ESTATÍSTICA Aula 4- Medidas de Posição Prof. Dra. Denise Candal.

ESTATÍSTICA

Aula 4- Medidas de Posição

Prof. Dra. Denise Candal

ESTATÍSTICA

Medidas de Posição – AULA4

Conteúdo Programático desta aula

Medidas de Posição:

Média Mediana Moda Quartis

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Concentração de Valores

Em uma distribuição, podemos identificar tendências com relação a maior concentração de valores.

Se esta concentração se localiza no inicio, meio ou fim, ou ainda se existe uma distribuição por igual.

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Elementos Típicos da Distribuição

Conceitos que nos ajudam a determinar as tendências de concentração

ElementosMedidas de Posição

Medidas de Variabilidade ou Dispersão

Medidas de AssimetriaMedidas de Curtose

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Medidasde

Posição

Medidasde

Tendência Central

MédiaMediana

Moda

SeparatrizesMedianaQuartis

PercentisAs medidas de posição são estatísticas

que nos orientam quanto a posição em relação ao eixo horizontal.

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Medidas de DispersãoMedidas

DeVariabilidade

Ou Dispersão

Amplitude TotalVariância

Desvio PadrãoCoeficiente de

Variação

As medidas de dispersão mostram o grau de afastamento dos valores observados em relação àquele valor representativo.

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Assimetria

As medidas de assimetria possibilitam analisar uma distribuição de acordo com as relações entre suas medidas de moda, média e mediana, quando observadas graficamente.

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Medida de CurtoseCurtose é o grau de achatamento de uma distribuição

com relação a uma distribuição padrão, dita normal.

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• Dados não agrupados

• Dados agrupados sem intervalos de classe

• Dados agrupados com intervalos de classe

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A produção leiteira diária de uma vaca, durante uma semana, foi de 10,14,13,15,16,18 e12 litros.

http://www.powerofthepens.com/myimages/Vaca_Voadora.jpg

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Distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos. Número de

Meninosfi

01234

2610124

∑=34

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ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE

A - 2007

ESTATURAS(cm)

FREQUÊNCIA

154 —׀ 150158 —׀ 154162 —׀ 158166 —׀ 162170 —׀ 166174 —׀ 170

49

11853

total 40

Dados fictícios.

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ESTATÍSTICA


Medidasde

Posição

Medidasde

Tendência Central

MédiaMediana

Moda


Percentis

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Medidasde

Posição

Medidasde

Tendência Central

MédiaMediana

Moda


PercentisAs medidas de posição são estatísticas

que nos orientam quanto a posição em relação ao eixo horizontal.

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Medidasde

Posição

Medidasde

Tendência Central

MédiaMediana

Moda


Percentis

Medidas de tendência central são aquelas nas quais os dados observados tendem a se agrupar em torno dos valores centrais.

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Medidasde

Posição

Medidasde

Tendência Central

MédiaMediana

Moda


Percentis

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Média: Dados não AgrupadosMédia aritmética simples

n

xx i

Valores da variável

Número de valores

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Desvio em relação a Média

Desvio em relação a média (di): diferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a média aritmética .

xxd ii

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Exemplo 1: Vaca


Determine a produção média da semana.Determine também o desvio em relação a média dos

valores dados.

http://images.google.com/imgres?imgurl=http://gustavocoles.com/cam/vaca.jpg&imgrefurl=http://gustavocoles.com/cam/&usg=__g2D4IX8urcO1cnI8Yqt00jeLaYg=&h=660&w=1000&sz=679&hl=en&start=311&um=1&itbs=1&tbnid=XZXTpv6Eho_3OM:&tbnh=98&tbnw=149&prev=/images?q=vaca&start=300&um=1&hl=en&sa=N&ndsp=20&tbs=isch:1

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14

7

987

12181615131410

x

x

x

n

xx i

Exemplo 1: Vaca

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ESTATÍSTICA


14x

21412

41418

21416

11415

11413

01414

41410

77

66

55

44

33

22

11

xxd

xxd

xxd

xxd

xxd

xxd

xxd

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Média: Dados Agrupados• Frequências indicam a intensidade de

cada variável: funcionam como fatores de ponderação (média aritmética ponderada).

