In: Pesquisas Aplicadas em Modelagem Matemática - Volume IEditor: Dr. Paulo Sausen, pp. 1-28

ISBN 0000000000c© 2012 Editora Unijui.

Capítulo 1

INTERAÇÃO DE ONDAS AQUÁTICAS COMOBSTÁCULOS FINOS SUBMERSOS

Leandro Farina1,2

e Juliana S. Ziebell1∗†1Instituto de Matemática,

Universidade Federal do Rio Grande do Sul,Porto Alegre – RS – Brasil

2 BCAM - Basque Center for Applied Mathematics,Bilbao - Basque Country - Spain

Resumo

A interação de ondas aquáticas com um objeto fino submerso é examinada. Ini-cialmente consideraremos como obstáculo um disco plano. Este problema é interes-sante matematicamente pois permite uma formulação semianalítica em termos de umaequação integral hipersingular cuja solução pode ser obtida expandindo o potencial develocidade em séries de Fourier envolvendo funções de Legendre ou polinômios deGengebauer para a parte radial. Esta expansão permite a avaliação analítica da integralhipersingular e proporciona um robusto e eficiente método computacional. Usando ummétodo de perturbação da fronteira, formulamos o problema também para um discorugoso e no caso de obstáculos com fronteira não circular estendemos o método desolução usando mapeamentos conformes. Aplicações dos métodos apresentados estãopresentes em atividades industriais, científicas, comerciais e militares no mar fora dacosta, principalmente em águas profundas com a presença de grandes estruturas flu-tuantes ou submersas, cuja segurança e eficácia dependem de suas respostas às ondasdifratadas.

1 Introdução

Ondas podem sofrer mudanças de direção em seu movimento, influenciando assim no pro-cesso de como sua energia se propaga. Ondas na superfície da água serão modificadas,∗Endereço atual: Instituto de Matemática, Estatística e Física, Universidade Federal do Rio Grande, Rio

Grande, RS, 96201-900, Brasil†E-mail addresses: farina@mat.ufrgs.br, lfarina@bcamath.org e ju_sziebell@yahoo.com.br

espalhadas, refletidas ou radiadas quando na presença de regiões como ilhas, enseadas eportos, ou de um corpo flutuante ou submerso com dimensões comparáveis ao compri-mento da onda. Este fenômeno, denominado de difração, será analisado neste trabalhoconsiderando como obstáculo um corpo fino e submerso.

A teoria linear tem sido classicamente empregada e é bastante desenvolvida no trata-mento da difração. Assim, a linearidade será usada para explorar o problema proposto nestetexto.

Será obtida uma representação exata do potencial de velocidade, dada em termos deuma integral, válida para uma forma relativamente arbitrária do obstáculo que causa a di-fração. Justamente essa arbitrariedade faz com que o passo final na obtenção da soluçãoexplícita tenha de ser feito numericamente. É claro, porém, que em situações onde a ge-ometria do obstáculo for simples o suficiente, soluções analíticas explícitas poderão serobtidas.

O objetivo deste trabalho é investigar a interação de ondas de água com obstáculosfinos submersos. Inicialmente será considerado como obstáculo, um disco plano. Esteproblema é interessante matematicamente pois permite uma formulação semianalítica emtermos de uma equação integral hipersingular cuja solução pode ser obtida expandindo opotencial de velocidade em séries de Fourier envolvendo funções de Legendre ou polinô-mios de Gengebauer para a parte radial. Esta expansão permite a avaliação analítica daintegral hipersingular e proporciona um robusto e eficiente método computacional.

Usando um método de perturbação da fronteira, será formulado o problema para umdisco rugoso. Também será foco de nossa abordagem o caso em que o obstáculo plano foruma variação do disco e esta descrição será feita matemáticamente por meio de mapeamen-tos conformes.

Aplicações dos métodos apresentados estão presentes em atividades industriais, cientí-ficas, comerciais e militares no mar fora da costa (ou offshore, em inglês), principalmenteem águas profundas com a presença de grandes estruturas flutuantes ou submersas, cujasegurança e eficácia dependem de suas respostas às ondas difratadas.

2 Ondas aquáticas

Considere coordenadas cartesianas (x, y, z) com o eixo-z verticalmente para cima. O vetoru(x, t) = (u, v, w) denota o campo de velocidade do escoamento na água e Pa(x, t) denotaa pressão atmosférica. Assumimos um escoamento irrotacional, ou seja

∇× u = 0. (1)

Como é bem conhecido, a equação (1) é equivalente ao fato que existe um potencial develocidade Φ tal que

u = ∇Φ. (2)

Das equações de Navier-Stokes para um fluido incompressível, pode-se formular o pro-blema não linear para ondas aquáticas (veja [1]) por

∆Φ =∂2Φ

∂x2+∂2Φ

∂y2+∂2Φ

∂z2= 0, (3)

2

válida em todo o domínio da água.É necessário também estabelecer contições de contorno. Seja

z = η(x, y, t) (4)

a equação que define a elevação da superfície livre. A condição de fronteira cinemáticaimpõe que sua derivada material seja nula:

D

Dt(z − η(x, y, t)) = 0. (5)

Fisicamente, esta condição requer que a superfície (4) se mova com o fluido, de modo asempre conter as mesmas partículas dele. Assim,

w − ∂η

∂t− (u · ∇)η = 0,

ou

∂Φ

∂z− ∂η

∂t− (u · ∇)η = 0, em z = η(x, y, t). (6)

A equação (6) é a condição cinemática da superfície livre.Para fluidos não viscosos, o fundo também constitui uma fronteira que move com o

fluido. Denotando o fundo impermeável por

z = H(x, y, t),

tem-se queD

Dt(z −H(x, y, t)) = 0, em z = H

ou

∂Φ

∂z− ∂H

∂t− (u · ∇)H = 0, em z = H, (7)

que representa a condição de fronteira de fundo.Para fundos estacionários, (7) se reduz a

∂Φ

∂z− (u · ∇)H = 0, em z = H, (8)

ao passo que para um fundo horizontal H = −h, a condição de fronteira nele é simples-mente

∂Φ

∂z= 0, em z = −h, (9)

o que é fisicamente entendida apenas de considerações elementares.No caso de ondas em águas profundas, a condição de fundo pode ser expressa por

∂Φ

∂z→ 0, z → −∞, (10)

3

A condição dinâmica diz respeito a forças. Sendo a tensão superficial desprezível paracomprimentos de ondas de nosso interesse, requer-se então que a pressão seja prescrita emz = η(x, y, t). Pode-se mostrar (veja [1]) a partir da equação de Euler para fluidos nãoviscosos que

−Paρ

= gη +∂Φ

∂t+

1

2|∇Φ|2 em z = η. (11)

A equação anterior representa a condição dinâmica da superfície livre.Assim o problema não linear de ondas em água é descrito por (3), (6), (11)) e uma con-

dição de fundo, conforme elaborado anteriormente. Não são conhecidas soluções analíticaspara o problema como descrito antes. Para fazer progresso analítico na teoria de prograga-ção de ondas, pode-se lançar mão da linearização das condições de superfície livre.

