INTEGRAIS DE LINHA

UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDNIA

CAMPUS DE JI-PARAN RO

INTEGRAIS DE LINHA

CLCULO III

Prof. : VicenteAlunos:

Ronildo de S. Pereira

M Cludia A . da Cruz

Jos de Arimatia

Nestor de S. Freire

Anderson Marcos

Alessandre

Erinaldo

ngela

Jnior

Ji-Paran, dezembro de 2000

INTEGRAIS DE LINHA

Anteriormente usamos o conceito de rea para motivar a definio de integral definida. Para motivar a definio da integral de um campo vetorial vamos usar o conceito fsico de trabalho.

Em definio anterior vimos que o produto escalar de dois vetores de A x B, dado por:

A x B = (a1, a2) . (b1, b2) = a1, b1+ a2b2.

Ento se uma fora constante F move uma partcula ao longo de uma linha reta de um ponto A at um ponto B, ento se W for a medida do trabalho realizado:

W=F.V( AB)

Supondo agora que o vetor que representa fora no seja constante e, ao invs de Ter o movimento ao longo de uma linha reta, seja descrito ao longo de uma curva. Supondo que a fora exercida sobre a partcula no ponto (x, y), em algum disco aberto B em R2, seja dada pelo campo de foras. F(x, y) = M(x, y)i + N(x, y )J, onde M e N so contnuas em B. Seja C a curva que est em B e tem a equao vetorial R(t) = f(t)i + g(t)j com a menor ou igual a T menor ou igual b . Exigindo-se que as funes f e g tenham derivadas f ' e g' contnuas em [a , b ].definimos um trabalho realizado pelo campo de foras variveis F ao mover a partcula ao longo de C, do ponto ( f(a), g(a) at (f(b), g(b))..

Seja Pi o ponto ( Xi, Yi) = ( f(ti), g(ti)) em C. O vetor V( Pi - 1 Pi) = R( ti ) - R( t i - 1 ) i ; logo,

V( Pi - 1 Pi) = f( ti )i + g ( ti )j - [ f ( t i - 1 )i + g( t i - 1 )j ]

V( Pi - 1 Pi) = [ f( ti ) - f ( t i - 1 )]i + [ g ( ti ) - g( t i - 1 )]j

Como f ' e g ' So contnuas em [ a, b ], segue -se que existem nmeros C i e d i no intervalo aberto ( t i - 1 , ti ), de modo que,

f( ti ) - f ( t i - 1 ) = f ' ( Ci )( (ti - t i - 1 )

g( ti ) - g ( t i - 1 ) = g ' ( di )( (ti - t i - 1 )

1 definio

19.2.1 no livro( Clculo II, Louis Leithold)

Seja uma curva contida num disco aberto B em R2, com equao vetorial R(t) = f(t)i + g(t)j, onde fe gso contnuas em [a, b]. Alm disso, consideremos um campo de foras em B definido por F(x,y) = M(x,y)i + n(x,y)j, onde M e N so contnuas em B. Ento se W for a medida do trabalho realizado pelo campo de foras F ao mover uma partcula ao longo de C de ( f(a), g(a) ) at ( fb). G(b)), temos.

b

(a [M ( f (t), g( t) ) f (t) + N ( f (t), g(t) ) g(t)] dt

Exerccio

Suponha que uma partcula se move ao longo da parbola y= x2 do ponto ( -1, 1) ao ponto(2,4). Ache o trabalho total realizado, se o movimento for causado pelo campo de foras F(x, y) = ( x2 + y2)i + 3x2yj. Suponha que os arcos sejam medidos em metros e a fora em newtons.

