Introdução à Mecânica das Rochas Aula 7

8/6/2019 Introduo Mecnica das Rochas Aula 7

1/10

INTRODUINTRODUOO MECNICA DAS ROCHASMECNICA DAS ROCHAS

Licenciatura em Geologia Aplicada e do AmbienteLicenciatura em Geologia Aplicada e do Ambiente -- 2005/20062005/2006

Fernando M. S. F. Marques *Fernando M. S. F. Marques *

* Departamento de Geologia, Faculdade de Cincias de Lisboa* Departamento de Geologia, Faculdade de Cincias de Lisboa

Aula teAula terica 7rica 7

ESTADO DE TENSO

IMPORTNCIA DO SEU CONHECIMENTO:- Existem estados de tenso nos terrenos, que podem ser dramaticamente modificados

pelas obras de engenharia ou que condicionam as opes de projecto

- A tenso caracterizada por tensores, quantidades cuja compreenso no fcil:

- Compostos por nove componentes, dos quais seis so independentes

- Valores que so propriedades de pontos

- Valores que dependem da orientao relativa face ao sistema de eixos de referncia

- Seis dos nove componentes tomam o valor zero para orientaes determinadas

- Trs componentes principais

- Operaes de tratamento de dados complexas (p. ex. a mdia de dois tensores nopode geralmente ser determinada por simples mdia das componentes principais)


2/10

F

ESTADO DE TENSO

- Escalar - quantidade caracterizada apenas pela magnitude - ex.: temperatura, tempo,massa

- Vector - quantidade caracterizada pela magnitude e direco - ex.: fora, velocidade,acelerao - so totalmente descritas por trs valores, por exemplox, ye znumsistema de eixos coordenados, que conjuntamente especificam a magnitude e adireco

- Tensor - quantidade com magnitude, direco e plano de actuao - ex.: tenso,deformao permeabilidade, momento de inrcia.

Fs= F. sen

Fn= F. cos

A

F = F/A

An= A / cos

Fn= F. cos

n= Fn/ A n = (F/A) cos2 = cos2 n = F sen / A n = (F/A) sen cos = sen cos

ESTADO DE TENSO

F1 F2

F3

F4

Fn AN

SA

Nlim

0An = Tenso normal,

AS

limA

s = 0Tenso tangencial,

y x

z

zz

yy xx

yzyx xyxzzxzy

xxxy

Tenso normal

Tenso tangencial

Actua no planonormal ao eixox

Actua no planonormal ao eixox

Actua na direcodo eixo y


3/10

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

ESTADO DE TENSO

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

zz

yy xx

yzyx xyxzzxzy

Equilbrio rotacional do cubo implica que:

xy = yxxz = zxyz = zy

Ou seja, a matriz simtrica:

O estado de tenso caracterizado por seis componentes independentes

ESTADO DE TENSO

Quando, atravs de rotaes do cubo elementar, se obtm posies em que as

tenses normais adquirem valores mximo e mnimo, as correspondentes tenses

de corte anulam-se.

Nesta situao, as tenses normais correspondem s tenses principais - 1, 2, 3Em que 1 > 2 > 3Neste caso particular o tensor das tenses dado por:

3

2

1

00

00

00


4/10

ESTADO DE TENSO

Todas as superfcies de escavao no sustentadas so planos de tenso principal

y

z

x

1

23Antes da escavao

y

z

x

zz

zz

yy yy

xx= 0xy = xz = 0

zyyz

Depois da escavao

A escavao provoca modificao do estado de tenso. Efeitos semelhantes ocorremem fracturas abertas, pelo que a estrutura do macio pode influenciar de formasignificativa o estado de tenso local.

ESTADO DE TENSO

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

Das propriedades dos tensores de 2 ordem resultamtrs invariantes:

zzyyxx1I

2

xz

2

yz

2

xyxxzzzzyyyyxx2I 2

xyzz

2

xzyy

2

yzxxxzyzxyzzyyxx3 2I Que so fundamentais para calcular as tenses principais, 1, 2 e 3, pela expresso:

0III 322

1

3 =Do primeiro invariante resulta que a tenso mdia num ponto constante, qualquer queseja a orientao dos eixos de referncia

=321zzyyxx constante


5/10

ESTADO DE TENSO Transformao do tensor da tenso:

y

x

y

x

yxy

yyx

y

yyxyx

Rotao em torno de z

x

y

x

z, z

y

z

yyx

xyx

00

0

0

ESTADO DE TENSO Transformao do tensor da tenso:

y

x

y

x

O

A

B

B

.sen .cos

y

y

x

xy 2 cosx 2 cos

y 2 senyx 2 sen

xy 2x 2


6/10

Transformao do tensor da tenso:

