dme

IntroduçãoIntegrais Impróprias do Tipo I

ExemplosIntegrais Impróprias do Tipo II

Exemplos

Integrais Imprópias

Alânnio Barbosa Nóbregaalannio@dme.ufcg.edu.br

2012

Alânnio Barbosa Nóbrega Integrais Impróprias

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IntroduçãoIntegrais Impróprias do Tipo I

ExemplosIntegrais Impróprias do Tipo II

Exemplos

Introdução

Até agora, as integrais definidas tiveram que exibir duas proprie-dades: primeiro, que o domínio de integração [a,b] fosse finito;segundo que a imagem do integrando fosse finita nesse inter-valo.No presente estudo seremos capazes de responder as se-guintes perguntas:

1)Qual a área da região sob a curva y =lnxx2 no intervalo

[1,+∞)?

e

2)Qual a área da região sob a curva y =1√x

no intervalo (0,1]?

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Exemplos

Introdução

Até agora, as integrais definidas tiveram que exibir duas proprie-dades: primeiro, que o domínio de integração [a,b] fosse finito;segundo que a imagem do integrando fosse finita nesse inter-valo.No presente estudo seremos capazes de responder as se-guintes perguntas:

1)Qual a área da região sob a curva y =lnxx2 no intervalo

[1,+∞)?

e

2)Qual a área da região sob a curva y =1√x

no intervalo (0,1]?

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Exemplos

Introdução

Até agora, as integrais definidas tiveram que exibir duas proprie-dades: primeiro, que o domínio de integração [a,b] fosse finito;segundo que a imagem do integrando fosse finita nesse inter-valo.No presente estudo seremos capazes de responder as se-guintes perguntas:

1)Qual a área da região sob a curva y =lnxx2 no intervalo

[1,+∞)?

e

2)Qual a área da região sob a curva y =1√x

no intervalo (0,1]?

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Exemplos

Introdução

Até agora, as integrais definidas tiveram que exibir duas proprie-dades: primeiro, que o domínio de integração [a,b] fosse finito;segundo que a imagem do integrando fosse finita nesse inter-valo.No presente estudo seremos capazes de responder as se-guintes perguntas:

1)Qual a área da região sob a curva y =lnxx2 no intervalo

[1,+∞)?

e

2)Qual a área da região sob a curva y =1√x

no intervalo (0,1]?

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Exemplos

Integrais Impróprias do Tipo I

1)Se f é contínua em um intervalo [a,+∞), então:∫ +∞

af (x)dx = lim

b→+∞

∫ b

af (x)dx

2)Se f é contínua em um intervalo (−∞,b], então:∫ b

−∞f (x)dx = lim

a→−∞

∫ b

af (x)dx

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Exemplos

Integrais Impróprias do Tipo I

1)Se f é contínua em um intervalo [a,+∞), então:∫ +∞

af (x)dx = lim

b→+∞

∫ b

af (x)dx

2)Se f é contínua em um intervalo (−∞,b], então:∫ b

−∞f (x)dx = lim

a→−∞

∫ b

af (x)dx

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Exemplos

Integrais Impróprias do Tipo I

1)Se f é contínua em um intervalo [a,+∞), então:∫ +∞

af (x)dx = lim

b→+∞

∫ b

af (x)dx

2)Se f é contínua em um intervalo (−∞,b], então:∫ b

−∞f (x)dx = lim

a→−∞

∫ b

af (x)dx

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Exemplos

3)Se f é contínua em um intervalo (−∞,+∞), então:∫ +∞

−∞f (x)dx =

∫ c

−∞f (x)dx +

∫ +∞

cf (x)dx ,

onde c é um número real qualquer.

Em qualquer dos casos se o limite for finito dizemos que a integralimprópria converge e que o limite é o valor da integral. Se o limitenão existir dizemos que a integral imprópria diverge.

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3)Se f é contínua em um intervalo (−∞,+∞), então:∫ +∞

−∞f (x)dx =

∫ c

−∞f (x)dx +

∫ +∞

cf (x)dx ,

onde c é um número real qualquer.

Em qualquer dos casos se o limite for finito dizemos que a integralimprópria converge e que o limite é o valor da integral. Se o limitenão existir dizemos que a integral imprópria diverge.

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Exemplos

3)Se f é contínua em um intervalo (−∞,+∞), então:∫ +∞

−∞f (x)dx =

∫ c

−∞f (x)dx +

∫ +∞

cf (x)dx ,

onde c é um número real qualquer.

Em qualquer dos casos se o limite for finito dizemos que a integralimprópria converge e que o limite é o valor da integral. Se o limitenão existir dizemos que a integral imprópria diverge.

