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Instrumentacao e Controlo de ProcessosJosé Paulo Mota c⃝ 1997-2011, V. 4.3
Instrumentação e Controlo de
Processos
José Paulo Mota
DQ – FCT/UNL
Instrumentacao e Controlo de ProcessosJosé Paulo Mota c⃝ 1997-2011, V. 4.3
Instrumentação e Controlo de Processos
Responsabilidade e Docência
• Prof. José Paulo Mota
DQ – Edifício Departamental, 5o piso, Gabinete 503
E-mail: [email protected]
Bibliografia recomendada
• B. A. Ogunnaike, W. H. Ray, Process Dynamics, Modelling, and Control, Oxford Uni-
versity Press, 1994.
• D. M. Considine, Process Instruments and Control Handbook, McGraw Hill, 1974.
• J. W. Dally, et al., Instrumentation for Engineering Measurements, John Wiley & Sons,
1984.
• G. Stephanopoulos, Chemical Process Control – An Introduction to Theory and Practice,
Prentice/Hall, 1984.
• G. F. Franklin, J. D. Powel, A. Emami-Naeini, Feedback Control of Dynamic Systems,
Addison-Wesley, 1986.
• D. E. Seborg, T. F. Edgar, D. A. Mellichamp, Process Dynamics and Control, John Wiley
& Sons, 1989.
0.1
Instrumentacao e Controlo de Processos
Conteúdo
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cap. 1
Modelação Matemática de Processos Químicos . . . . . . . . . . . . . . . . Cap. 2
Dinâmica de Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cap. 3
Método da Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cap. 4
Função de Transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cap. 5
Modelação Empírica de Processos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cap. 6
Controlo Realimentado em Cadeia Fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . Cap. 7
Comportamento Dinâmico de Controladores em Cadeia Fechada . . . . . . . . . Cap. 8
Estabilidade de Sistemas de Controlo em Cadeia Fechada . . . . . . . . . . . Cap. 9
Sintonização e Afinação de Controladores . . . . . . . . . . . . . . . . . Cap. 10
Configurações de Controlo Mais Complexas . . . . . . . . . . . . . . . . Cap. 11
0.2
Instrumentacao e Controlo de ProcessosJosé Paulo Mota c⃝ 1997-2011, V. 4.3
Introdução
Conteúdo
1 Incentivos e justificação económica para o controlo automático de processos
químicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Elementos de projecto de um sistema de controlo . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1 Objectivos do sistema de controlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Classificação das variáveis num processo químico . . . . . . . . . . . . 2
2.3 Classificação das medições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.4 Configurações de controlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.5 Graus de liberdade de um processo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Elementos constituintes de um sistema de controlo . . . . . . . . . . . . . . . 6
4 Exemplo: controlo automático de um tanque agitado de aquecimento . . . . . . 7
1 Incentivos e justificação económica para o controlo automático deprocessos químicos
Actualmente, os processos industriais tendem a ser predominantemente contínuos, sujeitos a es-
pecificações de rendimento elevado e a normas cada vez mais exigentes de segurança e de emis-
são de poluentes, e com elevada integração relativamente à circulação de energia e de materiais.
Nestes processos, as pequenas capacidades de sobretensão existentes entre as várias unidades
processuais são insuficientes para, na ausência de sistemas de controlo, evitar que perturbações
se propaguem entre unidades interligadas. A supressão do impacto que as perturbações têm
na operação das unidades processuais é uma das razões principais para a utilização de
sistemas de controlo na indústria química.
O retorno económico da utilização de um sistema automático de controlo inclui a redu-
ção dos custos de operação, de manutenção e de produtos fora de especificação, bem como a
melhoria da operacionalidade do processo e aumento da produtividade.
1.1
Instrumentacao e Controlo de Processos
Um processo químico é por natureza dinâmico, isto é, as variáveis que lhe estão associadas
variam com o tempo. Consequentemente, para que os objectivos definidos sejam atingidos é ne-
cessário monitorizar (medir) e introduzir mudanças (actuar) nas variáveis críticas do processo
que estão relacionadas com a qualidade dos produtos, com as taxas de produção, com a segu-
rança, e com a taxa de emissão de poluentes. Resumindo: num processo químico é necessário
manter as variáveis do processo dentro das gamas de operação permitidas e garantir as especifi-
cações (quantidade e qualidade) dos produtos. Para isso, é necessário medir (monitorizar) o
desempenho do processo e actuar nele (controlar) para cumprir os objectivos processuais.
2 Elementos de projecto de um sistema de controlo
O projecto de um sistema de controlo envolve a definição dos objectivos de controlo, a selecção
das variáveis físicas a medir e das variáveis manipuladas, a escolha da configuração de controlo
(cadeia de controlo), e a identificação das leis de controlo apropriadas (controlador).
2.1 Objectivos do sistema de controlo
Os objectivos de um sistema de controlo num processo químico estão normalmente relacionados
com:
• Supressão da influência de perturbações externas, que é o objectivo mais comum na in-
dústria química;
• Manutenção da estabilidade do processo;
• Optimização do desempenho do processo;
• Uma combinação das alíneas anteriores.
2.2 Classificação das variáveis num processo químico
As variáveis associadas a um processo químico podem ser divididas em dois grupos:
1. Variáveis de entrada; são as que quantificam os efeitos exercidos pelo meio exterior sobre
o processo. Estas variáveis podem ser classificadas em duas categorias:
(a) Variáveis manipuladas ou ajustadas; se os seus valores são ajustados por um opera-
dor ou por um mecanismo de controlo.
1.2
Instrumentacao e Controlo de Processos
(b) Variáveis de carga (ou perturbações); se os seus valores não são ajustados por um
operador ou por um sistema de controlo e se os seus efeitos sobre as variáveis con-
troladas não são desprezáveis. Estas variáveis podem eventualmente ser medidas.
2. Variáveis de saída; fornecem informação sobre o estado interno do processo. Podem ou
não ser controladas, e dividem-se em dois grupos:
(a) Variáveis medidas; se os seus valores são monitorizados directamente.
(b) Variáveis não medidas; se os seus valores não podem ou não são monitorizados
directamente.
2.3 Classificação das medições
As medições efectuadas num processo dividem-se nas seguintes categorias:
1. Medições primárias; se a variável de saída medida representa directamente um objectivo
de controlo. Estas medições são efectuadas sempre que possível.
2. Medições secundárias; sempre que um objectivo de controlo não pode ser medido di-
rectamente, recorre-se a medições de variáveis de saída que estão relacionadas com o
objectivo através de relações matemáticas.
3. Medições directas das variáveis de carga; estas medições são efectuadas em algumas
configurações de controlo, como, por exemplo, no controlo pré-alimentado, com o objec-
tivo de compensar o efeito das variáveis de carga sobre processo antes que esse efeito se
manifeste nas variáveis de saída.
2.4 Configurações de controlo
Uma configuração de controlo é a estrutura de informação que é utilizada para relacionar as
medições efectuadas com as variáveis manipuladas. As configurações de controlo dividem-se
em dois grandes grupos tendo em conta o número de saídas controladas e o número de entradas
manipuladas do processo:
• Configurações SISO (single-input, single-output); quando existe uma única variável ma-
nipulada e uma única variável controlada.
1.3
Instrumentacao e Controlo de Processos
Carga
PROCESSO
CONTROLADOR
MEDIDORACTUADOR
Variável controladaVariável manipulada
Valor de referência
(set-point)
Figura 1: Estrutura genérica do controlo realimentado em cadeia fechada.
• Configurações MIMO (multiple-input, multiple-output); quando existe mais do que uma
variável controlada ou mais do que uma variável manipulada.
As configurações de controlo também podem ser classificadas de acordo com o tipo de
variável medida ou com o tipo de de variável manipulada. De acordo com esta classificação, os
dois tipos de configurações mais importantes são:
1. Controlo realimentado em cadeia fechada—Feedback control (Fig. 1): utiliza as medições
directas das variáveis controladas, ou medições secundárias de variáveis de saída, caso as
variáveis controladas não possam ser medidas, para ajustar os valores das variáveis mani-
puladas. Neste tipo de configuração as variáveis de carga (perturbações) não são medidas.
O controlo em feedback não produz uma “acção de regulação perfeita” porque a acção
de correcção só se inicia depois da variável controlada se ter desviado do valor preten-
dido. No entanto, uma vantagem extremamente importante deste tipo de controlo reside
no facto de a acção de correcção se efectuar independentemente da fonte de perturbação.
2. Controlo pré-alimentado em cadeia aberta—Feedforward control (Fig. 2): utiliza as me-
dições directas das variáveis de carga para ajustar os valores das variáveis manipuladas.
Este tipo de controlo exige a medição de todas as variáveis de carga e o conhecimento
detalhado da dinâmica (modelo) do processo para que as perturbações possam ser com-
pensadas sem esperar pela variação da variável controlada indicativa da ocorrência da
perturbação. Como na prática a dinâmica do processo não é conhecida com exactidão,
1.4
Instrumentacao e Controlo de Processos
Carga
PROCESSO
CONTROLADOR
MEDIDOR
ACTUADOR
Variável
controlada
Variável
manipulada
Valor de
referência
(set-point)
Figura 2: Estrutura genérica do controlo pré-alimentado em cadeia aberta.
este tipo de controlo é normalmente utilizado em combinação com o controlo realimen-
tado em cadeia fechada.
2.5 Graus de liberdade de um processo
Os graus de liberdade de um processo são as variáveis independentes que têm de ser especifi-
cadas para definir completamente o processo, ou seja, para determinar as restantes variáveis do
process. Quando se dispõe de um modelo do processo, o número de graus de liberdade, NGL, é
dado por
NGL = NV − NE, (1)
em que NV é o número de variáveis do processo e NE é o número de equações independentes que
constituem o modelo. Em geral, a adição de uma cadeia controlo simples introduz uma equação
adicional—a lei de controlo—e, consequentemente, elimina um grau de liberdade—a variá-
vel manipulada. Pode argumentar-se que a lei de controlo também introduz no processo uma
variável nova—o set-point. No entanto, o valor do set-point é normalmente especificado pelo
operador ou é determinado por um sistema de controlo supervisor. Concluindo: o resultado
prático do controlo de uma variável de processo é a eliminação de um grau de liberdade.
Assim, pode afirmar-se que um objectivo do controlo automático é a redução do número
de graus de liberdade do processo, por meios mecânicos, pneumáticos ou electrónicos. Um
processo está sob controlo automático total quando o número de graus de liberdade respeitantes
às variáveis de desempenho do processo é zero.
1.5
Instrumentacao e Controlo de Processos
Utilização dos graus de liberdade. Para um processo que não está completamente especifi-
cado (NGL > 0), os graus de liberdade são utilizados de duas formas:
1. Como variáveis manipuladas;
2. Como variáveis de processo que são fixadas (determinadas) pelo meio exterior ao pro-
cesso.
Consequentemente,
NGL = NM + NS , (2)
em que NM é o número de variáveis manipuladas e NS é o número de variáveis de processo de-
terminadas pelo meio exterior. Da equação anterior conclui-se, então, que o número de variáveis
manipuladas é sempre menor ou igual ao número de graus de liberdade:
NM ≤ NGL. (3)
Número de variáveis manipuladas. Se não puderem ser tolerados quaisquer desvios das
variáveis controladas relativamente aos respectivos set-points então têm que existir pelo menos
tantas variáveis manipuladas quantas as variáveis controladas (NC), isto é,
NM ≥ NC. (4)
Ocorrem ocasionalmente situações em que existem mais variáveis manipuladas do que va-
riáveis controladas (NM > NC). Como exemplo pode citar-se o caso da utilização de duas válvu-
las de controlo para regulação de temperatura; tipicamente, uma válvula é utilizada para aque-
cimento e outra válvula é utilizada para arrefecimento—neste caso, utilizam-se duas variáveis
manipuladas para regular o valor de uma variável controlada.
Para além da regulação do processo através da actuação sobre determinadas variáveis mani-
puladas, muitas vezes é desejável o uso de variáveis manipuladas adicionais para maximização
de uma função objectivo relacionada com o desempenho do processo.
