7 Interpretações e aplicações da integral

Neste capítulo apresentaremos algumas propriedades das integrais duplas e triplas, alémapresentarmos sua interpretação geométrica e física.

Propriedades das integrais duplas e tripas

Sejam f = f (x,y), f1 = f1(x,y), f2 = f2(x,y), g = g(x,y,z), g1 = g1(x,y,z), g2 = g2(x,y,z)funções contínuas, R e V regiões simples em R2 e R3, respectivamente, e � 2 R umaconstante arbitrária. Valem as seguintes propriedades para as respectivas integrais:

P1 Linearidade:"

R[f1(x,y) +�f2(x,y)]dA =

"

Rf1(x,y)dA+�

"

Rf2(x,y)dA

e$

V[g1(x,y,z) +�g2(x,y,z)]dV =

$

Vg1(x,y,z)dV +�

"

Vg2(x,y,z)dV .

P2 Limitação: se f1(x,y) f2(x,y) e g1(x,y,z) g2(x,y,z), então

"

Rf1(x,y)dA

"

Rf2(x,y)dA

e$

Vg1(x,y,z)dV

$

Vg2(x,y,z)dV .

P3 Integração sobre regiões disjuntas: se R1, R2, V1 e V2 são regiões simples e dis-juntas, tais que R =R1 [R2 e V = V1 [V2, então

"

Rf (x,y)dA =

"

R1

f (x,y)dA+"

R2

f (x,y)dA

63

CAPÍTULO 7. INTERPRETAÇÕES E APLICAÇÕES DA INTEGRAL 64

e$

Vg(x,y,z)dV =

$

V1g(x,y,z)dV +

$

V2g(x,y,z)dV .

Interpretação geométrica da integral dupla

Seja f = f (x,y) uma função contínua, não-negativa, ou seja, f (x,y) � 0, e R uma regiãosimples. Seja S o sólido delimitado pelo gráfico de f e a região R e V seu volume. A alturado ponto (x,y,z) 2 S é z = f (x,y) e o volume desse sólido é dV = f (x,y)dA. Dessa forma, ovolume do sólido S é obtido somando-se, ou integrando-se, todos esses volumes, ou seja,

V ="

Rf (x,y)dA. (7.1)

No caso particular em que f (x,y) = 1, a expressão em (7.1) se reduz à área A da regiãoR,ou seja,

A ="

RdA.

Exercício Resolvido 7.1. Encontre o volume do tetraedro limitado pelos planos coordenados epelo plano x + y + z = 1.

Figura 7.1: Tetraedro do Exercício Resolvido 7.1.

Solução. A altura, dada pela coordenada z, varia de z = 0 até o plano z = 1�x�y. Fixandoo valor de x, que geometricamente corresponde ao plano x = const, temos que a coordenaday varia da reta y = 0 até a reta y = 1� x. Por fim, x varia de 0 até 1, ou seja,

V =Z 1

0

Z 1�x

0

Z 1�x�y

0dzdy dx =

Z 1

0

Z 1�x

0(1� x � y)dy dx

=Z 1

0

y � xy � y

2

2

! ������

1�x

0

=Z 1

0

12� x + x

2

2

!dx =

x

2� x

2

2+x3

6

! ������

1

0

=16. ⌅

CAPÍTULO 7. INTERPRETAÇÕES E APLICAÇÕES DA INTEGRAL 65

Exercício Resolvido 7.2. O cardióide é o lugar geométrico dado pela equação r = a(1 + cos✓),a > 0. Seja R a região delimitada pelo cardióide. Encontre a área de R.

Solução. A geometria do problema nos leva naturalmente às coordenadas polares. Noteque uma vez fixado o ângulo ✓, r varia de 0 até a(1 + cos✓). Dessa forma, temos

A ="

RdA =

Z 2⇡

0

Za(1+cos✓)

0r dr d✓ =

Z 2⇡

0

0BBBB@

Z 1(1+cos✓)

0

1CCCCA r dr d ✓ =

Z 2⇡

0

12r2

������

a(1+cos✓)

0

d✓

=Z 2⇡

0

a2

2(1 + cos✓)2d✓ =

a2

2

Z 2⇡

0(1 + 2cos✓ + cos2✓)2d✓.

Usando a relação 2cos2✓ = 1+ cos2✓, obtemos

1 2 3 4x

-2

-1

1

2

y

Figura 7.2: Cardióide.

