UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLNDIA

FACULDADE DE CINCIAS INTEGRADAS

DO PONTAL

Joo Chrisstomo Ribeiro

Universidade Federal de Uberlndia

e-mail: joao.chrisostomo@gmail.com

Jssica Azevdo Vieira

Universidade Federal de Uberlndia

e-mail: jessicaafisica@hotmail.com

Aplicaes do Interfermetro de Michelson:

Comprimento de onda de um laser de He-Ne, ndice de refrao do ar e

ndice de refrao do CO2

Resumo: Este experimento tem o objetivo de utilizar o interfermetro de Michelson para realizar medidas do

comprimento de onda de um laser de He-Ne atravs da observao de franjas de interferncia de igual

inclinao e igual espessura. Um feixe de luz divido pelo mtodo de diviso de amplitudes atravs de um

espelho parcialmente espelhado, resultando no fenmeno de interferncia. A atividade experimental tambm

possibilita a determinao dos ndices de refrao do ar e do dixido de carbono (CO2). Atravs da anlise

destes resultados juntos com os valores dos referenciais tericos, ser possvel verificar a preciso do

instrumento utilizado nas atividades.

INTRODUO

Dois feixes se originando de fontes independentes, no existe correlao entre as

flutuaes nos dois feixes em lugar algum. Ao sobrepor os feixes, a distribuio de

intensidade do feixe resultante a soma de intensidades dos dois feixes originais. Porm,

quando os dois feixes se originam na mesma fonte, as flutuaes de fase e intensidade so

correlacionadas em certo grau. Dois feixes coerentes sobrepostos tem uma distribuio de

intensidade que descreve uma srie de mximos e mnimos. Este fenmeno chamado de

interferncia.

Com os dois feixes em fase tem-se uma interferncia construtiva, com um mximo de

intensidade. J quando os feixes se apresentam defasados um do outro (em oposio de fase)

a interferncia destrutiva e ocorre um mnimo de intensidade. As flutuaes nos feixes so

mais altamente correlacionadas e as franjas so mais ntidas quando a luz monocromtica.

possvel dividir o feixe de luz utilizando um espelho parcialmente espelhado, que

reflete parte da luz e transmite o restante. Este mtodo chamado de diviso de amplitude.

Quando uma onda eletromagntica plana, que descrita por (, ), passa por um divisor

de feixes d origem a dois campos, descritos por (, ) = . (, ) para o feixe refletido

e (, ) = . (, ) para o feixe transmitido. Um divisor de feixe com balanceamento ideal formando metade da potncia na

reflexo e metade na transmisso, as suas amplitudes sero iguais e a distribuio de

intensidade da interferncia dada pela equao:

= 4. 022 (

2) [1]

Onde I0 so as intensidades e a diferena de fase. Para feixes bem paralelos uniforme, havendo uma colinearidade sobreposio no anteparo, acoplado somente pela

diferena no tempo de percurso a que sucedeu a diviso no anteparo , ou atravs da diferena de percurso tico total de cada feixe . 2, em que d a diferena de comprimento nos braos do interfermetro. Devemos lembrar que precisamos considerar o comprimento

percorrido em um meio dieltrico = . caso os braos contenham diferentes elementos pticos. Caso a seja um mltiplo de comprimento de onda obteremos um mximo

de intensidade e que nos fornece a seguinte equao (onde m um nmero inteiro):

2 = [2]

ndice de refrao do Ar

Para determinar o ndice de refrao n do ar, um recipiente cheio de ar, com paredes

planas e paralelas, utilizado. Esse ndice depende linearmente da presso P, e para P=0,

tem-se o vcuo absoluto, de modo que n=1, pois:

=

[3]

Onde c a velocidade da luz no vcuo (c = 3 x 108 m/s) e v a velocidade da luz no

meio. Como o meio o prprio vcuo, tem-se n = 1. O quociente entre a diferena do ndice

de refrao e a diferena de presso observados, n/P, determinado por:

n

=

2 1

[4]

Sendo 1, o ndice de refrao usado como referncia. Os caminhos da onda ptica d, igual:

= 1. [5]

Onde s o comprimento geomtrico do recipiente vazio. Ressalta-se que leva-se em

considerao o fato da luz passar duas vezes pelo caminho, por causa da reflexo do espelho.

