Introdução à Matemática Aprendiz/introducao_a... · Autoria deste caderno Luciano Andreatta...

Introdução à Matemática

Coordenação do Programa FORMARE Beth Callia

Coordenação Pedagógica Zita Porto Pimentel

Coordenação convênio CEFET/Fundação Iochpe Alfredo Vrubel

Elaboração GIPE Projetos Educativos Ltda.Av. Imperial, 407 / Ipanema91760-400 – Porto Alegre, [email protected]

Coordenação Geral Ana Mariza Ribeiro Filipouski Diana Maria Marchi

Projeto Gráfico e Editoração Editoras AssociadasMarta Castilhos / Camila Kieling

Revisão Suliani Editografia Ltda.

Autoria deste caderno Luciano Andreatta Carvalho da Costa

Apoio MEC – Ministério da EducaçãoFNDE – Fundo Nacional de Desenvolvimento da EducaçãoPROEP – Programa de Expansão da Educação Profissional

Iniciativa Realização

Fundação IOCHPEAl. Tietê, 618, casa 3, Cep 01417-020, São Paulo, SP

www.formare.org.br

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)(William Okubo, CRB-8/6331, SP, Brasil)

CARVALHO DA COSTA, Luciano Andreatta

Matemática financeira e comercial / Andreatta Carva-lho da Costa ; Projeto Formare. - São Paulo : FundaçãoIochpe, 2007.

250p. (Cadernos Formare, 66)

Inclui: Exercícios; Glossário; Bibliografia.ISBN 978-85-98169-66-8

1. Ensino Profissional 2. Matemática Financeira 3. Estatística I. Projeto Formare II. Título III. Série

CDD-371.426

FORMARE: uma escola para a vida

Ensinar e aprender não podem dar-se fora da procura,fora da boniteza e da alegria.

A alegria não chega apenas com o encontro do achado,mas faz parte do processo de busca.

Paulo Freire

Hoje a educação é concebida em uma perspectiva ampla de desen-

volvimento humano e não apenas como uma das condições básicas para o

crescimento econômico.

O propósito de uma escola é muito mais o desenvolvimento de competências

pessoais para o planejamento e realização de um projeto de vida do que ape-

nas o ensino de conteúdos disciplinares.

Os conteúdos devem ser considerados na perspectiva de meios e instrumentos

para conquistas individuais e coletivas nas áreas profissional, social e cultural.

A formação de jovens não pode ser pensada apenas como uma atividade inte-

lectual. É um processo global e complexo, onde conhecer, refletir, agir e intervir

na realidade encontram-se associados.

Ensina-se pelos desafios lançados, pelas experiências proporcionadas, pelos pro-

blemas sugeridos, pela ação desencadeada, pela aposta na capacidade de apren-

dizagem de cada um, sem deixar de lado os interesses dos jovens, suas con-

cepções, sua cultura e seu desejo de aprender.

Aprende-se a partir de uma busca individual, mas também pela participação em

ações coletivas, vivenciando sentimentos, manifestando opiniões diante dos

fatos, escolhendo procedimentos, definindo metas.

O que se propõe, então, não é apenas um arranjo de conteúdos em um elenco de

disciplinas, mas a construção de uma prática pedagógica centrada na formação.

Nesta mudança de perspectiva, os conteúdos deixam de ser um fim em si mes-

mos e passam a ser instrumentos de formação.

Essas considerações dão à atividade de aprender um sentido novo, onde as

necessidades de aprendizagem despertam o interesse de resolver questões

desafiadoras. Por isso uma prática pedagógica deve gerar situações de aprendi-

zagem ao mesmo tempo reais, diversificadas e provocativas. Deve possibilitar,

portanto, que os jovens, ao dar opiniões, participar de debates e tomar deci-

sões, construam sua individualidade e se assumam como sujeitos que absorvem

e produzem cultura.

Segundo Jarbas Barato, a história tem mostrado que a atividade humana produz

um saber “das coisas do mundo”, que garantiu a sobrevivência do ser humano

sobre a face da Terra e, portanto, deve ser reconhecido e valorizado como a

“sabedoria do fazer”.

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O conhecimento proveniente de uma atividade como o trabalho, por exemplo,

nem sempre pode ser traduzido em palavras. Em geral, peritos têm dificuldade

em descrever com clareza e precisão sua técnica. É preciso vê-los trabalhar para

“aprender com eles”.

O pensar e o fazer são dois lados de uma mesma moeda, dois pólos de uma

mesma esfera. Possuem características próprias, sem pré-requisitos ou escala de

valores que os coloquem em patamares diferentes.

Teoria e prática são modos de classificar os saberes insuficientes para explicar

a natureza de todo o conhecimento humano. O saber proveniente do fazer possui

uma construção diferente de outras formas que se valem de conceitos, princí-

pios e teorias, nem sempre está atrelado a um arcabouço teórico.

Quando se reconhece a técnica como conhecimento, considera-se também a

atividade produtiva como geradora de um saber específico e valoriza-se a expe-

riência do trabalhador como base para a construção do conhecimento naquela

área. Técnicas são conhecimentos processuais, uma dimensão de saber cuja na-

tureza se define como seqüência de operações orientadas para uma finalidade.

O saber é inerente ao fazer, não uma decorrência dele.

Tradicionalmente, os cursos de educação profissional eram rigidamente organi-

zados em momentos prévios de “teoria” seguidos de momentos de “prática”. O

padrão rígido “explicação (teoria) antes da execução (prática)” era mantido

como algo natural e inquestionável. Profissões que exigem muito uso das mãos

eram vistas como atividades mecânicas, desprovidas de análise e planejamento.

Autores estão mostrando que o aprender fazendo gera trabalhadores compe-

tentes e a troca de experiências integra comunidades de prática nas quais o

saber “distribuído por todos” eleva o padrão da execução. Por isso, o esforço

para o registro, organização e criação de uma rede de apoio, uma teia comu-

nicativa de “relato de práticas” é fundamental.

Dessa forma, o uso do paradigma da aprendizagem corporativa faz sentido e

é muito mais produtivo. A idéia da formação profissional no interior do espaço

de trabalho é, portanto, uma proposição muito mais adequada, inovadora e

ousada do que a seqüência que propõe primeiro a teoria na sala de aula,

depois a prática.

Atualmente, as empresas têm investido na educação continuada de seus funcio-

nários, na expectativa de que este esforço contribua para melhorar os negócios.

A formação de quadros passou a ser, nesses últimos anos, atividade central nas or-

ganizações que buscam o conhecimento para impulsionar seu desenvolvimento.

No entanto, raramente se percebe que um dos conhecimentos mais importantes

é aquele que está sendo construído pelos seus funcionários no exercício coti-

diano de suas funções, é aquele que está concentrado na própria empresa.

A empresa contrata especialistas, adquire tecnologias, desenvolve práticas de

gestão, inaugura centros de informação, organiza banco de dados, incentiva

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inovações. Vai acumulando, aos poucos, conhecimento e experiências que, se

forem apoiadas com recursos pedagógicos, darão à empresa a condição de exce-

lência como “espaço de ensino e aprendizagem”.

Criando condições para identificar, registrar, organizar e difundir esse conheci-

mento, a organização poderá contribuir para o aprimoramento da formação

profissional.

Convenciona-se que a escola é o lugar onde se ensina e a empresa é onde se

produz bens, produtos e serviços. Deste ponto de vista, o conhecimento seria

construído na escola, e caberia à empresa o aprimoramento de competências

destinadas à produção. Esta é uma visão acanhada e restritiva de formação

profissional que não reconhece e não explora o potencial educativo de uma

organização.

Neste cenário, a Fundação IOCHPE, em parceria com a UTFPR – Universidade

Tecnológica Federal do Paraná, desenvolve a proposta pedagógica FORMARE,

que apresenta uma estrutura curricular composta de conteúdos integrados: um

conjunto de disciplinas de formação geral (Higiene, Saúde e Segurança; Comu-

nicação e Relacionamento; Fundamentação Numérica; Organização Industrial e

Comercial; Informática e Atividades de Integração) e um conjunto de disci-

plinas de formação específica.

O curso FORMARE pretende ser uma escola que oferece ao jovem uma prepa-

ração para a vida, propõe-se a desenvolver não só competências técnicas, mas

também habilidades que lhes possibilitem estabelecer relações harmoniosas e

produtivas com todas as pessoas, que os tornem capazes de construir seus so-

nhos e metas, além de buscar as condições para realizá-los no âmbito profissio-

nal, social e familiar.

A proposta curricular tem a intenção de fortalecer, além das competências

técnicas, outras habilidades:

1) Comunicabilidade – capacidade de expressão (oral e escrita) de

conceitos, idéias e emoções de forma clara, coerente e adequada ao

contexto;

2) Trabalho em equipe – capacidade de levar o seu grupo a atingir

os objetivos propostos;

3) Solução de problemas – capacidade de analisar situações, rela-

cionar informações e resolver problemas;

4) Visão de futuro – capacidade de planejar, prever possibilidades e

alternativas;

5) Cidadania – capacidade de defender direitos de interesse coletivo.

Cada competência é composta por um conjunto de habilidades que serão de-

senvolvidas durante o ano letivo, por meio de todas as disciplinas do curso.

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Para finalizar, ao integrar o ser, o pensar e o fazer, os cursos FORMARE ajudam

os jovens a desenvolver competências para um bom desempenho profissional

e, acima de tudo, a dar sentido à sua própria vida. Dessa forma, esperam con-

tribuir para que eles tenham melhores condições para assumir uma postura

ética, colaborativa e empreendedora em ambientes instáveis como os de hoje,

sujeitos a constantes transformações.

Equipe FORMARE

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Sobre o caderno

Você, educador voluntário, sabe que boa parte da performance dos jovens no

mundo do trabalho dependerá das aprendizagens adquiridas no espaço de

formação do Curso em desenvolvimento em sua empresa no âmbito do Projeto

FORMARE.

Por isso, os conhecimentos a serem construídos foram organizados em etapas,

investindo na transformação dos jovens estudantes em futuros trabalhadores

qualificados para o desempenho profissional.

Antes de este material estar em suas mãos, houve a definição de uma proposta

pedagógica, que traçou um perfil de trabalhador a formar, depois o delinea-

mento de um plano de curso, que construiu uma grade curricular, destacou

conteúdos e competências que precisam ser desenvolvidos para viabilizar o al-

cance dos objetivos estabelecidos, e então foram desenhados planos de ensino,

com vistas a assegurar a eficácia da formação desejada.

À medida que começar a trabalhar com o Caderno, perceberá que todos os

encontros contêm a pressuposição de que você domina o conteúdo e que está

recebendo sugestões quanto ao modo de fazer para tornar suas aulas atraen-

tes e produtoras de aprendizagens significativas. O Caderno pretende valorizar

seu trabalho voluntário, mas não ignora que o conhecimento será construído

a partir das condições do grupo de jovens e de sua disposição para ensinar.

Embora cada aula apresente um roteiro e simplifique a sua tarefa, é impossível

prescindir de algum planejamento prévio. É importante que as sugestões não

sejam vistas como uma camisa de força, mas como possibilidade, entre inú-

meras outras que você e os jovens do curso poderão descobrir, de favorecer a

prática pedagógica.

O Caderno tem a finalidade de oferecer uma direção em sua caminhada de

orientador da construção dos conhecimentos dos jovens, prevendo objetivos,

conteúdos e procedimentos das aulas que compõem cada capítulo de estudo.

Ele trata também de assuntos aparentemente miúdos, como a apresentação

das tarefas, a duração de cada atividade, os materiais que você deverá ter à

mão ao adotar a atividade sugerida, as imagens e os textos de apoio que po-

derá utilizar.