Assumindo que a amplitude das ondas é pequena comparada com o comprimento deonda e com a profundidade da água, as condições de superfície livre podem ser impostasem z = 0. Ademais, se a velocidade do fluido é proporcional ao movimento das ondas, ostermos quadráticos podem ser desprezados e as equações (6) e (11) podem ser combinadas,tomando a seguinte forma.

∂2Φ

∂t2+ g

∂Φ

∂z= 0 em z = 0. (12)

Analogamente, sem perda de generalidade, tomando Pa = 0, obtém-se da condiçãodinâmica (11) a seguinte relação direta entre a derivada de Φ e η.

η = −1

g

∂Φ

∂tem z = 0. (13)

Supondo que a água tenha profundidade constante no tempo e espaço, ou seja, h ≡ 0, oproblema linearizado é então definido pelas equações (3), (9) e (12). Supondo ainda que asolução é periódica no espaço e no tempo, obtém-se a então chamada solução harmônicasimples dada por

Φ = −agω

cosh[k(z + h)]

cosh(kh)Reei(ωt−k·q), (14)

Diferenciando (14) com respeito a t, usando (13) em z = 0, obtém-se

η = a sen(ωt− k · q). (15)

No caso de águas profundas, tem-se

Φ =ag

ωekzReei(ωt−k·q), (16)

pois coshx ∼ ex/2 quando x→∞.Substituindo (14) em (12) e avaliando em z = 0, chega-se á

ω2 = gk tanh(kh). (17)

A equação (17) é chamada relação de dispersão. . Em águas profundas teremos

ω2 = gk, (18)

pois tanhx ∼ 1 quando x → ∞. As equações (14) e (15), com ω e k relacionados pelarelação de dispersão, são soluções harmônicas simples do problema linear de ondas emágua.

4

3 O problema de difração e espalhamento por obstáculos

Considere o problema de ondas linearizado ((3), (12) e (9)), mas agora com um obstáculocom superfície molhada denotada por S. Este objeto pode estar flutuante, parcialmentesubmerso ou totalmente submerso. Em qualquer caso, a sua superfície dita molhada é aparte da sua superfície total que está abaixo da água, ou seja a parte com pontos (x, y, z),tais que z < 0. A unicidade da solução para o problema linear de ondas em água napresença de um corpo é uma questão ainda aberta e objeto de vários artigos de pesquisarecentes. Basicamente, procura-se relaxar as condições sobre S para que haja unicidade.Será obervado apenas aqui que as condições de que S seja limitado e que nenhuma retavertical corte S em mais de um ponto são suficientes para garantir a unicidade do problemaa ser descrito em detalhes a seguir.

O movimento da água será descrito pelo potencial de velocidade Φ(x, y, z, t) que sa-tisfaz a equação de Laplace e as condições (12) e (9). Assume-se movimentos harmônicossimples no tempo com frequência ω. Ou seja, escreve-se

Φ(x, y, z, t) = Reφ(x, y, z)eiωt,

onde φ é chamado também de potencial ou de função onda. Sera usada a seguir fortementea linearidade do problema, somando pontenciais que satisfazem às equações e condições decontorno lineares. Assim φ é fatorado como

φ = φinc + φS . (19)

Aqui, Re φinceiωt representa a onda incidente, satisfazendo (3), (9) e (12). Sabe-seque (14) satisfaz todas estas condições, e portanto temos então já conhecida uma onda in-cidente para o problema de difração. O pontecial φS dá conta das ondas causadas pelapresença do obstáculo. Escreve-se φS = φesp + φrad, com φesp devido ao movimento deespalhamento das ondas pelo obstáculo e φrad, à radiação das ondas causadas pelo movi-mento do obstáculo. Usando a linearidade do problema e portanto a combinação linear dospotenciais, se terá que φesp é independente dos movimentos do obstáculo. Será consideradoassim que o corpo está mantido fixo e portanto, φrad ≡ 0, para na seção 4 tratar o problemade radiação separadamente. Com esta hipótese, a condição contorno apropriada para S fixaé

∂φ

∂n= 0, em S. (20)

Ou seja,∂φesp∂n

= −∂φinc∂n

em S, (21)

dita condição de contorno no obstáclo. Para Φ satisfazer à condição de superfície livre, éncessária que φS também a satisfaça. Então, para cada valor de t, segue de (12) que

∂φS∂z− λφS = 0, em z = 0, (22)

onde λ = ω2

g

5

3.1 Condição de radiação

Como S é limitado e φS existe por causa da presença do obstáculo, é razoavel que no infinitoeste potencial se comporte como ondas radiando para fora do corpo. Assim, fisicamente,nota-se que as especificações de nosso problema podem estar incompletas. Não chega a sersurpreendente, portanto, perceber que se adicionarmos uma constante qualquer ao potencialφ outras soluções satisfazendo todas as condições de contorno anteriores existirão, tornandoo problema mal posto. É desejável, contudo, tratar um problema com uma única solução.

Felizmente, adotando uma condição adicional, conquista-se os objetivos de satisfazeros requerimentos físicos e matemáticos anteriormente expostos. Esta condição, introduzidapor Stoker [2], se traduz matematicamente por meio da condição de radiação, escrita como

limρ→∞

∫∫Cρ

∣∣∣∂φS∂ρ− icφS

∣∣∣2 dS = 0, (23)

onde c é uma constante e Cρ denota o cilindro√x2 + y2 = ρ, −h ≤ z ≤ 0.

Esta condição é uma forma fraca da conhecida condição de radiação de Sommerfeld, dadapor

limρ→∞ ρ1/2(∂φS∂ρ− icφS

)= 0. (24)

Observe também que se∂φS∂r− icφS = O(r−3/2) (25)

ouφS ∼ e−iρc/

√ρ, quando ρ→∞, (26)

então a condição (24) é satisfeita.Assim, tanto (24) como (25) ou ainda (26) implicam (23). Esquematicamente, temos a

relação: (26)⇒ (25)⇒ (24)⇒ (23). Desta forma, estas duas últimas condições, individu-almente, são suficientes para garantir a condição de radiação.

3.2 Identidade de Green

O problema de difração cuja solução está sendo procurada é definido por (3), (9), (21), (22)e (23).

Seja D o nosso domínio de interesse, ou seja, os pontos onde está a água e limitado porCρ. Denote por ∂D o contorno deste domínio, que pode ser decomposto como

∂D = S + Cρ + F + B,

onde F denota a superfície livre e B representa o fundo dado por z = h.Pela segunda identidade de Green, uma função φ duas vezes continuamente diferenciá-

vel em D pode ser representada por∫D

(φ∆G−G∆φ) dq =

∫∂D

(φ∂G

∂n−G∂φ

∂n

)dσ, (27)

6

onde n é o vetor normal unitário e G é uma função quase sempre regular em D. Ou seja,G pode ter singularidades em pontos isolados de D e neste caso teremos de reinterpretar aintegral do lado direito de (27), caso esta não esteja mais definida no sentido de Riemmann.Será visto que podemos optar por uma funçãoG, chamada de função de Green de superfícielivre, que terá papel fundamental para o tratamento da difração de ondas lineares. Com estafunção de Green pode-se usar a fórmula (27) e obter a solução para o problema de difração.

