Universidade de Aveiro

Departamento de Fısica

Interferometro de Michelson:

princıpios e aplicacoes

Margarida Facao

Marco de 1999

Conteudo

1 Introducao 3

2 Consideracoes teoricas 62.1 Interferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Tipo de franjas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.1 Franjas produzidas por uma placa de faces paralelas . . . . . . . 82.2.2 Franjas produzidas por um filme fino . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Coerencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.1 Funcoes de correlacao entre campos luminosos . . . . . . . . . . 13

2.4 Polarizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5 Interferometro de Michelson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.6 Espectroscopia de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.7 Velocimetria usando o efeito de Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Realizacao experimental e resultados 233.1 Montagem do interferometro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Verificacao das leis de Fresnel-Arago . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3 Visualizacao dos varios tipos de franjas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4 Estudo da coerencia da luz de algumas fontes . . . . . . . . . . . . . . . 283.5 Determinacao do comprimento de onda da luz do laser de He-Ne . . . . 303.6 Determinacao do ındice de refraccao de um material . . . . . . . . . . . 303.7 Estudo da variacao do ındice de refraccao de um gas com a pressao . . . 323.8 Espectroscopia de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.8.1 Amostragem do interferograma: resolucao e dobragem . . . . . . 343.8.2 Sistemas de deteccao e aquisicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.8.3 Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.8.4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.9 Velocimetria usando o efeito de Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4 Planificacao das aulas 42

Apendices 45

A Guiao do trabalho de laboratorio 45

1

B Tabelas de resultados experimentais 60

C Programa da disciplina de Optica Aplicada 64

Bibliografia 68

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Capıtulo 1

Introducao

A disciplina de Optica Aplicada faz parte dos currıculos dos cursos de EngenhariaFısica, Ensino de Fısica e Quımica e Engenharia Electronica e de Telecomunicacoescomo disciplina de opcao. No curso de Engenharia Fısica ela aparece nos grupos daOpcao II e Opcao VI que estao, respectivamente, no 3o e 4o anos, ambas no 1o semestre.No curso de Ensino de Fısica e Quımica ela pertence ao grupo de disciplinas da OpcaoI do 1o semestre do 4o ano. Finalmente, no curso de Engenharia Electronica e deTelecomunicacoes ela faz parte do grupo da Opcoes do 1o semestre do 5o ano.

Embora a disciplina seja apelidada de Aplicada, o seu programa (ver ApendiceC) contempla topicos de optica fundamental como a optica geometrica, interferencia,difraccao ou mesmo teoria da coerencia. Pressuponho que assim seja porque os conhec-imentos de optica dos alunos visados se resumem a um capıtulo de optica geometricana disciplina de Fısica I (integrada no ano comum) e a uma parte da disciplina deOndas, que lhes tera proporcionado os conceitos basicos de propagacao de ondas elec-tromagneticas, reflexao, refraccao, interferencia e difraccao.

Este texto propoe um modulo de trabalho experimental para a disciplina de OpticaAplicada. O trabalho baseia-se no fenomeno da interferencia e e utilizado o inter-ferometro de Michelson. Com ele pretendemos que os alunos atinjam os seguintesobjectivos:

• Observacao e aprofundamento do fenomeno da interferencia;

• Aprendizagem de tecnicas de interferometria;

• Determinacao de algumas grandezas fısicas usando tecnicas interferometricas.

A interferometria e um ramo da optica que usa o fenomeno da interferencia para de-terminar grandezas fısicas. Desde o seu inıcio, a interferometria tem-se prestado amultiplas aplicacoes, nomeadamente: medicao de comprimentos de onda e frequenciasopticas, medicao de pequenas distancias e deslocamentos, teste de componentes opticos,sensores interferometricos, medicao de velocidades e deslocamentos pelo efeito de Doppler,medicoes a escala estelar e espectroscopia, etc. O aparecimento dos lasers, e especial-mente dos dıodos laser, a substituicao progressiva do olho humano pelos fotodetectores,

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o avanco do processamento de sinais digitais e ate o desenvolvimento da optica nao lin-ear tem vindo a desenvolver e a criar novas aplicacoes nesta area.

O interferometro de Michelson e um interferometro simples, que pode apresentar-seem diversas variantes, permitindo o estudo da interferencia e a implementacao de diver-sas aplicacoes, sendo por isso interessante sob o ponto de vista pedagogico. Este inter-ferometro e o mais simples e mais conhecido dos interferometros de divisao de amplitudeque usam espelhos e divisores de feixe. O uso destes componentes tem a vantagem deos feixes sobrepostos estarem claramente separados antes da recombinacao, pelo queum deles pode sujeitar-se, isoladamente, a alteracoes opticas controlaveis. Uma dasvariantes do interferometro de Michelson e o interferometro de Twyman-Green, ondea diferenca essencial relativamente ao primeiro e o facto dos feixes serem constituıdospor luz colimada. Este ultimo e um instrumento muito importante no teste de sis-temas opticos. Introduzindo um segundo espelho poderemos obter o interferometrode Mach-Zehnder. Este interferometro e de alinhamento mais complicado mas, emcontrapartida, apresenta maior versatilidade nas aplicacoes.

O importancia do interferometro de Michelson reside nao so na sua simplicidadecomo tambem na sua origem historica. Ele recebeu o nome do seu autor, AlbertAbraham Michelson. Michelson nasceu em 1852 em Strzelmo na Prussia e emigroupara os E.U.A. com os seus pais em 1856. A sua carreira comecou na Academia Navale, depois de uma estadia em algumas Universidades europeias, foi professor de Fısicana Escola de Ciencia Aplicada de Case em Cleveland, na Universidade de Clark emWorcester e finalmente na Universidade de Chicago (1892-1929). Michelson deu umgrande contributo a optica, principalmente a interferometria, tendo recebido o premioNobel da Fısica em 1907. Uma das suas mais conhecidas experiencias, para a qualprojectou o interferometro baptizado com o seu nome, e a experiencia de Michelson-Morley para a medicao do deslocamento do eter (experiencia que, alias, conduziu arejeicao da hipotese da existencia de tal meio). O mesmo interferometro foi por eleusado no estudo da estrutura de linhas espectrais da luz de varias lampadas, usandouma tecnica semelhante a conhecida, actualmente, por espectroscopia de Fourier [1].

A proposito da importancia do trabalho experimental no ensino da Fısica parece-meinteressante mencionar algumas ideias sobre o assunto apontadas num debate intitu-lado Pelo ensino experimental das ciencias, cuja realizacao se integrou na homenagemnacional a Romulo de Carvalho. Este debate foi reportado pela Gazeta de Fısica no seunumero de Janeiro/Marco de 1997 [2]. Como foi referido neste debate, a articulacaoda teoria e da experimentacao iniciou-se no seculo XVIII com os filosofos naturais econstitui a base da ciencia da modernidade. Mais do que articulacao a teoria devesubmeter-se a experimentacao para conseguir a sua validacao. Sendo assim, na apren-dizagem da ciencia e imperscendıvel a aprendizagem de metodos de experimentacao.Alem disso, segundo alguns autores, a ontogenese do conhecimento cientıfico seguea filogenese do mesmo, isto e, a construcao pessoal do conhecimento e semelhante aconstrucao historica desse mesmo conhecimento. Se a experimentacao foi decisiva naevolucao historica da ciencia, tambem o sera na aprendizagem da ciencia feita por cadaindivıduo. Entao, o ensino experimental e de importancia fundamental no ensino dasciencias, e particularmente da Fısica.

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Outra vantagem do ensino experimental e a motivacao para o estudo que ele podeestimular no estudante. De facto, sao muitos os estudantes que tem um especial fascıniopela observacao dos fenomenos, pelo manuseamento dos instrumentos e pela possibil-idade de agir sobre os esquemas experimentais, mesmo que em alteracoes simples, naperspectiva de ”saber o que acontece”. Sendo assim, o trabalho laboratorial podefomentar-lhes o gosto pela disciplina. Isto pode ser especialmente verdade na areada optica que actualmente e motivo de grande interesse em termos tecnologicos, comaplicacoes em telecomunicacoes, sensores, processamento de sinal e imagem, instru-mentacao de diagnostico medico, etc.

Apontemos os objectivos do trabalho experimental na disciplina de Optica Aplicada.Eles sao: (i) verificacao ou confirmacao de fenomenos ou leis constantes do programateorico (objectivo que e comum a todas as outras disciplinas), (ii) desenvolvimento dehabilidade para trabalhar com componentes opticos, fontes de luz, sistemas de deteccaode luz e sistemas de aquisicao de dados, (iii) aprendizagem de tecnicas experimentais emoptica e (iv) iniciacao aos metodos de investigacao experimental em fısica, neste casona area da optica (objectivo importante principalmente numa disciplina dos ultimosanos como e o caso). No caso particular do trabalho por nos proposto, o fenomenoem destaque e a interferencia e a tecnica a interferometria. Este trabalho, como per-mite aprofundar o fenomeno da interferencia, tambem possibilita o aprofundamento deoutros conceitos como a coerencia, tao intimamente ligada a interferencia, e outros,nao tao relacionados, como a polarizacao, reflexao e refraccao. Como aborda assun-tos fundamentais da optica, o trabalho pode ser adaptado, em parte, para disciplinasde anos anteriores. Referimo-nos especialmente a disciplina de Ondas que, como foireferido acima, introduz os conceitos fundamentais associados a propagacao de ondaselectromagneticas.

A carga horaria de Optica Aplicada compreende 2 horas semanais de trabalho ex-perimental o que equivale a cerca de 24 horas em todo o semestre. Proponho queeste trabalho, de caracter mais fundamental, seja realizado na primeira metade dosemestre, restando meio semestre para a realizacao de um trabalho de ındole mais apli-cada. Talvez seja um pouco ambicioso querer cumprir o que aqui se propoe em 12 horasde trabalho experimental, mas penso ser possıvel se o professor intervier, especialmentenos processos de montagem. Embora esta intervencao do professor possa limitar a cria-tividade dos alunos, ela permite assegurar o cumprimento do que e proposto no tempoprevisto. De facto, alguns procedimentos praticos do alinhamento de componentes ouda obtencao de franjas nao se encontram em livros sobre o assunto e sao essenciais nodecorrer do trabalho.

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Capıtulo 2

Consideracoes teoricas

2.1 Interferencia

Se dois feixes de luz se sobrepoem numa determinada regiao do espaco e nessa regiao airradiancia luminosa variar de ponto para ponto, entre maximos que excedem a somadas irradiancias dos dois feixes e mınimos que podem ser zero, estamos perante umfenomeno denominado interferencia.

Mas nem sempre a sobreposicao de dois ou mais feixes de luz produzem fenomenosde interferencia. Quando nao existe interferencia diz-se que os feixes sao incoerentes, equando existe interferencia diz-se que os feixes sao completa ou parcialmente coerentes.Luz proveniente de fontes diferentes ou de pontos diferentes da mesma fonte extensasao geralmente incoerentes, e luz que viajou percursos diferentes pode tambem serincoerente, dependendo da diferenca de percursos e do grau de monocromaticidade daluz. O problema da coerencia esta intimamente relacionado com a interferencia e ediscutido na seccao 2.3. Outra condicao que tem que ser cumprida para que ocorrainterferencia esta relacionada com o estado de polarizacao dos feixes envolvidos. Esteproblema sera discutido na seccao 2.4.

Por agora, vamos analisar a interferencia de dois feixes monocromaticos, logo com-pletamente coerentes, com vibracoes no mesmo plano, logo no mesmo estado de polar-izacao. A irradiancia da luz define-se como a media temporal da quantidade de energiaque atravessa, por unidade de tempo, a unidade de superfıcie perpendicular a direccaodo fluxo de energia, ou seja a media temporal da grandeza do vector de Poynting S

I =< S >= ε0c < E.E > (2.1)

onde ε0 e a permitividade electrica do vazio e c a velocidade da luz. Utilizando anotacao complexa, temos

I = ε0c < E.E∗ > (2.2)

e como consideraremos luz com o mesmo estado de polarizacao podemos fazer umaanalise escalar

I = ε0c < E.E∗ >= ε0c < E2 > (2.3)

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Como compararemos irradiancias no mesmo meio usaremos < E2 > para representara irradiancia.

Sejam duas ondas electromagneticas descritas pelo seu campo electrico complexo

E1 = A exp i(ωt− kx) (2.4)

E2 = B exp i(ωt− kx + δ) (2.5)

sendo A e B quantidades reais. As duas ondas sobrepoem-se num ponto P, onde ocampo electrico total e

E = E1 + E2

e onde a irradiancia e

I =< E21 > + < E2

2 > + < E1E∗2 > + < E∗

1E2 >= A2 + B2 + 2AB cos δ

(2.6)

os dois primeiro termos sao as irradiancias das duas ondas e o ultimo termo descreve ainterferencia, podemos pois escrever

I = I1 + I2 + 2√

I1I2 cos δ (2.7)

Os maximos de irradiancia ocorrerao quando

|δ| = 0, 2π, 4π, . . . (2.8)

e os mınimos de irradiancia quando

|δ| = π, 3π, . . . (2.9)

No caso especial de irradiancias iguais I1 = I2 a expressao reduz-se a

I = 4I1 cos2 δ/2 (2.10)

que varia entre os valores maximos de 4I1 e mınimos que sao zero.O fenomeno de interferencia e mais complexo pela nao monocromaticidade, pela

finitude das fontes e ate pela existencia de diferentes estados de polarizacao. No entanto,esta analise e suficiente para iniciar a compreensao dos fenomenos de interferencia epode ser alargada ao estudarmos situacoes reais.

Interferometros sao configuracoes que usam o fenomeno de interferencia para de-terminacao de algumas grandezas fısicas. Existem dois tipos de interferometros: in-terferometros de divisao de frente de onda, quando o feixe e dividido, ao passar pordiferentes aberturas colocadas lado a lado e interferometros de divisao de amplitude,quando o feixe e dividido em superfıcies parcialmente reflectoras. Os primeiros uti-lizam fontes pequenas, os segundos podem usar fontes extensas. Em ambos os casose possıvel fazer uma outra classificacao, que depende do numero de feixes envolvidos:interferencia de dois feixes e interferencia de feixes multiplos.

O interferometro de Michelson e um caso de interferometro de divisao de amplitude.Como exemplo de interferometro de divisao de frente de onda, referimos a dupla fendade Young.

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2.2 Tipo de franjas

Aos maximos e mınimos de irradiancia observados no padrao de interferencia da-se onome de franjas brilhantes e escuras, respectivamente.

As franjas podem dividir-se em franjas localizadas e nao localizadas. Elas sao naolocalizadas quando ocupam toda a regiao de sobreposicao dos feixes intervenientes. Asua visibilidade depende da irradiancia das duas ondas. Este tipo de franjas obtem-sesempre que usamos fontes pontuais. Por outro lado, as franjas localizadas encontram-seem determinadas superfıcies da regiao de sobreposicao e sao caracterısticas das fontesextensas. De facto, uma fonte extensa pode ser descrita como um conjunto de fontespontuais incoerentes, cada uma das quais origina um padrao de interferencia nao lo-calizado. Como as fontes sao incoerentes, os padroes de interferencia estao desloca-dos uns relativamente aos outros e a visibilidade das franjas diminui. A visibilidadepode reduzir-se a zero com o aumento da extensao da fonte, mas, em determinadassuperfıcies, ela pode manter-se perto do valor que tinha com uma fonte pontual, oca-sionando as tais franjas localizadas [3].

