INTRODUÇÃO A LÓGICA

THOBER CORADI DETOFENO, MSC.

Aula 05Trabalho II

JOINVILLE

Universidade do Estado de Santa Catarina – CCT/UDESC

Fórmulas atômicas e fórmulasAtravés dos conectivos lógicos , , , e , podemos construir sentenças mais “complexas” a

partir de outras sentenças mais “simples”. Este procedimento é clarificado pela seguinte regra de formação de sentenças:

Partimos de certas sentenças denominadas fórmulas atômicas1 : p, q, r, ... Elas desempenham, intuitivamente, o papel de sentenças básicas ou atômicas da linguagem proposicional.

As sentenças (que daqui em diante receberão o nome de ‘fórmulas’) em geral são obtidas pela seguinte definição indutiva generalizada:

1. Todas as fórmulas atômicas são fórmulas.2. Se A e B são fórmulas, então

(A),(A B),(A B),(AB) e(AB) são também fórmulas.

3. Uma dada expressão constitui uma fórmula se e somente se foi obtida pela aplicação de uma das regras (1 ou 2) acima.

Daqui em diante, usamos também a seguinte terminologia: diz-se que uma fórmula(A) é do tipo não.(A B) é do tipo e(A B) é do tipo ou(AB) é do tipo implica(AB) é do tipo bi-implica.

Árvore de composição de uma fórmula. Árvore de decomposição

Vimos a definição de fórmula no slide anterior. Podemos esquematizála no que chamamos árvore de formação de fórmulas: A, B, C, D indicam fórmulas atômicas.

Na árvore acima notamos alguns pontos importantes. Inicialmente, observemos a 1a linha: partimos de sentenças atômicas A, B, C, D, ... que constitui a regra 1 da definição de fórmula.

Observemos a 2a linha: aplicamos a regra 2 e obtemos novas fórmulas: (A), (AB), (B C), (C D), (DD),dentre outras. Observe que as fórmulas obtidas seguem estritamente a regra 2, ou seja, por exemplo, em (A B), é absolutamente necessário abrir um parêntesis á esquerda, escrever a atômica A, escrever o conectivo e depois escrever a atômica B e finalmente fechar o parêntesis á esquerda.

Observemos a 3a linha: aplicamos a regra 2 novamente e obtemos novas fórmulas: ((A)), ((A (B C)), ((C D) (B C)), ((DD)), entre outros. Novamente atente para a regra 2 que foi aplicada cuidadosamente ás fórmulas anteriormente obtidas.

Árvore de composição de uma fórmula. Árvore de decomposição

Vamos exibir um processo gráfico para determinar todas as subfórmulas de uma dada fórmula. Tal processo faz uso de uma estrutura, muito utilizada nas diversas áreas das ciências da computação, chamada árvore, mais precisamente faremos uso somente de árvores binárias. A seguir, apresentamos graficamente as componentes de uma árvore binária qualquer, observamos que tal descrição, não tem nenhum caráter formal, é apenas para nos familiarizarmos com os elementos dessa estrutura.

Árvore de composição de uma fórmula. Árvore de decomposição

No slide anterior está a representação gráfica de uma árvore binária genérica, chamamos de aresta o segmento de reta que “liga” os nós, (ou vértices ). Os nós ou vértices são de três espécies, o nó a partir da qual toda a árvore é gerada é chamado de raiz, o nó terminal chamado de folha e os nós intermediários chamados de nó interior. Freqüentemente utilizaremos as seguintes denominações para determinados nós de uma árvore binária nó pai, nó filho, nó irmão. Tal denominação pode ser vista no diagrama abaixo, referente a árvore anteriormente citada

Utilizaremos essa estrutura de árvore binária do seguinte modo:1. Dada uma fórmula qualquer S esta será a raiz da árvore de

subfórmulas de S,2. Se S é uma fórmula do tipo não, então ela é composta por uma

fórmula A, de tal modo que S = (A), logo teremos

3. Se S é uma fórmula do tipo e, então ela é composta por duas fórmulas A e B de tal modo que S = (A B), logo teremos

4. Se S é uma fórmula do tipo ou, então ela é composta por duas fórmulas A e B de tal modo que S = (A B), daí teremos

5. Se S é uma fórmula do tipo implica, então ela é composta por duas fórmulas A e B de tal modo que S é dado por (AB), e teremos

