INTERDISCIPLINARIDADE ENTRE MATEMÁTICA E QUÍMICA: PARA ... · PARA ALÉM DA GEOMETRIA MOLECULAR...

Divisão de Ensino de Química da Sociedade Brasileira de Química (ED/SBQ) Departamento de Química da Universidade Federal de Ouro Preto (DEQUI/UFOP)

XVII Encontro Nacional de Ensino de Química (XVII ENEQ) Ouro Preto, MG, Brasil – 19 a 22 de agosto de 2014.

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INTERDISCIPLINARIDADE ENTRE MATEMÁTICA E QUÍMICA: PARA ALÉM DA GEOMETRIA MOLECULAR

Maria de Fátima T. Gomes1* (PQ) e Haroldo Candal da Silva2 (IC)

[email protected]

1Depto de Química Geral e Inorgânica, Instituto de Química, Universidade do Estado do Rio de Janeiro

2Licenciatura em Química, Instituto de Química, Universidade do Estado do Rio de Janeiro.

Palavras-Chave: sólidos platônicos, estruturas cristalinas, raios atômicos

RESUMO:

O PAPEL INSTRUMENTAL E FORMATIVO DA MATEMÁTICA NO ENSINO-APRENDIZAGEM DE QUÍMICA É INDUBITÁVEL. AMBAS SE CARACTERIZAM POR UTILIZAR LINGUAGENS SIMBÓLICAS PRÓPRIAS CUJA ASSIMILAÇÃO É

INDISPENSÁVEL PARA COMPREENDÊ-LAS. NESTE TRABALHO RELATAMOS TRÊS PROJETOS ESCOLARES DE

PESQUISA DESENVOLVIDOS NO ÂMBITO DO SUBPROJETO PIBID-QUÍMICA-UERJ, QUE VISARAM RETRATAR INTER-RELAÇÕES ENTRE ESSAS DUAS CIÊNCIAS. NO PRIMEIRO, “SÓLIDOS PLATÔNICOS”, BUSCAM-SE NA HISTÓRIA E

FILOSOFIA DA CIÊNCIA OS ARGUMENTOS QUE RELACIONAM A MATEMÁTICA A INDAGAÇÕES SOBRE A NATUREZA

DA MATÉRIA. NO SEGUNDO, A GEOMETRIA DOS SÓLIDOS CRISTALINOS É INVESTIGADA TEORICAMENTE E

EXPERIMENTALMENTE. NO TERCEIRO PROJETO, USAM-SE CONCEITOS DA GEOMETRIA ESPACIAL, RELACIONADOS

AOS CÁLCULOS DE ÁREAS E VOLUMES DE SÓLIDOS GEOMÉTRICOS, PARA FAZER A DETERMINAÇÃO PRÁTICA DOS

RAIOS ATÔMICOS DO ALUMÍNIO, ZINCO E COBRE. OS PRODUTOS FINAIS DOS PROJETOS FORAM APRESENTADOS

EM UMA FEIRA DE CIÊNCIAS E ALGUNS RESULTADOS SÃO AQUI APRESENTADOS E DISCUTIDOS.

INTRODUÇÃO

As atuais Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (BRASIL, MEC,

2013) preconizam que o currículo deve contemplar quatro áreas de conhecimento, a saber: Linguagens, Matemática, Ciências da Natureza (Biologia, Física e Química) e Ciências Humanas. Há uma recomendação explicita para que esta organização por áreas não dilua nem exclua “componentes curriculares com especificidades e saberes próprios construídos e sistematizados” (p. 196), mas pelo contrário, que as relações entre eles sejam fortalecidas mediante o uso de metodologias de ensino que privilegiam a contextualização e a interdisciplinaridade ou outras formas de interação e articulação. Em 2013, ano Internacional da Matemática, buscamos investigar com um grupo de licenciandos participantes do Subprojeto Pibid de Química da UERJ, as inter-relações existentes entre as ciências – Matemática e Química – visando o planejamento de atividades para serem desenvolvidas na escola parceira. O “papel instrumental” da Matemática, isto é, seu uso como uma ferramenta aparece muito claramente nas tarefas cotidianas, assim como na resolução de problemas específicos não só de Química, mas de diferentes áreas do conhecimento e em, praticamente, todas as atividades humanas. O aprendizado em Matemática no Ensino Médio também desempenha um “papel formativo”, ao contribuir para o “desenvolvimento de processos de pensamento e a aquisição de atitudes” (BRASIL, MEC, 2000, p. 40).