Outra classificacao das franjas divide-as em reais e virtuais [4]. As franjas reaispodem ser observadas em ecras, sem necessidade de sistemas opticos adicionais, porqueos raios convergem para o ponto de observacao. Pelo contrario, para observarmos asfranjas virtuais necessitamos de um sistema formador de imagens, porque os raios naoconvergem para o ponto de observacao.

A interferencia de dois feixes num interferometro de divisao de amplitude originadois principais tipos de franjas: franjas de igual espessura e franjas de igual inclinacao,que se descrevem a seguir [3, 5, 4].

2.2.1 Franjas produzidas por uma placa de faces paralelas

Consideremos uma placa de material transparente de faces paralelas de ındice de re-fraccao n′ colocada num meio envolvente de ındice de refraccao n.

Primeiro consideremos a placa iluminada por uma fonte pontual S. Esperamosencontrar um padrao de interferencia nao localizado uma vez que a fonte e pontual.Na verdade, podemos verificar que qualquer ponto P , numa determinada regiao doespaco, e local de convergencia de dois raios, um proveniente da face inferior e outroproveniente da face superior (ver figura 2.1(a)). Num plano de observacao que sejaparalelo as placas, as franjas sao circulares centradas no eixo SN .

Se substituirmos a fonte pontual por uma fonte extensa, estas franjas perdem avisibilidade, a excepcao das franjas localizadas no infinito, que continuam bem visıveis.Estas franjas podem ser observadas com o olho focado no infinito ou no plano focal deum telescopio. A figura 2.1(b) mostra o percurso dos raios que formam este padraode interferencia localizado no infinito. Todos os raios que saem da placa com o mesmoangulo tem a mesma diferenca de fase, nao dependendo do ponto da fonte de ondeprovem. A diferenca de caminho optico e entao

∆S = 2ABn′ −ANn= 2hn′/cosθ′ − 2hn tan θ′ sin θ

(2.11)

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S

N

S

P

h A

θ '

θ

B

C

N

n'

n

P

(a) (b)

Figura 2.1: Interferencia produzida por uma placa de faces paralelas sendo a fonte (a)pontual e (b) extensa.

Pela lei de Snell, sabemos quen′ sin θ′ = n sin θ (2.12)

entao∆S = 2hn′ cos θ′ (2.13)

e a diferenca de fase fica

δ =4π

λ0n′h cos θ′ ± π (2.14)

onde ±π corresponde a diferenca de fase que ocorre numa das faces reflectoras, depen-dendo da localizacao do meio mais denso. De acordo com as equacoes 2.8 e 2.9, osmaximos e mınimos ocorrem, respectivamente, nas condicoes

2n′h cos θ′ ± λ0/2 = mλ0

2n′h cos θ′ ± λ0/2 = (m + 1/2)λ0 m = 0, 1, 2, . . . (2.15)

Como cada franja e caracterizada pelo valor de θ′, as franjas sao designadas por franjasde igual inclinacao. Se observarmos as franjas perpendicularmente, o padrao e con-stituıdo por franjas circulares concentricas centradas sobre a perpendicular a placa quepassa pelo sistema formador de imagem (olho, telescopio). A estas franjas circulares deigual inclinacao e dada a designacao de franjas de Haidinger (nome do fısico austrıacoKarl Haidinger).

2.2.2 Franjas produzidas por um filme fino

Consideremos um filme fino transparente com faces reflectoras nao necessariamenteparalelas.

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Figura 2.2: Interferencia produzida por um filme fino. Feixes intervenientes naproducao das franjas (a) nao localizadas e (b) localizadas.

Como na seccao anterior, consideremos primeiro a iluminacao por uma fonte pon-tual, com a qual obtemos franjas nao localizadas (ver figura 2.2(a)). Se o filme forfino e o angulo entre as faces for pequeno, isto e, faces quase paralelas, a diferenca decaminho optico em P e, em primeira aproximacao, semelhante a encontrada na seccaoanterior [3]

∆S = 2n′h cos θ′ (2.16)

com a diferenca de, neste caso, determinarem ambos, h e θ′, a diferenca de caminhonum dado ponto de observacao.

Para uma fonte extensa, e para determinado P , tanto h como θ′ variam com olocal da fonte da qual provem os raios intervenientes, enfraquecendo a visibilidadedas franjas. Mais uma vez, conseguimos ter um padrao de interferencia localizado,neste caso localizado no proprio filme, unica regiao onde os padroes de interferenciacoincidem. A observacao devera ser feita com um microscopio ou com o olho focadosno filme (ver figura 2.2(b)). Neste caso, h e praticamente constante para os pares deraios que chegam a P ′, conjugado de P . As diferencas de fase devidas a cos θ′ podemser reduzidas se limitarmos a pupila de entrada (do olho ou do instrumento optico), oufazendo observacao em incidencia normal. Assim, tendo em conta a diferenca de fase deπ numa das reflexoes, os maximos e mınimos de irradiancia ocorrem, respectivamente,em pontos P tais que

2n′hcos θ′ ± λ0/2 = mλ0

2n′hcos θ′ ± λ0/2 = (m + 1/2)λ0 m = 0, 1, 2 . . . (2.17)

onde cos θ′ e o valor medio de cos θ′ em P . Se cos θ′ for relativamente constante, o queacontece nas condicoes descritas acima entao a posicao das franjas e determinada pelovalor de n′h, espessura optica do filme em P e por isso se designam por franjas de igualespessura.

Estas franjas podem observar-se num filme fino de ar entre duas superfıcies reflec-toras de duas placas transparentes. Proximo da incidencia normal, cos θ′ = 1 entao as

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Figura 2.3: Esquema experimental para a formacao de aneis de Newton.

franjas escuras ocorrem para

h =mλ0

2m = 0, 1, 2, . . . (2.18)

onde consideramos n′ = 1 uma vez que o meio e o ar. Assim, as franjas sao os con-tornos da espessura do filme, e a passagem de uma franja escura para a proxima franjaescura representa uma variacao de espessura de λ0/2. Se as placas forem colocadasobliquamente com um angulo α, as franjas serao equidistantes e paralelas a linha deintercepcao das placas. A separacao linear entre franjas adjacentes da-nos informacaosobre o angulo α.

Um caso particular de franjas de igual espessura sao os aneis de Newton, assimdesignados porque resultam de uma experiencia idealizada por Newton ilustrada nafigura 2.3. As franjas resultam da observacao do filme de ar existente entre uma lenteesferica convexa e de uma placa de vidro plana. Estas sao cırculos centrados no pontode contacto C. Se a lente e a placa forem separadas as franjas colapsam em direcao aocentro, desaparecendo uma sempre que a separacao aumentar de λ0/2.

2.3 Coerencia

De duas perturbacoes luminosas pode dizer-se que sao coerentes, incoerentes ou par-cialmente coerentes. Coerentes, se a relacao entre as suas fases e constante no tempo;incoerentes se isto nunca acontece e parcialmente coerentes se, no intervalo de tempoda observacao, em parte do tempo as perturbacoes sao coerentes.

Luz estritamente monocromatica proveniente de uma fonte pontual e descrita poruma funcao sinusoidal A sin(ωt − κx) infinita no espaco e no tempo. Quaisquer per-turbacoes deste tipo, que se encontrem num ponto P , sao coerentes, uma vez que a sua

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relacao de fase e bem definida. No entanto, luz proveniente de uma fonte real nunca eestritamente monocromatica e a fonte real nunca e pontual.

Cada atomo emissor produz, nao uma onda infinita no espaco e no tempo, masuma sucessao de trens de ondas, que apresentam, entre si, variacoes de fase abruptase nao previsıveis. Assim duas ondas provenientes desse mesmo atomo, que tenhampercorrido caminhos diferentes, podem ou nao ser coerentes, consoante a diferencatemporal seja menor ou maior que a duracao media dos trens de ondas caracterısticosdessa emissao. Esta caracterıstica do processo de emissao provoca a perda da chamadacoerencia temporal (ou longitudinal).

A outra perda de coerencia deve-se a finitude das fontes, cada atomo emissor naoesta em fase com os atomos emissores seus vizinhos. Assim, ondas luminosas prove-nientes de pontos diferentes de uma fonte extensa podem ou nao ser coerentes. Nestecaso referimo-nos a chamada coerencia espacial (ou transversal).

A coerencia pode ser medida numa experiencia de interferencia. Perturbacoes lu-minosas coerentes interferem, e perturbacoes incoerentes nao interferem. Se voltarmosa expressao 2.6, verificamos que os termos de interferencia 〈E∗

1E2〉 e 〈E2E∗1〉 sao medias

efectuadas durante o tempo de observacao. Se E1 e E2 nao tiverem uma relacao de fasefixa, essas medias tem valor nulo. Entre estes dois casos extremos, temos luz parcial-mente coerente que interfere produzindo franjas nao tao bem definidas. A qualidadedas franjas de interferencia pode ser quantificada atraves do parametro visibilidade, V,definido como

V =Imax − Imin

Imax + Imin(2.19)

A luz coerente produz franjas de visibilidade maxima (que tem o valor um se os feixessobrepostos tiverem irradiancias iguais), luz incoerente nao interfere, ou seja, produzfranjas de visibilidade 0 e luz parcialmente coerente produz franjas de visibilidadeintermedia.

Uma experiencia de interferencia por divisao de frente de onda pode ser usadapara averiguar a coerencia espacial, enquanto que uma experiencia de interferencia pordivisao de amplitude pode servir para averiguar a coerencia temporal.

Pensemos no interferometro de Michelson. Se a diferenca de caminho entre os doisfeixes for tal que ∆l À c∆tc (sendo ∆tc a duracao media dos trens de onda produzi-dos pela fonte, designado por tempo de coerencia), entao, no ponto de observacao,combinam-se ondas sem relacao de fase fixa e nao existe interferencia. Pelo contrario,se ∆l ¿ c∆tc entao os feixes interferem. A medida que ∆l aumenta, temos comoresultado a diminuicao da visibilidade das franjas. Assim, como definimos tempo decoerencia, tambem podemos definir comprimento de coerencia da forma ∆lc = c∆tc.

Numa outra abordagem, que justifica o caracter policromatico de uma fonte real,podemos pensar nos trens de ondas finitos como uma sobreposicao de componentesmonocromaticas de uma dada gama de frequencias. Esta abordagem e matematica-mente correcta, como se pode verificar por analise de Fourier. Nesta perspectiva, aausencia de franjas de interferencia pode explicar-se devido a sobreposicao dos variospadroes que, por serem relativos a componentes monocromaticas diferentes, nao coinci-dem no espaco. Pode-se mostrar que quanto maior for a gama de frequencias necessaria

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Figura 2.4: Interferencia de dois feixes provenientes de uma fonte extensa e poli-cromatica.

para descrever o campo luminoso, isto e, quanto maior for a largura espectral ∆f , menore o tempo de duracao dos trens de onda por que e composto, sendo esta relacao tal [3]

∆tc∆f ≥ 14π

(2.20)

Em muitos casos de interesse pratico esta desigualdade pode ser substituıda por umarelacao de ordem de grandeza, ou seja, ∆tc ∼ 1/∆f . Se λ for o comprimento de ondamedio da luz, o comprimento de coerencia relaciona-se com ∆λ da forma

∆lc =λ2

∆λ(2.21)

2.3.1 Funcoes de correlacao entre campos luminosos

Da discussao feita, percebemos que ao descrever luz proveniente de uma fonte extensae de largura espectral finita e necessario especificar quantitativamente a coerencia entreas perturbacoes luminosas de dois pontos arbitrarios. Para o fazer, e conveniente pensarnuma experiencia de interferencia [3, 6].

Supomos que luz proveniente de uma fonte σ extensa e policromatica chega a umponto de observacao Q por caminhos diferentes. Um caminho que passa por P1 e outropor P2 (ver figura 2.4). O campo instantaneo complexo em Q e a soma dos dois campos

V (Q, t) = K1V (P1, t− t1) + K2V (P2, t− t2) (2.22)

em que t1 e t2 sao os tempos necessarios para que a luz percorra os caminhos P1Q eP2Q respectivamente, sendo entao

t1 =s1

ct2 =

s2

c(2.23)

Os propagadores K1 e K2 sao funcoes de s1 e s2, das dimensoes das aberturas em P1

e P2 e das suas posicoes relativas a Q (e sao imaginarios puros).

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A irradiancia em Q fica

I(Q) = K1K∗1 〈V1(t− t1)V ∗

1 (t− t1)〉+ K2K∗2 〈V2(t− t2)V ∗

2 (t− t2)〉+

+K1K∗2 〈V1(t− t1)V ∗

2 (t− t2)〉+ K2K∗1 〈V2(t− t2)V ∗

1 (t− t1)〉 (2.24)

onde Vi(t) designa o anterior V (Pi, t). Assumamos que o campo e estacionario, asmedias temporais nao dependem do intervalo de tempo em que sao calculadas e entao

〈V1(t− t1)V ∗1 (t− t1)〉 = 〈V1(t)V ∗

1 (t)〉 = I1

〈V2(t− t2)V ∗2 (t− t2)〉 = 〈V2(t)V ∗

2 (t)〉 = I2 (2.25)

Alem disso, podemos alterar a origem dos tempos para t = t2 e escrever os dois ultimostermos como

K1K∗2 〈V1(t− t1)V ∗

2 (t− t2)〉+K2K∗1 〈V2(t− t2)V ∗

1 (t− t1)〉 = 2Re [K1K∗2 〈V1(t + τ)V ∗

2 (t)〉](2.26)

onde τ = t2 − t1. Podemos definir uma funcao de correlacao

Γ12(τ) = 〈V1(t− τ)V ∗2 (t)〉 (2.27)

a qual se chama funcao de coerencia mutua.A irradiancia em Q pode, assim, ser reescrita

I(Q) = |K1|2I1 + |K2|2I2 + 2|K1K2|ReΓ12(τ) (2.28)

Oa primeiros termos representam a irradiancia observada em Q quando apenas uma dasaberturas existe e podem ser escritos como I(1)(Q) e I(2)(Q). Quando os dois pontosP1 e P2 coincidem, a funcao de coerencia mutua fica

Γ11(τ) = 〈V1(t + τ)V ∗1 (t)〉 (2.29)

a qual se da o nome funcao de auto-coerencia. Quando τ = 0, a funcao de auto-coerencia e a propria irradiancia, ou seja

Γ11(0) = I1 e Γ22(0) = I2 (2.30)

eI(1)(Q) = |K1|2Γ11(0) e I(2)(Q) = |K2|2Γ22(0) (2.31)

entao

|K1K2| =√

I(1)(Q)I(2)(Q)Γ11(0)Γ22(0)

(2.32)

Podemos ainda normalizar a funcao de coerencia mutua

γ12(τ) =Γ12(τ)√

Γ11(0)Γ22(0)(2.33)

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a que se da o nome de grau de coerencia complexo. A expressao 2.28 pode escrever-se

I(Q) = I(1)(Q) + I(2)(Q) + 2√

I(1)(Q)I(2)(Q)Reγ12(τ) (2.34)

que traduz o princıpio geral de interferencia de luz parcialmente coerente para camposestacionarios.

O modulo do grau de coerencia complexo |γ12(τ)| tem valores entre 0 e 1 e, paramelhor nos apercebermos do seu significado, facamos

γ12(τ) = |γ12(τ)|ei[α12(τ)−ωτ ] (2.35)

α12(τ) = ωτ + argγ12(τ) (2.36)

onde ω e a frequencia media da luz. Assim 2.34 fica

I(Q) = I(1)(Q) + I(2)(Q) + 2√

I(1)(Q)I(2)(Q)|γ12(τ)| cos(α12(τ)− ωτ) (2.37)

quando |γ12(τ)| = 1 a irradiancia e igual a obtida por interferencia de duas perturbacoesluminosas coerentes desfasadas de α12(τ) em P1 e P2, logo estamos no caso de coerenciatotal. Quando |γ12(τ)| = 0 nao existe interferencia e as perturbacoes luminosas saoincoerentes. Quando |γ12(τ)| tem um valor intermedio a luz e parcialmente coerente ee proprio valor de |γ12(τ)| que e medida da sua coerencia. A esta quantidade da-se onome de grau de coerencia.