3 Elementos constituintes de um sistema de controlo
Em qualquer configuração de controlo podem distinguir-se os seguintes elementos físicos:
1. O processo químico: todo o equipamento e todas as operações físicas e químicas que nele
ocorrem.
1.6
Instrumentacao e Controlo de Processos
2. Instrumentos de medição ou sensores: instrumentação utilizada para medir as variáveis
de carga, as variáveis controladas de saída, ou variáveis de saída secundárias.
3. Transdutores: instrumentação que converte a informação medida em quantidades físicas
que podem ser transmitidas facilmente, tais como sinais eléctricos (corrente ou tensão)
ou pneumáticos (ar comprimido).
4. Linhas de transmissão: transferem o sinal medido do instrumento de medição para o con-
trolador, actuador, registador ou alarme.
5. Controlador: é o elemento activo da cadeia de controlo que recebe a informação das me-
dições e toma as acções apropriadas de controlo para ajustar os valores das variáveis
manipuladas.
6. Elementos finais de controlo (instrumentos actuadores): equipamento que actua directa-
mente nas variáveis controladas; o actuador mais habitual é a válvula de controlo. Um
outro exemplo, é a bomba de velocidade variável.
7. Instrumentos de indicação ou de registo.
4 Exemplo: controlo automático de um tanque agitado de aqueci-mento
Considere-se o tanque de aquecimento com agitação contínua representado na Fig. 3. A cor-
rente líquida de entrada tem um caudal volumétrico F e uma temperatura Ti. O líquido no
tanque está perfeitamente agitado e é aquecido por uma resistência eléctrica que debita Q watts.
V
T
F
Resistência
eléctrica
Ti
F
Q
Figura 3: Esquema de um tanque agitado de aquecimento.
1.7
Instrumentacao e Controlo de Processos
Suponha-se que os caudais de entrada e de saída são iguais e que a densidade ρ do líquido é
independente da temperatura. Nestas condições, o volume V de líquido no tanque permanece
constante. Suponha-se, também, que as trocas de calor com o exterior podem ser desprezadas.
O objectivo de controlo do tanque agitado de aquecimento é manter a temperatura T da
corrente de saída igual a um valor de referência TR; T será então a variável controlada. Em
terminologia anglo-saxónia de controlo o valor de referência TR é designado por set-point. As
variáveis de carga (perturbações) do processo são F e Ti; são as variáveis de entrada que podem
estar sujeitas a variações externas.
Se o tanque funcionar em estado estacionário, os valores das variáveis permanecem cons-
tantes e o balanço de energia ao tanque escreve-se:
F · Ti +QρCp= F · T , (5)
em que F, Ti, T e Q representam os valores nominais de estado estacionário e ρCp é a ca-
pacidade calorífica volumétrica do líquido (e.g., cal m−3 K−1). Neste caso, não há necessidade
de controlo (regulação) e a quantidade de calor que deve ser fornecida ao tanque para manter
T = TR é obtida reescrevendo a equação exterior em ordem a Q:
Q = (ρCp)F(TR − Ti). (6)
Suponha-se que F permanece constante, mas que Ti está sujeita a variações, isto é, Ti passa
a ser a única variável de carga (perturbação) do processo. Existem várias estratégias possíveis
para controlar a temperatura de saída T .
Método 1. Medir T e ajustar Q. Uma forma de controlar T , apesar de Ti variar, é ajustar Q
com base em medições de T . Se T > TR, diminui-se Q; se T < TR, aumenta-se Q.
Método 2. Medir Ti e ajustar Q. Como alternativa ao método 1 pode-se medir Ti e ajustar Q.
Se Ti > Ti, diminui-se Q; se Ti < Ti, aumenta-se Q.
Método 3. Medir T e ajustar F. Esta solução obriga à introdução de uma válvula de controlo
na corrente de entrada para manipular F. Da eq. (5) conclui-se que
T = Ti +Q/FρCp. (7)
Logo: se T > TR, aumenta-se F; se T < TR, diminui-se F.
1.8
Instrumentacao e Controlo de Processos
Método 4. Medir Ti e ajustar F. Da eq. (7) deduz-se a seguinte regra: se Ti > Ti, aumenta-se
F; se Ti < Ti, diminui-se F.
Método 5. Medir T e Ti, ajustar Q. É uma combinação dos métodos 1 e 2.
Método 6. Medir T e Ti, ajustar F. É uma combinação dos métodos 3 e 4.
Os métodos 1 e 3 são estratégias de controlo em cadeia fechada. Os métodos 2 e 4 são estratégias
de controlo em cadeia aberta. Os métodos 5 e 6 são combinações das estratégias de controlo em
cadeia aberta e cadeia fechada.
1.9
Instrumentacao e Controlo de ProcessosJosé Paulo Mota c⃝ 1997-2011, V. 4.3
Modelação matemática de Processos Químicos
Conteúdo
1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Princípios gerais de modelação quantitativa clássica . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1 Balanço de massa total: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Balanço de massa a um componente, e.g., ao componente A: . . . . . . 3
2.3 Balanço de energia total: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 Exemplo 1: tanque de armazenagem de líquidos . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4 Exemplo 2: Tanque agitado de aquecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5 Exemplo 3: Reactor contínuo de mistura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1 Introdução
O modelo de um processo químico é uma representação matemática dos fenómenos físicos
e químicos que nele ocorrem. Em controlo, o modelo é uma ferramenta útil para o conheci-
mento da dinâmica do processo, nomeadamente a resposta temporal do sistema a perturbações,
a descrição das interacções do processo decorrentes das perturbações e a resposta no tempo das
variáveis que definem o desempenho do processo face às perturbações e acções de controlo. O
modelo é normalmente utilizado para:
• Aumentar o conhecimento do processo;
• Treinar pessoal de operação;
• Avaliar o desempenho de estratégias de controlo alternativas;
• Projectar da lei de controlo (controlo avançado);
• Afinar o controlador, isto é, calcular valores apropriados dos parâmetros do controlador;
• Optimizar as condições de operação do processo.
2.1
Instrumentacao e Controlo de Processos
O modelo pode ser:
• Teórico ou mecanístico, quando é desenvolvido usando os princípios (leis) fundamentais
das Ciências da Engenharia;
• Empírico, quando é obtido de uma análise matemática (estatística) de dados de operação
do processo (regressão linear ou não-linear, redes neuronais, etc.);
• Semi-empírico, quando o cálculo de alguns parâmetros do modelo é baseado em dados
de operação do processo. Este tipo de modelo é o mais habitual.
2 Princípios gerais de modelação quantitativa clássica
O modelo dinâmico quantitativo clássico de um processo químico consiste num:
• Conjunto de quantidades fundamentais independentes que descreve o estado natural do
processo;
• Conjunto de equações envolvendo as quantidades fundamentais que descreve a forma
como o estado natural do processo varia com o tempo. O conjunto é constituído, invaria-
velmente, por uma ou mais equações diferenciais—equações diferenciais ordinárias e/ou
equações às derivadas parciais—combinadas frequentemente com uma ou mais relações
algébricas.
Em aplicações de controlo, o modelo pode ser obtido pela aplicação de relações de conservação
em estado não estacionário, normalmente balanços de matéria e de energia e, menos habitual-
mente, uma balanço de quantidade de movimento. Normalmente, estas equações de conserva-
ção são complementadas com relações de transferência entre fases, expressões de velocidade
de reacção química e relações termodinâmicas.
O princípio geral de conservação de uma quantidade S poder ser formulado da seguinte
forma: taxa de acumulaçãode S no sistema
= taxa de entrada
de S no sistema
− taxa de saída
de S do sistema
+
taxa de produçãode S no sistema
− taxa de consumo
de S no sistema
. (1)
2.2
Instrumentacao e Controlo de Processos
Sistema
1
2
N
1
2
M
...
...
Q
Ws
V
Figura 1: Sistema genérico com N correntes de entrada, M correntes de saída e volume V .
Neste contexto a palavra taxa significa quantidade por unidade de tempo. A variável S pode ser
uma das seguintes quantidades fundamentais: massa total, massa de cada componente, energia
total, e quantidade de movimento.
Considere-se o sistema genérico de volume V representado na Fig. 1, constituído por N
correntes de entrada e M correntes de saída. A taxa de transferência de calor do exterior para
o sistema é Q e a taxa de trabalho produzido pelo sistema sobre o exterior é Ws. Notar que
Ws não inclui o trabalho realizado pelas forças de pressão quando há movimento do fluido. A
aplicação do princípio de conservação, eq. (1), a cada uma das quantidades fundamentais do
sistema origina as seguintes equações.
2.1 Balanço de massa total:
d(ρV)dt=
∑i ∈ entradas
ρiFi −∑
j ∈ saídas
ρ jF j. (2)
2.2 Balanço de massa a um componente, e.g., ao componente A:
d(cAV)dt
=∑
i ∈ entradas
cAi Fi −∑
j ∈ saídas
cA j F j + rAV. (3)
2.3 Balanço de energia total: taxa de acumulaçãode energia
= taxa de entrada
de energia
− taxa de saída
de energia
2.3
Instrumentacao e Controlo de Processos
+
taxa de transferência de calordo exterior para o sistema
− taxa de trabalho produzido
pelo sistema sobre o exterior
, (4)
isto é,d(ρVe)
dt=
∑i ∈ entradas
ρiFi(ei + Pi/ρi) −∑
j ∈ saídas
ρ jF j(e j + P j/ρ j) + Q − Ws. (5)
A energia total é a soma de três contribuições: a energia interna (u), a energia cinética (v2/2)
e a energia potencial (gy). As variáveis V , Q e Ws já foram definidas; os restantes símbolos têm
o significado seguinte:
ρ = massa específica do sistema (kg/m3)
ρi = massa específica da corrente i (kg/m3)
Fi = caudal volumétrico da corrente i (m3/s)
cA = concentração do componente A (mole/m3)
rA = velocidade de produção de A por unidade de volume (mole/s m3)
e = energia total específica do sistema (J/kg)
ei = energia total específica da corrente i (J/kg)
Pi = pressão da corrente i (Pa)
u = energia interna específica (J/kg)
v = velocidade a que se desloca o volume do sistema (m/s)
g = aceleração da gravidade (9,81 m/s2)
y = posicionamento vertical do centro de massa do sistema (m)
Nos processos que vão ser estudados na disciplina de Instrumentação & Controlo de Pro-
cessos, as variações de energia cinética e potencial podem ser desprezadas quando comparadas
com as variações de energia interna. Neste caso a eq. (5) simplifica-se:
d(ρVu)dt
=∑
i:entrada
ρiFihi −∑j:saída
ρ jF jh j + Q − Ws, (6)
em que u = h − P/ρ e hi = ui + Pi/ρi é a entalpia específica da corrente i. Quando as variações
de temperatura não são muito significativas, a entalpia específica pode ser relacionada com a
temperatura da seguinte forma:
h(T ) = ho +Cp(T − To), (7)
em que ho é o valor da entalpia à temperatura de referência To e Cp é a capacidade calorífica
(J/kg oC) da corrente. Para líquidos, u ≃ h e o balanço de energia reduz-se a um balanço de
entalpia.
2.4
Instrumentacao e Controlo de Processos
As equações de estado estacionário correspondentes aos balanços apresentados são obtidas
eliminando todos os termos de acumulação, isto é, todos os termos com d/dt.
3 Exemplo 1: tanque de armazenagem de líquidos
A Fig. 2 representa um sistema típico de armazenagem de líquidos. Suponha-se que na saída do
tanque o escoamento do líquido é turbulento pelo que a perda de carga na válvula é proporcional
ao quadrado do caudal de líquido.
As variáveis fundamentais cujos valores fornecem informação relativa ao tanque são (a) a
massa total, (b) a energia total e (c) a quantidade de movimento do líquido no tanque. Neste
caso tanto as variações de quantidade de movimento como de energia total são desprezáveis
pelo que a única quantidade fundamental com interesse é a massa total de líquido = ρAh.