Soluo: As equaes paramtricas da parbola so x = t e y = t2 1 < t < 2, assim,

Uma equao vetorial da parbola :

R(t) = ti + t2j e r(t) = i + 2tj como F(x, y) = ( x2 + y2, 3x2y ),

ento F(r(t)) = F (t, t2 ) = < t2 + t4, 3 t4 > se W j for o trabalho realizado, ento

2

w =(-1 F(R (t)) . R(t) d t

2

w =(-1 < t2 + t4, 3 t4 > . < 1, 2t > d t

2

2

w =(-1 ( t2 + t4 + 6 t5 )dt = t3 + t5 + t 6 ] 1 8 + 32 + 64 - (- 1 - 1 + 1) = 363

3 5 3 5 3 5 5

logo, o trabalho realizado 363 j

Definio 19.2.2 ( no livro citado acima)

5

Seja C uma curva contida em um disco aberto B em R2 e tendo a equao vetorial

R(t) = f(t)i + g(t)j a < t < b tal que fe gsejam contnuas em [a,b]. Seja F um campo vetorial em B definido por

F (x, y) = M(x,y) i + N (x,y) j onde M e N so contnuas em B. Ento, a integral de linha de M(x, y) dx + N (x, y) dy =

b

(a [ M ( f(t), g (t)) f(t) + N ( f(t), g (t)) g(t)] d t ou equivalente, usando a notao vetorial, a integral de linha de F sobre C dada por

(C F . dR = (C F(R(t)) . R(t) dt

Definio 19.2.3

Suponha que a curva C consista em arcos suaves C1, C2..., Cn. Ento a integral de Linha de M(x, y) dx + N (x, y) dy sobre C ser definida por

n

(C M(x, y) dx + N (x, y) dy = (((c1 M(x, y) dx + N (x, y) dy ),

i = 1

ou equivalente, usando a notao vetorial, a integral de linha de F sobre C ser definida por

n

(C F . dR = ( ((c1 F(R(t)) . R(t) dt)

i = 1

Exerccio

Calcule a integral de linha

(C 4xy dx + ( 2x2 - 3xy) dy

se a curva C consistir no segmento de reta de ( -3, -2) a ( 1, 0) e no arco do primeiro quadrante de circunferncia x2 + x2 =1 de (1, 0) a ( 0, 1), percorrido na direo anti-horria.

Figura 6

Soluo:

A figura 6 mostra a curva C composta dos arcos C1 e C2 . O arco C1 o segmento de reta. Uma equao da reta que passe pelos pontos (-3,-2) e ( 1, 0 ) x 2y = 1. Logo, C1 pode ser representado parametricamente por x=1 + 2t y = t -2 < t < 0

O arco C2, que o arco do primeiro quadrante da circunferncia x2 + y2 =1 pode ser representado parametricamente por x = Cos t y = sen t 0 < t < (Aplicando a Definio 19.2.2 para cada um dos arcos C1 e C2, temos

(C 4xy dx + ( 2x2 - 3xy) dy

0

=(-2 4( 1+ 2t)t(2dt) + [2(1 + 2t)2 3(1 + 2t)t] dt

0

=(-2 (8t + 16t2 + 2 + 8t + 8t2 3t - 6t2 )dt

0

=(-2 (18t2 + 13 t + 2) dt => 6 t2 + 13/2 t2 + 2t ]0 2

= -(- 48 + 26 - 4) = 26

e (C 4xy dx + ( 2x2 - 3xy) dy

(/2

=(0 4 cos t sen t(- sent dt) + [ 2cos2 t 3 cost sent] (cos t dt)

(/2

=(0 ( - 4 cos t sen2 t + 2 cos3t - 3 cos 2 t sent)dt

(/2

=(0 [ - 4 cos t sen2 t + 2 cos t( 1 - sen 2 t )dt - 3 cos2 t sent ) dt

= 2 sent - 2 sen3 t + cos3 t ](/2 0 = 2 2 1 = -1 logo da definio 19.2.3

(C 4xy dx + ( 2x2 - 3xy) dy = 26 + (-1) = 25

definio 19.2.4

Seja C uma curva contida numa bola aberta B em em R3 tendo a equao vetorial R(t) = f(t)i + g(t) j + h(t) k a < t < b tal que f, g, e h, sejam contnuas em [a,b]. Seja F um campo vetorial em B, definido por F ( x, y, z) = M(x, y, z) i + N( x, y, z) k onde M, N e R so Contnuas em b. Ento a integral de linha ser dada por

(C M( x, y, z)d x + N(x, y, z) d y + R( x, y, z) d z

Exerccio

Calcule a integral de linha

(C 3x dx + 2x y dy + zd z

Se a curva C for a hlice circular definida pelas equaes paramtricas x = cos t y = sen t z = t

0 < t < 2( Soluo.