Como se pode ver por 2.34 a parte real do grau de coerencia complexo pode serdeterminada experimentalmente, basta conhecer I(Q), I(1)(Q) e I(2)(Q)

Reγ12(τ) =I(Q)− I(1)(Q)− I(2)(Q)

2√

I(1)(Q)I(2)(Q)(2.38)

2.4 Polarizacao

A luz e um fenomeno ondulatorio transversal, os campos electrico e magnetico vibramno plano perpendicular a direccao de propagacao. Sendo transversais, podem apresentarou nao assimetrias relativamente a direccao de propagacao. Quando a luz apresenta talassimetria dizemos que ela e polarizada, em caso contrario diz-se nao polarizada [7].

Esta assimetria que classifica a luz em polarizada e nao polarizada pode ser ver-ificada da seguinte forma. Na luz nao polarizada a irradiancia de qualquer das com-ponentes no plano de vibracao e igual. Este e o tipo de luz mais frequentementeencontrada na natureza e por este motivo se denomina luz natural. Pelo contrario, taiscomponentes na luz polarizada apresentam irradiancias diferentes.

A polarizacao elıptica e a forma mais geral de polarizacao. Esta acontece quandoa extremidade dos vectores E ou B descrevem uma elipse ao longo do tempo. Casosparticulares da polarizacao elıptica sao as polarizacoes circular e linear. No caso depolarizacao circular a extremidade do vector descreve uma circunferencia e no caso depolarizacao linear um segmento de recta.

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Podemos partir de luz nao polarizada e obter luz polarizada assim como partirde um determinado estado de polarizacao e obter outro diferente. Os metodos maiscomuns para o fazer agrupam-se segundo os fenomenos opticos que os possibilitam,os quais podem ser: (a) reflexao, (b) transmissao atraves de uma pilha de placas, (c)dicroısmo, (d) dupla refraccao e (e) dispersao [7].

Entre os casos extremos de luz completamente nao polarizada e de luz polarizada,existe o caso, mais geral, de luz parcialmente polarizada. Geralmente, esta resulta deluz nao polarizada que sofreu reflexao ou dispersao [3]. Esta luz pode ser vista como amistura de luz polarizada com luz nao polarizada.

Os estados de polarizacao condicionam a ocorrencia de interferencia da forma sumari-ada nas leis de Fresnel e Arago. As experiencias que Fresnel e Arago realizaram em1816 e que conduziram a estas leis tem importancia historica particular uma vez querevelaram a luz como uma perturbacao ondulatoria transversal. As leis sao as seguintes[8]:

1. Dois feixes de polarizacoes lineares perpendiculares nao interferem;

2. Dois feixes de polarizacoes lineares paralelas interferem da mesma forma que a luznatural, desde que derivem do mesmo feixe linearmente polarizado ou da mesmacomponente linearmente polarizada de luz natural;

3. Dois feixes de polarizacoes lineares que derivem de componentes perpendicularesde luz natural nao interferem mesmo que os seus planos de vibracao tenham sidorodados ate coincidirem.

A soma de duas perturbacoes luminosas e uma uma onda vectorial uma vez que oscampos electrico e magnetico que as compoem sao quantidades vectoriais. E facil com-preender que a soma de dois campos perpendiculares (caso de dois feixes de polarizacaolinear perpendicular) nunca se anule, impossibilitando a existencia de interferencia de-strutiva. Esta e a explicacao para a primeira das leis enunciadas acima. Usando omesmo argumento pode explicar-se a segunda lei. A terceira lei diz-nos que as duascomponentes com polarizacoes lineares perpendiculares, em que se pode decompor aluz natural sao incoerentes, e assim permanecem ao fim de alteracoes de polarizacao.Podemos dar uma razao de uma forma simples. Pensemos na luz natural como luz que,instantaneamente, apresenta polarizacao elıptica, cujas forma e orientacao da elipsede polarizacao estao constantemente a ser modificadas. Assim, as componentes queresultam da sua decomposicao apresentam diferencas de fase nao constantes no tempo.

Resumindo temos luz completamente nao polarizada que pode ser decomposta emcomponentes incoerentes de igual irradiancia. Luz polarizada que pode ser decompostaem componentes cujas irradiancias e fases relativas sao determinadas pelo estado depolarizacao. No meio destes dois casos, temos luz parcialmente polarizada decomponıvelem componentes parcialmente coerentes.

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Figura 2.5: Interferometro de Michelson, onde M1 e M2 sao os espelhos, D e o divisorde feixe, C e a placa de compensacao e τ e uma lente convergente.

2.5 Interferometro de Michelson

O interferometro de Michelson e um interferometro de divisao de amplitude e estaesquematizado na figura 2.5. Luz proveniente da fonte S chega a um divisor de feixeD onde e dividida em dois feixes, um dos feixes viaja ate ao espelho movel M1, eo outro viaja ate ao espelho fixo M2. Ambos os feixes retornam ao divisor de feixee porcoes destes dois feixes recombinam viajando ate ao ponto de observacao P. Afonte S pode ser pontual ou extensa, opcao que vai condicionar o tipo de franjas quevamos observar. As distancias entre o divisor de feixe e os dois espelhos devem seridenticas. Caso sejam significativamente diferentes a visibilidade das franjas diminui,chegando a nao se observar, facto que depende da coerencia da fonte utilizada. Alamina compensadora C, que e materialmente e em espessura identica ao divisor defeixe, D, permite igualar os percursos dos dois feixes no interior deste material e, alemdisso, garante que os dois feixes experimentem o mesmo efeito dispersivo que poderaexistir no material do divisor de feixe. Assim, a variacao do percurso optico dos doisfeixes depende apenas da geometria do interferometro. A nao inclusao da lamina decompensacao obriga o uso de uma fonte de luz quase monocromatica. Os espelhospodem ser posicionados exactamente perpendiculares ou ligeiramente desviados destaposicao tendo consequencia no tipo de franjas observadas.

Para compreender melhor a interferencia no interferometro de Michelson, suponha-mos que M ′

2 e a imagem do espelho M2 dada pelo divisor de feixe (ver figura 2.5).Sendo assim, o seu padrao de interferencia e semelhante ao padrao produzido por uma

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placa de faces paralelas, se M1 e M ′2 estiverem exactamente paralelos; ou semelhante ao

padrao produzido por um filme fino, se M1 e M ′2 nao estiverem exactamente paralelos.

No primeiro caso, as franjas sao circulares e localizadas no infinito, franjas de igualinclinacao. Neste caso, as expressoes para franjas brilhantes e escuras diferem ligeira-mente das expressoes 2.15, sendo dadas por

2h cos θ + φλ0/2π = mλ0

2h cos θ + φλ0/2π = (m + 1/2)λ0 m = 0, 1, 2, . . . (2.39)

onde φ e a diferenca de fase que resulta das diferentes alteracoes de fase que os feixes ex-perimentam na reflexao em A, o que depende da natureza da superfıcie semi-reflectora,e h e o espacamento entre M1 e M ′

2. A ordem de interferencia e maxima no centro dopadrao, onde tem o valor m0 dado por

2h +φλ0

2π= m0λ0 (2.40)

Note-se que m0 nao e necessariamente um inteiro, podendo escrever-se da forma

m0 = m1 + e (2.41)

onde m1 e a ordem inteira da franja brilhante mais central, e e um valor real menorque 1, designado por ordem fraccional no centro. A franja brilhante n0 p a contar docentro, corresponde a ordem mp = m1 − (p− 1) e a posicao angular θp de forma que

2h(1− cos θp) = (p− 1 + e)λ0 (2.42)

Para θp pequenos (1− cos θp) ∼ θ2p/2 logo

θp =

√λ0

h(p− 1 + e) (2.43)

Se e = 0 o raio das franjas brilhantes e proporcional a raiz quadrada de inteiros posi-tivos.

Se movimentarmos M1 no sentido de M ′2, as franjas movimentam-se no sentido do

centro do padrao de interferencia. Note-se que pelas expressoes 2.39 a franja de ordemm situa-se numa posicao angular menor quando h diminui, uma vez que o produto2h cos θ deve manter-se constante. Alem disso, as franjas tornam-se mais largas. Afranja brilhante n0 p a contar do centro esta mais distante do centro se a separacaoentre M1 e M ′

2, h diminuir (equacao 2.43). N franjas que aparecem ou desaparecemno centro do padrao correspondem a uma alteracao do caminho optico num dos bracosdo interferometro de Nλ0. E simples verificar que, em 2.40, se a ordem no centro form′

0 = m0 − N entao a nova separacao h′ sera tal que 2h′ = 2h − Nλ0. De formasemelhante, no caso de franjas de igual espessura, que acontecem quando M1 e M ′

2 naoestao exactamente paralelos, a passagem de N franjas num ponto do padrao correspondea uma alteracao de caminho optico de Nλ0.

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2.6 Espectroscopia de Fourier

O uso do interferometro de Michelson em espectroscopia teve inıcio com os trabalhosdo proprio Michelson. A determinacao espectroscopica mais rudimentar consiste nadeterminacao do comprimento de onda da luz de uma fonte monocromatica e pode serrealizada com bastante precisao com este interferometro. Se o espelho movel sofrer umatranslacao de ∆d, o padrao de interferencia sera alterado, e um numero N de franjaspassarao num ponto do alvo. O comprimento de onda facilmente se determina atravesda relacao λ = 2∆d/N .

Uma outra determinacao espectroscopica simples e a resolucao de um dupleto (de-nominacao dada a luz cujo espectro consiste em duas linhas muito proximas em com-primento de onda). Supomos que o interferometro e iluminado com uma fonte destetipo (de comprimentos de onda λ1 e λ2) e que partimos do contacto optico dos espelhos.A medida que um dos espelhos se move, a visibilidade das franjas diminui ate que adiferenca de caminho 2d1 iguale n comprimentos de onda λ1 e n + 1/2 comprimentosde onda λ2. A partir deste ponto a visibilidade recomeca a aumentar ate que o espelhotenha percorrido o dobro do caminho anterior sendo a visibilidade, neste ponto, quasetao elevada como no ponto de partida. Reciprocamente, se observassemos uma evolucaoda visibilidade deste tipo poderıamos concluir que a luz da fonte era um dupleto. Ofundamento da espectroscopia interferometrica esta no facto da curva de visibilidade teruma estreita relacao com a estrutura espectral (distribuicao de irradiancia em funcaodo comprimento de onda) da luz da fonte utilizada.

A expressao analıtica que relaciona estas duas quantidades pode ser obtida damesma forma da utilizada por Michelson [9, 10]. A irradiancia resultante da inter-ferencia de dois feixes de luz de igual comprimento de onda foi determinada na seccao2.1 e e da forma

I = I1 + I2 + 2√

I1I2 cos(k∆S) (2.44)

onde k = 2π/λ e o numero de onda e ∆S e a diferenca de caminho optico. No casoparticular de feixes com irradiancias iguais a expressao reduz-se a

I = I0[1 + cos(k∆S)] (2.45)

onde I0 = I1 + I2. Se a luz nao for monocromatica a sua irradiancia pode escrever-se a custa da distribuicao espectral de irradiancia i(k). Assumindo que cada uma dascomponentes interferem separadamente da forma descrita acima, fica para a intensidadetotal do padrao de interferencia o seguinte integral

I =∫ ∞

0i(k)[1 + cos(k∆S)]dk (2.46)

Se efectuarmos a mudanca de variaveis k = k + k′ (sendo k o numero de onda medioda luz) a irradiancia do padrao de interferencia pode escrever-se na forma

I = P + C cos(k∆S)− S sin(k∆S) (2.47)

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ondeP =

∫i(k + k′)dk′ (2.48)

C =∫

i(k + k′)cos(k′∆S)dk′ (2.49)

S =∫

i(k + k′) sin(k′∆S)dk′ (2.50)

Para luz de uma linha espectral, k′ e pequeno e C e S podem ser considerados, aprox-imadamente, constantes. Neste caso, as posicoes dos maximos e dos mınimos da ir-radiancia podem ser dados, aproximadamente, pela seguinte equacao

dI

d∆S = −k[C sin(k∆S) + S cos(k∆S)] = 0 (2.51)

que tem como resultado

tan(k∆S) = −S

C(2.52)

Assim as irradiancias extremas sao dadas por

Iext = P ±√

C2 + S2 (2.53)

e a visibilidade por

V =√

C2 + S2

P(2.54)

No caso de distribuicoes simetricas, S = 0 e a visibilidade reduz-se a V = |C|/P , po-dendo determinar-se C (a menos de uma constante) a partir da curva de visibilidade.A densidade espectral i(k) obtem-se por transformacao de Fourier de 2.49. Nos casosde distribuicao assimetrica, a analise e mais difıcil, sendo, no entanto, possıvel deter-minar C e S a partir da curva de visibilidade e da posicao do padrao de interferenciarelativamente a uma fonte simetrica e homogenea de comprimento de onda semelhante(esta ultima medida da-nos a razao S/C pela equacao 2.52).

A espectroscopia de Fourier que se efectua nos nossos dias, particularmente naregiao do infravermelho, nao se baseia na curva de visibilidade mas sim na curva deirradiancia, a qual e facilmente registada com a instrumentacao moderna.

Considerando uma analise alternativa a anterior pode chegar-se a uma relacao entreo espectro e a irradiancia de interferencia em funcao da diferenca de caminho [11, 12].A irradiancia 2.46 pode ser reescrita do modo

I(∆S) =∫ ∞

0i(k)dk +

∫ ∞

0i(k) cos(k∆S)dk (2.55)

A primeira parcela e constante e proporcional ao valor da irradiancia para ∆S = 0, ouseja

I(0)2

=∫ ∞

0i(k)dk (2.56)

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A segunda parcela tem um comportamento oscilatorio e da-se-lhe o nome de interfer-ograma

F (∆S) = I(∆S)− 12I(0) =

∫ ∞

0i(k) cos(k∆S)dk (2.57)

Esta funcao e suficiente para determinar unicamente a distribuicao espectral de ir-radiancia, i(k), atraves da seguinte transformacao de Fourier

i(k) =1π

∫ ∞

−∞F (∆S) cos(k∆S)d∆S (2.58)

Deste modo, temos duas formas diferentes de fazer espectroscopia interferometrica:a partir da curva de visibilidade (que so e eficiente se a partida soubermos que adensidade espectral e simetrica relativamente a uma frequencia central) e a partir dointerferograma (que determina de forma unica, sem condicoes previas, a distribuicaoespectral). Escrevamos a expressao 2.47, para a irradiancia, de outra forma

I(∆S)P

= 1 + V(∆S) cos(φ + k∆S) (2.59)

onde φ = tan−1(S/C). Esta ultima expressao mostra que a curva de visibilidade eapenas a envolvente da curva de irradiancia normalizada.

Como sabemos existe uma relacao entre as caracterısticas espectrais da luz e asua coerencia temporal. E possıvel escrever a irradiancia em funcao da diferenca decaminho dos dois feixes interferentes a partir da expressao 2.34 encontrada na seccao2.3. Se os feixes interferentes provierem da mesma regiao da fonte e tiverem a mesmairradiancia, a irradiancia no ponto Q, na regiao de sobreposicao fica

IQ(τ) = 2IQ(0)[1 +Reγ11(τ)] (2.60)

onde τ e o atraso temporal relativo a diferenca de caminho ∆S (τ = ∆S/v, sendo v avelocidade da luz) e γ11 e o grau de auto-coerencia complexo. Assim o interferogramae tambem uma medida da coerencia.