• Média Ponderada: é a média de um conjunto de dados cujas entradas têm pesos variáveis.

w

xwx

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Média: Dados Agrupados Sem Intervalos de Classe

i

ii

f

fxx

Variável da i-ésima classe

Frequência absoluta da i-ésima classe

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Média: Dados Agrupados Com Intervalos de Classe

Dados organizados em distribuição de freqüência

i

ii

f

fxx

Ponto médio da i-ésima classe

Frequência absoluta da i-ésima classe

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Exemplo 2: FilhosConsidere a distribuição relativa a 34 famílias

de quatro filhos, considerando como variável o número de filhos do sexo masculino. Determine a média aritmética ponderada da distribuição.Número de

meninosf i

01234

2610124

∑=34

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Número de meninos xi

f i xi fi

01234

2610124

∑=34 ∑=

i

ii

f

fxx

Média ?

Exemplo 2: Filhos

ESTATÍSTICA



f i xi fi

01234

2610124

06203616

∑=34 ∑=78

i

ii

f

fxx

Média

Exemplo 2: Filhos

ESTATÍSTICA



f i xi fi

01234

2610124

06203616

∑=34 ∑=78

Média

Exemplo 2: Filhos

3,234

78

i

ii

f

fxx

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Exemplo 3: Alturas

Determine a média das alturas.

ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007

ESTATURAS(cm)

FREQUÊNCIA

154 —׀ 150158 —׀ 154162 —׀ 158166 —׀ 162170 —׀ 166174 —׀ 170

49

11853

total 40

Dados fictícios.

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ESTATURAS

(cm)

FREQUÊNCIAfi

PONTO MÉDIO xi xifi

154 —׀ 150158 —׀ 154162 —׀ 158166 —׀ 162170 —׀ 166174 —׀ 170

4911853

total 40 ∑=

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No Excel

43

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No Excel

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ESTATURAS

(cm)

FREQUÊNCIAfi


154 —׀ 150158 —׀ 154162 —׀ 158166 —׀ 162170 —׀ 166174 —׀ 170

4911853

total 40 ∑=

ESTATÍSTICA



ESTATURAS

(cm)

FREQUÊNCIAfi


154 —׀ 150158 —׀ 154162 —׀ 158166 —׀ 162170 —׀ 166174 —׀ 170

4911853

152156160164168172

total 40 ∑=

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ESTATURAS

(cm)

FREQUÊNCIAfi


154 —׀ 150158 —׀ 154162 —׀ 158166 —׀ 162170 —׀ 166174 —׀ 170

4911853

152156160164168172

608140417601312840516

total ∑=40 ∑=6440

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ESTATURAS

(cm)

FREQUÊNCIAfi


154 —׀ 150158 —׀ 154162 —׀ 158166 —׀ 162170 —׀ 166174 —׀ 170

4911853

152156160164168172

608140417601312840516

total ∑=40 ∑=6440

16140

6440

i

ii

f

fxx

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Medidasde

Posição

Medidasde

Tendência Central

MédiaMediana

Moda


Percentis

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ModaO valor da variável que aparece em maior

frequência em uma série de valores.

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Moda: Dados não AgrupadosUm conjunto de dados pode ter:• Nenhuma moda (amodal) – nenhum valor

aparece mais vezes que outros.• Uma moda (unimodal) • Duas ou mais modas (multimodal) – dois ou mais

valores de concentração.

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Moda: Dados não AgrupadosO valor da variável de maior frequência

Exercício 1: VacaA produção leiteira diária de uma vaca, durante

uma semana, foi de 10,14,13,15,16,18 e12 litros. Determine a moda.

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Moda: Dados Agrupados Sem Intervalo de Classe

O valor da variável de maior frequência

Exercicio 2:FilhosModa?

Número de meninos

f i

01234

2610124

∑=34

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Moda: Dados Agrupados Com Intervalo de Classe

• Classe modal: a classe que apresenta maior frequencia.

• Moda bruta: valor resultante do método mais simples para o cálculo da moda – toma-se o ponto médio da classe modal.

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Graficamente, a moda é o valor de x para o qual y é máximo.

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f i xi fi

01234

2610124

06203616

∑=34

∑=78

Considere a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, considerando como variável o número de filhos do sexo masculino.