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A Matemática possui uma linguagem formalizada que utiliza um sistema próprio de códigos e regras que permite comunicar ideias, modelar a realidade e interpretá-la. O aprendizado da Matemática requer a apropriação pelo indivíduo dessa linguagem simbólica, que foi socialmente construída ao longo da história da humanidade, e esse processo é normalmente lento e trabalhoso. Mortimer (2010, p. 189), ao comparar narrativas da linguagem cotidiana e da linguagem científica, aponta que as dificuldades enfrentadas pelos alunos em transitar entre elas “podem estar na origem de muitos problemas de aprendizagem das disciplinas científicas da Educação Básica”, e, muito provavelmente, a essas se somam as dificuldades de tradução da linguagem científica para a linguagem Matemática. Não raro, o fracasso dos estudantes nas disciplinas que requerem um maior domínio da formalização matemática se deve a esta não ter sido, de fato, assimilada e compreendida por eles. A Química como a Matemática, se caracteriza por utilizar uma linguagem simbólica própria e sua assimilação é indispensável para a compreensão dessa ciência. Desse modo, entre as competências e habilidades primeiras a serem desenvolvidas no Ensino Médio estão “traduzir a linguagem discursiva em linguagem simbólica da Química e vice-versa” e “traduzir a linguagem discursiva em outras linguagens usadas em Química: gráficos, tabelas e relações matemáticas” (BRASIL, MEC, 2000, p. 39). Neste sentido, fica evidente a necessidade de integrar os conteúdos dessas duas áreas numa perspectiva interdisciplinar. A existência de uma relação estreita entre as áreas de Matemática e Química está clara nos procedimentos que devem ser desenvolvidos no aprendiz, no que diz respeito aos domínios da investigação e compreensão, detalhados nas Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN+), dos quais destacamos: “identificar as informações ou variáveis relevantes em uma situação-problema e elaborar possíveis estratégias para equacioná-la ou resolvê-la”; “identificar regularidades e invariantes” nas interações e transformações químicas; selecionar e utilizar instrumentos de cálculo e “instrumentos para medidas de massa, temperatura, volume, densidade e concentração”; “compreender e fazer uso apropriado de escalas” (de instrumentos como termômetros, balanças e indicadores de pH); “fazer estimativas, elaborar hipóteses e interpretar resultados” partindo de “relações entre massas, energia ou intervalos de tempo em transformações químicas”, etc. (BRASIL, MEC, 2002, p. 90 e 91). Essas relações evidenciam não só o papel instrumental da Matemática no ensino-aprendizagem de Química, mas também o seu papel formativo ao “ajudar a estruturar o pensamento e o raciocínio dedutivo” (BRASIL, MEC, 2000, p. 40). Numa perspectiva de iniciação à pesquisa, como princípio pedagógico de integração de conhecimentos interdisciplinares e contextualizados, delineamos, em conjunto com bolsistas Pibid, projetos escolares que valorizam a investigação, a leitura, a produção escrita e a produção artística em contextos que apresentam relações explícitas entre as áreas de Química e Matemática e, em especial, com a Geometria. A Geometria, talvez a mais antiga manifestação da atividade matemática, originara-se no Egito, segundo Heródoto, e teria surgido da necessidade prática de fazer novas medidas de terras após cada inundação anual no vale do rio Nilo (BOYER, 2002). Apesar do caráter abstrato de seus conceitos, a Geometria tem muitas aplicações em inúmeros aspectos práticos da vida diária e também em diversas áreas do



