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Integração Volume Aula 07 – Matemática II – Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli
Volume de um sólido
• Na tentativa de encontra o volume de um sólido, nos deparamos com o mesmo tipo de problema que para calcular áreas.
• Temos uma ideia intuitiva do significado de volume, mas devemos torná-la precisa usando o cálculo para chegar à definição exata de volume.
• Começamos com um tipo simples de sólido chamado cilindro (cilindro reto).
• Um cilindro é delimitado por uma região plana B1, denominada base, e uma região congruente B2 em um plano paralelo.
• O cilindro consiste em todos os pontos nos segmentos de reta perpendiculares à base que unem B1 a B2.
• Se a área da base é A e a altura do cilindro (distância de B1 para B2) é h, então, o volume V do cilindro é definido como
𝑉 = 𝐴ℎ
• Em particular, se a base é um círculo com raio r, então o cilindro é um cilindro circular com o volume 𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ.
B1
B2
h
• Se a base é um retângulo com comprimento l e largura w, então o cilindro é uma caixa retangular (paralelepípedo retângulo), com volume 𝑉 = 𝑙𝑤ℎ
h
l
w
• Para um sólido S que não é um cilindro, inicialmente “cortamos” S em pedaços e aproximamos cada parte por um cilindro.
• Estimamos o volume de S adicionando os volumes dos cilindros.
• Chegamos ao volume exato de S através de um processo de limite em que o número de partes torna-se grande.
• 𝑉 ≈ 𝐴(𝑥𝑖)∆𝑥𝑛𝑖=1 em que, n é o número de “fatias”, de largura ∆𝑥. E 𝑥𝑖
são os pontos amostrais.
• Estas aproximações ficam mais próximas do valor do Volume, quando 𝑛 → ∞.
• Portanto, definimos o volume como o limite dessas somas quando 𝑛 → ∞.
• Reconhecemos o limite da soma de Riemann como uma integral definida, e dessa forma temos a seguinte definição.
Definição de Volume
• Seja um sólido que está entre 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏. Se a área da secção transversal de 𝑆 no plano 𝑃𝑥, passando por 𝑥 e perpendicular ao eixo x, é 𝐴(𝑥), onde é uma função contínua, então o volume de 𝑆 é
𝑉 = lim𝑛→∞ 𝐴 𝑥𝑖 ∆𝑥 = 𝐴 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑛
𝑖=1
Volume de revolução formado pela rotação
0
10
20
30
40
0 2 4 6 8
-45-40-35-30-25-20-15-10
-505
1015202530354045505560
0 2 4 6 8
• Suponha que 𝑓(𝑥) seja contínua e 𝑓(𝑥) ≥ 0 no intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 e seja 𝑅 a região sob a curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) entre 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏. Nesse caso, o volume do sólido 𝑆 formado pela rotação de 𝑅 em torno do eixo 𝑥 é dado por
𝑉𝑜𝑚𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑆 = 𝜋 [𝑓(𝑥)]2𝑑𝑥𝑏
𝑎
Exemplo 1
• Determine o volume do sólido S formado pela rotação em torno do eixo x da região sob a curva y = x2+1 entre x = 0 e x = 2.
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 -15
-10
-5
0
5
10
15
0 1 2 3 4
Neste caso, ao girar em torno do eixo x, a função fica negativa entre uns pontos de a e b, porém a fórmula
da integral é válida normalmente
Exemplo 2
• Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região limitada
pela parábola f 𝑥 = 𝑦 =1
4(13 − 𝑥2) e pela reta g x = 𝑦 =
1
2 𝑥 + 5 .
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
-4 -2 0 2 4 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-4 -2 0 2
Neste caso, a região R está entre os gráficos de duas funções, f(x) e g(x). Assim, o volume será definido por
𝑉 = 𝜋 {[𝑓 𝑥 ]2 − 𝑔 𝑥 ]2 𝑑𝑥𝑏
𝑎
Exemplo 3
A região limitada pela parábola cúbica 𝑦 = 𝑥3, pelo eixo dos 𝑦 e pela reta 𝑦 = 8, tira em torno do eixo dos 𝑦. Determinar o volume do sólido de revolução obtido.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 2 40
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-4 -2 0 2 4
Ao girar em torno do eixo y, o volume é
determinado por: 𝑉 = {𝑔(𝑦)}2𝑑𝑦𝑑
𝑐
Neste caso, 𝑦 = 𝑥3 ≡𝑥 = 𝑦3 , 𝑒 𝑔 𝑦 = 𝑦3
Exemplo 4
• Determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta
𝑦 = 4, da região limitada por 𝑦 =1
𝑥, 𝑦 = 4 𝑒 𝑥 = 4.
0
1
2
3
4
5
0 2 4 6
0
2
4
6
8
10
0 2 4 6
Neste caso, a rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados, sendo o
volume dado por 𝑣 = 𝜋 [𝑓 𝑥 − 𝐿]2𝑑𝑥𝑏
𝑎
Neste exemplo, temos [L-f(x)],
o que não interfere no cálculo do
volume.
Exemplo 5
• Um tumor tem aproximadamente a mesma forma que o sólido formado pela rotação
da região sob a curva 𝑦 =1
316 − 4𝑥2 em torno do eixo x, onde x e y estão em
centímetros. Determine o volume do tumor.
Para determinar os pontos de interseção da curva com o eixo x, igualamos a equação a zero.
0
0,5
1
1,5
2
-3 -2 -1 0 1 2 3
Exercícios
1) Determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região R delimitada pelos gráficos das equações dadas:
a) 𝑦 = 𝑥 + 1, 𝑥 = 0, 𝑥 = 2, 𝑦 = 0
b) 𝑦 = 𝑥2, 𝑦 = 𝑥3
c) 𝑦 = 𝑥3, 𝑥 = −1, 𝑥 = 1, 𝑦 = 0
2) Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos y, da região R, limitada pelos gráficos da equações dadas:
a) 𝑥 = 𝑦2 + 1, 𝑥 =1
2, 𝑦 = −2, 𝑦 = 2.
3) Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos dados:
a) 𝑦 = 2𝑥 − 1, 𝑦 = 0, 𝑥 = 0, 𝑥 = 4, 𝑎𝑜 𝑟𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑥.
b) 𝑦 = 2𝑥2, 𝑥 = 1, 𝑥 = 2, 𝑦 = 2, 𝑎𝑜 𝑟𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑑𝑜 𝑦 = 2.