Exemplo 2: Filhos

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f i xi fi

01234

2610124

06203616

∑=34 ∑=78

Classe Modal

Moda= 3

Exemplo 2: Filhos

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ESTATURAS

(cm)

FREQUÊNCIAfi


154 —׀ 150158 —׀ 154162 —׀ 158166 —׀ 162170 —׀ 166174 —׀ 170

4911853

152156160164168172

608140417601312840516

total ∑=40 ∑=6440Exercício 3: Alturas

ESTATÍSTICA



ESTATURAS

(cm)

FREQUÊNCIAfi


154 —׀ 150158 —׀ 154162 —׀ 158166 —׀ 162170 —׀ 166174 —׀ 170

4911853

152156160164168172

608140417601312840516

total ∑=40 ∑=6440Moda= 160

Exemplo 3: Alturas

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Medidasde

Posição

Medidasde

Tendência Central

MédiaMediana

Moda


Percentis

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Mediana• A mediana é um valor central de um rol,

ou seja, a mediana de um conjunto de valores ordenados (crescente ou decrescente) é a medida que divide este conjunto em duas partes iguais.

• Dado um conjunto ordenado de valores, mediana é o o valor situado de tal maneira que este valor separa o conjunto em dois subconjuntos com mesmo numero de elementos.

ESTATÍSTICA


Mediana – Dados não Agrupados• para n ímpar: o termo de ordem

• para n par: a media aritmética dos termos de ordem e

2

1n

2

1nn

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Exemplo 1: Vaca


10 12 13 14 15 16 181 2 3 4 5 6 7

mediana

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Mediana – Dados Agrupados Sem Intervalos de Classe

Valor da variável correspondente a frequência acumulada imediatamente superior à

metade da soma das frequências.

ESTATÍSTICA



f i Fi

01234

2610124

∑=34

Considere a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, considerando como variável o número de filhos do sexo masculino. Moda=?

Exemplo 2: Filhos

ESTATÍSTICA



f i Fi

01234

2610124

28183034

∑=34

Frequencia acumulada imediatamente superior a

Considere a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, considerando como variável o número de filhos do sexo masculino. Moda=?

2 if

Exemplo 2: Filhos

ESTATÍSTICA



f i Fi

01234

2610124

28183034

∑=34

172

34

Frequencia acumulada imediatamente superior a

Moda=?

Considere a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, considerando como variável o número de filhos do sexo masculino.

Exemplo 2: Filhos

ESTATÍSTICA


Mediana – Dados Agrupados Com Intervalos de Classe

• determinar as frequências acumuladas

• calcular

• identificar a classe mediana: a classe correspondente a frequência acumulada imediatamente superior a

• empregar a formula:

2 if

2 if

*

*

*

)(2

f

hantFf

lMd

i

ESTATÍSTICA



ESTATURAS(cm)

FREQUÊNCIAfi

FREQUENCIAACUMULADA

Fi

154 —׀ 150158 —׀ 154162 —׀ 158166 —׀ 162170 —׀ 166174 —׀ 170

4911853

total ∑=40identificar a classe mediana: a classe correspondente a frequência acumulada imediatamente superior a

2 if

ESTATÍSTICA



ESTATURAS(cm)

FREQUÊNCIAfi

FREQUENCIAACUMULADA

Fi

154 —׀ 150158 —׀ 154162 —׀ 158166 —׀ 162170 —׀ 166174 —׀ 170

4911853

41324323740

total ∑=40

202

402

if

ESTATÍSTICA



ESTATURAS(cm)

FREQUÊNCIAfi

FREQUENCIAACUMULADA

Fi

154 —׀ 150158 —׀ 154162 —׀ 158166 —׀ 162170 —׀ 166174 —׀ 170

4911853

41324323740

total ∑=40

202

402

if

54,160

11

41320158

)(2

*

*

*

f

hantFf

lMd

i

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A mediana, além de representar uma série de valores com relação a posição central, separa a série de valores em dois grupos que apresentam o mesmo número de valores.

Medidasde

Posição

Medidasde

Tendência Central

MédiaMediana

Moda


Percentis

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As separatrizes não são medidas de tendência central, mas têm a ver com a segunda característica da mediana. As separatrizes são medidas que se baseiam em sua posição na série.

Medidasde

Posição

Medidasde

Tendência Central

MédiaMediana

Moda


Percentis

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Fractis

• Números que dividem um conjunto ordenado de dados em partes iguais.

• A mediana é um fractil, pois divide um conjunto ordenado de dados em duas partes iguais.