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conhecimento como Engenharia, Arquitetura, Astronomia, Física, Biologia, Química, Artes, Desportos, etc. No ensino de Química, os conceitos de Geometria são utilizados principalmente no estudo dos arranjos dos átomos nas moléculas (formas das moléculas). Noções de geometria molecular são apresentadas, quase sempre, no primeiro ano do Ensino Médio e requerem dos alunos níveis de abstração acentuados e conhecimentos específicos sobre formas geométricas, poliedros e simetria. A compreensão dos conceitos matemáticos e químicos envolvidos pode ser facilitada mediante a realização de oficinas de planificação e montagem de poliedros (tetraedro, octaedro, bipirâmide trigonal) e de construção de modelos moleculares tipo bola e vareta, especialmente quando se utilizam as relações entre os raios dos átomos constituintes da substância cuja estrutura se quer representar. Neste trabalho apresentamos os desenhos de três propostas de projetos escolares que foram concretizados no âmbito do Subprojeto Pibid-Química, da UERJ, com alunos do Colégio Estadual Professor Ernesto Faria, localizado no bairro de São Cristovão, no município do Rio de Janeiro, com o objetivo de desenvolver habilidades matemáticas e de despertar neles um maior interesse pela Química.

METODOLOGIA

O desenvolvimento de projetos escolares possibilita a abordagem de diversos temas (científicos, sociais, ambientais, políticos, etc.) transversalmente aos conteúdos conceituais, além de dar aos alunos oportunidades de planejar e executar trabalhos e pesquisas. Como estratégia de ensino favorece o aprendizado de conceitos, atitudes e procedimentos, especialmente, quando as atividades são desenvolvidas em grupo, o que irá requerer a divisão de trabalho e responsabilidades e, o compartilhamento de ideias. Martins (2007, p.97) define projeto escolar de pesquisa como:

uma atividade didática de ensino-aprendizagem, organizada dentro dos princípios da metodologia da ciência, destinada a pesquisar um fato, estudar um assunto, realizar um trabalho, individualmente ou em grupo, pela aplicação de procedimentos específicos, visando a obter certos resultados ou confeccionar um produto final.

Dentre as recomendações do autor para professores que pretendam orientar projetos escolares de pesquisa destacamos (p. 41 e 42):

- incentivar atividades que desenvolvam o espírito crítico e o gosto dos alunos pela investigação, a partir de coisas bem simples;

- realizar constantemente ações que visem à aquisição de conhecimentos e à aprendizagem por meio de questionamentos;

- sistematizar o trabalho escolar com base em princípios científicos, fugindo da rotina e da improvisação;

- favorecer o crescimento do espírito solidário dos alunos pelo trabalho em grupo e pela troca e discussão de ideias.

Para desenvolver os projetos, a partir de uma temática previamente escolhida pelo professorado da escola, planejamos as ações descritas a seguir, implantadas não necessariamente nesta ordem:

(i) levantamento das concepções prévias dos estudantes sobre o tema por meio de questionamentos orais ou escritos;



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(ii) exposição do tema (a partir da leitura comentada de um texto, ou da apresentação de um seminário, ou da exibição de vídeo ou de fotos, etc.);

(iii) formulação de uma ou mais questões de pesquisa sobre o tema e sua apresentação aos estudantes;

(iv) realização de atividade experimental (opcional, em alguns casos) e abordagem dos conceitos químicos relacionados (resgatando alguns conceitos e apresentando novos, quando se faz necessário);

(v) acompanhamento e avaliação da aprendizagem dos alunos no decorrer do projeto por meio das perguntas formuladas por eles e pelas suas respostas aos questionamentos feitos pelo professor;

(vi) socialização dos resultados na forma de relatos orais e escritos, apresentação de cartazes, maquetes, etc.

