Introducao as Equacoes Diferenciais Parciais

Cesar de Oliveiracesaroliveira.f.silva@gmail.com

Docente: Dra. Sandra Regina Monteiro Masalskiene Rovedasandra@sorocaba.unesp.br

6 de setembro de 2014

1 Series de Fourier

Definicao 1. f(t) e periodica de perıodo p se f(t+p) e igual a f(t).

Exemplo 1. cos nt tem perıodo 2π.

Esse exemplo e calculado a seguir:

cos(n(t+ 2πn

)) = cos(nt+ 2π) = cosnt (1)

O que queremos e representar uma funcao periodica pela sua serie de Fourier.

Para isso, iremos supor a seguinte igualdade (sendo f(t) contınua por partes e de perıodo p= 2π). Entao:

f(t)” = ”a0

2 +∞∑i=1

ancosnt+∞∑i=1

bnsennt (2)

Essa e uma serie de Fourier.

Agora a questao e determinar os coeficientes a0, an e bn.

Para isso necessitamos relembrar algumas integrais elementares, que no caso sao:

∫ π

−πcosmtcosntdt =

0, se m 6= n,

π, se m = n.(3)

∫ π

−πsenmtsenntdt =

0, se m 6= n,

π, se m = n.(4)

1

∫ π

−πsenmtcosntdt = 0 (5)

Para demonstrar que esses valores das integrais das equacoes 3, 4 e 5 sao verdadeiras,precisamos utilizar algumas identidades trigonometricas.

cos(A−B) + cos(A+B) =

cosAcosB + senAsenB + cosAcosB − senAsenB = 2cosAcosB →

cosAcosB = 12[cos(A−B) + cos(A+B)] (6)

cos(A−B)− cos(A+B) =

cosAcosB + senAsenB − cosAcosB + senAsenB = 2senAsenB →

senAsenB = 12[cos(A−B)− cos(A+B)] (7)

sen(A−B) + sen(A+B) =

senAcosB + senBcosA+ senAcosB + sen(−B)cosA = 2senAcosB →

senAcosB = 12[sen(A−B) + sen(A+B)] (8)

Agora, com essas identidades demonstradas, podemos calcular as integrais 3, 4 e 5:

∫ π

−πcosmtcosntdt =

12[∫ π

−πcos(m− n)tdt+

∫ π

−πcos(m+ n)tdt] =

12[sen(m− n)t

m− n

∣∣∣∣∣∣π

−π

+ sen(m+ n)tm+ n

∣∣∣∣∣∣π

−π

] = 0,m 6= n (9)

∫ π

−πcosmtcosntdt =

∫ π

−πcos2mtdt

12[∫ π

−π(1 + cos2m)tdt] = 1

2[t+ sen2mt2m

∣∣∣∣∣∣π

−π

] = π,m = n

(10)

∫ π

−πsenmtsenntdt =

∫ π

−πsen2mtdt

12[∫ π

−π(1 + cos2m)tdt] = 1

2[t+ sen2mt2m

∣∣∣∣∣∣π

−π

] = π,m = n

(11)

2

∫ π

−πsenmtcosntdt =

12[∫ π

−πsen(m− n)tdt+

∫ π

−πsen(m+ n)tdt] =

12[−cos(m− n)t

m− n

∣∣∣∣∣∣π

−π

− cos(m+ n)tm+ n

∣∣∣∣∣∣π

−π

] = 0,m 6= n (12)

Agora podemos retornar ao problema das Series de Fourier e encontrar os seus coeficientes:

∫ π

−πf(t)dt =

∫ π

−π

a0

2 +∞∑i=1

an

∫ π

−πcosmtdt+

∞∑i=1

bn

∫ π

−πsenmtdt→ a0 = 1

π

∫ π

−πf(t)dt (13)

Para encontrar an vamos multiplicar a equacao por cos mt:

∫ π

−πf(t)cosmtdt =

∫ π

−π

a0

2 cosmtdt+∞∑i=1

an

∫ π

−πcosmtcosmtdt+

∞∑i=1

bn

∫ π

−πsenmtcosmtdt→∫ π

−πf(t)cosmtdt = amπ → am = 1

π

∫ π

−πf(t)cosmtdt

(14)

E para encontrar o bn vamos multiplicar a equacao por sen mt:

∫ π

−πf(t)senmtdt =

∫ π

−π

a0

2 senmtdt+∞∑i=1

an

∫ π

−πcosmtsenmtdt+

∞∑i=1

bn

∫ π

−πsenmtsenmtdt→∫ π

−πf(t)senmtdt = bmπ → bm = 1

π

∫ π

−πf(t)senmtdt

(15)

Essa exemplificacao do calculo dos coeficientes das Series de Fourier, podemos expandirpara uma definicao mais abrangente, como exposto na literatura especializada1.

