O N T E I S Í B R A S I L

INSTITUTO DE PESQUISAS RADIOATIVAS - UFMG/CNEN DR-50

DIVISÃO DE REATORES Dezembro, 1971

ASPECTOS DA DINÂMICA DE REATORES

NÃO - UNIFORMES

Wagner Sacco

Tese submetida ao Corpo Docente

do Curso de Ciências e Técnicas Nucleares da UFMG/CNEN

como parte dos requisitos necessários para a obtenção

do grau de Mestre em Ciência (M.Sc.)

Belo Horizonte

Apresentada em Agosto, 1971

Agra.deço ao amigo e colega, Vr. Ricardo Brant Pinheiro,

pela sua orientação efetiva, sem a qual este trabalho nao teria,

alca.nçado sua conclusão.

Devo especial gratidão ao cole.ga Edison Pereira de And.ra

de pelo seu paciente trabalho de programação de computadores e a

Srta. Yeda Maria Rodrigues pelo belo trabalho de datilografia, aos

estagiários do computador analógico da Seção d.é Instrumentação e

Controle» do Instituto de Pesquisas Radioativas, que traçaram as

curvas constantes do texto.

Aos amigos Ângelo Aurelio de Resend.e Lo^oo e Witold P.S.

Lepecki o meu agradecimento pelas criticas e sugestões.

A minha mae

Ä memoria de meu pai

R E S U M O

Este trabalho tem por objetivo apresentar os aspectos

da dinâmica de reatores nao-uniformes que encontram sua melhor

descT'icao dentro do modelo de núcleos acoplados, usando-se o me

todo direto de Liapunov na tecria da estabilidade das equações

diferenciais ordinárias.

As tres primeiras partes descrevem as noções básicas

da dinámica de reatores puntiformes, o modelo de núcleos acopla

dos para reatores nao-uniformes e a teoria da estabilidade das

equações diferenciais ordinarias.

Na quarta parte sao estabelecidas as equações dinámi­

cas de um 3'eator de duas regiões. As cond_içoes e a regiao de es_

tabilidade assintotica no espaço de C'Stados sao estabelecidas

na aproximação linear, de um modo rigoroso matematicamente, por

dois métodos. A estabilidade das equações dinámicas nao-lineare:S

e entao discutida dentro do esquema do pr'oblema de Aizerman em

teoría do controle nao-linear. Sao deduzidas por este método as

condições para estabilidade assintotica global; estas condições,

em forma de desigualdades, sao muito mais simples que as encon­

tradas na literatura..

A B S T R A C T

The purpose of this work is to present those aspects of

dynamics of non-uniform reactors best described by the use of the

coupled core model and Liapunov's direct method in stability

theory of ordinary differential equations.

The first three parts review the basic material in point

reactor dynamics, the Coupled core model for non-uniform reactors

and the theory of stability of ordinary differential equations.

In the fourth part the dynamical equations of a two -

region reactor are set up. The conditions and the region of

asymptotic stability in state space are established, in the linear

approximation, in a mathematically rigorous way, by two different

methods. The stability of the non-linear dynamical equations is

then discussed in the framework of Aizermtin's problem in non­

linear control theory. The conditions for global asymptotic

stability derived by this method, presented in the the form of

inequalities, are much simpler than those found elsewhere in the

literature.

I N D I C E

INTRODUÇÃO i

~»

PARTE I : As Equações Cinéticas e Dinámicas de um

Reator - Modelo Puntual de um Reator Un_i

forme. Estudo Linear das Equações Diná­

micas 1

PARTE II : O Modelo de Núcleos Acoplados para um

Reator Nao-Uniforme l6

PARTE III : O Método Direto de Liapunov para o Estu

do da Estabilidade 27

PARTE IV s A Estabilidade Assintotica de um Reator

de Dois Núcleos Acoplados 42

CONCLUSÕES E DIREÇÕES PARA TRABALHO FUTURO 67

APÊNDICE 1 : Conceitos e Técnicas Matemáticas 70

APÊNDICE 2 : Os Coeficientes de Acoplamento 95

APÊNDICE 3 ; Um Modelo para um Reator Termicamente

Nao-Uniforme 99

APÊNDICE 4 ; Listagens e Descrições Sumárias dos Pr£

gramas Utilizados IO4

BIBLIOGRAFIA , 112

ASPECTOS r-A DINÁMICA DE

REATORES NÃO - UNIFORMES

INTRODUÇÃO

Este trabalho tem como objetivo a apresentação e discus­

são sistemática da estabilidade inerente de reatores de varias re

gioes, dentro do modelo de núcleos acoplados, pelo m.etodo direto

de Liapunov.

Consta de quatro partes:

Na parte I sao discutidas as bases físicas das equações

cinéticas de um reator. No caso deste ser homogéneo, tem-se as eos

tumeij-as equações cinéticas, que descrevem rigorosamente o compor

tamento de um reator puntual. Discute-se ainda a realimertaçao de

reatividade de um reator funcionando em potencia; o caso de reali

mentaçao linear e discutido dentro do formadismo de sistemas l i ­

neares, por meio de sua função de transferencia. Mostra-se que es_

te formalismo e somente uma aproximação linear para o comportamen

to real, nao-linear.

11

Na parte II e discutido o modelo de núcleos acoplados pa

ra reatores nao homogêneos e as equações cinéticas e dinámicas de

um reator dentro deste modelo sao estabelecidas. Mostra-se que um

reator com refletor pode ser estudado de maneira relativamente

simples dentro deste modelo.

A parte III apresenta o método direto de Liapunov. Mos_

tra-se sua relevancia para o estudo da dinámica de reatores e sao

enunciados os principais teoremas de estabilidade. A ideia cen­

tral do método direto é entao usada na obtenção de condições que

governam a estabilidade de sistemas lineares.

Na parte IV os métodos expostos na parte III sao aplica­

dos à discussão da estabilidade de um reator de duas regiões, com

realimentaçac, através da teoria exata, nao-linear, e através da

aproximação linear. As desigualdades obtidas no caso nao-linear,

através do uso da conjectura de Aizerman, sao mais simples e mais

facilmente aplicáveis que os presentes na literatura.

Dentro deste quadro sao estabelecidas condições de crit_i_

calidade e estabilidade de reatores refletidos que mostram de ma­

neira simples o efeito do refletor no comportamento do reator. Re

gioes da estabilidade assintotica no espaço de configuração do

reator sao calculadas para casos tipicos e apresentadas de forma

grafica.

111

Ha ainda quatro apéndices:

No Apêndice 1 sao expostos de modo suscinto os conceitos

e técnicas matemáticas usadas no trabalho.

No Apêndice 2 sao definidos e calculados, dentro do qua­

dro da teoria de difusão a um grupo de energia, os coeficientes

de acoplamento para um reator de duas regiões concéntricas.

O Apéndice 3 apresenta um modelo para reatores termica­

mente nao-uniformes, que pode ser encarado como complementar ao

modelo de núcleos acoplados. Sua estabilidade e discutida dentro

do esquema da teoria de Lurie.

O Apéndice 4 apresenta as listagens e descrições suma­

rias dos programas utilizados.

PARTE I

AS EQUAÇÕES CINÉTICAS E DINÁMICAS DE UM

REATOR - MODELO PUNTUAL DE UM REATOR UNIFORME.

ESTUDO LINEAR DAS EQUAÇÕES DINÂMICAS

1. Em um i-eator nuclear a energia liberada e governada pela popu­

lação de neutrons em seu interior. Por outro lado, como a maior

parte desta energia e liberada em forma de calor, os materiais

que constituem o reator se aquecem, modificando suas caracte­

risticas físicas. Estas modificações, por sua vez, influenciam

a população de neutrons do reator. Tem-se presente, portanto,

um mecanismo de realimentacao: a saída do reator, que é a ener

gia liberada, e governada pela população de neutrons quee, por

sua vez, influenciada pela magnitude da energia liberada.•

Estabeleçamos as equações que regem a variação da popula

çao de neutrons do reator. Seguiremos aqui a apresentação de

A. Weinberg - E.P. Wigner |ref. 3 8 | .

Suponhamos que todos os neutrons no interior do reator

nasçam e sejam perdidos com a mesma energia. Toda população neu

tronica nestas condições e governada pela equação de Roltzmann

monocinetica:

sendo " ^ ^ ^ i - ^ i ^ ^ Aí^àrL a densidade angular, ou densidade em fa­

se dos nirutrons, isto e, o num.ero de neutronf entre r e '''v^Ji?',

com direções de velocidade compreendidas entre os ângulos e

X L ^ à X L no instante t. Definamos o fluxo de neutrons por

m e a corrente por

m) É imediata a. lei de conservação

com

Por outro lado, a aproximação Fl para a equação de Bolt_z

mann acima nos fornece |ref. }6\

Introduzindo esta expressão para a. correrte de neutrons

na lei d-' conferva.çao acima, oblemos, para S independente do

tempo

V 4 , iu^^T.^^ . t>^*.^-z .4>*^ ( 1 . 1 )

Vemos assim que a aprox tn-a.çao Fl para a equação de Boltz

3.:

mãnn nos fornece uma equação que contem derivada de segunda or

dem em, relação ao tempo; esta equação se denomina "equação do

telégrafo", e descreve a propa.gaçao ondulatoria. Sua solução

exibe uma frente de onda bem definida (caracteristica das equa

çoes hiperbólicas, devido ao termo ) , seguida de um distur

bin rt'sidual do meio que persiste em todos os pontos pelos

quais passou a onda d.e choque.

Vemos assim que qualquer distuibio em um meio qualquer

também produz uma modifioaçao na população neutronica, sendo es

te regido na aproxima.çao PI pela equação (l.l).

Embora (l.l) ja seja uma a.proximaçao para a equação exata

que rege o fenoriíeno, ela e matematicamente complicada. Seu em-

pi'egc em problemas concretos, que dependem do espaço e do tem­

po, e difícil, razão pela qual foram desenvolvidos os métodos

abaixo d.escritos.

No caso limite em que o livre percurso medio e a seção

de choque de absorção sao considerados desprezíveis, e se con­

siderarmos a velocidade de propagação das ondas neutronicas co

mo infinita (perm.anecendo finitos o coeficiente d.e difusão e

_^ j, estaremcs dentro do esquema da teoria d.a difusão. Sua

equação fundamental e a le:i de Fick "3-~^^*^ . Introdu.zindo

esta relação da-lei de conservação da pagina anterior, resulta

4.

Seja a fração dos neutrons constituida pelos neutrons

atrasados, ^\ a fração daqueles pertencentes ao i-esimo gru­

po, tempo de vida dos neutrons prontos. Temos:

Chamemos Cj.L'fj.' a concentração dos precursores de neu-

trona atiasados do i-esimo grupo.

Considêrãndo-se o modelo dê Fermi para a moderação dos neu

trohs, o termo de fonte da equação ( 1 . 2 ) pode ser escrita

( 2 . 1 )

sendo k õ fator dê multiplicação infinito, a idade de Fã'

mi, B õ laplaciano geométrico (primeiro eigênvaloi' de

^^f*^ liy^-^s^aO ), a probabilidade dê iscap® á rêssonântáa

ê "Xi ã Constante dê desintegração do l-íslno precursor.

cõftGèntraçesg V , l dos preOurBoréii iãtisfazôrm:

(2 .2)

3« Suponhama® a p l i c á v e l o segundo teorema fundamintai da t e o r i a de

refttâr«g (Cf . Wiinbgrg=Wlgner = "Thg P h y s i c a l Thiory of Neutron

Cham ñeac to r s 'S p . 397) .

Por este teorema, o f lujco que s a t i s f a c ( 1 . 2 ) come pr_i

meiro memliro i/i;iial a :/,ero e S dado por ( 2 6 l ) (na expi'pi,;r-íao

( 2 i l ) i i sa i i ioLi o núcleo de ii'ermi para modera^.ao; a@ conclusoes per

mànecerão igualmente validas no caso de se usar qualquer outro

núcleo de moderação), satisfará também V -V < ^ ^ ' ~ O

com k%j s ^ ,

Suponhamos o reator nao muito afastado da criticali-

dade e que ele seja homogêneo e sem refletor. A distribuição

de fluxo^Ct^C^poderá entao ser considerada come dada pela solu

çao com eigenvalor de ordem mais baixa de ' ^ ' ^ « ' " ^ • r t " ^ i .s

se anulando nas .fronteiras do reator. " ' , que e o pri­

meiro valor próprio, e o chamado laplacia.no geométrico.

Dentro destas hipóteses, podemos escrever o fluxo (,?"'t.'

como o produto de funções no espaço e no tempo:

Levando-se estas expressões em (l .2) e ( 2 . 2 ) , tendo-se

em conta que o termo de fonte e dado por (2.l) e que e solu

çao de V «^,» "^o ^0= O , oblemos, apos algumas transforma­

ções algébricas:

àm=-\,zsi.) ^ ^^^^

Se fizermos ainda a hipótese de que todos cs neutrons já

térmica, no caso), entao as equa

çoes anteriores podem ser simplificad.as para

A^}^zA¡^ ^^^^ Z. VcAt^ (3.2)

d-.^-XicLit)^ - ( ^ ^^^^

Estas equações, apesar de todas as hipóteses simplifica-

dora.s que envolvem, tem \ima forma bastante tratavel matemática

mente. Sao, por isso, bastante ui.ilizadas nos estudos de cine

tica de reatores.

4. Por meio de um rearranjo algébrico, podemios escrever a primei­

ra das equações (3.2) na foiwa

(4.1)

Vamos introduzir aqui um parâmetro de extrema importan­

cia para o comportamento do reator: a reatividade Ç . O fator

k „ - 1 nos da o excesso do fator de multiplicação efetivo so-ef » - ' -

bre aquele que mantém o reator critico; , ' "- ~ P e, portan-

to, a mudança fracional do fator de multiplicação efetivo.

Definatriüs também o pa,rameti'o -/V= , tempo de geração ilc neu

trons prontos fion

lJsanf.lo-se es i.a.s definições e ( 4 - 1 ) , as equações (3-2) po

riem s e r . e s i :ri tas

?..

(4 .2 )

Uma boa aproximação para as equações (4 .2) pode ainda

ser conseguida quando se substitui as constantes de decaimento

dos precursores por uma única media. Desta forma conside­

ramos -om único tempo de vida medio para' todos os grupos de neu

trons retardados.