A partir daqui, detalhamos três projetos de pesquisa desenvolvidos com alunos

do segundo ano do Ensino Médio, visando retratar a interdisciplinaridade entre a Química e a Matemática. No primeiro, “Sólidos platônicos”, buscam-se na História e Filosofia da Ciência os argumentos que relacionam a Matemática a indagações sobre a natureza da matéria. No segundo, a geometria dos sólidos cristalinos é investigada teoricamente e experimentalmente. No terceiro projeto, usam-se conceitos da Geometria espacial, relacionados aos cálculos de áreas e volumes de sólidos geométricos, para fazer a determinação prática dos raios atômicos de alguns metais. PROJETO I: SÓLIDOS PLATÔNICOS O ARGUMENTO

A Matemática e os primórdios das indagações sobre a natureza da matéria, que evoluíram para investigações no campo da Física e da Química, têm pontos em comum em suas origens filosóficas na Grécia antiga. Tales de Mileto, frequentemente denominado de o “primeiro matemático verdadeiro” e a quem é atribuída a origem da demonstração dedutiva na Geometria (BOYER, 2002, p.32), também teria sido o primeiro filósofo a advogar a existência de um “elemento básico”. Tales teria afirmado que todas as coisas são feitas de água. Mas, para Anaximenes, seu conterrâneo e sucessor, a existência de qualquer forma de matéria poderia ser explicada por processos de condensação e rarefação do ar. Xenófanes de Cólofon declara-se pela terra: “Da terra vêm todas as coisas, e à terra todas as coisas regressam” (CALADO, 2012, p. 368). Já para Heráclito de Éfaso, “Todas as coisas podem se transformar em fogo e o fogo em todas as coisas” (RUSSEL, 2001, p.41). Empédocles formulou a doutrina dos quatro “elementos” ou “substâncias” imutáveis: fogo, terra, ar e água, denominando-os de “raízes de todas as coisas” (idem, p.48). Pitágoras de Samos, conhecido como o pai da Matemática, criou uma sociedade secreta que se distinguiu, dentre outras particularidades, pelas suas bases matemáticas e filosóficas. É atribuída aos pitagóricos, a construção das “figuras cósmicas” ou sólidos geométricos (BOYER, 2002, p. 34) e o estabelecimento das bases de uma teoria matemática da constituição da matéria, na qual os “elementos” fogo, terra, ar e água aparecem associados, respectivamente, às formas dos polígonos regulares tetraedro, cubo, octaedro e icosaedro (figura 1).



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Figura 1: Os elementos: tetraedro - fogo, cubo - terra, octaedro - ar e icosaedro - água.

Os polígonos regulares também foram chamados “sólidos platônicos” devido à maneira pela qual Platão, em seu diálogo intitulado Timeu, os associou aos quatro “elementos” de Empédocles para explicar o mundo material, físico e biológico. Em seu “atomismo matemático ou geométrico”, Platão (384 - 348-7 a.C) considera os quatro elementos como corpos geométricos constituídos de triângulos retângulos de dois tipos: o escaleno, formado pela metade de um triângulo equilátero, e o isósceles, formado pela metade de um quadrado. As partículas do fogo (tetraedro) teriam pontas aguçadas que penetrariam nos outros corpos. A fluidez da água (icosaedro) se deveria ao seu formato, quase esférico, que a permite rolar e correr facilmente. A transformação de um “elemento” em outro, corresponderia à decomposição desse corpo em seus triângulos constituintes, seguida de uma reorganização (RUSSEL, 2001). Fogo – tetraedro. Cada uma das faces de um tetraedro regular, que é um triângulo equilátero, é feita por seis triângulos retângulos, formados com suas alturas. Assim, Platão pensava o tetraedro regular como formado por 24 (4 faces x 6) triângulos retângulos escalenos. (Figura 2a).

Terra – cubo. Cada uma das faces de um cubo, que é um quadrado, é feita por quatro triângulos retângulos. O cubo seria formado por 24 (6 faces x 4) triângulos retângulos isósceles. (Figura 2b).

(2a) (2b) Figura 2: visualização de seis triângulos retângulos em um triângulo equilátero e de quatro

triângulos retângulos em um quadrado.

Ar – octaedro. Cada uma das oito faces de um octaedro regular, que é um triângulo equilátero, é feita por seis triângulos retângulos, formados com suas alturas. O octaedro regular seria formado por 48 (8 x 6) triângulos retângulos escalenos.