No seu conjunto, propõe um jeito de fazer, mas também poderá apresentar

outras possibilidades e caminhos para dar conta das mesmas questões, com

vistas a encorajá-lo a buscar alternativas melhor adequadas à natureza da

turma.

Como foi pensado a partir do planejamento dos cursos (os objetivos gerais de

formação profissional, as competências a serem desenvolvidas) e dos planos de

ensino disciplinares (a definição do que vai ser ensinado, em que seqüência e

intensidade e os modos de avaliação), o Caderno pretende auxiliá-lo a realizar

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8

um plano de aula coerente com a concepção do Curso, preocupado em investir

na formação de futuros trabalhadores habilitados ao exercício profissional.

O Caderno considera a divisão em capítulos apresentada no Plano de Ensino e

o tempo de duração da disciplina, bem como a etapa do Curso em que ela está

inserida. Com esta idéia do todo, sugere uma possibilidade de divisão do tem-

po, considerando uma aula de 50 minutos.

Também há avaliações previstas, reunindo capítulos em blocos de conhecimen-

tos e oferecendo oportunidade de síntese do aprendido. É preciso não esque-

cer, no entanto, que a aprendizagem é avaliada durante o processo, através da

observação e do diálogo em sala de aula. A avaliação formal, prevista nos ca-

dernos, permite a descrição quantitativa do desempenho dos jovens e também

do educador na medida em que o “erro”, muitas vezes, é indício de falhas ante-

riores que não podem ser ignoradas no processo de ensinar e aprender.

Recomendamos que, ao final de cada aula ministrada, você faça um breve regis-

tro reflexivo, anotando o que funcionou e o que precisou ser reformulado, se

todos os conteúdos foram desenvolvidos satisfatoriamente ou se foi necessário

retomar algum, bem como outras sugestões que possam levar à melhoria da

prática de formação profissional e assegurar o desenvolvimento do trabalho

com aprendizagens significativas para os jovens. Esta também poderá ser uma

oportunidade de você rever sua prática como educador voluntário e, simulta-

neamente, colaborar para a permanente qualificação dos Cadernos. É um desafio-

convite que lhe dirigimos, ao mesmo tempo em que o convidamos a ser co-autor

da prática que aí vai sugerida.

Características do caderno

Cada capítulo ou unidade possui algumas partes fundamentais, assim distri-

buídas:

Página de apresentação do capítulo: apresenta uma síntese do assunto

e os objetivos a atingir, destacando o que os jovens devem saber e o que se

espera que saibam fazer depois das aulas. Em síntese, focaliza a relevância do

assunto dentro da área de conhecimento tratada e apresenta a relação dos

saberes, das competências e habilidades que os jovens desenvolverão com o

estudo da unidade.

A seguir, as aulas são apresentadas através de um breve resumo dos conheci-

mentos a serem desenvolvidos em cada aula. Sua intenção é indicar aos educa-

dores o âmbito de aprofundamento da questão, sinalizando conhecimentos

prévios e a contextualização necessária para o tratamento das questões da

aula. No interior de cada aula aparece a seqüência de atividades, marcadas

pela utilização dos ícones que seguem:

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Indica, passo a passo, as atividades propostas para o educador. Apresenta as

informações básicas, sugerindo uma forma de desenvolvê-las. Esta seção apre-

senta conceitos relativos ao tema tratado, imagens que têm a finalidade de se

constituírem em suporte para as explicações do educador (por esse motivo

todas elas aparecem em anexo num cd, para facilitar a impressão em lâmina ou

a sua reprodução por recurso multimídia), exemplos das aplicações dos conteú-

dos, textos de apoio que podem ser multiplicados e entregues aos jovens,

sugestões de desenvolvimento do conteúdo e atividades práticas, criadas para

o estabelecimento de relações entre os saberes. No passo a passo, aparecem

oportunidades de análise de dados, observação e descrição de objetos, classifi-

cação, formulação de hipóteses, registro de experiências, produção de relató-

rios e outras práticas que compõem a atitude científica frente ao conhecimento.

Indica a duração prevista para a realização do estudo e das tarefas de cada passo.

É importante que fique claro que esta é uma sugestão ideal, que abstrai quem é

o sujeito ministante da aula e quem são os sujeitos que aprendem, a rigor os que

mais interessam nesse processo.

Quando foi definida, só levou em consideração o que era possível no momen-

to: o conteúdo a ser desenvolvido, tendo em vista o número de aulas e o plano

de ensino da disciplina. No entanto você, juntamente com os jovens que com-

põem a sua turma, têm liberdade para alterar o que foi sugerido, adaptar as

sugestões para o seu contexto, com as necessidades, interesses, conhecimentos

prévios e talentos especiais do seu grupo.

O glossário contém informações e esclarecimentos de conceitos e termos

técnicos. Tem a finalidade de simplificar o trabalho de busca do educador e, ao

mesmo tempo, incentivá-lo a orientar os jovens para a utilização de vocabulá-

rio apropriado referente aos diferentes aspectos da matéria estudada. Aparece

ao lado na página em que é utilizado e é retomado ao final do Caderno, em

ordem alfabética.

Remete para exercícios que objetivam a fixação dos conteúdos desenvolvidos.

Não estão computados no tempo das aulas, e poderão servir como atividade de

reforço extraclasse, como revisão de conteúdos ou mesmo como objeto de

avaliação de conhecimentos.

Notas que apresentam informações suplementares relativas ao assunto que está

sendo apresentado.

Idéias que objetivam motivar e sensibilizar o educador para outras possibilidades

de explorar os conteúdos da unidade. Têm a preocupação de sinalizar que, de

acordo com o grupo de jovens, outros modos de fazer podem ser alternativas

consideradas para o desenvolvimento de um conteúdo.

Traz as idéias-síntese da unidade, que auxiliam na compreensão dos conceitos

tratados, bem como informações novas relacionadas ao que se está estudando.

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Em síntese, você, educador voluntário, precisa considerar que há algumas com-

petências que precisam ser construídas durante o processo de ensino-aprendi-

zagem, tais como:

conhecimento de conceitos e sua utilização;

análise e interpretação de textos, gráficos, figuras e diagramas;

transferência e aplicação de conhecimentos;

articulação estrutura-função;

interpretação de uma atividade experimental.

Em vista disso, o conteúdo dos Cadernos pretende favorecer:

conhecimento de propriedades e de relações entre conceitos;

aplicação do conhecimento dos conceitos e das relações entre eles;

produção e demonstração de raciocínios demonstrativos;

análise de gráficos;

resolução de problemas;

identificação de dados e de evidências relativas a uma atividade experimental;

conhecimento de propriedades e relações entre conceitos em uma situação

nova.

Como você já deve ter concluído, o Caderno é uma espécie de obra aberta, pois

está sempre em condições de absorver sugestões, outros modos de fazer, arti-

culando os educadores voluntários do Projeto FORMARE em uma rede que

consolida a tecnologia educativa que o Projeto constitui. Desejamos que você

possa utilizá-lo da melhor forma possível e que tenha a oportunidade de refletir

criticamente sobre eles, registrando sua colaboração e interagindo com os

jovens de seu grupo a fim de investirmos todos em uma educação mais efetiva

e na formação de profissionais mais competentes e atualizados para os desa-

fios do mundo contemporâneo.

Introdução

O trabalho na indústria exige a quantificação e o estabelecimento de relações

que envolvem conhecimentos matemáticos, como forma de expressão e de

comunicação e como instrumento de trabalho para tarefas essenciais: medi-

ções, leitura e interpretação de gráficos, associações entre diferentes variáveis

pertinentes a um problema, realização de orçamentos etc.

Os dois primeiros capítulos focam a compreensão do sistema de numeração e

suas operações. São voltados para a sistematização do raciocínio lógico-mate-

mático e privilegiam a resolução de problemas e a interpretação gráfica, fun-

damentais para desenvolver a comunicabilidade, ampliada a partir do diálogo

e da mediação com elementos gráficos que representam relações matemáticas.

O capítulo 3 apresenta elementos básicos da geometria, que aparecem em am-

bientes de trabalho e possibilitam uma representação mais precisa da natureza.

No capítulo 4, ampliam-se as aplicações práticas e o trabalho em equipe, pois

surgem diversas situações cotidianas que propiciam maior interação entre os

jovens. O capítulo privilegia o conhecimento formal usualmente apresentado

nos livros didáticos e enfatiza a resolução de problemas reais e a utilização de

estratégias alternativas às tradicionais.

O capítulo 5 aprofunda os estudos geométricos e ilustra importantes aplica-

ções, entre elas a caracterização de unidades de medidas de comprimento,

área e volume, cálculos de áreas e perímetros de figuras geométricas básicas,

a fim de instrumentalizar para o trabalho na indústria pela identificação dos

elementos geométricos.

Os capítulos 6 e 7 tratam das funções de primeiro grau e da representação car-

tesiana, que se complementam. Dá-se destaque à importância da interpre-

tação gráfica, que passa pela compreensão do comportamento da função de

primeiro grau.

No capítulo 8 é trabalhado o triângulo retângulo. O conhecimento de suas

propriedades facilita a realização de alguns procedimentos no mundo do tra-

balho, como, por exemplo, a obtenção de um ângulo reto a partir do Teorema

de Pitágoras.

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Sumário

1 Sistemas de Numeração

Primeira Aula

Sistema numérico e decimal ...................................................................................17

Segunda Aula

Sistema Internacional de Unidades (SI): medidas de comprimento e de tempo .... 22

Operações que envolvem medidas de comprimento e de tempo .......................... 25 Terceira Aula

Quarta Aula

Leitura e interpretação de dados de gráficos e tabelas ........................................ 27

2 Conjuntos Numéricos: Operações

Primeira Aula

Conjuntos numéricos: numeros naturais, inteiros e racionais ............................... 33

Adição e subtração para o conjunto dos números inteiros .................................... 34 Segunda Aula

Terceira Aula

Utilização do algoritmo da multiplicação ............................................................... 41Quarta Aula Multiplicação e divisão no conjunto de números inteiros ...................................... 38

Quinta Aula

Potenciação e radiciação ...................................................................................... 45

Regras da multiplicação e da divisão nos números inteiros ................................. 43

Sexta Aula

Potências de 10, potências com expoente 1 e expoente zero............................... 47Sétima Aula

Oitava Aula

Nona Aula

Resolução de raízes quadradas pela decomposição em fatores primos ............ 49

Números racionais, representação decimal e fracionária .................................. 50

Operações com números racionais: adição e subtração .................................... 53

Multiplicação e divisão dos números racionais .................................................. 55 Décima Primeira Aula

Décima Aula

Décima Terceira e Décima Quarta Aulas

Resolução de expressões numéricas ................................................................ 57 Décima Segunda Aula

Avaliação 1 ....................................................................................................... 58

Gabarito da Avaliação .............................................................................................. 67 Gabarito dos Exercícios .......................................................................................... 65

Exercícios .................................................................................................................... 61

Referências ................................................................................................................. 71Glossário ...................................................................................................................... 69

Primeira Aula

Sumário

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1 Sistemas de Numeração

A importância da representação numérica pode ser observada no dia-a-dia, desde a

identificação utilizada no Certificado de Pessoa Física – CPF ou da Carteira de Identi-

dade, até as operações que precisam ser feitas na hora de financiar a compra de uma

televisão ou de um apartamento. Ao observar a origem dos números, é possível veri-

ficar que a necessidade de se realizar contagens a partir de números é bem antiga, e

iniciou quando o homem começou a se fixar no solo, tendo que plantar, produzir ali-

mentos, construir casas, proteções, fortificações e domesticar animais. Evidencia-se,

assim, que os números surgiram num momento de grande transformação na vida hu-

mana, correspondente ao início do desenvolvimento da agricultura.