Logo, variando-se a presso dentro do recipiente por P, o caminho ptico variado por d. Assim,

= 2. 1. [6]

Observa-se uma modificao no padro do anel com mudanas na presso (o centro

do padro de interferncia do anel alternadamente mostra mximos e mnimos). Comeando

com uma presso ambiente Po, percebe-se, quando a presso reduzida, N vezes a

restaurao da posio inicial dos padres de interferncia (ou seja, um mnimo de

intensidade no centro do anel) at uma certa presso P. Uma mudana de mnimo mnimo

corresponde uma modificao do caminho ptico por um comprimento de onda . Logo, entre a presso P e P+P, o caminho ptico muda para:

= (2 1) [7]

Associando-se as equaes (6) e (7), e considerando-se que o recipiente atravessado

duas vezes pela luz, obtm-se:

2 1 = (2 1)

2 [8]

Logo,

n

=

N

2 [9]

ndice de refrao do CO2

Para medir o ndice de refrao do CO2, um recipiente previamente resfriado com ar e

paredes paralelas e planas utilizado. Este recipiente introduzido na trajetria do feixe entre

o sistema de separao do feixe e um espelho. Como os ndices de refrao do ar e do CO2

so diferentes, o ndice de refrao no recipiente proporcional quantidade de CO2

introduzido. O comprimento r da trajetria ptica do recipiente de comprimento geomtrico

s ento diferente para o ar e para o dixido de carbono. Como o feixe de luz atravessa duas

vezes o recipiente, o comprimento geomtrico da trajetria ptica s=2l. Isso resulta em:

1 = 1. [10]

2 = 2. [11]

Para o ar, com ndice de refrao n1 e para o dixido de carbono com ndice de refrao

n2. Sabe-se que quando o ndice de refrao diminudo, os anis de interferncia aumentam

de dentro para fora.

Logo, a direo do movimento dos anis permite dizer se o ndice de refrao do gs

maior ou menor que o do ar. Verificando a contagem entre mximos e mnimos, a mudana

do comprimento da trajetria ptica r medida, devido a mudana de um mnimo para um mximo corresponde /2. Como N vezes so associadas, tem-se que:

=

2 [12]

Assim,

2 = 1 + [13]

2 = 1 + [14]

Associando (13) e (14), obtm-se:

= . [15]

De (12), verifica-se que:

2= . [16]

Visto que n = n2 n1, e conhecido o valor de s, possvel adquirir o ndice de refrao do CO2.

Interfermetro de Michelson

O arranjo experimental do interfermetro de Michelson consiste em um sistema de

dois espelhos (M1 e M2) perpendiculares entre si sendo um deles fixo e o outro mvel, respectivamente; e um espelho parcialmente espelhado (beam splitter na fig.1) posicionado na interseco das normais dos dois espelhos e a 45 em relao fonte de luz.

No interfermetro o feixe de luz dividido por um espelho parcialmente espelhado

(onde ocorre uma diviso de amplitudes), ele refletido nos dois espelhos e atravessa

novamente no espelho parcialmente espelhado at incidir sobre um anteparo para produzir

fenmenos de interferncia. A fig.1 mostra o esquema experimental do interfermetro. O

padro de interferncia formado se altera perceptivelmente conforme a posio o espelho

mvel, que variada utilizando um parafuso micromtrico.

Figura 1 Esquema do Interfermetro de Michelson. Fonte de luz (S), espelho fixo (M1), espelho mvel (M2), espelho parcialmente espelhado divisor de feixes (Beam Splitter).

PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL

Alinhamento

O experimento foi montado de acordo com o arranjo experimental da fig.2. Ele

composto por uma fonte laser, uma lente de 20 mm de distncia focal, um interfermetro

composto por um conjunto de trs espelhos e um anteparo para observao do fenmeno de

interferncia da luz. A fonte laser foi colocada a aproximadamente a 30 cm do espelho semi

prateado (espelho S3, fig. 3). Os dois dispositivos ficaram na mesma altura em relao ao

banco ptico. Em seguida ajustou-se o micrmetro do espelho S1 na posio de 0,00mm.

No primeiro momento, para o ajuste fino da trajetria do laser, retirou-se a lente de 20

mm (f= 20 mm) do arranjo experimental. O Feixe foi alinhado ao laser e o conjunto de

espelhos, de tal forma que este feixe incidiu no espelho S3 (ver fig.3) com um ngulo de

aproximadamente 45 em relao ao mesmo. ideal que o feixe esteja centralizado em todos

os espelhos do interfermetro. Com este alinhamento ser possvel ver dois (ou mais, devido

a vrias reflexes) feixes incidindo no anteparo. Utilizando os parafusos de ajuste no espelho

S2 foi possvel fazer com que estes feixes de luz coincidam em um mesmo ponto no anteparo.

Feito isto, os feixes de luz estaro sobrepostos. A lente foi recolocada em um ponto mdio

entre a fonte e o espelho semi prateado (aprox. 15 cm em relao fonte e ao espelho). Com

isso ser possvel observar um padro de interferncia circular no anteparo. Utilizamos os

parafusos de ajuste de inclinao do espelho S2 para melhor visualizao do padro de

interferncia.

Figura 2 Arranjo experimental para medir comprimentos de onda com o Interfermetro de Michelson. Composto por fonte laser, lente de 20mm e interfermetro montados em um banco ptico; e anteparo para

observao do fenmeno de interferncia.

Medidas

Para facilitar a contagem das mudanas de padro de interferncia, utilizou-se dois

pedaos de fita adesiva, eles foram colocados em paralelo a uma distncia um do outro que

fosse aproximadamente do tamanho de uma das franjas, com isso contar as alternncias dos

padres de interferncia se tornou mais fcil. Com uma boa visualizao do padro circular

de interferncia da luz no anteparo foi possvel comear as medidas.

Atividade I

Ao utilizar o micrmetro para deslocar o espelho S1, escolheu-se um sentido de

deslocamento e ele foi mantido at o trmino das medidas, para evitar um atraso no

mecanismo do micrmetro comprometendo assim as medidas realizadas. Conforme a

distncia do espelho S1 alterada pelo micrmetro, foi possvel ver uma alternncia das

franjas de interferncia da luz. Escolheu-se uma posio inicial para o micrmetro (xi). Ao

fazer o espelho se deslocar utilizando o micrmetro, os mximos e mnimos comearam a se

alternar. Assim foi medido o deslocamento do micrmetro para 20 alternncias de mximos.

Este processo foi repetido mais 5 vezes, para 40, 60, 80, 100 e 120 alternncias de mximos

e mnimos. Todos os dados foram anotados.

Figura 3 Esquematizao os espelhos e das trajetrias do feixe de luz. S1: Espelho mvel (ajuste da diferena de deslocamento); S2: Espelho fixo (ajuste de inclinao ; S3 Espelho semi prateado (divisor de

feixes de luz).

Visto que n = n2 n1, e conhecido o valor de s, possvel adquirir o ndice de refrao do CO2.

Atividade II - Observao das franjas de interferncia

Interferncia de igual inclinao

O processo de alinhamento foi feito novamente, tomando o devido cuidado de deixar

o espelho S1 alinhado com o espelho S2 (com a mesma inclinao). Ao fazer o espelho se

deslocar utilizando o micrmetro, os mximos e mnimos comearam a se alternar. As

alternncias foram registradas com uma cmera digital, de acordo com as fig.5(a), fig.5(b),

fig.5(c) e fig.5(d).