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Exemplos

Exemplos

1)∫ +∞

1

lnxx2 dx

passo 1

Escreva∫ +∞

1

lnxx2 dx = lim

b→+∞

∫ b

1

lnxx2 dx

passo 2

Usando integração por partes temos∫ b

1

lnxx2 dx = − lnb

b− 1

b+ 1

passo 3

Usando L’Hopital mostramos que limb→+∞

− lnbb− 1

b+ 1 = 1

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Exemplos

Exemplos

1)∫ +∞

1

lnxx2 dx

passo 1

Escreva∫ +∞

1

lnxx2 dx = lim

b→+∞

∫ b

1

lnxx2 dx

passo 2

Usando integração por partes temos∫ b

1

lnxx2 dx = − lnb

b− 1

b+ 1

passo 3

Usando L’Hopital mostramos que limb→+∞

− lnbb− 1

b+ 1 = 1

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Exemplos

Exemplos

1)∫ +∞

1

lnxx2 dx

passo 1

Escreva∫ +∞

1

lnxx2 dx = lim

b→+∞

∫ b

1

lnxx2 dx

passo 2

Usando integração por partes temos∫ b

1

lnxx2 dx = − lnb

b− 1

b+ 1

passo 3

Usando L’Hopital mostramos que limb→+∞

− lnbb− 1

b+ 1 = 1

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Exemplos

Exemplos

1)∫ +∞

1

lnxx2 dx

passo 1

Escreva∫ +∞

1

lnxx2 dx = lim

b→+∞

∫ b

1

lnxx2 dx

passo 2

Usando integração por partes temos∫ b

1

lnxx2 dx = − lnb

b− 1

b+ 1

passo 3

Usando L’Hopital mostramos que limb→+∞

− lnbb− 1

b+ 1 = 1

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Exemplos

Conclusão

Portanto,∫ +∞

1

lnxx2 dx = 1

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Conclusão

Portanto,∫ +∞

1

lnxx2 dx = 1

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2) Para quais valores de p a integral∫ +∞

1

dxxp converge?

passo 1

Escreva∫ +∞

1

dxxp = lim

b→+∞

∫ b

1

dxxp

passo 2

Se p 6= 1 mostramos que∫ b

1

dxxp = (

11− b

)(1

bp−1 − 1).

passo 3

Então limb→+∞

(1

1− b)(

1bp−1 − 1) =

1

p − 1, se p > 1

+∞, se p < 1.

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Exemplos

2) Para quais valores de p a integral∫ +∞

1

dxxp converge?

passo 1

Escreva∫ +∞

1

dxxp = lim

b→+∞

∫ b

1

dxxp

passo 2

Se p 6= 1 mostramos que∫ b

1

dxxp = (

11− b

)(1

bp−1 − 1).

passo 3

Então limb→+∞

(1

1− b)(

1bp−1 − 1) =

1

p − 1, se p > 1

+∞, se p < 1.

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Exemplos

2) Para quais valores de p a integral∫ +∞

1

dxxp converge?

passo 1

Escreva∫ +∞

1

dxxp = lim

b→+∞

∫ b

1

dxxp

passo 2

Se p 6= 1 mostramos que∫ b

1

dxxp = (

11− b

)(1

bp−1 − 1).

passo 3

Então limb→+∞

(1

1− b)(

1bp−1 − 1) =

1

p − 1, se p > 1

+∞, se p < 1.

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Exemplos

2) Para quais valores de p a integral∫ +∞

1

dxxp converge?

passo 1

Escreva∫ +∞

1

dxxp = lim

b→+∞

∫ b

1

dxxp

passo 2

Se p 6= 1 mostramos que∫ b

1

dxxp = (

11− b

)(1

bp−1 − 1).

passo 3

Então limb→+∞

(1

1− b)(

1bp−1 − 1) =

1

p − 1, se p > 1

+∞, se p < 1.

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Exemplos

passo 4

Se p = 1 mostramos que∫ b

1

dxx

= lnb.

passo 5

Portanto,∫ +∞

1

dxx

diverge.

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Exemplos

passo 4

Se p = 1 mostramos que∫ b

1

dxx

= lnb.

passo 5

Portanto,∫ +∞

1

dxx

diverge.

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Exemplos

passo 4

Se p = 1 mostramos que∫ b

1

dxx

= lnb.

passo 5

Portanto,∫ +∞

1

dxx

diverge.