Objetivos

Relacionar sistemas de numeração de diferentes bases, possibilitando a construção

do sistema numérico decimal;

Entender a nomenclatura do sistema de numeração decimal;

Utilizar o sistema de numeração em operações envolvendo as medidas de compri-

mento, adotando-se o metro como unidade padrão, e de tempo, trabalhando-se

com valores absolutos e relativos;

Interpretar valores e seqüências em gráficos e tabelas;

Ordenar valores e seqüências, caracterizando o aspecto ordinal do sistema de nu-

meração.

17

Nesta aula, será construído o sistema numérico

decimal e será trabalhada a nomenclatura do

sistema.

Primeira Aula

Passo 1 / Aula expositivo-dialogada

30min

Sistema numérico decimal

Em conversa com os jovens, introduza o conceito rela-tivo ao sistema de numeração, a partir de sua refe-rência histórica.

Esteja atento para que os jovens saibam identificar asprincipais características do nosso sistema numérico. Aprincipal delas é certamente o fato de ser posicional,ou seja, o valor que representa o algarismo depende daposição em que ele se encontra: o algarismo “1”, na úl-tima casa da direita, significa uma unidade, aumen-tando dez vezes cada vez que se desloca uma casa paraa esquerda, caracterizando assim um sistema decimal.

O sistema dos números romanos, que também são tra-balhados na escola, é um exemplo de sistema numéricoque não é posicional, pois as letras correspondem a va-lores que independem da posição. A grande limitaçãodo sistema romano de numeração é a inviabilidade paraa realização de cálculos com valores grandes, sendo usa-do apenas para representar quantidades, de preferên-cia, pequenas.

Entendendo a base de um sistema numéricoposicional

Informe que a compreensão de um sistema numéricopassa, necessariamente, pela base em que esse sistemaé construído, que depende da quantidade de símbolosexistentes para representar as quantidades. No caso do

Nosso sistema de numeração surgiu na Ásia, há muitos séculos, no vale do rioIndo, onde hoje é o Paquistão. É o sistema indo-arábico, mais conhecidocomo sistema numérico decimal.

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Educador, é muito importante esta comparaçãocom o sistema binário, tendo em vista que o fato deser utilizado pelo computador pode ser um fator moti-vador para os jovens. Além disso, a compreensão deum sistema numérico em outra base vai qualificar oentendimento acerca do sistema decimal.

sistema binário, utilizado pelos computadores para re-presentar quantidades, existem apenas duas situaçõespossíveis: ligado ou desligado. Ou seja, o bit, que é amenor unidade do computador, pode ter apenas doisestados, que são representados por 0 e 1.

Após essas discussões, construa com os jovens umatabela mostrando a representação no sistema binário eno sistema decimal.

Decimal Binário Observação

0 0

1 1

2 10 Acabaram as possibilidades de representação do binário na pri-meira casa, sendo necessário agora utilizar a segunda casa.

3 11

4 100 Acabaram as possibilidades de representação do binário nas duasprimeiras casas, sendo necessário agora utilizar a terceira casa.

5 101

6 110

7 111

8 1000 Acabaram as possibilidades de representação do binário nas trêsprimeiras casas, sendo necessário agora utilizar a quarta casa.

Realize a comparação do sistema binário com o sistemanumérico decimal, perguntando:

Quantos símbolos diferentes existem pararepresentar quantidades no sistema numérico

binário?

Quantos símbolos diferentes existem pararepresentar quantidades no sistema numérico

decimal?

Tabela 1 – Sistema binário e sistema decimal

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Espera-se que os jovens respondam que o sistema biná-rio, como já se viu, possui apenas dois símbolos diferentes,e que o sistema decimal possui dez símbolos diferentes:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Assim, com a primeira casa, épossível representar os primeiros dez números (de zeroa nove). Depois disso, é necessário passar para segundacasa, onde se representam os próximos dez (de dez adezenove), e assim sucessivamente.

Introduza aspectos relacionados à nomenclatura dosistema de numeração decimal e oriente os jovens paraanotarem o que lhes parecer importante. Se desejar,distribua depois o texto de apoio que segue.

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Nomenclatura do sistema decimal

A nomenclatura do nosso sistema de numeração está diretamente relacionada com suas prin-

cipais características: os dez diferentes símbolos e a questão da posição. Da direita para a es-

querda, existem as unidades, seguidas das dezenas, das centenas, dos milhares, das dezenas de

milhares, das centenas de milhares, dos milhões, das dezenas de milhões, e assim suces-

sivamente. As quantidades que são representadas pelos algarismos dependem da sua posição.

O algarismo mais à direita conta as unidades, ao seu lado, do lado esquerdo, aparece o alga-

rismo que conta as dezenas. Se formos nos deslocando para a esquerda, temos a contagem das

centenas, dos milhares, etc.

Observe a figura abaixo e tente identificar o número, no sistema numérico decimal, que repre-senta este algarismo.

(b) Fig.1 – Identificando números

ww

w.p

lan

etav

esti

bu

lar.

hp

g.ig

.co

m.b

r

A figura 1 acima pode auxiliar a compreensão do funcionamento do sistema numérico decimal:

na coluna mais à direita são contadas as unidades, depois as dezenas, as centenas e finalmente

os milhares. Em (a), temos 5 centenas, 3 dezenas e 4 unidades, constituindo assim o número 534,

e em (b), temos 1 milhar, 2 centenas, 3 dezenas e 7 unidades, ou seja, o número 1237.

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A nomenclatura dos números depende da posição de cada algarismo, sendo necessário diferen-

ciar se estamos contando unidades, dezenas, centenas, milhares ou qualquer outra potência

de 10. O exemplo da figura 1a, representamos assim:

5 centenas – quinhentos

3 dezenas – trinta

4 unidades – quatro

Ou seja, esta é uma representação do número quinhentos e trinta e quatro.

A tabela abaixo auxilia a apropriação da nomenclatura do sistema numérico decimal.

Símbolo

12345678910

Unidade

UmDoisTrêsQuatroCincoSeisSeteOitoNoveDez

Dezena

DezVinteTrintaQuarentaCinqüentaSessentaSetentaOitentaNoventa

Centena

CemDuzentosTrezentosQuatrocentosQuinhentosSeiscentosSetecentosOitocentosNovecentos

Demais casas

Um mil, um milhão, ...Dois mil, dois milhões, ...Três mil, três milhões, ...Quatro mil, quatro milhões, ...Cinco mil, cinco milhões, ...Seis mil, seis milhões, ...Sete mil, sete milhões, ...Oito mil, oito milhões, ...Nove mil, nove milhões, ...Dez mil, dez milhões, ...

Tabela 2 – Nomenclatura no sistema numérico decimal

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Passo 2 / Atividade prática

20min

Proponha o preenchimento de cheques e recibos, o quetorna necessária a compreensão acerca da nomenclaturapara o sistema numérico decimal em um caso bem prático.

Exemplo:Escreva por extenso, na forma monetária, os seguintesvalores:R$ 145,75 – cento e quarenta e cinco reais e setenta e cinco centavos

R$ 1.160,20 – um mil cento e sessenta reais e vinte centavos

R$ 22,80 – vinte e dois reais e oitenta centavos

R$ 560,90 – quinhentos e sessenta reais e noventa centavos


50min

Nesta aula, serão apresentadas as medidas de

comprimento e de tempo, incluindo o Sistema

Internacional de Unidades – SI, bem como formas

alternativas de medir comprimentos.

Segunda Aula

Por meio da contribuição dos jovens, formule pergun-tas e valorize as respostas que eles derem como o pon-to de partida para a construção do conhecimento. Apre-sente os conceitos abaixo sintetizados. Peça aos jovensque anotem e faça um resumo no quadro das idéiasmais importantes. Reproduza as imagens explicativaspara facilitar a compreensão e, ao final, se desejar, dis-tribua o texto de apoio.

Sistema Internacional de Unidades (SI):medidas de comprimento e de tempo

Para finalizar, proponha a pormenorização de mais al-guns exemplos:125,50 – cento e vinte e cinco unidades e cinqüenta centésimos

1.178,10 – um mil cento e setenta e oito unidades e dez centésimos

1.450.000 – um milhão, quatrocentos e cinqüenta mil unidades

23

Medidas de comprimento e de tempo

Sempre que precisamos medir algo, definimos uma unidade de medida. Ela torna possível arealização de uma contagem que estabeleça a quantidade de unidades de medida querepresentam aquela grandeza. Ainda hoje, alguns setores da indústria utilizam a polegada e,para se medir objetos maiores, já se usou o palmo, o braço e o pé (www.planetavestibu-lar.hpg.ig.com.br/conjuntos_numericos.htm). Observe a figura 3.

Fig. 2 – Unidades de medida já utilizadas

Tele

curs

o...

, 19

94.

Algumas destas unidades ainda podem ser usadas quando queremos realizar medições rápidas,que nos permitam obter uma medida não muito precisa de algum comprimento, conformepodemos observar na figura 4.

Fig. 3 – Medindo com as mãos

Tele

curs

o...

, 19

94,

p.

77

24

Com o desenvolvimento das ciências no fim do século XVIII, tornou-se necessário padronizaras medidas, favorecendo o comércio entre diferentes cidades e países, bem como a evoluçãotecnológica da humanidade. Tal padronização é necessária para que seja possível diferentesregiões terem uma uniformidade na medição de grandezas, da mesma forma que se faz coma conversão de moedas entre diferentes países. Assim, surgiu o Sistema Métrico Decimal, queposteriormente veio a ser substituído pelo Sistema Internacional de Unidades – SI.

A unidade de medida de comprimento no SI é o metro, que corresponde à décima milionésimaparte da quarta parte do meridiano terrestre (dividiu-se o meridiano por 4.000.000). Paramaterializar o metro, construiu-se uma barra de platina de seção retangular, com 25,3 mm deespessura e com 1m de comprimento de lado a lado (www.ipem.sp.gov.br/5mt/unidade.asp?-vpro=historia). Convém destacar que em 1983, a 17ª Conferência Geral de Pesos e Medidasmodificou o padrão internacional do metro, adotando “o comprimento do trajeto percorridopela luz no vácuo, durante um intervalo de tempo de 1/299... 792 458 de segundo(www.ipem.sp.gov.br).

Também são utilizadas medidas de tempo para operar com o sistema de numeração. Assimcomo o metro é a unidade-padrão, no SI, para medidas de comprimento, para as unidades detempo, a unidade-padrão é o segundo.

É importante destacar que as unidades de tempo precisam ser trabalhadas com muito cuidado,pois as transformações de uma unidade para outra não envolvem multiplicações ou divisõespor múltiplos de 10, mas por múltiplos de 60, que correspondem a uma hora.

O endereço www.inmetro.gov.br/resc/pdf/RESC000114.pdf apresenta a resolução do Conselho

Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial – CONMETRO, de 1988, que nor-

matiza a utilização do SI no Brasil.

25

Esta aula tem o objetivo de capacitar os jovens

nas operações envolvendo medidas de compri-

mento e de tempo, o que inclui a transformação

de unidades para cada uma dessas medidas.

Terceira Aula


50min

Operações que envolvem medidas de comprimento e de tempo

Destaque o fato de que, para que se possam operar asmedidas, é necessário que as mesmas estejam na mesmaunidade. Pergunte, por exemplo, aos jovens:

Como podemos somar 2 quilômetros com 500 metros?

Ou subtrair 130 segundos de 5 minutos?

Espera-se que respondam que é preciso, inicialmente,uniformizar as unidades para que se possa então operar.

Escreva no quadro as unidades de medida de compri-mento, organizando-as a partir do metro, como segue:

Informe que, da esquerda para a direita, as unidades vãoreduzindo dez vezes o seu tamanho. Face a isso, pergunte:

Quantos decímetros contêm 2 metros? Por quê?