Se a densidade ρ do líquido for constante, o balanço de massa total (2) a este sistema origina:
dVdt= A
dhdt= Fi − F. (8)
A equação de funcionamento da válvula é
P − Patm = (F/Cv)2, F = Cv
√P − Patm, (9)
em que P é a pressão do líquido antes da válvula, Patm é a pressão atmosférica e Cv é o coefici-
ente da válvula que é função da abertura da válvula. Dado que a superfície do líquido no tanque
também está à pressão atmosférica tem-se que
P = Patm + ρgh, (10)
pelo que
F = Cv
√ρgh. (11)
V
F
Fi
h
(área da base = A)
Figura 2: Tanque de armazenagem de líquidos.
2.5
Instrumentacao e Controlo de Processos
A equação de estado do processo obtém-se substituindo a eq. (11) na eq. (8):
Adhdt= Fi −Cv
√ρgh. (12)
Resumindo.
Equações de estado: eq. (12)
Variáveis de estado: ρV (massa do sistema)
Variáveis de saída: h
variáveis de entrada
Variáveis de carga: Fi
Variáveis manipuladas: Cv
Parâmetros: A, ρ, g.
4 Exemplo 2: Tanque agitado de aquecimento
A Fig. 3 representa um tanque agitado de aquecimento. Supõe-se que as perdas de calor para o
exterior são desprezáveis e que a massa específica ρ do líquido permanece constante.
As variáveis fundamentais deste sistema são (a) a massa total, (b) a energia total e (c) a
quantidade de movimento do líquido no tanque. Como as variações de quantidade de movi-
mento são desprezáveis, as únicas quantidades fundamentais com interesse são a massa total e
a energia total.
O balanço de massa édVdt= Fi − F. (13)
V
T
F
Resistência
eléctrica
Ti
Fi
Q
Figura 3: Tanque agitado de aquecimento.
2.6
Instrumentacao e Controlo de Processos
Como se trata de um líquido, a aplicação da eq. (6) origina
ρd(Vh)
dt= ρFihi − ρFh + Q, (14)
em que
hi = ho +Cp(Ti − To) e h = ho +Cp(T − To) (15)
são as entalpias específicas das correntes de entrada e de saída. Tendo em conta o balanço de
massa dado pela eq. (13) e após substituição da equação anterior na eq. (14) obtém-se:
VdTdt= Fi(Ti − T ) +
QρCp. (16)
Resumindo.
Equações de estado: Eqs. (13) e (16)
Variáveis de estado: ρV e ρVh (massa e energia do sistema)
Variáveis de saída: V (ou h) e T
variáveis de entrada
Variáveis de carga: Fi, Ti
Variáveis manipuladas: Q, F
Parâmetros: ρ, Cp.
5 Exemplo 3: Reactor contínuo de mistura
A Fig. 4 representa um reactor contínuo de mistura no qual se processa uma reacção química
exotérmica irreversível de primeira ordem, em que o reagente A reage para formar o produto B:
A −→ B.
A velocidade de reacção por unidade de volume é
r = kcA, k = ko exp(−E/RT ), (17)
em que ko é o factor de frequência, E é a energia de activação e R é a constante dos gases ideais.
As variáveis fundamentais deste sistema são (a) a massa total, (b) a massa do componente
A,1 (c) a energia total e (d) a quantidade de movimento. Como no caso em estudo as variações de
2.7
Instrumentacao e Controlo de Processos
V
F, cA, TFc, Tci
Fc, Tc
Fi, cAi, Ti
(reagente)
(produto)(líquido de
arrefecimento)
Figura 4: Reactor contínuo de mistura.
quantidade de movimento são desprezáveis, as únicas quantidades fundamentais com interesse
são a massa total, a massa do componente A e a energia total.
Suponha-se que as massas específicas das correntes de entrada e de saída são iguais (ρi = ρ)
e independentes da temperatura. O balanço de massa total é
dVdt= Fi − F. (18)
O balanço de massa ao componente A assume a seguinte forma:
d(cAV)dt
= cAdVdt+ V
dcA
dt= cAiFi − cAF − kcAV, (19)
ou, tendo em conta o balanço de massa total, eq. (18),
dcA
dt=
Fi
V(cAi − cA) − kcA. (20)
O reactor contém uma camisa de arrefecimento para manter a mistura à temperatura de
operação desejada através da remoção do calor libertado pela reacção. Supondo que a reacção
se dá em fase líquida, o balanço de energia para este sistema escreve-se
dHdt= ρFihi − ρFh − Q, (21)
em que Q é a taxa de calor transferido para o líquido de arrefecimento e H é a entalpia da
mistura contida no reactor.
Da termodinâmica sabe-se que H = H(T, cAV, cBV), pelo que
dHdt
=∂H∂T
dTdt+∂H∂(cAV)
d(cAV)dt
+∂H∂(cBV)
d(cBV)dt
(22)
= ρCpVdTdt+ HA(T )
d(cAV)dt
+ HB(T )d(cBV)
dt, (23)
1A massa do componente B pode ser determinada da massa total e da massa do componente A, pelo que não éuma quantidade fundamental independente.
2.8
Instrumentacao e Controlo de Processos
em que Cp é a capacidade calorífica da mistura e HA e HB são as entalpias parciais molares de
A e de B.
Usando o balanço de massa ao produto B,
d(cBV)dt
= −cBF + kcAV, (24)
e o balanço de massa ao reagente A, dado pela eq. (19), o balanço de energia adquire a seguinte
forma:
ρCpVdTdt= −HA(cAiFi − cAF − kcAV) − HB(−cBF + kcAV) + ρFihi − ρFH − Q. (25)
Reparar que
ρFihi(Ti) = Fi[ρhi(T ) + ρCp(Ti − T )] = Fi[cAiHA(T ) + ρCp(Ti − T )] (26)
ρFh(T ) = F[cAHA(T ) + cBHB(T )], (27)
pelo que a equação anterior pode ser simplificada:
ρCpVdTdt= FiρCp(Ti − T ) + (HA − HB)kcAV − Q. (28)
Como (HA − HB) = (−∆Hr) é o calor de reacção à temperatura T , obtém-se finalmente:
VdTdt= Fi(Ti − T ) +
(−∆Hr)kcAVρCp
− QρCp. (29)
Resumindo.
Equações de estado: eqs. (18), (20) e (29)
Variáveis de estado: ρV , cAV , ρVh (massa total, massa do componente e energia
do sistema)
Variáveis de saída: V (ou h), cA, T
variáveis de entrada
Variáveis de carga: Fi, CAi, Ti
Variáveis manipuladas: Q, F
Fi ou Ti (ocasionalmente)
Parâmetros: ρ, Cp, (−∆Hr), ko, E, R.
2.9
Instrumentacao e Controlo de ProcessosJosé Paulo Mota c⃝ 1997-2011, V. 4.3
Dinâmica de sistemas
Conteúdo
1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Sistema lineares com coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Sistemas lineares com coeficientes variáveis . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Sistemas não lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Linearização de modelos não lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1 Exemplo de linearização processual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1 Introdução
Considere-se um sistema com um grau de liberdade de modo que o estado físico do sistema
pode ser especificado por uma única variável y. Assim sendo, o comportamento do sistema é
descrito tomando y como uma função do tempo t. Para determinar este comportamento, ou y(t),
é necessário conhecer a estrutura do sistema e as propriedades dos seus elementos individuais.
Este conhecimento acerca do sistema, juntamente com as leis físico-químicas fundamentais,
quando traduzido para linguagem matemática, dá origem a uma equação que permite o cálculo
da função y(t). Esta equação pode ser uma equação integral ou uma equação integro-diferencial,
mas habitualmente é uma equação diferencial. É também uma equação diferencial ordinária
porque contém uma única variável independente, que é o tempo t.
Uma equação diferencial é linear, e o sistema descrito pela equação diferencial é denomi-
nado sistema linear, se cada termo da equação tiver no máximo potências de primeira ordem
na variável dependente y ou nas suas derivadas em ordem ao tempo; os termos da equação não
podem ter potências mais elevadas de y nem produtos cruzados de y e das suas derivadas. Caso
contrário, a equação diferencial não é linear e o sistema descrito pela equação diferencial diz-se
ser um sistema não linear.
Os sistemas lineares, por sua vez, podem ser classificados em sistemas com coeficientes
constantes e sistemas com coeficientes variáveis. Os sistemas com coeficientes constantes têm
3.1
Instrumentacao e Controlo de Processos
constantes independentes do tempo t como coeficientes dos termos da equação diferencial que
descreve o sistema. Os sistemas com coeficientes variáveis têm coeficientes que são funções
de t.
A preocupação com a classificação da equação diferencial justifica-se porque as caracte-
rísticas da solução da equação e, consequentemente, do comportamento do sistema, dependem
directamente do tipo de equação diferencial que descreve o sistema. Ainda mais relevante, é
o facto do tipo de equação diferencial definir o género de questões que podem ser formuladas
logicamente acerca do sistema. Por outras palavras, o tipo de equação diferencial determina a
abordagem apropriada a seguir para a resolução do problema de engenharia do sistema.
1.1 Sistema lineares com coeficientes constantes
Considere-se o sistema mais simples—um sistema de primeira ordem. Neste caso, a equação
diferencial que define o sistema é uma equação diferencial linear de primeira ordem com coefi-
cientes constantes. Se se assumir que o sistema é livre e não está sujeito a “funções de actuação,”
então a equação diferencial pode ser escrita da seguinte forma:
dydt+ ky = 0, (1)
em que k é uma constante real que pode ser denominada constante de mola. Quando y não varia
com o tempo, o termo dy/dt desaparece e a Eq. (1) requer que y = 0.
A solução da eq. (1) é
y = y0e−kt, (2)
em que y0 é o valor inicial de y, isto é,
y(0) = y0. (3)
O parâmetro y0 tem um significado bem definido: y0 é a perturbação inicial do estado estacio-
nário ou de equilíbrio do sistema.
A Fig. 1 ilustra o comportamento do sistema para t > 0 e para valores de k quer positivos
quer negativos. Observa-se que, para k > 0, a grandeza de y diminui com o tempo. Então, à
medida que o tempo aumenta indefinidamente, y → 0. Consequentemente, para k > 0, a per-
turbação do sistema vai eventualmente desaparecer. Neste caso, pode afirmar-se que o sistema
é estável.
3.2
Instrumentacao e Controlo de Processos
y
y0
t
k < 0
k > 0
Figura 1: Resposta da eq. (1) para valores positivos e negativos de k.
Quando k < 0, o movimento do sistema aumenta com o tempo e, eventualmente, a pertur-
bação torna-se muito grande independentemente de quão pequeno for o deslocamento inicial: o
sistema, quando perturbado, nunca volta ao estado de equilíbrio. Estes sistemas são, portanto,
instáveis.
Para sistemas de ordem superior, a equação diferencial tem derivadas de ordem superior a
um. O sistema de ordem n é regido pela equação diferencial
dnydtn + an−1
dn−1ydtn−1 + · · · + a0y = 0. (4)
Para um sistema fisicamente realizável os coeficientes an−1, . . . , a0 são reais. Neste caso, a solu-
ção da eq. (4) pode ser escrita como
y =n∑
i=1
y(i)0 eαit sin( βit + φi), (5)
em que os αi’s e βi’s são reais e relacionados com os coeficientes an−1, . . . , a0, e os φi’s são
os ângulos de fase. Da análise da eq. (5) conclui-se que a dinâmica do sistema só é estável se
todos os αi’s forem negativos. Se um deles for positivo, a perturbação eventualmente diverge e
o sistema é, por isso, instável.
Estes exemplos tornam claro que a questão crucial a colocar acerca do comportamento de
um sistema linear de coeficientes constantes é a questão de estabilidade. Não é por isso de
estranhar que o objectivo de concepção de um sistema de engenharia seja a estabilidade. A
questão de estabilidade pode, no entanto, ser respondida logo que os coeficientes da equação
diferencial sejam especificados. No caso do sistema simples de primeira ordem, definido pela
eq. (1), a única informação que interessa é o sinal do coeficiente k.
