Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP

©Prof. Lineu MialaretAula 7 - 1/43Matemática Discreta 1

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP

Campus de Caraguatatuba

10 Semestre de 2013

Matemática Discreta 1 – MD 1 Prof. Lineu Mialaret

Aula 7: Proposições (2)


Introdução

As proposições (simples ou compostas) possuem valores lógicos (ou valores verdade) Verdadeiro (V) ou Falso (F):As operações realizadas sobre as proposições também

possuem valores lógicos.

A Tabela Verdade – TV é uma ferramenta útil para avaliar o valor verdade resultante da aplicação dos operadores lógicos sobre as proposições:Ela mostra o resultado das operações lógicas, supondo os

diferentes valores verdade para as proposições.


TV - Resumo (1)


TV - Resumo (2)


Sintaxe (1)

A Matemática é uma ferramenta para modelagem e abstração do “mundo real”, e a Lógica Matemática pode se constituir numa das linguagens pela qual se descreve fatos e idéias sobre este mundo.Assim como a Língua Portuguesa é uma linguagem e que

portanto, possui uma gramática e formas de escrever corretamente uma frase que expresse alguma fato ou idéia, a Lógica Matemática também possui uma linguagem, com seus elementos e gramática, a qual se chama de Cálculo Proposicional.

A sintaxe do Cálculo Proposicional especifica os símbolos e os modos de combiná-los para formar uma expressão válida da linguagem, a qual pode ser chamada de “fórmula bem formada ou fórmula bem formulada” (fbf).


Sintaxe (2)

Elementos Válidos: Letras maiúsculas do alfabeto tais como A, B, C, ..., são

usadas para representar proposições ou fórmulas proposicionais.

Opcionalmente letras minúsculas do alfabeto, tais como p, q, r, ... , podem ser usadas para representar proposições.

Operadores Lógicos:Para o conectivo de conjunção, usa-se o símbolo ∧.Para o conectivo de disjunção, usa-se o símbolo ∨.Para o conectivo de condicional, usa-se o símbolo →.Para o conectivo de bicondicional, usa-se o símbolo ↔.Para o conectivo de negação, usa-se o símbolo ¬.

Adicionalmente:Parênteses ( , ).


Sintaxe (3)

Há algumas regras para verificar se uma cadeia de letras de proposição (uma expressão proposicional) é considerada uma expressão válida:Uma letra proposicional sozinha é gramaticalmente correta

ou uma fórmula bem formada (fbf).

Se qualquer expressão proposicional A (tal como p ∨ q) é bem formada, então também o é sua negação ¬A (ou seja, ¬(p ∨ q) neste caso).

Se A e B são expressões ou fórmulas bem formadas, então também o são (A ∧ B), (A ∨ B) e (A → B).

Exemplos:¬((p ∨ q) → r) fbf?

p)) → ∧ ∧ qr fbf?


Sintaxe (4)

Assim como na aritmética, as operações lógicas devem ser realizadas segundo uma ordem de prioridade imposta pelos operadores (conectivos) lógicos.A ordem de prioridade é:

1 Negação

2 Conjunção

3 Disjunção

4 Condicional

5 Bicondicional

Exemplo:


Sintaxe (5)

Uma outra forma de definir ordens de prioridade na expressão é com o uso de parênteses.Neste caso, as expressões “mais internas” aos parênteses

devem ser analisadas primeiro. Exemplo:

¬p ∧ (q → r) Numa fórmula bem formada (fbf) com vários operadores

lógicos envolvidos, o último operador a ser aplicado é o denominado operador ou conectivo principal da expressão.

Exemplo:A ¬(∧ B → C)((A ∨ B) ∧ C) → (B ¬(∨ C))


Análise de Expressões Lógicas (1)

Para análise de uma expressão lógica e construção da Tabela Verdade deve-se:Respeitar a ordem de prioridade das operações definida

pelos parênteses.Respeitar a ordem de prioridade das operações definida

pelos operadores.Calcular os valores verdade da expressão, supondo todas

combinações de valores verdade para as proposições simples.



Observações:As colunas da Tabela Verdade estão dispostas de acordo

com a ordem de prioridade das operações, pois isso auxilia na organização dos cálculos.

A última coluna é reservada para a expressão proposicional.

O número de linhas da Tabela Verdade é igual a 2 elevado ao número de proposições simples (n) que compõe a expressão proposicional (ou seja, = 2n).



Calcular a Tabela Verdade da seguinte expressão proposicional:(p ¬∧ q) ↔ r



Calcular a Tabela Verdade da seguinte expressão proposicional:(p ¬∧ q) ↔ r

¬ ¬



Resumo:Dada uma expressão proposicional, a Tabela Verdade

permite verificar o “comportamento” desta expressão em diferentes circunstâncias.

Etapas importantes para construção da Tabela Verdade - Identificar as proposições simples (definir uma coluna da

tabela para cada uma). Identificar a ordem de prioridade das operações lógicas na

expressão (subexpressões). Calcular cada subexpressão (em diferentes colunas da

tabela). Calcular o valor verdade da expressão lógica para cada

configuração de valores verdade das proposições simples.