• Os quartis, decis e percentis são outros tipos de fractis, que dividem o conjunto de dados respectivamente em quatro, dez e cem partes iguais.

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Quartis

Quartis são os valores de uma série de dados ordenados que a divide em quatro partes iguais.

0% 25% 50% 75% 100%

Q1 Q2=Md Q3

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Quartis

(Q1) Primeiro Quartil – valor cuja posição na série é tal que a quarta parte (25%) dos dados é menor do que ele e as três quartas partes restantes (75%) são maiores que ele.

(Q2) Segundo Quartil – coincide com a mediana. (Q2=Md)

(Q3) Terceiro Quartil – valor cuja posição na série é tal que três quartas partes (75%) dos termos são menores que ele e uma quarta parte (25%) é maior.

ESTATÍSTICA


Quartis

Para dados agrupados, o cálculo dos quartis se dá

pela substituição na formula da mediana de

por

onde k é o número de ordem do quartil.

*

*

*

)(2

f

hantFf

lMd

i

2 if

4 ifk

ESTATÍSTICA


Quartis



por


2 if

4 ifk

*

*

*1

)(4

f

hantFf

lQ

i

ESTATÍSTICA


Quartis



por


2 if

4 ifk

*

*

*2

)(4

2

f

hantFf

lQ

i

ESTATÍSTICA


Quartis



por


2 if

4 ifk

*

*

*3

)(4

3

f

hantFf

lQ

i

ESTATÍSTICA


*

*

*1

)(4

f

hantFf

lQ

i

*

*

*2

)(4

2

f

hantFf

lQ

i

*

*

*3

)(4

3

f

hantFf

lQ

i

Primeiro Quartil

Segundo Quartil

Terceiro Quartil

ESTATÍSTICA


Decil

Decis ( P1, P2,...P9) são os 9 valores que

separam uma série de dados em 10 partes

iguais.

Observação: P5=Md

Dados agrupados: o cálculo dos percentis se

dá pela substituição na formula da mediana

de por

onde k é o número de ordem do

percentil.

2 if

10 ifk

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PercentilPercentis ( P1, P2,...P99) são os 99 valores

que separam uma série de dados em 100

partes iguais.

Observação: P50=Md P25=Q1 P75=Q3

Dados agrupados: o cálculo dos percentis se

dá pela substituição na formula da mediana

de por

onde k é o número de ordem do

percentil.

2 if

100 ifk

ESTATÍSTICA


*

*

*

)(4

f

hantFfk

lQ

i

k

*

*

*

)(100

f

hantFfk

lP

i

k

*

*

*

)(2

f

hantFf

lMd

i

Mediana

Quartis

Percentis

ESTATÍSTICA


Exemplo 4: Dados não agrupados

Calcule os quartis da série: { 5, 2, 6, 9, 10, 13, 15 }

ESTATÍSTICA


{ 5, 2, 6, 9, 10, 13, 15 }Ordenando:{ 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 }O valor que divide a série acima em duas

partes iguais é igual a 9, logo a Md = 9 = Q2.

Dois grupos de valores: {2, 5, 6 } e {10, 13, 15 }

Para o calculo do quartil 1 e 3 basta calcular as medianas dos dois grupos de valores.

Em { 2, 5, 6 } a mediana é = 5 , o quartil 1 Em {10, 13, 15 } a mediana é =13 , o

quartil 3


ESTATÍSTICA


Calcule os quartis da série: { 1, 1, 2, 3, 5, 5, 6, 7, 9, 9, 10, 13 }


ESTATÍSTICA


{ 1, 1, 2, 3, 5, 5, 6, 7, 9, 9, 10, 13 }A série ordenada.Quartil 2 = Md = (5+6)/2 = 5,5Quartil 1 = mediana da série à esquerda de

Md : { 1, 1, 2, 3, 5, 5 }Q1 = (2+3)/2 = 2,5

Quartil 3 = a mediana da série à direita de Md :

{6, 7, 9, 9, 10, 13 }Q3 = (9+9)/2 = 9


ESTATÍSTICA


Exemplo 6: Dados Agrupados

Determine os quartis.


ESTATURAS(cm)

FREQUÊNCIA

154 —׀ 150158 —׀ 154162 —׀ 158166 —׀ 162170 —׀ 166174 —׀ 170

49

11853

total 40

Dados fictícios.