3.3
Instrumentacao e Controlo de Processos
1.2 Sistemas lineares com coeficientes variáveis
Se existir um parâmetro variável no sistema em estudo, então o estado estacionário ou de equi-
líbrio do sistema pode ser alterado pela modificação do valor desse parâmetro. É, portanto,
expectável que os coeficientes da equação diferencial linear que descreve o sistema também
sejam funções desse parâmetro. Por exemplo, as forças aerodinâmicas que actuam num avião
são funções da velocidade do aparelho. Se a velocidade do avião variar devido à aceleração
ou desaceleração, então as forças aerodinâmicas alteram-se em consequência desse efeito, en-
quanto que as propriedades inerciais do aparelho permanecem praticamente as mesmas. Como
resultado, se se pretender calcular o movimento desviante do avião relativamente, por exem-
plo, ao voo horizontal, a equação diferencial fundamental será uma equação com coeficientes
variáveis.
Voltemos ao exemplo simples de um sistema de primeira ordem, descrito pela eq. (1). Se
a constante de mola k for uma função da velocidade do avião e se o aparelho tiver uma acele-
ração constante a, então k é uma função da velocidade u = at. Consequentemente, a equação
diferencial que descreve este sistema é
dydt+ k(at)y = 0. (6)
A solução desta equação é
lnyy0= −1
a
∫ at
0k(ξ) dξ, (7)
em que y0 é a perturbação inicial.
Se k for sempre positivo então ln(y/y0) vai ser sempre negativo e, à medida que o tempo
aumenta, o valor de ln(y/y0) vai ser cada ver mais negativo. O sistema é, portanto, estável. Se
k for sempre negativo, ln(y/y0) vai ser sempre progressivamente mais positivo com o tempo.
Então, y vai eventualmente tornar-se muito grande mesmo que a perturbação inicial y0 seja
pequena. O sistema é, portanto, instável. Estas características do sistema linear com coeficientes
variáveis que permanecem sempre positivos ou negativos são muito similares às dos sistemas
com coeficientes constantes.
O caso interessante é, no entanto, aquele em que k assume valores tanto positivos como
negativos. Suponha-se que k(at) é inicialmente positivo, depois passa a ser negativo, e final-
mente passa a ser novamente positivo. Se o primeiro zero de k for u1 = at1 e o segundo zero for
u2 = at2, então, de acordo com a discussão anterior, o sistema é instável na gama de velocidades
3.4
Instrumentacao e Controlo de Processos
y0
ymin
ymax
at1 at2 k(a t )
a t = u
y
0
Zona“instável”
Figura 2: Solução da eq. (6) quando k assume valores quer positivos quer negativos.
desde u1 até u2 (Fig. 2). Sejam ymin e ymax os valores mínimo e máximo de y, respectivamente.
Então a eq. (7) origina
lnymin
y0= −1
a
∫ u1
0k(ξ) dξ (8)
e
lnymax
y0= −1
a
∫ u2
0k(ξ) dξ. (9)
Do ponto de vista processual, a questão com maior interesse é: quão grande é o valor de
ymax? Será que ele é tão grande que o sistema não pode funcionar correctamente? Convém
salientar que, para responder a esta questão, é necessário conhecer duas coisas, para além da
dependência funcional de k com u. Elas são: o valor da aceleração a e a grandeza da perturbação
inicial y0. Para um dado valor fixo de a, ymax é proporcional a y0. Mas mais importante, para
uma dada perturbação inicial fixa, o valor máximo do desvio ymax pode ser reduzido substanci-
almente pelo aumento da aceleração a, conforme mostra a eq. (9). Isto significa que os efeitos
indesejáveis podem ser minimizados se a zona “instável” for atravessada rapidamente.
Consequentemente, para a generalidade dos sistemas lineares com coeficientes variáveis a
simples questão de estabilidade não tem um significado definido. A questão mais relevante é
saber se, para um dado critério específico, o sistema responde de forma satisfatória para umas
determinadas perturbações e circunstâncias específicas. No nosso exemplo simples de um sis-
tema de primeira ordem, o critério específico para um comportamento apropriado ou correcto
é ymax; a perturbação específica é y0; e a circunstância específica é a aceleração a. Portanto, as
características do problema já se alteram consideravelmente com a simples passagem de siste-
3.5
Instrumentacao e Controlo de Processos
mas com coeficientes constantes para sistemas com coeficientes variáveis.
1.3 Sistemas não lineares
Se a constante de mola k do sistema de primeira ordem definido pela eq. (1) for uma função da
própria perturbação y, então a equação diferencial é
dydt+ f (y) = 0, (10)
em que f (y) = k(y) y. Vê-se claramente que a equação diferencial não é linear. O sistema
descrito pela eq. (10) é, portanto, o exemplo mais simples de um sistema não linear. A solução
y(t) pode ser determinada da seguinte relação obtida por integração da eq. (10):
t = −∫ y
y0
dηf (η), (11)
em que y0 é novamente o valor inicial da perturbação.
Por outro lado, diferenciando repetidamente a eq. (10) obtém-se
d2ydt2 +
d fdy
dydt= 0
d3ydt3 +
d2 fdy2
(dydt
)2
+d fdy
d2ydt2 = 0
· · · · · · · · ·
. (12)
Portanto, se y1 é um zero da função f (y) e se f (y) é regular em y1, de modo que todas as
derivadas de f (y) em ordem a y são finitas no ponto y1, então das eqs. (10) e (12) conclui-se que
dydt=
d2ydt2 =
d3ydt3 = · · · = 0 para y = y1. (13)
Isto significa que y aproxima-se de y1 assimptoticamente. De facto, se y0 > y1 e f (y0) > 0, então
y irá ser eventualmente igual a y1. Se y0 < y1, então f (y0) < 0 e y será novamente igual a y1 para
t → ∞. Este tipo de comportamento de y repete-se para os outros zeros de f (y), conforme se
ilustra na Fig. 3.
Se a perturbação inicial y0 coincidir com um dos zeros de f (y), este valor de y vai manter-se
com o aumento do tempo. Portanto, os zeros de f (y) são posições estacionárias ou de equilíbrio.
Se d f /dy > 0 num zero como em y1, então pequenos desvios desta posição de equilíbrio vão
eventualmente desaparecer e o sistema retornará ao estado inicial. Portanto, pode afirmar-se que
o sistema apresenta estabilidade para pequenas perturbações em y1. Se, no entanto, d f /dy < 0
3.6
Instrumentacao e Controlo de Processos
y1
y2
y3
y
f ( y )
y
t
Figura 3: Comportamento da eq. (10) na proximidade de zeros de f (y).
num zero como em y2, a mais pequena perturbação desta posição de equilíbrio fará com que o
sistema se desloque para uma das posições de equilíbrio seguintes, y1 ou y3; diz-se, portanto,
que y2 é um estado de equilíbrio instável.
Vimos que mesmo para o sistema não linear muito simples, descrito pela eq. (10), o compor-
tamento do sistema é muito complicado. O sistema pode ter quer estabilidade que instabilidade.
Portanto, para estes sistemas não faz sentido colocar uma questão genérica sobre estabilidade;
pelo contrário, cada problema específico tem que ser considerado individualmente.
2 Linearização de modelos não lineares
É quase certo que qualquer sistema físico ou químico seja não linear se for analisado em de-
talhe. Fala-se do sistema como sendo linear só com a noção implícita de que o sistema pode
ser aproximado de forma suficientemente precisa por um sistema linear. Para além disso, uma
precisão suficiente significa que o desvio da linearidade é tão pequeno que não é significativo
para o problema específico considerado. Só se pode, portanto, determinar se um sistema é ou
não é linear em circunstâncias claramente definidas. Não existe um critério absoluto genérico.
O mesmo pode afirmar-se da classificação de sistemas lineares em sistema com coeficientes
constantes e sistemas com coeficientes variáveis. Considerem-se os exemplos simples descritos
pelas eqs. (1) e (6). Se a aceleração a é muito pequena, isto é, voo a velocidade quase constante,
a eq. (8) mostra que o valor de ymin será muito mais pequeno do que a perturbação inicial y0,
e que o valor de ymin será atingido para um valor grande de t. O comportamento do sistema
dentro de um intervalo de tempo finito é, portanto, muito similar ao de um sistema descrito
pela eq. (1) com um valor positivo de k. Por isso, em determinadas circunstâncias o sistema
3.7
Instrumentacao e Controlo de Processos
x1 x2 xn. . .
Variáveis deestado
d1 d2 dl
Variáveis de carga
PROCESSO
......
y1
y2
ym
u1
u2
uk
Variáveismanipuladas
variáveisde saída
. . .
Figura 4: Representação esquemática de um sistema dinâmico susceptível de controlo automá-
tico. O sistema tem l variáveis de carga (perturbações) d1, . . . , dl; k variáveis potencialmente
manipuláveis u1, . . . , kk; n variáveis de estado (isto é, variáveis que caracterizam o estado interno
do sistema); e m variáveis de saída y1, . . . , ym.
de coeficientes variáveis pode ser aproximado com precisão suficiente por um sistema com
coeficientes constantes.
Obviamente, os sistemas lineares com coeficientes constantes são os sistemas mais fáceis de
estudar. Este é um dos motivos pelos quais, na teoria clássica de controlo, o modelo matemático
da dinâmica de um processo deve aderir, por uma questão de conveniência, à representação es-
quemática da Fig. 4. Em particular, se o processo tiver uma única variável manipulada u(t), uma
única variável de carga d(t), uma única variável de estado x(t) e uma única variável controlada
y(t), então o modelo correspondente deve ter a seguinte forma:
dx(t)dt
= ax(t) + bu(t) + γd(t), (14)
y(t) = cx(t), (15)
em que a, b, c e γ são constantes; o modelo é, portanto, constituído por uma equação diferencial
ordinária de primeiro grau com coeficientes constantes, complementada com uma relação de
proporcionalidade directa entre a variável controlada y e a variável de estado x.
No caso mais geral, representado na Fig. 4, o modelo assume a seguinte forma matricial:
dx(t)dt
= Ax(t) + Bu(t) + Γd(t), (16)
y(t) = Cx(t), (17)
em que
u =
u1...
uk
, d =
d1...dl
, x =
x1...
xn
, y =
y1...
ym
, (18)
3.8
Instrumentacao e Controlo de Processos
e A(n× n), B(n× k), C(m× n) e Γ(n× l) são matrizes com coeficientes constantes. Por exemplo,
A =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
· · · · · · · · · · · ·an1 an2 · · · ann
. (19)
As eqs. (16) e (17) são lineares, pois os seus coeficientes das matrizes A, B, C e Γ são
constantes (não dependem das variáveis). Apesar da maior parte dos processos em engenharia
química serem regidos por equações não lineares, a aproximação desses processos por modelos
lineares é de grande importância prática pelas seguintes razões:
1. Não existe uma teoria geral para a resolução analítica de equações diferenciais não line-
ares e, consequentemente, não existe uma análise compreensiva de sistemas dinâmicos
não lineares.
2. Um sistema não linear pode ser aproximado adequadamente por um sistema linear perto
das condições normais de operação.
3. Avanços significativos na teoria do controlo linear permitem o projecto de controladores
eficientes mesmo para processos não lineares.
O ponto (1) é uma evidência; o ponto (3) é um facto que tem vindo a ser constatado na prática;
a argumentação do ponto (2) tem uma base teórica que merece ser aprofundada e que é um
bom ponto de partida para a descrição do procedimento de linearização e de aproximação de
sistemas não lineares por sistemas lineares.
Considere-se que, em vez das eqs. (14) e (15), as equações que descrevem a dinâmica do
processo são
dxdt= f (x(t), u(t), d(t)), (20)
y(t) = g(x(t)), (21)
em que f (·) e g(·) são funções não lineares das variáveis x, u e d. Num capítulo anterior referiu-
se que o objectivo de controlo mais habitual é a supressão da influência de perturbações externas
introduzidas por variáveis de carga. Numa situação ideal em que as perturbações externas são
inexistentes, o processo funciona em estado estacionário (dx/dt = 0) nas condições de projecto:
f (xe, ue, de) = 0, ye = g(xe), (22)
3.9
Instrumentacao e Controlo de Processos
em que o subscripto ‘e’ numa variável indica o valor de estado estacionário dessa variável. As
equações de estado estacionário são obtidas por eliminação dos termos transientes (d/dt) das
equações instacionárias.