A constante de -decaimento media e definida por:

o sistema (4-2) reduz entao

^ i t ) - m v ) ^ Xci^^

Este sistema, apesar de' simples, fornece uma boa aproxi­

mação para o comportamen.to cinético do reator, podendo servir

em trabalhos exploratorios em projetos de engenharia.

5. Como ja dissemos anteriormente, em um reator nuclear em funcio

ñámenlo esta presente um mecanismo de realimentaçac, em que mo

dif i caçoes de sei;, nivel de potencia influencia,m os seus meios

multiplicador-, moderador' e arrefecedor, que por sua vez fcicem

com que seja mod.ificada a saida do reator, isto e, seu nivel ids

8

potencia.

Éste mecanismo de realimentacao pode ser benéfico ou nao

pai'a a estabilidade de potencia de um reator nuclear. É necessário,

portanto, realizarmos um estudo do mecanismo de realimentaçac pa-

ra conhecermos seu efeito na estabilidade da potencia do reator. A

estabilidade a que nos referimos e a chamada estabilidade ineren­

te do reator, istoe, a estábil idade na ausencia da ação '-ortrola

dora exterior (movimentação de barras de controle, por exemplo).

A varia.çao de potencia do reator e ocasionada

por uma variação da reatividade Ç como tempo. A real imentaçao

complica a t;ituaçao. Vamos decompor a reatividade Ç_ em Ç^-Çj.-V^v i

sendo a- rea.tividade devida a causas externas (movimentação cfe

barras de controle, colocação de absorvedcres ou de fontes de neu

trons) e a reatividade devida ao mecanismo de realimentaçac.

Deste modo, ^ e função na,o somente do tempo, pois devido a , e

função também do U J ve i d.e pu Lencia do reator (e, portanto, do flu

xo ) .

A reatividade devida a realimentaçac pode ser devid¿i a

causas diversas, como efeito da temperatura sobre os materiais

constituintes do reator, efeitos de pressão, de vazios e envene

namento per produLos de fissão.

Matematicamente, a conseqüência deste fato é que as equa

çoes cinéticas serão nao-lineares em n(t). Se a reati\ád_a,de fòs

se variável com o tempo, mas nao houvesse realimentacao, enLao i

9.

as equações seriam lineares, mas de coeficientes variáveis, ou

ja solução, para certas formas de çl^^ e conseguida de maneira

exata e não muito difícil, Com efeito, H. B. Smets demonstrou

|ref. 291 que as equações podem ser integradas exatamente no ca

so de V, " ser descrita por uma função exponencial, uma fiuiçao

degrau ou uma função rampa.

A solução das equações exatas, nao lineares, so pode, em

geral, ser conseguida numericamente. Mesmo a solução numérica e

bastante dificil, pois devido a rápida variação da densidade

neutronica, para se conseguir boas soluções e necessário que se

faça uma subdivisão do intervalo de tempo desejado em subinter

valos extremamente pequenos, complicando o problema e aumentan

do enormemente o temi)0 de processamento em um computador digi­

tal (Ver Keepin |ref. 1?|- Entretanto, muitas vezes nao se es-

ta interessado na magnitude exata-do fluxo que segue uma per­

turbação. O que interessa e conhece.-se uma cota para o fluxo

(se ela existir) e saber-se se ele, apos algum tempo, retorna

ao valor inicial ou. nao. Estes sao, basicamente, os problemas

principais de que trata a teoria da estabilidade. A teoria qua

litativa das equações diferenciais ordinarias nos permite re­

solver estes problemas sem que seja necessário conhecer-se a

solução das equações cinéticas.

6. As variações de temperatura a.fetam a reatividade de um reator

nuclear. As mudanças de reatividade com a temperatura se devem

10

a alteração das taxas de reação e a variação do livre percurao

medio dos neutrons.

As taxas de reação variam devido à mudança da energia me­

dia dos neutrons térmicos, à mudança das seções de choque mi­

croscópicas devido ao efito Doppler e a mudança de densidade.

A mudança de reatividade com a temperatura e calculada

através do coeficiente de temperatura, , que e a mudança

da reatividade Ç por unidade de temperatura: oí-v =

A expressão usavel nos cálculos segue-se facilmente, se

recordarmos a definição de Ç e fizermos ^ tender a zero:

sendo"^»- e as probabilidades anti-fuga rápida e térmica.

Um estudo detalhado de ol-x se faz, por exemplo, na jref. l| e

no livro de El-Wakil: "Nuclear Power Engineering".

Usaremos ainda um coeficiente de reatividade Yt> , coefi­

ciente de reatividade em relação a população de neutrons que e

a mudança de reatividade por variação do numero de neutrons

por cm~

Se fizermos à v\-»0 , teremos " v — ^ •

1 1 .

Este coeficiente é facilmente relacionável com « - desde

que se conheça a relação entre A e"T ;

A vantagem do uso de lfv\ em vez de e -y formulas e a

de que este coeficiente independe na sua definição do modelo a.áo

tado para a transferência de calor do reator, o que nao ocorre com

7 . Colocando as equações cinéticas (4-2) em uma nova forma, pode

remos ver como a existencia de mecanismos de realimentaçac pode

ser evidenciada matematicamente. A solução da segunda das equações

(4 .2) pode ser facilmente escrita, dentro da hipótese do estado

inicial ser de equilibrio:

Levando na primeira das equações, ela se transforma, apos

manipulações algébricas, em:

au

12.

( 7 . 1 )

Consideremos, por ora, a reatividade Ç como variando age

nas com o tempo (ausencia de realimentacao). Tomando-se a trare

formada de Laplace desta equação, chega-se, com a condição

Por um arranjo de termos chegamos a:

Chamando ^ LX-v' t'b*!'] ^- Cl ' e invertendo ( 7 . 2 ) ,

com o uso do teorema da convolução chegamos a:

^\.t]^W^^ \Q,[,k'y)^^'^)rMy)à't ( 7 . 3 )

que e uma equação integral de Volterra para n(t). O núcleo

deve satisfazer a equação

«to

obtida pela inversa,o da expressão que define Q CVi

A equação inte^'iral ( 7 .3 ) linear, em conjunto com a comll^

çao ( 7 . 4 ) , e equivalente ao sistema (7) nao se consideranrlo

efeitos de realimentaçac. A presença de realimentaçac se cara.c

teriza pelo fato de que e a equação (7'. 3) de­

vera ser entao substituida por

1 3 .

( 7 . 5 )

sendo esta uma equação integral de Volterra nao linear em '^^ÍC)

O caso linear ( 7 . 3 ) correspondente à ausencia da realima}

taçao, descreve o funcionamento do reator a potencia pequena

ou nula. Esta forma se consegue com inserções de reatividade

muito pequenas, que causam pequeno desvio da população de equi_

librio. Consideremos•a população neutronica de equilibrio como

unitaria; como a perturbação foi considerada pequena, podemos

considerar ^K.T^ no integrando como aproximadamente a unidade:

H ^ l i ' ^ s \ - v ^ Q a - ^ ^ i ^\.'%\à'^ ( 7 . 6 )

Chamando o desvio a partir do equilíbrio de S'HlV)-'(\\Je.\-\ ,

podemos escrever

W u ^ \ q V ^ " * y U ^ ' 5 U T (7 . 7 )

Tomando a transformada de Laplace:

>fM.-i = O i U ^ t ^ (7 .8 )

Esta equação expressa a ideia central do estudo de um si_s

tema linear; a transformada da saida e igual a transformada da

entrada vezes a função de transferencia do reator.

Considerando-se uma perturbação arbitraria, a partir de

14.

ujTi nivel de" potencia arbitrario, mas com a reatividade indepen

dente do nivel de potencia, a equação ( 7 . 3 ) .se torna:

Pode-se, por meio de manipulação, chegar facilmente a

( 7 . 9 )

que constitui uma equação integral para ^ \. "\. Podemos resolv£

-la por uma serie de Neumann:

( 7 . 1 0 )

Para pequenas perturbações, podemos abandonar os termos

de ordem superior ao primeiro, ficando com:

( 7 . 1 1 )

e como anteriormente.

^rvti'i = Y M ^ \ Q^."i^ ( 7 . 1 2 )

sendo função de transferencia ní. N'j G í'B

Vemos assim, mais uma vez, que o estudo da resposta de

um reator para uma inserção do, reatividade pela técnica de fim

çoes de transferencia, nao e mais que uma aproximação linear

ao comportamento real, nao linear, muito mais complexo.

A equação ( 7 . 1 2 ) nos fornece uma orientação pana. o esLi.id:)

1 5 .

de estabilidade através das familiares técnicas relacionadas

aos polos da função de transferencia no plano complexo (crite-

rios de Nyquist, por exemplo); entretanto, este est^ido so sera

válido (localmente, para pequenas perturbações, a partir do(s)

ponto(s) de equilibrio.

Para a analise global e exata (nao linear) do problema,

o melhor caminho que se apresenta para nos e a utilização dos

métodos qualitativos para a investigação da estabilidade das

soluções de sistemas" de equações diferenciais ordinarias.

16.

PARTE II

O MODELO DE iraCLEOS ACOPLADOS

PARA UM REATOR NAO-UNIFORME

Consideramos na parte I apenas o modelo puntiforme de reatores

nucleares. Tal modelo e aplicável rigorosamente quando se tem

um reator homogéneo e quando se faz a hipótese irreal de que

qualquer perturbação em uma parte do reator se faz imediatamen

te sentir em todo ele.

Na realidade, a maior parte dos reatores nao e homogênea,

e a hipótese de velocidade infinita de propagação das perturba

çoes so e aproximadamente valida em sistemas de pequenas dimen

soes.

Para se obter a descrição mais precisa do comf)orta,menbo

de tais sistemas, e necessário resolver-se as equações cinéti­

cas dependentes do espaço e d.o tempo, isto é, a equação do te-

17.

legrafo estabelecida na Parte 1,

A solução matemática de tais problemas e, entretanto, ex

tremamente difícil, estando os progressos neste sentido ainda nu­

ma fase inicial.

Para contornar tais dificuldades, procurou-se conceber

um modelo que fosse mais preciso que o puntiforme, levasse em con

ta, ao menos de maneira aproximada, a nao uniformidade dos reato­

res reais, e fosse matemati.camente tao simples quanto o modelo pm

tiforme. Um tal modelo e o de núcleos múltiplos acoplados, aplica

vel a reatores de varias regiões. Considera-se cada região do rea

tor como homogênea e como um núcleo subcritico, na ausencia dos

outros. O reator, considerado como constituido dos varios núcleos

subcriticos, e critico quando se leva. em conta o acoplamento neu

tronico entre os varios núcleos.

18,

Este modelo é microscópicamente homogéneo e globalmente

heterogéneo.

A ideia deste modelo data do' fim da Segunda Grande Guer­

ra. Entretanto, ela so foi bem explorada por R. Avery |ref . 2 | ,

que desenvolveu a teoria correspondente, visando aplica-la a

um reator de duas regiões que diferem enormemente em suas c a ­

racterísticas cinéticas; no caso, um reator com uma região rá­

pida e uma térmica.

9. Vamos desenvolver aqui as equações cinéticas de um reator de

varias regiões, dentro do modelo dos núcleos acoplados, por um

método devido a Gage, Adler e Powers |ref. 1 0 | .

Este método e denominado das "fontes efetivas": escrevem-

-se as equações (4-2) para cada uma das regiões (núcleos),

acrescidas de um termo fonte que leva em conta, a interação en­

tre os núcleos; e-sta interação desempenha assim o papel de uma

fonte suplementar de neutrons. A formulação de Avery, denomina

da "método da reatividade", procura descrever a interação como

um termo suplementar na reatividade de cada núcleo.

Podemos assim escrever imediatamente;

19.

N = Numero de núcleos acoplados

( 9 . 1 :

Estas equações podem ser deduzidas diretamente da equa­

ção de Boltzmann |ref, 10 , 1 8 , 25, 32, 35] de maneira r i g o r o ­

sa. O fator e o- coeficiente de acoplamento entre o nucle

i_ e o k; sua definição precisa e seu método de calculo serão

apresentados em apêndice.

o

O tempo e o tempo gasto para os neutrons se propaga

rem com a velocidade de uma onda neutronica do núcleo k para o

núcleo i.

Vemos assim que (9-l) nao e um sistema de equações dife­

renciais ordinarias, mas um sistema de equações diferenciais

funcionais com retardo de tempo.

Buas hipóteses estao implícitas na dedução das equações

( 9 a ) :

m.

A primeira e a de que a taxa de entrada de neutrons no

núcleo i e proporcional a taxa de perda de neutrons dos outros

núcleos; a segunda e que o tempo medio de transite de um núcleo

para outro e o mesmo para todos os neutrons,-

No caso de um reator de duas regiões as equações (9-l) po

dem ser escritas

X% ò**

Desprezaremos o efe:to do retardo de tempo por duas ra­

zoes. Em um reator de duas regiões concéntricas, o tempo de pro_

pagaçao dos neutrons de uma a outra regiac: pode ser considera­

do curto em relação ao tempo da vida dos neutrons prontos e seu

efeito deprezivel. A segunda razão e de técnica matemeitica:

como dissemos acima, as equações d.inamicas quand.o se con­

sidera o retardo de tempo sao equações diferencia.is funcio

nais; apesar de sua teoria estar razoavelmente desenvolvi­

da, atua,lmenl:e, ela nao esta em uma forma facilmente aplicável

a problemas concretos. Os métodos existentes d.o tratamento dês

2 1 .

tes problemas são ainda aproximados e insatisfatórios. Um estu­

do do efeito do retardo de tempo no comportamento de um reator

de duas regiões, feito por um método ate certo ponto grosseiro,

está feito na ¡ref. 2 3 | . Estas equações sao aplicáveis a reato­

res de duas regiões como (v. fig. l)

a) reator com refletor, levando-se em conta, separadamente, o

papel do refletor,

b) Um reator de duas regiões, cujas propriedades neutronicas

diferem muito; por exemplo, um reator com uma região fissil

e uma região fértil, Seria o caso de um reator contendo

Pu-239 e Th + U - 2 3 3 .

c) Reatores contendo mais de um núcleo, dentro de uma mesma

blindagem, podendo ou nao cada núcleo ser diferente dos ou­

tros. Exemplo deste tipo é a estrutura em feixe estudada pa

ra foguetes nucleares e certos reatores navais.