3.3 A função de Green de superfície livre

Denote x = (x, y, z) e ξ = (ξ, η, ζ). A função de Green para ondas em água de profundi-dade h é uma função G(x, y, z; ξ, η, ζ) regular para

−h ≤ z ≤ 0, −h ≤ ζ ≤ 0, x 6= ξ,

tal que

G− 1

Ré regular emx = ξ, (28)

ondeR = ‖x−ξ‖ e satisfazendo todas as condições do problema de difração, com exceçãode (20).

John [3] mostrou que existe uma função satisfazendo as condições impostas anterior-mente para G e apresentou sua forma explícita por

G =

∞∑n=0

Gn, (29)

comGn = 2πiBn cosh kn(z + h) cosh kn(ζ + h)H

(1)0 (knr), (30)

onde H(1)0 é a função de Hankel do primeiro tipo de ordem 0, r =

√(x− ξ)2 + (y − η)2,

Bn =k2n − λ2

λ+ hk2n − hλ2

,

e kn são as raízes da equação

knsenh knh = λ cosh knh. (31)

Note que (31) garante que G satisfaça a condição de superfície livre. Seja k0 a raiz positivareal de (31) e k1, k2, . . ., as raízes no eixo positivo imaginário em ordem crescente de valorabsoluto.

Para verificar que G de fato satisfaz a condição de radiação, consideremos o comporta-mento assintótico da função de Hankel. Sabe-se que quando r →∞,

H(1)0 (ix) = O(e−xr−1/2), (32)

H(1)0 (x) =

ei(x−π/4)√πx/2

+O(x−3/2). (33)

7

Como k1r, k2r, . . . são da forma ix, então quando r →∞, usando (32),

G = G0 +∞∑n=1

O(e−|kn|rr−1/2)

= G0 +O(e−|k1|rr−1/2), pois |kn| < |kn + 1|,= G0 +O(r−3/2),

pois e−arr é limitado quando r →∞, para qualquer a > 0 . Segue, de (33), que

G =2πiB0√(π/2)k0r

cosh k0(z + h) cosh k0(ζ + h)ei(k0r−π/4)

+ O(r−3/2), r →∞. (34)

Diferenciar (34) não altera a ordem de magnitude do erro, pois as fórmulas (32, 33) podemser usadas para as derivadas de H(1)

0 . Assim, obtemos

∂G

∂r− ik0G = O(r−3/2). (35)

Observe agora que (35) é válida uniformemente em z e ζ. Adicionalmente, fazendo ξ =η = 0 tem-se que G satisfaz a condição de radiação (23).

Pode-se mostrar (veja exercício 2.4) que a função dada por (29) é a única função deGreen de superfície livre.

Para o caso de águas profundas (h→∞), uma forma especializada da função de Greenexiste e é dada por

G∞(x, y, z; ξ, η, ζ) = [r2 + (z − ζ)2]−1/2 +

∫ ∞0

µ+ λ

µ− λeµ(z+ζ) J0(kr) dµ, (36)

onde J0 é a função de Bessel do primeiro tipo e ordem zero. Esta função satisfaz as mesmascondições que G, com exceção de (9). Em vez, temos

G∞ → 0, quando z →∞. (37)

Expansões em termos de autofunções também podem ser obtidas paraG∞. Veja, por exem-plo, [4].

Versões da função de Green para problemas de difração bidimensionais também sãodisponíveis.

3.4 Solução

Podemos agora usar os resultados das duas últimas seções para escrever uma forma maisenxuta da solução do problema de difração.

Já vimos que a função de Green de superfície livre se comporta como 1/R em x = ξ,que é a solução fundamental da equação de Laplace. ComoG−1/R é regular, temos entãoque

∆G = δξ, (38)

8

onde δ é a distribuição delta de Dirac. Substituindo (38) na segunda identidade deGreen (27) para φS , temos

φS(x) =1

4π

∫∂D

(φS(ξ)

∂G

∂n(x; ξ)−G(x; ξ)

∂φS∂n

(ξ)

)dσξ. (39)

Como φS eG satisfazem a condição de fundo (9) e de superfície livre (22), as contribuiçõesem (39) das integrais sobre F e B se anulam. Além disso, diferenciando em relação aosargumentos x, y, z, vemos que não apenas G, mas ∂G

∂r também satisfaz a condição (35).Logo, a integral sobre o cilindro imaginário Cρ, onde ∂G

∂n = ∂G∂r , tende a zero quando

ρ→∞. Logo

limρ→∞

1

4π

∫Cρ

(φS(ξ)

∂G

∂n(x; ξ)−G(x; ξ)

∂φS∂n

(ξ)

)dσξ = 0. (40)

Assim, na água, como φS = limρ→∞ φS , temos

φS(x) =1

4π

∫S

(φS(ξ)

∂G

∂n(x; ξ)−G(x; ξ)

∂φS∂n

(ξ)

)dσξ. (41)

Diferenciando sob o simbolo da integral em (41), comoG e ∂G∂r satisfazem (35), tem-se que

φS satisfaz também a condição de radiação.A expressão (41) é uma fórmula integral fornecendo a solução φS para todos os pontos

x da água. A integral nesta fórmula é apenas sobre os pontos da superfície molhada Sdo obstáculo. Como G e sua derivada são conhecidos e ∂φS

∂n = −∂φinc∂n é dado, a única

incógnita no integrando éφS(ξ), para ξ ∈ S.

Portanto φ na superfície molhada do obstáculo for encontrada, usando a fórmula (41) tem-se

φS(x), para todo x ∈ D,

que é a solução procurada.Fazendo x → p ∈ S em (41), teríamos φS definida em S, em ambos os lados desta

fórmula, transformando-a assim em uma equação. De fato, este limite pode ser tomado coma cautela de observar que o então chamado potencial de camada dupla

µ(x) =1

4π

∫S

(φS(ξ)

∂G

∂n(x; ξ)

)dσξ

é descontínuo em x = ξ. Precisamente, temos o salto:

limx→p

µ(x) = µ(p)− 1

2φS(p). (42)

Esta propriedade é uma consequência do seguinte resultado clássico da teoria do potencial:∫S

(∂

∂n

1

4πR

)dσ = −1

2, p ∈ S.

9

Agora, à luz do resultado (42), de (41), obtém-se

1

2φS(p) =

1

4π

∫S

(φS(p)

∂G

∂n(p; ξ)−G(p; ξ)

∂φS∂n

(p)

)dσξ. (43)

Ou seja,1

2φS(p) = f(p) +

1

4π

∫SφS(p)

∂G

∂n(p; ξ) dσξ, p ∈ S, (44)

ondef(p) =

1

4π

∫SG(p; ξ)

∂φS∂n

(p) dσξ.

A expressão (44) é uma equação integral de Fredholm do segundo tipo para φS em S. Aparte do integrando ∂G

∂n (p; ξ) é dita núcleo da equação integral.A solução do problema de difração, onde o obstáculo é mantido fixo, é dada por (41),

onde φS(ξ) é obtido resolvendo (44), que pode ser feito por métodos numéricos. Maisinformações sobre tais métodos serão dadas na seção 10.