O grau de auto-coerencia complexo e uma funcao normalizada de correlacao entreos dois feixes interferentes, definido na seccao 2.3. Pode-se chegar a seguinte expressaopara a sua parte real [12]

Reγ11(τ) =∫∞0 i(ω) cos(ωτ)dω∫∞

0 i(ω)dω(2.61)

que o relaciona com a distribuicao espectral atraves do teorema de Fourier.

2.7 Velocimetria usando o efeito de Doppler

A velocimetria usando o efeito de Doppler e uma tecnica que usa a luz laser para medirvelocidades de partıculas e superfıcies. O princıpio fundamental desta tecnica consistena alteracao de frequencia exibida pela luz reflectida num objecto em movimento. Se

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esta luz de frequencia diferente se sobrepuser a luz de referencia reflectida num ob-jecto estacionario produz-se uma frequencia de batimento, designada por frequencia deDoppler. Esta tecnica pode aplicar-se usando um interferometro de Michelson. Pode-mos pensar no sinal luminoso que chega ao alvo como resultado da sobreposicao de luzproveniente da reflexao no espelho fixo, de frequencia inalterada, com luz provenientedo espelho movel (a uma velocidade v), de frequencia ligeiramente diferente devido aoefeito de Doppler. Sendo este sinal a soma de dois campos luminosos com frequenciasligeiramente diferentes, apresenta uma frequencia de batimento, ou seja, a irradianciadetectada num ponto da regiao de sobreposicao apresenta uma oscilacao harmonica defrequencia fD (frequencia de Doppler).

F

x 0 -vt

x 0

M' M

I I'

x 0 -vt

x 0

v

Figura 2.6: Esquema que mostra as posicoes relativas da fonte (F), espelho movel (Me M’) e imagem da fonte (I e I’) num interferometro de Michelson.

Como a luz viaja ate ao espelho e volta para tras, viaja uma distancia 2(x0 − vt)que e igual a distancia entre a fonte e a imagem, xFI′ (ver figura 2.6). Assim nanossa analise, podemos considerar a imagem (que actua como uma fonte virtual) adeslocar-se no sentida da fonte real a uma velocidade vrel (relativamente ao referencialdo laboratorio) dada por

vrel =dxFI′

dt= −2v (2.62)

Usando a expressao do efeito de Doppler [13]

∆f

f=

√1− (vrel/c)2

vrel/c− 1+ 1 (2.63)

na aproximacao de primeira ordem em vrel/c, ou seja ∆f/f = −vrel/c, a frequencia debatimento de Doppler, que corresponde a ∆f , pode esrever-se da forma

fD = 2v/λ (2.64)

Entao, o efeito do espelho em movimento e igual ao do movimento da imagem dafonte a velocidade 2v, sendo v a velocidade do espelho relativamente a fonte. Assim,a alteracao de Doppler, neste caso, e duas vezes maior que a que se observa quandoexiste a mesma velocidade relativa entre a fonte e o observador.

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Capıtulo 3

Realizacao experimental eresultados

Neste capıtulo descrevemos as experiencias propostas aos alunos, apontando algunspormenores experimentais e apresentando os resultados por nos obtidos e respectivadiscussao.

3.1 Montagem do interferometro

A primeira tarefa proposta e a montagem do interferometro de Michelson numa mesaoptica. A montagem do interferometro faz-se genericamente de acordo com a figura 2.5.A placa de compensacao nao e necessaria no caso de um divisor de feixe cubico que con-tenha a superfıcie semi-reflectora num dos seus planos diagonais internos. Neste ultimocaso, esta salvaguardada a semelhanca entre os bracos no que respeita ao caminho quea luz percorre dentro do divisor de feixe. A fonte luminosa usada na montagem e testedo interferometro e um laser de He-Ne (ver fotografias da montagem na figura 3.1).

De seguida referimos alguns pontos a ter em atencao na montagem do interferometro:

• Os componentes opticos (espelho, divisor de feixe, lentes e laser) devem estar amesma altura relativamente a mesa optica;

• Os bracos do interferometro devem ter comprimentos semelhantes para que adiferenca de caminho nao exceda o comprimento de coerencia da luz utilizada;

• O feixe do laser devera manter-se paralelo a mesa, requisito que devera ser ver-ificado antes da introducao de qualquer um dos componentes opticos e apos aintroducao de cada um deles isoladamente;

• Melhoraremos a experiencia se o feixe coincidir com o centro dos componentesopticos;

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Figura 3.1:

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• Ambos os espelhos deverao estar montados em suportes posicionaveis atraves dedois graus de liberdade, para possibilitar a colocacao do espelho perpendicular aofeixe de luz;

• O espelho M2 devera estar montado numa plataforma de translacao conduzidapor um parafuso micrometrico;

• Para melhorar a visibilidade das franjas usamos o mecanismo anti-vibratorio damesa optica (flutuacao por ligacao a rede de ar comprimido).

Durante a montagem do interferometro, usamos um laser de He-Ne. No final foipossıvel obter franjas circulares e aproximadamente rectilıneas. Para uma diferenca decaminho quase nula, as franjas sao largas e apenas algumas se encontram no padraoprojectado no alvo. A medida que aumentamos a diferenca de caminho, em qualquerdos sentidos, as franjas movimentam-se no sentido da periferia (no caso de franjascirculares) e tornam-se mais finas.

3.2 Verificacao das leis de Fresnel-Arago

Para iniciar o estudo da interferencia propomos a verificacao das condicoes de polar-izacao para as quais ocorre interferencia, sumariadas nas leis de Fresnel-Arago (verseccao 2.4). Nesta parte, usa-se uma fonte de luz nao polarizada que pode ser umalampada espectral. O procedimento e os resultados descrevem-se a seguir:

• Introduz-se dois polarizadores com eixos de transmissao perpendiculares, um emcada um dos bracos do interferometro. Nao se observam franjas de interferenciacomo se preve pela primeira lei.

• Repete-se o ponto anterior, tendo os polarizadores, neste caso, eixos de trans-missao paralelos. Observam-se franjas de interferencia (verificando a segundalei).

• Repete-se o primeiro ponto, introduzindo tambem uma lamina de atraso de λ/2apos um dos polarizadores. Neste caso os feixes na regiao de sobreposicao tempolarizacoes paralelas mas nao se observam franjas de interferencia (verificandoa terceira lei).

3.3 Visualizacao dos varios tipos de franjas

Para continuar o estudo da interferencia pretende-se, nesta parte, distinguir os variostipos de franjas conseguidas com o interferometro de Michelson. Descrevemos a seguircomo se obtem os varios tipos de franjas, evidenciando alguns procedimentos impor-tantes:

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• Com a fonte laser, por ser uma fonte pontual, poderemos observar um padraode franjas nao localizado. Ou seja, neste caso as franjas podem projectar-senum alvo sem necessidade de qualquer sistema formador de imagem. As franjaspodem ser circulares (ver figura 3.2), para espelhos exactamente perpendicularesou aproximadamente rectilıneas para espelhos nao exactamente perpendiculares(ver figura 3.3).

• As fontes espectrais sao fontes extensas. Com estas poderemos observar umpadrao de franjas localizado. Desde que os bracos do interferometro sejam identicose que os espelhos estejam quase perpendiculares, e possıvel ver franjas rectilıneasse focarmos o olho no espelho, ou na imagem do espelho, mais distante. Se osespelhos ficarem exactamente perpendiculares pode observar-se um padrao defranjas circulares. A observacao devera ser feita com o olho focado no infinito oucom a ajuda de um telescopio.

Para ambos os tipos de fontes, o padrao de interferencia, de franjas circulares ourectilıneas, tem o seguinte comportamento com a variacao de diferenca de caminho.

• No caso de franjas circulares, a posicao de contacto optico dos espelhos cor-responde a uma iluminacao constante na regiao de sobreposicao. A medida queaumentamos a diferenca de caminho, seja por deslocamento do espelho no sentidodo divisor de feixe ou no sentido contrario, as franjas comecam a aparecer cadavez mais finas e em maior numero (ver figura 3.2, que ilustra este comportamentono caso em que a fonte era o laser).

• As franjas so sao exactamente rectilıneas na posicao de contacto optico. A medidaque aumentamos a diferenca de caminho, as franjas comecam a encurvar, de talforma que apresentam a convexidade no sentido da parte mais fina da cunhaformada por um dos espelhos e a imagem do outro. Daı a justificacao para amudanca de curvatura das franjas quando alteramos o sentido de deslocamentodo espelho (ver figura 3.3).

Sera importante ter em atencao alguns pormenores da realizacao experimental.

• Com a fonte laser, e necessario alargar o diametro do feixe podendo para issousar-se uma lente.

• Com a fonte laser, para melhor alinhar o interferometro, deve-se primeiro ajustarum dos espelhos antes de expandir o feixe. Deste modo poderemos fazer coincidirno alvo os feixes provenientes dos dois bracos. Depois do feixe expandido fazem-sepequenos ajustes. Com as lampadas, o alinhamento e facilitado pela colocacaode um objecto escuro agucado, por exemplo um lapis, entre a fonte e o divisor defeixe. Assim, o processo de ajuste dos espelhos faz-se no sentido de fazer coincidiras duas imagens desse objecto.

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Figura 3.2:

Figura 3.3:

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• As franjas rectilıneas, tanto no caso da fonte laser como no caso da fonte extensa,sao as mais facilmente encontradas. Este facto explica-se facilmente se pensar-mos que estas franjas existem no caso de espelhos nao exactamente paralelos.Observando estas ultimas franjas e ajustando um dos espelhos no sentido de asengrossar, obteremos as franjas circulares ou franjas de igual inclinacao.

Nas figuras 3.2 e 3.3 mostramos algumas fotografias dos padroes de franjas obser-vados.

3.4 Estudo da coerencia da luz de algumas fontes

Para complementar o estudo da interferencia propomos um estudo da coerencia tem-poral da luz de varias fontes: laser He-Ne, lampada espectral de He, lampada de sodioe lampada de luz branca. Para isso, aumentamos a diferenca de caminho entre os doisbracos do interferometro, deslocando um dos espelhos, ate que as franjas de interferenciadeixem de se observar.

Usando o laser de He-Ne, conseguimos observar franjas, num alvo, ate que o com-primento dos bracos diferisse de 1.35m, o que equivale a uma diferenca de caminhode 2.70m. Por se tratar de uma grande distancia, o deslocamento do espelho foi feitodescontinuamente. No entanto, para cada uma das posicoes deste espelho variamos aposicao do outro espelho com a ajuda da plataforma de translacao e do micrometromotorizado. O fotodetector foi colocado no centro do padrao de interferencia e o sinalfoi observado no osciloscopio. Usando este metodo encontramos variacoes de visibili-dade. Para uma diferenca de caminho de 20.0±1.0cm existe um mınimo de visibilidadee para o dobro desta diferenca existe um novo maximo.

No caso da lampada espectral de He, as franjas mantiveram-se visıveis durante odeslocamento de um dos espelhos de 15.5mm, partindo da posicao de contacto optico.Este valor equivale a uma diferenca de caminho de 31mm. O deslocamento do espelhofoi feito a custa do micrometro motorizado, uma vez que a sua amplitude de movimentoe de 25mm, e a observacao foi feita com um telescopio. O deslocamento do espelho foifeito lentamente e nao detectamos variacoes de visibilidade evidentes.

Usando a lampada de sodio como fonte, observamos de forma clara variacoes devisibilidade a medida que aumentavamos a diferenca de caminho optico. Franjas distin-tas e padroes quase uniformemente iluminados sucederam-se periodicamente enquantodeslocavamos o espelho. Partindo de um maximo de visibilidade e deslocando o es-pelho de 2.5mm, foram observados mais 9 maximos. Este resultado equivale a umadiferenca de caminho entre dois maximos de visibilidade consecutivos de 0.55mm. Asfranjas deixaram de ser visıveis atraves do telescopio para um deslocamento maximodo espelho de 10mm (diferenca de caminho de 20mm).

Finalmente, usamos uma fonte de luz branca. As franjas produzidas por luz brancasao difıceis de encontrar devido a sua baixa coerencia temporal. Colocamos o espelhoperto da posicao de contacto optico, introduzimos um filtro vermelho no caminho da luze procuramos franjas. Depois de as encontrar, retiramos o filtro e observamos franjascoloridas aproximadamente rectilıneas. O micrometro motorizado deslocou o espelho

28

por menos de 1/10 de mm (valor estimado na escala graduada em mm) ate que asfranjas deixaram de se observar.

Como sabemos da seccao 2.3, a coerencia temporal de uma fonte de luz esta rela-cionada com a sua estrutura espectral. Na altura apresentamos uma expressao destarelacao na forma

∆λ =λ2

∆lc(3.1)

Sabemos tambem, da discussao feita na seccao 2.6, que a curva de visibilidade e umaoutra expressao desta relacao. Sabe-se que a diferenca de caminho para a qual a visibil-idade e nula corresponde, pela expressao 3.1, a largura das riscas presentes no espectro.Por outro lado, a diferenca de caminho entre maximos de visibilidade relativos queacontecem antes de atingirmos a visibilidade nula corresponde, pela mesma expressao,a distancia entre as riscas [3, 9].

Segundo o fabricante, o laser usado e do tipo multimodo sendo constituıdo pormodos de largura 1MHz (1.3 × 10−6nm) separados por 687MHz (9.2 × 10−4nm). Adiferenca de caminho entre o primeiro e o segundo maximo de visibilidade de cerca de40cm corresponde, pela expressao 3.1, a ∆λ = 1.0 × 10−3. Como era esperado, peladiscussao feita acima, este valor e da mesma ordem de grandeza da separacao entreos modos dada pelo fabricante. A diferenca de caminho maxima para a qual aindaobservamos franjas, 2.70m, corresponde a ∆λ = 1.5 × 10−4, este valor e superior emduas ordens de grandeza a largura tıpica dos modos do laser. A perda de visibilidadedas franjas para esta distancia nao corresponde pois a largura dos modos mas ao factode as franjas se tornarem muitos estreitas para se distinguirem a ollho nu. De notarque a largura do modo de 1.3 × 10−6nm corresponde a uma diferenca de caminho de300m.

A luz da lampada espectral de He foi observada num espectrometro apos a passagempor um prisma e encontraram-se quatro riscas: vermelha, amarela, verde e violeta. Ocomprimento de coerencia de 31mm corresponde a um ∆λ = 9.8 × 10−3nm, que seratambem, neste caso, relativo a uma largura media das riscas. A largura tıpica de umarisca espectral e de 10−3 − 10−2nm [14], o que da razoabilidade ao nosso resultado.

O espectro da luz da lampada de sodio consiste num dupleto na regiao do amarelo,de comprimentos de onda 588.99 e 589.59nm [15]. O aumento de diferenca de caminhoque faz a visibilidade passar de um maximo para o maximo consecutivo (0.55mm)corresponde a ∆λ = 0.63nm que esta de acordo com a separacao das riscas do dupleto.O comprimento de coerencia relativo a visibilidade nula de 20mm corresponde a um∆λ = 1.7×10−2nm que estara ligado a largura das riscas individuais. Mais uma vez esteresultado se encontra proximo dos valores conhecidos para riscas espectrais, referidosacima.

Finalmente, a luz branca apresenta um comprimento de coerencia na ordem dossubmilımetros. Este resultado era esperado devido a sua natureza de largo espectro.

29

Figura 3.4: Percurso do feixe numa placa transparente em rotacao.