ESTATÍSTICA



ESTATURAS(cm)

FREQUÊNCIAfi

FREQUENCIAACUMULADA

Fi

154 —׀ 150158 —׀ 154162 —׀ 158166 —׀ 162170 —׀ 166174 —׀ 170

4911853

total ∑=40Classe mediana: a classe correspondente a frequência acumulada imediatamente superior a

2 if

ESTATÍSTICA



ESTATURAS(cm)

FREQUÊNCIAfi

FREQUENCIAACUMULADA

Fi

154 —׀ 150158 —׀ 154162 —׀ 158166 —׀ 162170 —׀ 166174 —׀ 170

4911853

41324323740

total ∑=40

202

402

if

ESTATÍSTICA



ESTATURAS(cm)

FREQUÊNCIAfi

FREQUENCIAACUMULADA

Fi

154 —׀ 150158 —׀ 154162 —׀ 158166 —׀ 162170 —׀ 166174 —׀ 170

4911853

41324323740

total ∑=40

202

402

if

54,160

11

41320158

)(2

*

*

*

f

hantFf

lMd

i

ESTATÍSTICA



ESTATURAS(cm)

FREQUÊNCIAfi

FREQUENCIAACUMULADA

Fi

154 —׀ 150158 —׀ 154162 —׀ 158166 —׀ 162170 —׀ 166174 —׀ 170

4911853

41324323740

total ∑=40

104

404

if

67,152

9

41310154

)(4

1*

*

*

f

hantFf

lQ

i

ESTATÍSTICA



ESTATURAS(cm)

FREQUÊNCIAfi

FREQUENCIAACUMULADA

Fi

154 —׀ 150158 —׀ 154162 —׀ 158166 —׀ 162170 —׀ 166174 —׀ 170

4911853

41324323740

total ∑=40

304

40.34

3

if

165

8

42430162

)(4

3

3*

*

*

f

hantFf

lQ

i

ESTATÍSTICA



ESTATURAS(cm)

FREQUÊNCIAfi

FREQUENCIAACUMULADA

Fi

154 —׀ 150158 —׀ 154162 —׀ 158166 —׀ 162170 —׀ 166174 —׀ 170

4911853

41324323740

total ∑=4054,1602 MdQ 1653Q57,1521Q

ESTATÍSTICA


ESTATURAS(cm)

FREQUÊNCIAfi

FREQUENCIAACUMULADA

Fi

154 —׀ 150158 —׀ 154162 —׀ 158166 —׀ 162170 —׀ 166174 —׀ 170

4911853

41324323740

total ∑=400% 25% 50% 75% 100%

Q1152,57

Q2=Md160,54

Q3165

ESTATÍSTICA


Exercícios

ESTATÍSTICA


Exercício 1: Peso dos Bebês

Considere a tabela abaixo de nascidos vivos segundo peso ao nascer. Determine a média, a mediana e a moda da distribuição.

PESO FREQUÊNCIA

2,0 —׀ 1,52,5 —׀ 2,03,0 —׀ 2,53,5 —׀ 3,04,0 —׀ 3,54,5 —׀ 4,05,0 —׀ 4,5

31631341141

Total

ESTATÍSTICA


• Com intervalo de classe• Moda?• Classe Modal: aquela

que apresenta maior frequência.

• Ponto médio da classe modal.

PESO FREQUÊNCIA

2,0 —׀ 1,52,5 —׀ 2,03,0 —׀ 2,53,5 —׀ 3,04,0 —׀ 3,54,5 —׀ 4,05,0 —׀ 4,5

31631341141

Total


ESTATÍSTICA


• Com intervalo de classe• Moda?• Classe Modal: aquela

que apresenta maior frequência.

• Ponto médio da classe modal.

PESO FREQUÊNCIA

2,0 —׀ 1,52,5 —׀ 2,03,0 —׀ 2,53,5 —׀ 3,04,0 —׀ 3,54,5 —׀ 4,05,0 —׀ 4,5

31631341141

Total


25,32

5,6

2

5,30,34

x

ESTATÍSTICA


• Com intervalo de classe

• Média?• Ponto Médio?

PESO FREQUÊNCIA

2,0 —׀ 1,52,5 —׀ 2,03,0 —׀ 2,53,5 —׀ 3,04,0 —׀ 3,54,5 —׀ 4,05,0 —׀ 4,5

31631341141

Total


i

ii

f

fxx

ESTATÍSTICA


• Com intervalo de classe

• Média?• Ponto Médio?