Interferncia de igual espessura

Para observar as franjas de interferncia, o ngulo do espelho S1 foi ajustado, de modo

que a imagem virtual ficasse inclinada em relao ao do espelho S2. O micrmetro foi

ajustado de modo que as franjas curvam se movessem em direo ao centro. Foram tiradas

as fotos da fig.6(a) e fig.6(b). Em seguida invertemos a inclinao do espelho S1 e em relao

ao espelho S2, neste momento foram tiradas as fotos das fig.6(c) e da fig.6(d).

Atividade III Determinao do ndice de refrao do ar

O recipiente fixado ao interfermetro e conectado bomba de vcuo e ao barmetro.

Ajustado o trajeto do feixe pelo espelho regulvel M1, o sistema est regulado. Inicialmente,

as lentes acopladas de f= +20 mm, foram removidas. O feixe de laser encontra com o espelho

semi transparente em um ngulo de 45 e assim, dividido. Os feixes parciais so refletidos

pelo espelho correspondente e se encontram na tela S. Os dois pontos luminosos se deparam

atravs do ajuste em um dos espelhos. O ajuste se conserva at que os anis de interferncia

concntricos sejam visveis no centro. Para a determinao do ndice de refrao do ar, o

parafuso do micrmetro girado para a sua posio inicial, na qual o centro do anel de

interferncia fique escuro. A presso no recipiente diminuda atravs da bomba manual.

Conforme o centro dos anis de interferncia apresenta um mnimo de intensidade, a presso

e o correspondente nmero de mnimos percorridos so registrados. diminuda a presso

no sistema atravs da alavanca da bomba manual.

Atividade IV Determinao do ndice de refrao do CO2

O recipiente preso ao interfermetro de Michelson e uma pea conectora fechada

utilizando uma rolha de Teflon. O procedimento da atividade III repetido. Aps ajustar o

trajeto do feixe ajustando o espelho M, o feixe alargado pelas lentes, f=+20 mm. Aps isso,

ambos os espelhos do interfermetro so ajustados. O feixe laser incide no espelho semi

transparente em um ngulo de 45 e dividido. Ambos os feixes parciais so refletidos pelos

espelhos correspondentes e incidem no anteparo S. Os dois pontos de luz so superpostos

atravs da utilizao dos dois parafusos de ajuste de um dos espelhos. O ajuste feito at que

os crculos de interferncia concntrica estejam claramente visveis no centro. Para

determinar o ndice de refrao, o micrmetro-parafuso ajustado para uma posio inicial

onde os crculos de interferncia apaream estar escuros. A garrafa pressurizada de dixido

de carbono conectada pipeta de vidro pela vlvula e uma mangueira de silicone. A pipeta

de vidro orientada atravs do grampo universal ajustado em um p magntico de tal modo

que a ponta aponta para a arte no fechada do recipiente. A presso no recipiente diminuda

com a bomba manual. Assim que o centro dos crculos de interferncia mostrar um mnimo

de intensidade, a presso e a quantidade correspondente de mnimos passando so registradas.

RESULTADOS

Comprimento de onda do Laser He-Ne

O padro de interferncia obtido durante o experimento foi registrado com uma cmera

digital e pode ser visto na fig. 4, onde indicado o ponto de referncia utilizado para se contar

as alternncias de mximos e mnimos.

Figura 4 Padres de interferncia da luz. Conforme a distncia do espelho mvel varia, os padres de interferncia do laser comeam a se alternar. Olhando sempre para um mesmo ponto no anteparo possvel

contar o nmero de alternncias e assim relacionar com o deslocamento do espelho para encontrar o valor para o comprimento de onda do laser.

A Tabela 1 contm as leituras feitas durante o experimento. De acordo com o manual

do interfermetro (PHYWE 08557.00) o deslocamento real do espelho deve ser reduzido em

uma proporo de 1:10, como indicado na Tabela 1, Coluna Deslocamento do Espelho Mvel (L). Foi calculado o valor do comprimento de onda para cada grupo de medidas atravs da equao =2.L/N. Por fim, foi feita uma mdia destes resultados. O valor encontrado indicado na Tabela 1.

TABELA 1 Dados Experimentais do Interfermetro de Michelson

Nmero

de Franjas

(N)

Leitura do

Micrmetro

(10*L)

Leitura do

Micrmetro

(10*L)

Deslocamento

do Espelho

Mvel (L)

Comprimento

de Onda () Comprimento

de Onda ()

Mm m m m Nm

20 6,30E-02 6,30E-05 6,30E-06 6,30E-07 630

40 1,29E-01 1,29E-04 1,29E-05 6,45E-07 645

60 1,89E-01 1,89E-04 1,89E-05 6,30E-07 630

80 2,53E-01 2,53E-04 2,53E-05 6,33E-07 633

100 3,16E-01 3,16E-04 3,16E-05 6,32E-07 632

120 3,71E-01 3,71E-04 3,71E-05 6,18E-07 618

MDIA 6,31E-07 631

Alm do clculo do comprimento de onda atravs da mdia das medidas, tambm foi

feito um grfico do Deslocamento do Espelho vs N de Interferncia. Sabendo que =2.L/N, podemos calcular o comprimento de onda atravs da inclinao da reta de um ajuste linear

do grfico citado. Nota-se que a inclinao desta reta ser igual a /2.

Figura 3 Grfico do Comprimento de Onda ()

O valor encontrado atravs da Tabela 1 foi de 631nm e o encontrado atravs do grfico

(Fig.3) foi de 619nm. Fazendo uma mdia entre os dois valores encontrados encontrou-se o

valor de 625nm. De acordo com indicao do laser de He-Ne o comprimento de luz nominal

igual a 632,8nm. Logo, o erro percentual deste procedimento experimental foi de 1,23%

para o comprimento de onda do laser de He-Ne.

ndice de refrao do Ar

A Tabela 2 registra o nmero de mnimos percorridos pelos anis de interferncia, atravs da

diferena de presso:

TABELA 2 Nmero (N) de mnimos encontrados com a respectiva presso (P)

N P(hPa) N/P

1 105 9,5238 E-3

2 220 9,0909 E-3

3 340 8,8235 E-3

4 450 8,8888 E-3

5 580 8,6209 E-3

Figura 4 Grfico da razo N/P

A figura 4 mostra o grfico da razo N/P. Atravs do um ajuste linear da reta, foi possvel determinar o valor de 0,00847 para ainclinao.

Analisando a Tabela 2, observa-se na quarta coluna o quociente entre o nmero de

mnimos e a diferena de presso, o qual associado equao (9), indica uma mdia para a

modificao do ndice de refrao (n) com a mudana de presso (P), uma vez que j determinou-se experimentalmente o comprimento de onda do laser (625 nm) e conhecido

o comprimento geomtrico da clula/recipiente (10 mm).

Construiu-se a Tabela 3, a qual refere-se razo (n/P), como tambm, fornece o ndice de refrao do ar, obtido por (4). Nessa expresso, nota-se que n1 indica o ndice de

refrao do vcuo, ou seja, n = 1, a diferena de presso est associada a cada mnimo

observado e o ndice de refrao do ar dado por n2.

TABELA 3 Determinao do ndice de refrao do Ar

N P(hPa) n/P n2

1 105 2,9762 E-7 1,0000312

2 220 2,8409 E-7 1,0000625

3 340 2,7573 E-7 1,0000937

4 450 2,7778 E-7 1,0001250

5 580 2,6940 E-7 1,0001562

MDIA 1,0000940

ndice de refrao do CO2

Com a conexo do recipiente de CO2 ao sistema utilizado na atividade III, determinou-

se o ndice de refrao do gs. Para tal, provocou a diferena de presso na alavanca do manmetro, e observou-se 8 nmeros de mnimos nos anis de interferncia. Por esse

resultado, calculou-se a variao do ndice de refrao fazendo o uso de (16). Assim:

8(625 109

2) = 2(0,01)

= 1,25 104

Ressalta-se que o comprimento da trajetria ptica s = 2l, onde l representa o

comprimento geomtrico do recipiente, pois o feixe de luz atravessa o recipiente duas vezes.