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Exemplos

3)∫ +∞

−∞

16tg−1x1 + x2 dx

passo 1

Escreva∫ +∞

−∞

16tg−1x1 + x2 dx =

∫ c

−∞

16tg−1x1 + x2 dx +

∫ +∞

c

16tg−1x1 + x2 dx

passo 2

Então, ∫ c

−∞

16tg−1x1 + x2 dx = lim

a→−∞

∫ c

a

16tg−1x1 + x2 dx ,

e ∫ +∞

c

16tg−1x1 + x2 dx = lim

b→+∞

∫ b

c

16tg−1x1 + x2 dx

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Exemplos

3)∫ +∞

−∞

16tg−1x1 + x2 dx

passo 1

Escreva∫ +∞

−∞

16tg−1x1 + x2 dx =

∫ c

−∞

16tg−1x1 + x2 dx +

∫ +∞

c

16tg−1x1 + x2 dx

passo 2

Então, ∫ c

−∞

16tg−1x1 + x2 dx = lim

a→−∞

∫ c

a

16tg−1x1 + x2 dx ,

e ∫ +∞

c

16tg−1x1 + x2 dx = lim

b→+∞

∫ b

c

16tg−1x1 + x2 dx

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Exemplos

3)∫ +∞

−∞

16tg−1x1 + x2 dx

passo 1

Escreva∫ +∞

−∞

16tg−1x1 + x2 dx =

∫ c

−∞

16tg−1x1 + x2 dx +

∫ +∞

c

16tg−1x1 + x2 dx

passo 2

Então, ∫ c

−∞

16tg−1x1 + x2 dx = lim

a→−∞

∫ c

a

16tg−1x1 + x2 dx ,

e ∫ +∞

c

16tg−1x1 + x2 dx = lim

b→+∞

∫ b

c

16tg−1x1 + x2 dx

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passo 3

Calculando as integrais∫ c

a

16tg−1x1 + x2 dx e

∫ b

c

16tg−1x1 + x2 dx e passando

ao limite de a→ −∞ e b → +∞, concluímos que a integral emquestão diverge.

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Exemplos

Integrais Impróprias do Tipo II

1)Se f é contínua em um intervalo (a,b] e é descontínua em a, então:∫ b

af (x)dx = lim

c→a+

∫ b

cf (x)dx

2)Se f é contínua em um intervalo [a,b) e é descontínua em b, então:∫ b

af (x)dx = lim

c→b−

∫ c

af (x)dx

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Exemplos

Integrais Impróprias do Tipo II

1)Se f é contínua em um intervalo (a,b] e é descontínua em a, então:∫ b

af (x)dx = lim

c→a+

∫ b

cf (x)dx

2)Se f é contínua em um intervalo [a,b) e é descontínua em b, então:∫ b

af (x)dx = lim

c→b−

∫ c

af (x)dx

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Exemplos

Integrais Impróprias do Tipo II

1)Se f é contínua em um intervalo (a,b] e é descontínua em a, então:∫ b

af (x)dx = lim

c→a+

∫ b

cf (x)dx

2)Se f é contínua em um intervalo [a,b) e é descontínua em b, então:∫ b

af (x)dx = lim

c→b−

∫ c

af (x)dx

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Exemplos

3)Se f é descontinua em um ponta c ∈ (a,b) e é contínua em[a, c) ∪ (c,b], então:∫ b

af (x)dx =

∫ c

af (x)dx +

∫ b

cf (x)dx .

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Exemplos

3)Se f é descontinua em um ponta c ∈ (a,b) e é contínua em[a, c) ∪ (c,b], então:∫ b

af (x)dx =

∫ c

af (x)dx +

∫ b

cf (x)dx .

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1)∫ 1

0

1√x

dx

passo 1

Escreva∫ 1

0

1√x

dx = lima→0+

∫ 1

a

1√x

dx

passo 2

Daí∫ 1

a

1√x

dx =23− 2a3/2

3

passo 3

Portanto, lima→0+

23− 2a3/2

3=

23

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1)∫ 1

0

1√x

dx

passo 1

Escreva∫ 1

0

1√x

dx = lima→0+

∫ 1

a

1√x

dx

passo 2

Daí∫ 1

a

1√x

dx =23− 2a3/2

3

passo 3

Portanto, lima→0+

23− 2a3/2

3=

23

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1)∫ 1

0

1√x

dx

passo 1

Escreva∫ 1

0

1√x

dx = lima→0+

∫ 1

a

1√x

dx

passo 2

Daí∫ 1

a

1√x

dx =23− 2a3/2

3

passo 3

Portanto, lima→0+

23− 2a3/2

3=

23

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1)∫ 1

0

1√x

dx

passo 1

Escreva∫ 1

0

1√x

dx = lima→0+

∫ 1

a

1√x

dx

passo 2

Daí∫ 1

a

1√x

dx =23− 2a3/2

3

passo 3

Portanto, lima→0+

23− 2a3/2

3=

23

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Por hoje é só!

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