6. Se S é uma fórmula do tipo bi-implica, então ela é composta por duas fórmulas A e B de tal modo que S é dado por (AB), e teremos

Estrutrura de Árvore Binária

Cada nó representa uma fórmula, em particular, cada nó “gera” uma sub-árvore, isto é, cada nó pode ser considerada uma raiz de uma árvore “menor” que tem como nós os sucessores do respectivo nó raiz. A construção de uma árvore de subfórmulas a partir de uma fórmula dada, termina quando todas as folhas contiverem somente letras proposicionais.

[A(B C)] {[[(B) ((A))] [((B C))]]} {[(AB) A] A}

Exemplos de Árvore Binária

Exercício 1. Em cada uma das fórmulas abaixo dizer qual é o último conectivo aplicado e o tipo da fórmula. Em seguida faça a árvore de decomposição.

1. {(A(C)) [[[C (A C)]] [[( EC) (A D)]]]}2. (((( EC) (A D)) ((( EC) ((F D))) (E D))))3. {[[[[(AB) B] A]]]}

Exercício 2. 1) Determine todas as subfórmulas de cada uma das fórmulas dadas a seguir, usando o conceito de árvore de decomposição (Escolha 10 questões).

1. ((AC) ((B C) ((A B) C))).2. (( A (A B)) A)3. ((A (A B)) A)4. ((A(AB)) (AB))5. (((AB) (AC)) (A(B C)))6. ((( A B)) ((A) (B)))7. (((A B)) ((A) (B)))

Exercícios

Tabela-verdade de uma fórmula

Tabela-verdade de uma fórmula

Exemplo de Tabela Verdade

Exemplo de Tabela Verdade

Exercícios1) Obter a árvore de subfórmulas das seguintes fórmulas e analisar o respectivo valor-verdade.1. A2. [(B C)]3. {[(B C)]}4. ((AC) ((BC) ((A B) C))).5. ((((A B))) ((A)))6. ((A(BC)) ((AB) (AC)))7. ((AC) ((BC) ((A B) C))))8. [[(B) (A)] [((B) A) B]]9. [[(B) (C)] (A)]10. [[(A B) (A (A))]]11. [(A(A))]12. [(B) (C)] (A)13. [(( A B) (A (A)))]14. [((A B)) ((A B))]15. [(A B) ((B) (A))]

TautologiaDefinição. Uma fórmula A diz-se ser uma tautologia se o valor verdade de A sempre for

verdadeiro, quaisquer que sejam os valores-verdade de suas fórmulas atômicas componentes. Diz-se que uma fórmula A implica tautologicamente a fórmula B se (AB) constituir uma tautologia. Neste caso, diz-se também que B é uma conseqüência lógica de A. Diz-se que as fórmulas A e B são logicamente equivalentes se (AB) constituir uma tautologia.

ContradiçõesDefinição. Uma fórmula A diz-se ser uma contradição se o valorverdade de A for sempre falso,

quaisquer que sejam os valores-verdade de suas fórmulas atômicas componentes. Logo, uma fórmula A constitui uma contradição se e somente se sua função-verdade correspondente for a função constante f 0.

Lema 1. Uma fórmula A é uma tautologia se e somente se a fórmula (A) for uma contradição, e vice-versa.

ExercíciosDemonstrar, pela tabela verdade , quais das seguintes fórmulas são tautologias. 1. {[B (B)]}2. {[A (B C)] [(A B) C)]}3. {[(A) (B)] [(A B)]}4. [A (A)]5. {[(C) (B)] (A)}6. {[(A B) (A (C))]}7. {[(A B) C)] [A (B C)]}8. {[(C) C]}9. {[(B A)] [(A) (B)]}10. [B (B)]

Demonstrar, pela tabela verdade , quais das seguintes fórmulas são contradições. 1. [(AA)]2. {[(A) A]}3. {[B(CB)]}4. {B [C (B)]}5. {[A[B (B)]] A}

Portas LógicasOs transistores são dispositivos eletrônicos de pequenas dimensões e que funcionam com pequenas intensidades de tensão e corrente elétrica.