Valorize as respostas dos jovens, que devem dizer, comsuas palavras, que, como o decímetro é 10 vezes menorque o metro, podemos trocar cada metro por 10 decí-

Educador, é interessante ressaltar que é impossíveloperar grandezas com naturezas diferentes, como, porexemplo, metros com segundos. Apesar de ser umaquestão aparentemente trivial, é comum observar jo-vens que operam grandezas de naturezas diferentes.

Quilômetro(km)

Hectômetro(hm)

Decâmetro(dam)

Metro(m)

Decímetro(dm)

Centímetro(cm)

Milímetro(mm)

26

metros, chegando-se à conclusão que 2 metros equiva-lem a 20 decímetros.

E se a transformação for de hectômetro paracentímetro?

Nesse caso, multiplica-se por 10 (hm → dam) X 10 (dam→ m) X 10 (m → dm) X 10 (dm → cm) = 104 = 10.000.

Em face desse exemplo, o que se pode concluir?

Que uma quantidade de comprimento em decímetros é10.000 vezes maior que uma unidade de comprimentoem hectômetros. No sentido inverso, é preciso dividirpor múltiplos de 10, ao invés de multiplicar.

Educador, a transformação de unidades para me-didas de comprimento não deverá ser tão difícil deser compreendida pelos jovens quanto as medidas detempo, pois trabalha-se com múltiplos de 10, o queconverge com o sistema numérico decimal. Dê, por-tanto, mais atenção às operações com unidades detempo, quando esta convergência não ocorre.

Escreva no quadro as medidas de tempo.

Informe que, da mesma forma que nas medidas de com-primento, as unidades tornam-se cada vez menores daesquerda para a direita, exigindo que se faça multipli-cações neste sentido. Pergunte:

A quantas horas correspondem dois dias?

Dois dias correspondem a 2 x 24 = 48 horas.

A quantos minutos correspondem 48 horas?

48 horas correspondem a 2 x 24 x 60 = 2.880 minutos.

Exercite livremente essas conversões.

Dia Hora Minuto Segundo

Educador, destaque para os jovens que agora astransformações não ocorrem segundo multiplicaçõespor múltiplos de 10. Quando se fala em um quarto ¼de hora, é comum ouvir dos jovens a resposta 25minutos, obtido a partir da falsa hipótese de que 1hora tem 100 minutos. Na verdade, como 1 hora tem60 minutos, um quarto de hora tem quinze minutos.

27

O objetivo desta aula é tornar os jovens aptos a

interpretarem dados de gráficos e tabelas.

Quarta Aula


30min

Leitura e interpretação de dados de gráficos e tabelas

Introduza o assunto através de perguntas:

Para que servem gráficos e tabelas?

Valorize as respostas dos jovens e enfatize que écomum a utilização de gráficos e tabelas em jornais erevistas, e o principal objetivo do uso destas ferramen-tas é organizar dados quantitativos para torná-los maisclaros ao leitor.

Existem diferentes tipos de gráficos, como o gráfico desegmentos (Fig. 5), de barras (Fig. 6) e de setores (Fig. 7).Mostre as imagens abaixo e problematize a finalidadee adequação de cada uma.

Fig. 4 – Gráfico de segmentos

ww

w.ip

ead

ata.

go

v.b

r

Fig. 5 – Gráfico de barras

ww

w.ip

ead

ata.

go

v.b

r

Ano (Mês base: setembro e outubro)

População Ocupada no Brasil – %



Per

cent

ual

Per

cent

ual

28

Nos gráficos das figuras 5 e 6, observa-se a represen-tação do percentual da população ocupada no Brasilde 2001 a 2006. Neste tipo de representação, semprehá uma associação entre dois valores correspondentes.No exemplo apresentado, associa-se um determinadopercentual a um determinado ano. Estes dados tambémpodem ser representados na forma de tabela, como éapresentado na Tabela 3.

Ano

200120022003200420052006

Percentual

4949,550,651,551,552,1

Tabela 3 – População ocupada no Brasil

Educador, pode ser interessante mostrar aos jovensque os valores decimais precisam ser especificadosnos gráficos, pois não se consegue identificar que opercentual de 2003, por exemplo, é 50,6. Sabe-seapenas que é um valor entre 50 e 51.

Fig. 6– Gráfico de barras com valores

O mesmo gráfico pode ser apresentado abaixo (Fig. 7),explicitando-se os valores.



Per

cent

ual

Informe que os gráficos de segmentos ou de barras sãomuito utilizados para dados históricos, que tenham umdeterminado valor para cada período.

ww

w.ip

ead

ata.

go

v.b

r

29

Além do exemplo apresentado, proponha que os jovenscitem outras situações em que se justifique a apresen-tação em gráficos de segmentos ou gráfico de barras.

Espera-se que, entre as possibilidades de resposta, sejamenumeradas:

salário mínimo em cada ano;índice de inflação em cada mês;cotação do dólar por dia;nível de desemprego de determinada região.

O gráfico de setores é mais comum quando se tem, porexemplo, uma pesquisa de intenção de voto, conformepode ser verificado na figura 8. São os casos onde há ofracionamento de uma população total, sendo que osomatório das frações, que serão os percentuais, sejaigual a 100%.

Pesquise no site do IpeaData e imprima algumas séries históricas para serem representadas

pelos jovens ao longo das aulas.

Fig. 7 – Gráfico de setores

Nas tabelas e gráficos apresentados, é possível observara necessidade de representação do sistema numéricodecimal, de forma a se estabelecer uma ordem, que é aforma ordinal. Quando estamos nos referindo à tabela3, por exemplo, temos a primeira linha, a segunda li-nha, e assim por diante. Esta é a forma ordinal, que ex-pressa claramente uma ordem. A tabela 4 faz uma asso-ciação entre a representação do sistema numérico de-cimal na forma cardinal e na forma ordinal (www.soma-tematica.com.br).

Pesquisa de intenção de voto


20min

Forme grupos e disponibilize jornais e revistas e peçaaos jovens que encontrem gráficos e tabelas nessas pu-blicações, realizando então sua interpretação. Reserve osminutos finais da atividade para correção.

Número

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

Cardinal

um

dois

três

quatro

cinco

seis

sete

oito

nove

dez

onze

doze

treze

catorze

quinze

dezesseis

dezessete

dezoito

dezenove

vinte

vinte e um

Ordinal

primeiro

segundo

terceiro

quarto

quinto

sexto

sétimo

oitavo

nono

décimo

décimo primeiro

décimo segundo

décimo terceiro

décimo quarto

décimo quinto

décimo sexto

décimo sétimo

décimo oitavo

décimo nono

vigésimo

vigésimo primeiro

Número

30

40

50

60

70

80

90

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1 000

10 000

100 000

1 000 000

Cardinal

trinta

quarenta

cinqüenta

sessenta

setenta

oitenta

noventa

cem

duzentos

trezentos

quatrocentos

quinhentos

seiscentos

setecentos

oitocentos

novecentos

mil

dez mil

cem mil

um milhão

Ordinal

trigésimo

quadragésimo

quinquagésimo

sexagésimo

septuagésimo

octogésimo

nonagésimo

centésimo

ducentésimo

tricentésimo

quadringentésimo

quingentésimo

sexcentésimo

septingentésimo

octingentésimo

nongentésimo

milésimo

dez milésimos

cem milésimos

milionésimo

Educador, o mais importante a considerar nas cor-reções destas atividades é a interpretação dos dados.Por exemplo, ao consultar a cotação diária do dólarnos últimos dias, quais aspectos desta cotação mere-cem destaque? Em muitos casos, vai ser significativodeterminar o percentual de variação da cotação dodólar, tendo em vista que alguns valores podem estarindexados por esta moeda. Outro aspecto interessan-te de ser explorado é a questão da utilização de per-centuais em gráficos de setores, que também ajudama interpretar os problemas estatísticos.

1 a 6

30

31

2 Conjuntos Numéricos: Operações

Depois de compreender o sistema de numeração, é preciso identificar os diferentes

conjuntos numéricos existentes, bem como realizar operações em cada um destes con-

juntos. Considerando, por exemplo, o caso de um departamento de controle de quali-

dade de uma empresa, que apresentou no seu relatório o gráfico da figura 1.

Para calcular o total da produção de cada mês, ou o total da produção nos três meses

apresentados, será necessário realizar operações de adição; para saber o percentual

de peças defeituosas com relação ao total de peças produzidas no mês, será preciso

realizar uma operação de divisão. Isso significa que muitas são as situações no dia-a-

dia em que são realizadas operações numéricas, o que torna o foco desse capítulo

assunto de fundamental importância.

Fig. 1 – Controle de qualidade

Departamento de Controle da Qualidade

Núm

ero

de p

eças

Meses

Janeiro Fevereiro Março

Peças de boa qualidade

Peças defeituosas

ww

w.p

lan

etav

esti

bu

lar.

hp

g.ig

.co

m.b

r

Objetivos

Identificar os conjuntos dos números naturais (N), inteiros (Z) e racionais (Q);

Realizar operações de adição, subtração, multiplicação e divisão em N, Z e Q;

Realizar operações de potência e raiz quadrada em N;

Utilizar máquinas calculadoras portáteis para as operações trabalhadas.

32

33

Nesta aula, serão trabalhados os conjuntos dos nú-

meros naturais, inteiros e racionais, procurando-se

estabelecer as relações entre eles.

Primeira Aula


50min

Conjuntos numéricos: números naturais, inteiros e racionais

Diga aos jovens que o assunto da aula girará em tornodos conjuntos numéricos, tratando dos números natu-rais (N), dos números inteiros (Z) e dos números racio-nais (Q).

Exponha o que segue:

Conjunto dos números naturais – IN

IN = {1,2,3,...}

Conjunto dos números inteiros – Z

Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

Conforme se pode observar, IN é um subconjunto de Z,logo IN Z.

Conjunto dos números racionais – Q

Todos os números podem ser escritos na forma de fra-ção, com o numerador e o denominador pertencendoao conjunto Z. Ou seja, resultam de uma divisão (ourazão, por isso o nome conjunto dos números racionais)entre números inteiros.

Exemplos:

C

34

Retome os exemplos d, e, f, que apresentam dízimasperiódicas, ou números que também se originam deuma divisão (as dízimas periódicas originam-se de divi-sões que ocorrem infinitamente).


50min

Nesta aula, serão trabalhadas a adição e a subtra-

ção para o conjunto dos números inteiros.

Segunda Aula

Em diálogo com os jovens, demonstre que muitas sãoas situações do dia-a-dia em que é necessário realizaroperações de adição (soma) e subtração (diminuição).Na verdade, a adição e a subtração representam opera-ções inversas. Ou seja, o que uma faz, a outra desfaz.

Por exemplo, se tenho um saldo de R$ 250,00 no bancoe faço um depósito de R$ 50,00, meu novo saldo seráR$ 300,00. Se subtrair os mesmos R$ 50,00 do saldo deR$ 300,00, volto a ter R$ 250,00.

Adição e subtração para o conjunto dos números inteiros

Educador, mostre aos jovens como se constituem asperiódicas a partir de uma divisão, fazendo a divisãode 1 por 3, por exemplo, o que gera divisões infinitasde 10 por 3.

Pergunte, então:

Qual a relação entre um número racional e um númerointeiro?

Espera-se que os jovens concluam que podemosafirmar que todo número natural é inteiro, e que todonúmero inteiro é um número racional.