Z 2⇡

0

a2

2(1 + cos✓)2d✓ =

a2

2

Z 2⇡

0(1 + 2cos✓ + cos2✓)2d✓

=a2

2

Z 2⇡

0

✓1+2cos✓ +

1+ cos2✓2

◆d✓ = a

2✓32✓ +2sin✓ +

14sin2✓

◆ ������

⇡

0

=32⇡a

2. ⌅

Interpretação física da integral dupla

Do ponto de vista físico, a expressão em (7.1) pode ser interpretada da seguinte maneira:suponha que R seja um objeto bidimensional e ⇢(x,y) sua densidade. Aqui densidade serefere a algum tipo de carga, seja gravitacional (massa) ou elétrica (carga elétrica).

CAPÍTULO 7. INTERPRETAÇÕES E APLICAÇÕES DA INTEGRAL 66

Um exemplo simples de um objeto físico com estas características seria uma chapa, oulâmina, metálica de altura desprezível. Então, a massa M da chapa é dada por

M ="

R⇢(x,y)dA. (7.2)

Note que de (7.2) podemos interpretar a quantia ⇢(x,y)dA = dm como o elemento demassa.

Ainda no campo da física, podemos considerar f (x,y) = y⇢(x,y), em que ⇢(x,y) denota adensidade da região R no ponto (x,y). Então a quantia

Mx ="

Ry⇢(x,y)dA (7.3)

denota o momento total da lâmina em relação ao eixo x, enquanto

My ="

Rx⇢(x,y)dA (7.4)

denota o momento total da lâmina em relação ao eixo y.Relembrando que o centro de massa (x,y) de um objeto é o ponto em que a massa total

dele poderia estar concentrada sem alterar seu momento em relação a qualquer dos eixos.Estes são encontrados através da relação

x =My

Me y =

Mx

M

em que Mx, My e M são dados por (7.3), (7.4) e (7.2), respectivamente.

Exercício Resolvido 7.3. SejaR uma lâmina de densidade ⇢(x,y) = xy delimitada pelo quadradode vértices (0,0), (a,a), (a,0) e (0, a). Encontre a coordenada x do centro de massa dessa lâmina.

Solução. A coordenada x do centro de massa da lâmina é

x =My

M,

em que My e M são dadas por (7.4) e (7.2), respectivamente. A nossa região de integração,por outro lado, é R = [0, a]⇥ [0, a]. Comecemos calculando M . Temos:

M ="

R

⇢(x,y)dA =Z

a

0

Za

0xy dy dx =

Za

0xdx

! Za

0y dy

!=14a4.

CAPÍTULO 7. INTERPRETAÇÕES E APLICAÇÕES DA INTEGRAL 67

Calculemos My . Temos

My ="

Rx⇢(x,y)dA =

Za

0

Za

0x2y dy dx =

Za

0

x2

2

0BBBBB@y

2

������

a

0

1CCCCCA =

a2

2

Za

0x2dx =

a2

2x3

3

������

a

0

=a5

6.

Com isso, encontramos

x =My

M=23a. ⌅

Interpretação da integral tripla

Seja f : R3! R uma função contínua e V ✓ R3 uma região simples. Nosso objetivo, aqui,é dar significado à expressão

$

Vf (x,y,z)dV .

Do ponto de vista físico, podemos considerar V um volume emR3 e f (x,y,z) a densidade,por exemplo, de massa ou carga, de um determinado objeto ou corpo. No caso em quef (x,y,z) = 1, a expressão anterior corresponde ao volume da região V .

Exercício Resolvido 7.4. Use integrais triplas para determinar o volume do sólido cuja base écone de altura h cujas geratrizes forma um ângulo ↵ com o eixo z e a parte superior é uma semi-esfera de raio h.

Figura 7.3: Objeto do Exercício Resolvido 7.4.

Solução. A geometria envolvida nos mostra que as coordenadas esféricas são as maisconvenientes para tratar o problema. Note que nossa região pode ser descrita da seguinte

CAPÍTULO 7. INTERPRETAÇÕES E APLICAÇÕES DA INTEGRAL 68

forma: a coordenada radial varia de 0 a a, o ângulo equatorial não possui restrições, ou seja,0 < ✓ < 2⇡, enquanto o ângulo da reta ligando qualquer ponto p na superfície à origempossui um ângulo � que varia de 0 a ↵. Com isso, temos

V =Z 2⇡

0

Z↵

0

Za

0r2 sin� dr d� d✓ =

Z 2⇡

0d✓

Z↵

0sin� d�

Za

0r2dr

=

0BBBBBB@✓

������

2⇡

0

1CCCCCCA

0BBBBB@r3

3

������

a

0

1CCCCCA

0BBBBB@cos�

������

↵

0

1CCCCCA =

23⇡a

3 (1� cos↵).