3.5 Frequências irregulares

Na seção anterior o problema de difração, dado por equações diferenciais, foi reformuladoem termos de uma fórmula e equação integrais. Pode-se agora questionar se a equaçãointegral encontrada é unicamente solúvel.

Em seu trabalho original, John [3] mostrou que existem valores de λ = ω2

g tais que

1

2φS(p)− 1

4π

∫SφS(p)

∂G

∂n(p; ξ) dσξ = 0, p ∈ S, (45)

tem soluções não triviais. Isso implica que não há unicidade para (44) para tais valores deλ. Este valores são ditos frequências irregulares, nome este que destaca a relação de λ coma frequência ω, presente na condição de superfície livre (22) e o caráter irregular, defeituosodo problema integral para estes valores singulares. Note também que λ é o número de ondapara o problema linear em águas profundas.

Felizmente existem maneiras de modificar a equação integral para reconquistar a unici-dade da solução do problema de difração. Um método consiste em modificar o domínio daintegral em (44) enquanto outra opção envolve a modificação do núcleo da equação integral,mantendo o domínio.

Para especificar o primeiro método, seja FS a interseção de F com o obstáculo. Oteorema a seguir, demonstrado por Kleinman [5], observa que se resolvermos em vez daequação integral (44), a equação

1

2φS(p) = f(p) +

1

4π

∫S∪FS

φS(p)∂G

∂n(p; ξ) dσξ, p ∈ S ∪ FS , (46)

teremos unicidade para a solução.

Teorema (Kleinman) Se φS é uma solução do problema de difração dado por (3), (9),(21), (22) e (23), então em S, φS(p) = ψ(p), para p ∈ S, onde ψ satisfaz a equaçãointegral (46) e esta equação tem, no máximo, uma solução.

10

3.6 Amplitude de espalhamento

A amplitude de espalhamento representa as variações direcionais das ondas que são es-palhadas pelo obstáculo e que se encontram longe deste, no chamado far field. É naturalportanto iniciar a análise pela expressão (34), que representa o comportamento assintóticode G para r grande.

Usando as coordenadas polares

(x, y) = r0(cos θ, senθ) (ξ, η) = ρ0(cosϕ, senϕ)

e aproximando r por

r =√r2

0 + ρ20 − 2r0ρ0 cos(θ − ϕ) ≈ r0 − ρ0 cos(θ − ϕ),

para r0 ρ0, obtém-se de (34) que

G ≈ 2πiB0√(π/2)k0r0

cosh k0(z + h) cosh k0(ζ + h)

× ei(k0r0−π/4−ik0ρ0 cos(θ−ϕ)).

Substituindo em (41), tem-se que

φesp(x) ≈ B0 i

√2

πk0r0cosh k0(z + h)ei(k0r0−π/4)

× H(

cosh k0(z0 + h)e−ik0ρ0 cos(θ−ϕ)),

onde H é o funcional de Kochin, definido por

H(f(ξ)) =

∫S

(φesp

∂f

∂n− ∂φesp

∂nf

)dσξ.

Assim, a amplitude de espalhamento é definida como

D(θ) = B0 i e−iπ/4H

(cosh k0(z0 + h)e−ik0ρ0 cos(θ−ϕ)

)(47)

e satisfaz

φesp(x) ≈√

2

πk0r0D(θ) cosh k0(z + h) eik0r0 quando r0 →∞.

A expressão (47) destaca, entre outras coisas, que conhecendo φesp apenas sobre o obstá-culo, pode-se calcular a amplitude de espalhamento.

Pode-se definir também a seção reta de espalhamento por

%(θ) = |D(θ)|2

e a seção reta de espalhamento total por

Q =

∫ 2π

0%(θ) dθ.

Outros parâmetros de interesse em Engenharia Oceânica que podem ser obtidos a partirde φesp no obstáculo são as forças de excitação induzidas pelas ondas no obstáculo. Estasforças serão mencionadas novamente, dando suas definições, na próxima seção.

11

4 O problema de radiação

Suponha agora que o obstáculo se movimenta com seis graus de liberdade. Sejam ξ1, ξ2, ξ3

os deslocamentos de translação do obstáculo ao longo dos eixos x, y e z e ξ4, ξ5, ξ6 osmovimentos de rotação do obstáculo em torno dos mesmos eixos. Chama-se estes 6 mo-vimentos de surge, sway, heave, roll, pitch e yaw, respectivamente. O movimento de umponto s, orginalmente em r0 = (x, y, z) no obstáculo, assumido rígido, pode ser escritocomo

s = (ξ1, ξ2, ξ3) + ω × r0, (48)

onde × denota produto vetorial e ω = (ξ4, ξ5, ξ6).Assumindo estes movimentos como harmônicos simples no tempo com frequência ω,

defina potenciais φi, j = 1, 2, . . . , 6 tais que

φrad =

6∑j=1

ξjφj(x, y, z) (49)

represente o potencial de velocidades devido às velocidades

Uj(t) = Re(iωξjeiωt, j = 1, 2, . . . , 6,

induzidas pelos seis movimentos do obstáculo. Seguem de (48) e (49) então, as seguintescondições de contorno S

∂φj∂n

= i ω nj , j = 1, 2, 3, (50)

∂φj∂n

= i ω (r0 × n)j−3, j = 4, 5, 6, (51)

onde n é o vetor normal unitário interno em S.A função Reφjeiωt representa o potencial de velocidade devido ao modo de movi-

mento de obstáculo rígido j com amplitude 1. As condições (50) em conjunto com a equa-ção de Laplace, a condição de contorno de fundo (9), a condição de superfície livre (22) ea condição de radiação (23) definem problemas de radiação. Suas soluções descrevem asondas que se propagam devido aos movimentos executados pelo obstáculo. Quantidadesintegradas dos potenciais φj fornecem forças e momentos sobre o obstáculo, como seráanalisado na próxima seção.

5 Forças e momentos

O conhecimento das forças e momentos a que são submetidos corpos flutuantes e/ou sub-mersos na presença de ondas oceânicas é um tópicio de grande interesse, principalmentepara engenheiros oceânicos e arquitetos navais. O tratamento matemático feito neste ca-pítulo permite agora avaliar e calcular os efeitos sofridos por estes corpos. Uma hipótesefundamental que foi feita é que a superfície molhada do obstáculo é limitada, ou seja nãose estende indefinidamente em uma ou mais direção. Aqui, portanto, o obstáculo pode re-presentar por exemplo um navio, uma plataforma de petróleo, componentes de pontes, ou

12

estruturas menos ortodoxas hoje existentes, como aeroportos flutuantes, bases para lança-mento de foguetes e bases militares flutuantes.

Os resultados baseados em ondas planas progressivas, oriundas da teoria linear não sãodesprovidos de interesse físico. Pode-se, contudo, questionar a sua utilidade em situaçõesonde o estado do mar é extremamente irregular e pouco parecido com uma forma senoi-dal. A descrição, contudo, de uma superfície oceânica irregular, no entanto, pode ser feitasomando soluções do problema linear.

Os vetores força F e momento M atuando no obstáculo devido à pressão P exercidapela água podem ser escritos como

F =

∫∫S

P n dσ, (52)

M =

∫∫S

P (r0 × n) dσ. (53)

Da equação de Bernoulli e de (19), desprezando termos não lineares, temos a seguintefórmula para a pressão.