Mostre, então, a representação-síntese abaixo:

IN Z QC C

35

Segunda-feiraTerça-feiraQuarta-feiraQuinta-feiraSexta-feira

110 telhas125 telhas130 telhas102 telhas90 telhas

Educador, é fundamental apresentar esta situaçãode operações inversas, pois o mesmo acontecerá coma multiplicação e a divisão e com a potência e a raiz.Esta abordagem permitirá aos jovens incluir a adiçãoe a subtração em uma mesma estrutura conceitual.

Adição

Proponha, a seguir, um problema que precise recorrerà adição para ser solucionado:

de telhas recebeu uma enco-le diz ao comprador que pode-as na quinta ou sexta-feira da ao fato de sua produção ser

ua produção da semana da se-

Um pequeno fabricantemenda de 1000 telhas. Erá entregar as 1000 telhsemana seguinte, devidopequena. Ele anotou a sguinte maneira:

Pergunta-se: no final de quinta-feira,poderá ser entregue a encomenda?

Para resolver este problema, é preciso antes entender osmétodos práticos de se resolver as somas e subtrações.

Inicie pela listagem dos elementos e realização da soma.Num segundo momento, reúna as somas em grupos de10, e depois em grupos de 100. A idéia é que os jovenssintam a necessidade de criar mecanismos práticos pararesolver as somas, o que levará ao conhecido algoritmode somar, onde se costuma dizer “vai um” quando asoma de cada casa ultrapassa 10.

Apresente o algoritmo só depois que o jovem sentir anecessidade de uma regra mais prática.

Observe as seguintes somas:

1+3+4+6+7 = 211+2+7+8 = 185+16+4 = 251+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45

36

Como o nosso sistema numérico é decimal, é impor-tante agrupar em dezenas, já que, como foi visto nocapítulo relativo ao sistema de numeração, a segundacasa conta as dezenas.

Retome as mesmas somas agrupando dezenas:

1+3+4+6+7 → duas dezenas e uma unidade → 211+2+7+8 → uma dezena e oito unidades → 185+16+4 → duas dezenas e cinco unidades → 251+2+3+4+5+6+7+8+9 → quatro dezenas e cinco unida-des → 45

Educador, esta contagem das dezenas representa o“vai um”, utilizado no algoritmo da soma.

Demonstre agora um método prático para agruparmosas dezenas.

Este mesmo procedimento deverá ser feito tambémnas demais casas. A segunda casa conta as dezenas. Aochegar à quantidade de 10, forma-se uma centena e seutiliza novamente o “vai um”.

Retome a história do pequeno fabricante de telhas. Épreciso calcular a sua produção da semana para veri-ficar se conseguiu fabricar as 1000 telhas que foramencomendadas.

37

Subtração

Mostre que a subtração realiza a operação inversa daadição, portanto, a forma de operar também deve serconsiderada na forma inversa. Continuando ainda como exemplo do fabricante de telhas, quantas telhas ain-da faltam ser fabricadas para completar a encomendade 1000 telhas?

Educador, é importante destacar que, na subtração,não há mais o “vai um”, mas o “pegar emprestado”.Trabalhe inicialmente alguns exemplos envolvendodezenas, antes de resolver o problema apresentadoacima.

Inicie o trabalho por subtrações mais simples, como asoperações abaixo:

87

--- 35

52

Dezenas Unidades

8 7

3 5

5 2

Este exemplo não apresenta maiores dificuldades, poisnão faltaram unidades para a subtração. Porém, hácasos em que isso pode acontecer, como, por exemplo,na operação 53-27. Neste caso, ao operar as unidades,verifica-se que haverá falta. É preciso “pegar empres-tada” uma dezena, das cinco existentes, para fazer aoperação de subtração nas unidades. Ao invés de 5dezenas e 3 unidades, considera-se 4 dezenas e 13 uni-dades, o que possibilita a realização da subtração.

Demonstre no quadro:

53

--- 27

26

→

Dezenas Unidades

5 3

2 7→ Dezenas Unidades

4 13

2 7

2 6

“Pegando emprestada” uma dezena

38

O mesmo deverá ser feito para as outras casas. Porexemplo, se faltar dezenas, pega-se empresada umacentena, que corresponde a dez dezenas, assim comofoi feito com as unidades.

Retome então a história do fabricante de telhas. Quan-tas telhas ainda faltam ser produzidas nas próximassemanas?

1000

--- 557

443

M C D U

1 0 9 10

5 5 7

4 3

→ M C D U

0 9 9 10

5 5 7

0 4 4 3

→Quando a adição e a subtração envolverem valores positivos e negativos, deve-se

somar todos os valores positivos e todos os valores negativos. Se a soma dos posi-

tivos der maior que a soma dos negativos, a resposta é positiva, caso contrário, é

negativa.

Exemplos:

2+4-3+1-7+8 = +(2+4+1+8)-(3+7) = 15-10 = 5

-5+12-8+7-5+10-20 = +(12+7+10)-(5+5+8+20) = 29-38 = -9

Calculadoras: nem todas as calculadoras permitem acorreta realização de contas cujo resultado seja nega-tivo. Por exemplo, ao se realizar a operação 5-9, nãoaparecerá como resultado o -4, que é o valor correto.As calculadoras científicas, em geral, apresentam valo-res negativos como resposta.

Calculadoras científicas São aquelas que apresentam funçõesmatemáticas, como potências em qual-quer expoente, logaritmos, funções tri-gonométricas, etc. As calculadoras nãocientíficas apresentam as 4 operações,raízes quadradas e, às vezes, cúbicas,potências de 2 (elevar ao quadrado) e,algumas vezes, de 3 (elevar ao cubo).

Mostre que a multiplicação é utilizada para realizar umasoma de parcelas iguais. Existem muitas situações cotidia-nas em que há necessidade de utilizar a multiplicação.


50min

Esta aula apresentará as operações de multiplica-

ção e divisão no conjunto dos números inteiros.

Terceira Aula

Multiplicação e divisão no conjunto dos números inteiros

39

Qual será o custo da compra de 16 canos, 18cotovelos, 6 junções e 10 luvas?

Que operação é indicada para realizar estecálculo?

A mais adequada é a multiplicação.

O preço total das junções, por exemplo, seria calculadoda seguinte maneira, através da adição:

3+3+3+3+3+3 = 18

Através do uso da multiplicação, a operação é maissimples: R$ 3,00 multiplicado por 6:

3 vezes 6 = 3x6 = 18

Assim como ocorre com a adição e a subtração, em queuma operação é o inverso da outra, a divisão anula oque a multiplicação faz.

Apresente o caso de um atleta que realiza umtreinamento e faz 12 voltas em uma pista circular, ondecada volta corresponde a 400 metros. Quantos metrosele percorrerá neste treinamento?

400x12 = 4.800 metros

A divisão dos 4.800 metros percorridos por 12, volta aindicar os 400 metros correspondentes a uma volta:

4.800 metros dividido por 12 = 400 → 4800 ÷ 12 = 400metros

Pergunte então para os jovens:

Em que situações se utiliza a divisão?

Fig. 2 – Iniciando a multiplicação

Ilustre com a figura 2 abaixo.

Cano R$ 6,00 por metro

Cotovelo R$ 2,00 por unidade

Junção “T” R$ 3,00 por unidade

Luva R$ 1,00 por unidade

40

Entre as respostas que darão, valorize aquelas que mais seaproximem da afirmação de que a divisão é utilizada pa-ra repartir um total em partes iguais, ou para medir quan-tas vezes uma quantidade cabe dentro de outra maior.

Propriedades da multiplicaçãoInicialmente, apresente algumas propriedades da mul-tiplicação, necessárias aos objetivos de uma formaçãobásica na área:

Numa multiplicação, os números que estão sendo multiplicados são chamados de

fatores, e o resultado da multiplicação é o produto.

Propriedade comutativa – A ordem dos fatores nãoaltera o produto.

A melhor forma de comprovar esta propriedade é atra-vés de exemplo que ilustre as duas situações diferentes.Por exemplo, se houver, em uma sala de aula, 6 filas de4 jovens (Fig. 3a), dizemos que há 6 vezes 4 jovens, quecorresponde a um total de 24 jovens. Se a disposição dasala for diferente e houver 4 filas de 6 jovens (Fig. 3b),o total corresponde aos mesmos 24 jovens. Isso signi-fica que multiplicar 4 vezes 6 ou 6 vezes 4 correspondeà mesma quantidade.

Fig. 3 – Propriedade comutativa

Propriedade distributiva – Se um número multiplicauma soma, então ele multiplica cada parcela desta soma.

Mostre a figura que segue:

Fig. 4 – Propriedade distributiva

41

Exemplos:

2x(8+3) = 2x8+2x3

Peça aos jovens que formulem por escrito a propriedadecomutativa.

Esta aula tornará os jovens aptos a resolverem a

multiplicação de números naturais a partir da

utilização do algoritmo da multiplicação.

Quarta Aula


35min

Utilização do algoritmo da multiplicação

Mostre que a estrutura da resolução de uma conta demultiplicação é a mesma da conta de adição, já que amultiplicação é uma soma de parcelas iguais. Deve-seutilizar o “vai um”, ou “vai dois”, ou “vai três”, e assimpor diante, dependendo de quantas dezenas podemser formadas por aquela multiplicação.

Mostre como se monta a conta que multiplica 15 vezes7, por exemplo:

30

15

x 7

5

30

15

x 7

105

Multiplica-se 7 unidadespor 5 unidades, resultan-do 35 unidades, ou seja, 3dezenas (“vai 3”) e 5 uni-dades. Escreve-se 5 nasunidades da resposta.

Multiplica-se 7 unidadespor uma dezena, o queresultará 7 dezenas que,somadas com as 3 do “vai3”, resulta 10 dezenas co-mo resposta.

A resposta final é então 105.

Peça aos jovens que utilizem a propriedade distributivaanteriormente apresentada para justificarem a resposta:

7x15 = 7x(10+5) = 7x10+7x5 = 70+35 = 105

42

O mesmo procedimento é adotado na multiplicação dedezena por dezenas, como abaixo.

27

x 16

162

Inicialmente, mul-tiplica-se 6 por 27,como já se sabe fa-zer, que resulta em162.1ª operação:27 x 6

27

x 16

162

70

Multiplica-se agorauma dezena por 7unidades, que resul-ta em 7 dezenas.

27

x 16

162

27

Uma dezena vezes2 dezenas equivalea 2 centenas.

27

x 16

162

27

432

Somando-se as 162unidades com as 27dezenas, obtém-sea resposta: 432.

2ª operação:27 x 10

Peça aos jovens que justifiquem o cálculo por meio dapropriedade distributiva:

27x16 = 27x(10+6) = 27x10(2ª operação)+27x6(1ª operação)

Os jovens deverão resolver as operações de multipli-cações abaixo, conferindo o resultado com o uso dacalculadora:

37x15 = 55525x12 = 30040x23 = 9206x47 = 28255x8 = 44045x23 = 10355x58 = 290

Passo 2 / Realização de exercícios

15min

Educador, convém aplicar alguns exercícios de mul-tiplicação para que os jovens possam praticar o algo-ritmo.

Nesta aula, será trabalhada a divisão como inver-

so da multiplicação, bem como o algoritmo para

a resolução da divisão e as regras da multipli-

cação e da divisão nos números inteiros.

Quinta Aula


35min

Regras da multiplicação e da divisão nos números inteiros

Realizando as contas de divisãoAssim como na multiplicação, a divisão também temum algoritmo para sua resolução. Para contas mais sim-ples, a divisão pode ser resolvida pelo raciocínio inversoda multiplicação, permitindo que facilmente seuresultado seja verificado. Por exemplo:

8 ÷ 4 = 2 pois 2 x 4 = 8

12 ÷ 3 = 4 pois 4 x 3 = 12

18 ÷ 2 = 9 pois 9 x 2 = 18

Os três elementos que participam da divisão são osseguintes: dividendo (aquele que está sendo dividido),divisor (aquele que divide) e quociente (o resultado dadivisão). Por exemplo, em 8 ÷ 4 = 2, 8 é o dividendo, 4é o divisor e 2 é o quociente.