10 . Para que o modelo do reator de núcleos acoplados funcionando em

potencia fique completo, e necessário acrescentar as equações

(9"l) ou ( 9 ' 2 ) equações que descrevem a variação das reativida

des com o tempo e com a população neutronica, incorporando as­

sim ao modelo de núcleos acoplados a descrição dos efeitos de

realimentaçac na reatividade. A variação de reatividade no tem

po, incluindo realimentaçac, pode ser escrito da maneira mais

geral como

(10.1)

iNSTiTUTO DE / . . X Í C A

a) b )

c )

Figura 1 - ConfisT'iracoes para reatores de núcleos acoplados

23.

Se o mecanismo de realimentaçac é linear, (lO.l) pode ser

escrita como

^ C" ,t ^ Wl -'y ^SI 'í^ ( 10 .2 )

A forma do núcleo H, tanto em (lO.l) como em ( l 0 . 2 ) será

ditada pelas características físicas do sistema.

Suporemos um mecanismo linear de realimentacao. A e q u a ­

ção (10 .2) pode ser vantajosamente substituida neste caso pe­

las equações

^i.- ^y^JY^ (10 .3 )

«

T\t = \ (10.4)

A equação (IO .4) é a que descreve a forma pela qual \aria

a temperatura do reator, estando nela contido o modelo de trans^

missao de calor operante.

Na equação (IO .3) Ç ^ , é a reatividade existente no ponto

de equilibrio, sendo que a parcela-oJ-y,^v«.d.escreve a realimenta­

cao. A constante OÍ-rKc o coeficiente de reatividade devido a tm

peratura.

Os modelos principais de reator, em relação a transferen

24,

cia de calor descrita por (IO .4) ja estudadas sao |ref. 30

a) o modelo adiabático, aplicável a descrição do comportamento

de um reator em excursões rápidas. A taxa de variação da tem

peratura é proporcional à população neutronica, nao havendo

perda de calor.

A equação (IO .4) toma entao a forma

sendo C a capacidade calorífica do reator; o t e r m o ^ V , repre-

senta a fonte de calor.

b) O modelo de reator em que o mecanismo de resfriamento e des­

crito pela lei de resfriamento de Newton; (IO . 4 ) toma entao

a forma

^ - ' - " ^ " - " ^ " - ^ (10 .6)

sendo a uma constante e "V*,* a temperatura do ari-efecedor; o ter

mo * y>\t,e a fonte de calor, o termo que representa a retirada efe

calor por convecgao natural é C" Vi-Tv.«.\

c) O modelo de extração constante de potencia. A equação (IO .4)

nesl.e modelo e entao

Tvc = 5 ^ (10.7)

sendo V\ \ j_ , a população neutronica no estado de equilibrio.

25.

1 1 . Po(ie-se ver que as equações que regem o comportamento de reato-

res acoplados sao nao lineares e, apesai' de todas as hipóteses

simplificadoras, bastante complexas. Como em geral nao se pode

obter para elas wna solução explicita, a investigação da estabili_

dade de tais soluções, no caso em que se levam em conta as nao-

linearidades peculiares ao mecanismo de realimentacao, deve ser

feita por um método que nao exija o conhecimento anterior efe iais

soluções. Tal e o caso do método direto de Liapunov.

O primeiro tra.balho que empregou métodos conduzentes a uti

lizaçao do método direto de Liapunov, entao quase esquecido no

Ocidente, foi o de W. K. Ergen, H. Li.pkin, J.A.Nohel |ref. 91)

que datado 1957- Por ocasião da2ã Conferencia de Genebra de 195^,

a utilização do método direto de Liapunov em problemas de estabil_i

dade dinámica de reatores ja tinha atingido a fase adulta, como m ®

tra o artigo de V.Popov |ref. 27|. Popov provou que para uma olas

se bastante am.pla de funções que caracterizam realimentacao e pa

ra um modelo de transferencia de calor que combinava caracteris^

ticas tanto da lei de Newton como do modelo de extração constan

te de potencia, os reatores sao inerentemente estáveis. Demons­

trou ainda que se um reator e estável na ausencia de neutrons re

tardados, ele o e também na presença destes, tendo ainda dado um

método que permite a construção de uma função de Liapunov para

um reator com neutrons atrasados quando se conhece esta função

para um reator sem neutrons atrasados.

Na realidade, Popov pensou haver demonstrado um resultado

mais forte. "Demonstrou" ele que se um reator e estável no

26.

sentido de Liapunov na ausencia de neutrons retardados, ele s£

ra assintoticamente estável na presença deles.Tal fato, admiti^

do como verdadeiro durante anos, foi finalmente provado falso

em 1966 por W. Baran e K. Meyer |ref. 4 I .

Entretanto, se o reator e assintoticamente estável sem

neutrons retardados, ele o e com neutrons retardados |ref . 2 7 | .

Alem disso, E. Gyftopoulos mostrou que os neutrons retardados

nao tem qualquer influencia sobre a extensão da região de esta

bilidade do reator puntual ref. 12. . Por estas razoes nao os

consideraremos durante quase todo o resto deste trabalho, já

que o reator dentro do modelo de núcleos acoplados e considera

do constituido de núcleos puntuáis, e os termos de acoplamento

entre eles sao efe magnitude multo menor que os termos de fonte

de cada núcleo. Esta e uma hipótese bastante plausível, que

precisa ser verificada no prosseguimento deste trabal.ho. Todos

os trabalhos que acabamos de citar usaram o modelo puntual pa­

ra o reator nuclear.

Constitui o objetivo deste trabalho a apresentação sist£

matica, d.e um ponto de vista unificado, da cinética e estabil_i

dade de reatores acoplados pelo método direto de Liapunov, bem

como a exploração deste modelo para o estud.o de um reator re­

fletido. Uma exposição referente aos primeiros trabalhos nesta

area se encontra na |ref. 7 .

27.

PARTE III

O MÉTODO DIRETO DE LIAPUNOV

PARA O ESTUDO DA ESTABILIDADE

12. Vamos, primeiramente, esboçar a teoria da estabilidade das so­

luções de um sistema diferencial ordinario |ref. 13» 14 , 15)

16 , 19 , 20, 26

O sistema de equações que rege o comportamento dinámico

de um reator de núcleos acoplados pode ser escrito, no caso de

dois núcleos acoplados e realimentacao linear

= V\l.V.±2:.ri\ ( 1 2 . 1 )

28.

No caso do segundo membro de (l2.2) nao depender explici­

tamente do tempo, o sistema diz-se autônomo.

Neste caso ele pode ser escrito sob a forma

(12.4)

( 1 2 . 1 )

• Podemos notar que tal sistema e um exemplo dos que podem

ser escritos na forma vetorial geral

sendo o vetor de componentes

Deste modo, cada estado operativo do reator corresponde um ve-

tor em um espaço de quatro dimensões, que e o espaço de confi­

guração ou espaço de estados do reator. À evolução no tempo dos

estados do reator a partir de um instante inicial corresponde

uma trajetória no espaço de configu.raçao.

29.

Devemos precisar em que condições possui o sistema ( l 2 . 2 )

uma única solução e dentro de que condições ela e valida para

todo o tempo t. Tal ponto e esclarecido pelo teorema de exis­

tencia e unicidade seguinte:

Teorema |ref . l 5 | . Seja o sistema

X = VU^^ ( 1 2 . 6 )

Seja continua e lipschitziana em relação a em uma vizi­

nhança do ponto . Entao existe uma única solução de

tal que

Alem disso, se D e o dominio \ t ^ 4 l < U , X € V r qualquer'^

e ^ 0 ^ > ^ ^ satisfa.z uma condição de Lipschitz em todo sub-dom¿

nio do tipo "i l 4' ^ á t. ¿ ^ x . , X qualquer, entao a solu

çao de 'X~" vt passando pelo ponto , p o á e ser

estendida a todo intervalo

Para as soluções do sistema temos, portanto,

as possibilidades: l) a sua solução e definida para todos os

valores de f c ^ ; 2) a solução não é definida para " - í,

Se a função T é linear, o sistema ( 1 2 . 4 ) pode ser escri­

to :

5 C - ^ ^ * ^ U2.3)

sendo uma matriz nxn e uma matriz n x 1 .

5 0 .

Então: a) quando )L i , - 0 , o pontoXlV\ aproxima-se da

fronteira de D;

b) ou se D nao é limitado, quando \ , — • " ^ a - ^

nao é limitado.

A solução de (l2.6) que passa por ' <> def ine uma curva

em um c o n j u n t o ^ C ^ , que possui uma tangente variando conti­

nuamente denominada trajetória ou caracteristica do sistema.

Os pontos em que denominam-se singularidades do

sistema. Os outros pontos sao ditos reculares. '

Aos pontos singulares de (12.6) correspondem os pontos

de equilibrio do sistema dinâmico por ele representado.

Uma singularidade X« e dita isolada se qualquer esfera

de raio arbitrário traçada tendo por centro, contém apenas

um numero finito de outras singularidades.

Vamos agora precisar o conceito de estabilidade de um pm

to de equilibrio (isto e, d.e uma singularidade). Esta definição

e devida a Liapunov. Seja X^ uma singularidade isolada de

ik^YLm^') (12.7)

3 1 .

Xte representa um estado de equilibrio estável se corresponden­

do a todo ©existe um '^>0 com a seguinte propriedade: seja

uma trajetória de ( l 2 . 7 ) satisfazendo a f Xl^.*^ ""^«Í^^ pa

ra um certo . Então ® definida para todo

para

É fácil generalizar a definição acima para que ela se apli_

que também á estabilidade dinâmica, isto e, estabilidade do mo­

vimento. Consideremos uma solução t\X) de (12 . 7 ) . Dizemos que

o movimento representado por X W é estável quando, dado um

arbitrário, é possível encontrar-se um ^>0 tal que, sen­

do ^V^ uma solução de ( l 2 . 7 ) cujo valor inicial satisfaça

para todo . O signi

ficado de tal definição e evidente: o movimento perturbado man-

tem-se próximo do movimento inicial caso a condição inicial se­

ja próxima (v. fig. 2 ) .

Vamos agora enunciar tm teorema local de Liapunov que nos

fornece as condições para que um ponto de equilibrio seja está­

vel .

Se.ia o sistema

. n (12.7)

Tomemos o sistema

( 1 2 . 8 )

32.

X - T l X " ^ , (portanto, ^,Vt.=^^^\' obtido pela Ihiearizaçao de f\~ t Kh] , (portanto, n i , V j , =

a partir de um estado de equilibrio X« ) • Formemos a equação

caracteristica

- 0 . o teorema citado de Liapunov afir­

ma que:

a) se as partes reais de todas as raizes da equação caracteris

tica forem negativas, o ponto X a e de equilibrio estável;

b) haverá instabilidade se a parte real destas raizes for pos¿

tiva;

c) no caso da parte real de alguma raiz for nula e as

restantes negativas, nada se pode afirmar.

Este teorema tem validade local, isto e, é válido apenas

para vizinhanças de X « para as quais a aproximação linear

(12 .8) e valida. É equivalente aos critérios de Nyquist que

usam os polos e zeros da fimçao de transferencia.

Vamos agora definir dois novos conceitos de estabilidade

que nos ocuparão pelo resto do trabalho (v. fig. 2 ) .

Diremos que o estado X* e assintoticamente estável para

uma solução ' 1.' ^ de ( 1 2 . 7 ) , se dado um e um , podemos

encontrar ujn tal que implica

para todo e alem disso

33.

Quando a solução de (l2.7) é limitada para todo valor do

parâmetro °t , ela é dita estável no sentido de Lagrange.

estabi 1 ida-de

assintoti ca

estabilidade de LiajMinov

Flg. 2

es: .abi 1 idaie de Lagrange

Pode-se perguntar qual das definições de estabilidade da­

das expressa uma propriedade desejável em um reator de potencia

Ve-se facilmente que a propriedade mais conveniente e a estabi­

lidade assintotica: se um reator e assintoticamente estável em

um ponto, sabemos quer apos uma perturbação do nivel de potencia,

retorna para o ponto inicial, sem necessidade da ação controla­

dora externa.

Esta e Luna caracteristica importante nao so do ponto de

vista de operação, mas principalmente do ponto de vista de segu

rança.

54

Esta é a propriedade que será investigada neste trabalho.

1 3 . Vamos agora expor de maneira suscinta o método direto de Liapu

nov para a investigação d.a estabilidade assintotica das s o l u ­

ções de um sistema diferencial.

Liapunov inspirou-se, na concepção do método, na demons­

tração de Dirichlet para o teorema: "em um sistema dinámico

conservativo, aos pontos em que a onergia potencial é mínima

correspondem as piosiçoes de equilibrio estável". Procurou enta)

construir uma função que generalizasse a função potenciale tal

que do mesmo modo que o potencial no problema físico permitis­

se decidir da esteibilidade cu nao dos pontos críticos da equa­

ção diferencial.

Vamos dar algumas definições preliminares.

Uma função escalar MV.X) e dita definida positiva em tmi

certo dominio cTLcompreendendo a origem se, para todo X ^ O no

dominio temos . Ela e semi-definida posiii

va se para as mesmas condições anteriores tem-se

35.

Uma função escalar e dita uma função de Lia-

punov se: a) é de classe C e pelo menos semi-definida; b) NJ

e definida e de sinal contrario a N| . Temos onde

X-'^C^'^; "tal derivada é também chamada "derivada em relação 3o

sistema X =

Os famosos teoremas diretos de Liapunov, 'que permitem deci^

dir-se a estabilidade de um determinado estado (de equilibrio)

sem que seja necessária a determinação da solução do sistema di_

ferencial correspondente podem entao ser enunciados |ref. 6, 13»

14 , 16, 19 e 20|:

Se-ia o sistema x=Tcv : ) ( i3.i).

Podemos tomar um estado de equilibrio qualquer X© como sen

do a origem O por meio de substituição X - X"° Xq •

Daqui por diante consideraremos que se fez tal substituição e es_

creveremos o vetor de estado do sistema sem a barra.

Os teoremas de estabilidade de Liapunov podem ser enuncia

dos (as demonstrações podem ser encontradas no Apêndice l ) :

Teorema 1 - Se existe uiria. função real H ^X'\ que e dei'inida posi

tiva e para a qual em algxuna região con o

tendo a origem, entao a solução zero de X-"VOn('''^'

(*)isto é, una solução "^li^ com 4» - ^ WX*^^^

56.

e estável.

Teorerna 2 - Se existe uma função realNi^JK^ que e definida po-

sitiva e tal que M e negativa definida em uma

região X L contendo a origem, entao a solução zero

e assintoticamente estável.

