7/25/2019 Integrais Duplos

1/11

39

INTEGRAIS DUPLOS

DEFINIO: Sejaf(x,y)uma funo de 2em e o conjunto

. O integral estendido ao

domnio Arepresenta o limite (caso exista) da soma dupla dos produtos da funo f(x,y)pelarea do elemento rectangular dx.dy.

= lim ( , ). ( ). ( )Ento se para todas as parties de Aeste limite existe e finito denomina-se integral duplodef(x,y)sobre a regioAe escreve-se como:

(,) =(,) =(,) Ondef(x,y) a funo integranda eAo domnio de integrao.

Supondo que f(x,y) assume apenas valores no negativos, pode observar-se que a soma

indicada corresponde geomtricamente ao volume, V, do slido delimitado inferiormente por

Ae superiormente pelo grfico def (x,y).

7/25/2019 Integrais Duplos

2/11

40

PROPRIEDADES:

I. .(,) =.(,) II. ((,) + (,)) =(,) +(,)

III.

Se =(desde que =), ento:(,) =(,) +(,) IV.

Se

(

,

)

0 em

ento:

(

,

)

0

TEOREMA DE FUBINI:

Se f(x,y) uma funo de duas variveis, integrvel numa regio rectangular:

= {(,) : ; }, ento:(,) = (,) = (,) EXEMPLOS:

I. . onde [0,3]; [1,2]

= = 2 = 4

2 1

2 =

=32 =32 3 =32 33 32 03 = 272

7/25/2019 Integrais Duplos

3/11

41

Ou:

= = 3 = 273 0 =

= = = = = II. . onde [3,2]; [0,1]

= 3 =1

3 0

3 = 13 =6

=

=4

6 9

6= 5

6

OU,

= 2 =2

2 (

3)

2 == 2 9

2

= 52 =52 3

= 5

21

3 =5

6

III. 2 + 16 onde [0,2]; [0,2]

( 2 + 16) = 3 2 + 16 = 8

34 + 32 =83 43 + 32

= 16

3 32

3+ 64 = 48

IV. (,) =. () onde [0,]; [0,1]Nota: se se primitivar 1 em relao a y a primitiva imediata enquanto que em x no.

() = [cos()] = (cos() + 1) =

7/25/2019 Integrais Duplos

4/11

42

= [ + ] = (0 + + 0 0) =V. (,) = + onde [0,1]; [0,1]

+

=

(

+

)

32

=

2

3(

+ 1)

=

=2

3( + 1)

52

52

=2

32

52

25 2

5 0 = 4

152 2

VI. (,) = onde [0,1]; [0,1] = =[] =( 1) = = = = [] 2 == 0 [] 12 = + 1 12 = 12

INTEGRAIS DUPLOS SOBRE REGIES NO RECTANGULARES

I Uma regio diz-se verticalmente simples e do Tipo I se:

= {(,) : ;() ()}

II Uma regio diz-se horizontalmente simples e do Tipo II se:

= {(

,

)

:

(

)

(

);

}

7/25/2019 Integrais Duplos

5/11

43

EXEMPLOS:

I.

Integre a funo(,) =na regio definida por: 0 2; 0

= 3

=3 2 3 0 =24 =24

=

=5 24

=

32

5 24 = 415OU,

= 2

=2 (2)2 = (2 2) =

= 2 3

5

= 213 1

5 (0 0) = 2 2

15=

4

15

7/25/2019 Integrais Duplos

6/11

44

II. Calcule: O integral e dxdy no direto, logo pelo Teorema de Fubini:= = = 2. = = = 1III. Calcule o volume definido pelo plano xy a funo 4 + 2 e as curvas = =

2.

(4 + 2) = [4 + 2] = (8 + 4) (4 + 2) == (6 4 + 4)

= [2 + 2] = (16 1 6 + 8) (0) = 8

Ou,

(4 + 2) = [2 + 2] = 2 + 2 2 + =

= + 2 2 =2 + 2

32

6

=8 + 322 32

3 (0) = 8

7/25/2019 Integrais Duplos

7/11

45

IV. Calcule o volume definido pela funo z= + em que o domnio de integrao definido pelo tringulo com vrtices em (0,0); (0,2)e (1,2).

( + ) = + 2 = (2 + 2) (2 + 2 ) == 2 + 2 4 = + 2 4

3

=1 + 2 43 0 = 53

V.

Calcule o volume definido pela funo z =()

em que o domnio de integrao

definido por:

0 ; 0

Como a integrao em ordem a xno direta vamos inverter a ordem de integrao.Deste modo,

sin() = sin() = sin() = [cos()] == 1 (1) = 2

VI.

Calcule o integral:

=

1

= = ( 1) =

7/25/2019 Integrais Duplos

8/11

46

= ( 1) 32

=2

3( 1)(8 1) = 14

3( 1)

VII. Reverta a ordem de integrao:

Representado o domnio de integrao vem:

Logo:

= ()

VIII.

Calcule o volume definido pela funo z =+, em que o domnio de integraoest compreendido entre = e =.Analizando o domnio de integrao podemos escrever:

= 0 1; , logo: = ( + ) = + 3 = +

3

3 =

=27 + 2

15

5

21

=2

7+

2

15 1

5 1

21

IX.

Determine o volume do slido limitado pelas superfcies 2 + 3 = 12,2 =, = 0, = 0 e = 0.As funes 2 + 3 = 12; = 0; = 0esto no plano XY e, portanto representam o nossodomnio de integrao (nota: 2 + 3 = 12 = + 4).

7/25/2019 Integrais Duplos

9/11

47

A funo a integrar ser 2

=

=

que tem sempre valores positivos.

Logo o volume vem:

= 2 = 12 3

= 16 23 + 4 =

=1

6 3

22

3 2

3 + 4 =1

4 2

3 + 4

4

=1

16 (0 4) == 1

16(256) = 16

7/25/2019 Integrais Duplos

10/11

48

DETERMINAO DE REAS:

possvel determinar reas de regies planas utilizando integrais duplos (o problema

semelhante ao da formulao utilizando o integral definido simples. No caso da formulaocom integral duplo a rea a determinar corresponde ao domnio de integrao e a funo aintegrar f(x,y)=1.

Logo:

= EXEMPLO I: Determine a rea limitada pelas funes =e =.

=

=

[

]

=

=

2

3

=1

2

1

3=

1

6

7/25/2019 Integrais Duplos

11/11

50

CENTRO DE MASSA

Se a funo f(x,y) representar a densidade associada a cada ponto de um determinado volumea massa total desse volume ser:

=(,)

O centro de massa ser o ponto obtido pelas coordenadas:

EXEMPLO I: Determine o centro de uma regio delimitada por = 2, =e =.Nota: consiste em resolver o problema do centro de massa mas com uma funo de densidadeigual a 1.

= = 4 Logo:

= 14 = 14 2 = 14 2 3

=

1

6(8 0) = 4

3

Como a rea simtrica relativamenta linha y=0, vem:

= 0