Como nem sempre se trabalha com valores pequenos,é preciso aprender a trabalhar com a técnica de opera-ção do algoritmo da divisão:

Divide-se inicialmen-te 4 por 2 e escreve-se o resultado destadivisão abaixo do divi-sor 2, isso correspon-de a dividir 4 cente-nas por 2, obtendo-se, como resultado, 2centenas.

Sobra zero centena.Divide-se, então, asdezenas: 5 dezenasdivididas por 2, resul-ta em 2 dezenas, so-brando uma.

A dezena que so-brou, somada com 6unidades, resulta em16 unidades. Por isso,como se diz usualmen-te quando se resolvepela técnica, “baixa-se o 6”.

Dezesseis unidades di-vidido por 2, resultaem 8 unidades, comresto zero.

43

44

Peça que os jovens procedam de maneira semelhante aoque foi demonstrado com o exemplo 357 dividido por 5.

Ao corrigir, mostre que a divisão de 3 centenas por 5 foirealizada através da transformação de 3 centenas em 30dezenas que, somadas com as outras 5 (não esqueçaque 357 é igual a 3 centenas, 5 dezenas e 7 unidades)dá 35. Dividindo essas 35 dezenas por 5 obtém-se 7dezenas no quociente, com resto zero. Restam ainda 7unidades que, dividas por 5, resultam em 1 unidade noquociente, sobrando 2. O quociente então é 71. Mostrecomo fica esta conta com a técnica de operação.

Educador, observe que, enquanto na multiplicaçãoa operação começa pelas casas mais à direita, na divi-são é o contrário, começa pelas casas mais à esquer-da, o que justifica que se chamem de operaçõesinversas.

Explique a origem desta regra. Na multiplicação, oexemplo de dívidas e créditos contribui para a com-preensão. Por exemplo, se eu saco da conta corrente,durante 5 meses consecutivos, o valor de R$ 20,00, meusaldo vai ficar R$ 100,00 a menos. Ou seja:

5 saques de R$ 20,00 = R$ 100,00 a menos na conta5 x (-20) = -100

Ou seja, positivo vezes negativo, resulta negativo. Sinaisdiferentes, resposta negativa.

Se, em vez de saques, forem feitos depósitos, o resulta-do será positivo vezes positivo, que dará positivo, como saldo da conta aumentando em R$ 100,00.

O mais complicado, talvez, seja explicar como um núme-ro negativo, multiplicado por outro número negativo,resulta positivo.

Quando a multiplicação e a divisão envolverem valores positivos e negativos, é

preciso lembrar que, quando os sinais forem iguais, o resultado é positivo, e quando

os sinais forem diferentes, a resposta é negativa.

45

Considerando o mesmo exemplo dos saques, peça queimaginem que, em um determinado período, esses cin-co saques deixaram de ser realizados. Qual a conse-qüência disso para o saldo na conta? É simples:

5 saques de R$ 20,00 = R$ 100,00 a mais na conta

(-5) x (-20) = +100

Ao fazer o caminho inverso dessas operações, que é adivisão, repete-se a mesma situação: sinais iguais re-sulta positivo e sinais diferentes resulta negativo. Veja:

5 x (-20) = -100 → (-100) ÷ (-20) = +5

Ou seja, “menos” dividido por “menos” deu “mais”.

(-5) x (-20) = +100 → (+100) ÷ (-20) = -5

Ou seja, “mais” dividido por “menos” deu “menos”.

Educador, convém aplicar alguns exercícios de divi-são para que os jovens possam praticar o algoritmo.

Passo 2 / Realização de exercícios

15min

Os jovens deverão resolver as divisões abaixo:

37 ÷ 5 → Resposta: quociente igual a 7 e o resto igual a 2







Esta aula habilitará a entender operações de po-

tenciação e radiciação, bem como a resolver potên-

cias com bases inteiras e expoentes negativos.

Sexta Aula

Potenciação e radiciação

46

Mostre que a potenciação e a radiciação também cons-tituem operações inversas. A potenciação é uma mul-tiplicação de fatores iguais. Por exemplo, a operação3 x 3 x 3 x 3 x 3 também pode ser representada por 35,obtendo-se o seguinte resultado:

35 = 81

3 – base5 – expoente81 – potência


50min

A operação inversa é aquela que transforma o 81 nova-mente em 3, e é o que chamamos de radiciação:

81 – radicando4 – índice da raiz3 – raiz

Ou seja, raiz quarta de 81 é igual a 3. Isto significa que onúmero que deverá ser elevado na 4 para resultar 81 é 3.

A leitura é feita da seguinte forma: 3 elevado na quinta potência, ou 3 elevado na 5.

Muito cuidado com as potências de números inteiros quando a base é negativa.

Neste caso, se o expoente é par, a potência é positiva; se o expoente é impar, a

potência é negativa.

Educador, o foco aqui é o estudo das potências denúmeros naturais, incluindo aquelas com bases 10 e 1e expoentes 0 e 1, que são casos particulares, e as raí-zes quadradas, que são aquelas cujo índice da raiz é 2.

Exemplo:(-2)5

= (-2)2. (-2)2

. (-2) = -64

Cada par de negativos resulta positivo, sobrando ape-nas um negativo, que torna o resultado negativo, pois“mais” vezes “menos” dá “menos”.

(-2)6= (-2)2

. (-2)2. (-2)2

= +64

4

47

Cada par de negativos resulta positivo, ficando o resul-tado da potência positivo.

Calculadora: conforme já foi mencionado, somente ascalculadoras científicas permitem a resolução de potên-cias e raízes com expoentes e índices quaisquer. Quan-to à forma de operação, as calculadoras basicamente seresumem em dois grupos: aquelas que pedem a funçãoe depois o número (tipo 1) e aquelas que pedem onúmero depois a função (tipo 2). Assim, para calcular 3elevado à potencia 5, procede-se da seguinte forma:

Tipo 1:a) Digitar o número 3;

b) Digitar a função expoente, que pode ser umacento circunflexo (^), um símbolo como xy oualgo parecido, dependendo da calculadora;

c) Digitar o expoente 5;

d) Digitar o sinal de igual ou a tecla “executar”.

Tipo 2:

a) Digitar o número 3;

b) Digitar o expoente 5;

c) Digitar a função expoente, que pode ser umacento circunflexo (^), um símbolo como xy oualgo parecido, dependendo da calculadora;

d) Digitar o sinal de igual ou a tecla “executar”.

Refira que a diferença entre um tipo e outro está nasletras b e c, que invertem.

Nesta aula, serão trabalhadas as potências de 10

e as potências com expoente 1 e expoente zero.

Sétima Aula

Potências de 10, potências com expoente 1 e expoente zero


50min

a) Potências de 10

Mostre que, tendo em vista o sistema numérico deci-mal, as potências de 10 são de fácil representação:

48

b) Expoentes 1

Diga que eles são casos particulares da potência. O ex-poente 1 significa que é o próprio número, não sendonecessária a representação de expoente.

Demonstre:

Todas as operações feitas com o 5 não resultaram emnenhuma modificação, e uma delas foi o expoente 1.

c) Expoente zero

Apresente a seqüência abaixo:

Observe que, quando o expoente diminui uma uni-dade, a potência divide por 3. Sendo assim, o próximotermo da seqüência seria o 3 com o expoente zero e,como resultado da potência, seguindo a seqüência,seria 3 dividido por 3, que resulta 1. Ou seja, 30 = 1.

Educador, a questão do expoente 1, em algumassituações, confunde os jovens. O mesmo acontece aomultiplicar ou dividir o número por 1, ou ao somarzero a algum número. Essas operações não gerammodificações.

49

Educador, comprova-se facilmente que este resulta-do ocorre para qualquer base, pois, para se obterqualquer base no expoente zero, deve-se dividir apotência com o expoente 1 pela base, resultando naunidade.

Nesta aula, será trabalhado o método de resolu-

ção de raízes quadradas através da decomposição

em fatores primos.

Oitava Aula

Resolução de raízes quadradas peladecomposição em fatores primos


50min

Valorizando o que os jovens já sabem sobre o assunto,explique que determinar a raiz quadrada de um núme-ro significa determinar que valor, elevado ao quadrado,resultará naquele número. Dê exemplos:

Pergunte então?

Qual seria uma forma de encontrar a raizquadrada de um número?

Espera-se que os jovens respondam que é através dadecomposição em fatores primos.

Na seqüência, demonstre como achar, através destemétodo, a raiz quadrada, por exemplo, de 144.

Inicia-se pela decomposição de 144 em fatores primos.

PrimosNúmeros primos são aqueles númerosque só são divisíveis por si mesmo ou por1. Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc.

50

Espera-se que os jovens percebam que muitas são as si-tuações do dia-a-dia em que aparecem e que resultamde divisões não exatas.

Mostre a figura a seguir e discuta o valor não inteirodas medidas marcadas.

Esta aula objetiva diferenciar a representação fra-

cionária da decimal, bem como realizar a trans-

formação de uma representação para outra.

Nona Aula

Números racionais, representaçãodecimal e fracionária


50min

Retome o que já foi estudado no capítulo 1 a respeito denúmeros racionais, destacando que podem ser represen-tados tanto em forma de fração como na forma decimal.

Pergunte:

O que representam os chamados “números comvírgula”?

Com que freqüência aparecem?

Educador, a prioridade desta formação não é amemorização dos métodos, mas a compreensão doque significa a raiz quadrada. Não faça restrição ne-nhuma ao uso de calculadoras. Em seções posterio-res, essa questão será retomada, com vistas a abordara calculadora e suas funcionalidades no sentido deauxiliar a compreensão de conceitos matemáticos.

Logo,

Então,

51

Fig. 5 – Números com vírgula

Tele

curs

o...

, 19

94,

p.

105

Considerando a mesma lógica do sistemanumérico decimal, como essa medida deve ser

representada?

Valorize as respostas dos jovens e sistematize:

Os números localizados à direita da vírgula represen-tam frações das unidades.

A primeira casa depois da vírgula indica os décimos, ouseja, a décima parte da unidade. A segunda casa mos-tra os centésimos ( da unidade), depois os milésimos,e assim por diante.

Pergunte:

Qual é a lógica?

A lógica é reduzir 10 vezes à medida que se desloca umacasa para a direita.

1100

A vírgula é fundamental, pois, a partir dela, começa-se a medir frações da unidade.

Por isso, as divisões não exatas sempre utilizam casas depois da vírgula.

Explore o conteúdo da tabela que segue, e mostrecomo se faz a transformação da forma decimal para aforma fracionária.

0,8 centímetros = 8 décimos de centímetros = 8 milímetros

5,4 centímetros = 5 centímetros e 4 décimos de centímetros= 5 centímetros e 4 milímetros

52

Centímetros Décimos de centímetros Centésimos de centímetros

5,4 cm 5,4 unidades 54 décimos de 540 centésimos de

de centímetro = centímetro = centímetro =

0,8 cm 0,8 unidades de 8 décimos de 80 centésimos de

centímetro = centímetro = centímetro =

Sempre que é utilizado o denominador 10, faz-se refe-rência à contagem de décimos; sempre que é utilizadoo denominador 100, faz-se referência à contagem decentésimos.

É possível simplificar as frações obtidas na tabela acima:

(dividindo numerador e denominador por 2) =

(dividindo numerador e denominador por 2) =

Educador, é importante explicar aos jovens asimplificação de frações: ao dividir ou multiplicar onumerador e o denominador de uma fração pelomesmo número, o mesmo valor da fração é mantido.Por exemplo:

Isto ocorre porque multiplicar ou dividir onumerador e o denominador pelo mesmo númeronão altera a relação entre eles, que é o resultado dafração. No exemplo acima, o numerador é sempremetade do denominador. Todas as frações em queisso ocorrer são equivalentes.