Assim, podemos definir mais detalhadamente a Serie de Fourier:

Definicao 2. Uma funcao perıodica f(x) de perıodo 2L tem uma serie de Fourier associada naforma:

f(x) = a0

2 +∞∑i=1

ancosnxπ

L+∞∑i=1

bnsennxπ

L(16)

1BOYCE, W.E, DIPRIMA, R.C, Equacoes Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno,Rio de Janeiro, LTC, 2002.

3

onde:

a0 = 1L

∫ L

−Lf(x)dtx (17)

an = 1L

∫ L

−Lf(t)cosnxπ

Ldx (18)

bn = 1L

∫ L

−Lf(t)sennxπ

Ldx (19)

E complementando, por ser uma serie, necessita de uma explanacao sobre suas condicoesde convergencia.

Teorema 1. Convergencia da Serie de Fourier: se f(x) e diferenciavel por partes e temperıodo 2L, entao a Serie de Fourier converge para f(x) em todos os pontos onde f e contınua

e para f(a+) + f(a−)2 onde f e descontınua.

2 Funcoes Pares e Impares e Extensoes Perıodicas

2.1 Funcoes Pares e Impares

Definicao 3. f(x) e par se f(-x) = f(x).

Definicao 4. f(x) e ımpar se f(-x) = -f(x).

Propriedade 1. Se f e g sao pares → f.g(x) = f(-x).g(-x) = f.g(-x) = f.g(x) → f.g e par.

Propriedade 2. Se f e g sao pares → f.g(-x) = f(-x).g(-x) = (-f(x)).(-g(x) = f.g(x) → f.g epar.

Propriedade 3. Se f e par e g e ımpar → f.g(x) = f(-x).g(-x) = (f(x)).(-g(x)) = -f.g(x) → f.ge ımpar.

3 Equacoes de Navier-Stokes

Abaixo seguem as equacoes de Navier-Stokes e da tensao de cisalhamento construtivo Newto-niano na forma vetorial nas versoes em coordenadas cartesiana, cilındrica e esferica. A equacaodo momento e dada tanto em termos de tensao de cisalhamento como na forma simplificadavalida para fluidos newtonianos incompreensıveis com viscosidade uniforme.

4

Forma Vetorial Estas sao as equacoes escritas usando a notacao vetorial.

Equacao da Continuidade (Conservacao da Massa):

Dρ

Dt+ ρ∇ · ~u = 0 (20)

Equacao do Movimento (Conservacao do Momento):

ρD~u

Dt= −∇p−∇ · τ + ρ~g (21)

Equacao da tensao de cisalhamento:

τ = −µ(∇~u+∇~uT − 2

3∇ · ~u)

(22)

A equacao de movimento simplificada de um fluido incompressıvel, com viscosidade newtonianauniforme:

ρD~u

Dt= −∇p+ µ∇2~u+ ρ~g (23)

5

Coordenadas Cartesianas Para um fluido geral em coordenadas cartesianas:

massa : ∂ρ

∂t+ ∂(ρux)

∂x+ ∂(ρuy)

∂y+ ∂(ρuz)

∂z= 0 (24)

x−momentum : ρ

(∂ux∂t

+ ux∂ux∂x

+ uy∂ux∂y

+ uz∂ux∂z

)= (25)

−∂p∂x− ∂τxx

∂x− ∂τyx

∂y− ∂τzx

∂z+ Fx

y−momentum : ρ

(∂uy∂t

+ ux∂uy∂x

+ uy∂uy∂y

+ uz∂uy∂z

)= (26)

−∂p∂y− ∂τxy

∂x− ∂τyy

∂y− ∂τzy

∂z+ Fy

z−momentum : ρ

(∂uz∂t

+ ux∂uz∂x

+ uy∂uz∂y

+ uz∂uz∂z

)= (27)

−∂p∂z− ∂τxz

∂z− ∂τyz

∂y− ∂τzz

∂z+ Fz

Tensao de cisalhamento:

τxx = −µ(

2∂ux∂x− 2

3∇ · ~u)

(28)

τyy = −µ(

2∂uy∂y− 2

3∇ · ~u)

(29)

τzz = −µ(

2∂uz∂z− 2

3∇ · ~u)

(30)

τxy = τyx = −µ(∂ux∂y

+ ∂uy∂x

)(31)