3.5 Determinacao do comprimento de onda da luz do laserde He-Ne

A primeira medida interferometrica proposta e a determinacao do comprimento deonda de uma fonte monocromatica usando a relacao entre o deslocamento de um doespelhos, ∆d, com o numero de franjas que passam no centro do padrao, N , que eda forma ∆d = Nλ/2. Esta experiencia e geralmente efectuada em disciplinas dosprimeiros anos, nao sendo grande novidade para os alunos.

Apresentamos em apendice, na tabela B.1, os resultados de oito experiencias. Comestes resultados obtivemos a seguinte estimativa para o comprimento de onda do laserde He-Ne vermelho

λ = 634.5± 4.3nm (3.2)

que corresponde a media ± o desvio padrao dos resultados individuais encontrados.De notar que a resolucao do micrometro e 0.5 × 103nm. Apenas o erro de leitura domicrometro transfere um erro de cerca de 20nm para cada um dos valores individuaisde λ (valor calculado para 100 franjas). Para aumentar a precisao do resultado pode-se construir um sistema de translacao com uma alavanca de modo a desmultiplicar odeslocamento do espelho, facto que, alem de diminuir a propagacao da resolucao domicrometro para o resultado final, facilitaria a contagem visual das franjas.

3.6 Determinacao do ındice de refraccao de um material

Continuando com as medidas interferometricas, pretendemos determinar o ındice derefraccao do material de uma placa de faces paralelas por rotacao da mesma num dosbracos do interferometro. Pela rotacao da placa variamos o caminho percorrido pelaluz na placa, logo variamos o caminho optico e ocorre movimento das franjas no padraode interferencia. Este e o efeito que nos permite determinar o ındice de refraccao.

Suponhamos que a placa de espessura t parte de uma posicao exactamente perpen-dicular ao feixe de luz, para a qual o percurso optico no braco correspondente e (ver

30

figura 3.4)Si = 2l − 2t + 2nt (3.3)

onde l representa o comprimento do braco e n o ındice de refraccao do material daplaca. A placa sofre uma rotacao de θ e o percurso optico, neste braco, aumenta parao valor

Sf = 2l − 2t cos(θ − θr)cos θr

+2tn

cos θr(3.4)

A diferenca de caminho optico e dado pela diferenca entre os dois percursos, ficando

∆S = Sf − Si = 2t

[n

cos θr− n− cos(θ − θr)

cos θr+ 1

](3.5)

que, usando a lei de Snell, se pode escrever apenas em funcao do angulo de rotacao θ

∆S = 2t

(1 +

√n2 − sin2 θ − n− cos θ

)(3.6)

Suponhamos um padrao de franjas de igual espessura. Sabemos que o numerode franjas que passam num ponto do alvo, N , devido a uma diferenca de caminhooptico, ∆S, e dado por N = ∆S/λ0. Entao, o ındice de refraccao pode determinar-seexperimentalmente por rotacoes de pequeno angulo, usando a expressao

n =(

1− Nλ0

tθ2

)−1

(3.7)

onde aproximamos√

n2 − sin2 θ e cos θ pelas respectivas series de Taylor truncadas ateao termo de segunda ordem.

0

5

10

15

20

25

30

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

θ (rad)

N

Figura 3.5: Grafico de numero de franjas versus rotacao da placa.

31

O pormenor experimental mais importante e a colocacao inicial da placa, exacta-mente perpendicular ao feixe. Pequenos desvios da situacao perpendicular produzem er-ros no resultado final para o ındice de refraccao. A verificacao da coincidencia dos feixesincidente e reflectido na placa pareceu-nos a melhor forma de conseguir tal situacao ini-cial.

Em apendice apresentamos as tabelas de duas experiencias (B.2 e B.3). Foi real-izado um ajuste aos pontos experimentais usando a expressao 3.7, encontrando assim oındice de refraccao. O ajuste foi efectuado por um metodo numerico que minimizou osquadrados dos desvios (Excel 97). Para cada um dos ajustes fizemos um teste de χ2,cujos resultados tambem apresentamos juntamente com as tabelas. Os resultados doteste correspondem a nıveis de significancia de 30 e 45%. Um dos graficos dos pontosexperimentais e respectivo ajuste e mostrado na figura 3.5.

Estimamos o seguinte valor para o ındice de refraccao do material usado

n = 1.528± 0.034

que consiste na media dos dois valores encontrados ± o desvio em relacao a media.Este valor e aceitavel atendendo a que a placa usada era de acrılico.

3.7 Estudo da variacao do ındice de refraccao de um gascom a pressao

Pretende-se estudar a variacao do ındice de refraccao do ar com a pressao atraves daalteracao do padrao de interferencia. A variacao do ındice de refraccao numa porcaode um dos bracos do interferometro, de comprimento t, faz variar o caminho optico de∆S = 2t∆n. Entao o numero de franjas que passam num ponto e

N =2t∆n

λ0(3.8)

A lei teorica, conhecida por lei de Lorenz-Lorentz, que relaciona o ındice de refraccao,n, de um gas com a densidade, ρ, e da seguinte forma [7]

n2 − 1n2 + 2

= (n− 1)(n + 1)(n2 + 2)

= const.ρ (3.9)

Para n perto da unidade o factor(n + 1)/(n2 + 2) e praticamente constante, pelo que(n − 1) e directamente proporcional a densidade e consequentemente a pressao. Esteresultado verifica-se experimentalmente. Assim, esperamos que a variacao do ındice derefraccao seja proporcional a variacao da pressao.

Os resultados sao apresentados na tabela B.4 em apendice. O numero de franjas quepassa no centro do padrao varia linearmente com a variacao de pressao como se podeobservar no grafico dos resultados experimentais na figura 3.6. Tambem, neste caso,efectuamos um teste de χ2 que se apresenta na tabela. O resultado do teste correspondea um nıvel de significancia de 30%. A recta de regressao linear e N = 0.3558∆P −0.62.

32

-5

0

5

10

15

20

25

30

0 20 40 60 80

∆P (cmHg)

N

Figura 3.6: Grafico do numero de franjas que passam no centro do padrao versusvariacao de pressao na celula de ar

Usando os resultados experimentais sumariados na recta de regressao linear, a expressao3.8 e tomando o ındice de refraccao igual a 1 no vazio (P = 0), podemos determinar oındice de refraccao do ar a pressao atmosferica (P = 76cm Hg) que fica

nPatm = 1.0002612± 0.0000050

onde a incerteza se deve a dispersao dos valores, contabilizada nas incertezas associadasao declive e a ordenada na origem, e a incerteza do comprimento da celula.

O valor tabelado para o ındice de refraccao do ar a pressao atmosferica e para umcomprimento de onda de λ = 630nm (devemos lembrar que usamos o laser de He-Ne vermelho para realizar a experiencia) e 1.0002760, a uma temperatura de 150C, e1.0002622, a uma temperatura de 300C [15]. A temperatura na altura da experiencia eramais proxima dos 150C, pelo que existe uma discrepancia de 5% entre os valores. Umavez que a incerteza associada ao comprimento da celula ja foi considerada, sugere-seque esta discrepancia se deva a uma deficiente calibracao do manometro.

3.8 Espectroscopia de Fourier

Neste parte do trabalho pretendemos ilustrar a tecnica de espectroscopia de Fourier.Apenas conseguimos efectuar, com relativo sucesso, medidas espectrais de fontes laser.Propomo-nos melhorar o sistema, principalmente a parte da deteccao de interferogra-mas de fontes nao laser. Entretanto, propomos usar a tecnica para determinar a risca deemissao de varios laser He-Ne (vermelho, amarelo, laranja e verde). Na seccao 2.6 dis-cutimos a forma de usar a curva de irradiancia da interferencia em funcao da diferencade caminho para conhecer o espectro da luz utilizada. Esta tecnica e conhecida porespectroscopia de Fourier uma vez que as quantidades acima referidas se relacionam

33

por uma transformacao de Fourier. Da equacao 2.57 sabemos que o interferogramaF (∆S) se relaciona com a densidade espectral i(k) da seguinte forma

F (∆S) =∫ ∞

0i(k) cos(k∆S)dk (3.10)

A diferenca de caminho e conseguida por translacao de um dos espelhos , a velocidadeconstante, usando um micrometro motorizado, entao

F (2vt) =∫ ∞

0i(k) cos(k2vt)dk (3.11)

sendo v a velocidade do espelho. O interferograma escrito em funcao da variavel trelaciona-se com a densidade espectral i′(f) da forma

F ′(t) =∫ ∞

0i′(f) cos(2πft)df (3.12)

onde f = kv/π e a chamada frequencia de modulacao. A densidade espectral e, entao,obtida efectuando uma transformada de Fourier do interferograma da forma

i′(f) =2π

∫ +∞

0F ′(t) cos(2πft)dt (3.13)

onde assumimos que o interferofgrama e uma funcao simetrica relativamente a t = 0.

3.8.1 Amostragem do interferograma: resolucao e dobragem

Teoricamente necessitarıamos de medir o interferograma desde uma diferenca de cam-inho nula ate +∞ digitalizado em pequenos intervalos infinitesimais. Na pratica faz-seuma amostragem do interferograma, medindo o seu valor em intervalos finitos ate umadiferenca de caminho maxima ∆Smax (no nosso caso, a essa diferenca de caminhomaxima corresponde um tempo maximo Tmax). O tempo maximo impoe a resolucaodo espectro obtido o seguinte limite [16, 17, 11]

∆f =1

Tmax(3.14)

Por outro lado a frequencia de amostragem fa = 1/∆t (onde ∆t e o intervalo de tempoentre cada ponto da amostra) deve pelo menos ser duas vezes maior que a frequenciamaxima, fmax contida no interferograma. Por outras palavras, a componente ondu-latoria do interferograma de maior frequencia deve ser, pelo menos, amostrada duasvezes por perıodo. Caso contrario esta componente, alem de aparecer com o seu valorreal, aparecera tambem como outra frequencia inferior. Isto porque o espectro obtidoexibe simetria de reflexao relativamente a uma frequencia, designada por frequencia deNyquist, dada por

fN =1

2∆t(3.15)

34

A este fenomeno da-se o nome de dobragem, sendo uma das desvantagens da espec-troscopia de Fourier. Uma caracterıstica espectral que aparece a uma frequencia f1,inferior a fN , aparece tambem a uma frequencia superior f2, tal que f2 = 2fN − f1,e tambem a f3 = 2fN + f1. Este facto nao traz problemas se as frequencias do inter-valo 0 < f < fN sao reflectidas para valores superiores a fN . No entanto, se existirinformacao espectral acima de fN ela e reflectida para tras, sendo mal interpretada.

Ao chegar a expressao 3.13 assumimos um interferograma simetrico em torno de∆S = 0. Assim, teremos que tomar o valor de F ′(t) exactamente desde t = 0 (cor-respondendo a ∆S = 0), caso contrario estaremos a adicionar componentes seno aointerferograma, ocasionando erros no espectro obtido. Existem tecnicas, denominadasde correccao de fase, para retirarem estas componentes do interferograma ou removeremos seus efeitos no espectro. Outra forma de resolver o problema e fazer a amostragemem igual conjunto de pontos dos dois lados de t = 0, registando um interferograma debanda dupla. Neste caso, ambas as transformadas de Fourier, co-seno e seno, devemser determinadas e a densidade espectral e dada por [18]

i′(f) =√

T 2cos(f) + T 2

sin(f) (3.16)

Este metodo apresenta, porem, a desvantagem do tempo de amostragem ter que ser odobro do tempo usado num metodo de banda unica para a mesma resolucao.

3.8.2 Sistemas de deteccao e aquisicao

Como sistema de deteccao usamos um fotodıodo de silıcio com amplificador, ambos namesma caixa. A regiao sensıvel do fotodetector e colocada no centro do padrao de in-terferencia. O sinal deste fotodetector e enviado por um cabo coaxial a um osciloscopiodigital com armazenamento, Lecroy 9400A. Por sua vez, o osciloscopio comunica como computador atraves de uma porta paralela GPIB [19]. O software que faz a comu-nicacao e o Labview. Uma outra possibilidade, que tornava o sistema mais simples e demenor preco, consistia em enviar o sinal do fotodetector directamente para o computa-dor usando uma placa de som. No entanto, este sistema dava-nos o trabalho acrescidode escrever um software de comunicacao.

3.8.3 Transformada de Fourier

A transformada de Fourier do interferograma faz-se atraves do algoritmo FFT (FastFourier Transform) [20] do programa Excel. O algoritmo FFT requer uma amostragemde N = 2n pontos e, se a separacao entre pontos de amostragem for ∆t, a diferencaentre dois pontos espectrais adjacentes e dada por

∆f =1

N∆t(3.17)

que para um interferograma de banda dupla e metade da resolucao.A frequencia maxima existente no interferograma e a exigencia do numero de pontos

igual a uma potencia de dois impoe a escolha dos parametros de amostragem, Tmax e ∆t.

35

Neste trabalho queremos determinar as riscas de emissao de varios laser. Efectuamosum registo preliminar do interferograma de laser de He-Ne vermelho e verificamos umafrequencia principal de cerca de 1000 Hz. Tomando o valor de comprimento de ondaλ = 632.8nm, obtemos para a velocidade do espelho v = λf/2 = 316.4µms−1. Paraesta velocidade do espelho, a frequencia maxima presente num interferograma de luzvisıvel e fmax ∼ 1500Hz. Fazendo uma amostragem de 2048 pontos e considerando afrequencia de Nyquist fN = 1500Hz, o tempo maximo de amostragem e cerca de 0.65s.O valor mais proximo, possıvel no osciloscopio, e 0.5s.

3.8.4 Resultados

Foram efectuadas amostragens de 2048 pontos durante 0.5 s dos interferogramas dosquatro lasers He-Ne. Depois de efectuada uma transformada de Fourier do tipo FFT,obtivemos os resultados ilustrados nas figuras 3.7-3.10. Nestas figuras esta representadao valor absoluto da transformada de Fourier complexa.

0

35

70

105

140

0 500 1000 1500 2000

Frequência de modulação (Hz)

Inte

nsid

ade

Figura 3.7: Espectro do laser He-Ne vermelho

0

20

40

60

0 500 1000 1500 2000

Frequência de modulação (Hz)

Inte

nsid

ade

Figura 3.8: Espectro do laser He-Ne verde

A risca principal e larga e esta ladeada por riscas secundarias, em alguns dos casos,bastante significativas. A largura da risca principal deve-se principalmente a irregular-idades na velocidade do espelho [21]. Em espectroscopia de Fourier, para ultrapassaresta dificuldade, e usual fazer a amostragem em pontos igualmente espacados em deslo-camento de espelho e nao em tempo. Esta tecnica e realizavel se, por exemplo, usarmos

36

0

35

70

105

140

0 500 1000 1500 2000

Frequência de modulação (Hz)

Inte

nsid

ade

Figura 3.9: Espectro do laser He-Ne amarelo

0

150

300

450

0 500 1000 1500 2000

Frequência de modulação (Hz)

Inte

nsid

ade

Figura 3.10: Espectro do laser He-Ne laranja

um outro laser de referencia e a amostragem for feita quando o seu interferograma tiverum maximo [17]. Perturbacoes mecanicas, acusticas, ou mesmo o sinal electrico darede podem tambem explicar a largura da risca principal. Estas perturbacoes podemexplicar tambem o aparecimento das riscas secundarias que se distanciam da risca prin-cipal por 80 a 100 Hz e se encontram em todos os espectros (ver trabalho de velocimetriausando o efeito de Doppler apresentado na seccao seguinte). De notar que, uma vezque as riscas secundarias apareciam nos espectros quer o sistema anti-vibratorio damesa optica estivesse a funcionar quer nao, as perturbacoes mecanicas nao serao umaexplicacao para tais efeitos.