Água – icosaedro. Cada uma das 20 faces de um icosaedro regular, que é um triângulo equilátero, é feita por seis triângulos retângulos. Assim, Platão pensava o icosaedro regular como formado por 120 (20 x 6) triângulos retângulos escalenos.

Platão considerou o dodecaedro, quinto sólido regular, formado por doze faces pentagonais, como o símbolo do universo. Quando Aristóteles (384 -322 a.C) adicionou um quinto “elemento”, o éter ou quinta essência, aos quatro já existentes, o dodecaedro passou a ser usado para representá-lo (CALADO, 2012).



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Demócrito de Abdera, que viveu por volta de 420 a.C, e atualmente é mais conhecido como um filósofo grego que se preocupou em desvendar a natureza da matéria e que propôs uma doutrina materialista, o atomismo, adquiriu em seu tempo também grande reputação como geômetra (BOYER, 2002, p. 54). Para Demócrito todos os fenômenos deveriam ser explicados em termos de átomos rígidos infinitamente pequenos e variados (em tamanho e forma) que se movem incessantemente no espaço vazio. Este mundo e outros teriam se formado pela ordenação ou coagulação de átomos segundo suas semelhanças. Essas ideias não eram totalmente novas, pois já haviam sido sugeridas por Leucipo. OBJETIVOS E METODOLOGIA

O projeto teve por objetivo levar os alunos a buscarem informações sofre a origem da Geometria e sobre as primeiras indagações filosóficas sobre a natureza da matéria. As seguintes questões foram fornecidas para nortear o trabalho:

Quais são as origens da Geometria?

O que são poliedros de Platão?

Que relação Platão estabeleceu entre as classes de poliedros e os “elementos” terra, água, fogo e ar?

Os alunos foram incentivados a fazer planificações em cartolina e montagens de sólidos geométricos, associando-os aos “elementos” fogo, terra, ar e água. Em outro momento, foram solicitados a identificar na natureza características geométricas como a simetria e os polígonos e poliedros regulares e irregulares e, a apresentar os registros de suas observações. A Química usa polígonos e poliedros para modelar o arranjo dos átomos em diferentes materiais. A molécula de enxofre, S8, apresenta uma estrutura cíclica não-planar na forma de uma coroa; na molécula de fósforo branco, P4, os átomos estão distribuídos nos vértices de um tetraedro e no grafite, os átomos de carbono estão organizados num arranjo hexagonal plano. Sugerimos como atividade complementar a esse projeto, investigações sobre as diferentes formas alotrópicas desses elementos. PROJETO II: A GEOMETRIA DOS SÓLIDOS CRISTALINOS O ARGUMENTO

No ensino de Química são poucas as oportunidades de se abordar a estrutura dos sólidos cristalinos. Por outro lado, é comum nos surpreendermos com a regularidade dos cristais de quartzo, com suas faces planas, e não há como não admirar um belo cubo de pirita ou macrocristais de sulfato de cobre hidratado. A regularidade macroscópica decorre de uma simetria interna: as faces planas dos cristais devem-se ao empilhamento regular das partículas que o constituem. Em um cristal, átomos, íons ou moléculas se empilham tridimensionalmente segundo um padrão ou unidade que se replica indefinidamente. Esse padrão é denominado célula unitária, e corresponde “a menor unidade que, quando empilhada repetidamente sem lacunas, pode reproduzir o cristal inteiro” (ATKINS & JONES, 2012, p. 188). Todos os cristais são classificados, de acordo com suas características geométricas, em um dos sete sistemas cristalinos, denominados de cúbico, tetragonal, ortorrômbico, hexagonal, trigonal (ou romboédrico), monoclínico e triclínico (Figura 3).



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a

aa

c

a

a

c

ab a

120o

c

a

c

aba

a a

a

c

b

(3a) (3b) (3c) (3d)

(3e) (3f) (3g)

Figura 3: Os sete sistemas cristalinos: (3a) cúbico, (3b) tetragonal, (3c) ortorrômbico, (3d) hexagonal, (3e) trigonal, (3f) monoclínico e (3g) triclínico.