Montar a Tabela Verdade das seguintes expressões proposicionais:¬(p ¬∧ q)

¬q → (p ¬∨ r )



Montar a Tabela Verdade das seguintes expressões proposicionais em português:Se o cavalo estiver descansado e a armadura for forte,

então o cavaleiro vencerá. O cavalo estará descansado se, e somente se, a

armadura for leve e o cavaleiro vencer. Se o cavaleiro não perder, então o cavaleiro vencerá, ou,

o cavaleiro perderá. O cavaleiro vencerá se a armadura for forte, ou, o cavalo

estará descansado se a armadura for leve. Observação:

Nas expressões em forma discursiva (linguagem natural), a vírgula pode ser utilizada para separar subexpressões, como fazem os parênteses na notação matemática.


Tautologia (1)

Tautologia é toda expressão proposicional cujo valor verdade é sempre verdadeiro, independentemente dos valores verdade das proposições simples que a compõe.

Seja a seguinte expressão proposicional:(p ¬∧ p) → (q ∨ p) Diz-se que a expressão proposicional acima é uma

Tautologia se, independente dos valores verdade associados às proposições p e q, o resultado lógico da expressão sempre será Verdadeiro (V).


Tautologia (2)

Contradição é toda expressão proposicional cujo valor verdade é sempre falso, independentemente dos valores lógicos das proposições simples que a compõe.

Seja a seguinte expressão proposicional:(p ¬∧ p) ↔ (¬p ∧ q) Diz-se que a expressão proposicional acima é uma

Contradição se, independente dos valores verdade associado às proposições p e q, o resultado lógico da expressão sempre será Falso (F).


Tautologia (3)

Contingência é uma expressão proposicional que pode assumir o valor lógico Verdadeiro ou Falso.

Exercícios: Verifique se as expressões proposicionais a seguir são tautologias, contradições ou contingências (Dica: montar a tabela verdade e observar a última coluna).

p → (q →p)

p → (q → (p ∨ q))

¬p (∨ p ∧ q)

¬(p ¬∧ p)


Implicação Lógica (1)

Dadas as proposições p e q, diz-se que ocorre uma implicação lógica (ou uma relação de implicação) entre as proposições p e q quando a proposição condicional p → q é uma tautologia.

Notação:p qonde se lê

p implica (logicamente) q

– ou se p, então q.



Observação: Os símbolos e têm significados diferentes.

O símbolo entre duas proposições dadas indica que há uma relação, ou seja, que a proposição condicional associada é uma tautologia.

Enquanto que o símbolo realiza uma operação entre as proposições, dando origem a uma nova proposição p q, que pode conter valores lógicos V ou F.



Exemplo: Verificar se a expressão abaixo é uma implicação lógica.(p ∧ q) (p ∨ q)



Exemplo:(p ∧ q) (p ∨ q)

Obs.: Para verificar se a expressão proposicional acima é uma implicação lógica - Monta-se a tabela verdade da expressão Substitui-se o símbolo por →.


Equivalência Lógica (1)

Dadas as proposições p e q, diz-se que ocorre uma equivalência lógica entre p e q quando suas tabelas verdades forem idênticas.De forma intuitiva, isto significa que proposições

logicamente equivalentes transmitem a mesma informação (valor lógico), a partir das mesmas proposições componentes.

A proposição p é logicamente equivalente à proposição q ou seja, p q, sempre que a proposição bicondicional p ↔ q for uma tautologia.

Notação:p q.



Exemplo:¬(p q) ↔ (p ¬∧ q)



Exemplo:¬(p q) ↔ (p ¬∧ q)

Logo, pode-se dizer que há uma equivalência lógica entre as expressões ¬(p q) e (p ¬∧ q), simbolizada abaixo:

¬(p q) (p ¬∧ q)



Exercício: Verifique se as expressões a seguir são implicações, equivalências ou contingências. (Dica: substituir os símbolos e por → e ↔ respectivamente, e montar a tabela verdade, analisando a última coluna) .

¬(p ¬∨ q) ¬p ∧ q

p ¬∧ q ¬(p q)

(p q) ¬∧ p ¬q

p ↔ ¬q q p



As relações de equivalência podem ser comparadas com a relação de igualdade (operador =):Assim, dada uma expressão lógica composta por duas

subexpressões lógicas, se uma das subexpressões for substituída por uma outra subexpressão equivalente, então a nova expressão tem o mesmo sentido (valor verdade ou valor lógico) que a expressão original.

Exemplo:Já se viu que ¬(p q) (p ¬∧ q).

Seja a expressão r (p ¬∧ q).

Pode-se dizer que o seu significado é o mesmo que ¬(p q) r.