Na realidade, a variável de carga varia no tempo e impede que o processo opere em estado
estacionário. Na maior parte dos casos o desvio sofrido pela variável de carga tem uma grandeza
muito inferior à do seu valor de estado estacionário, isto é,
d(t) = de + d′(t) com |d′| ≪ |de|, (23)
em que d′(t) é o desvio do valor de estado estacionário e, por isso, é denominada uma variável
desvio. Reparar que os valores estacionários de operação são constantes.
Se a eq. (23) verificar-se, então é natural que também seja pequeno o desvio introduzido pelo
sistema de controlo na variável manipulada para manter a variável de saída num valor próximo
do valor pretendido—que é o valor de estado estacionário. Nesse caso, pode escrever-se que
u(t) = ue + u′(t) com |u′| ≪ |ue|, (24)
em que u′(t) é o desvio introduzido na variável manipulada u; u′ é, por isso, a variável desvio
associada à variável manipulada u.
Se f e g forem expandidas em série de Taylor1 em torno das condições de estado estacioná-
rio, e se os termos de segunda ordem ou superior forem desprezados, obtém-se
f (x, u, d) ≈ f (xe, ue, de) +(∂ f∂x
)e
x′ +(∂ f∂u
)e
u′ +(∂ f∂d
)e
d′, (25)
1A expansão de uma função não-linear f (x) em série de Taylor em torno do ponto x0 é
f (x) = f (x0) +(
d fdx
)x0
x − x0
1!+
(d2 fdx2
)x0
(x − x0)2
2!+ · · · +
(dn fdxn
)x0
(x − x0)n
n!+ · · · .
Se os termos de segunda ordem e superiores forem desprezados, então o valor de f (x) pode ser aproximado por
f (x) ≈ f (x0) +(
d fdx
)x0
(x − x0).
O erro introduzido por esta aproximação tem a mesma ordem de grandeza que o termo
(d2 f /dx2)x0 (x − x0)2/2!.
Se a função f é multivariável, f = f (x1, . . . , xn), então a aproximação de primeira ordem em série de Taylor em
torno do ponto (x1,0, . . . , x n) é
f (x) ≈ f (x1,0, . . . , xn,0) +[
d fdx1
](x1,0,...,xn,0)
(x1 − x1,0) + · · · +[
d fdxn
](x1,0,...,xn,0)
(xn − xn,0)
3.10
Instrumentacao e Controlo de Processos
PROCESSOx(t) y(t)
entrada saída
Figura 5: Sistema genérico com uma única entrada x(t) e uma única saída y(t).
g(x) ≈ g(xe) +(dgdx
)e
x′, (26)
em que, por exemplo, (∂ f∂x
)e≡
(∂ f∂x
){x=xe, d=de, u=ue}
. (27)
Dado que
fe ≡ f (xe, de, ue) = 0, ye = g(xe),dx′
dt=
dxdt, (28)
então pode escrever-se que
dx′
dt≈
(∂ f∂x
)e
x′ +(∂ f∂u
)e
u′ +(∂ f∂d
)e
d′ (29)
y′ ≈(dgdx
)e
x′, (30)
que é precisamente o sistema algébrico-diferencial, definido pelas eqs. (14) e (15), com
a =(∂ f∂x
)e, b =
(∂ f∂u
)e, γ =
(∂ f∂d
)e, c =
(dgdx
)e. (31)
Para melhor compreender o exposto, considere-se o sistema representado na Fig. 5, consti-
tuído por uma única entrada x(t) e uma única saída y = y(x). Na Fig. 6 representa-se a relação
entre x e y; de momento vamos ignorar a linha ponteada incluída no gráfico. A Fig. 6 mostra
claramente que y é uma função não linear de x, caso contrário a curva y(x) seria uma recta.
Conhecida esta relação pode determinar-se a resposta do sistema y(t) para uma dada entrada
x(t); esta operação está exemplificada na Fig. 7.
Suponha-se que se pretende determinar aproximadamente a resposta do sistema y(t) para
uma entrada x(t) cuja amplitude da variação no tempo não é muito grande, como, por exemplo,
a que está representada no gráfico inferior da Fig. 8. Neste exemplo, os valores de x oscilam em
torno de 0.5 e estão limitados entre 0.4 e 0.6. A resposta do sistema y(t) para esta entrada x(t)
está representada pela curva sólida no gráfico superior da Fig. 8.
A expansão de y(x) em série de Taylor em torno do ponto x = 0.5, desprezando os termos
de ordem superior a um, é
y(x) ≈ y(0.5) +(
dydx
)x=0.5
(x − 0.5), (32)
3.11
Instrumentacao e Controlo de Processos
x
y
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Figura 6: Representação gráfica ( ) da relação y = y(x) e da tangente à curva (· · ·) no ponto
x = 0.5.
t
x
y
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0 1 2 3 4 5
Figura 7: Resposta do sistema y(t) para uma dada entrada x(t).
que é a recta representada a ponteado na Fig. 6.
A resposta do sistema linearizado para a entrada x(t) representada na Fig. 8 é dada pela
curva ponteada no gráfico superior da mesma figura. Observa-se que para valores de x muito
próximos de 0.4 e de 0.6 a resposta do sistema linearizado afasta-se um pouco da resposta
verdadeira. Isto deve-se ao facto de nesta gama de valores a recta representada a ponteado na
3.12
Instrumentacao e Controlo de Processos
t
x
y
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0 1 2 3 4 5
Figura 8: Resposta do sistema y(t) para uma dada entrada x(t) amortecida. A curva a sólido
( ) é a resposta verdadeira do sistema; a curva a ponteado (· · ·) é a resposta do modelo
linearizado.
t
y
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 1 2 3 4 5
Figura 9: Comparação da resposta do modelo linearizado (· · ·) com a resposta verdadeira ( )
para a entrada apresentada na Fig. 7.
Fig. 6 não aproximar correctamente a curva verdadeira.
Torna-se evidente que, se a amplitude da variação temporal da entrada x(t) for grande, então
o modelo linearizado fornece uma resposta completamente diferente da resposta verdadeira do
3.13
Instrumentacao e Controlo de Processos
sistema, como se ilustra na Fig. 9. Esta figura compara a resposta do modelo linearizado com a
resposta correcta do sistema para a entrada representada no gráfico inferior da Fig. 7.
2.1 Exemplo de linearização processual
A Fig. 10 representa um tanque agitado de mistura. Fi é o caudal volumétrico da corrente
líquida de entrada que contém um determinado soluto com concentração ci. A corrente de saída
tem caudal F e a concentração do soluto nessa corrente é c. A altura de líquido no tanque
é h. Dispõe-se de uma corrente alternativa com concentração constante de soluto cm e caudal
manipulável Fm. O objectivo de controlo é manter a concentração c na corrente de saída igual a
cref , independentemente de variações nos valores de Fi e ci.
O balanço material global e o balanço individual ao soluto originam
dVdt= Fi + Fm − F, (33)
d(Vc)dt
= Fici + Fmcm − Fc. (34)
Expandindo a eq. (34) e substituindo o termo dV/dT pelo resultado da eq. (33), obtém-se um
forma alternativa de expressar o balanço material individual ao soluto:
Vdcdt= Fi(ci − c) + Fm(ci − cm). (35)
Por outro lado, o volume de líquido no tanque é V = Ah, em que A é a área da base do
tanque. Se a velocidade do líquido no orifício de saída do líquido for suficientemente elevada,
então o caudal de saída será proporcional à raiz quadrada da altura de líquido, isto é,
F = k√
h. (36)
c
F
c i
Fi
cm
Fm
V
Figura 10: Esquema de um tanque de mistura perfeitamente agitado.
3.14
Instrumentacao e Controlo de Processos
Introduzindo a variável h no sistema original de equações obtém-se
dhdt=
Fi + Fm − k√
hA
(37)
dcdt=
Fi(ci − c) + Fm(cm − c)Ah
. (38)
O modelo que rege o comportamento dinâmico do tanque, dado pelas eqs. (37) e (38), é
claramente não linear. Nas condições de estado estacionário tem-se:
0 = F i + Fm − k (h)1/2, (39)
0 = F i(ci − c) + Fm(cm − c). (40)
em que F i, ci, Fm, c e h são os valores estacionários de operação (anteriormente usou-se o
subscripto ‘e’ para identificar os valores de estado estacionário). Reparar que na eq. (40), cm
não tem uma barra porque o seu valor é constante. Expandindo os segundos termos da eqs. (39)
e (40) em série da Taylor e retendo unicamente os termos de primeira ordem, obtém-se:
Fi + Fm − k√
hA
≈ F i + Fm − k (h)1/2
A+
F′i + F′mA
− k
2A(h)1/2h′, (41)
Fi(ci − c)Ah
≈ F i(ci − c)
Ah+
ci − c
AhF′i +
F i
Ah(c′i − c′) − F i(ci − c)
A(h)2h′, (42)
Fm(cm − c)Ah
≈ Fm(cm − c)
Ah+
cm − c
AhF′m +
Fm
Ah(0 − c′) − Fm(cm − c)
A(h)2h′, (43)
em que F′i = Fi − F i, . . . , h′ = h − h são as variáveis desvio associadas às variáveis absolutas
originais. Introduzindo estas expressões nas eqs. (37) e (38), e tendo em conta as eqs. (39)
e (40), obtém-se o seguinte sistema linear:
dh′
dt=
1A
F′i +1A
F′m −k
2A(h)1/2h′, (44)
dc′
dt=
ci − c
AhF′i +
F i
Ahc′i +
cm
AhF′m −
F i + Fm
Ahc′. (45)
Este sistema de equações satisfaz a estrutura definida pelas eqs. (16) e (17) com
x = y =[
h′
c′
], d =
[F′ic′i
], u =
[F′m
], (46)
A =
− k
2A(h)1/20
0 −F i + Fm
Ah
, B =
1Acm
Ah
, Γ =
1A
0
ci − c
Ah
F i
Ah
, C =
1 0
0 1
. (47)
3.15
Instrumentacao e Controlo de ProcessosJosé Paulo Mota c⃝ 1997-2011, V. 4.3
Método da transformada de Laplace
Conteúdo
1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Transformada de Laplace e fórmula de inversão . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3 Aplicação a equações lineares com coeficientes constantes . . . . . . . . . . . 2
4 “Dicionário” de transformadas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
5 Propriedades da transformada de laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
6 Função de entrada sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
7 Resposta a uma entrada em impulso unitário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1 Introdução
O método da transformada de Laplace é particularmente útil para a resolução analítica de equa-
ções diferenciais lineares com coeficientes constantes tendo o tempo t como variável indepen-
dente. É claro que o problema pode ser resolvido através de uma série de outros métodos; mas o
método da transformada de Laplace é particularmente apelativo do ponto de vista de engenharia
porque reduz todos os problemas a uma mesma base uniforme. Este procedimento de obtenção
de uma solução está padronizado o que permite uma abordagem genérica do problema. A teoria
e prática da transformada de Laplace está discutida em detalhe numa série de livros.1 O nosso
objectivo presente não é esse. O que se pretende aqui é fornecer para referência fácil uma re-
senha de resultados que são úteis para discussão e aplicação em capítulos seguintes. O aluno
deve consultar os textos citados para obter mais detalhes sobre o método da transformada de
Laplace.
1Ver, por exemplo, H. S. Carslaw e J. C. Jaeger, “Operational Methods in Applied Mathematics,” Oxford
University Press, New York, 1941; ou R. V. Churchill, “Modern Operational Methods in Engineering, ” McGraw-
Hill Book Company, Inc., New York, 1944. Para uma teoria mais completa, aconselha-se a consulta de D. V.
Widder, “The Laplace Transform,” Princeton University Press, Princeton, N. J., 1946.