P = −ρ(gz +

∂Φ

∂t

)= −ρgz − ρRe

(φinc + φesp + φrad) iwe

iωt.

Assim, de (52, 53) e (49), segue que os seis componentes dos vetores força e momentopodem ser escritos como[

FM

]= −ρ g

∫∫S

[n

r0 × n

]z dσ

− ρRe i ω eiωt∫∫S

[n

r0 × n

](φinc + φesp) dσ.

− ρRe6∑j=1

i ω ξjeiωt

∫∫S

[n

r0 × n

]φj dσ. (54)

As integrais em (54) representam as forças e momentos lineares atuando no obstáculo.A primeira integral do lado direito de (54) é a componente hidrostática enquando que asegunda integral é a força e momento de excitação induzidos pela onda incidente. A últimaintegral fornece a carga hidrodinâmica devida aos modos de movimento do obstáculo e podeser interpretada em termos da massa adicional e amortecimento, a serem especificados aseguir.

Observe que as forças e momentos podem ser calculadas uma vez conhecidos os poten-ciais de velocidade apenas em S; não há necessidade de conhecê-los no domínio da água.

13

6 Massa adicional e amortecimento de radiação

Usando as condições de contorno (50) em (54), pode-se escrever a componente i da partehidrodinâmica de (F ,M) como

F i = Re

6∑j=1

ξjeiωtfij

, i = 1, 2, . . . , 6, (55)

ondefij = −ρ

∫∫S

∂φi∂n

φj dσ (56)

é uma função complexa representando a força na direção i devido ao modo de movimentocom amplitude 1 na direção j. Escrevendo esta função como

fij = ω2Aij − i ωBij , (57)

definimos a matrix de massa adicional e a matrix de amortecimento de radiação como Aije Bij , respectivamente. Existe um total de 36 valores de massa adicional e 36 amortecimen-tos. Estes coeficientes são funções da frequência ω, da forma e das seis velocidades Uj doobstáculo assim como da profundidade da água e do contorno do domínio.

Para trazer mais clareza às interpretações físicas deAij e Bij , note que se pode tambémexpressar a força (55) como

F i = −6∑j=1

(Aij

dUjdt

+ BijUj). (58)

O termo Aij é conhecido como massa adicional visto que que representa a força proporci-onal à aceleração dUj

dt do modo de movimento j do obstáculo ao passo que a parte de Fiproporcional à velocidade do mesmo modo favorece a nomenclatura de amortecimento paraBij .

7 Obstáculos circulares submersos e integrais hipersingulares

Pode agora ser perguntado o que ocorreria com a formulação integral do problema de di-fração se o obstáculo tiver uma espessura muito pequena. Tão pequena que aproximá-lopor um corpo sem volume seja apropriado. Considere ainda o obstáculo submerso. O queaconteceria com o seu vetor normal, por exemplo ?

Na figura 1, se vê a representação de uma plataforma do tipo spar usada pela indústriado petróleo para extração em mar aberto. Note que esta estrutura possui quilhas finas. Taiscomponentes desta plataforma são exemplos concretos de aplicações para o caso de estudodesta seção. Vemos nesta figura uma discretização adaptada para um método computacionalque trata de forma especial as quinas nas bordas das quilhas e o fundo do cilindro.

Nesta seção será visto que estas condições geométricas requerem modificações na for-mulação integral desenvolvida anteriormente. Esta situação, contudo, favorece o uso deuma estratégia matemática bastante elegante, por intermédio de integrais hipersingulares.

14

Figura 1. Plataforma spar padrão.

-10

-8

-6

-4

-2

0

V3

-1

0

1

V1

-1

0

1

V2

X Y

Z

Fonte: Elaborada pelo Autor.

Considere um corpo rígido e fino com sua superfície S completamente submersa abaixoda superfície livre em águas profundas. Assumimos que S é uma superfície suave, abertacom fronteira suave ∂S. A formulação diferencial do problema de difração é quase idênticacom uma distinção na condição de fundo (9), agora substituída por

φ→ 0, quando z →∞. (59)

A condição de contorno no obstáculo pode ser escrita como

∂φ

∂n= V (60)

para uma função V prescrita. Desta forma, a formulação tanto pode representar o problemade difração como de radiação.

Usando a função de Green para águas profundas, dada por (36), pode-se expressar opotencial de velocidades como

4πφ(p) =

∫S+∪S−

(φ(ξ)

∂G

∂n(p, ξ)−G(p, ξ)

∂φ(ξ)

∂n

)dSξ. (61)

Denota-se os dois lados do obstáculo por S+ e S− e a integração em (61) é sobre ambosos lados deste corpo. Denota-se também por ∂

∂n± a derivada normal em um ponto em S±

na direção de S± para a água e p±,ξ± são pontos correspondentes em S±. Além disso,φ(ξ±) := limx→ξ± φ(x). Usando o fato que ∂φ

∂n é contínua através de S, tem-se

∂φ(ξ+)

∂n+= −∂φ(ξ−)

∂n−,

15

de tal forma que∫SG(p, ξ)

∂φ

∂ndSξ =

∫SG(p, ξ)

(∂φ(ξ+)

∂n++∂φ(ξ−)

∂n−

)dSξ = 0.

Então

4πφ(p) =

∫S+∪S−

φ(ξ)∂G(p, ξ)

∂ndSξ

=

∫S+∪S−

φ(ξ+)∂G(p, ξ+)

∂n++ φ(ξ−)

∂G(p, ξ−)

∂n−dSξ.

Como G é contínua através de S,

4πφ(p) =

∫S

(φ(ξ+)− φ(ξ−))∂G(p, ξ+)

∂n+dSξ

=

∫S

[φ]∂G(p, ξ+)

∂n+dSξ, (62)

onde [φ] = φ(ξ+)− φ(ξ−). Aplicando a condição de contorno no obstáculo (60),

∂φ(p)

∂n+p

=1

4π

∂

∂n+p

∫S

[φ]∂G(p, ξ)

∂n+

ξ

dSξ = V (p+).

Pode ser obtida uma expressão análoga se p→ S−. Logo

1

4π

∂

∂np

∫S

[φ]∂G(p, ξ)

∂nξdSξ = V (p), p ∈ S. (63)

Esta é uma equação íntegro-diferencial a ser resolvida sujeita à condição de borda

[φ] = 0 em ∂S, (64)

pois [φ] é discontínua apenas através do obstáculo e não na água. Trocando a ordem deintegração com diferenciação normal em (63) produz uma integral hipersingular. Tal pro-cedimento é legítimo contanto que a integral resultante seja interpretada como uma integralde parte-finita de Hadamard (ver seção 7.1). Assim,

1

4π×∫S

[φ]∂2G(p, ξ)

∂np∂nξdSξ = V (p), p ∈ S, (65)

que deve ser resolvida sujeita à condição de borda (64). A cruz indica que esta é umaintegral hipersingular.