PESO fi xi xifi

2,0 —׀ 1,52,5 —׀ 2,03,0 —׀ 2,53,5 —׀ 3,04,0 —׀ 3,54,5 —׀ 4,05,0 —׀ 4,5

31631341141

Total ∑=100


i

ii

f

fxx

ESTATÍSTICA


PESO fi xi xifi

2,0 —׀ 1,52,5 —׀ 2,03,0 —׀ 2,53,5 —׀ 3,04,0 —׀ 3,54,5 —׀ 4,05,0 —׀ 4,5

31631341141

1,752,252,753,253,754,254,75

Total ∑=100

Exercício 1: Peso dos Bebês• Com intervalo de

classe• Média?• Ponto Médio?

i

ii

f

fxx

ESTATÍSTICA


PESO fi xi xifi

2,0 —׀ 1,52,5 —׀ 2,03,0 —׀ 2,53,5 —׀ 3,04,0 —׀ 3,54,5 —׀ 4,05,0 —׀ 4,5

31631341141

1,752,252,753,253,754,254,75

5,2536

85,2510,541,25

174,75

Total ∑=100

∑=300

i

ii

f

fxx

3100

300x


ESTATÍSTICA


• Mediana?• Classe mediana:

aquela correspondente

a frequência acumulada imediatamente superior a

PESO fi xi xifi

2,0 —׀ 1,52,5 —׀ 2,03,0 —׀ 2,53,5 —׀ 3,04,0 —׀ 3,54,5 —׀ 4,05,0 —׀ 4,5

31631341141

1,752,252,753,253,754,254,75

5,2536

85,2510,541,25

174,75

Total ∑=100

∑=300

2 if


ESTATÍSTICA


• Mediana?• Classe mediana:

aquela correspondente

a frequência acumulada imediatamente superior a

PESO fi xi xifi

2,0 —׀ 1,52,5 —׀ 2,03,0 —׀ 2,53,5 —׀ 3,04,0 —׀ 3,54,5 —׀ 4,05,0 —׀ 4,5

31631341141

1,752,252,753,253,754,254,75

5,2536

85,2510,541,25

174,75

Total ∑=100

∑=300

2 if


502

100

2 if

ESTATÍSTICA


Classe mediana: classe correspondente a frequência acumulada imediatamente superior a

PESO fi xi xifi Fi

—׀ 1,52,0

—׀ 2,02,5

—׀ 2,53,0

—׀ 3,03,5

—׀ 3,54,0

—׀ 4,04,5

—׀ 4,55,0

31631341141

1,752,252,753,253,754,254,75

5,2536

85,2510,5

41,2517

4,75

31950849599

100

Total ∑=100

∑=300

502

100

2 if


ESTATÍSTICA


OBSERVAÇÃO: Se existir uma frequência acumulada exatamente igual a a mediana será o limite superior da classe

correspondente.

2 if

ESTATÍSTICA


Classe mediana: classe correspondente a frequência acumulada imediatamente superior a

PESO fi xi xifi Fi

—׀ 1,52,0

—׀ 2,02,5

—׀ 2,53,0

—׀ 3,03,5

—׀ 3,54,0

—׀ 4,04,5

—׀ 4,55,0

31631341141

1,752,252,753,253,754,254,75

5,2536

85,2510,5

41,2517

4,75

31950849599

100

Total ∑=100

∑=300

502

100

2 if


ESTATÍSTICA


PESO fi xi xifi Fi

—׀ 1,52,0

—׀ 2,02,5

—׀ 2,53,0

—׀ 3,03,5

—׀ 3,54,0

—׀ 4,04,5

—׀ 4,55,0

31631341141

1,752,252,753,253,754,254,75

5,2536

85,2510,5

41,2517

4,75

31950849599

100

Total ∑=100

∑=300

0,3

31

5,019505,2

)(2

*

*

*

f

hantFf

lMd

i

ESTATÍSTICA


Exercício 2Dada a distribuição, determinar os quartis (Q1

e Q3), a mediana, média e a moda.

K CLASSES fi Fi

12345

17 —׀ 727 —׀ 1737 —׀ 2747 —׀ 3757 —׀ 47

61520105

total ∑=56

classe mediana: a classe correspondente a frequência acumulada imediatamente superior a

2 if

ESTATÍSTICA


Dada a distribuição, determinar os quartis (Q1 e Q3), a mediana, média e a moda.