4.1
Instrumentacao e Controlo de Processos
2 Transformada de Laplace e fórmula de inversão
Se y(t) é uma função da variável t definida para t > 0, a transformada de Laplace, Y(s), de y(t)
é definida como se segue:2
Y(s) = L[y(t)] ≡∫ ∞
0e−sty(t) dt, (1)
em que L representa o operador da transformada e s é uma variável complexa com parte real
positiva, R(s) > 0. Para outros valores de s a função Y(s) é definida por continuação analítica.
A dimensão de Y(s) é a dimensão de y multiplicada pelo tempo.
Quando a função Y(s) é conhecida, a função original para a qual Y(s) é a transformada de
Laplace pode ser obtida, para todos os casos, através da fórmula de inversão:
y(t) = L−1[Y(s)] ≡ 12πi
∫ γ+i∞
γ−i∞estY(s) ds, (2)
onde γ é uma constante maior do que a parte real de todas as singularidades de Y(s). Na prática
y(t) pode ser determinada através de uma deformação apropriada do percurso de integração de
acordo com o carácter de Y(s).
3 Aplicação a equações lineares com coeficientes constantes
Dado que a transformada de Laplace é definida como uma operação sobre uma função definida
para t > 0, o método está particularmente adaptado a problemas de valor inicial: dado um
estado inicial do sistema e conhecida a sua função de actuação (função de entrada) para t > 0,
pretende-se determinar a “dinâmica” do sistema para t > 0.
Considere-se uma sistema de ordem n, cujas derivadas têm coeficientes an, an−1, . . . , a0, e
um termo não homogéneo, ou função de entrada, x(t). Então, a equação diferencial que rege o
sistema é
andnydtn + an−1
dn−1ydtn−1 + · · · + a0y = x(t). (3)
As condições iniciais são normalmente especificadas da seguinte forma:(dn−1ydtn−1
)t=0
= y(n−1)0
· · · · · · · · ·(y)t=0 = y0
. (4)
2Neste capítulo e nos seguintes utilizaremos letras maiúsculas para denotar a transformada de Laplace de quan-
tidades definidas por letras minúsculas.
4.2
Instrumentacao e Controlo de Processos
A equação diferencial (3) com as condições iniciais (4) determinam de forma unívoca o com-
portamento do sistema para t > 0.
Para resolver o problema pela transformada de Laplace, multiplica-se ambos os lados da
Eq. (3) por e−st e integra-se o resultado desde t = 0 até t = ∞. Então,∫ ∞
0e−st y(t) dt = Y(s) (5)
e, por integração parcial,∫ ∞
0e−st dy
dtdt = −y0 + s
∫ ∞
0e−st y(t) dt = −y0 + sY(s)∫ ∞
0e−st d2y
dt2 dt = −y(1)0 − sy0 + s2Y(s)
· · · · · · · · ·∫ ∞
0e−st dny
dtn dt = −y(n−1)0 − sy(n−2)
0 − · · · − sn−1y0 − snY(s)
. (6)
Portanto, se a transformada de Laplace da função de actuação x(t) for denotada X(s), isto é,
X(s) =∫ ∞
0e−st x(t) dt, (7)
então a Eq. (3), sujeita às condições iniciais (4), pode ser escrita da seguinte forma:
(ansn + an−1sn−1 + · · · + a1s + a0)Y(s) = any0sn−1 + (any(1)0 + an−1y0)sn−2+
+ (any(2)0 + an−1y(1)
0 + an−2y0)sn−3 + · · · + (any(n−1)0 + an−1y(n−2)
0 + · · · + a1y0) + X(s). (8)
Consequentemente, se definirmos os polinómios D(s) e N0(s), como se segue
D(s) = ansn + an−1sn−1 + · · · + a1s + a0, (9)
N0(s) = any0sn−1 + (any(1)0 + an−1y0)sn−2 + · · · + (any(n−1)
0 + an−1y(n−2)0 + · · · + a1y0), (10)
então a solução da Eq. (8) é
Y(s) =N0(s)D(s)
+X(s)D(s). (11)
O primeiro termo da solução dada pela Eq. (11) depende das condições iniciais através
da Eq. (10). O polinómio N0(s) tem, no máximo, ordem n − 1 e, por isso, tem ordem infe-
rior ao polinómio D(s). Por outro lado, N0(s) desaparece se todos os valores iniciais especi-
ficados pela Eq. (4) forem nulos. Nesse caso, Y(s) é dada só pelo segundo termo X(s)/D(s).
Este termo depende da função de entrada (ou função de actuação). Por esta razão, o primeiro
termo, N0(s)/D(s), é normalmente designado por função complementar, enquanto que o se-
gundo termo, X(s)/D(s), é designado por integral particular. A solução y(t) pode ser obtida de
Y(s) da Eq. (11) por aplicação da fórmula de inversão dada pela Eq. (2).
4.3
Instrumentacao e Controlo de Processos
4 “Dicionário” de transformadas de Laplace
Frequentemente, a função de entrada x(t) é tal que X(s) é dada pelo quociente de dois polinó-
mios em s. Nesse caso, a solução completa Y(s) dada pela Eq. (11) também será um quociente
de dois polinómios em s. Por isso, as expressões para Y(s) podem ser decompostas num dado
número de fracções simples. Cada uma ds fracções pode ser invertida pela fórmula de inversão
ou, de forma mais expedita, as funções originais de t podem ser determinadas recorrendo a um
“dicionário”—uma simples lista de funções de t e das suas respectivas transformadas de laplace.
A Tabela 1 contém uma lista das transformadas de Laplace mais habituais.
O quociente de dois polinómios N(s)/D(s) pode ser decomposto em fracções parciais.
Suponha-se que
G(s) =N(s)D(s)
= K(s − ξ1)(s − ξ2) · · · (s − ξq)(s − s1)(s − s2) · · · (s − sp)
. (12)
O parâmetro K é designado por ganho estacionário de G(s); G(s) diz-se ter p pólos localizados
em s = si, i = 1, 2, . . . , p, e q zeros localizados em s = ξi, i = 1, 2, . . . , q.
Se as zeros do polinómio D(s), s1, s2, . . . , sn, forem todos diferentes, então
N(s)D(s)
=
p∑i=1
N(si)D′(si)
1(s − si)
, (13)
em que D′(s) representa a derivada de D(s) em ordem a s.
5 Propriedades da transformada de laplace
• Uma das propriedades mais importantes da transformada de Laplace é ser um operador
linear, isto é,
L[a1 f1(t) + a2 f2(t)] = a1F1(s) + a2F2(s), (14)
em que a1 e a2 são duas constantes e f1(t) e f2(t) são duas funções da variável t definidas
para t > 0.
• A transformada de laplace da derivada de ordem n de uma função f (t) é
L[dn f (t)
dtn
]= snF(s) − sn−1 f (0) − sn−2 f ′(0) − · · · − s f (n−2)(0) − f (n−1)(0), (15)
em que f ′(0) ≡ (d f /dt)t=0 e f (n)(0) ≡ (dn f /dtn)t=0.
No caso particular em que f (0) = f ′(0) = f (1)(0) = · · · = f (n−1)(0) = 0, tem-se
L[dn f (t)
dtn
]= snF(s). (16)
4.4
Instrumentacao e Controlo de Processos
Tabela 1: Lista de transformadas de Laplace mais habituais.
4.5
Instrumentacao e Controlo de Processos
Tabela 1: Lista de transformadas de Laplace mais habituais (Continuação).
• A transformada de Laplace do integral de uma função f (t) é dada por
L[∫ t
0f (t) dt
]=
1s
F(s). (17)
Conclui-se, portanto, que a transformada de Laplace do integral de f (t) é simplesmente
igual ao quociente entre a transformada de Laplace de f (t) e s.
• Teorema do valor inicial. Este teorema permite calcular o limite de uma função f (t)
quando t → 0 sem necessidade de inverter a transformada de Laplace F(s).
limt→0
f (t) = lims→∞
[sF(s)]. (18)
• Teorema do valor final. Este teorema permite calcular o limite de uma função f (t) quando
t → ∞ sem necessidade de inverter a transformada de Laplace F(s).
limt→∞
f (t) = lims→0
[sF(s)]. (19)
• Funções com atraso no tempo. A figura 1 ilustra a noção de atraso ou translação no tempo.
A função original é representada por f (t), enquanto que g(t) representa a função f (t) com
4.6
Instrumentacao e Controlo de Processos
f (t )
g(t )
0
0
Tempo, t
Tempo, t
t0
(a)
(b)
Figura 1: Uma função com e sem atraso. (a) Função original (sem atraso), f (t); (b) função f (t)
com atraso de t0 unidades de tempo, g(t).
um atraso de t0 unidades de tempo. A função g(t) está relacionada com f (t) através da
seguinte relação:
g(t) = f (t − t0)H(t − t0) =
0 para t ≤ 0
f (t − t0) para t > 0. (20)
A função degrau unitário ou função de Heaviside,H(t), dada por
H(t) =
0 para t ≤ 0
1 para t > 0, (21)
foi incluida na definição de g(t) para indicar explicitamente que g(t) = 0 para todos os
valores de t ≤ t0.
A transformada de Laplace de g(t) é
G(s) ≡ L[ f (t − t0)H(t − t0)] = e−st0 F(s). (22)
6 Função de entrada sinusoidal
Recordemos a decomposição em fracções parciais do quociente entre dois polinómios N0(s)/D(s).
Se as raízes do polinómio D(s) forem todas diferentes, digamos s1, s2, . . . , sn, então
N0(s)D(s)
=
n∑r=1
N0(sr)D′(sr)
1(s − sr)
, (23)
4.7
Instrumentacao e Controlo de Processos
em que D′(s) representa a derivada de D(s) em ordem a s. A parte yc(t) da solução devida às
condições iniciais, ou função complementar, é
yc(t) =n∑
r=1
N0(sr)D′(sr)
esrt. (24)
Em geral, as raízes sr de D(s) são números complexos. Para sistemas físicos os a’s em D(s)
na Eq. (9) são números reais; então, os sr’s têm pares complexos conjugados. Mas se todos os
sr’s tiverem partes reais negativas, então yc(t) vai decrescer exponencialmente com o tempo e,
eventualmente, yc(t)→ 0. Neste caso o sistema é estável.
Se a função de entrada x(t) for sinusoidal, ela pode ser escrita da seguinte forma:
x(t) = xmeiωt, (25)
onde xm e ω são, respectivemante, a amplitude e a frequência da oscilação. Então, de acordo
com o dicionário de transformadas de Laplace,
X(s) =xm
s − iω. (26)
Por consequência, o segundo termo da Eq. (11) é, neste caso,
xm
(s − iω)D(s). (27)
Pode generalizar-se este resultado, por forma a incluir sistemas definidos por um conjunto
de equações simultâneas, colocando no numerador outro polinómio N(s) de ordem inferior a n.
Então, a transformada de Laplace Yi(s) do integral particular será
Yi(s) = F(s)X(s) =N(s)D(s)
X(s) =xmN(s)
(s − iω)D(s). (28)
Quando N(s) ≡ 1, o problem reduz-se ao caso mais simples dado pela Eq. (11). Apliquemos
novamente a regra de decomposição em fracções parciais simples à Eq. (28), mas tendo em
conta que, agora, o polinómio no denominador é (s − iω)D(s) e que as raízes são s1, s2, . . . , sn
e iω. O resultado é
Yi(s) =
N(iω)D(iω)
1(s − iω)
+
n∑r=1
N(sr)(sr − iω)D′(sr)
1(s − sr)
xm. (29)
Portanto, o integral particular yi(t) devido à função de entrada sinusoidal da forma dada pela
Eq. (25) é
yi(t) = xm
N(iω)D(iω)
eiωt +
n∑r=1
N(sr)(sr − iω)D′(sr)
esrt
. (30)
4.8
Instrumentacao e Controlo de Processos
Para sistemas estáveis todos os sr’s têm parte real negativa. Por isso, a segunda parte de yi(t)
desaparece à medida que t → ∞. A parte que resta é a solução estacionária; então, o quociente
entre a solução estacionária e a função de entrada é dado simplesmente por
[yi(t)]estacionário
x(t)=
N(iω)D(iω)
= F(iω). (31)
Esta equação fornece um método directo e expedito de determinação da solução de estado
estacionário para uma função de entrada sinusoidal.