E agora fácil ver o sentido geométrico dos teoremas a c i ­

ma. Tomemos Nl ' ^ ' ^ O , As superficies ' C' N = constante cons­

tituem uma familia de superficies fechadas em em torno

da origem. Se M em relação a (13»1) X-"^ é definida nega

tiva, entao as trajetórias de (13.I) penetram as superfícies

^ = const. em direção a origem, quando \ y - - ^ V © o .

fig. 3

Isto pode ser facilmente visto (v. fig. 3 ) , poi^; "^-z^MoY. «

e a normal exterior as superficies = const, X é o

vetor tangente às trajetórias. Como M-'^M.X'^ O , X deve af.ontar

para dentro das superficies = const e as trajetórias são iodas en

37.

trantes.

Os teoremas de estabilidade acima nos fornecem condições

suficientes de estabilidade; isto significa que nao se pode cm

cluir a priori da instabilidade do sistema nos pontos em que

as condições dos enunciados dos teoremas nao sao satisfeitas.

Alem disso, os teoremas nao fornecem qualquer meio para

se encontrar a função de Liapunov de um determinado sistema;no

Apéndice 1 daremos alguns métodos de construção de funções de Lia

punov para problemas concretos.

Estes métodos de construção de funções de Liapunov nos

fornecem funções que geram condições sobre os parámetros do sia

tema dadas sob a forma de desigualdades. Estas desigualdades

limitam regiões finitas no espaço dos parámetros do sistema;

dentro destas regiões os teoremas acima garantem a estabilida­

de do sistema. Entretanto, como as condições sao apenas sufici_

entes, é necessário construir-se outras funções de Liapunov por

outros métodos, de modo que correspondendo a estas funções se

tenha outras desigualdades que delimitam novas regiões do esj.)a

Ç0 dos parámetros em que se saiba que o sistema e estável.

38.

Procedendo-se desta forma repetidamente, obtemos de ma­

neira geral uma região do espaço dos parâmetros formada pela

reunião das regiões parciais que nos fornece uma ideia bastan­

te boa sobre a gama de valores que os parâmetros do sistema po

dem assumir para que o mesmo seja estável.

Por outro lado, o conjunto 4 L de pontos do espaço de con

figuração tal que a função de Liapunov cumpre neles as condi —

çoes dos teoremas 1 e 2 nos da uma ideia da região de estabil^^

dade no espaço de configuração do sistema. Entretanto, como os

teoremas nos dao apenas condições suficientes, nao se pode añr

mar que SL seja a região total de estabilidade do sistema no

espaço de configuração. Para se delimitar esta região de esta­

bilidade e necessária uma analise matematicamente mais fina,

que e o objetivo dos teoremas a seguir.

Teorema 3 (Krasovskii - La Salle) - Seja HO uma função re­

al nao-negativa definida em -^c'^ contendo a ori­

gem, de classe C .

OI Duponhamos para todo . Para al

guma constante real X' Q seja Cx a componente conexa do

conjunto contendo a origem e suponhamos C\

compacto. Seja E o sub-conjunto de SL definido por

Seja M o maior sub-conjunto positivamente invariante de E em re

laçao a ( 1 3.I). Entao toda solução de (13.I) começando em ClV

para O tende para M quando \. — ^ V •

39.

Os corolarios seguintes sao de fundamental importancia

para o método, desenvolvido no Apéndice 1, de determinação da

região de estabilidade assintotica da solução de ( 1 3.I).

Corolario 1 - Sumponhamos que exista para o sistema

urna função realNl.X^ de classe C''' definida pos_i

tiva em uma região = ^ contendo a origem e que »

>i para todos os pontos de . Suponhamos qve

a origem seja o único sub-conjunto invariante de

. Entao a solução zero de

X»~' ^X^ e assintoticamente estável.

Fig. 4

Corolario 2 - Seja de classe C nao-negativa tal que

para todo e seja

Seja M o maior sub-conjunto invariante de ^ .En

iao todas as soluções limitadas de ten­

dem para M quanto "^."^ ® ^ «

40.

Pode ocorrer que trajetórias de qualquer que

seia o valor inicial para , tendam todas para a

origem quando \, ^ •

Neste caso a região de estabilidade assintotica e todo"^ ,

e dizemos que a origem e globalmente assintoticamente estável.

O teorema seguinte nos da a condição para a estabilidade

assintotica global da origem.

Teorema 4 - Suponhamos que exista uma função real tal que

a) MC^"^ é definida positiva em "R^ e " ^ ^ ^ q u a n d o \\X^\"~^ *

b) A derivada'*^ , em relação aX-"Fi.X\ em"R^

c) A origem e o único sub-conjunto invariante do conjunto

^ ^ \ x \ N Í W - ^ 1 .

Entao a solução zero de e globalmen1,e assintob.

camente estável.

Os corolarios seguintes sao conseqüência imedial.a:

Corolario 1 - Suponhamos que exista uma função real que

4 1 .

satisfaz a condição a) do teorema acima e tal que

m seo a definida negativa. Entao a solução ze­

ro de X - s globalmente assintoticamente

estável.

Corolario 2 - Se somente a) e b) sao satisfeitas, entao todas

soluções de A ." i v s a o limitadas para

sendo entao estáveis no sentido de Lagrange.

Adiante estudaremos uma importante classe de equações pa

as quais se pode decidir de maneira extremamente simples da es_

tabilidade assintotica global das soluções; esta classe de eqia

çoes descreve um reator de duas regiões no modelo de núcleos

acoplados com realimentacao de reatividade em ambas as regioea

IKSTlfJT? — j

42.

PARTE IV

A ESTABILIDADE ASSINTOTICA DE UM

REATOR DE DOIS NÚCLEOS ACOPLADOS

1 4 . Consideremos um reator de dois núcleos acoplados, concenti-i—

COS. Indicamos pelo indice 1 a região central e pelo indice 2

a periférica. Suas equações dinâmicas podem ser escritas

( 1 4 . 1 )

Nestas equações k. = k. - 1 onde k. representa o fator 1 1 1

de multiplicação efetivo total da região i necessário para

manter o rea.tor em equilibrio no ponto de operação (inclui,

portanto, o excesso de reatividade necessário a compensação

do envenenamento do combustível, efeito de compensação da rea

limentaçao de reatividade existente no ponto de operação etc)

e '^l^ representa a componente de realimentaçac de reativida­

de a partir do ponto de operação C^vj^^sO no ponto de operação)

da região i.

43.

Deste modo temos ^ V c -^^io - ^ ^ ^ ^ ^ ^ , onde

é o excesso de reatividade total intrínseca (isto e, dem

da à carga do combustível) no núcleo i, e a reatividade

devida a realimentacao de potencia no ponto de operação e

^ ftt ® ^ reatividade suplementar no ponto de operação dada

ao núcleo i pela interação com o núcleo j.

No ponto de operação devemos ter

que e a condição de critical idade de tal reator.

Façamos a substituição de variáveis no sistema (14. l) da­

da por " X v . — ¿ T ~ ~ ) sendo a densidade neutronica no

núcleo i no ponto de operação. Deste modo estamos tomando o pon

to de operação como origem das coordenadas e a densidade neuLip

nica © como unidade de medida.

Com eshas substituições, o sistema (14.I) se torna

No caso de um reator refletido, o núcleo nujueru dois sen-

do o refletor, o sistema ( l 4 . 3 ) pode ser escrito

(14 .4 )

-XX ™ - 4 " —

e a condição de criticalirlade se transforma em

AVi --oivzoíav ( 1 4 . 5 )

a qual evidencia a atuação do refletor, que age como uma fonte

suplementar de neutrons.

Consideraremos inicialmente a rea.l imentaçao 'vj como pro^

porcional ao desvio da densidade neutronica no núcleo i em re­

lação a seu valor de equilíbrio: Xvjj-s °TÍL ^v\^_V\'^.C^ ^ ou

^ T | ^ ^ ^ L V ^ U - X l ( 14 .6 )

Esta maneira de descrever o termo de realimentaçac í,em a

vantagem de caracterizar seu mecanismo como linear, sendo inde

pendente do modelo de extração de calo.r adotado.

Com es ha realimen I a,(;;ao de real. i vidade, o sisl.ema (l/i. po

(Je ser es cr'.i to

45.

O sistema ( 1 4 . 4 ) , que descreve um reator refletido, setor

na:

(14 .8 )

As equações ( 1 4 . 7 ) e (14 .8 ) são nao-lineares. Os sistemas

lineares correspondentes sao

(14.7B)

(14.8B)

Os sistemas (14 .8 ) e ( l4.8B)sao aqueles dos quais mais nos

ocuparemos, tanto por sua importancia intrínseca como pela sua

maior simplicidade formal.

1 5 . Vamos agora discutir a estabilidade assintotica dos sistemas

( 1 4 . 7 ) e ( 1 4 . 8 ) através do uso dos sistemas 1inearizados ( 1 4 . 7 B )

e ( 1 4 . 8 1 3 ) , Para tanto usaremos primeiramen Le urna técnica, expos_

46.

ta no Apendiòe 1 (p. 79 et seq.), devida, em seus ponlos essen

ciais, ao proprio Liapunov.

Consiste ela em se construir uma função de Liapunov da for

ma , onde \ e uma matriz simétrica, definida posit_i

va, solução de Neste caso, a derivada \ e da

da por Nj -r - %,,

Consideremos primeiramente 'O sistema linearizado [I^.'JYS)

com ausencia de realimentaçac (" ív, "5 O ) e com o reator fora de

equilibrio. Esta e a aproximação mais grosseira do sistema

( 1 4 . 7 ) .

A matriz e dada por (ver Apêndice 1, p. 80):

onde

1 5 . 1 !

v i a . \

47.

•Ac » I ^ 4» t V a A

( 1 5 . 1 )

As condições de estabilidade linear correspondentes sao

( 1 5 . 2 )

A função de Liapunov e simplesmente

Para se determinar uma região finita da estabilidade, comn

exposto no Apêndice l,p.77, deve-se tomar a derivada da função de

Liapunov em relação ao sistema nao-linear ( l 4 . 7 ) . O resultado e

9. As funções e ^^^ tj def inem no espaço de configuração

uma região em que sao validas as condições dos teoremas 1, 2 e

3, como exposto no Apéndice 1, sendo esta uma aproximação da re

giao de estabilidade assintotica no espaço de configuração do

reator.

48.

As condições de estabilidade linear sao

1l

(15-4)

( 15 -5 )

Estas condições revelam claramente o papel do refletor

dentro do modelo de núcleos a.coplaiílos; no modelo puntual a con

diçao de estabilidade seria

A derivada de em relação ao sistema ( l4.u) e

i^" - * 1 - -^ -' ^

ll" "xr * V - V - 4 " - '

( 1 ').b)

No caso do reator refletido representado pelo sistema

(14.8B),temos correspondentemente:

49.

Até agora usamos equações aproximadas, e a realimentacao

de reatividade so influencia a extensão da região de estabili­

dade assintotica, nao aparecendo nas desigualdades que f o r n e ­

cem as condições de estabiliuade.

Passaremos agora para uma aproximação melhor obtida, ao se

desprezar os termos nao-lineares dos sistemas ( 1 4 . 7 ) e ( l 4 . 8 ) .

Esta e uma aproximação linear na qual os termos rela.tivos

a reatividade contém uma parcela correspondente a realimentacao

de i'eatividade. Do mesmo mod.o, termos ligados a realimentacao

aparecem nas desigualdades que dao as condições de estabilida­

de. Este modelo e, pois, ujna melhor aproximação dentro d.o esqie

ma de sistemas lineares. A função de Liapunov e construida com

base neste modelo linear; sua derivada em relação ao sistema

nao-linear ( 1 4 . ? ) permite a determinação de ujna região de esta

bilidade assintotica de modo bastante realista e adequada a luna

grande quantidade de questões relativas a operação e segurança

dos reatores nucleares.

Oonsi dei'emos o sistema linearizado (1/1 .y.l-i) , leva.ndo em .'oi

ta a realimentacao de reatividade.

A matriz "P e dada por

50.

1N

onde

— — ^ U

As condições de es habilidade linear, que t o r n a m "7 defi­

nida positiva, sao

Satisfeitas estas condições uma função de Liapunov é

V =\ ' ' 'PX . Tomando a derivada da função de Liapunov em r e l a ç a D

ao sistema nao-linear (14.7) , obtemos:

5 1 .

Satisfeitas as condições ( 1 5.II), podemos escrever

Tomando a derivada da função de Liapunov acima em relação

ao sistema nao-linear ( 1 4 . 8 ) , obtemos:

Considerando agora o reator refletido, representado por

( 1 4 . 8 ) , temos correspondentemente:

( 1 5 . 1 0 )

>- =-T "ü As condições de estabilidade linear se escrevem entao

( 1 5 . 1 1 )

5 2 .

( 1 5 . 1 2 )

Foram feitos programas de computador pa.ra o ca.lculo dos pa.

rametros ^ ^ 2 ' ^ 1 2 ' ^ 2 1 ' " ^ ° ^ elementos de matriz"^;"^ satis

fazendo (15.II) e das coordenadas das curvas NJ = const e N^^O.

Listagens e descrições sumárias destes programas podem ser en­

contradas no Apêndice 4 .

Foram efetuados os cálculos para um reator refletido ra­

dialmente, CUJO combustível era UO^ na.tural, moderador D^O,com

as dimensões: altura = 55O cm, raio sem refletor = 300 cm, raie

com refletor = 365 cm.. Este foi um dos reatores tipicos estuda

do na Divisão de Reatores do IPR como parte do projeto TORUNA/

PROTÓTIPO; uma. completa descrição pode ser encontrada no rela­

tório DR -38 . Os parâmetros, calculados pelo código CREDO, ela­

borado na Divisão de Reatores do Instituto de Pesquisas Radio­

ativas, foram: k = l,l?35ó, k ^ = 1,005, correspondendo a

2 , ?4 -2 " "'^ uiii B = 0,6 X 10 cm , E = 1,02310, p = 0,90241, f = 0,93497,

V| = 1 ,30158. Foram tomados , denF;idade neutronica do nú-

12 , 3

oleo no poni;o de operação igual a 10 n/cm . O coeficiente de

realimentaçac de x-eati vidade, , foi variado de -0 ,0 l8 a,

- 0 , 1 1 8 ; estes valores correspondem aos valores tipinns pi-esen-

tes na literatura. Os resultados finais fornecidos pelo prdícra

ma, corresponriendo a "^c^V* = -0,028 estao apresenta,dos na pa­

gina 54 •

54.