Nestes circuitos eletrônicos os transistores vão atuar como chaves configuradas de diversas formas, conforme determinados circuitos de chaveamento lógico.

Através de tecnologia moderna empregada na construção dos chamados circuitos integrados (chips) consegue-se sistemas lógicos compostos de milhares de transistores de tamanho muito reduzido.

Os sinais elétricos aplicados às entradas do Bloco representam as proposições A, B, C, etc.. e os sinais elétricos resultantes nas saídas representam os estados lógicos das saídas S1, S2 , S3,... Sn resultantes das equações representadas pelas funções verdades.

Portas Lógicas

Portas LógicasDada a equação lógica: [(A B )] V [ (C V D)] = SReescreva-a com a notação mais comumente utilizada em Circuitos Digitais.

A equivalência das notações:= . Conjunção

V = + Disjunção= Negação

nos permite reescrever a equação da seguinte forma:(AB )+ (C + D) = S

Construa o circuito com portas lógicas que simule a equação.

Portas LógicasExemplo - Um sistema de alarme residencial é composto por 4 sensores sA,

sB, sC e sD instalados em janelas. Cada sensor é instalado de modo que abra o contato caso a janela seja aberta indevidamente. A abertura do contato provoca o acionamento de uma lâmpada sinalizadora de alarme.Uma chave sE instalada do lado de fora, e em local secreto conhecido apenas pelo usuário, deixa o sistema inativo caso seja desligada. Com base na descrição acima elabore a equação Lógica e o Circuito construído com portas lógicas do Sistema de alarme.

Exemplo - Em uma indústria um comitê administrativo é composto por três pessoas:a) O Presidente A. b) O Vice-Presidente B. c) O Gerente Industrial C.

Este comitê decide questões relativas ao gerenciamento da fábrica com os seguintes critérios: 1- O voto do Presidente A tem prioridade em relação aos demais membros, 2- Os votos da maioria têm poder de aprovar as resoluções, independente do voto do Presidente. Cada membro do Comitê tem em seu poder uma chave que é acionada sinalizando um voto de aprovação quando a proposta é de sua concordância, caso contrário, a chave permanece desligada.Pede-se: Elabore a equação Lógica, a tabela verdade e o circuito de portas lógicas capaz de simular este processo.

Exercício1- Dada a equação lógica:

[(A B )] [(C V D)] = Sa) Rescreva-a com a notação mais comumente

utilizada em Circuitos Digitais.b) Construa o circuito com portas lógicas que simule

a equação.

2- Dada a equação lógica: S= A.B+CDa) Elabore a tabela verdade.b) Construa o Circuito com portas lógicas para

simular esta equação.

3- A equação Lógica A.B + A.B. = S representa uma função lógica muito importante em circuitos digitais chamada de OU-Exclusivo. Elabore a tabela verdade desta equação e construa o circuito com portas lógicas.

5) Dada a equação lógica: S=(A.B) . (C+D)a) Elabore a tabela verdade.b) Construa o Circuito com portas lógicas para

simular esta equação

6-Em uma fabrica um comitê administrativo é composto por quatro pessoas:

1- O Presidente A.2- O Vice-Presidente B.3- O Gerente Industrial C.4- O Gerente admistrativo D.

Este comitê decide questões relativas ao gerenciamento da fábrica com os seguintes critérios:

1- Os votos da maioria têm poder de aprovar as resoluções.

2- No caso de empate vence o voto do presidente.Cada membro do Comitê tem em seu poder uma chave que é acionada sinalizando um voto de aprovação quando a proposta é de sua concordância, caso contrário, a chave permanece desligada.Elabore a equação Lógica, a tabela verdade e o circuito de portas lógicas capaz de simular este processo.