A tabela 1 apresenta os comprimentos (a, b, c) e os ângulos (, , ), conhecidos como parâmetros de rede, que definem o tamanho e a forma de uma célula unitária (SHRIVER & ATKINS, 2008, p. 46).

a/2

Tabela 1: Os sete sistemas cristalinos

Sistema Parâmetros de rede da célula unitária

Comprimentos Ângulos

Cúbico a = b = c = = = 90°

Tetragonal a = b c = = = 90°

Ortorrômbico a b c = = = 90°

Hexagonal a = b c = 120°

Trigonal a = b = c = = 90°

Monoclínico a b c 90° = 90°

Triclínico a b c 90°

Os cristais de cloreto de sódio, quartzo e sulfato de cobre cristalizam, respectivamente, nos sistemas cristalinos cúbico, trigonal e triclínico. O enxofre, S8, apresenta dois alótropos, um que cristaliza no sistema ortorrômbico e outro, no monoclínico. Alguns sistemas cristalinos admitem mais de uma classe de célula unitária. Para o sistema cúbico, por exemplo, existem três tipos de células unitárias: a cúbica simples, a cúbica de corpo centrado e a cúbica de face centrada. O cristal de sal-gema (cloreto de sódio) apresenta uma estrutura cúbica de face centrada.



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OBJETIVOS E METODOLOGIA

O projeto teve por objetivo chamar a atenção dos alunos para dois tipos de sólidos, os cristalinos e os amorfos, e para as características internas que os diferencia. Para orientar a pesquisa a ser realizada pelos alunos foram formuladas as seguintes questões:

O que diferencia sólidos cristalinos de sólidos amorfos?

Que materiais existentes na natureza ou de uso cotidiano apresentam aspecto cristalino?

Um material aparentemente amorfo pode apresentar-se com aspecto cristalino quando visto ao microscópio? E vice-versa?

O que você entende por rede cristalina?

As respostas dos alunos foram discutidas em sala de aula e o tema foi aprofundado com a apresentação de figuras dos sistemas cristalinos e de fotos de alguns cristais. Usando bolas de isopor, palitos e cola ou massa de modelar e palitos foram construídas células unitárias de diferentes classes e redes cristalinas do cloreto de sódio, do quartzo e do diamante. Experimentos de obtenção de cristais, a partir da evaporação de soluções supersaturadas de sais, complementaram a atividade (MATEUS, 2005).

PROJETO III: COMO PODEMOS DETERMINAR O TAMANHO DO ÁTOMO? O ARGUMENTO

O conteúdo programático raio atômico é, geralmente, apresentado aos alunos quando são abordadas as propriedades periódicas dos elementos químicos. Os tamanhos dos átomos, expostos como dados, fazem pouco sentido para os alunos e raramente é mencionado que métodos são utilizados para determiná-los. De forma memorística, os alunos retém a informação que, “em uma tabela periódica, os raios atômicos, em geral, decrescem da esquerda para a direita em um período e crescem de cima para baixo em um grupo”. Registrar mentalmente essa informação passa a ser essencial para citar ou resolver exercícios repetitivos sobre como variam propriedades periódicas tais como, energia de ionização e afinidade eletrônica.

O experimento de determinação do raio atômico de alguns metais, proposto Simoni e Tubino (1999), como afirmam os próprios autores, tem como aspecto marcante levar os alunos a perceber o que representa o tamanho do átomo e o significado de estrutura cristalina de um sólido. A interdisciplinaridade entre a Química, Física e Matemática já presente no referido artigo foi ampliada visando envolver um maior número de conceitos da Geometria. OBJETIVOS E METODOLOGIA

A ideia principal do projeto foi contextualizar conceitos da Geometria espacial relacionados aos cálculos de áreas e volumes de sólidos geométricos com a determinação prática de raios atômicos dos metais alumínio, zinco e cobre. Em um primeiro momento, os alunos foram solicitados a buscar respostas para as questões:

Qual é a ordem de grandeza do tamanho de um átomo?



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Qual seria a unidade de comprimento mais adequada para expressar o seu tamanho?