Os teoremas 2 e 3 e o corolario 1 do teorema 3 nos g a ­

rantem que a curva V = C limitada ujr a região do espaço de con­

figuração na qual o sisi.ema e assintoticamente estável, sendo

ela a maior encontravel por este método. Entretanto, como o b ­

servamos anteriormente, isto nao exclui a possibilidade de que

o reator seja assintoticamente estável em pontos fora desta re

giao.

Ve-se que a estabilidade assintoLlca esta garaniida para

excursões de potencia em que a densidade neutronica nn núcleo

sobe ate 26''? acima da nominal.

A dependencia da região de estabi 1 i.dade assinloí Lca. em re

laçao ao coeficiente d e realin enfcaçao de reativida-rle fstíi n.frre

sentacia na firura. 6.

Sao exibidas na figura 5 as curvas V = O e V = const, cor

respondendo a este caso. O maior valor da constante C para a

qual a. região limitada pela curva V = C esta contida na região

. ^ , -A , •

em que \/<0 e C = 0 ,19 x 10 • E de verificação simples o fa­

to da origem ser o único subconjunto invariante do conjunto

Os métodos usados no parágrafo anterior para a. investigação

da estabilidade assintótica tem as vantagens da simplicida

de, podendo eventualmente ser feitos automaticamente por

meio de um computador digital, e de fornecerem as condi­

ções de estabilidade sob a forma de- desigualdades sim—

pies.

Devemos notar, entretanto,

bilidade que se encontra através

nao estando excluida a hipótese

assintoticamente estável.

que a região finita da es_

deles nao e a maior possível,

do sistema ser globalmente

Vamos agora usar um rnetodo, originado da teoria do con­

trole a.utorratico, que nos permite investigar a estabilida

de assintótica global, usando diretamente os sistemas

nao-lineares. Tal e o método de Aizerman, do qual uma

exposição sumaria se encontra no Apêndice 1, p.'83.

61.

Ao invés de considerarmos apenas realimentaçao linear de

reatividade, consideraremos um mecanismo qualquer de realimen­

taçao representável por uma função integrável. Esta e uma con­

dição extremamente geral para uma função característica de uma

realimentaçao de reatividade.

0 sistema correspondente a um reator com duas regiões que

contem material fissil pode ser escrito

(17.1)

e o sistema que representa um reator refletido se escreve:

(17.2)

As funções OtlTM^ e V)t.Xx) descrevem as reatividades dos

núcleos um e dois, incluindo os efeitos de mecanismos de reali

mentaçao.

Trataremos primeiramente do reator de duas regiões fisseis,

com mecanismos de realimentaçao em,cada uma delas, descrito pe

lo sistema (17•1)•

55-

1 0 %

8. o

— C O E F I C I E N T E DE R E A T I V I D A D E

fig. 6

Variação da região de estabilidade com o

coeficiente de reatividade. Reator refl£

tido e método de Liapunov - La-Salle

1 6 . Vamos usar agora o método de Schultz para a determinação de

condições e região de estabilidade assintotica do sistema

( l 4 « 8 ) , utilizando-se a aproximação linear ( l 4 . !

Como exposto no Apéndice 1 , devemos primeiramente im­

por condições para que a matriz B do sistema (14.8B) seja es­

tável, isto e,»seus valores próprios tenham parte real negati^

va. Efetua-se entao a mudança de coordenadas X-'^^. , tal

quel? seja a matriz diagonal D. O sistema (14t8B)se trars

forma entao e m X — ' D ^ . Uma função de Liapunov para tal siste-

56.

ma, e (.'Z^S.^'i^Z. ; voltando às variáveis de estado, obtemo s W =

= X"'^^''iTl?"'X • Toma-se então sua derivada em relação ao si£

tema (não-linear) ( 1 4 . 8 ) ; para a determinação da região de es

tabilidade assintotica procede-se como no paragrafo anterior.

No caso do sistema ( 1 4.8B) sua matriz e

Sua equação c a r a c t e r i s t i c a \ ^ - X T \ - O

(16.1)

(16.2)

As condições de estabilidade de Routh-Hurwitz sao

^> ^ (16.3)

que sao as mesmas que no metjdo do parágrafo I5 (.eq. i 5.ll).

Devido a complexidade de se trabalhar no caso literal, efe

tuamos os cálculos para um exemplo concreto. Corresponde ele

ao mesmo reator estudado no paragrafo anterior (p. 5 2 ) .

Assim, os valores próprios d e " ^ sao Xk = -4 ,395

X t - -29,09- As matrizes "P e "t> são

57.

(16 .4 )

( 1 6 . 5 ) A função de Liapunov e

Unta» * .

Devemos voltar à variável de estado X e calcular a deriva

da da função V em relação ao sistema nao linear ( I 4 . 8 ) .

Temos imediatamente

(16 .6 )

• ^ % o , ^ i i \ l t a , - \ \ ' H ^ 1 - > t l 4 ( 1 6 . 7 )

4. '2.7,ãp\%-%\%x

Como ^ e Ñ|l'£ dadas por ( I 6 . 5 ) sao, respectivamente,

definida-positiva e definida-negativa, podemos garantir que

(16 .6 ) e definida-positiva e ( I 6 . 7 ) será definida-negativa em

alguma vizinhança da origem. A determinação da região de esta

bilidade, efetuada da mesma maneira que no paragrafo I 5 , mos­

tra que a estabilidade assintotica do reator refletido festa

garantida para excursões de potencia'em que a densidade n e u —

tronica no núcleo sobe ate 236^ acima da nominal, conforme

58

mostrado na figura 7- comparação, o m.etodo de Liapunov -

- La-Salle garante, neste caso, a estabilidade ate uma densj^

dade neutronica 27% acima da nominal.

Ve-se, deste modo, que o método de Schultz fornece uma re

giao de estabilidade assintotica no espaço de estados multo

maior que o método de La-Salle - Liapunov.

Deve-se notar ainda que as 'regiões de estabilidade a s s m -

totica obtidas sao extremamente grandes, se considerarmos o

caso da maior parte dos reatores reais; para estes, perturba­

ções que atingissem a fronteira da região de estabilidade cer

tamente causariam mudanças irreversíveis, como o derretimento

de elementos combustíveis.

Reator refletido Região de estabilidade Assintotica

radialmente Método de Método de

Liapunov - La--Salle Schultz

R = 3,00 m

R^ =• 3,65 m

H = 5,50 m 27/° 236/0

k = 1,12356 CD

^ f = l ' ° ° 5 •

61.

Ao invés de considerarmos apenas realimentacao linear de

reatividade, consideraremos um mecanismo qualquer de realimen­

taçac representável por uma função integrável. Esta e uma con­

dição extremamente geral para uma função caracteristica de uma

rea.l imentaçao de reatividade.

O sistema correspondente a um reator com duas regiões que

contêm material fissil pode ser escrito

s

X í ^ O^l^O 4- ÜKa. -jtj.

(17.1)

e o sistema que representa um reator refletido se escreve:

(17.2)

As funções QT ^."^1^ e \oC'X?."\ descrevem as reatividades dos

núcleos um e dois, incluindo os efeitos de mecanismos de reali_

mentaçao.

Trataremos primeiramente do reator de duas regiões fisseis,

com mecanismos de realimentacao em cada uma delas, descrito pe

Io sistema ( 1 7.I).

IKSTiVJT'.'

6Z.

As desigualdades tipo Hurwitz para este sistema sao:

( 1 7 . 3 )

Definamos ^•Zxvso .(.\ol.Xií| e oCs ^ ^ ^

Como exposto no Apéndice 1, p. 86, uma função de Liapunov

adequada ao problema é

(17.4')

Su.a derivada em relação a ( l 7»l) é

^ *• * . (17^5)

A função V I positiva definida @ nao-limitada radialmente;

devido às des i fixa Idades ( 1 7 . 3 ) Ñ| é nao-positiva.

Podtmoi tntfto oonluir que, Batisfeitas as condições ( 1 7 . ^ ,

o iistiina ierá aBsintòtioamenta estável globalmente, pelo teo­

rema 4« Na realidade Krasovskii demonstrou (apud |ref. 17|)q\e

líB condições (17«3) sao necessárias e suficientes para a estaü.

lidade assintótiea global do sistema ( 1 7.I).

63-.

No caso do sistema ( l 4 . 7 ) temos

Para que o sistema (17.I) seja globalmente assintoticamen

te estável as funções e Vi"^*^ devem satisfazer as d e s i ­

gualdades ( 1 7 . 3 ) para todo - 1 e "Xt^ - 1, que são as

cotas inferiores para as variáveis"32i , pois as densidades neu

tronicas nao podem ser negativas. Se as desigualdades (l7«3)

não forem satisfeitas por todo par ('íS>*}X'* admissível, a esta­

bilidade assintotica nao será global, existindo apenas nai re­

gião do espaço de estados cujos pontos satisfaçam as condições

( 1 7 . 3 ) .

Vamos agora usar o mesmo método para o sistema ( I 7 . 2 ) que

governa o comportaunento dinámico de um reator refletido, com

um mecanismo qualquer de realimentacao de reatividade em seu

núcleo.

As desigualdades de Hurwitz para o sistema sao

Uma função de Liapunov para o problema é

64.

^|-\i-=íàa^=-±iillv>^'lá»^ ^ " k ( . 1 7 . 7 ) WIN ' ^ ' ^ ^ ' ^

Sua derivada em relação ao sistema ( 1 7 . 2 ) e

i -

( 17 .8 )

Para -fr o sistema e assintoticamente estável

globalmente, pois ^ e definida positiva, nao- limitada radial-

mente e | e nao-positiva

Portan'.o, sempre que as desigualdades ( 1 7 . 6 ) forem sti.tis-

feitas o sistema sera assintoticamente estável.

Vam.os delimitar a reglao de estabilidade no espaço de es­

tados do reator refletido, determinada pelas desigualdades

( 1 7 . 6 ) . Come os coeficientes de acoplamento e tempos de vida

dos neutrons prontos sao quantidades positivas, sempre que a se

gunda das desigualdades ( 1 7 . 6 ) for satisfeita, a primeira tam­

bém o.sei'a. Basearemos entao nossas considerações na desigual­

dade çxi"i^^K-laiH, .

o elem.ento d.e controle Q»,t' \'\ (linear ou nao-linear) depen

65.

de essencialmente dos parámetros do sistema reator refletido;

pode-se então, pela escolha adequada dos parámetros, otimizar

a região de estabilidade assintotica do reator.

No caso de um reator refletido funcionando com realimenta

çao de potencia linear, como e o.caso do sistema ( l 4 . 8 ) , tere­

mos F à V , ¥ " l s n v ? » .

A segunda desigualdade ( 1 7 . 6 ) e entao

.4 - ( 1 7 . 9 )

Esta desigualdade nos permite tirar interessante conclusão

lembrando-se que "^r/í ; para que o reator refletid.o seja assin

toticamente estável devemos t e r 4 0 . Neste caso, se a den

sidade neutren 1 ca satisfizer a cota dada por ( l 7 . 9 ) podere­

mos afirmar que o reator e, ate este ponto pelo menos, assint£

ticamente estave1 .

Podemos também concluir que um reator .r^efletido, denT.ro

do modelo de núcleos acoplados, nunca e glcbalmenie assintoti­

camente estável para uma realimentacao de reatividade represen

tavel por uma função linear.

66.

As desigualdades (17.6) coincidem com as desigualdades

( 1 5 . 1 1 ) no caso de suficientemente pequeno; nestas c o n d i ­

ções a consideração das equações nao-lineares fornece as mes —

mas condições de estabilidade que no caso linear. Para *** não

desprezível as desigualdades (17.6) são mais restritivas, i m ­

pondo mais condições a estabilidade assintotica que as referen

tes ao caso linear.

67.

CONCLUSÕES E DIREÇÕES PARA TRAP.ALHO FUTURO

18. O modelo de núcleos acoplados de um reator nuclear leva

em consideração sua nao-uniformidade de modo simples, realístico

e matematicamente tratavel. Responde de modo direto a questões r£

lacionadas com o efeito de uma perturbação de uma natureza qual —

quer em uma região do reator sobre as outras.

O método direto de Liapunov permite o tratamento de modo

simples de questões relacionadas com e, estabilidade do reator de

núcleos acoplados. Permite encontrar-se regiões finitas do espaço

de estados do reator em que sua estabilidade assintotica e garan­

tida, fornecendo, além disso, condições para que a estabilidade

seja global.

. Os métodos de Liapunov-La Salle e Schultz, que usam a li_

nearizaçao das equações do sistema, podem ser facilmente feitos

de modo automático por um computador digital, ja que envolvem prii

cipalmente operações com. matrizes.

O modelo- de Aizerman para um sistema com elementos de

• controle nao-lineares presta-se extremamente bem a discussão da m

tabilidade assintotica de um reator de duas regiões com realimen­

tacao nao-linear em cada uma delas. Este modelo nos fornece ainda

68.

no caso de um reator refletido com realimentaçac linear no núcleo,

uma cota superior para a densidade neutronica do núcleo, alem da

qual o reator nao e assintoticamente estável.

Os cálculos efetuados com casos tipicos mostram que para

valores razoáveis de seus parámetros os reatores correnpondentes

aos dados empregados possuem regiões de estabilidade assintotica

que permitem perturbações na densidade neutronica de ate 4 7 % aci

ma da nominal serem amortecidas, retornando os reatores ao nivel

de equilibrio.

Deve-se notar que os resultados sao fortemente dependen­

tes dos coeficientes de acoplamento. Seu calculo, feito pela teo­

ria da difusão, e bastante grosseiro. É, entao, necessário efetu­

ar-se calcules mais precisos, pelo uso da teoria do transporte,

nos moldes dos efetuados por Seale e Hansen |ref. 36|. Os calcu—

los dos tempos m.ed.ios de vida dos neutrons prontos devem, da mes­

ma, forma, ser refinados.

Em relação ao emprego mais efetivo do método direto de

Liapunov, deve-se colocar em uso pjrogramas de computador permiti_n

do que os cálculos dos métodos de Liapunov-La SalJe e Schultz, se

jam feitos a,utom.at i camente, para sistemas de ordem maior que dois.

69.