Os espectros apresentados estao em funcao da chamada frequencia de modulacaoque, como ja referimos, se relaciona com o comprimento de onda da forma f = 2v/λ,sendo v a velocidade do espelho. Tomamos o laser He-Ne vermelho como referencia paradeterminar a velocidade do espelho e determinamos depois os comprimentos de ondados outros lasers. Os resultados apresentam-se na tabela 3.1. O erro da determinacaoresulta de considerar uma incerteza para as frequencias de modulacao de 4Hz. Sepensarmos que os interferogramas sao do tipo de dupla banda, 0.5s de amostragemcorresponde a um Tmax, relativamente a t = 0, de 0.25s. Assim, aplicando a expressaopara a resolucao 3.14 obtemos ∆f = 4Hz. A excepcao do laser laranja, os comprimentosde onda determinados estao de acordo com os esperados. A excepcao do laser laranjapode muito bem justificar-se pelo facto da incerteza de 4Hz nao pesar a possibilidade

37

LaserComprimentode onda (nm)

Frequência demodulação doespectro (Hz)

Velocidadedo espelho

(µm/s)

Comprimento deonda determinado

(nm)Vermelho 632.8 970.9 _______

Laranja 612.0 993.3 618.5±5.0

Amarelo 594.1 1030.0 596.5±4.7

Verde 543.5 1129.7

307.2±1.3

543.8±4.1

Tabela 3.1: Tabela dos resultados experimentais de espectroscopia de Fourier.

de irregularidades da velocidade do espelho.

3.9 Velocimetria usando o efeito de Doppler

Neste trabalho, pretende-se usar o interferometro de Michelson para aplicar a tecnica develocimetria de Doppler, pretendendo medir a velocidade do espelho movel. Alem disso,pretendemos mostrar o efeito optico causado pela presenca simultanea do movimentodo espelho com velocidade constante e uma onda acustica. Notemos que, no trabalhoanterior, usamos o laser He-Ne vermelho para estimar a velocidade do espelho. Emborao objectivo do trabalho fosse outro, fizemos essa determinacao usando velocimetriapor efeito de Doppler. Podemos pensar no sinal luminoso que era detectado comoresultado da sobreposicao de luz proveniente da reflexao no espelho fixo, de frequenciainalterada, com luz proveniente do espelho movel (a uma velocidade v), de frequencialigeiramente diferente devido ao efeito de Doppler. Sendo este sinal a soma de doiscampos luminosos com frequencias ligeiramente diferentes, apresenta uma frequenciade batimento, ou seja, a irradiancia detectada num ponto da regiao de sobreposicaoapresenta uma oscilacao harmonica de frequencia fD (frequencia de Doppler). Notrabalho referido na seccao 3.8 relacionamos esta frequencia, na altura denominadafrequencia de modulacao, com o comprimento de onda da luz atraves da velocidadedo espelho da forma fD = 2v/λ. Nesta abordagem, a espectroscopia da Fourier nao emais do que a determinacao das varias frequencias de Doppler, uma por cada frequenciaoptica presente na luz da fonte a estudar. Isto e, cada uma das componentes espectraisda luz da origem a um campo de igual frequencia (reflectido no espelho fixo) e um outrocampo de frequencia alterada (reflectido no espelho movel) originando a respectivafrequencia de batimento que se determina por transformada de Fourrier.

Nesta abordagem, e como foi mostrado na seccao 2.7 usando o proprio efeito deDoppler, obtemos a mesma expressao para a frequencia de Doppler, ou seja

fD = 2v/λ. (3.18)

Usando um laser He-Ne de λ = 632.8nm obtemos fD = 3.161v(µm/s).

38

Tendo presente a analise que ja foi feita esperaremos, para o espectro do sinaldetectado, uma unica risca. No entanto, irregularidades do movimento do espelho eperturbacoes acusticas presentes no local produzirao frequencias de Doppler ligeira-mente diferentes, alargando a risca. O efeito do movimento do espelho e da presencade uma onda acustica traduz-se numa modelacao de fase do interferograma, da forma[21]

F ′(t) = i(λ)cos(4πv

λt + φMcosΩt) (3.19)

Partimos da equacao 3.12 para o interferograma aplicada ao caso de luz monocromaticade comprimento de onda λ. Nesta expressao, a modulacao de fase resultante da ondaacustica tem amplitude φM e frequencia angular Ω. Esta expressao pode reescrever-senoutra forma:

F ′(t) = i(λ) cos(2πfDt) cos(φM cosΩt)− i(λ) sin(2πfDt) sin(φM cosΩt) (3.20)

Usando series harmonicas de Bessel, podemos notar que esta ultima equacao tem umnumero infinito de componentes harmonicas de Ω. No caso de ondas acusticas comamplitude pequenas, (φM << 1), a equacao 3.20 pode aproximar-se por

F ′(t) = i(λ) cos(2πfD)− 12i(λ)φM sin((2πfD+Ω)t)− 1

2i(λ)φM sin[(2πfD−Ω)t]+O(φ2

M )

(3.21)que apresenta uma componente maior a oscilar com a frequencia de Doppler e outrasduas menores: uma de maior frequencia, (fD + Ω/2π), e outra de menor frequencia,|fD − Ω/2π|.

Quanto a determinacao da velocidade do espelho, esta tecnica ja foi utilizada notrabalho anterior usando o laser vermelho. O controlador de velocidade do micrometromotorizado nao esta calibrado, assim, nao podemos comparar o valor obtido, nessaaltura.

Os resultados novos que aqui se apresentam referem-se ao efeito criado no espec-tro de frequencias de Doppler quando, alem do movimento do espelho, esta tambempresente uma perturbacao acustica. Para isso, foi colocado um altifalante, alimentadopor um gerador de sinal, junto ao espelho fixo do interferometro. Verificamos, por ob-servacao directa no osciloscopio, que uma frequencia acustica de cerca de 80Hz produziaum maior deslocamento das franjas. Este facto parece evidenciar que este espelho temuma frequencia propria de 80Hz (ver referencia [22]). Colocamos uma massa extra nosuporte do espelho e esta ressonancia nos 80Hz deixou de verificar-se. Esta observacaoajuda a compreender as riscas secundarias presentes em todos os espectros do trabalhoanterior. De referir que existem outros componentes no interferometro capazes de pro-duzir resultados semelhantes e assim poder explicar-se que a distancia entre a riscaprincipal e as riscas secundarias esteja entre 80 a 100Hz.

Excitamos o altifalante com uma frequencia de 197Hz e obtivemos os espectros dafigura 3.11. O espectro (a) diz respeito a irradiancia de interferencia quando apenasesta presente a perturbacao acustica. Este espectro contem duas riscas mais inten-sas que correspondem a perturbacao acustica (195.4Hz) e ao seu primeiro harmonico

39

(392.9Hz). O espectro (b) resulta do movimento do espelho na presenca da mesmaonda sonora. A risca principal (964.8Hz) corresponde a frequencia de Doppler pro-duzida pelo movimento do espelho. As duas riscas secundarias que a ladeiam (769.4 e1162.3Hz) concordam com o previsto para as frequencias diferenca e soma.

(a) (b)

0RYLPHQWRGRHVSHOKRFRPSHUWXUEDomRDF~VWLFDGH+]

1030.0

769.4 1162.3

964.8

0

4

8

0 500 1000 1500 2000Frequência de Doppler (Hz)

Inte

nsid

ade

65.1

195.4

392.9

0

2

4

6

0 1000 2000

Frequência de Doppler (Hz)

Inte

nsid

ade

Figura 3.11: Espectro de frequencias de Doppler (a) na presenca de uma frequenciaacustica de 197Hz (b) na presenca desta ultima durante o movimento do espelho.

A figura 3.12 mostra o espectro da frequencia de Doppler depois de aumentarmosa intensidade da mesma perturbacao acustica. Neste caso, sao evidentes quatro riscassecundarias que nao sao explicaveis pela expressao 3.20. Usando a serie harmonica deBessel, podemos aproximar a expressao inicial 3.21 ate termos em φ2

M obtendo:

F ′(t) = i(λ) cos(2πfD)(1−14φ2

M )−12i(λ)φM sin((2πfD+Ω)t)−1

2i(λ)φM sin[(2πfD−Ω)t]

+18i(λ)φ2

M cos((2πfD + 2Ω)t) +18i(λ)φ2

M cos[(2πfD − 2Ω)t] + O(φ3M ) (3.22)

Escrita nesta aproximacao, a equacao explica as quatro riscas uma vez que contem,alem das componentes soma e diferenca ja analisadas, outras duas componentes, cor-respondendo a soma e a diferenca da frequencia de Doppler e do primeiro harmonicoda frequencia acustica.

Finalmente a figura 3.13 contem o espectro do sinal obtido apenas com uma ondasonora de 127Hz, grafico (a), onde encontramos uma frequencia proxima de 127Hz(126.2Hz) e o seu harmonico (254.4Hz). O grafico (b) mostra o espectro na presencados dois efeitos, onde as riscas referentes a soma e a diferenca das frequencias sao 909.9e 1023.9Hz.

E de notar a existencia de uma frequencia de cerca de 65Hz presente nos graficosrespeitantes a ausencia de movimento do espelho e das frequencias soma e diferenca,(fD + 65) e (fD − 65), nos graficos que mostram o efeito conjunto. Como foi referidoacima, o espelho fixo tinha uma frequencia de ressonancia por volta de 80Hz. Estasultimas experiencias foram efectuadas quando no suporte dos espelhos estavam massas

40

0RYLPHQWRGRHVSHOKRFRPSHUWXUEDomRDF~VWLFDGH+]GHPDLRULQWHQVLGDGH

1361.71166.3773.5

572.0

964.8

0

4

8

0 500 1000 1500 2000Frequência de Doppler (Hz)

Inte

nsid

ade

Figura 3.12: Espectro de frequencias de Doppler resultantes do movimento do espelhona presenca de uma frequencia acustica de 197 Hz de maior intensidade

(a) (b)

0RYLPHQWRGRHVSHOKRFRPSHUWXUEDomRDF~VWLFDGH+]

909.9

836.6

1023.9

1091.0

964.8

0

4

8

0 500 1000 1500 2000Frequência de Doppler (Hz)

Inte

nsid

ade

65.1

126.2254.4

0

2

4

6

0 1000 2000

Frequência de Doppler (Hz)

Inte

nsid

ade

Figura 3.13: Espectro de frequencias de Doppler (a) na presenca de uma frequenciaacustica de 127Hz (b) na presenca desta ultima durante o movimento do espelho.

adicionais. Nesta situacao, aparece nos espectros uma frequencia ∼65Hz, o que corrob-ora uma nova frequencia de ressonancia, agora de menor valor uma vez que a massa dosistema aumentou.

Desta ultima observacao surge a sugestao de, em trabalhos futuros, baixar todos oscomponentes do interferometro para que se possa diminuir a ocorrencia de oscilacoesproprias e obter melhores resultados.

41

Capıtulo 4

Planificacao das aulas

Os trabalhos de interferometria que se apresentam neste texto sao propostos para 6aulas laboratoriais, de 2 horas cada, da disciplina de Optica Aplicada. Propomos oseguinte calendario:

• 1a aula - Montagem do interferometro de Michelson e verificacao das leis deFresnel-Arago.

• 2a aula - Visualizacao dos varios tipos de franjas e estudo da coerencia da luz dealgumas fontes.

• 3a aula - Determinacao do comprimento de onda do laser He-Ne vermelho, deter-minacao do ındice de refraccao de um material e estudo da variacao do ındice derefraccao de um gas com a pressao.

• 4a aula - Conclusao da aula anterior. Espectroscopia de Fourier.

• 5a aula - Espectroscopia de Fourier (conclusao).

• 6a aula - Velocimetria usando o efeito de Doppler.

O interferometro e o esquema fundamental de todo o trabalho. O interferometrousado e montado pelos alunos numa mesa optica. A montagem constitui a maior partedo trabalho da 1a aula. O material esta ja disponıvel e o professor devera coordenar otrabalho, chamando a atencao para o alinhamento dos componentes opticos, distanciarelativa entre eles e, finalmente, alinhamento dos feixes de luz para a obtencao defranjas.

Ainda na 1a aula, usando uma fonte de luz nao polarizada, os alunos verificam ascondicoes de polarizacao dos feixes intervenientes para a ocorrencia de interferencia,sumariadas nas leis de Fresnel-Arago.

Na 2a aula, os alunos observam os varios tipos de franjas, ou seja, franjas localizadase nao localizadas, resultantes de fontes extensas e pontuais, respectivamente, e franjasde igual espessura e de igual inclinacao, consequentes da posicao relativa dos doisespelhos. Nesta parte do trabalho o professor devera orientar os alunos, indicando

42

quais as tecnicas conhecidas para a obtencao rapida dos varios tipos de franjas. Paracomplementar este estudo da interferencia, os alunos estudam a coerencia temporal daluz de fontes diferentes. Com esta tarefa pretendemos introduzir o conceito de coerenciae salientar a sua estreita relacao com a interferencia. E ainda, pretendemos relacionar,de uma forma semi-quantitativa, a coerencia temporal e a estrutura espectral da luz deuma fonte.

Para a 3a aula propomos tres medidas interferometricas, trabalho este que prevemospoder prolongar-se pela 4a aula. As duas primeiras sao: determinacao do comprimentode onda de uma fonte monocromatica e do ındice de refraccao do material de umalamina de material transparente. As tecnicas usadas para estas determinacoes podemservir para determinar outros parametros. Com a primeira tecnica pode determinar-seo deslocamento do espelho, sabido o comprimento de onda da luz utilizada. Com asegunda tecnica pode determinar-se a espessura da lamina se conhecido o seu ındice derefraccao. A ultima tarefa consiste no estudo da variacao do ındice de refraccao de umgas com a pressao.

Prevemos que a 4a aula seja, em parte, ocupada para acabar os ultimos trabalhos.No entanto, ainda restara tempo para que o trabalho de espectroscopia de Fourier sejaapresentado aos alunos. Assim, prentendemos, nesta aula, apresentar os instrumentosnovos: o fotodetector, o osciloscopio digital e o programa de computador que faz a inter-face com o osciloscopio. Os alunos podem, ainda, analisar o problema da amostragem edecidir alguns dos parametros da mesma, adequados ao sistema utilizado. Na 5a aula,completam este trabalho, recolhendo os interferogramas e determinando os espectros.Com este trabalho, os alunos tem a possibilidade de se aperceber dos fundamentos datecnica e de determinarem o comprimento de onda da luz de quatro lasers He-Ne.

Finalmente, na 6a aula, e realizado o trabalho de velocimetria usando o efeitode Doppler, que ilustra mais uma tecnica interferometrica importante. Este trabalhotem a vantagem da realizacao pratica ser muito semelhante a do trabalho anterior,aproveitando dele alguns dos seus resultados. Esta semelhanca e ainda maior porqueno trabalho de espectroscopia de Fourier apenas se estudam fontes monocromaticas.No entanto, neste caso os objectivos das medidas sao outros e os fundamentos saoabordados de forma diferente.

O aluno e aconselhado a ler o guia e fazer alguma pesquisa bibliografica sobre cadaum dos trabalhos com uma semana de antecedencia. Assim, pode esclarecer algumaduvida com o professor no final da aula anterior a realizacao do trabalho em questao.Estando ainda no laboratorio, sera mais facil clarificar algumas ideias e aproveitar paraconhecer o esquema experimental. O aluno deve ter um caderno de apontamentos pararegistar todo o trabalho de laboratorio e nele fazer a analise e a discussao de resultados.