Da notao 19.2.4

(C 3xd x + 2xydy + zd z

2( =(0 3cos t(- sen t dt) + 2(cos t) (sen t) (cos t) dt) + t dt

2(

=(0 ( -3 sen t cos t + 2 cos2 t sem t + t) dt = - 3/2 sen2 t - 2/3 Cos3 t + t2 ] 0 2(

-3/2 (0) 2/3 (1) + ( 4(2 ) + 3/2 (0) + 2/3(1) + (0) = 2(2Definio 19.3.1 no livro Clculo II Louis Leithold

Seja C qualquer curva seccionalmente suave, contida num disco aberto B em R2 do ponto ( x1, y1) ao ponto ( x2, y2). Se F for um campo vetorial conservativo contnuo em B e ( for uma funo potencial para F, ento a integral de linha.

(C F . dR = (( X2, Y2) - (( X1, Y1).

Exerccio

Calcular a integral de linha

(C (y2 + 2x + 4) dx + ( 2xy + 4y - 5 ) d y Com notao vetorial essa integral de linha torna-se

(C F . dR onde F (x, y) = (y2 + 2x + 4)i + ( 2xy + 4y - 5 )j F um campo vetorial conservativo com a funo potencial

(( x, y ) = y2 + x2 + 4x + 2y2 - 5 y logo a integral de linha independente do caminho e C pode ser qualquer curva seccionalmente suave de ( 0, 0) a (1, 1). Alm disso, do teorema apresentado

(C (y2 + 2x + 4) dx + ( 2xy + 4y - 5 ) d y = ((1, 1) - (( 0, 0) = 3 0 = 3 sendo uma diferencial exata..

definio 19.3.2

Se C for qualquer curva fechada seccionalmente suave, contida em um disco aberto B em R2 e se F for um campo vetorial conservativo em B, ento

(C F . dR = 0

Prova: Aplicamos o Teorema 19.3.1, e como C fechada, o ponto( x1, y1) coincide com o ponto ( x2, y2 ). Logo,

(c F . dR = ( (X2, Y2 ) - ((x1, y1) = 0

Exerccio..

Uma partcula movimenta-se sobre a circunferncia R(t) = 2 Cos ti + 2 Sem tj 0 < t < 2 (Ache o trabalho Total realizado pelo campo de foras

F( x, y) = ( 4 Ln 3y + _1_ ) i + 4x J

X Y

Soluo: Seja

M(x,y) = 4 Ln 3y + _1_

N (x, y) = 4x

X

Y

M(x, y) = 4

N ( x, y ) = 4

Y

Y

Como M y (x, y), = N x (x, y), F conservativo. Alm disso, C uma curva fechada. Logo, se W for a medida do trabalho realizado, temos, do teorema 19.3.2,

W = (C F . dR = 0

Definio 19.3.3

Seja C qualquer curva seccionalmente suave contida em uma bola aberta B em R3 do ponto(X1, Y1, Z1) ao ponto( X2, Y2, Z2). Se F for um campo vetorial conservativo em B e ( for uma funo potencial para F, ento a integral de linha

(C F . dR = 0 ser independente do caminho C, e (C F . dR = ( (X2, Y2, Z2 ) - ((x1, y1, Z1)

F( x, y, z) = ( ex sen Z + 2yz)i + (2xz + 2y)j + (ex cos Z + 2xy + 3z2) k um gradiente

( f( x, y, z) e f( x, y, z) = ex sen Z + 2xyz + y2 + z3assim, F um campo vetorial conservativo. Logo, se C for uma curva seccionalmente suave de ( 0, 0, 0) a (1, -2, (), segue do teorema apresentado que a integral de linha

(C F . dR ser independente do caminho e seu valor ser fa (1, -2, () f (0, 0, 0) = e sen( - 4( + (3 ) - 0 = (3 - 4( + 4