Isto permitira a inclusão de modelos de realimentaçac

mais elaborados, das variáveis descrevendo as temperaturas das d_i

versas regiões, de grupos de neutrons atrasados, e de modelos de

reator com maior numero de regiões que o considerado aqui.

70.

A P É N D I C E 1

O propósito deste apéndice e apresentar uma exposição su

maria dos principais resultados matemáticos usados na analise desm

volvida no texto; mo,ior desenvolvimento pode ser encontrado, por

exemplo, no belo livro de Lefshetz - La Salle "Stability by Liapu-

nov's Direct Method with Applications" |ref. 19] ou no tratado de

Hahn "Stability of Motion" |ref. 14[.

19- Teoremas de Estabilidade

Teorema 1 - Se existe uma definida positiva e tal que

em relação ao sistema seja nao-positiva em

uma regiao contendo a origem, entao a solução

zero d) sistema citad.o e estável.

Demonstração - Como e definida positiva em podemos afir

mar que existe uma bola fechada centrada em O de

ralo r, contiiJa em tal que

X ^ O )

i s to e , urna Soiu(,;a,o

7 1 .

Consideremos a solução '^It) de ( 1 3.I) tal que

O teorema de existência (local) de solução nos garante

que tal solução existe em um intervalo '^4\»<^% , para algum

ÍLt>'0 e sabemos ainda que ela pode ser continuada pelo menos en —

quanto l ^ l ' ^ ' i^^T' . Suponhamos que Ipj'fet' seja o maior intervalo

em que a solução possa ser prolongada. Entao ou a ) ^ % ~ ' V » S ' ou b)

04^t <.Vs© _ Mostremos que paralX''i\\ escolhido suficientemente

pequeno b) nao ocorre.

Sabemos queN "íí V 3 para

Por integração desta desigualdade obtemos;

Portanto

sendo que a desigualdade da esquerda e consequência da condição ini

ciai ^ I implica, pelo teorema de unicidade de solução,

que

Seja X O ) IX.\\<-

72.

Suponhamos dado um S > O tal que ^ ^ t ^ t " g geja S o

conjunto fechado tal que S

Pela continuidade de Nj e do fato que S e fechado, exis­

te í^ = min \ l jK\ e e estritamente positivo. Como

podemos escolher um real , 0 4 ^ < ^ .^^^T^ para ^ X * ^ ^ ' ^ ^ ^

N^l^Kíí.)^^ • ^ desigualdade {*) nos mostra entao que a so-

lução «^^W , ^ ^ ^ ^ «Xt. , \ \X^k^ satisfaz ^ <H^^^^^')^\^Oi<^

para O ^ t < t \ "

Como ^ foi definido como o minimo valor de NJ sobre S,

isto implica que \\'^^^^'^< S para ^ ^ t ^ ' L v . Mas isto só é po¿

sivel se , pois se para algum outro ponto tivermos

^'S^IJC^^^ = 6, ^ entao para ^-'ta teremos pela definição de ^ e

por {**):

, o que e absurdo.

Assim e dado um encontramos um \ > O t a l

que ÍX%^<.' implica ^"^W^ <.S. para

Teorema 2 - Se existe uma função rea] \ j que é positiva definida e

tal que e negativa 'iefinida em urna reriao

contendo a origem, então a solução zero de Y.'s'^O^^é ar.s i n to ti ct

mente estável.

7 3 .

Demonstração - Pelo teorema 1 a solução zero e estável. Eíti particu

lar, para « , existe um > O tal que todas

as soluções 'S' pl't"^ comC'-*^•®X& e | X 4 | " ^ ^ C * existem para

fe^'t.^.^^ e satisfazem

l - ^ W W ^ ^ para

Sabemos pela demonstração do teorema 1 que'^\^^yil| e uma

função nao-crescente de limitada inferiormente. Portanto existe

X v i m ^ t ' ^ l t ^ j . Suponhamos que para algum QáéVI^'C pudéssemos ter

Mostraremos que tal e impossível. Por continuidade, dado

o , existe um \ > ^ , O ¿X CV tal que

^ iy}) V\ quando

Portanto todas as soluções que satisfazem (l) de­

vem satisfazer | p a r a t . > 0 . Se ja def inido por

Consideremos a f ungao "=» no compacto Por hipo Je

se"~"S|VX^ é definida positiva. Seja

Como ^j'^^ temos 4 l^))> j ^ > ^

Integrando esta expressão obtemos

Mas esta expressão nos mostra que para "t. suficientemen­

te grande >J v." ^^1/ sera negativa, o que e uma contradição. Portan

to (l) e impossivel e devemos ter \ v m N|\j4="W^sO, que implica

Esta condição e satisfeita por toda solução tal que

20. Região de Estabilidade no Espaço de Estados

Para investigar do modo preciso a região em que existe œ

tabilidade assintotica necessitamos de teoremas mais finos, que

vem a seguir.

Definição; • Um conjunto de pontos de e positivamente invari.

ante em relação ao sistema (13.I) se toda soluça.o de

( 1 3 . 1 ) começando em V permanece em \ para todo tempo futux 'O.

Seja \ j l^X\ urna função de classe C''' (nao e necessário que

seja definida positiva) tal que H ^ ' ^ ^ O • Seja o conjunto

dos pontos de tais ^ V, . Para todo k o conjunto*^^, ou mais

ainda, cada componente conexa de "^Hs. , e um conjunto invariante em

75.

relação a ( 1 3.I). Isto decorre do fato de, se K^^ e se

«s l tW é uma solução da ( l 3 = l) passando por X® , entao

.^N|t^lt,X.))^Ni , de modo que l^^L^í^* Como

' j ^ ^ ^ S ^ , ^ l ^ l ^ í t í ) ^ V para todo i e =4 l- í H V. para todo

. Assim cada componente conexa d e ' S ^ é um conjunto invari^

ante.

tiva.

Seja uma solução de ( l3.l) e c"*" sua semi-órbita posi

Definição - Um ponto

LC da solução

pertence ao conjunto limite positivo

se existe uma sequencia

tal que Vfm' n ete de modo que Ylow«s\A»t>í'\

limitada para ^ en-Lema 1 - Se a solução

tao seu conjunto limite positivo LC e um conjunto invar_i

ante nao-vazio. Além disso " ^ ^ ^ ^ 1 ^ tende para LC"*" quando "^"-s^-V^

Demonstração; ver |ref. 6, I9 , 2 0 | .

Suponhamos

que C pertença a

se C em tal que ^

l'a

%l,«b uma solução limitada de (l3.l) tal

,X1, contendo a origem; e M^X\ de clas-

^ . Vamos descrever o comportamento de

76.

Lema 2 - Seja V de classe C''" em = ^ c"R contendo a origem e tal que

M ^ O \X . S e j a X « & - ^ e uma solução li

mitada de (13. l) tal que c"^c X L para Í > 0 e LC"^ de ^(.^^^o)

pertença a . . Entao ^JCX^^O para t o d o X ^ LC ,

Demonstração; ver rei'- 19) 20

Teorema 3 (La Salle - Kra,sovskii) - Seja N v Y . ) i- a função real nao

negativa definida em X L C * ^ contendo a origem, de clas­

se C""".

9

Suponhamos Para algu­

ma constante real °X '>5'^ seja C. X a componente conexa do conjunto

^ X " \ X \ ^ l . X \ é X"^ contendo a origem e suponhamos C X compacto.

Seja E o subconjunto de X L definido por E =\,^\n| l,"^ - , Seja

M o maior subconjunto positivamente invariante de E em relação a

( 1 3 . 1 ) .Então u"(!a, :.'.ul uça.o de (],',.l) '•••jineçando c m C \ í^'^-'"' "^--^ icn

de para M quando \

IJemonstraçao: S e . j a ^ ^ t C ^ e '^(,.\:^Yjs\ a solução de ( 1 3 - 1 ) tal que

. Entao pela definição de \J e da hi­

pótese de que ^ (,< l"*! 4 O 1 segue-se que ^ í . ' ^ " " ( . " ^ é uma

conjunbo limite LC da solução «:ip> ft^Ã,*'^

7 7 .

Deste teorema resultam os dois corolarios seguintes, de

grande importancia para a determinação da região de estabilidade

assintotica.

Corolario 1 - Suponhamos que exista para o sistema uma

função real \ i l t ^ de classe C definida positiva em

•uma região contendo a origem e que Nj $ 0 para todos os pontos

de-fí-. Suponhamos que a origem seja o único sub-conjunto invarian­

te de E . Entao a solução zero de 'X'S.^ é assin

toticamente estável.

Corolario 2 - Seja de classe C nao-negativa tal que '^l.^'\^0

para todo X^*^ e seja . Seja E o conjunto

em definido por E = ^ X \ M ~ . SEJA M o maior sub-conjuji

to invariante de E. Entao todas as soluções limitadas de (l3.l)ten

dem para M quando — ^ 4° .

função decrescente de . Portanto '=íp^\X'^^Cx para todo ^ ' ^ ^ .

ComoCx é limitado e fechado, LC"*" da solução " ^ v" *' também está

contido em v_.\ , Pelo lema LC e entao, por de­

finição, L C ^ t . Como LC^ é um conjunto invariante, o lema 1 afir­

ma que LC"^'^ M e também que ' l3£\X<» tende para LC"^ (e portanto pa

ra M) quando \ , =V ^ ®

78 .

Seja =£1=^^ aberto contendo á origem. Suponhamos

^'."^«.««'^ uma função que em seja positiva definida e tal que

^ € • 0 em relação a %.' '

Suponhamos que a origem seja o único sub-conjunto invari­

ante de E = 1

Consideremos Q% , componente conexa de |X\Ml.X|áX\ *-°ll

tendo a origem. O teorema 3 nos garante que todo C^. compacto

contido em XL esta contido na região de estabilidade assintób.

ca. Procuramos entao o maior X, pa:r-a o qual ainda esteja

contido em XL. Como cada C x e i.un conjunto invariante, podemcs

dizer que a região de estabilidade assintotica e pelo menos

tao grande quanto o maior conjunto invariante contido em X L ,

pois foi esta a. propriedade de usada no teorema 3- P o r ­

tanto o interior (.le Cî , esta contido na região de es1;abi 1 ida.it?

assintotica e e uma ayiroximacao pe.ra esta (v. fig. 8 ) .

21. Método de Determinação da Região de Estabilidade Assintotica

Estamos agora em condições de estabelecer um método regu­

lar de determinação da região de estabilidade assintotica.

79.

fig." 8

Como o teorema 3 nos da apenas condições suficientes,nao

está excluida a hipótese da reglao da estabilidade assintotica de

Xs^^X'^ser todo'R*^ , como nos mostra o resultado seguinte:

Teorema 4 - Se ujna função real tal que

a) Nl lA e positiva definida em quando

b) "^ IX^^O para todo

c) a origem e o único sub-conjunto invariante de E = X \ ^ ^ ' A = ^ ' \

Entao a solução zero de

ticamente estável.

e globalmente assinto

Demonstração: Segue exatamente os passos das demonstrações anterio

res.

Corolário 1 - Se3a\^X^ uma função N satisfazendo a condj^

çao a) e tal que seja definida negativa. Entaa

a solução zero de e globalmente assintoticamente estaveL

Corolario 2 - Se a) e b) sao satisfeitas entao todas as soluções

de X-'^^X\ sao limitadas para

22. Geração das Funções de Liapunov

Vamos agora examinar algumas maneiras de construirmos fiin

çoes de Liapunov para os problemas de nosso interesse qui.

aj O primeiro método e essencialmente devido a Liapunov,com

aperfeiçoamentos devidos a Krasovski e La Salle |ref. 1/:, 19 1 .

Seja o sistema X " ' ^ ^ , ^ - Tomamos o sistema linearizado

correspondente A - , Vamos examinar a estabilidade assintotica

do sistema linearizado. Devemos lembrar que estabilidade assint,o + _i_

ca d© um sistema linear e sempre global, enquanto que a do sistema

1'eal nao-linear ela pode ser resti'ita a uma região finita do espa

ço. Para se obter a condição real de estabilidade e necessário, en

tao, levar-se em conta as nao-linearidades.

8 1 .

O sistema linear sera assintoticamerite estável se for pos^

sível enconti'ar-se uma matriz"^ simétrica, positiva-definida,

solução de

(22 . 1 )

sendo a matriz 1, a matriz identidade. O problema e equivalen

te assim à determinação dos coeficientes de uma determinada

matriz por meio de equações lineares. Encontrados estes coef_i

cientes, impoe-se a eles a condição de que a matriz deve ser

definida-positiva. Faremos aqui o calculo para sistemas de or

dem 2.

A matriz Y determinada tem a forma

(22.2)

Esta matriz e definida-positiva se e somente se

(22.3)

A primeira condição (22=3) implica que

(22.4)

IÍ;3T;:ÍJ:-O r: Í::::~.

82,

(22 .5)

(22.5) e (22.4) implicam que

As desigualdades (22 .5) e (22.6) sao chamadas desigualda­

des de Hurwitz e sao as condições para a estabilidade do sistema

linear.

A função de Liapunov para o sistema linea.r e

• (22 .7 )

e sua derivada em relação ao sistema linear X-K'lik e

N|--V7)C (22.8)

ve-se que sao, respectivamente, definida-positiva e definida-nega­

tiva em todo'R,'*' .

Devemos agora levar em conta a na.o-l mearidade do sistema

. Para tanto tomamos a derivada Nj^K^ da função (22 .7 )

nao em relação ao sistema linear, mas em relação ao n a o - l i i e a r

Como a r u n ç ã o ' ^ l \ \ é próxima d e K X (?C.X\= K X + '-ermos

de ordem superior) numa vizinhança de oi-igem, sera nega.i.iva -

-i.lefInida ai.

83.

Conforme se afasta da origem as nao linearidades se fazem

sentir e haverá uma curva para a qual ^ l l ^ ' s O ' ^ origem e obviamen­

te um subconjunto invariante desta curva £ , ' 5 ^ ' X \ \ | ' 0 ^ " O l . Deve-se

entao verificar que este e o único subconjunto invariante de aph.

cando-se o método explicado em seguida ao teorema 3 tei'emos deter­

minada uma reglao de estabilidade assintotica para o sistema.