A avaliacao dos alunos tera tres componentes. Uma vez que se propoe que estasaulas de laboratorio tenham bastante acompanhamento por parte do professor e se preveum numero relativamente pequeno de alunos por aula, propomos uma componente deavaliacao contınua. O caderno de laboratorio que se referiu acima constituira tambemoutra das fontes de avaliacao no final da serie de trabalhos. Finalmente, a outra com-ponente da avaliacao consiste num relatorio sobre uma das medidas interferometricasefectuadas nas ultimas 4 aulas. O relatorio deve obedecer a seguinte estrutura [23]:

43

• Resumo

Sıntese dos objectivos e dos resultados mais importantes.

• Introducao

Consideracoes gerais, descricao dos objectivos do trabalho, indicacao do metodoutilizado, referindo inovacoes relativamente a outros metodos.

• Fundamento teorico

Breve referencia aos fundamentos teoricos.

• Realizacao experimental

Descricao do equipamento e da pratica experimental e discussao de algumas difi-culdades e opcoes de trabalho que parecam importantes.

• Resultados

Valores obtidos, calculos auxiliares e resultados finais que, quando possıvel, devemser apresentados em tabelas e graficos. Sempre que adequado deve referir-se oserros experimentais.

• Discussao

Analise dos resultados na perspectiva da sua concordancia com o que era esperado,discussao das discordancias, identificacao das fontes de erro, proposta de formasde minimizar esses erros, proposta de novas experiencias para estudar o problema,etc.

• Referencias bibliograficas

O relatorio e uma tarefa fundamental para quem realiza um trabalho experimental.Ele consiste no registo e discussao da experiencia e resultados, mas vai alem do cadernode laboratorio porque apresenta estes dados de uma forma divulgavel. Assim, alemdo proposito da avaliacao, este relatorio e tambem uma aprendizagem para quem maistarde tiver que divulgar resultados cientıficos, seja numa revista, conferencia ou emsituacoes mais informais.

44

Apendice A

Guiao do trabalho de laboratorio

A.1 Montagem do interferometro de Michelson

Figura A.1: Interferometro de Michelson

Objectivos

• Montagem do interferometro de Michelson.

• Observacao das franjas de interferencia usando um laser de He-Ne.

MaterialLaser He-Ne, espelhos, divisor de feixe, lentes, varios suportes, plataforma de

translacao, parafuso micrometrico e mesa optica anti-vibratoria.

Execucao

• Monte um interferometro de Michelson segundo a figura A.1, onde M1 e M2 sao osespelhos, D e o divisor de feixe e C e a placa de compensacao que deve dispensarse o divisor de feixe for cubico ou se a fonte for um laser.

45

• Faca os espelhos exactamente perpendiculares (de modo a obter franjas circulares)e observe a aparencia das franjas variando o comprimento do braco movel.

• Repita o ponto anterior para espelhos nao exactamente perpendiculares.

BibliografiaR. S. Longhurst, Geometrical and Physical Optics, capıtulo 8E. Hecht, Optica, capıtulo 9

46

A.2 Verificacao das leis de Fresnel-Arago

ObjectivosVerificacao das leis de Fresnel-Arago.

IntroducaoOs estados de polarizacao condicionam a ocorrencia de interferencia da forma sumari-

ada nas leis de Fresnel e Arago. As experiencias que Fresnel e Arago realizaram em1816 e que conduziram a estas leis tem importancia historica particular uma vez querevelaram a luz como uma perturbacao ondulatoria transversal. As leis sao as seguintes:

1. Dois feixes de polarizacoes lineares perpendiculares nao interferem;

2. Dois feixes de polarizacoes lineares paralelas interferem da mesma forma que a luznatural, desde que derivem do mesmo feixe linearmente polarizado ou da mesmacomponente linearmente polarizada de luz natural;

3. Dois feixes de polarizacoes lineares que derivem de componentes perpendicularesde luz natural nao interferem mesmo que os seus planos de vibracao tenham sidorodados ate coincidirem.

MaterialInterferometro de Michelson, lampada espectral, polarizadores, lamina de atraso de

λ/2.

ExecucaoUsando uma lampada espectral como fonte nao polarizada, polarize de forma con-

veniente os feixes de luz de cada um dos bracos do interferometro de forma a verificara existencia ou nao de interferencia (verificando assim as leis de Fresnel-Arago).

BibliografiaR. S. Longhurst, Geometrical and Physical Optics, capıtulo 6F. A. Jenkins e H. E. White Fundamentals of Optics, capıtulo 27

47

A.3 Visualizacao dos varios tipos de franjas

ObjectivosVisualizacao e distincao de franjas localizadas e nao localizadas e franjas de igual

inclinacao e de igual espessura.

IntroducaoO interferometro de Michelson, a parte de ser ser um interferometro em que os

feixes estao claramente separados antes da recombinacao, pode ser analisado comoum interferometro do tipo placa de faces paralelas ou do tipo filme fino. Assim, opadrao de interferencia obtido pode ser constituıdo por franjas circulares (franjas deigual inclinacao) se os espelhos estiverem exactamente perpendiculares, ou por franjasaproximadamente rectilıneas (franjas de igual espessura) se os espelhos se desviaremligeiramente da perpendicularidade. Ambos os tipos de franjas podem apresentar-secomo localizadas, no caso da fonte extensa, e nao localizadas, caso a fonte seja pontual.

MaterialInterferometro de Michelson, laser de He-Ne, varias lampadas espectrais (Cd, He,

Ne), telescopio e lentes.

Execucao

• Usando o Laser de He-Ne como fonte de luz pontual, obtenha um padrao naolocalizado de franjas circulares e rectilıneas.

• Usando as lampadas espectrais como fonte extensa, obtenha padroes de franjaslocalizados (nos espelhos e no infinito). Descreva a forma dos dois tipos de franjas.

BibliografiaR. S. Longhurst, Geometrical and Physical Optics, capıtulo 8M. Born e E. Wolf, Principles of Optics, capıtulo 7E. Hecht, Optica, capıtulo 9F. A. Jenkins e H. E. White Fundamentals of Optics, capıtulo 13

48

A.4 Estudo da coerencia da luz de algumas fontes

Objectivos

• Observacao de franjas obtidas com luz de diferente coerencia temporal.

• Descricao qualitativa das variacoes de visibilidade das franjas com o aumento dadiferenca de caminho.

• Determinacao dos comprimentos de coerencia.

IntroducaoO interferometro de Michelson pode averiguar a chamada coerencia temporal (ou

longitudinal). Se a diferenca de caminho entre os dois feixes for tal que ∆l À c∆tc(sendo ∆tc a duracao media dos trens de onda produzidos pela fonte, designado portempo de coerencia), entao, no ponto de observacao, combinam-se ondas sem relacaode fase fixa e nao existe interferencia. Pelo contrario, se ∆l ¿ c∆tc entao os feixesinterferem. A medida que ∆l aumenta, temos como resultado a diminuicao da visibili-dade das franjas. Assim, como definimos tempo de coerencia, tambem podemos definircomprimento de coerencia da forma ∆lc = c∆tc

Numa outra abordagem, que justifica o caracter policromatico de uma fonte real,podemos pensar nos trens de ondas finitos como uma sobreposicao de componentesmonocromaticas de uma dada gama de frequencias. Esta abordagem e matematica-mente correcta, como se pode verificar por analise de Fourier. Nesta perspectiva, aausencia de franjas de interferencia pode explicar-se devido a sobreposicao dos variospadroes que, por serem relativos a componentes monocromaticas diferentes, nao co-incidem no espaco. Pode-se mostrar que quanto maior for a gama de comprimentosde onda necessaria para descrever o campo luminoso, isto e, quanto maior a larguraespectral ∆λ, menor e o comprimento de coerencia, sendo esta relacao tal que

∆lc =λ2

∆λ(A.1)

onde λ e o comprimento de onda medio da luz.Mais detalhadamente, pode mostrar-se que, para luz quase monocromatica a curva

de visibilidade se relaciona com a estrutura espectral da luz atraves do teorema deFourier (ver bibliografia).

MaterialInterferometro de Michelson, laser de He-Ne, lampadas espectrais, lampada de sodio,

lampada branca, telescopio e lentes.

Execucao

• Usando o laser de He-Ne como fonte de luz, obtenha um padrao de franjas circu-lares.

49

• Varie consideravelmente o comprimento de um dos bracos e determine a diferencade caminho maxima para a qual se observam franjas.

• Usando lampadas espectrais e a lampada de sodio, obtenha franjas circulares eajuste o espelho movel de forma a que uma das posicoes extremas do micrometrocoloque o espelho perto da posicao de contacto optico.

• Observe as franjas com um telescopio a medida que aumenta a diferenca de cam-inho e descreva a evolucao da visibilidade das franjas e determine a diferenca decaminho maxima para a qual se observam franjas.

• Use uma lampada de luz branca e tente encontrar franjas perto da posicao decontacto optico.

Analise de dadosRelacione as diferencas de caminho maximas e a variacao da visibilidade com a

diferenca de caminho com a estrutura espectral das varias fontes.

BibliografiaM. Born e E. Wolf, Principles of Optics, capıtulo 7R. Guenther, Modern Optics, capıtulo 4A. Michelson, Studies in Optics, capıtulo 4

50

A.5 Determinacao do comprimento de onda da luz do Laserde He-Ne

ObjectivosDeterminacao do comprimento de onda de uma fonte monocromatica usando o

interferometro de Michelson.

IntroducaoUma das aplicacoes da interferometria e a analise do espectro da luz das fontes. A

medicao mais simples deste tipo e a determinacao do comprimento de onda, λ, de umafonte de luz monocromatica. No interferometro de Michelson uma alteracao do caminhooptico num dos seus bracos de λ faz com que, no centro do padrao de interferencia, umafranja brilhante ou escura de lugar a proxima franja semelhante. Assim, o movimentode um dos espelhos de ∆d faz passar N = 2∆d/λ franjas brilhantes ou escuras nocentro do padrao.

MaterialInterferometro de Michelson, laser de He-Ne, micrometro graduado.

Execucao

• Utilizando o micrometro mova o espelho movel do interferometro e conte as franjasque passam num ponto do centro do padrao de interferencia.

• Faca as medidas adequadas com o fim de estimar um valor para o comprimentode onda do laser.

BibliografiaE. Hecht, Optica, capıtulo 9

51

A.6 Determinacao do ındice de refraccao de um material

ObjectivosDeterminacao do ındice de refraccao de um material por rotacao de uma placa num

dos bracos do interferometro.

IntroducaoConsideremos uma placa de material transparente de espessura t colocada num dos

bracos do interferometro. Se rodarmos a placa em torno de um eixo vertical o percursooptico do feixe, que viaja nesse braco, e alterado. Essa alteracao de percurso opticodesde a posicao da placa exactamente perpendicular ao feixe ate uma posicao θ e dadapor

∆S = 2t

(1 +

√n2 − sin2 θ − n− cos θ

)(A.2)

Sabendo que o numero de franjas que passam num ponto do ecra, N , se relaciona com∆S da forma N = ∆S/λ0, obtemos para o ındice de refraccao o seguinte resultado

n =(

1− Nλ0

tθ2

)−1

(A.3)

onde aproximamos√

n2 − sin2 θ e cos θ para θ pequeno.

MaterialInterferometro de Michelson, placa de material transparente e plataforma de rotacao.

Execucao

• Alinhe o interferometro de modo a obter franjas.

• Coloque, num dos bracos do interferometro, a placa de material transparente quepossa ser posicionada atraves da plataforma de rotacao.

• Coloque a placa exactamente perpendicular ao feixe (discuta a melhor forma deo fazer).

• Rode a placa de alguns minutos de grau e observe no alvo o movimento dasfranjas.

• Registe quantitativamente as observacoes do ponto anterior de forma a obter umaestimativa do ındice de refraccao do material da placa.

Analise de dados

• Demonstre as expressoes A.2 e A.3.

• Estime um valor para o ındice de refraccao do material da placa .

BibliografiaBrandao Faria, Optica: fundamentos e aplicacoes, capıtulo 6

52

A.7 Estudo da variacao do ındice de refraccao de um gascom a pressao

Objectivos

• Estudar a variacao do ındice de refraccao com a pressao pela introducao de umcelula de gas num dos bracos do interferometro.

• Determinacao do ındice de refraccao do ar a pressao atmosferica

IntroducaoA variacao do ındice de refraccao numa porcao de um dos bracos do interferometro

altera o caminho optico e desloca o padrao de franjas. Considere uma celula de com-primento t com ar a qual se baixa a pressao e consequentemente se baixa o ındice derefraccao de ∆n. O numero de franjas brilhantes ou escuras que passam no centro dopadrao de interferencia e

N =2t∆n

λ(A.4)

onde λ e o comprimento de onda da fonte monocromatica utilizada.A relacao entre a variacao de pressao, ∆P , de um gas com a variacao do seu ındice

de refraccao, ∆n, e aproximadamente linear para pressoes baixas (consequencia da leiteorica de Lorenz-Lorentz).

MaterialInterferometro de Michelson, celula cilındrica com ar, bomba de vacuo com mano-

metro.

Execucao

• Coloque num dos bracos do interferometro a celula com ar, de forma que as suasbases fiquem exactamente perpendiculares ao feixe.

• Faca vacuo na celula de uma forma gradual e observe o movimento das franjasno alvo.

• Registe quantitativamente as observacoes feitas no ponto anterior.

Analise de dados

• Sabendo que o numero de franjas que passam num ponto do ecra, N , devidoa uma diferenca de caminho optico, ∆S, e dado por N = ∆S/λ, demonstre arelacao A.4.

• Represente graficamente a variacao do ındice de refraccao com a variacao dapressao.

53

• Estime um valor para o ındice de refraccao do ar a pressao atmosferica.

BibliografiaF. A. Jenkins e H. E. White Fundamentals of Optics, capıtulo 13

54

A.8 Espectroscopia de Fourier

Objectivos

• Ilustracao da tecnica de espectroscopia de Fourier.

• Determinacao do comprimento de onda de varios laser.