τxz = τzx = −µ(∂ux∂z

+ ∂uz∂x

)(32)

τyz = τzy = −µ(∂uy∂z

+ ∂uz∂y

)(33)

∇ · ~u = ∂ux∂x

+ ∂uy∂y

+ ∂uz∂z

(34)

Para um fluido incompressıvel newtoniano em coordenadas cartesianas:

x−momentum : ρ

(∂ux∂t

+ ux∂ux∂x

+ uy∂ux∂y

+ uz∂ux∂z

)= (35)

−∂p∂x

+ µ

(∂2ux∂x2 + ∂2ux

∂y2 + ∂2ux∂z2

)+ Fx

y−momentum : ρ

(∂uy∂t

+ ux∂uy∂x

+ uy∂uy∂y

+ uz∂uy∂z

)= (36)

−∂p∂y

+ µ

(∂2uy∂x2 + ∂2uy

∂y2 + ∂2uy∂z2

)+ Fy

z−momentum : ρ

(∂uz∂t

+ ux∂uz∂x

+ uy∂uz∂y

+ uz∂uz∂z

)= (37)

−∂p∂z

+ µ

(∂2uz∂x2 + ∂2uz

∂y2 + ∂2uz∂z2

)+ Fz

6

Coordenadas Cilındricas Para um fluido geral em coordenadas cilındricas:

massa : ∂ρ

∂t+ 1r

∂

∂r(ρrur) + 1

r

∂

∂θ(ρuθ) + ∂

∂z(ρuz) = 0 (38)

r−momentum : ρ

(∂ur∂t

+ ur∂ur∂r

+ uθr

∂ur∂θ− u2

θ

r+ uz

∂ur∂z

)= (39)

−∂p∂r−(

1r

∂

∂r(rτrr) + 1

r

∂τrθ∂θ− τθθ

r+ ∂τrz

∂z

)+ Fr

θ−momentum : ρ

(∂uθ∂t

+ ur∂uθ∂r

+ uθr

∂uθ∂θ

+ uruθr

+ uz∂uθ∂z

)= (40)

−1r

∂p

∂θ−(

1r2

∂

∂r(r2τrθ) + 1

r

∂τθθ∂θ

+ ∂τθz∂z

)+ Fθ

z−momentum : ρ

(∂uz∂t

+ ur∂uz∂r

+ uθr

∂uz∂θ

+ uz∂uz∂z

)= (41)

−∂p∂z−(

1r

∂

∂r(rτrz) + 1

r

∂τθz∂θ

+ ∂τzz∂z

)+ Fz

Tensao de cisalhamento:

τrr = −µ(

2∂ur∂r− 2

3(∇ · ~u))

(42)

τθθ = −µ(

2(

1r

∂uθ∂θ

+ urr

)− 2

3(∇ · ~u))

(43)

τzz = −µ(

2∂uz∂z− 2

3(∇ · ~u))

(44)

τrθ = τθr = −µ(r∂

∂r

(uθr

)+ 1r

∂ur∂θ

)(45)

τrz = τzr = −µ(∂uz∂r

+ ∂ur∂z

)(46)

τθz = τzθ = −µ(∂uθ∂z

+ 1r

∂uz∂θ

)(47)

∇ · ~u = 1r

∂

∂r(rur) + 1

r

∂uθ∂θ

+ ∂uz∂z

(48)

Para um fluido incompressıvel newtoniano em coordenadas cilındricas:

r−momentum : ρ

(∂ur∂t

+ ur∂ur∂r

+ uθr

∂ur∂θ− u2

θ

r+ uz

∂ur∂z

)= (49)

−∂p∂r

+ µ

[∂

∂r

(1r

∂

∂r(rur)

)+ 1r2∂2ur∂θ2 −

2r2∂uθ∂θ

+ ∂2ur∂z2

]+ Fr

θ−momentum : ρ

(∂uθ∂t

+ ur∂uθ∂r

+ uθr

∂uθ∂θ

+ uruθr

+ uz∂uθ∂z

)= (50)

−1r

∂p

∂θ+ µ

[∂

∂r

(1r

∂

∂r(ruθ)

)+ 1r2∂2uθ∂θ2 + 2

r2∂ur∂θ

+ ∂2uθ∂z2

]+ Fθ

z−momentum : ρ

(∂uz∂t

+ ur∂uz∂r

+ uθr

∂uz∂θ

+ uz∂uz∂z

)= (51)