üm outro método que usa o sistema linearizado e o de Schultz

iref.34¡.Neste método toma-se o sistema linearizado X ' ^ ' ^ C. Efetua

-se uma transformação de coordenadas X—°V"2 tal que no sistema

transformado2-"S'^X. a. matriz'^^í?^"^ seja diagonal, isto e,

( •'• ^, onde os X \ sao os valores próprios de B. Impoe -ze

a condição de que a matriz B seja estável, isto e, os valores pró­

prios tenham parte real rogativa. Se todos os valores próprios fo­

rem reais, tomamos ^ S X^'Z,.

Decorre entao que \f \ ^ S X\ "^'^

As funções V e V do sistema linear sao, respectivamente,

def inida-positiva e definida-nc;gativa.

Volta-se entao as variáveis de estado X.

Obtemos V(X) = ' ^ Î .T^t^ î "^ X ' é definida postiva.

84.

Tomamos agora a derivada em relação ao sistema nao

linear . Ela sera negativa definida em alguma vizinhan

ça da origem. Procede-se entao como no método anterior para a

determinação da reglao de estabilidade assintotica.

No caso de haver valores próprios complexos o tratamento

e ligeiramente mais delicad.o, podendo ser visto na |ref. M| cu

no li^To de La Salle-Lefschetz |ref. 19I•

c) Veremos agora van método que nos permite testar a esta.bil_i

dade assintotica global do sistema usando iliretamente o sistema

nao-linear. Este método diz respeito a uma classe d.e sistemas pa

ra os quais se colocou uma conjectura que tomou o nome de probte

ma. de Aizerman ref. 1], 14 | .

Consideremos o sistema

onde cvL'Xv) JoC•5l.l. j c(.•* ^ , c)L-><.ii são funções contínuas.

Para c sistema linear correspondente as desj.,gu.aldades de

llu.r'Witz coi-responden!.es sao CXVç\

man conjee turou que a estabiliiJade assintotica global do siste­

ma nao-linear es tari a assef-unada desiJe ciue os termos nao-linea-

85.

A conjectura foi provada falsa mesmo para sis temas œ ordem

2) as condições de Hurwitz tem que ser suplementadas per outras.

HÉ, entretanto, certos tipos de sistemas de ordem 2 para

os quais a conjectura de Aizerman e válida, e deles nos utiliza

remos.

Um desses sistemas é aquele qite rege um sistema com somen

te um elemtnto de controles

Mostremos pelo método direto de Liapunov que as desigual_

res satisfizessem desigualdades como (I4.II) acima, isto e,

(22 .12)

86.

dades de Hurwitz sao suficientes para a estabilidade assintotica

global de (22 .13) .

As desigualdades de Hurwitz sao, neste caso,

e ujna função de Liapunov e (ref. I 4 )

(22.14)

(2¿ .IS)

A derivada é Ñ = ^^L-^-Aà-U^^^^^^Ud") (.0.16) . Esta

derivada e negativa semi-def inida, e como = O não contém outra

trajetória do sistema senão a de equilíbrio, podemos aplicar o teo

rema 3. Como a função \1 e positiva definida em todo'^'^ desde que

c i , % \ o C Í ^ O (ref. 1 / , ) ,

sintoticamente estável globalmente desde que as desigualdades

(22.14) sejam satisfeitas.

Outro sistema para o qual a conjectura é verdadeira é

As desigualdades tipo Hurwitz sao

87.

(22 .17)

(22.18)

o método direto de Liapunov nos permite provar que escás

condições sao suficientes para a estabilidade assintotica global de

( 2 2 . 1 7 ) .

As desigualdades (22.18) podem ser escritas

Definamos f^=^^*^^U^N e o/=

Devido as desigualdades anteriores oL e sao números ñ

ni tos.

Temos entao as desigualdades, análogas as anteriores:

88.

i

a U » ^ jí> > o<

Como ÇXC?L\ ' \>£Í . , temos

Alem disso, como

obtemos as desigualdades

(22 .19)

Tomemos a função

(22^20^

Su.a dei'ivaiJa em relação ao sis Lema (22.17') c

89.

Krasovskii conseguiu mostrar ref. 1/i baseado nos cálcu­

los acima, que as condições (22.18) sac necessárias e suficientes pa­

ra a estabilidade assintotica global de (22 .17) .

Mesmo nos casos em que a estabilidade assintotica nao e

global, isto e, nos casos em que as desigualdades de Hurwitz nao sao

satisfeitas para todiO iptxjX-u fe"^ , o problema de Aizerman nos for

nece uma condição de estabilidade que delimita a reglao do espaço

dos parámetros e a do espaço de configuração em que o sistema e as­

sintoticamente estável, através da aplicação dos teoremas 2 e 3-

23. A teoria de Lurie

Vamos nos acupar agora de um problema extremamente geral

da teoria do controle automatice.

Consideremos o sistema

X=J a) ,

Se.i a o único ponto critico de (i

2 >,.l

A função é positiva-defmida e nao-limitada radialmen-

te, devido às desigualdades (22.18) e (22.19) H é nao-positiva. Os

teoremas 3 e 4 nos asseguram entao que, satisfeitas as desigualda­

des (22.18) e (22.19), o sistema é assintoticamente estável globalmen

te.

9 a

Suponhamos que se possa separar as componentes x^, x^i--.

X de em dois conjuntos: as componentes do sistema , ... ,

y e as componentes de controle z^, z^, com p + q = n.

O sistema (P'^.l) assumv-i entao a forma

o sistema sem controle ou sistema fundamental e

y~GL , ^ (23.3)

O proposito do controle e assegurar ou melhorar a esta.bih.

dade assintotica do sistema, em relação a origem.

Na forma geral (p J.2)3 sist ema e de dificil tratamento mate

mat iCO.

Pode-se enhao recorrer a linearização, que pode ser total,

envolvendo a, função (21. 3), oomo feito a.ntei'iormente, oi' parciaL

Na linea izaçao parcia,l e linearizada, apenas uma d.as funções O ou H.

.De njí modo geral lineariza-se o sistema fundamental e ma.ntérn-se o

vetoj'de contí-ole como nao linear.

Nosso sistema (22.2), com o sistema fundamental lineariz¿3,tlü ,

9 1 .

toma entao a forma:

' (23.4)

No caso de X fe\S, , isto e, um sistema de controle unidi­

mensional, temos dois casos a considerar: a) controle direto; b)

controle indireto. O sistema (23.4) se escreve entao

o tipo b) e o que tem maior importancia para nos. ' CP' e

chamada função característica do controle, sendo C o sinal de rea­

limentacao, ou variável de controle. Sao necessárias as seguintes

hipóteses sobre

1) ^^Sf) c definida e continua para todo O"

^•sO , O ' ç^tC 'WO para todo Cr^^O

3) ^ c to- ieo- ^ - v «o

•As funções satisfazendo estas condições se denciminam fun-

çoo;-. o.-ii'.j.i; i.c f l'o I. i f.;j.s iidm i ss i ve i S.

C'jnsideraremos daqui por diante

92.

¿3 .5 :

0 f 0

Consideremos A, uma matriz estável, isto e, com valores pro

prios que possuem parte real negativa. Como sabemos, isto e equiva­

lente a dizer que existe uma matriz simétrica, definida positiva,

solução de . O problema agora e determinar c-inJiçoes

que assegurem a estabilidade assintotica global do sistema ( 2 3 . 5 ) , ga

rantida a estábil dade assintotica da parte linear, para toda funça)

admissível. Tal estabilidade se denomina absoluta.

Transformemos (23.5)3, uma f)i ma. equivalente, por meio da mu

dança

do espaço (' )'\"^ ao (^^jO''^ • A matriz M desta transformação é

Se A e nao singula.r, en Lao

Como supusemos A estável, ela e nao-singular, e M e nao-singular se

e somente se

Com esta transformação (23 .5) ' JC transfer' ma em

93.

o ponto e um ponto critico de (23.6) se e samen

Como A e nao-sing--.,lar, 35,« * K ^ ^ C ^ o ^ , de modo que

C,0'A"*Vs-^')<^^<r* í.O . Isto implica «d^<.<nHO , e portante

A origem d.o espaço (T* jS" e o único ponto critico de

O sistema(23.6)se diz em. forma canónica de Lurie.

Para tais sistemas e valido:

Teorema - Seja A uma matriz estavel, a matriz simétrica, positi­

va definida tal que - "VA - - 1 , . Definamos Ó - " ^ ^ " * ^ . Se

n sistema (23.6'' c equivalen!.emente, o sisie

;n;i. (.2 3.';) c absolutamente esl.avel.

A demonstração se baseia na consideração da função de

Liapunov

(23.6)

94.

Pode ser encontrada ñas Iref. 61 e Iref. 21

95-

A P É N D I C E 2

OS COEFICIENTES DE ACOPLAMENTO

24. Os coeficientes de acoplamento <^i.\ podem ser definidos

apenas em caso estacionario. Podemos escrever que:

número total de neutrons que passam da região 1

para a j por unidade de tempo

número total de neutrons que desaparecem da reglao

i por fuga e absorção por unidade de tempo

Deste modo: ^ ¿ \ — ^

S i N¡-,

sendo ^ ( a superficie que limita a região i, " ^ i ^ a superficie de

separação das regiões i e j, 3 ^ a corrente de neutrons saindo da

região i j ^ * ; o fluxo de neutrons em i, i, o volume da região i.

Vamos calcular agora os coeficientes de acoplamento para

um reator refletido radialmente, com raios do núcleo e totalç^ ,

altura 2h.

Podemcs escrever que ^3;* . ds ^ 31« él

¿- i

96.

Portanto

Ora, no núcleo

enquanto que no refletor este termo.se anula identicamente.

Temos entao r- ^

Como estamos interessados apenas no acoplamento no senti­

do radial, todas as correntes que aparecem nas formulas acima devem

ser tomadas como a componente rad.ial da corrente total.

Para i,im reator' com refletor r'adial, a teoria da difusão

com um |,";ru|;)0 de neutrons nos fornece as exp.ressoes segu i n t.es [lara

os fluxos no núcleo e no refletor:

o termo \3c<>à' pode ser transformado

97.

fluxo no núcleo

no refletor

onde Lfei . l r ç'^s l « ^ U ^ Í % W * l X . ? ^ V X « ( ^

e oB tildes se referem a. distancias extrapoladas

A ou C é determinada pela igualdade dos fliucos e cor

rentes na interface: r \ t t \

So uma das constantes pode ser determinada pelas igualda­

des acima.,a outra descreve o nivel de potencia do reator.

A constante Ax e determinada por

e XíT pode ser d.eterminada por

Com estes valores, o laplaciano geométrico e dado por

98.

o coeficiente de acoplamento pode então ser escrito

Calculemos

99.

A P É N D I C E

UM MODELO PARA UM REATOR

TÉRMICAMENTE NÃO-UNIFORME

26. Um modelo alternativo para um reator nao-uniforme, dis­

tinto em, seus princípios do modelo de núcleos acoplados, leva en.

conta a nao-uniformidade do reator através das temperaturas das d ^

versas regiões. Consideremos um reator com n regiões de temperatu

ras diferentes, TI, Tn. Este e descrito neutronicamente por

meio do modelo puntual do reator.

O sistema e governado entao por

onde T = (Tl, Tn) e «^CT e a reatividade do reator, sendo

Se efetuarmos uma linearização parcial do sistema acima,

em relação as variáveis de estado "Tl , obtemos

100 .

1 fid^) ] /V,, \

Nesta forma, e aplicável a este sistema a teoria de Lurie,

que nos permite encortrar condições da estabilidade absoluta do

sistema.

Vamos aplicar este modelo a um exemplo concreto. Conside

remos o reator descrito neutronicamente pelo modelo puntual:

Seja T - '. I o vete ctor de estado que descreve as tempera

turas das d.iversas regiões do reator. Suponhamos que a reatividade

k seja função das diversas temperaturas e da densidade neutroni-

ca: Vfe + ç J T " , o n d e C i l ; | e constante , Ç ^ ^ .

Admitamos como modelo de resfriamento do reator a lei de

resfriam.ento de Newton.

Neste caso teremos

, A uma matriz nxr

101,

teremos

Suponhamos A nao-singular.

Se um ponto ( T i ^ ) e um ponto critico do sistema

(26.i;

os pontos ^T^,T«ik^ stô»i^ e ^.Ti^na^

sim os únicos pontos criticos de (26.l) desde que

descreve o realor desligado e

e o ponto de operação do mesmo.

Fa.çamos a. mudança de coordenadas

O sistema (26.1) fica, entao, com o ponto de operação C£

mo nova origem de coordenad.as:

3C2

<j -zVi^-^^rs^) (26.2)

Definamos a variável ^ ^ ^ ' l ^ * ^ > ° argu­

mento de log e sempre positivo, O" esta bem definida. Alem d i s —

so, ^ ^ 5 ^ <r-s O .

O sistema (26.2) se escreve entao

que esta na forma canónica de Lurie, com função caracteristica

Pode-se entao imediatamente aplicar a teoria exposta no

Apêndice 1 e testa-i' a estabilidade absoluta do sistema.

Éste modelo de reator nao-uniforme d.eve ser encarnado co­

mo complementar ao de ruicleos acoplados. A grande dif icn] da.de em

relação a ele consiste na construção da matriz A, a qual leva em

conta a geração de calor em cada i^egiao e a propagação do mesmo

entre as varias regiões. O modelo do reator termicamenle nao-uni­

forme acima e capaz de fornecer resposta a uma ampla gama de pro­

blemas x'elacionados com o compoi'tamento térmico do reator'. Nao

103.

fornece, entretanto, respostas a questões relacionadas com o com­

portamento neutronico do mesmo. Para se saber, por exemplo, o efá

to de uma variação de reatividade em luna região do reator sobre a-s

outras, lí-ariaçao esta que pode ter uma causa nao relacionada com

problemas térmicos (por exemplo, envenenamento, movimentação de

barras), e necessário recorrer ao modelo de núcleos acoplados.

Um estudo de dinámica dentro deste modelo pode ser encon

trado na ref. 8 .

104.

A P É N D I C E 4

LIST'AGENS E DESCRIÇÕES SUMARIAS DOS

PROGRAMAS UTILIZADOS

105.

DESCRIÇÕES SUMÁRIAS DOS PROGRAMAS UTILIZADOS

O programa aqui apresentado consta de subrotinas que ca_l

culam!

a) Os tempos de vida media dos neutrons prontos e os

coeficientes de acoplamento

b) As condições de estabilidade e as coordenadas das

curvas V = const e V = O no método de Liapunov-La

Salle

c) As coordenadas das curvas V = const e = O do me

todo de Schultz.