IntroducaoA curva de irradiancia num ponto do padrao de interferencia em funcao da diferenca

de caminho entre os feixes possibilita o conhecimento do espectro da luz utilizada.Esta tecnica e conhecida por espectroscopia de Fourier uma vez que as quantidadesacima referidas se relacionam por uma transformacao de Fourier. Para uma fontepolicromatica, a irradiancia resultante da sobreposicao de dois feixes provenientes damesma fonte com uma diferenca de caminho optico de ∆S e dada por

I(∆S) =∫ ∞

0i(k)dk +

∫ ∞

0i(k) cos(k∆S)dk (A.5)

A primeira parcela e constante e proporcional ao valor da irradiancia para ∆S = 0, ouseja

I(0)2

=∫ ∞

0i(k)dk (A.6)

A segunda parcela tem um comportamento oscilatorio e da-se-lhe o nome de interfer-ograma

F (∆S) = I(∆S)− 12I(0) =

∫ ∞

0i(k) cos(k∆S)dk (A.7)

Esta funcao e suficiente para determinar unicamente a distribuicao espectral de ir-radiancia, i(k), atraves da seguinte transformacao de Fourier

i(k) =1π

∫ ∞

−∞F (∆S) cos(k∆S)d∆S (A.8)

Neste trabalho, a diferenca de caminho e conseguida por translacao de um dos espelhos, a velocidade constante, usando um micrometro motorizado, entao

F (2vt) =∫ ∞

0i(k) cos(k2vt)dk (A.9)

sendo v a velocidade do espelho. O interferograma escrito em funcao da variavel trelaciona-se com a densidade espectral i′(f) da forma

F ′(t) =∫ ∞

0i′(f) cos(2πft)df (A.10)

onde f = kv/π. A densidade espectral e, entao, obtida efectuando uma transforma dade Fourier do interferograma da forma

i′(f) =2π

∫ ∞

0F ′(t) cos(2πft)dt (A.11)

55

onde assumimos que o interferograma e uma funcao simetrica relativamente a t = 0.Teoricamente necessitarıamos de medir o interferograma desde a distancia 0 a +∞

digitalizado em pequenos intervalos infinitesimais. Na pratica faz-se uma amostragemdo interferograma, medindo o seu valor em intervalos finitos ate uma distancia maximaDmax (no nosso caso, a essa distancia maxima corresponde um tempo maximo Tmax).Este facto impoe o seguinte limite a resolucao do espectro

∆f =1

Tmax(A.12)

Por outro lado, o teorema da amostragem diz que a frequencia de amostragem fa =1/∆t (onde ∆t e o intervalo de tempo entre cada ponto da amostra) deve pelo menosser duas vezes maior que a frequencia maxima, fmax contida no interferograma. Estaexigencia deve-se ao facto do espectro obtido exibir simetria de reflexao relativamentea uma frequencia, designada por frequencia de Nyquist, dada por

fN =1

2∆t(A.13)

A este fenomeno da-se o nome de dobragem. Uma caracterıstica espectral que aparecea uma frequencia f1, inferior a fN , aparece tambem a uma frequencia superior f2, talque f2 = 2fN − f1, e tambem a f3 = 2fN + f1. Este facto nao traz problemas se asfrequencias do intervalo 0 < f < fN sao reflectidas para valores superiores a fN . Noentanto, se existir informacao espectral acima de fN ela e reflectida para tras, sendomal interpretada.

MaterialInterferometro de Michelson, micrometro motorizado, lasers de He-Ne de varias

cores (vermelho, verde, laranja e amarelo), fotodetector, osciloscopio digital com memoria,computador com placa GPIB e Labview.

Execucao

• Use um dos laser como fonte de luz, obtenha um padrao de franjas circulares ecoloque a zona sensıvel do fotodetector no centro do padrao.

• Observe no osciloscopio o sinal captado pelo fotodetector enquanto o espelhomovel se desloca a velocidade constante. Faca uma estimativa grosseira da ve-locidade do espelho.

• Escolha o numero de pontos de amostragem (considere a restricao do programa detransformadas de Fourier que vai usar). Atendendendo ao teorema de amostragemescolha o tempo maximo da amostragem.

• Enquanto o espelho se movimenta a mesma velocidade do ponto acima, armazeneo interferograma durante o tempo escolhido no ponto anterior.

56

• Transfira os dados para o computador, usando o programa Labview e opere sobreeles a transformada de Fourier adequada.

• Repita os dois ultimos pontos para os outros tres lasers.

Analise de dados

• Discuta os espectros obtidos.

• Determine o comprimento de onda dos lasers utilizados.

BibliografiaGriffiths Chemical infrared Fourier Transform Spectroscopy, capıtulos 1 e 2P. Biggs, F. Holdsworth e R. Wayne, A low cost Fourier transform spectrometer

for the visible and near-infrared regions, Journ. Physics E: Sci. Instrum., 20, 1987, p.1005

R. Guenther, Modern Optics, capıtulo 4

57

A.9 Velocimetria usando o efeito de Doppler

Objectivos

• Determinacao da velocidade do espelho movel do interferometro de Michelson porvelocimetria de efeito de Doppler.

• Analise do efeito optico resultante do movimento do espelho na presenca de umaonda acustica.

IntroducaoA velocimetria usando o efeito de Doppler e uma tecnica que usa a luz laser para

medir velocidades de partıculas e superfıcies. O princıpio fundamental desta tecnicaconsiste na alteracao de frequencia exibida pela luz reflectida de um objecto em movi-mento. Se esta luz de frequencia diferente se sobrepuser a luz de referencia, reflec-tida num objecto estacionario produz-se uma frequencia de batimento, designada porfrequencia de Doppler. Notemos que no trabalho anterior usamos o laser He-Ne ver-melho para estimar a velocidade do espelho. Embora o objectivo do trabalho fosseoutro, estavamos a fazer essa determinacao usando velocimetria de efeito de Doppler.Podemos pensar no sinal luminoso que era detectado como resultado da sobreposicaode luz proveniente da reflexao no espelho fixo, de frequencia inalterada, com luz prove-niente do espelho movel (a uma velocidade v), de frequencia ligeiramente diferentedevido ao efeito de Doppler. Sendo este sinal a soma de dois campos luminosos comfrequencias ligeiramente diferentes, apresenta uma frequencia de batimento, ou seja,a irradiancia detectada num ponto da regiao de sobreposicao apresenta uma oscilacaoharmonica de frequencia fD (frequencia de Doppler). No ultimo trabalho, relacionamosesta frequencia com o comprimento de onda da luz atraves da velocidade do espelho daforma fD = 2v/λ. Esta expressao pode ser obtida de uma forma que mostra melhor oefeito de Doppler (ver bibliografia).

Esperaremos uma unica risca para o espectro do sinal detectado. No entanto,irregularidades do movimento do espelho e perturbacoes acusticas presentes no localproduzirao frequencias de Doppler ligeiramente diferentes alargando a risca. O efeito domovimento do espelho e da presenca de uma onda acustica traduz-se numa modelacaode fase do interferograma, que pode aproximar-se por

F ′(t) = i(λ) cos(2πfD)− 12i(λ)φM sin((Ω+2πfD)t)+

12i(λ)φM sin[(Ω−2πfD)t]+O(φ2

M )

(A.14)Este interferograma apresenta uma componente maior a oscilar com a frequencia deDoppler e outras duas menores: uma de maior frequencia, (Ω/2π + fD), e outra demenor frequencia, |Ω/2π − fD|.

58

MaterialInterferometro de Michelson, micrometro motorizado, laser de He-Ne, gerador de

sinal, altifalante, fotodetector, osciloscopio digital com memoria, computador com placaGPIB e Labview.

Execucao

• Coloque um altifalante ligado a um gerador de sinal junto ao espelho fixo dointerferometro, de modo a que as ondas acusticas batam no espelho.

• Faca uma amostragem adequada da irradiancia no centro do padrao, enquantomovimenta o espelho movel com velocidade constante.

• Repita o ponto anterior quando, tambem, o altifalante emite um sinal de frequenciabem determinada.

• Repita o ponto anterior para outras frequencias e amplitudes da onda acustica.

BibliografiaR. Belansky e K. Wanser Laser Doppler velocimetry using a bulk optic Michelson

interferometer: A student laboratory experiment, American Journal of Physics, 61(11),1993, p. 1014

59

Apendice B

Tabelas de resultadosexperimentais

Determinacao do comprimento de onda da luz do laser deHe-Ne

A tabela B.1 que se apresenta a seguir, diz respeito a determinacao do comprimento deonda do laser He-Ne vermelho. di e df correspondem, respectivamente, a posicao iniciale final do espelho movel, cuja diferenca esta representada por ∆d. N e o numero defranjas brilhantes ou escuras que passaram no centro do padrao de interferencia devidoaos respectivo deslocamento.

di (mm) df (mm) ∆d (mm) N λ (nm)8.411 8.383 0.028 90 622.228.425 8.393 0.032 100 640.008.425 8.392 0.033 101 653.478.394 8.363 0.031 100 620.008.394 8.362 0.032 100 640.008.356 8.324 0.032 100 640.008.357 8.325 0.032 100 640.008.357 8.326 0.031 100 620.00

Tabela B.1: Tabela dos resultados experimentais para a determinacao do comprimentode onda do laser de He-Ne

Determinacao do ındice de refraccao de um material

As duas tabelas que se seguem, B.2 e B.3, referem-se aos resultados obtidos por rotacaoda placa transparente num dos bracos do interferometro. N e o numero de franjasbrilhantes ou escuras que passaram no centro do padrao durante uma rotacao da placa

60

de θ. θ(rad) e o valor de θ em radianos e Naj e o numero de franjas da curva deajuste a expressao teorica. O valor encontrado para o ındice de refraccao e indicadona segunda linha de cada uma das tabelas. As duas ultimas colunas correspondem acalculos acessorios para o teste de χ2. Este foi calculado da seguinte forma

χ2 =∑ (Ni −Naji)2

σ2i

(B.1)

onde σi e o erro estatıstico de cada medida Ni, o qual foi estimado por 1/3 de franja.O numero de graus de liberdade e igual ao numero de medidas menos o numero deparametros que se ajustam [23]. Os χ2 para cada um dos ajustes sao 26.2 e 25.0. Noprimeiro caso corresponde a um nıvel de significancia de ∼ 30% e no segundo caso a∼ 45%.

N θ θ (rad) Naj (N-Naj)^2 χ^2n= 1.56138

1 55/60 0.015999 0.8987687 0.01024778 0.0941027

2 1 10/60 0.020362 1.4558567 0.29609196 2.7189344

3 1 40/60 0.029089 2.9711361 0.00083313 0.0076504

4 1 55/60 0.033452 3.9293275 0.00499461 0.0458642

5 2 5/60 0.036361 4.6424001 0.12787768 1.1742671

6 2 15/60 0.03927 5.4148955 0.34234729 3.143685

7 2 30/60 0.043633 6.6850562 0.09918962 0.9108322

8 2 45/60 0.047997 8.0889179 0.0079064 0.0726024

9 2 50/60 0.049451 8.5865832 0.17091342 1.5694529

10 3 0.05236 9.6264809 0.13951654 1.2811437

11 3 10/60 0.055269 10.725801 0.07518498 0.6904038

12 3 20/60 0.058178 11.884544 0.01333002 0.1224061

13 3 30/60 0.061087 13.10271 0.01054936 0.096872

14 3 40/60 0.063995 14.380299 0.14462701 1.3280717

15 3 45/60 0.06545 15.041376 0.001712 0.0157209

16 3 50/60 0.066904 15.71731 0.07991375 0.7338269

17 3 55/60 0.068359 16.408099 0.35034686 3.2171429

18 4 5/60 0.071268 17.834244 0.02747497 0.2522954

19 4 10/60 0.072722 18.5696 0.18524379 1.7010449

20 4 20/60 0.075631 20.08488 0.00720459 0.0661578

21 4 30/60 0.07854 21.659582 0.43504834 3.9949343

22 4 35/60 0.079994 22.469217 0.22016415 2.0217093

23 4 40/60 0.081449 23.293707 0.08626367 0.7921366

24 4 45/60 0.082903 24.133053 0.01770303 0.1625622

2.85468495 26.21382

Tabela B.2: Tabela de resultados da experiencia de rotacao da placa

61

N θ θ (rad) Naj (N-Naj)^2 χ^2n= 1.4939391

1 1 5/60 0.018908 1.1543606 0.02382718 0.2187987

2 1 30/60 0.02618 2.2130936 0.04540888 0.4169778

3 1 50/60 0.031998 3.3059793 0.09362335 0.8597186

4 2 5/60 0.036361 4.2690849 0.07240667 0.6648914

5 2 20/60 0.040724 5.3551401 0.12612448 1.1581678

6 2 30/60 0.043633 6.1474822 0.02175101 0.1997338

7 2 45/60 0.047997 7.4384535 0.19224147 1.7653028

8 2 55/60 0.050905 8.3674064 0.13498744 1.2395541

9 3 5/60 0.053814 9.3510035 0.12320348 1.1313451

10 3 15/60 0.056723 10.389245 0.15151165 1.3912916

11 3 25/60 0.059632 11.482131 0.23245002 2.1345272

12 3 30/60 0.061087 12.049065 0.00240739 0.0221064

13 3 40/60 0.063995 13.223917 0.05013897 0.460413

14 3 50/60 0.066904 14.453414 0.20558406 1.8878242

15 3 55/60 0.068359 15.088654 0.00785946 0.0721714

16 4 5/60 0.071268 16.400116 0.16009321 1.4700937

17 4 10/60 0.072722 17.07634 0.00582772 0.0535145

18 4 15/60 0.074176 17.766224 0.05465138 0.5018492

19 4 20/60 0.075631 18.469769 0.28114508 2.5816812

20 4 30/60 0.07854 19.917842 0.00674987 0.0619822

21 4 35/60 0.079994 20.662371 0.11399345 1.0467718

22 4 40/60 0.081449 21.42056 0.33575035 3.083107

23 4 50/60 0.084358 22.977922 0.00048742 0.0044758

24 4 55/60 0.085812 23.777095 0.04968656 0.4562586

25 5 0.087266 24.589929 0.16815828 1.5441532

26 5 10/60 0.090175 26.25658 0.06583313 0.6045283Σ= 2.72590197 25.031239

Tabela B.3: Tabela de resultados da experiencia de rotacao da placa

Estudo da variacao do ındice de refraccao de um gas coma pressao

A tabela que se representa a seguir, B.4, corresponde as medidas efectuadas para o es-tudo da variacao do ındice de refraccao do ar com a variacao da pressao. N correspondeao numero de franjas brilhantes ou escuras que passaram no centro do padrao enquantoo ar na celula sofria a correspondente diferenca de pressao ∆P . As restantes colunasreferem-se a calculos acessorios da regressao linear e do teste de χ2. Os valores em ro-dape referem-se aos resultados finais da regressao linear e ao ındice de refraccao do ara pressao atmosferica. O teste de χ2 foi calculado pela expressao B.1, onde neste casoo erro estatıstico para N foi estimado em 0.4, uma vez que ao manipular o manometrotornava-se mais difıcil seguir o movimento das franjas. O resultado do teste de χ2 e

62

∆P (cm Hg) Naj (N-Naj)^2 ∆P^2 χ^20 0 -0,61555519 0,3789082 0 2,368176

2 6 1,518957218 0,23140216 36 1,446263

3 10 2,941965493 0,003368 100 0,02105

4 12 3,653469631 0,1200833 144 0,750521

5 16 5,076477906 0,00584887 256 0,036555

6 18 5,787982043 0,04495161 324 0,280948

7 22 7,210990319 0,04451691 484 0,278231

8 25 8,278246525 0,07742113 625 0,483882

9 28 9,345502731 0,11937214 784 0,746076

10 31 10,41275894 0,17036994 961 1,064812

11 33 11,12426308 0,01544131 1089 0,096508

12 36 12,19151928 0,03667964 1296 0,229248

13 39 13,25877549 0,06696475 1521 0,41853

14 42 14,32603169 0,10629667 1764 0,664354

15 45 15,3932879 0,15467537 2025 0,966721

16 48 16,46054411 0,21210087 2304 1,32563

17 50 17,17204824 0,0296006 2500 0,185004

18 54 18,59505652 0,35409226 2916 2,213077

19 56 19,30656066 0,09397944 3136 0,587371

20 58 20,0180648 0,00032634 3364 0,00204

21 60 20,72956893 0,07313296 3600 0,457081

22 62 21,44107307 0,31239931 3844 1,952496

23 64 22,15257721 0,71812539 4096 4,488284

24 67 23,21983341 0,6086599 4489 3,804124Σ= 299 882 3,97871708 41658 24,86698

Orden./erro n(Patm)/erro

-0,61555519 1,000261244

0,165365567 4,98819E-06

N

0,35575207

0,00405103

Declive/erro

Tabela B.4: Tabela de resultados da experiencia de estudo da variacao do ındice derefraccao com a variacao de pressao

de 24.8, o que, para 22 graus de liberdade, corresponde a um nıvel de significancia de30%.

63

Apendice C

Programa da disciplina de OpticaAplicada

64

o

65

o

66

o

67

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