K CLASSES fi Fi

12345

17 —׀ 727 —׀ 1737 —׀ 2747 —׀ 3757 —׀ 47

61520105

621415156

total ∑=56

classe mediana: a classe correspondente a frequência acumulada imediatamente superior a

2 if

282

56

2 if

Classe mediana

Exercício 2

ESTATÍSTICA



K CLASSES fi Fi

12345

17 —׀ 727 —׀ 1737 —׀ 2747 —׀ 3757 —׀ 47

61520105

621415156

total ∑=56

282

56

2 if

Classe mediana

5,30

20

10212827

)(2

*

*

*

f

hantFf

lMd

i

Exercício 2

ESTATÍSTICA



K CLASSES fi Fi

12345

17 —׀ 727 —׀ 1737 —׀ 2747 —׀ 3757 —׀ 47

61520105

621415156

total ∑=56

144

56

4 if

Classe Q1

33,22

15

1061417

)(4

1*

*

*

f

hantFf

lQ

i

Exercício 2

ESTATÍSTICA



K CLASSES fi Fi

12345

17 —׀ 727 —׀ 1737 —׀ 2747 —׀ 3757 —׀ 47

61520105

621415156

total ∑=56

424

56.3

4

3 if

Classe Q3

38

10

10414237

)(4

3*

*

*

f

hantFf

lQ

i

Exercício 2

ESTATÍSTICA



K CLASSES fi Fi xi xifi

12345

17 —׀ 727 —׀ 1737 —׀ 2747 —׀ 3757 —׀ 47

61520105

621415156

1222324252

72330640420260

total ∑=56 ∑=1722

75,3056

1722

i

ii

f

fxx

Média

Exercício 2

ESTATÍSTICA



K CLASSES fi Fi xi xifi

12345

17 —׀ 727 —׀ 1737 —׀ 2747 —׀ 3757 —׀ 47

61520105

621415156

1222324252

72330640420260

total ∑=56 ∑=1722

Moda

32Mo

Exercício 2

ESTATÍSTICA


Os salários (em salário mínimo) de 160 professores de uma escola estão distribuídos conforme a tabela a seguir. Calcule os quartis, a média, a mediana e a moda.

K salário

No prof.

fi

Fi xi xifi

12345

3 —׀ 15 —׀ 37 —׀ 59 —׀ 7 —׀ 9

11

2040603010

2060

120150160

246810

20160360240100

total ∑=160 ∑=880

5,5160

880

i

ii

f

fxx

Exercício 3: Salários Professores

ESTATÍSTICA


Os salários (em salário mínimo) de 160 professores de uma escola estão distribuídos conforme a tabela a seguir. Calcule os quartis, a média, a mediana e a moda.

K salário

No prof.

fi

Fi xi xifi

12345

3 —׀ 15 —׀ 37 —׀ 59 —׀ 7 —׀ 9

11

2040603010

2060

120150160

246810

20160360240100

total ∑=160 ∑=880

6Mo


ESTATÍSTICA


Mediana

K salário

No prof.

fi

Fi xi xifi

12345

3 —׀ 15 —׀ 37 —׀ 59 —׀ 7 —׀ 9

11

2040603010

2060

120150160

246810

20160360240100

total ∑=160 ∑=880

67,5

60

260805

)(2

*

*

*

f

hantFf

lMd

i


ESTATÍSTICA


Q1K salário

No prof.

fi

Fi xi xifi

12345

3 —׀ 15 —׀ 37 —׀ 59 —׀ 7 —׀ 9

11

2040603010

2060

120150160

246810

20160360240100

total ∑=160 ∑=880

4

40

220403

)(4

1*

*

*

f

hantFf

lQ

i

404

1604

if


ESTATÍSTICA


Q3K salário

No prof.

fi

Fi xi xifi

12345

3 —׀ 15 —׀ 37 —׀ 59 —׀ 7 —׀ 9

11

2040603010

2060

120150160

246810

20160360240100

total ∑=160 ∑=880

7

60

2601205

)(4

3*

*

*

f

hantFf

lQ

i

1204

160.34

.3

if


ESTATÍSTICA Aula 4- Medidas de Posição Prof. Dra. Denise Candal.

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