Quando a frequenência ω da função de entrada decresce para zero, a função de entrada
reduz-se a uma constante invariante com o tempo. A Eq. (31) indica que, nesse caso, F(0) é o
quociente entre y e x quando x é uma constante. Este é precisamente o significado físico de F(s)
para s = 0.
7 Resposta a uma entrada em impulso unitário
Para aplicação do método da transformada de Laplace, a função de entrada x(t) não necessita de
ser uma função contínua. Por exemplo, x(t) pode ser um impulso unitário aplicado no instante
de tempo t = 0, isto é,
x(t) = δ(t) ≡ 0 para t , 0
∞ para t = 0e
∫ ∞
0δ(t) = 1. (32)
Neste caso, a transformada de Laplace X(s) da função de entrada é simplesmente igual a 1.
A transformada de Laplace da resposta a um impulso unitário do sistema genérico descrito
pela Eq. (28) é
Yi(s) =N(s)D(s)
· 1 = F(s). (33)
A solução y(t) devido a este impulso unitário é normalmente designada por h(t). De acordo com
a fórmula de inversão, dada pela Eq. (2),
h(t) =1
2πi
∫ γ+i∞
γ−i∞est F(s) ds. (34)
Quando o sistema é estável, as raízes sr têm todas parte real negativa. Neste caso as singu-
laridades de F(s) estão todas localizadas à esquerda do eixo imaginário no plano complexo s.
Então, o eixo imaginário pode ser utilizado como o percurso de integração de h(t), isto é, o
parâmetro γ na Eq. (34) pode ser fixado a zero.
4.9
Instrumentacao e Controlo de ProcessosJosé Paulo Mota c⃝ 1997-2011, V. 4.3
Função de Transferência
Conteúdo
1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Matrix da função de transferência de um processo com várias saídas . . . . . . 2
3 Sistemas de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4 Sistemas de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1 Introdução
Considere um processo simples com uma única entrada e uma única saída (figura 1a), cujo
comportamento dinâmico é descrito por uma equação diferencial ordinária linear de ordem n
(ou não-linear linearizada):
andny′
dtn + an−1dn−1y′
dtn−1 + · · · + a1dy′
dt+ a0y′ = bx′(t), (1)
onde x′(t) e y′(t) são, respectivamente, a entrada e a saída do processo. Ambas são expressas em
termos de variáveis desvio: x′(t) = x(t) − x(0) e y′(t) = y(t) − y(0). Supondo que inicialmente o
processo está em estado estacionário, tem-se
y′(0) =[dy′
dt
]t=0=
[d2y′
dt2
]t=0= · · · =
[dny′
dtn
]t=0= 0. (2)
Aplicando a transformada de Laplace a ambos os membros de (1) e tendo em conta as condições
iniciais (2), obtém-se
Y(s)X(s)
≡ G(s) =b
ansn + an−1sn−1 + · · · + a1s + a0. (3)
PROCESSOx(t) y(t)
entrada saídaG(s)
X(s) Y(s)
)b()a(
Figura 1: (a) Processo SISO (uma única entrada e uma única saída; (b) diagrama de blocos
correspondente.
5.1
Instrumentacao e Controlo de Processos
G1(s)X1(s)
G2(s)X2(s)
Gn(s)Xn(s)
...
Y(s)+
+
+
Figura 2: Diagrama de blocos de um processo com n entradas e uma única saída.
A função G(s) é designada função de transferência do processo e relaciona de uma forma
algébrica simples a saída do processo com a respectiva entrada. O diagrama da figura 1b é
normalmente denominado diagrama de blocos do processo.
Se o processo tiver n entradas então o segundo membro da equação (1) é
b1x′1(t) + · · · + bnx′n(t), (4)
donde
Y(s) =b1
ansn + an−1sn−1 + · · · + a1s + a0X1(s) + · · ·
· · · + bn
ansn + an−1sn−1 + · · · + a1s + a0Xn(s), (5)
ou, de uma forma equivalente,
Y(s) = G1(s)X1(S ) + · · · +Gn(s)Xs(n). (6)
As funções G1(s), . . . ,Gn(s) são as funções de transferência do sistema que relacionam a saída
com a entrada respectiva. O diagrama de blocos correspondente está representado na figura 2.
2 Matrix da função de transferência de um processo com várias saí-das
Considere-se um processo com duas entradas, x′1(t) e x′2(t), e com duas saídas, y′1(t) e y′2(t), cujo
modelo matemático é definido por
dy′1dt
= a11y′1 + a12y′2 + b11x′1(t) + b12x′2(t) (7)
dy′2dt
= a21y′1 + a22y′2 + b21x′1(t) + b22x′2(t), (8)
5.2
Instrumentacao e Controlo de Processos
estando todas as variáveis expressas na forma desvio do relativamente ao valor de estado esta-
cionário do sistemas. As condições iniciais são
y′1(0) = y′2(0) = 0. (9)
Aplicando a transformada de Laplace às equações (7) e (8), obtém-se
Y1(s) =(s − a22)b11 + a12b21
P(s)X1(s) +
(s − a22)b12 + a12b22
P(s)X2(s) (10)
Y2(s) =(s − a11)b21 + a21b11
P(s)X1(s) +
(s − a11)b22 + a21b12
P(s)X2(s), (11)
onde P(s) = s2 − (a11 + a22)s − (a12a21 − a11a22). As equações (10) e (11) podem ser reescritas
na seguinte forma:
Y1(s) = G11(s)X1(s) +G12(s)X2(s) (12)
Y2(s) = G21(s)X1(s) +G22(s)X2(s), (13)
ou em notação matricial, [Y1(s)Y2(s)
]=
[G11(s) G12(s)G21(s) G22(s)
](matrix da função de transferência)
↑
[X1(s)X2(s)
]. (14)
O procedimento para a determinação dos elementos da matriz da função de transferência
encontra-se resumido na Figura. 3.
3 Sistemas de primeira ordem
Um sistema de primeira ordem é um sistema cuja saída y(t) é regida por uma equação diferencial
ordinária de primeira ordem:
a1dydt+ a0y = bx(t), (15)
onde x(t) é a entrada. Se a0 , 0 então a equação anterior pode escrever-se na seguinte forma:
τdydt+ y = Kx(t), (16)
onde τ ≡ a1/a0 e K ≡ b/a0. O parâmetro τ é denominado constante de tempo do processo
e K é designado por ganho de estado estacionário ou ganho estático ou simplesmente ganho
do processo. Se x(t) e y(t) estão expressas na forma de desvio do valor de estado estacionário,
então as condições iniciais são
x(0) = 0 e y(0) = 0. (17)
5.3
Instrumentacao e Controlo de Processos
Modelo dinâmico do processo:Equações diferenciais eequações algébricas
Obter modelo de estado estacionárioeliminando os termos em d/dt
Linearizar quaisquerelementos não-lineares
Subtrair as equações deestado estacionário
Substituir as variáveis
de desvio
Aplicar a transformada de Laplace
(as condições iniciais são nulas)
Eliminar algebricamente todas
as variáveis de saída exceptuando
a variável de saída pretendida
Eliminar todas as variáveis de
entrada exceptuando a variável
de entrada pretendida
Obter a função de transferência
pretendida dividindo a saídapela entrada
Resultado
Repetir para as outras entradas
Repetir para as outras saídas
Figura 3: Algoritmo de determinação dos elementos da matriz de funções de transferência para
um modelo genérico MIMO não-linear.
5.4
Instrumentacao e Controlo de Processos
Figura 4: Resposta adimensional de um sistema de primeira ordem a uma variação em degrau.
Aplicando a transformada de Laplace à equação (16) conclui-se que a função de transferência
de um processo de primeira ordem é
G(s) =Y(s)X(s)
=Kτs + 1
. (18)
Para uma entrada em degrau de grandeza A, X(s) = A/s, pelo que
Y(s) =KA
s(τs + 1). (19)
Invertendo a transformada de Laplace obtém-se a resposta no domínio do tempo:
y(t) = KA(1 − e−t/τ). (20)
A forma da curva está representada na figura 4.
Para t → ∞ obtém-se y(t) → KA, o que indica que o sistema atinge um novo estado
estacionário e que, portanto, tem alguma capacidade de auto-regulação inerente, caso contrário
a resposta seria instável (nunca atingiria um novo valor estacionário).
O declive da resposta adimensional para t = 0 é igual a 1,
d[y(t)/KA]d(t/τ)
∣∣∣∣∣t=0= (e−t/τ)t=0 = 1. (21)
Este facto indica que se a taxa de variação inicial da saída se mantivesse constante ao longo do
tempo, então a resposta atingiria o seu valor final ao fim de τ unidades de tempo.
Por outro lado, para t = τ obtém-se t(τ) = 0,632, concluindo-se que τ é o tempo que a
resposta de um sistema de primeira ordem a uma entrada em degrau demora a atingir 63,2% do
valor final. Se os cálculos fossem prosseguidos obter-se-ia a seguinte tabela:
5.5
Instrumentacao e Controlo de Processos
Intervalo decorrido 2τ 3τ 4τ
y(t) como % do valor final 86,5 95 98
Ao fim de quatro constantes de tempo a resposta do sistema atingiu praticamente o valor final.
Se a0 = 0 na equação (15), então
dydt=
ba1= K′x(t), (22)
cuja função de transferência é
G(s) =Y(s)X(s)
=K′
s. (23)
Este tipo de processos são denominados por capacitâncias puras ou integradores puros.
Os sistemas de primeira ordem são caracterizados por:
1. Uma capacidade em armazenar material, energia ou quantidade de movimento.
2. Uma resistência associada ao transporte de massa, energia ou quantidade de movimento
até atingir-se a capacidade do sistema.
Resumindo: um processo com capacidade de armazenar massa ou energia e que funcionne,
consequentemente, como um tampão entre correntes de entrada e de saída, pode ser modelado
na forma de um sistema de primeira ordem.
4 Sistemas de segunda ordem
Um sistema de segunda ordem é um sistema cuja saída y(t) é regida por uma equação diferencial
ordinária de segunda ordem:
a2d2ydt2 + a1
dydt+ a0y = bx(t). (24)
Se a0 , 0 então a equação (24) origina
τ2 d2ydt2 + 2ζτ
dydt+ y = Kx(t), (25)
onde τ2 = a2/a0, 2ζτ = a1/a0 e K = b/a0. Os parâmetros τ, ζ e K têm as seguintes designações:
τ = período natural de oscilação do sistema.
ζ = factor de amortecimento.
K = ganho do sistema.
5.6
Instrumentacao e Controlo de Processos
Se a equação (25) está expressa em termos de variáveis desvio então as condições iniciais
são zero e a transformada de Laplace origina a função de transferência de um sistema de segunda
ordem escrita na forma canónica:
G(s) =Y(s)X(s)
=K
τ2s2 + 2ζτs + 1. (26)
5.7
Instrumentacao e Controlo de ProcessosJosé Paulo Mota c⃝ 1997-2011, V. 4.3
Modelação empírica de processos
Conteúdo
1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Identificação de processos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2.1 Modelos empíricos mais utilizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3 Ajuste de modelos empíricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3.1 Resposta a uma variação em degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3.2 Resposta a uma variação em impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.3 Obtenção de momentos da resposta experimental. . . . . . . . . . . . . 9
1 Introdução
Existem vários processos com importância relevante cujos mecanismos (leis) fundamentais que
os regem ainda não foram totalmente identificados ou compreendidos. Um exemplo habitual é
o caso da maior parte dos processos biológicos. Qualquer tentativa de modelar estes processos
usando uma abordagem teórica clássica, baseada em princípios fundamentais, não tem, normal-
mente, grande sucesso prático.
Existem ainda situações em que se conhece com profundidade as leis que regem o processo,
o que permitiria uma modelação teórica baseada em princípios fundamentais. No entanto, os
modelos teóricos resultantes dessa abordagem são demasiado complicados para poderem ser
úteis na prática (do ponto de vista da sua aplicação em controlo).