−∂p∂z

+ µ

[1r

∂

∂r

(r∂uz∂r

)+ 1r2∂2uz∂θ2 + ∂2uz

∂z2

]+ Fz

7

Coordenadas Esfericas Para um fluido geral em coordenadas esfericas:

massa : ∂ρ

∂t+ 1r2

∂

∂r

(ρr2ur

)+ 1r sin θ

∂

∂θ(ρuθ sin θ) + 1

r sin θ∂

∂φ(ρuφ) = 0 (52)

r−momentum : ρ

(∂ur∂t

+ ur∂ur∂r

+ uθr

∂ur∂θ

+ uφr sin θ

∂ur∂φ−u2θ + u2

φ

r

)= −∂p

∂r(53)

−(

1r2

∂

∂r

(r2τrr

)+ 1r sin θ

∂

∂θ(τrθ sin θ) + 1

r sin θ∂τrφ∂φ− τθθ + τphiφ

r

)+ Fr

θ−momentum : ρ

(∂uθ∂t

+ ur∂uθ∂r

+ uθr

∂uθ∂θ

+ uφr sin θ

∂uθ∂φ

+ uθuφr− uφ cot θ

r

)= −1

r

∂p

∂θ(54)

−(

1r2

∂

∂r

(r2τrθ

)+ 1r sin θ

∂

∂θ(τθθ sin θ) + 1

r sin θ∂τθφ∂φ

+ τrθr− τφφ cot θ

r

)+ Fθ

φ−momentum : ρ

(∂uφ∂t

+ ur∂uφ∂r

+ uθr

∂uφ∂θ

+ uφr sin θ

∂uφ∂φ

+ uφurr

+ uθuφ cot θr

)= − 1

r sin θ∂p

∂φ(55)

−(

1r2

∂

∂r

(r2τrφ

)+ 1r

∂τθφ∂θ

+ 1r sin θ

∂τφφ∂φ

+ τrφr

+ 2τθφ cot θr

)+ Fφ

Tensao de cisalhamento:

τrr = −µ(

2∂ur∂r− 2

3(∇ · ~u))

(56)

τθθ = −µ(

2(

1r

∂uθ∂θ

+ urr

)− 2

3(∇ · ~u))

(57)

τφφ = −µ(

2(

1r sin θ

∂uφ∂φ

+ urr

+ uθ cot θr

)− 2

3(∇ · ~u))

(58)

τrθ = τθr = −µ(r∂

∂r

(uθr

)+ 1r

∂ur∂θ

)(59)

τrφ = τφr = −µ(

1r sin θ

∂ur∂φ

+ r∂

∂r

(uφr

))(60)

τθφ = τφθ = −µ(

sin θr

∂

∂θ

(uφ

sin θ

)+ 1r sin θ

∂uθ∂φ

)(61)

∇ · ~u = 1r2

∂

∂r(r2ur) + 1

r sin θ∂

∂θ(uθ sin θ) + 1

r sin θ∂uφ∂φ

(62)

8

Para um fluido incompressıvel newtoniano em coordenadas esfericas:

r−momentum : ρ

(∂ur∂t

+ ur∂ur∂r

+ uθr

∂ur∂θ

+ uφr sin θ

∂ur∂φ−u2θ + u2

φ

r

)= −∂p

∂r(63)

+µ(

1r2

∂2

∂r2

(r2ur

)+ 1r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ∂ur

∂θ

)+ 1r2 sin2 θ

∂2ur∂φ2

)+ Fr

θ−momentum : ρ

(∂uθ∂t

+ ur∂uθ∂r

+ uθr

∂uθ∂θ

+ uφr sin θ

∂uθ∂φ

+ uθuφr− uφ cot θ

r

)= −1

r

∂p

∂θ(64)

+µ(

1r2

∂

∂r

(r2∂uθ∂r

)+ 1r2

∂

∂θ

(1

sin θ∂

∂θ(uθ sin θ)

)+ 1r2 sin2 θ

∂2uθ∂φ2

+ 2r2∂ur∂θ− 2 cos θr2 sin2 θ

∂uφ∂φ

)+ Fθ

φ−momentum : ρ

(∂uφ∂t

+ ur∂uφ∂r

+ uθr

∂uφ∂θ

+ uφr sin θ

∂uφ∂φ

+ uφurr

+ uθuφ cot θr

)= − 1

r sin θ∂p

∂φ(65)

+µ(

1r2

∂

∂r

(r2∂uφ∂r

)+ 1r2

∂

∂θ

(1

sin θ∂

∂θ(uφ sin θ)

)+ 1r2 sin2 θ

∂2uφ∂φ2

+ 2r2 sin θ

∂ur∂φ− 2 cos θr2 sin2 θ

∂uθ∂φ

)+ Fφ

9