Note que ↵ = 0 implica na situação limite em que temos um segmento de reta sobreo eixo a, entre 0 e a e, portanto, possui volume 0. Quando ↵ = ⇡/2, o objeto geométricocorresponde à meia esfera, cujo volume é V = 2⇡a3/3 e, finalmente, quando ↵ = ⇡, obtemosa esfera de raio a, centrada na origem, e recuperamos o volume V = 4⇡a3/3. ⌅

Exercício Resolvido 7.5. Utilize integral tripla para determinar o volume do sólido contido nocilindro x2 + y

2 = 1 e entre os planos z = 1 e x + z = 5.

Solução: Queremos calcular o volume

Z Z Z

B

dV ,

com B sendo a região de integração que corresponde à intersecção do cilindro x2 + y

2 = 9 eentre os planos z = 1 e x + z = 5, região esta que é representada na Figura 7.4. Observemos

Figura 7.4: Região de integração B.

que, neste caso, z varia de 1 ao plano z = 5 � x, enquanto a projeção da região no plano xy

CAPÍTULO 7. INTERPRETAÇÕES E APLICAÇÕES DA INTEGRAL 69

é dada pela circunferência x2 + y

2 = 9 de centro na origem e raio r = 3. Assim, o cálculo dovolume é dado por

Z 3

�3

Z p1�x2

�p1�x2

Z 5�x

1dzdydx =

Z 3

�3

Z p1�x2

�p1�x2

(4� x)dydx =Z 3

�3(8� 2x)

p9� x2dx.

Observemos agora que a integral requerida se torna de difícil cálculo (porém pode ser feitapor meio de substituições trigonométricas).

Como a região de integração envolve um cilindro, refaçamos os cálculos utilizando coor-denadas cilíndricas. Já verificamos que a base do cilindro x

2 + y2 = 9 tem raio r = 3. Então

no plano xy podemos fazer a mudança de coordenadas x = r cos✓, y = r sin✓, de forma queteremos 0 r 3 e 0 ✓ 2⇡, enquanto z continua variando entre 1 e 5 � x = 5 � r cos✓.Além disso, o Jacobiano da mudança para coordenadas cilíndriccs é dado por

�����@(x,y,z)@(r,✓, z)

����� = r.

Assim, a integral se torna

Z Z Z

B

dV =Z 3

0

Z 2⇡

0

Z 5�r cos✓

1rdzd✓dr =

Z 3

0

Z 2⇡

0(4r � r2 cos✓)d✓dr

= 8⇡Z 3

0rdr �

Z 3

0r2 sin✓

������

✓=2⇡

✓=0

= 8⇡r2

2

������

r=3

r=0

= 36⇡. ⌅

Integrais impróprias

Nesta seção mostraremos como calcular a integral

Z 1

0e�x2

dx. (7.5)

Essa integral não é facilmente calculada. Uma das razões para que isso ocorra é a inexis-tência de uma função elementar1.

1Podemos caracterizar uma função elementar como aquelas funções que são escritas de forma explícitaenvolvendo apenas as operações elementares de soma, adição, multiplicação, divisão, radiciação e exponen-ciação. Exemplos de funções elementares são as racionais, trigonométricas e suas correspondentes inversas,etc.

CAPÍTULO 7. INTERPRETAÇÕES E APLICAÇÕES DA INTEGRAL 70

Para resolver esta integral, comecemos com uma observação com respeito ao ExercícioResolvido 7.3. Nele, calculamos a integral

Za

0

Za

0xy dy dx =

Za

0xdx

! Za

0y dy

!. (7.6)

Seja f (x) = x e

I =Z

a

0f (x)dx. (7.7)

Note que x, na expressão (7.7), é uma variável muda, isto é, é irrelevante qual variável usemosnaquela expressão, ou seja,

I =Z

a

0f (x)dx =

Za

0f (y)dy =

Za

0f (t)dt = · · · .

Note então que

I2 = I ⇥ I = Z

a

0f (x)dx

! Za

0f (y)dy

!=

Za

0

Za

0f (x)f (y)dy dx. (7.8)

Ou seja, o produto de duas integrais ordinárias nada mais é que duas integrais iteradas,que podem ser identificadas com uma integral dupla.