Dada a proposição condicional p q, ela tem associadas três outras proposições, as quais contém p e q:Recíproca do Condicional: q p.Contrapositiva: ¬q ¬p.Recíproca do Contrapositivo ou Inversa: ¬p ¬q.Obs.:

Condicional e Contrapositiva são logicamente equivalentes.– p q ¬q ¬p

Recíproca e Inversa são logicamente equivalentes.– q p ¬p ¬q



Outro Exemplo:p: T é um triângulo equilátero.

q: T é um triângulo isósceles (dois lados iguais).

p q (condicional): Se T é equilátero, então T é isósceles. É o mesmo que dizer ~q ~p (contrapositiva)

Se T não é isósceles, então T não é equilátero.

q p (recíproca): Se T é isósceles, então T é equilátero. É o mesmo que dizer: ~p ~q (contrária)

Se T não é equilátero, então T não é isósceles.



Exemplo:p: O céu está nublado.

q: Vai chover.

Condicional: p q: Se o céu está nublado, então vai chover.

Recíproca: q p : Se vai chover, então o céu está nublado.

Contrapositiva: ¬q ¬p: Se não vai chover, então o céu não está nublado.

Inversa: ¬p ¬q: Se o céu não está nublado, então não vai chover.



Devido sua importância e uso freqüente, algumas equivalências lógicas são consideradas como Leis do Cálculo Proposicional. (L1) Comutatividade na disjunção:

p ∨ q q ∨ p

(L2) Comutatividade na conjunção: p ∧ q q ∧ p

(L3) Associatividade na disjunção: p (∨ q ∨ r ) (p ∨ q) ∨ r

(L4) Associatividade na conjunção: p (∧ q ∧ r ) (p ∧ q) ∧ r

(L5) Idempotência na disjunção: p ∨ p p



(L6) Idempotência na conjunção: p ∧ p p

(L7) Distributividade com relação a disjunção: p (∨ q ∧ r ) (p ∨ q) (∧ p ∨ r )

(L8) Distributividade com relação a conjunção: p (∧ q ∨ r ) (p ∧ q) (∨ p ∧ r )

(L9) Lei de De Morgan para disjunção: ¬(p ∨ q) ¬p ¬∧ q

(L10) Lei de De Morgan para conjunção: ¬(p ∧ q) ¬p ¬∨ q

(L11) Dupla negação:

¬¬p p



(L12) Lei de Passagem: p q ¬(p ¬∧ q)

(L12a) Lei de Equivalência:

p ↔ q (p q) (∧ q p)

Considerando V uma proposição verdadeira e F uma proposição falsa, algumas proposições podem ser simplificadas diretamente, como por exemplo:(L13):

p ¬∨ p V

(L14): p ¬∧ p F

(L15): p ∧ V p



(L16):

p ∨ F p

(L17):

p ∨ V V

(L18):

p ∧ F F



Resumo:



Com o conhecimento destas leis, a equivalência entre proposições podem ser verificada, utilizando apenas as leis do cálculo proposicional, sem fazer uso das Tabelas Verdade:Uma outra utilidade importante destas leis é simplificar

longas proposições, reduzindo-as em proposições equivalentes mais simples.



Exemplo:Simplificar (p ∨ q) ¬∧ p.

(p ∨ q) ¬∧ p = (L2) p ∧ q q ∧ p ¬p (∧ p ∨ q) = (L8) p (∧ q ∨ r ) (p ∧ q) (∨ p ∧ r ) (¬p ∧ p) (¬∨ p ∧ q) = (L14) p ¬∧ p F F (¬∨ p ∧ q ) = (L16) p ∨ F p (¬p ∧ q )

Logo (p ∨ q) ¬∧ p (¬p ∧ q)

Obs.: Simplificar significa chegar-se numa expressão lógica mais

simples (com menos proposições ou conectivos)



Exemplo:Mostrar que p ∧ (¬p ∨ q) p ∧ q.

p ∧ (¬p ∨ q) = (L8) p (∧ q ∨ r ) (p ∧ q) (∨ p ∧ r ) (p ¬∧ p) (∨ p ∧ q) = (L14) p ¬∧ p F F (∨ p ∧ q) = (L16) p ∨ F p p ∧ q =

Logo p ∧ (¬p ∨ q) p ∧ q.

Obs.:Mostrar neste caso significa que a partir da primeira

expressão proposicional p ∧ (¬p ∨ q), chega-se na segunda expressão proposiconal p ∧ q ou vice-versa.



Exemplo:

Seja a expressão proposicional p ∨ q: “O rio é raso ou o rio é poluído”.

Qual é o significado da expressão ¬(p ∨ q) ?

Pela lei de De Morgan para disjunção,

¬(p ∨ q) ¬p ¬∧ q

Logo, ¬(p ∨ q): “O rio não é raso e nem poluído”.

Obs.: Note que ¬(p ∨ q) não é equivalente a: “O rio não é raso OU

não é poluído”.



Exercício: Mostrar as seguintes equivalências abaixo,

¬(p ¬∨ q) ¬p ∧ q

p q ¬p ∨ q

Simplificar,

p (∨ p ∧ q)

Fazer a negação da frase,

“Joaquim é alto e é magro”.



Exercício: Como negar (p q) ?

Ou

¬(p q) ?



Exercício: Como negar (p ↔ q) ?

Ou

¬(p ↔ q) ?

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP

Documents

Transcript of Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP