Introdução à Dinâmica Analítica -...

Introdução à Dinâmica

Analítica

Vibrações e Ruído (10375)

2016

Pedro V. Gamboa Departamento de Ciências Aeroespaciais

Faculdade de Engenharia

Universidade da Beira Interior

Vibrações e Ruído – 2014-2016

Departamento de Ciências Aeroespaciais

Pedro V. Gamboa 2

Tópicos

• Contextualização e perspetiva histórica.

• Revisões de conceitos físicos fundamentais.

• Tipos de solicitações dinâmicas.

• Discretização de sistemas e graus de liberdade.

• Elementos de um sistema vibratório.





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1. Perspetiva Histórica

• O movimento dos corpos e o equilíbrio de forças é

assunto de discussão desde a Antiguidade explicação

de fenómenos naturais e evidências da vida quotidiana.

• Aristóteles (384-322 a.C.) acreditava que um corpo só

podia manter um movimento uniforme desde que fosse

sujeito à ação de uma força contínua; não havia

conceitos básicos como atrito, massa e pressão

atmosférica! Alguns princípios da Mecânica estática

foram compreendidos, mas o mesmo não se passou

relativamente à cinemática e dinâmica.





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• Galileu (1564-1642) debruçou-se sobre as leis da

dinâmica constatou a independência entre o peso e

o período de oscilação de corpos suspensos

(experiências de quedas de corpos na torre de Pisa);

introduz o conceito de aceleração e de inércia de

movimento.

• Newton (1643-1727) introduz o conceito de referencial

inercial em repouso ou em movimento uniforme em

relação a um espaço fixo; identifica a força como sendo

igual ao produto da massa pela aceleração; adota o

conceito de quantidade de movimento definido por

Descartes (1596-1650); formula teorias sobre a atração

das montanhas sobre um pêndulo e sobre a velocidade

do som no ar; introduz o conceito de massa.

http://images.google.pt/imgres?imgurl=http://apod.nasa.gov/apod/image/0110/galileo_sustermans.jpg&imgrefurl=http://apod.nasa.gov/apod/ap011014.html&h=500&w=471&sz=35&hl=pt-PT&start=1&tbnid=cJrmbzAxN4-QSM:&tbnh=130&tbnw=122&prev=/images%3Fq%3Dgalileo%26gbv%3D2%26hl%3Dpt-PT

http://images.google.pt/imgres?imgurl=http://br.geocities.com/discursus/iconoteca/newton.jpg&imgrefurl=http://br.geocities.com/discursus/filotext/newtofil.html&h=455&w=351&sz=28&hl=pt-PT&start=1&tbnid=TfdxoxoSCC8vaM:&tbnh=128&tbnw=99&prev=/images%3Fq%3Dnewton%26gbv%3D2%26hl%3Dpt-PT





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• Huygens (1629-1695) formulou a teoria da força

centrífuga e inventou o movimento pendular baseado

naquela força; prefere recorrer ao trabalho como

entidade principal do movimento dos corpos.

• D’Alembert (1717-1783) publica o Tratado da Dinâmica

onde refere que o somatório de todas as forças (de

inércia, aplicadas ou de reação) dão origem a uma

força efetiva que terá de ser igual a zero para que um

corpo esteja em equilíbrio; trabalhou na teoria de

vibrações de cordas.

http://images.google.pt/imgres?imgurl=http://www.cs.ualberta.ca/~zaiane/gifs/ac-dAlembert.jpg&imgrefurl=http://www.cs.ualberta.ca/~zaiane/htmldocs/acgenealogy.html&h=349&w=283&sz=17&hl=pt-PT&start=1&tbnid=AZ1q52b1aDBkvM:&tbnh=120&tbnw=97&prev=/images%3Fq%3Dd%2527Alembert%26gbv%3D2%26hl%3Dpt-PT





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• Euler (1707-1783) desenvolveu o cálculo variacional,

propondo um método geral para a determinação de

funções máxima e mínima.

• Lagrange (1736-1813) abordou os problemas de

dinâmica numa perspectiva puramente matemática,

sendo o pai da Mecânica Analítica (ao invés de Newton

que tinha preferido uma abordagem geométrica ou

sintética).

http://images.google.pt/imgres?imgurl=http://bp1.blogger.com/_lS86GfxHN5w/RnwHw4eQBII/AAAAAAAAAoQ/riFK1CFRu9U/s320/Lagrange%2B1.jpg&imgrefurl=http://opiolhodasolum.blogspot.com/2007/06/lagrange-ou-la-grange.html&h=320&w=251&sz=17&hl=pt-PT&start=26&tbnid=HRQMRen5EM3pZM:&tbnh=118&tbnw=93&prev=/images%3Fq%3DLagrange%26start%3D18%26gbv%3D2%26ndsp%3D18%26hl%3Dpt-PT%26sa%3DN

http://images.google.pt/imgres?imgurl=http://www.crossingwallstreet.com/euler-1000.png&imgrefurl=http://www.crossingwallstreet.com/archives/2007/04/happy_300th_leo.html&h=767&w=614&sz=668&hl=pt-PT&start=3&tbnid=3-h03jg4n-IN7M:&tbnh=142&tbnw=114&prev=/images%3Fq%3DEuler%26gbv%3D2%26hl%3Dpt-PT





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• Hamilton (1805-1865) procurou deduzir as equações da

dinâmica a partir de um princípio geral aplicando o

cálculo variacional; deduziu equações que são formas

canónicas das equações da dinâmica.

http://images.google.pt/imgres?imgurl=http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/04/Hamilton.jpg/225px-Hamilton.jpg&imgrefurl=http://en.wikipedia.org/wiki/William_Rowan_Hamilton&h=274&w=225&sz=10&hl=pt-PT&start=1&um=1&tbnid=zmIIpK3N2QWzDM:&tbnh=113&tbnw=93&prev=/images%3Fq%3DHamilton%2Bwikipedia%2Bastronomy%26gbv%3D2%26um%3D1%26hl%3Dpt-PT%26sa%3DN





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2. Implicação na Integridade

Estrutural

Um sistema dinâmico sujeito à ação de uma força variável no

tempo (em termos de grandeza, direção ou posição) responderá

com uma variação do seu estado de equilíbrio.

Eventualmente esta resposta apresentará um caráter

alternativo/oscilatório e repetitivo no tempo, traduzindo-se

numa vibração.

As vibrações dos sistemas mecânicos podem implicar fatores

indesejáveis:

• Fadiga (do material).

• Desgaste/atrito/fretagem.

• Ruído.

• Fratura catastrófica do componente.

Diminuição

dos níveis da

fiabilidade!





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2. Implicação na Integridade

Estrutural

O objetivo da análise dinâmica é a determinação dos

deslocamentos, velocidades e acelerações e,

consequentemente, forças, tensões e deformações transmitidas

ou adquiridas pelos sistemas ou estruturas quando sujeitos a

solicitações dinâmicas.

Tacoma Narrows Bridge (1940)

Galloping Gertie The Collapse of the Tacoma Narrows Bridge.avi

https://www.youtube.com/watch?v=nFzu6CNtqec





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3. Conceitos Fundamentais

• Princípio da inércia (Galileu): uma partícula, num

referencial de inércia, quando não está a ser atuada por

quaisquer forças exteriores, tende a conservar o seu estado

de repouso ou de movimento uniforme retilíneo:

• Princípio da quantidade de movimento (ou momentum): uma

força aplicada a uma partícula iguala a taxa de variação no

tempo do seu momentum:

.0 constvF

am

dt

vdmF

dt

vmd

dt

pdF

constante m para





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• Princípio da ação e reação: se uma partícula i exercer uma

força sobre outra partícula j, Fij, então a partícula j exercerá

uma força de reação Fji igual e oposta sobre a partícula i:

• Princípio da sobreposição: se existirem várias forças a atuar

simultaneamente sobre uma partícula, esta mover-se-á como

se sofresse a ação de uma força equivalente à soma vetorial

de todas as forças:

jiij FF

i

iFR





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• Trabalho: se uma força F atuar sobre uma partícula cuja

posição no espaço é definida pelo vetor r, e se essa partícula

tiver um deslocamento elementar dr, diz-se que a força

realizou um trabalho elementar dW dado por:

Note-se que, em geral, o trabalho é uma grandeza que, sendo

função de propriedade de um sistema, não é uma função de

estado, i.e., o seu valor depende do caminho percorrido entre o

estado inicial e o final. Então, dW não é uma diferencial exata!

No entanto, no caso particular do trabalho realizado por uma

força conservativa (onde rotF=0), então o trabalho não

dependerá da trajetória, podendo ser traduzido por uma

diferencial exata.

rdFdW





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• Energia potencial gravítica: a relação entre o trabalho

realizado pelo peso de um corpo (força constante e

conservativa) e a energia potencial gravítica associada pode

ser determinada como:

onde VA1 e VA2 representam a energia potencial nas posições A1 e

A2, respetivamente.

122121 AAAAAA VVVVW





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• Energia potencial elástica:

considere-se um corpo ligado a uma

estrutura fixa através de uma mola

com rigidez k (ver figura). Em (a) a

mola não está distendida. Quando se

desloca o corpo para a posição

representada em (b), a mola

distende-se do valor x1, exercendo

uma força no corpo que é oposta ao

deslocamento, i.e., F1=-kx1. Em (c)

teremos F2=-kx2 e numa posição

genérica intermédia F=-kx.





Pedro V. Gamboa 15


O trabalho elementar realizado pela força exercida pela mola

quando o corpo se desloca uma distância dx é

Como F=-kx, então

A energia potencial elástica acumulada pela mola é dada por

Daqui se conclui que o trabalho é dado pela variação da energia

potencial elástica da mola.

FdxdW

22

2121

2

1

2

12

1

kxkxkxdxWkxdxdWx

x

2

2

1kxV





Pedro V. Gamboa 16


• Relação entre trabalho e energia cinética: a relação entre

estas duas grandezas pode ser definida como:

Note-se que esta expressão permite relacionar uma diferencial

não-exata com uma diferencial exata, pelo que facilmente

poderemos determinar o trabalho realizado por uma força ao

mover uma partícula de uma posição r1 para uma posição r2

através de uma função que só depende da velocidade em cada

uma destas posições, i.e., a energia cinética.

12

2

121

TTdTWr

rrr

O trabalho realizado por uma força ao deslocar uma partícula de uma posição r1

para outra r2 é igual à correspondente variação de energia cinética (T).





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• Princípio da conservação da energia: a taxa de variação do

trabalho das forças não-conservativas, ou seja, a potência

dissipada (ou fornecida) é igual à taxa de variação da energia

total do sistema.

Considerando uma força conservativa, podemos escrever:

Da relação entre o trabalho e a energia cinética:

Nesta expressão, E traduz a energia total do sistema.

dVrdFdW

constEVTVTdt

dVTddVdT 0)(0)(





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Se considerarmos a ação conjunta de forças conservativas e não-

conservativas, i.e., considerando F=Fc+Fnc,, e fazendo o produto

interno com dr:

Finalmente, dividindo ambos os membros por dt:

rdFdEVTdrdFdVdTrdFrdFrdF ncncncc

)(

rFVTdt

dnc





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4. Tipos de Solicitações Dinâmicas

Existem dois tipos de cargas dinâmicas: periódicas e não

periódicas.

• Cargas periódicas: ocorrem em componentes que operem em

condições estáveis e a velocidade constante. Podem ser do

tipo harmónico ou não-harmónico.





Pedro V. Gamboa 20


• Cargas não periódicas: ocorrem apenas em períodos curtos de

arranque, paragem e mudança de velocidade dos

equipamentos, tendo um caráter transitório.





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Pode ainda considerar-se a existência de 2 processos distintos

para avaliar a resposta dos sistemas face a solicitações

dinâmicas:

• Determinísticos – quando a variação da carga ao longo do

tempo for perfeitamente conhecida.

• Estocásticos – quando a variação da carga ao longo do tempo

não for perfeitamente conhecida, sendo necessário recorrer à

sua representação por métodos estocásticos (ex. cargas

aleatórias).





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5. Sistemas Vibratórios

Basicamente, para que ocorra a vibração de um sistema

mecânico é necessário o contributo de dois fatores

fundamentais: a inércia e as forças elásticas (de restituição).

No entanto, o comportamento real de um sistema vibratório

exige a consideração de um 3º elemento responsável pela

dissipação de energia: o amortecimento.

O mecanismo de vibração pressupõe o fornecimento de energia

através de uma força de excitação aplicada ao sistema.





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A vibração envolve a transferência de energia entre as seguintes

formas:

• Cinética – movimento de massa.

• Potencial – deformação da mola (com rigidez k e massa nula).

• Térmica – dissipação de energia sob a forma de calor no

amortecedor (com massa nula e constante de amortecimento

c).





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A figura abaixo ilustra os elementos do sistema vibratório linear.





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5. Sistemas Vibratórios 5.1. Inércia

No caso de um corpo em translação, a inércia é quantificada

pela sua massa.

Num corpo em rotação, a inércia corresponde ao momento de

inércia em relação ao eixo de rotação.

As forças de inércia estão relacionadas com as acelerações de

translação ou de rotação.

Por exemplo, num sistema linear

onde m é a massa em [kg].

Por exemplo, num sistema angular

onde I é o momento de inércia em [kg.m].

xmF

IM





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5. Sistemas Vibratórios 5.2. Forças de Restituição

As forças de restituição são forças que dependem da posição e

são conservativas.

Podem ser elásticas (molas, barras rígidas à flexão, etc.) ou

gravíticas (ex. movimento pendular).

Podem ter comportamento linear ou não.

Como exemplo de uma força que depende do deslocamento

temos a mola da figura





Pedro V. Gamboa 27


A mola sofre uma deformação que, na maioria das situações,

tem um comportamento elástico obedecendo à Lei de Hooke

onde k é a constante da mola ou a constante da rigidez, tendo

como unidades [N/m].

Por vezes usam-se combinações de molas sendo de particular

interesse as associações em série e em paralelo como as

indicadas na figura

12 xxkF (1)





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No caso da associação de 2 molas em paralelo tem-se

Para haver equilíbrio

com

Logo, para n molas associadas em paralelo

12221211 xxkFxxkF pp

(2)

1221 xxkFFFF eqpppp

21 kkkeq

n

i

ieq kk1





Pedro V. Gamboa 29


No caso da associação de 2 molas em série tem-se

Neste caso tem-se

com

Logo, para n molas associadas em série

02221011 xxkFxxkF ss

(3)

1221 xxkFFFF eqssss

1

21

11

kkkeq

1

1

1

n

i i

eqk

k





Pedro V. Gamboa 30


Exemplo 1.01: Modele o sistema representado na figura por um

bloco ligado a uma única mola com uma constante de rigidez

equivalente.





Pedro V. Gamboa 31

5. Sistemas Vibratórios 5.3. Amortecimento

O amortecimento de um sistema vibratório é introduzido através

de componentes específicos, amortecedores, ou então resulta do

atrito entre os vários componentes do sistema.

No caso dos amortecedores viscosos, verifica-se uma variação

linear entre a força e a diferença das velocidades produzida nas

suas extremidades, obtendo-se a relação

Neste caso, a constante c representa o coeficiente de

amortecimento tendo como unidades [Ns/m].

(4) 12 xxcF





Pedro V. Gamboa 32


De forma análoga às molas também os amortecedores poderão

ser associados em série ou paralelo,

resultando num ceq igual a, respetivamente,

e

(6)

(5)

21 ccceq

1

21

11

ccceq





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Quando um sistema é excitado externamente num instante t=0,

por uma força ou deslocamento, o seu movimento dinâmico

toma o nome de vibração forçada.

Se após este instante inicial as perturbações externas deixam de

existir, o movimento oscilatório do sistema passa a ter o nome

de vibração livre.

Estas vibrações livres descrevem um comportamento natural

traduzido pelos modos naturais de vibração do sistema.

Com o efeito do amortecimento é expectável que as vibrações

livres tendem a parar até ao sistema ficar na sua posição de

equilíbrio estático.





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No caso de termos um sistema rotativo, as componentes do

sistema são:

I - momento de inércia

kt - rigidez da mola à torção

ct - coeficiente de amortecimento

- deslocamento angular

T(t) - momento excitador





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A tabela seguinte representa um resumo das diversas forças que

atuam tanto em sistemas retilíneos (lineares) como momentos

que atuam em sistemas rotativos:

Sistema Retilíneo Sistema Rotativo





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5. Sistemas Vibratórios 5.4. Modelos de Sistemas e Graus de Liberdade

O número de graus de liberdade de um sistema é o número de

movimentos independentes que aquele pode assumir, sendo

esses movimentos representados através de coordenadas que

permitem definir a posição desse sistema em qualquer instante.

É comum usar a nomenclatura abaixo neste contexto:

• DOF – degrees of freedom

• SDOF – single degree of freedom

• MDOF – multiple degree of freedom





Pedro V. Gamboa 37


Um sistema com número finito de DOF é chamado sistema

discreto, ao passo que um sistema com um número infinito de

DOF é chamado sistema contínuo.

Muitos sistemas contínuos podem no entanto ser analisados com

uma precisão aceitável como sistemas discretos em função da

escolha do número de graus de liberdade.





Pedro V. Gamboa 38


Exemplo: Viga rígida sujeita à flexão.

• Um corpo rígido no espaço 3D terá 6 DOF – 3 rotações e 3

translações

• No plano 2D terá 3 DOF – 1 rotação e 2 translações





Pedro V. Gamboa 39


Exemplo: Duas barras.

• As barras separadas da Figura 5(a) têm 6 DOF

• As barras ligadas através de uma articulação, Figura 5(b),

passam a ter 4 DOF





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Exemplo: 1 DOF.

• pistão movendo-se dentro de um cilindro de motor

alternativo

• movimento de um disco de turbina

• suspensão de um veículo automóvel (caso simplificado!)





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Exemplo: 2 DOF.





Pedro V. Gamboa 42


Exemplo: 4 DOF.

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