Consideremos (7.7), mas com f (x) = e�x2 e façamos a ! 1. De (7.8) e (7.7), podemos

escreverI =

Z 1

0e�x2

dx

eI2 =

Z 1

0

Z 1

0e�x2

e�y2

dxdy =Z 1

0

Z 1

0e�(x2+y2)

dxdy

Podemos agora usar coordenadas polares para resolver a integral dupla acima. Diferente-mente do que tínhamos antes, nossa região de integração, agora é infinita e corresponde atodo o primeiro quadrante do plano, ou seja, 0 < ✓ < ⇡/2 e 0 < r < 1. Para a coordenadaradial, podemos, ainda, escrever como 0 < r < R e R!1. Assim, temos

I2 =Z 1

0

Z 1

0e�(x2+y2)

dxdy =Z

⇡/2

0

Z 1

0e�r2

r dr d✓ =Z

⇡/2

0

limR!1

ZR

0e�r2

r dr

!d✓

= Z

⇡/2

0d✓

! limR!1

ZR

0e�r2

r dr

!= lim

R!1⇡

2�e�r2

2

������

1

0

=⇡

4,

CAPÍTULO 7. INTERPRETAÇÕES E APLICAÇÕES DA INTEGRAL 71

ou seja, temos I =p⇡/2 e, então, concluímos que

I =Z 1

0e�x2

dx =p⇡

2.

Observemos que o fato de as integrais duplas envolvidas nesta parte não são integraiscalculadas em regiões limitadas e, por esta razão, são chamadas de integrais impróprias .

Exercícios

Exercício 7.1. Os momentos de inércia de uma lâmina de densidade ⇢(x,y) com relação ao eixo xe ao eixo y, respectivamente, são dados por

Ix ="

Ry2⇢(x,y)dA e Iy =

"

Rx2⇢(x,y)dA.

Calcule a massa, o centro de massa e os momentos de inércia com relação aos eixos x e y dalâmina do Exercício Resolvido 7.3.

Exercício 7.2. Se um objeto possui densidade constante, seu centro de massa é chamado centróide.

a) Encontre o centro de massa do cardióide do Exercício Resolvido 7.2 de densidade ⇢(r,✓) = r.

b) Encontre o centróide do cardióide do Exercício Resolvido 7.2.

Exercício 7.3. Calcule a integral

Z 2a

0

Z p2ax�x2

0(x2 + y

2)dxdy.

Exercício 7.4. Calcule o centróide do disco semicircular x2 + y2 a

2 e y � 0.

Exercício 7.5. Calcule as seguintes integrais:

a)R⇡/20 e

�tg2xdx/ cos2 x.

b)R 10 e�xdx/px.

c)R 10

p� lnxdx.

CAPÍTULO 7. INTERPRETAÇÕES E APLICAÇÕES DA INTEGRAL 72

Exercício 7.6. Seja S um corpo tridimensional de densidade ⇢(x,y,z). Os momentos em relaçãoaos planos coordenados xy, yz e xz são dados, respectivamente, por

Mxy =$

Sz⇢(x,y,z)dV , Myz =

$

Sx⇢(x,y,z)dV , Mxz =

$

Sy ⇢(x,y,z)dV ,

enquanto seus correspondentes centros de massa são x = Myz/M , y = Mxz/M e z = Mxy/M . Osmomentos de inércia com respeito aos eixos são dados pelas expressões

Ix =$

S(y2 + z

2)⇢(x,y,z)dV , Iy =$

S(x2 + z

2)⇢(x,y,z)dV , Iz =$

S(x2 + y

2)⇢(x,y,z)dV .

Suponha que o sólido S dado no Exercício Resolvido 7.4 tenha densidade de massa ⇢(x,y,z) =px2 + y2 + z2.

a) Encontre a massa M de S .

b) Encontre os momentos em relação aos eixos coordenados.

c) Determine os momentos de inércia em relação aos eixos de S .

d) Encontre o centro de massa de S .

Índice Remissivo

Conjuntoilimitado, 32limitado, 32

Errona aproximação de 1ª ordem, 11

Hessiano, 16

Integraldupla, 34iterada, 22tripla, 41

integralimprópria, 71

Jacobiano, 48

Método dos quadrados mínimos, 17Matriz

jacobiana, 48Matriz Hessiana, 5

Mudança de coordenadas, 49

Polinômio de Taylor, 1ª ordem, 5, 2ª ordem, 6

Pontocrítico, 15de maximo, 15extremo, 15

Regiãohorizontalmente simples, 33retangular, 33simples, 33verticalmente simples, 32

Selaponto de, 16

Teoremade Fubini, 25

Teste da derivada segunda, 16

73