Se não é possível ver um átomo, como os cientistas determinam seu tamanho?

Todos os átomos têm o mesmo tamanho? Por quê? De que depende o tamanho de um átomo?

Em um segundo momento os alunos receberam amostras de três sólidos metálicos, alumínio, zinco e cobre, em formatos geométricos diferentes. Os alunos foram questionados sobre como determinar quantos átomos de metal havia em cada amostra e também sobre como ‘descobrir’ o volume ocupado por cada um destes átomos. Depois foram solicitados a propor uma maneira de determinar os raios dos átomos de alumínio, zinco e cobre. Para responder a pergunta sobre o volume ocupado por cada átomo de metal nas amostras, foram consideradas as hipóteses I e II.

(I) Não há espaço vazio entre os átomos. Assim sendo, o volume da amostra

metálica dividido pelo número total de átomos do metal que a constitui fornece o volume de cada átomo (VA). Considerando que o átomo é uma esfera (Modelo Atômico de Dalton), é possível determinar seu raio (R).

Volume (esfera) = 4/3 R3

(II) Há espaços vazios entre os átomos. Como modelo explicativo considerou-se que o sólido metálico é formado pelo empilhamento tridimensional de cubos - células unitárias cúbicas simples. É fácil demonstrar matematicamente que se cada átomo dos oito vértices do cubo é compartilhado por oito cubos vizinhos, apenas, um oitavo de cada átomo dos vértices ‘pertence’ a uma célula unitária, logo há um átomo (8 vértices x 1/8 de átomo) em cada uma dessas células (ATKINS & JONES, 2012, p. 188). Portanto, o número de átomos (N) é igual ao número de células unitárias e o volume da célula unitária cúbica é igual ao próprio volume VA. Considerando ainda que o átomo é uma esfera e que está inscrito no cubo, pode-se determinar o raio do átomo, uma vez que a aresta do cubo é igual ao diâmetro da esfera (SIMONI & TUBINO, 1999).

Volume (cubo) = aresta3 = a3

Volume (cubo) = 8R3

Figura 4: átomo inscrito na célula unitária cúbica simples de aresta a.

A partir das massas das amostras metálicas (em gramas) e do conceito de mol foram determinados valores de N (número de átomos existentes nas amostras). Usando um



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paquímetro, os alunos coletaram dados relativos às dimensões das amostras e utilizaram os conceitos de Geometria espacial para determinar os volumes dos sólidos. Partindo das duas hipóteses foram determinados os volumes atômicos (VA) pelas

fórmulas V = 4/3R3 (hipótese I) e V = 8R3 (hipótese II). Os valores obtidos foram comparados com os valores de referência (SHRIVER & ATKINS, 2008, p. 46).

A SOCIALIZAÇÃO DOS RESULTADOS

Os projetos foram delineados para serem desenvolvidos por alunos de uma turma do segundo ano, divididos em três grupos com, em média, sete componentes. Coube aos estudantes a divisão das tarefas e a realização dos procedimentos: buscas em diferentes fontes de informação, planificações de poliedros, montagens de sólidos geométricos e de estruturas cristalinas e execução dos experimentos. O trabalho realizado deveria ser socializado e seus produtos finais exibidos na Feira de Ciências, o que demandou que os estudantes também elaborassem textos e cartazes para exposições orais. As figuras 4 e 5 exibem imagens de cartazes e estruturas feitas com massas de modelar e palitos, relativos aos projetos I e II.

Figura 4: dois cartazes do projeto “A geometria dos sólidos cristalinos”.

Figura 5: à esquerda, cartaz sobre a rede cristalina do NaCl e sua montagem com massa de modelar e palitos; à direita estrutura da molécula do enxofre (S8) e o sistema cristalino hexagonal.