Neste texto de apoio apresenta-se uma alternativa de modelação de processos quando a
abordagem teórica discutida num texto anterior não pode ser aplicável, ou a sua aplicação não
é conveniente.
2 Identificação de processos
Entende-se por identificação de um processo a construção de um modelo desse processo com
base unicamente em dados experimentais de entrada/saída do processo, sem recurso a qualquer
6.1
Instrumentacao e Controlo de Processos
lei fundamental relativa ao comportamento ou propriedades do processo.
Nesta abordagem, o processo é visualizado como sendo uma “caixa preta”; a resposta ex-
perimental do sistema a estímulos externos é utilizada para inferir o que se passa no interior da
caixa preta.
2.1 Modelos empíricos mais utilizados
Excluindo as situações em que os dados experimentais sugerem o contrário, os modelos em-
píricos que são utilizados com maior frequência na identificação de processos químicos são
(expressos na forma de função de transferência):
1. Sistema de primeira ordem com atraso
G(s) ≡ Y(s)X(s)
=Ke−αs
τs + 1. (1)
2. Sistema de segunda ordem com atraso
G(s) =Ke−αs
(τ1s + 1)(τ2s + 1)=
Ke−αs
τ2s2 + 2ξτs + 1. (2)
3. Sistema com um único zero, dois polos e atraso
G(s) =K(ηs + 1)e−αs
(τ1s + 1)(τ2s + 1)=
K(ηs + 1)e−αs
τ2s2 + 2ξτs + 1. (3)
3 Ajuste de modelos empíricos
3.1 Resposta a uma variação em degrau
Uma técnica muito utilizada na prática para identificação de processos baseia-se na determina-
ção dos parâmetros do modelo empírico que melhor ajustam a curva teórica à resposta experi-
mental a uma variação em degrau aplicada à entrada do sistema.
Apresenta-se, de seguida, a resposta y(t) dos três modelos empíricos anteriores a uma varia-
ção em degrau de amplitude A na entrada x(t). Tanto a variável de entrada x(t) como a variável
de saída y(t) estão expressas na forma de variáveis desvio.
1. Sistema de primeira ordem com atraso
y(t) ={
0 , t < αAK
[1 − e−(t−α)/τ
], t ≥ α . (4)
Parâmetros: K, τ, α.
6.2
Instrumentacao e Controlo de Processos
y(t)AK
t/τ
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5
Figura 1: Exemplo de resposta do sistema de primeira ordem com atraso a uma entrada emdegrau.
2. Sistema de segunda ordem com atraso
y(t) =0 , t < α
AK[1 −
( τ1τ1 − τ2
)e−(t−α)/τ1 −
( τ2τ2 − τ1
)e−(t−α)/τ2
], t ≥ α . (5)
Parâmetros: K, τ1, τ2 (ou ξ), α.
3. Sistema com um único zero, dois polos e atraso
y(t) =
0 , t < αAK
[1 −
( τ1 − ητ1 − τ2
)e−(t−α)/τ1 −
( τ2 − ητ2 − τ1
)e−(t−α)/τ2
], t ≥ α . (6)
Parâmetros: K, τ1, τ2 (ou ξ), η, α.
O atraso, as constantes de tempo e o ganho do modelo são estimados ajustando a curva
teórica y(t) aos dados experimentais da resposta do sistema. Exceptuando o modelo de primeira
ordem com atraso, o ajuste do modelo empírico é realizado recorrendo a métodos numéricos de
regressão.
Dado que o teste de resposta a variações em degrau é utilizado frequentemente para ajustar
o modelo de primeira ordem com atraso, descreve-se de seguida como essa tarefa pode ser
realizada.
6.3
Instrumentacao e Controlo de Processos
y(t)AK
t/τ
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5
Figura 2: Exemplos de resposta do sistema de segunda ordem com atraso a uma entrada emdegrau. ξ < 1: resposta sub-amortecida; ξ = 1: resposta criticamente amortecida; ξ > 1: respostasobre-amortecida.
y(t)AK
t/τ
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0 1 2 3 4 5 6
Figura 3: Exemplos de resposta do sistema com um zero, dois polos e atraso a uma entrada emdegrau.
Para instantes de tempo superiores ao valor do atraso, a resposta do sistema de primeira
6.4
Instrumentacao e Controlo de Processos
ordem com atraso a uma variação em degrau de grandeza A é
y(t) = y∞[1 − e−(t−α)/τ
], t ≥ α, (7)
onde y∞ ≡ AK representa o valor final da saída.
Determinação do ganho do sistema, K. O cálculo deste parâmetro é imediato; do valor
final, y∞, da resposta experimental do sistema e da grandeza do degrau, obtém-se:
K = y∞/A. (8)
Determinação da constante de tempo, τ, e do atraso, α. A expressão (7) pode ser reescrita
na seguinte forma:
ln(y∞ − y
y∞
)=α
τ− tτ. (9)
Se o modelo de primeira ordem com atraso ajustar correctamente a resposta experimental,
então a representação dos dados experimentais segundo a eq. (9) resulta numa recta com declive
igual a −1/τ e com ordenada na origem igual a α/τ. Estes parâmetros são obtidos facilmente
por ajuste de mínimos quadrados.
3.2 Resposta a uma variação em impulso
Seja G(s) a transformada de Laplace da função de transferência de um processo arbitrário cuja
dinâmica é definida pela função y(t). Dado que a transformada de Laplace de um impulso uni-
tário é L(δ(t)) = 1, então a a função inversa de G(s) é igual à resposta temporal do sistema para
um impulso unitário na entrada.
A expansão da função exponencial em série de potencias origina
e−st =
∞∑j=0
(−st) j
j!. (10)
Substituindo este resultado na expressão de definição da transformada de Laplace,
G(s) =∫ ∞
0e−stg(t) dt, (11)
obtém-se
G(s) =∫ ∞
0
∞∑j=0
(−1) j s jt j
j!g(t) dt. (12)
Invertendo a ordem dos operadores de somatório e de integração, a equação anterior pode ser
reescrita na seguinte forma:
G(s) =∞∑j=0
(−1) j s j
j!
∫ ∞
0t jg(t) dt =
∞∑j=0
(−1) j s j
j!m j, (13)
6.5
Instrumentacao e Controlo de Processos
onde
m j =
∫ ∞
0t jg(t) dt (14)
é, por definição, o momento de ordem j da função g(t).
A equação (13) mostra que a função de transferência de um sistema arbitrário está relacio-
nada directamente com os momentos da resposta do sistema a uma entrada em impulso.
Por definição, o ganho estacionário de um sistema cuja função de transferência é G(s) é
dado por:
K = lims→0
G(s). (15)
Consequentemente,
K = lims→0
∫ ∞
0e−stg(t) dt = m0. (16)
Deste resultado obtém-se a seguinte conclusão importante:
O momento de ordem zero, m0, da resposta de um sistema arbitrário a um impulso
unitário é igual ao ganho estacionário do sistema.
Suponha-se que depois de calculado o ganho K, este é utilizado como factor de normalização
da função de transferência; ou seja, constrói-se uma nova função de transferência,
G(s) =G(s)
K(17)
com o mesmo comportamento dinâmico da função original, mas tendo ganho estacionário uni-
tário. Considere-se, também, que os momentos m j da resposta original são normalizados de
forma idêntica:
µ j =m j
m0. (18)
Então,
G(s) =∞∑j=0
(−1) j s j
j!µ j = 1 − µ1s +
µ2
2s2 − µ3
6s3 + · · · . (19)
Esta expansão permite relacionar os momentos da resposta normalizada com os parâmetros
do modelo empírico. Apresenta-se de seguida vários exemplos de aplicação do método dos
momentos.
6.6
Instrumentacao e Controlo de Processos
Modelo de primeira ordem. Neste caso
G(s) =1τs + 1
(20)
donde, com base nas eqs. (20) e (19),
1 = (τs + 1)(1 − µ1s +
µ2
2s2 − · · ·
). (21)
Igualando os coeficientes correspondentes a iguais potências em s obtém-se
µ1 = τ (22)
µ2 = 2τ2 (23)
µ3 = 6τ3, etc. (24)
(25)
Estas expressões fornecem várias estimativas da constante de tempo τ e permitem avaliar a
consistência de modelo face à resposta experimental. Por exemplo, se os valores de τ obtidos pe-
las eqs. (22) e (23) não coincidirem, então o modelo de primeira ordem não ajusta correctamente
a resposta experimental. Dado que o cálculo des momentos de ordem elevada está normalmente
sujeito a maior erro, aconselha-se a restringir a análise aos primeiros três momentos.
Modelo de segunda ordem. A função de transferência normalizada é
G(s) =1
a2s2 + a1s + 1, (26)
obtendo-se
1 = (a2s2 + a1s + 1)(1 − µ1s +
µ2
2s2 − · · ·
). (27)
Igualando os coeficientes correspondentes a iguais potências em s obtém-se
a1 = µ1 (28)
a2 = µ21 −µ2
2(29)
Modelo de segunda ordem com um zero. Neste caso
G(s) =ξs + 1
a2s2 + a1s + 1, (30)
6.7
Instrumentacao e Controlo de Processos
donde
ξs + 1 = (a2s2 + a1s + 1)(1 − µ1s +
µ2
2s2 − · · ·
), (31)
o que permite determinar a1, a2 e ξ:
a1 =3µ1µ2 − µ3
6µ21 − 3µ2
(32)
a2 = a1µ1 −µ2
2(33)
ξ = a1 − µ1 (34)
Modelo de primeira ordem com atraso. Neste caso
G(s) =e−αs
τs + 1(35)
donde
e−αs = (τs + 1)(1 − µ1s +
µ2
2s2 − · · ·
). (36)
A substituição da função exponencial pela sua expansão em série de potências, permite reescre-
ver a equação anterior na seguinte forma:
1 − αs +α2
2!s2 − α
3
3!s3 + · · · = (τs + 1)
(1 − µ1s +
µ2
2s2 − · · ·
). (37)
Obtendo-se finalmente
µ1 = τ + α (38)
µ2 − (µ1)2 = τ2 (39)
o que permite calcular τ e α.
Obtenção de momentos de dados experimentais.
a1 = µ1 (40)
a2 = µ21 −µ2
2(41)
Modelo de segunda ordem com um zero. Neste caso
G(s) =ξs + 1
a2s2 + a1s + 1, (42)
6.8
Instrumentacao e Controlo de Processos
donde
ξs + 1 = (a2s2 + a1s + 1)(1 − µ1s +
µ2
2s2 − · · ·
), (43)
o que permite determinar a1, a2 e ξ:
a1 =3µ1µ2 − µ3
6µ21 − 3µ2
(44)
a2 = a1µ1 −µ2
2(45)
ξ = a1 − µ1 (46)
Modelo de primeira ordem com atraso. Neste caso
G(s) =e−αs
τs + 1(47)
donde
e−αs = (τs + 1)(1 − µ1s +
µ2
2s2 − · · ·
). (48)
Substituindo a exponencial pela sua expansão em série de potências, permite reescrever a equa-
ção anterior na seguinte forma:
1 − αs +α2
2!s2 − α
3
3!s3 + · · · = (τs + 1)
(1 − µ1s +
µ2
2s2 − · · ·
). (49)
Obtendo-se finalmente
µ1 = τ + α (50)
µ2 − (µ1)2 = τ2 (51)
o que permite calcular τ e α.
3.3 Obtenção de momentos da resposta experimental.
Habitualmente, a medição experimental da resposta do sistema é efectuada de forma descontí-
nua (discreta) a intervalos de tempo regulares ∆t:
g0 ≡ g(0), g1 ≡ g(∆t), . . . , gN−1 ≡ g[(N − 1)∆t], gN ≡ g(N∆t). (52)
Neste caso o integral na equação (14) tem que ser aproximado por uma quadratura ou outro
método de integração numérico. Por exemplo, se a regra de Simpson for utilizada para calcular
o integral, obtém-se:
m j =∆t3
( f0 + 4 f1 + 2 f2 + 4 f3 + · · · + 2 fN−2 + 4 fN−1 + fN) , fi = (i∆t) jgi. (53)
6.9