7.1 Parte finita de Hadamard

Integrais hipersingulares fazem parte da classe das integrais de parte finita (finite-part inte-grals), originalmente concebidas pelo matemático francês Jacques Hadamard em seu traba-lho de 1923 entitulado Lectures on Cauchy’s Problem in Linear Partial Differential Equa-tions, republicado pela Dover Phoenix Editions [6].

16

Supondo que f ′ é uma função Hölder-contínua, f ∈ C1,β , a integral unidimensional departe finita é definida como

×∫ b

a

f(t)

(x− t)2dt = lim

ε→0

∫ x−ε

a

f(t)

(x− t)2dt+

∫ b

x+ε

f(t)

(x− t)2dt− 2f(x)

ε

. (66)

Uma relação com o valor principal de Cauchy pode ser expresso como

d

dx−∫ b

a

f(t)

x− tdt = −×

∫ b

a

f(t)

(x− t)2dt. (67)

Integrais de parte finita para funções de duas variáveis, sobre superfícies suaves em R3

podem ser definidas de várias formas, todas equivalentes. Assuma que Ω é uma regiãoplana, limitada no plano-xy. Então para f ∈ C1,α, pode-se definir a integral hipersingularem (65) por

×∫

Ωf(ξ, η)

dΩ

R3= lim

z→0

∂

∂z

∫Ωf(ξ, η)

limζ→0

∂

∂ζ

(1√

R2 + (z − ζ)2

)dΩ,

onde dΩ = dξ dη. Ou analogamente a (66), por

×∫

Ωf(ξ, η)

dΩ

R3= lim

ε→0

∫Ω\Ωε

f(ξ, η)dΩ

R3− 2πf(x, y)

ε

,

onde Ωε é um pequeno disco de raio ε centrado no ponto singular (x, y).

7.2 O núcleo para superfícies planas

A equação integral hipersingular (65) é aplicável a superfícies suaves S de qualquer forma.Simplificações consideráveis são obtidas se S for plano. Denote o núcleo de (65) por

H =∂2G

∂np∂nq.

Esta é uma função explícita mas complicada. Decomponha G em suas partes singular eregular como G = Gs +Gr, onde

Gs = [R2 + (z − ζ)2]−1/2 and Gr = G−Gs.

Será de utilidade decompor H similarmente como H = Hs +Hr.Seja n(p) = (n1, n2, n3) o vetor normal unitário em p ∈ S+. Como S+ é plana,

n(q) = n(p). Então tem-se

∂2Gs∂np∂nq

=1

|p− ξ|3− 3

|p− ξ|5n · (p− ξ)2 , (68)

onde p e ξ são os vetores posição de p e ξ, respectivamente. Como, no entanto, p− ξ é umvetor no plano do obstáculo, segue que n · (p− ξ) = 0 e

Hs = |p− ξ|−3. (69)

17

O resultado (69) vale para obstáculos planos com qualquer orientação. Pode-se calcularHr para tais obstáculos, mas o cálculo é bem mais simples quando o obstáculo é horizontal,como agora será assumido. Neste caso, |p− ξ| = R.

Gr pode ser escrita na forma

Gr = −∫ ∞

0

k + λ

k − λek(z+ζ)J0(kR) k. + 2πiλ eλ(z+ζ) J0(λR), (70)

onde a integral deve ser interpretada como um valor principal de Cauchy. Defina coordena-das admensionais X e Z por

X = λR and Z = −λ(z + ζ). (71)

Note que como z and ζ são negativos, ambos X e Z são não negativos. Então, umasimples mudança de variáveis de integração fornece

Gr = λF (X,Z) + 2πiλ e−ZJ0(X), (72)

ondeF (X,Z) = −

∫ ∞0

ν + 1

ν − 1e−νZJ0(νX) dν. (73)

Note que a integral semi-infinita em (70), que é relacionada com a principal tarefa de avaliarGr, é agora expressa como uma função F das duas variáveisX e Z. Usando a transformadade Laplace, não é difícil mostrar que

F (X,Z) = (X2 + Z2)−1/2 − πe−Z(H0(X) + Y0(X))

− 2

∫ Z

0et−Z(X2 + t2)−1/2 t., (74)

onde H0 é a função de Struve e Y0 é a função de Bessel do segundo tipo de ordem 0.Como o obstáculo é horizontal, segue que n(p) = n(q) = (0, 0, 1), logo

Hr =∂2Gr∂z2

= −(∂2

∂x2+

∂2

∂y2

)Gr.

Como J0(kR) satisfaz a equação de Helmoltz bidimensional, obtém-se

Hr =

∫∫k + λ

k − λek(z+ζ)k2J0(kR) dk.

Agora, como k2 = λ2 + (k − λ)(k + λ), vemos que

Hr = λ2Gr +

∫ ∞0

(k2 + 2λk + λ2) ek(z+ζ)J0(kR) dk.

Este resultado também pode ser obtido diferenciando (70) duas vezes com respeito a z. Aintegral que sobrou pode ser calculada por∫ ∞

0e−kY J0(kR) k. = (R2 + Y 2)−1/2, Y > 0,

18

derivando em relação a Y . O resultado é

Hr = λ2Gr + λ3

3Z2

(X2 + Z2)5/2+

2Z − 1

(X2 + Z2)3/2+

1

(X2 + Z2)1/2

. (75)

Em resumo, a equação integral hipersingular (65) pode ser escrita como

1

4π×∫S

[φ(q)]

1

R3+Hr(p, q)

S. q = V (p), p ∈ S, (76)

onde S é plana horizontal de qualquer forma e Hr é dada por (75). A equação (76) deve serresolvida sujeita à condição (64). Embora uma integral hipersingular possa passar a idéiade difícil solução, este não é o caso. Como será a seguir, pode-se encontrar uma maneirade avaliar esta integral analiticamente e construir um método para aproximar a solução daequação integral hipersingular.

7.3 O método de expansão-colocação

7.3.1 Comentário sobre a teoria unidimensional

Em duas dimensões, vários problemas de ondas envolvendo obstáculos finos podem serreduzidos a uma equação da forma

×∫ 1

−1

1

(x− t)2+H(x, t)

v(t) dt = f(x) for −1 < x < 1, (77)

suplementada por duas condições de contorno, por exemplo v(−1) = v(1) = 0. Aqui, v is afunção incógnita, f é dada e o nucleo H é conhecido. Assumindo que f é suficientementesuave, a solução v vai a zero como raiz quadrada no pontos extremos. Isto sugere queescrevamos

v(x) =√

1− x2 u(x).

Assim, expandimos u usando um conjunto de polinômios ortogonais; uma boa escolha éusar polinômios de Chebyshev do segundo tipo, Un, definidos como

Un(cos θ) =sin (n+ 1)θ

sin θ, n = 0, 1, 2, . . . .

Esta é uma boa escolha por causa da fórmula

1

π×∫ 1

−1

√1− t2 Un(t)

(x− t)2dt = −(n+ 1)Un(x). (78)

Assim, aproxime u porN∑n=0

anUn(x),

substituímos em (77) e avalia-se a integral hipersingular analiticamente, usando (78). Paraachar os (N + 1) coeficientes an, escolhe-se (coloca-se) (N + 1) pontos; boas escolhas,que garantem convergência da aproximação, são os zeros de TN+1 ou UN+1, onde Tn é umpolinômio de Chebyshev do primeiro tipo.