Como l vale 0,01, para o CO2, constata-se que s equivalente 0,02. Obtm-se assim, a

variao do ndice de refrao contida na clula, sendo esta 1,25E-4. Mas, quer-se o ndice

de refrao do CO2, o qual extrado atravs de n = n2 n1, onde n2 o valor desejado e n1 o ndice de refrao do ar, adquirido na atividade III.

= 2 1

1,25 104 = 2 1,0000937

2 = 1,000218

Sabe-se que o valor nominal para essa medida 1,000416, sob condies normais.

Avaliando as duas medidas por (16), tem-se que:

= ( / ) 100

= (1,000218 1,000416/ 1,000218) 100

= 0,019%

Revela-se assim um erro percentual consideravelmente pequeno.

CONCLUSO

Utilizando-se um Interfermetro de Michelson foi possvel medir o comprimento de

onda de um feixe de luz. Devido a diferena de fase entre as duas partes de um feixe de He-

Ne, que fora dividido por um espelho semi espelhado, projetou-se em um anteparo um padro

de interferncia de luz. O clculo para o comprimento de onda do laser, desenvolveu-se

atravs de duas medidas diretas: a do deslocamento do espelho, e a do nmero de alternncia

das interferncias construtivas e destrutivas. O erro percentual entre o valor experimental e o

valor nominal de 1,23%, sendo ento visvel, o grau de preciso do Interfermetro de

Michelson, levando em considerao que o tratamento das medidas desmembrou-se em

escalas nanomtricas.

Posteriormente, determinou-se o ndice de refrao do ar e esse resultado possibilitou

a determinao do ndice de refrao do dixido de carbono (CO2). Essa atividade elencou-

se atravs da montagem de um sistema composto pelo Interfermetro de Michelson, sendo

projetado em um anteparo, anis, e visualizado um padro de interferncia, ou seja, um

processo anlogo ao da determinao do comprimento de onda do feixe, sendo este utilizado

em triplicata, durante as atividades. Para o primeiro caso de ndice de refrao (atividade III),

o nmero encontrado experimentalmente para o ndice de refrao do ar foi 1,000094, sendo

o valor literrio conhecido por 1,000269, ou seja, obteve-se um erro percentual de 0,017%,

implicando assim, boa preciso do Interfermetro para o uso do experimento. Na terceira

atividade calculou-se o valor representativo ao do ndice de refrao do dixido de carbono,

sendo este 1,000218. Como o valor nominal d-se em 1,000416, denota-se um erro percentual

de 0,019%, propondo uma discrepncia pequena, em relao aos valores citados.

Associando o uso do Interfermetro de Michelson nas trs atividades propostas, sendo

elas: determinao do comprimento de onda do feixe de luz de He-Ne e clculo dos ndices

de refrao do ar e CO2, perceptvel erros percentuais pequenos entre os valores obtidos

experimentalmente com os nominais, verificando assim, boa preciso no uso e manuseio do

Interfermetro.

REFERNCIAS

[1] Eisberg, Robert. Fsica Quntica / Robert Eisberg e Robert Resnick; traduo de

Paulo Costa Ribeiro, Enio Frota da Silveira de Marta Feij Barroso. Rio de Janeiro: Elsevier, 1979 27 Reimpresso. (P.587)

[2] Manual da PHYWE - Michelson interferometer Disponvel em: . Acesso em: 19 ago. 2014, 16:30.

[3] Manual da PHYWE - Refraction index of air and CO2 with Michelson interferometer Disponvel em:

. Acesso em: 19 ago. 2014, 16:30.