1530

= 15 ÷ 530 ÷ 5

36

3 ÷ 36 ÷ 3

12

===

cm cm cm

cm cm cm

53

Mostre a figura abaixo, que representa a planta baixade uma sala em prédio com 28 apartamentos, e pergun-te: como se deve proceder para calcular a quantidadede rodapés necessária para as 28 salas dos aparta-mentos deste prédio?


30min

Nesta aula, será trabalhada a adição e a subtra-

ção dos números racionais.

Décima Aula

Operações com números racionais:adição e subtração

Esta é uma situação típica do dia-a-dia em que é neces-sário operar com números decimais. Para isso, como jáse viu, segue-se a mesma lógica das operações com nú-meros inteiros.

Mostre, passo a passo, o procedimento a ser empregado:

Calculando a quantidade de metro linear de rodapépara a sala de um apartamento:

4,50 m

3,85 m

Fig. 6 – Planta baixade uma sala

54

Perímetro da sala:

Somando os vãos das portas:

Subtraindo-se do perímetro o vão das portas:

Para realizar essa operação, a vírgula deve estar semprena mesma posição.

Para realizar a adição e a subtração com números racionais na forma fracionária, é

necessário colocar todas as frações com o mesmo numerador, a fim de poder somar

ou diminuir os numeradores. O método utilizado para igualar os denominadores é

o mínimo múltiplo comum.

Mínimo múltiplo comumOu m.m.c. de dois ou mais números, éo menor múltiplo comum destes núme-ros. Por exemplo, o m.m.c. entre 12 e16 é 48, que é igual a 12 vezes 4 e 16vezes 3. Para se obter o m.m.c. entredois ou mais números, utiliza-se a téc-nica da fatoração simultânea.

Mostre o cálculo do m.m.c. entre 15, 24 e 60:

Busca-se fatores primos que dividam o maior númeropossível de números. Utilizou-se o 2 até a terceira linha,dividindo-se dois deles simultaneamente nas duas primei-ras, e um deles (o “6”) na terceira linha. Na quarta linha,todos foram divididos por 3 e, na última, dois deles foramdivididos por 5. O processo encerra quando houver so-mente o número 1. O m.m.c. será então 23 x 3 x 5 = 120. Ouseja, o produto de todos os fatores primos obtidos.

Exemplo de adição e subtração:

Proponha aos jovens que realizem o cálculo do perímetroda sala de aula, excluindo a dimensão da(s) porta(s), deforma semelhante ao que foi feito no exercício da aula.Disponibilize uma trena para a medição e exercite comeles a representação em escala da sala de aula.


20min

55

Continuando o exemplo do cálculo da quantidade derodapé, proponha agora que, em duplas, os jovensresolvam o seguinte problema:

Qual a quantidade necessária para a colocação de roda-pé em todas as 28 salas? Quanto custará esta coloca-ção, se o metro linear de rodapé custa R$ 5,50?

Nesta aula, será trabalhada a multiplicação e a

divisão dos números racionais.

Décima Primeira Aula

Multiplicação e divisão dos númerosracionais

Quantidade

de rodapé → Custo total →

Enquanto as duplas trabalham, circule entre elas e pro-blematize as alternativas encontradas.

Mostre que, na multiplicação, conta-se quantas casasexistem depois da vírgula em cada um dos fatores esomam-se essas quantidades. O resultado desta somaserá o número de casas depois da vírgula que deveráter o produto da multiplicação. Por exemplo, no casodo cálculo da quantidade total de metros lineares derodapé, o primeiro fator (15,20) tem duas casas depoisda vírgula, e o segundo fator (28) nenhuma casa. Por-tanto, o produto terá duas casas depois da vírgula,ficando 425,60 m.

No cálculo do custo total, tanto o primeiro (425,6) quan-to o segundo fator têm uma casa depois da vírgula,ficando o resultado (2340,80) com duas casas depois davírgula.

Feita a correção dos exercícios, proponha agora outrasituação:

Passo 1 / Trabalho em duplas

30min

14 11 5, 2 0x 2 8

1 2 1 6 03 0 4 04 2 5, 6 0m

1 2 31 2 34 2 5,6x 5,5

2 1 2 8 02 1 2 8 02 3 4 0,8 0

56

Existe um limite de R$ 2.000,00 para o gasto com a co-locação de rodapés. Neste caso, qual será o valor máximoque poderá ser pago pelo metro linear de rodapé?

Discuta, inicialmente, as alternativas de solução que elessupõem. Mostre que, neste momento, surge a necessi-dade de realizar a operação de divisão com os númerosracionais. É importante mostrar que, para uma mesmasituação, é possível explorar várias operações com osnúmeros racionais, bem mais freqüentes que as opera-ções com os números inteiros.

Para se realizar a divisão de números decimais, a me-lhor forma é eliminar as casas após a vírgula através douso de uma divisão/fração equivalente. Por exemplo:

→ Para dividir R$ 2.000,00 por 425,6

metros, a fim de saber qual o preço unitário máximo quepoderá ser pago pelos rodapés, multiplica-se onumerador e o denominador por 10, eliminando-se aprimeira casa decimal do denominador. Dessa forma, épossível realizar a divisão sem a preocupação inicialcom as casas à direita da vírgula (costuma-se dizer “ascasas após a vírgula”). Assim:

Divide-se, inicialmente,20.000 por 4.256,escrevendo-se oresultado desta divisãoabaixo do divisor. É importante observarque 4 é o máximovalor inteiro que poderesultar esta divisão,pois 5 vezes 4256ultrapassa o 20.000.

Multiplicando-se 4 por 4.256, obtém-se17.024. Subtraindo-seeste valor de 20.000,obtém-se como resto2.976. Como este valoré menor que o divisor,passa-se a consideraros décimos daunidades. Ou seja,2.976 unidadescorrespondem a29.760 décimos, quepodem então serdivididos pelo divisor.A partir de agora,inclui-se a vírgula noquociente.

Coloca-se mais umzero, obtendo-se42.240. Pode-senovamente dividir.

Obtém-se 9, sobrandocomo resto 3.936.

57

A operação, nesse caso, deve ser realizada até a segun-da casa depois da vírgula, sendo suficiente para expres-sar o valor em termos monetários.

Para realizar a multiplicação e a divisão com númerosracionais na forma fracionária, faz-se o seguinte:

Na multiplicação, multiplicam-se osnumeradores e os denominadores.

Na divisão, inverte-se o divisor erealiza-se a multiplicação. Isto sedeve ao fato de a multiplicação e adivisão serem operações inversas.

Apresente a ordem de resolução das operações em ex-pressões numéricas. Recomende aos jovens que anotemem destaque o que for apresentado, já que muitos cál-culos utilizarão essas informações. Se desejar, faça umasíntese em cartaz e deixe exposto em classe, até que osjovens tenham segurança em relação à sua utilização:

1º Potenciação e radiciação

2º Multiplicação e divisão

3º Adição e subtração

Resolve-se primeiro o que está entre parênteses ((xx)),depois o que está entre colchetes ([xx]), e finalmente oque está entre chaves ({xx}).

Esta aula apresentará a resolução de expressões

numéricas, destacando a identificação da ordem

de realização das operações nestas expressões.

Décima Segunda Aula

Resolução de expressões numéricas

Proponha aos jovens que realizem o cálculo do custo dacolocação de rodapé da sala de aula, a partir do perí-metro calculado na aula anterior.


20min


50min

58

Para estas aulas, está prevista a realização de uma

avaliação.

Desafie os jovens a identificarem, no quadro abaixo, aforma correta e a forma incorreta:

Educador, raras serão as situações cotidianas em queserá necessária a utilização de expressões muito com-plexas. Todavia, é comum verificar erros em peque-nas expressões em função da realização de operaçõesna ordem incorreta.

Forma correta: primeiro amultiplicação depois a

subtração

2 x 5 - 1 == 10 - 1 = 9

Forma incorreta: primeiro asubtração depois a

multiplicação

2 x 5 - 1 == 2 x 4 = 8

Retome o cálculo do custo dos rodapés para o prédio,composto por 28 apartamentos, e desafie os jovens aarmarem a expressão numérica a ele relacionada:

Algumas calculadoras permitem a inclusão de expressões, utilizando-se apenas

parênteses, iniciando-se a resolução sempre pelos parênteses mais internos. A van-

tagem deste tipo de calculadora é que todos os cálculos são realizados em apenas

uma etapa, o que reduz o erro na operação.

Avaliação

Para avaliar os conhecimentos, segue uma sugestão quepoderá ser utilizada pelo educador e reproduzida para osjovens.

Décima Terceira e Décima Quarta Aulas

Passo 1 / Realização das questões propostas

100min

1 e 2

Como mostra o gráfico 1, durante o ano de 2004, houve, em cada mês, crescimento

das vendas em relação ao mês anterior. A diretoria dessa empresa, porém, considerou

muito lento o ritmo de crescimento naquele ano. Por isso, estabeleceu como meta

mensal para o ano de 2005 o crescimento das vendas em ritmo mais acelerado que o

de 2004. Pela analise do gráfico 2, conclui-se que a meta para 2005 foi atingida em

(A) janeiro, fevereiro e outubro.

(B) fevereiro, março e junho.

(C) marco, maio e agosto.

(D) abril, agosto e novembro.

(E) julho, setembro e dezembro.

2 (ENEM, 2006) O gráfico ao lado foi ex-

traído de matéria publicada no caderno

Economia & Negócios do jornal O Esta-

do de S. Paulo, em 11/6/2006.

1 (ENEM, 2006) Os gráficos 1 e 2 a seguir mostram, em milhões de reais, o total do

valor das vendas que uma empresa realizou em cada mês, nos anos de 2004 e 2005.

PROJETO ESCOLA FORMARECURSO: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ÁREA DO CONHECIMENTO: INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA

Nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Data:. . . ./. . . /. . .

Avaliação 1

59

Em porcentagem16,00

14,00

12,00

10,00

8,00

6,00

4,00

2,00

0

ENEM

, 20

06Inflação – acumulada em 12 meses no Brasil e nos EUA,segundo índices de preços ao consumidor

BRASIL - IPC - FIPE* EUA - CPI**

* Índice de Preços ao Consumidor da FIPE – * Consumer Price IndexFonte: Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas (FIPE)

2001 2002 2003 2004 2005 2006

3,55

2,67

4.00

3.60

3.20

2.80

2.40

2.00

1.60

1.20

É um titulo adequado para a matéria jornalística em que esse gráfico foi apresentado:

(A) Brasil: inflação acumulada em 12 meses menor que a dos EUA.

(B) Inflação do terceiro mundo supera pela sétima vez a do primeiro mundo.

(C) Inflação brasileira estável no período de 2001 a 2006.

(D) Queda no índice de preços ao consumidor no período 2001-2005.

(E) EUA: ataques terroristas causam hiperinflação.

3 (ENEM, 2005) No gráfico abaixo, mostra-se como variou o valor do dólar, em relação

ao real, entre o final de 2001 e o início de 2005.

Por exemplo, em janeiro de 2002, um dólar valia cerca de R$ 2,40.

Durante esse período, a época em que o real esteve mais desvalorizado em relação

ao dólar foi no

(A) final de 2001.

(B) final de 2002.

(C) início de 2003.

(D) final de 2004.

(E) início de 2005.

4 Um atleta realiza um treinamento e faz 15 voltas em uma pista circular, onde cada vol-

ta corresponde a 350 metros. Quantos quilômetros ele percorrerá neste treinamento?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Considere o caso de um orçamento de pintura cujo valor total é de R$ 5.400,00.