0F 'x =( ) ( ) ( ) ( ) 0cossensencossensencoscos 2'x2yx2xy2y2x ==0F 'y =( ) ( ) ( ) ( ) 0sensencoscoscossensencos 2'y'x2yx2xy2y2x =

cosnse2sencos xy2y2x'xcosnse2cossen xy2y2x'y

( ) ( ) sencossencos yx22xy'y'x

y

y

x

xy 2 cosx 2 cos

y 2 senyx 2 sen

xy 2x 2

Transformao do tensor da tenso: Exerccio:

MPa

y

x

1010

10

10

1010

2020

Calcular:- Tenses principais- Estado de tenso para uma rotao de 30- Estado de tenso para uma rotao de -30- Rotao necessria para atingir situao s com tenses principais

y

x30

-30

y

x

y

x




7/10

Transformao do tensor da tenso: caso bidimensional - crculo de Mohr

Fazendo coincidir os eixos x e y com as direces das tenses principais 1 e 3, asequaes de transformao do tensor simplificam-se:

2221'x sencos2221'y cossen

( ) cossen21'y'xe por operaes sucessivas obtm-se:

com =2( ) ( ) cos

' 2121x2

1

2

1

( ) sen'' 21yx 2

1

Que so as equaes de um crculo com centro em 1/2 (1+2) no eixo do espao -



-10

-5

0

5

10

0 5 10 15 20 25

( ) ( ) cos' 2121x

2

1

2

1

( ) sen'' 21yx 21

ProjecProjeco do co do crculo comrculo comTenses principais de 20 e 10 MPaTenses principais de 20 e 10 MPa


8/10

Transformao do tensor da tenso: caso bidimensional - crculo de Mohr

= 2r

(2, 0) (1, 0)

-1/2 (1-2) sen

1/2 (1+ 2) + 1/2 (1- 2) cos

1/2 (1+ 2)O

-

+

P (x, xy)

y

x

r = 1/2 (1-2) = (xy)max

Clculo das tenses principais: caso bidimensional - crculo de Mohr

(2,0) (1,0)O

-

+

y

x

MPa10

10

10

10

1010

2020

(y , yx) = (10,10)

(x , xy) = (20, 10)( ) ( ) MPa18,111021020

2

1Raio

22 = ( ) MPa1510202

1Centro =

MPa18,2618,11151 = MPa18,11max =72,3143,63

1020

102tg

1 ==

(+)


9/10

Tenses normais e de corte num plano: caso tridimensional

Se ABC tem rea unitria,- a rea OAC = lx,- a rea OAB = mx- a rea OBC = nx

( )x'xcosl 'x = ( )y'xcosm 'x = ( )z'xcosn 'x =

Considerando-se um plano cuja normal caracterizada pelos seguintes cosenos directores

x

x

y

z

A

B

C

xz

xx

xy

Plano x

OO

Se Sx for a fora total perpendicular a ABC, resultante das foras de traco Px, Py,Pz,dadas por 9 componentes de tenso.

'xzx'xyx'xxx'x nmlP 'xzy'xy'xxyy'x nmlP 'xz'xyz'xxzz'x nmlP

x

x

y

z

A

B

C

zx

Pxy

Pxx

Pxz x

z

x

y

zy

xyxz

yz

yxou

( )xyz'x'x'xz'xy'xx'x nmlPPP ento

'xz'x'xy'x'xx'x'x nPmPlPS +resultando

( )

'x

'x

'x

xyzxx'x'x

n

m

l

nmlS em que ( )

=

zyzxz

zyyxy

zxyxx

xyz

( )x'xcoslOAC 'x ==( )y'xcosmOAB 'x ==

( )z'xcosnOBC 'x ==

OO


10/10

x

x

y

z

A

B

C

xy

Txz

Txy

xzy

z

( )x'ycosl 'y = ( )y'ycosm 'y = ( )z'ycosn 'y =( )x'zcosl 'z = ( )y'zcosm 'z = ( )z'zcosn 'z =

( )

=

'y

'y

'y

z'xy'xx'x'y'x

n

m

l

PPPT

( )

=

'z

'z

'z

z'xy'xx'x'z'x

n

m

l

PPPT

obtm-se

e

resultando

( )( )( )

T

'x'z'x'y'x'xLL =

em que ( ) 'x'x'x'x nmlL = e

='z'z'z

'y'y'y

'x'x'x

nmlnml

nml

L

Para as forPara as foras tangenciais (as tangenciais (TxTxyy,, TxTxzz) actuando no plano que cont) actuando no plano que contmmABC actuaABC actua--se de forma idnticase de forma idntica

Introdução à Mecânica das Rochas Aula 7

Documents

Transcript of Introdução à Mecânica das Rochas Aula 7