19

7.3.2 O método para integrais bidimensionais

Um método para resolver a equação integral hipersingular (76) será descrito para quando Sfor um disco horizontal circular. Sejam (r, θ, z) coordenadas cilíndricas tais que x = r cos θe y = r sin θ. Então o disco é dado por

S = (r, θ, z) : 0 ≤ r < a,−π ≤ θ < π, z = −d . (79)

Esse obstáculo tem raio a e está submerso a uma distância d abaixo da superfície livre;pode-se tomar a = 1 sem perda de generalidade.

Considere um procedimento de expansão-colocação em que a função incógnita é ex-pandida por séries de Fourier em θ, e os coeficientes de Fourier (que dependem de r) sãoexpandidos usando funções de Legendre. Esta abordagem pode ser vista como uma gene-ralização do método unidimensional para resolver equações integrais hipersingulares compolinômios de Chebyshev, descrito anteriormente.

Se ξ = s cosα, η = s sinα e ζ = −d é escrito, tem-se

R3 = [r2 + s2 − 2rs cos (θ − α)]3/2.

Então, pode-se escrever (76) como

1

4π×∫S

[φ(s, α)]

1

R3+Hr(r, θ; s, α; d, λ)

s ds dα = V (r, θ), (80)

com (r, θ) ∈ S e sujeita à condição

[φ] = 0 em r = 1. (81)

Note que a parte hipersingular, R−3, não depende da profundidade de submersão (or orien-tação) do obstáculo. Além disso, todos os efeitos de ondas estão incluídos em Hr.

Para fins de simplicidade, assumimos que V (r, θ) é uma função par de θ. Assim, aequação integral (80) implica que [φ(r, θ)] é uma função par de θ. Expandiremos estafunção usando as funções base Bm

k , definidas por

Bmk (r, θ) = Pmm+2k+1(

√1− r2) cosmθ, k,m = 0, 1, . . . ,

onde Pmn é uma função associada de Legendre. A parte radial destas funções base podetambém ser expressada em termos de polinômios de Gegenbauer.

As funções Bmk são ortogonais sobre o disco unitário em relação ao peso (1−r2)−1/2:∫

SBmk (r, θ)Bn

l (r, θ)r dr dθ√1− r2

= 2σmδmn

∫ 1

0Pmm+2k+1(ρ)Pmm+2l+1(ρ) dρ

=σmδmnδkl

m+ 2k + 3/2Omk ,

20

onde δij é o delta de Kronecker,

Omk =(2m+ 2k + 1)!

(2k + 1)!,

σm = π/2 se m > 0 e σ0 = π; no último passo, usamos o fato de que o integrando é umafunção de ρ e as relações ortogonais para as funções associadas de Legendre.

A próxima fórmula, descoberta por Krenk [7, 8] é essencial para a construção do mé-todo. Ele permite a avaliação analítica da integral hipersingular:

1

4π×∫S

1

R3Bmk (s, α) s ds dα = Cmk

Bmk (r, θ)√1− r2

, (82)

ondeCmk = −π

4

[Pm+1m+2k+1(0)

]2/Omk .

A fórmula (82) pode ser interpretada como uma versão bidimensional de (78).Para fazer uso de (82), expanda [φ] em termos das funções Bm

k . Abreviadamente, es-creva

[φ] ≈N∑k,m

amk Bmk :=

N1∑k=0

N2∑m=0

amk Bmk . (83)

Substituindo (83) na equação integral (80) e assim avaliando as integrais hipersingularesusando (82), obtém-se

N∑k,m

amk

Cmk

Bmk (r, θ)√1− r2

+1

4π

∫SBmk (s, α)Hr(r, θ; s, α; d, λ) sdsdα

= V (r, θ), (r, θ) ∈ S. (84)

Resta agora saber como determinar os coeficientes amk .Uma possível abordagem é usar o Método de Galerkin: multiplicar (84) por Bn

l (r, θ) eintegrar sobre S para obter

anlσnC

nl O

nl

n+ 2l + 3/2+

1

4π

N∑k,m

amk

∫SBnl (r, θ)

×∫SBmk (s, α)Hr(r, θ; s, α; d, λ) sdsdα rdrdθ =

∫SV Bn

l dS.

A principal desvantagem deste método é a integral quádrupla; é possível avaliar algumasdestas integrais analiticamente para certas configurações mas para um método mais geralpodemos usar o método de colocação no qual a avaliação de (84) em (N1 + 1)(N2 + 1)pontos no disco gera um sistema linear para os coeficientes amk , que pode ser resolvidoeficientemente de forma numérica.

Problemas considerando um disco muito perto da superfície livre apresentam frequên-cias ressonantes. No caso de um disco plano horizontal, o problema pode ser formulado emtermos de integrais unidimensionais (veja [9]).

21

Nos casos distintos em que S não for plano ou se S é plano, mas não um disco circular,ainda pode-se usar a técnica anteriormente descrita perturbando a fronteira de S e fazendouma transformação conforme de S para o disco, respectivamente. Veremos descrições re-sumidas destas técnicas para resolver estes dois problemas nas duas seções seguintes.

8 Obstáculos com rugosidade

Considere o caso agora em que a superfície do disco submerso seja perturbado fora do planohorizontal. Nosso ponto de partida é a equação governante (80). Assuma que

S : z = F (x, y)− d, (x, y) ∈ D,

e que V (p) = n3, onde n3 é componente vertical do vetor normal unitário a S. Esta hipótesesobre V caracteriza o problema de radiação de ondas com o disco executando movimentosverticais, ou seja, o movimento de heaving (veja a seção 4).

Agora suponha que F (x, y) = εf(x, y) onde ε é um parâmetro pequeno e f é indepen-dente de ε. A notação seguinte notação será usada.

w(x, y) = [φ(q)]. (85)

Assumindo uma expansão para w na forma

w = w0 + εw1 + ε2w2 + .... (86)

Ziebell e Farina [10] mostraram que (80) pode ser reduzida a uma sequência de equaçõesintegrais na forma

1

4π

∫×Sw0dA

R3+

1

4π

∫SHr w0 dA = 1, (87)

1

4π

∫×Sw1dA

R3+

1

4π

∫SHr w1 dA = − 1

4π

∫S

(W10 +W01)w0 dA, (88)

1

4π

∫×Sw2dA

R3+

1

4π

∫SHr w2 dA = − 1

4π

∫×SK2w0

dA

R3

− 1

4π

∫S

(W02 +W11 +W20)w0 dA

− 1

4π

∫S

(W01 +W10)w1 dA

+1

2

(∂f2

∂x(x, y) +

∂f2

∂y(x, y)

). (89)

onde os núcleos K2 e Wij dependem de f e são dados em [10]. Note que a solução doproblema de ordem zero recupera a solução do problema para o disco plano, visto que (87)é igual à equação governante (80), com V = 1. As soluções de (88) e (89) fornecerão asolução aproximada de ordem ε2 ao problema do disco rugoso. A Figura 2 exibe o aspectode um disco rugoso analisado por Ziebell e Farina [10]. Os autores calcularam aproxima-ções para a massa adicional e amortecimento para o disco rugoso executando movimentososcilatórios verticais.