Sabendo-se que a pintura do metro quadrado custa R$ 35,00, quantos metros

quadrados serão pintados?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

Ban

co C

entr

al d

o B

rasi

l

jan 2002 jan 2003 jan 2004 jan 2005

61

ExercíciosCapítulo 1

1 Escreva por extenso, na forma monetária, os seguintes valores:

R$ 165,35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R$ 43,50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R$ 2.150, 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R$ 760, 85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Observe os dados da tabela abaixo.

MarçoAbrilMaioJunhoJulho

Salário médio em uma empresa

800950880900920

2 Represente os dados acima em gráfico de segmentos.

3 Represente os dados acima em gráfico de barras.

62

4 Represente os dados abaixo em gráfico de setores.

Candidato ACandidato BCandidato CBranco ou nulos

27%20%40%13%

5 Transforme as medidas de comprimento abaixo para a unidade metro:

a) 1,45 quilômetros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) 24 hectômetros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c) 2450 centímetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d) 15340 milímetros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Transforme as medidas de tempo abaixo para a unidade hora:

a) 1251 minutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) 16416 segundos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Capítulo 21 Um engenheiro precisa orçar o serviço de pintura em 30 apartamentos. Cada um

destes apartamentos tem uma área bruta a ser pintada de 165 metros quadrados.

Devem ser descontadas ainda as áreas das janelas e das portas, que correspondem

a 15 metros quadrados em cada apartamento. O custo da pintura por metro qua-

drado é R$ 22,00, incluindo material e mão-de-obra. Construa uma expressão que

represente o cálculo do custo total e determine este valor.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Resolva as operações abaixo:

a) 65 ÷ 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) 23 . 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c) 3 . [32 + 2 . (–5)] + 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d) 15 + 5 . (–2) + [4 . (2 – 22)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

Capítulo 3

1 O restaurante de uma indústria tem estoque para alimentar 18 funcionários

durante 15 dias. Se a empresa admitir doze novos funcionários, em quantos dias

esse estoque estará esgotado?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Em um banco, constatou-se que um caixa leva, em média, 5 minutos para atender

3 clientes. Qual é o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Uma tábua com 1,5 m de comprimento foi colocada verticalmente em relação ao

chão e projetou uma sombra de 53 cm. Qual seria a sombra projetada no mesmo

instante por um poste que tem 10,5 m de altura?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Um automóvel, com velocidade média de 60km/h, leva 5 horas para percorrer a

distância entre duas cidades. Se a sua velocidade média fosse de 100km/h, qual

seria o tempo gasto para percorrer a mesma distância?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Uma máquina impressora faz certo serviço em 8h e 30 min, trabalhando numa

velocidade de 5 mil páginas por hora. Se a velocidade da máquina mudar para 6

mil páginas por hora, em quanto tempo o mesmo serviço será feito?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Para azulejar uma parede retangular, que tem 6,5 m de comprimento por 3 m de

altura, foram usados 390 azulejos. Quantos azulejos iguais a esses seriam usados

para azulejar uma parede que tem 15 m2 de área?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Quinze pessoas, trabalhando 3 horas por dia, durante 20 dias, produzem 300 peças.

Quantas pessoas trabalhando 4 horas por dia, durante 30 dias, seriam necessárias

para fazer 1200 peças?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 Quatro máquinas produzem 32 peças de madeira em 8 dias. Quantas peças iguais

às primeiras serão produzidas por 10 máquinas em 6 dias?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 Dois carregadores levam caixas do depósito para um caminhão. Um deles leva 4

caixas por vez e demora 3 minutos para ir e voltar. O outro leva 6 caixas por vez e

demora 5 minutos para ir e voltar. Enquanto o mais rápido leva 240 caixas, quan-

tas caixas leva o outro?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10Um banco cobra 35% de juros sobre determinado capital. Considerando este

percentual aplicado a um valor de R$ 600,00, qual será o valor corrigido?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11Uma determinada região apresenta uma densidade populacional de 0,25

Quantos habitantes tem essa região, considerando que ela possui uma área de

500.000 m2?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Capítulo 4

1 Qual o montante que resulta da aplicação de R$ 5.000,00 a uma taxa de 1% a.m.

a juros simples durante 5 meses?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Qual o montante que resulta da aplicação de R$ 1.500,00 a uma taxa de 3% a.m.

a juros simples durante 8 meses?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Qual o montante, depois de 5 meses, para um capital inicial de R$ 200,00 aplicado

a uma taxa de 2% a.m. a juros compostos?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Qual a taxa anual equivalente a uma taxa mensal de 1%?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Qual a taxa mensal equivalente a uma taxa quadrimestral de 15%?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Deseja-se comprar um bem no valor de R$ 50.000,00. Levando em consideração

que os juros aplicados correspondem a 1,25% a.m., e que o bem será pago em 15

prestações, qual o valor de cada prestação, sendo que a primeira delas será paga

um mês após a compra?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

habm2 .

Gabarito dos ExercíciosCapítulo 1

1 cento e sessenta e cinco reais e trinta e cinco centavosquarenta e três reais e cinqüenta centavosdois mil cento e cinqüenta reais e vinte centavossetecentos e sessenta reais e oitenta e cinco centavos

2

3

4

Meses do ano de 2006

Salário Médio de uma empresa

1000

950

900

850

800

750

700

13%

Março Abril Maio Junho Julho

Salário Médio de uma empresa em R$

Meses do ano de 2006Março Abril Maio Junho Julho

1000

950

900

850

800

750

700

Pesquisa de intenção de voto

27%

20%40%

Candidato A

Candidato A

Candidato A

Brancos ou nulos

65

5 a) 1450 metrosb) 2400 metrosc) 24,50 metrosd) 15,34 metros

6 a) 20,85 horasb) 4,56 horas

Capítulo 21Custo = [30 . (165 - 15)] . 22 = R$ 99.000,002 a) quociente 16, resto 1

b) 276c) 9d) -2

Capítulo 31 9 dias2 60 min3 371 cm4 3 horas5 425 min6 300 azulejos7 30 pessoas8 60 peças9 216 caixas

10 R$ 810,00 11 125.000 habitantes

Capítulo 41 R$ 5.250,002 R$ 1.860,003 R$ 220,824 12,68%5 3,55%6 R$ 3.676,47

Capítulo 51 a) Quantitativa contínua

b) Qualitativa por postosc) Qualitativa nominald) Quantitativa discretae) Quantitativa contínua

2 6,83 A) 2,98

B) 3,764 a) 0,1448

b) 0,2734c) 0,6247d) 0,4207e) 0,8997

5 a) 31,61%b) 59,87%

66

67

Gabarito da AvaliaçãoAvaliação 1

1 D2 A3 B4 5,250 quilômetros5 154,28 metros quadrados

Avaliação 21 D2 E3 E4 10 dias5 R$ 5.306,826 a) Juros compostos: R$ 265,30; juros simples: R$ 318,00

b) Juros compostos: R$ 304,75; juros simples: R$ 360,007 8,8 kWh8 0,95%9 2 unidades de comprimento

10 5.461.512 jogos possíveis

69

Glossário

AnagramaTransposição de letras de palavra ou frase para formar outra palavra ou frase diferente(Natércia, de Caterina; amor, de Roma; Célia, de Alice; etc.)Calculadoras científicasSão aquelas que apresentam funções matemáticas como potências em qualquer expoente,logaritmos, funções trigonométricas, etc. As calculadoras não científicas apresentam as 4 ope-rações, raízes quadradas e, às vezes, cúbicas, potências de 2 (elevar ao quadrado) e, algumasvezes, de 3 (elevar ao cubo).CapitalNum empréstimo, é o valor presente da quantidade a ser financiada.Desvio padrão (σ)Dada uma série com n termos, o desvio padrão será a média quadrática dos desvios calculadosem relação à média aritmética da série.Estatísticas São funções dos valores amostrais.Estatística descritivaOrganização, apresentação e síntese dos dados.Estatística indutiva ou inferencialConjunto de métodos para tomada de decisões nas situações onde existe incerteza e variação.Fluxo de caixaÉ utilizado principalmente para problemas que envolvam prestações a serem pagas ou depó-sitos a serem realizados. Transporta-se todos os valores das prestações para um determinadomomento, que pode ser o presente, obtendo-se assim o valor presente, ou para o futuro,obtendo-se o valor futuro.Inflação Desequilíbrio que se caracteriza por uma alta continuada no nível geral dos preços, conco-mitante com a queda do poder aquisitivo do dinheiro. É causada pelo crescimento da circulaçãomonetária em desproporção com o volume de bens disponíveis.Juro Quantia que remunera um credor pelo uso de seu dinheiro por parte de um devedor duranteum período determinado, geralmente uma percentagem sobre o que foi emprestado; rendaou rendimento de capital investido.Mínimo múltiplo comumOu m.m.c. de dois ou mais números, é o menor múltiplo comum destes números. Por exemplo,o m.m.c. entre 12 e 16 é 48, que é igual a 12 vezes 4 e 16 vezes 3. Para se obter o m.m.c. entredois ou mais números, utiliza-se a técnica da fatoração simultânea.Valor atualTambém conhecido como valor presente, é o valor correspondente ao momento presente ouatual de um valor que será pago ou aplicado em um momento futuro. Por exemplo, se voufazer um pagamento de R$ 300,00 daqui a três meses para quitar determinada dívida, o valorpresente será menor.Parâmetros São os valores teóricos correspondentes à população.Progressão aritmética É a seqüência numérica onde, a partir do primeiro termo, todos são obtidos somando uma cons-tante chamada razão.

71

ReferênciasBARRETO FILHO, Benigno; XAVIER DA SILVA, C. Matemática aula por aula. Volume único. São Paulo: FTD, 2000.ENEM – Exame Nacional do Ensino Médio. Brasília: INEP, 2005.ENEM – Exame Nacional do Ensino Médio. Brasília: INEP, 2006.MARCONDES DOS SANTOS, Carlos Alberto; GENTIL, Nelson; GRECO, Sérgio Emílio. Matemática. Volume único. SãoPaulo: Ática, 2000.SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira: aplicações à análise de investimentos. São Paulo: Prentice Hall, 2001.SPIEGEL, M. R. Estatística. 3. ed. Tradução: Murray R. Spiegel; revisão técnica: Pedro Consentino. São Paulo: MakronBooks, 1993. (Coleção Schaum)QUEVEDO, D. M. FEEVALE, 2001. Notas de aula.TELECURSO 2000 – Matemática – 1º grau. São Paulo: Globo, 1994. V.1.

centros.edu.xunta.es/cpideatios/imaxes/proteccion/proteccion1_p.jpgnoticias.uol.com.br/economiapessoal.sercomtel.com.br/matematicapt.wikipedia.org stat2.med.up.ptwww.bcb.gov.brwww.centros.edu.xunta.eswww.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/Leonardo.htmwww.expoente.com.br/professores/kalinke/estudo/an%E1lise_combinat%F3ria.htm (09 out. 2006)www.fgv.brwww.fipe.org.brwww.ibge.org.brwww.inmetro.gov.br/resc/pdf/RESC000114.pdfwww.institutopadrereus.com/arquivos/tabela/indice.htm www.iol.iewww.ipeadata.gov.brwww.ipem.sp.gov.brwww.klickeducacao.com.br www.mat.ufrgs.br/~edumatec/atividades/ativ19/pa.htm (2 dez 2006)www.planetavestibular.hpg.ig.com.br/conjuntos_numericos.htm www.somatematica.com.brwww.unificado.com.br/matematica/prof_ale/Progressao_aritmetica3.htm (06 dez. 2006)www.vidaslusofonas.pt/candido_portinari.htm

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