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Os resultados do projeto III, também apresentados na Feira de Ciências pelos estudantes, são descritos a seguir. Admitindo a hipótese I (não há espaços vazios entre os átomos), os raios atômicos (RI) calculados para o Al, Zn e Cu foram, respectivamente, iguais a 158pm, 154pm e 141pm. Admitindo a hipótese II (há espaços vazios entre os átomos), os raios atômicos (RII) calculados para o Al, Zn e Cu foram, respectivamente, iguais a 128pm, 124pm e 114pm. Os valores de referência apresentados para os raios atômicos Al, Zn e Cu são, respectivamente iguais a 143pm, 137pm e 128pm. A tabela 2 resume os resultados obtidos. Tabela 2: Comparação entre os raios atômicos determinados experimentalmente, admitindo-se as hipóteses I e II, e os valores de referência para amostras de alumínio, zinco e cobre.

Metal M (g) V (L) N VA (L) RA (I) (pm)

RA (II) (pm)

R ref (pm)

Al 8,48 3,14.10-3 1,89.1023 1,66.10-26 158 128 143

Zn 7,38 1,05.10-3. 6,79.1022 1,54.10-26 154 124 137

Cu 28,13 3,14.10-3 2,67.1023 1,18.10-26 141 114 128

Onde: M = massa da amostra; V = volume da amostra; N = número de átomos; VA = volume atômico;

RA (I) = raio atômico calculado admitindo-se a hipótese I; RA (II) = raio atômico calculado admitindo-se a hipótese II e R ref= valores de referência de raios atômicos.

Erros randômicos podem ter ocorrido devido à irregularidade da amostra ou pela pouca precisão dos instrumentos, mas foram obtidos resultados com menos de 13% de erro relativo, para mais e para menos. Os alunos surpreenderam-se com a proximidade dos resultados obtidos com os valores esperados, pois a resposta da terceira questão proposta a eles mostrava que as técnicas para a determinação de raios atômicos são bem mais elaboradas e utilizam equipamentos muito mais sofisticados que apenas, balança, paquímetro e calculadora. O experimento permitiu perceber a importância da formulação de hipóteses na busca de se estabelecer conexões entre conceitos teóricos e dados práticos visando à proposição de modelos explicativos para a natureza da matéria. Os modelos não são a própria realidade, mas tentativas de aproximação dela. Ao consideramos a hipótese I, de que não há espaços vazios entre os átomos, obtêm-se valores calculados de raios atômicos superiores aos de referência (determinados experimentalmente com técnicas sofisticadas, que acreditamos fornecerem dados mais próximos da realidade). Ao considerarmos a hipótese II, em que os átomos ocupam os vértices de uma célula unitária cúbica simples (um modelo de estrutura mais aberta, ou seja, em que a matéria está menos compactada), obtêm-se valores calculados de raios atômicos inferiores aos de referência. Os resultados sugerem, pois que é necessário fazer novas conjecturas.



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CONCLUSÕES

O trabalho com projetos é uma estratégia pouco comum em nossas escolas, em particular, no Ensino Médio, etapa da Educação Básica que, infelizmente, continua visando principalmente os processos seletivos para ingresso no Ensino Superior. Isto traz uma dificuldade inicial para executá-lo porque é necessário vencer a inércia dos estudantes que estão muito acostumados a receber a informação pronta. Por outro lado, é necessário que eles estejam motivados intrinsecamente e também habilitados para buscar as informações e tratá-las. Entretanto, com uma frequência bem maior que a esperada pelos professores, isto não ocorre, e se torna um dos principais fatores que leva o aluno ao desânimo. Neste caso, o papel do professor é fundamental. É preciso que ele ajude os alunos a vencerem essa barreira, orientando-os rumo à autonomia. Durante o andamento dos projetos aqui descritos, ficou claro, para os estudantes, o papel instrumental da Matemática na proposição de modelos explicativos para as estruturas dos materiais. O fato dos projetos terem sido desenvolvidos visando à apresentação de seus produtos em uma Feira de Ciências gerou nos alunos um senso de apropriação sobre o conhecimento construído e a responsabilidade por sua transmissão à comunidade escolar. AGRADECIMENTOS

Agradecemos à Professora Denise Gutman Almada a possibilidade de desenvolver os projetos nas aulas de Química e também a Capes pela ajuda financeira e concessão de bolsas Pibid.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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