Pontifcia Universidade Catlica do Rio Grande do Sul

Faculdade de Matemtica

INTEGRAIS DE SUPERFCIE

PARAMETRIZAO DE UMA SUPERFCIE

Seja ( uma poro limitada da superfcie que tem equao cartesiana z = f (x,y).

Associado s equaes paramtricas, podemos definir o Vetor Produto Fundamental (VPF) como o produto vetorial das derivadas parciais de :

VPF = .

Esse vetor tem a propriedade de ser normal superfcie (, pois ortogonal aos vetores que esto no plano tangente.

Exemplo 1: Encontrar as equaes paramtricas e a equao vetorial da superfcie (, que tem equao cartesiana 3y + 2z = 6, com 0 < x < 1, no 1 octante.

O VPF ser calculado pelo produto vetorial entre :

EMBED Equation.3 =.

Exemplo 2: Parametrizar a superfcie de equao cartesiana z = 1 x2 y2 , com z > 0.

EMBED Equation.3 =.

Outra parametrizao pode ser feita, inspirada nas coordenadas polares, usando coordenadas cilndricas:

, que gera a equao vetorial:

O VPF nesse caso ser:

EMBED Equation.3 =.

H casos em que a melhor forma de parametrizar uma superfcie no usando uma projeo, mas usando coordenadas cilndricas ou esfricas. Alguns exemplos dessas parametrizaes esto a seguir:

Coordenadas Esfricas:

Parametrizao da esfera: x2+y2 + z2 = a2

(u,v) ( [0,2(] x [-(/2,(/2]

Coordenadas Cilndricas:

Parametrizao do cone: x2+y2 = z2, 0 ( z ( a

, (u,v)([0,2(]x[0,a]

Parametrizao do parabolide:

x2+y2 = z, 0 ( z ( a

,

(u,v)([0,2(]x[0,a1/2]

Parametrizao do cilindro: x2+y2 = a2,

0 ( z ( b

, (u,v)([0,2(]x[0,b]

CLCULO DA REA DE UMA SUPERFCIE

A rea da superfcie (, de equao vetorial , dada pela integral:

A = =,

onde o Vetor Produto Fundamental (VPF) e a Integral de Superfcie da funo constante 1, sobre a superfcie (.

Exemplo 3: A rea da superfcie do exemplo 1 pode ser calculada por geometria bsica, pois um retngulo. Mas tambm dada por

A = = = = = = =

Exemplo 4: Para calcular a rea da superfcie do exemplo 2, precisamos do mdulo do VPF. Pela primeira parametrizao, T: = e

VPF = . Ento .

Assim:

A = = = = = =

Pela segunda parametrizao, T: [0, 2(] X [0, 1] e VPF = .

Ento =

= .

Assim:

A = = = = =

= =

INTEGRAIS DE SUPERFCIE DE FUNO ESCALAR

Este limite , por definio, a integral de superfcie, sobre (, da funo escalar ( (x, y, z), e representada por:

=

Para calcular a integral de superfcie, fazemos:

= .

Exemplo 5: Determinar a massa da esfera x2 + y2 + z2 = 1, com densidade ( = x2, em cada ponto (x, y, z).

Temos:

Equao da esfera: , (u,v) ( T : [0,2(] x [-(/2,(/2]

VPF = =

|VPF| =

= = =

Portanto:

m = = = = = = = = = = = = = .

Exemplo 6: Calcular na parte do plano x + y + z = 1, no 1 octante.

INTEGRAL DE SUPERFCIE DE FUNO VETORIAL FLUXO

Consideremos uma membrana ( representada pela superfcie suave, orientada, de equao vetorial , imersa em um fluido cuja velocidade das partculas representada pelo campo vetorial . Seja, ainda, o vetor unitrio normal superfcie, na sentido de sua orientao.

O FLUXO (quantidade de partculas que atravessam a membrana por unidade de rea e por unidade de tempo) de atravs de ( uma quantidade (, definida por:

=

Obs.: Se ( a superfcie com orientao contrria a (, ento .