22

Figura 2. Aspecto de um disco rugoso, analisado em [10]

−1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

1

0.23

0.2

0.17

(c2)

Fonte: Ziebell e Farina [10].

9 Obstáculos não circulares

A fim de considerar um obstáculo plano não circular, suponha que Ω é dado por

Ω = (r, θ) : 0 ≤ t < ρ(θ), −π ≤ θ < π.

Assim, a fronteira, ∂Ω é dada por r = ρ(θ). Definimos o mapeamento entre o domínio Ωno plano complexo z = x+ iy e o disco unitário S : |ζ| < 1, por

z = af(ζ) para |ζ| < 1,

onde a é uma escala de comprimento para Ω. Martin [11] mostrou que se este mapeamentofor conforme, a hipersingularidade em (80) será preservada. Precisamente, teremos

R = |z − z0| = a|f(ζ)− f(ζ0)| ≈ a|f ′(ζ0)|Υ,

para Υ pequeno, onde Υ = |ζ = ζ0| e

a3R−3 = |f ′(ζ)|−3/2|f ′(ζ0)|−3/2(Υ−3 +K(ζ, ζ0)) (90)

onde o núcleo K é dado por

K(ζ, ζ0) =|f ′(ζ)|3/2|f ′(ζ0)|3/2

|f(ζ)− f(ζ0)|3− 1

|ζ − ζ0|3.

É demonstrado em [11], que K tem apenas uma singularidade fraca. Então, de fato, omapeamento conforme preserva a hypersingularidade de ordemR−3 através do termo Υ−3,presente em (90)

O jacobiano desta transformação é a2|f ′(ζ)|2. Usando a notação

ζ = ξ + iη = seiα, ζ0 = ξ0 + iη0 = s0eiα0 ,

23

tem-sedΩ = dx dy = a2|f ′(ζ)|2 dξ dη = a2|f ′(ζ)|2s ds dα.

Fazendo

w(x(ζ), y(ζ)) = a|f ′(ζ)|−1/2W (ξ, η), V (x(ζ0), y(ζ)) = |f ′(ζ0)|−3/2V(ξ0, η0)

eHr(x(ζ), y(ζ)) = a−3|f ′(ζ)|−3/2 Hr(ζ, ζ0),

a equação governante (80), agora para objeto não circular Ω, se torna

1

4π×∫S

W (ξ, η)

Υ3dξ dη +

1

4π

∫SW (ξ, η)K(ζ, ζ0) dξ dη

+1

4π

∫SW (ξ, η)Hr(ζ, ζ0) dξ dη = V(ξ0, η0). (91)

Este equação deve ser resolvida sujeita à condição de que W = 0 para s = 1. A soluçãoW dará a descontinuidade do potencial de velocidade através do obstáculo.

10 Aplicações em atividades offshore

Atividades industriais, científicas, comerciais e militares no mar, fora da costa (ou offshore,em inglês) envolvem grandes estruturas flutuantes ou submersas cuja segurança e eficáciadependem de suas respostas às ondas. Se o objeto está fixo e apoiado no fundo do mar oupreso por linhas de ancoramento este absorverá parte de energia das ondas e espalhará asondas difratadas. Se a estrutura é presa com graus de liberdade, esta oscila e irradia ondas.Como se dá a interação das ondas com estas estruturas offshore e o efeito causado nelaspode ser examinado mediante a teoria de difração desenvolvida neste capítulo. Há anosa indústria do petróleo desenvolve atividades de exploração de petróleo e gás em águasprofundas, sendo o Brasil um dos líderes mundiais nesta tecnologia. Entre os vários tiposde plataformas, existem as fixas e estendendo-se até o fundo do mar. Estas estruturas sãodenominadas de Gravity Base Structures, GBS. Não há portanto forças como massa adicio-nal e amortecimento de radiação. Plataformas situadas em profundidades superiores usamoutro sistema para fixá-las. Um exemplo é a plataforma de tensão (Tension Leg Platform,TLP) que possui usualmente quatro colunas (pernas) flutuantes que são presas por cabosaté o fundo do mar, que elimina quase todo o seu movimento vertical. Parâmetros comomassa adicional e forças de excitação definidos nas seções 5 e 6 têm papéis importantes naanálise e design de estruturas offshore. A insuficiência deste tipo de tratamento científico-tecnológico pode causar grandes danos e prejuízos, como o recente caso da platarformaTLP Mars na passagem do furacão Katrina nos EUA (ver figura 3). Esta plataforma foiprojetada para suportar ondas de até 22 m e ventos de até 225 km/h simultaneamente. Ascondições geradas pelo Katrina superaram estas estimativas de condições atomsféricas eoceanográficas extremas.

Plataformas flutuantes para lançamento de satélites são uma outra aplicação offshoreque requerem o conhecimento detalhado do comportamento de estruturas flutuantes no mar.

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Figura 3. Plataforma TLP Mars antes e após a passagem do furacão Katrina em agosto de 2005.

Fonte: Internet.

Existe uma classe de estruturas no oceano que se destaca por suas dimenões não usuais.Por vezes denominadas de estruturas flutuantes muito grandes (Very Large Floating Struc-tures, VLFS), podem assumir alguns quilômetros de comprimento e estão ainda em fase detestes e modelagem. Um exemplo já relativamente bem conhecido deste tipo de estruturasão as pontes flutuantes, em particular em países como Noruega e Japão. Devido à escas-sez de espaço em grandes cidades, aeroportos flutuantes são projetados com 5 quilômetrosde comprimento e testados com modelos reais de 1 quilômetro. Bases militares móveis(Mobile Offshore Base, MOB) com em torno de 2 quilômetros de extensão são projetadas

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para permitir diversas funções militares no mar. Aeroportos flutantes e MOBs localizadosem águas com profundidade maior que 400 metros estão livres de catástrofes originadas deterremotos e tsunamis.

Cidades flutuantes podem ser uma alternativa no futuro para a demanda de espaço empaíses como o Japão onde várias cidades flutuantes já foram propostas por diferentes coor-porações.

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11 Considerações finais

Uma descrição da teoria de propagação de ondas lineares foi feita. Apresentações dos pro-blemas de radiação e espalhamento de ondas foram conduzidas e uma ênfase foi dada aocaso de obstáculos submersos e com espessura infinitesimal. Tal configuração pode sertratada por meio de equações integrais hipersingulares. Possíveis aplicações em atividadesoffshore são enumeradas. Os problemas de interação de ondas com obstáculos finos sub-mersos circulares, rugosos, assim como com obstáculos não circulares planos também sãoestudados. Problemas semelhantes envolvendo obstáculos com fronteiras fractais podemser tratados com os métodos aqui descritos. Observa-se também que determinados proble-mas em elasticidade, notadamente aqueles envolvendo fraturas finas, podem ser abordadose tratados pelo método de expansão-colocação apresentado neste trabalho.

Agradecimentos

Juliana Ziebell manifesta apreço ao CNPq pela bolsa fornecida durante a execução destetrabalho. Leandro Farina conduziu parte deste trabalho enquanto membro do projeto FP7-295217 - HPC-GA, financiado pela União Europeia.

Referências

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