106

N O T A Ç Ã O

SAC YLR ir

SSC RIE

SFC ROE

DO lie HE

XKE H EOE

H H DKC 4V

RO ACT "Tc

RI RC -Re

SAR XKRG

DR ERC

SÜR Pll

XNl P12

¥E P22

i;co m

BGC XK

XLC V M

XLR XLGQ

BE XLRQ C r

BGR

YLC 1^

F O R T R A N IV 3 6 0 N - F N - 4 7 9 3-3 ' M A I N P G M O A T I;

107.

COMMON SAC, SFC » SSC, DC, X KE » H , F LO , R1 , SAR , I)R , SSR , XNl , VE , K N , R 1 E , H C * , P I , ACT,XK,XVP( 122) F XC( 122) ,XV( 122 ) ,RIOE ,R 10 ,LU 1 ,BKO ,BK.0E,6K1 , X R E A D C l , ) ) H , R 0 , R 1 , D C , 0 R , X N I , X K " R E A U l l , 2 ) S A C , S 5 C , S F C , S S R , X K E FnR4MAT( 8 F 1 0 . 8 ) F O R M A T ( a F l O . 5 ) R N = 7 5 , V E = 2 2 0 0 0 0 . S A R = 0 , 4 4 1 4 E - 0 4 RIE=365» I-I £ = 6 0 0 » P I = 3 , 1415926 CALL ACOP CALL EXIT END

FORTRAN IV 3 6 0 N - F O - 4 7 9 3-3 P O R E DATE 1 3 / D D / 7 I T IHH

IL 12 13 »4 15 16 17 18 19 0 1 2 3 4 5 6 7 8

S U B R O U T I N E P O R E ( X R , X I,A, I E R ) D I M E N S I O N A { 3 ) , X R ( 2 ) , x n 2 ) I E R - 0 XRL 1 )=-A{ 2 )/i 2 * A L 3 ) ) X R ( 2 ) = X R ( 1 ) D1S = A( 2 )*A! 2 )-4'.'=A ( 3 >*A( 1 ) • I F ( D I S ) 1 , 2 , 2 I E R ^ L D I S = - U I S x n l ) = S Q R T { O I S ) / { 2 * A { 3 ) ) X H 2 ) = - X I ( 1) IF(IER) 3 , 4 , 3 XRl i)=xRi i ) + x n 1) X R ( 2 ) = X R L 2 ) + X I ( 2 ) • X I ( I ) = 0 X n 2 ) = 0 RETURN END

1. ^ / 1 . / 7 1 • T 1 w f.

108. OATC 1 3 / 0 8 / 7 1 T I MC

0 0 0 1 FUNCTinN B Y J C X ) 0 0 0 2 Cl^iMMGN S A C , S F C , SSC, DC, X K E , H , k 0 , R 1 , S A R , D R , SSR , X N I , V E , R N , R 1 E , 1 H E :

, * , P I , A C T , X K , X V P ( 1 2 2 . ) , X C ( 1 2 2 ) , X V { 1 2 2 > , B l O E , B 1 0 , B 1 1 , 6 K 0 , I ^ K O E , B K l , X L R -

0 0 0 3 X 1 = R 0 * ' X 0 0 0 4 X 2 = R 1 * X 0 0 0 5 ' C A L L l i E S J t X I , Q . 5 , B J 1 , 0 . 0 0 0 1 , I J l ) 0 0 0 6 C A L L B t S J ( X 2 , 0 . 5 , B J 2 , 0 . 0 0 0 1 , I J 2 ) ; 0 0 0 7 C A L L B E S Y ( X 1 , 0 . 5 , B Y 1 , I Y 1 ) 0 0 0 8 C A L L « r S V ( X 2 , 0 , 5 , B Y 2 , I Y 2 )

0 0 0 9 3 Y J = LiY;- • - i i Y 2 « B J l

0 0 - 1 0 R E T U R N 0 0 1 1 E N D

DOS F O R T R A N W 3 6 0 N - F 0 - 4 7 9 3 - 3 C B F D A T I I 3 / o a / 7 1 T I M E

n 0 0 0 1 F U N C T i n N C D F ( X ) 0 0 0 2 C C M M O N S A C , S F C , S S C , D C , X K E , H , R O , R 1 , S A K , O R , S S R , X N I

P I , A C T , X K , X V P ( 1 2 2 ) , X C ( 1 2 2 ) , X V { 1 2 2 ) , B I O F , 8 1 0 , B I 1 0 0 0 3 X l ^ ^ R O * X 0 0 0 4 C A L L B E S J ( X 1 , 1 , B J 1 , 0 . 0 0 0 1 , I J I ) C 0 G 5 C A L L G E S J ( X 1 , 0 , P J 0 , 0 « C 0 0 1 , I J O ) 0 0 0 6 C B F = - D C * X * B J 1 * 8 I O F : , * B K C 0 0 0 7 C B F = C H F + D C * X * B J 1 * 6 1 O * B K 0 e 0 0 0 B C B F = C B F DR * X L R - 3 J 0 'J^ B 1 0 E 1 = R K 1

0 0 0 9 ' C 0 F = C B F + D R * X L R * B J O * B I 1 * ! ' . K ( } E 0 0 1 0 R E T U R N 0 0 1 1 E N D -

, V E , K N , R 1 E , M L , I.JKO , 6 K 0 E , B K l , XI

EpS F O R T R A N I V 3 6 0 N - F 0 - 4 7 g 3 - 3 3 Y J

FORTRAN iV 360N -Fn -479 3 - 3 MA IN POM OATF 1 3 / 0 3 / 7 I

C SUBROTINA ACOP-CALCULA OS C 0 f: F IC I F N T F S OE ACOPLAMFNTO E C E DERIVADA UE V=0

SUBROUTINE ACOP EXTERNAL BYJ^CBF DIMENSION X C n F ( 3 ) , R O T R f 2 ) , R O T I ( 2 ) COMMON SAC,SFC,SSC9DC9XKE,H ,R0fRI ,SAR , 0R» SSR,XNI,VE,

AS

109.

TIME

FUNCOES V

RN,R1E,HÊ

* , P l , A C T , X K , X V P { 1 2 2 i , X C ( 1 2 2 ) , X V ( 1 2 2 ) BGC = P I * P l / ( H * H ) + 2 . 0 4 * 2 « u 4 / ( R 0 * R 0 ) XLCQ=DC/SAC YLC= l / ( VE*SAC*l H-XLCQ*BbC) ) ° XLRQ=DR/SAR CALL RTWK B E , V A B E , B Y J , C o 0 0 0 1 , 0 « 0 0 0 0 1 , 5 0 , l E R ) BGR=BE*BE+PI*PI / (H*H) YLR = l / ( V E * S A R * ( l + X L R g * B G R ) ) XLR=SORT< l / X L R Q + P I * P l / ( 4 * H E * H E ) ) X2=R1E*XLR X3=R0*XLR CALL B £ S H X 2 , 0 , B I 0 E , I I O E ) • CALL B E S I ( X 3 , 0 , B I 0 , I 10) CALL B E S I ( X 3 , 1 ,BI 1 , 1 1 1 ) CALL B E S K i X 3 , 0 , B K 0 , I K O ) CALL B E S K ( X 2 , 0 , B K O E , IKOE ) CALL B E S K ( X 3 , 1 , B K l , I K l ) CALL R T W n X L C , V A L C . C B F j O o O O l , 0 , 0 0 0 0 1 , 5 0 , lERC) A0=XLC*R0 CALL BESJ ( A 0 , 0 , BJCOoOOO 1, IJO) ' CALL BESJ(AO, I , B J 1 , 0 , 0 0 0 1 , I J I ) ECR = BJO*?*DC*XLC*BJ 1 E C R = F C R / ( B J O + B J 1 * ( 2 * X N I * S F C - 2 * D C * X L C * X L C ) / X L C ) AO=XLR*RO A1=XLK*R1 AIE=XLR*K1E CALL B E S n A 1 E , 0 , B I 0 F , ICE) CALL B E S I ( A O , 0 , B I O , 10) CALL B E S K < A 0 , 0 , B K 0 , K 0 ) CALL B E S K { A 1 E , 0 , B K O E , K O E ) CALL BES1(A 1 , 0 , B I O l , I 1) CALL BESK{AO, 1 , B K l , K 1 ) CALL B E S K ( A l , 0 , B K 0 1 , K 0 l ) CALL BES I ( A O , 1 ,BI I C , 1 10) XL0=BI0E*BKO-BI0*BKOE ERCS=BrOI*BKl-BK01*RI10 ERC=XL0-DR*XLK*ERCS/2 ERC^ERC/{XL0+DR*XLR*ERCS/2) W R I T E ( 3 , 1 0 0 2 )

1 0 0 2 FORMAT('VALORES DE X L C , X L R , Y L C , Y L R , t C K , h R C ' ) WR I T E { 3 , 100 3 ) X L C , X L R , Y L C , Y L R , F C R . E P C

1 0 0 3 FHRMATt6E15.7 ) DKC=XKE-1 PES=ERC*EC-^ DO 1111 U K = 1 , 1 0 A C T = - 0 . 0 4 5 + ( I J K - 1 ) * { - 0 . 0 1 ) RC=OK(,+ACT RCC=RC+PES

, B I OE , B 10 , B I 1 , B KÜ , BKOE , 8 K 1 ,

XL

ons FORTRAN IV 3 & 0 N - F Ü - 4 7 9 3-3 ACGP O A TE 13708/7 1 T i E

00 5 2

00 5 3

00 54

••0055

00 56

00 5 7

0 0 5 8

0059

00 60

OQIIL

0062

0063

0 0 64

0065

00 66

00 67

0 0 63

0069

0070

00 71

00 72

00 73

00 74

00 7 5

00 7 6

00 77

0078

00 79

O C S O

O O 8 1

00 32

0083

0084

008 5

0086

00 87

0088

0089

00 9r>

00 91

009 2

0093

0094

009 5

00 96

0097

00 98

0099

O 1 00

0101

0102

O 1 O 3

P E R i>i I T É C

5 • "

IF( RCC ) '-i, 2 , 2

3 R C C = K C / Y L C - 1 . / Y L R

1 F ( R C C ) 5 , 2 , 2

2 WRITE( 1, 1 1 LO ) ACT

1110 FflRMATÍ 20X , « ACT = » , F 10.7)

W R I T E U , 6 )

6 F O R M A K ' O AL-FA ANTERIOR NAO

*D'E A S S I N T O T I C A

* C L A O N DA C O N S O L É NO FORMATO.

G O TO 1111

5 W R I T E ( 3 , 1 1 0 9 ) ACT

1109 FLIRMATÍ 20X, « AC T-• , F 10 . 7 )

P11 = YLC-*YLR*( RC + PES)

Pl 1 = YLC*YLC*< l + ÉCR*ECPs*RN*RN )-Pll

P D = 2 * ( R C + P E S ) * ( R C * Y L R - 1 )

P 1 1 = P 1 1 / P 0

P ] 2 = R C * E C R * R N / Y L C / Y L R

P 1 2 = E R C / R N / Y L C / Y L R - P 1 2

• P 12 = Y L C * Y L C * Y L R * Y L R * P 1 2

P 1 2 = P 1 ¿ / P D

P 2 2 = Y L C * Y L R * ( R C + P E S )

P 2 2 = Y L R * Y L R * E R C - E R C / R N / K N - P 2 2

P 2 2 = Y L R * Y L R * R C * R C + P 2 2

P 2 2 = P 2 2 / P U

W R I T E ( 3 , 100 0)

1000 F O R M A T ( « V A L O R E S D O S P S')

W R I T E ( 3 , 1001) P 1 1 , P ] 2 , P 2 2

1001 FORMA!( 3E 1 5 . 73

C1 = P1 1*ACT/YLC •

C2 = P12*RN-*ECR/YLR

C 2 = C 2 + P 1 1 * R C / Y L C

C 3 = P 1 2 * É R C / ( Y L C - R N ) - P 2 2 / Y L R

C 4 = P 1 2 * A C T / Y L C

C 5 = P 1 2 * Í R C / Y L C - 1 / Y L R )

C 5 = C 5 + P 2 2 - R N * E C R / Y L R

C5 = C5+P 1 l * E R C / ( Y L C * R N )

• WR I TE(3, 100) C I , C 2 , C 3 , C 4 , C 5

100 F G R M A T Í 5 E 1 5 . 7 )

DO 1 i.') 1-1,61

XC¡ I ) = - 3 . + { I- 1)*0.1

J-123-I

XC¡J)=XC l I ) XCAI-( 1) = (C1*XC( I )+C2)*XC( I )*XC( I )

X C 0 F ( 2 ) = {C4^*XC( I )+C5)*XC( I )

X C Ü F ( 3 ) = C 3

CALL POkE í ROTR,ROTI ,XCOF, lE)

IF( IE)26 , 25, 26

2 6 XVP( I ) = 5 0 0 0 0 ,

XVP(J ) = 5 0 0 0 0 .

GO TO 10

2 5 XVP( I )=RUTR( 1)

X V P ( J ) - R Ü T R ( 2 )

1.0 C O N T I N U É

WR n E(3, 14) í XCÍ I ) t XVP( I ) ,1 = 1,122)

UF AS CON 01 CUES

» 1 N T R O D U Z A NiJVO

OE ESTArtlLl!

ALFA PELO Ti

111.

FORTRAN IV 3 6 0 N - F 0 - 4 7 9 3 - 3 ACOP OATF 1 3 / 0 8 / 7 1 TIME

14 F n R M A T ( 2E15,7 ) DO n i l II = U 2 1 X K=II-1 DO 1 1 1 = 1 , 6 1 XCOF( l ) = P l l * X C ( l ) * X C ( n - X K X C O F ( 2 ) = 2 * P 1 2 * X C ( I ) X C O F ( 3 ) = P 2 2 D I S = X C O F ( 2 } * X C 0 F { 2 ) DIS= D I S - 4 * X C n F ( 3 ) * X C Q F ( 1 } IFJDIS! 1111,13,13

13 C A L L P G R E ( R O T R j R O T I , X C O F , I E ) XV( I )=RriTR( I) J=123-I

11 XVI J ) = R a T R ( 2 ) . W R I T E ( 3 , 1 7 ) XK

17 FORMAT( lOX, »XK=« , F 1 0 . 5 ) WR ITE ( 3 , 1 4 H XC( 1» , X V ( n , 1 = 1 ,122 )

n i l C O N T I N U E J. RETURN END

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