Exemplo 7: Determine o fluxo de atravs da esfera x2 + y2 + z2 = a2, orientada para fora.

Portanto:

= =

= = = =

= a32( . =

Exemplo 8: Seja ( a poro da superfcie z = 1 x2 y2 , acima do plano xy, orientada para cima. Determine o fluxo do campo vetorial atravs de (.

Se escolhermos a parametrizao (: , ento o VPF ser:

.

Traando-se o VPF em um ponto da superfcie, v-se que ele aponta para cima, de acordo com a orientao do parabolide.

Determinando T em coordenadas polares, temos:

T:

Portanto:

= = = .

Obs.: Se a superfcie fechada, como a esfera, o elipside, etc, e a normal unitria externa, o fluxo mede o escoamento lquido para fora, por unidade de tempo. Assim, podemos dizer que, no interior da superfcie, existem FONTES se o fluxo positivo, POOS se o fluxo negativo e, se o fluxo nulo, fontes e poos esto em equilbrio.

( > 0

( < 0

( = 0

Para complementar os estudos, leia os captulos:

8.5 (pg 516) e 8.6 (pg 523) e faa os exerccios mpares de n 1 11 , 19 29 da pgina 521 e de n 1 19 da pgina 529 do vol. 2 do livro Clculo um novo horizonte de Howard Anton

ou 18.5 (pg 604) e faa os exerccios mpares de n 1 19 da pgina 614 do vol 2 do livro Clculo com geometria analtica de Earl Swokowski.

VPF

(

Para obter as equaes paramtricas de (, usamos sua projeo T sobre um dos planos ordenados, por exemplo, o plano xy.

Neste caso, x ser o parmetro u e y, o parmetro v. Assim, as equaes paramtricas de ( sero: x = u

y = v

z = f (u,v)

onde (u,v) ( T.

Se T for um retngulo, teremos

a < u < b e c < v < d.

A equao vetorial correspondente ser:

EMBED Equation.3

T

A superfcie ( est grafada ao lado e pode ser parametrizada utilizando sua projeo no plano xy, que a regio retangular T, igual ao produto cartesiano dos intervalos fechados [0,1] X [0,2]. Assim:

EMBED Equation.3 .

E sua equao vetorial correspondente ser: EMBED Equation.3 .

VPF

VPF2

VPF1

EMBED Equation.3 .

E sua equao vetorial correspondente ser: EMBED Equation.3 .

O VPF ser calculado pelo produto vetorial entre EMBED Equation.3 :

A superfcie est grafada abaixo e pode ser parametrizada utilizando-se sua projeo sobre o plano xy, que a regio T, correspondente ao disco de centro na origem e raio 1. Assim:

Seja ( uma superfcie de equao EMBED Equation.3 , com densidade varivel, dada pela funo escalar ( (x, y, z). Para obter um valor aproximado da massa m dessa superfcie, podemos dividi-la em pores (1 , (2 , ... ,(n, com reas (S1, (S2, ..., (Sn, e calcular a massa mk de cada poro fazendo o produto ( (xk, yk, zk) . (Sk , onde (xk, yk, zk) um ponto da poro (k.

Assim: m ( EMBED Equation.3 .Portanto:

m = EMBED Equation.3

(

(k

(xk, yk, zk)

1

1

1

(

Equao de (: EMBED Equation.3 , (u, v) ( T

T: 0 < u < 1 , 0 < v < 1 u

VPF = EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3

Ento:

EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 =

EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3

A equao vetorial da esfera :

(: EMBED Equation.3

(u,v) ( T: [0,2(] x [-(/2,(/2]

e o VPF :

EMBED Equation.3 .

Traando-se o VPF em um ponto da superfcie, v-se que ele aponta para fora, de acordo com a orientao da esfera.

Alm disso, temos: EMBED Equation.3

Assim:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Ainda, EMBED Equation.3 e

EMBED Equation.3

= u2 + v2 + 1

Assim:

EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3

= EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

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