INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS1 TÓPI

CO

Gil da Costa Marques

1.1 Elementos da Teoria dos Conjuntos1.2 Introdução1.3 Conceitos Básicos1.4 Subconjuntos e Intervalos1.5 Conjuntos Numéricos

1.5.1 O Conjunto dos Números Reais1.6 Intervalos

1.6.1 Vizinhança de um Ponto1.6.2 Comprimento de um segmento (distância entre dois pontos numa reta)

1.7 Operações Com Conjuntos1.7.1 União ou Soma1.7.2 Intersecção 1.7.3 Diferença1.7.4 Produto Cartesiano de Conjuntos

Licenciatura em ciências · USP/ Univesp

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INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS 1

1.1 Elementos da Teoria dos Conjuntos

1.2 IntroduçãoGeorg Cantor (1845-1918) recebeu o crédito por ter revoluciona-

do a matemática com a Teoria dos Conjuntos, foi desenvolvida por ele

a partir de 1874.

Cantor iniciou seus estudos procurando uma formalização do con-

ceito de infinito, e chegou à conclusão de que existem diferentes ordens

de infinitos. A classificação dessas ordens se torna possível quando essa

questão é formulada em termos de números, denominados por ele,

transfinitos. A introdução desses conceitos levou-o a desenvolver um

formalismo matemático conhecido hoje como Teoria dos Conjuntos.

De acordo com Howard Eves, citação encontrada em seu livro História da Matemática, “A

moderna teoria matemática dos conjuntos é uma das mais notáveis criações do espírito humano”.

Ela adquire enorme importância em várias áreas da matemática, fazendo com que esse ferramental

seja essencial quando se trata do estudo dos fundamentos da matemática. Esse é o caso do cálculo

diferencial e integral. E isso justifica sua inclusão num texto dedicado ao cálculo.

Pode-se considerar a Teoria dos Conjuntos como um formalismo interdisciplinar, ela serve

como um elo entre a matemática, de um lado, a filosofia e a lógica, de outro lado. Donde se

infere sua relevância para a ciência como um todo.

1.3 Conceitos BásicosDe acordo com Cantor, um conjunto M é uma coleção de objetos

(m) definidos e separados mas formando um todo. Os objetos per-

tencentes à coleção são designados elementos do conjunto. Objetos

podem ser entendidos no sentido mais abrangente possível. Podem

ser tanto reais quanto imaginários. No entanto, na matemática é mais

usual trabalharmos com objetos associados a números.

Figura 1.1: George Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, russo, nasceu em 3 de Março de 1845, morte em 6 de Janeiro de 1918. / Fonte: CEPA

Figura 1.2: Conjunto de objetos. / Fonte: CEPA

Figura 1.3: Conjunto de números. / Fonte: CEPA

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Glossário

TERRA E UNIVERSO Fundamentos da Matemática I

Utilizamos a notação envolvendo o símbolo { } para designar conjuntos.

Assim, representamos o conjunto M formalmente, como:

O fato de um objeto m1 fazer parte, ou não, dos elementos de um conjunto é

indicado, respectivamente, por:

Por exemplo, o conjunto dos números inteiros, representado pela letra Z é tal

que seus elementos são dados por:

Muitas vezes, conjuntos são definidos a partir de uma restrição a ser satisfeita pelos

seus elementos. Assim, utilizamos a seguinte notação para designar tais conjuntos:

Na notação acima, o símbolo m1| deve ser lido como “os elementos m1 são tais

que”. Nessa notação, o conjunto dos números naturais seria especificado como

o conjunto formado pelos números inteiros positivos, além do número zero.

Admitindo-se os n1 como sendo números inteiros, escrevemos:

Quando não existem elementos satisfazendo uma determinada restrição dizemos

que o conjunto é vazio. Ele é representado pelo símbolo

{ } conjuntos 1.1{ }1 2 3 4, , , ....M m m m m=

∉ não pertence

∈ pertence

im M∈ im M∉e 1.2 1.3e

1.4{ }0, 1, 1, 2, 2,3, 3, 4, 4.....Z = − − − −Z conjunto dos números inteiros

1.5{ } satisfazem a condição... iM m= tal que

1.6{ }N 0 i in n= ≥

1.7∅∅ conjunto vazio

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Por exemplo, o conjunto de elementos constituído por número reais tais que

mi2 = −1 definido, portanto, por:

é um conjunto vazio, uma vez que não existe número real que satisfaça á restrição

imposta aos seus elementos.

Conjuntos iguais são aqueles que têm todos os seus

elementos em comum. Por exemplo o conjunto de

raízes do polinômio de segundo grau x2 – 3x + 2 = 0

é igual ao conjunto {1, 2}.

Para conjuntos A e B iguais, escrevemos: A = B

1.4 Subconjuntos e IntervalosDenominamos subconjunto de um conjunto M a qualquer agregado de ob-

jetos, M1, cujos elementos são elementos de M. Dizemos que o conjunto M1 está

contido em M e para indicar tal circunstância, escrevemos:

Por exemplo:

Escrevemos, analogamente, quando um conjunto

B contém o conjunto A (Figura 1.5):

Alguns dos subconjuntos dos números inteiros são:

1.8{ }2 = 1 i iM m m= −

Figura 1.4: Conjunto de números. / Fonte: CEPA

1.91M M⊂ ⊂ está contido

Figura 1.5: “A”: A é um subconjunto de B. “B”: B é um subconjunto de A / Fonte: CEPA

1.10{ } { }1,5 1,2,4,5⊂

⊃ contém1.11 B A⊃

Z conjunto dos números inteiros

Z+conjunto dos números inteiros positivos incluindo o 0

1.12{ }0,1,2,3,4,.....Z+ =

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Conjunto esse muitas vezes designado por conjunto dos números naturais (N). O

conjunto dos números obtidos anteriormente, tomando-se o negativo dos mesmos:

O conjunto dos inteiros excluindo-se o número zero:

Adotando-se a mesma notação, introduzimos ainda os subconjuntos dos nú-

meros inteiros:

1.5 Conjuntos NuméricosSão aqueles cujos elementos são números. O conjunto de todos os números

que podem ser colocados em correspondência biunívoca com os pontos do espaço

localizados sobre uma reta orientada (com um ponto de referência denominado

origem), é muitas vezes denominado reta real, ou simplesmente reta. Tal conjunto é

representado pela letra R.Figura 1.6 / Fonte: CEPA

Alguns subconjuntos notáveis de R, são:

a) Conjunto dos números pares: {..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}

b) Conjunto dos números impares: {..., -3, -1, 1, 3, ...}

c) Conjunto dos números primos: {2,-2, 3, -3,5,-5, 7, -7,11,-11, 13,-13, 17, -17...}

d) Conjunto dos números positivos e múltiplos de 3 e menores do que 10:

{3, 6, 9}

Z−conjunto dos números inteiros negativos incluindo o 0

1.13{ }0, 1, 2, 3, 4.....Z− = − − − −

*Z conjunto dos números inteiros excluindo o 0

1.14{ }* 1, 1, 2, 2,3, 3, 4, 4.....Z = − − − −

1.15{ }* 1, 2,3, 4,.....Z+ =

1.16{ }* 1, 2, 3, 4.....Z− = − − − −

R conjunto dos números inteiros excluindo o 0

Figura 1.7 / Fonte: CEPA

Figura 1.8 / Fonte: CEPA

Figura 1.9 / Fonte: CEPA

Figura 1.10 / Fonte: CEPA

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O conjunto dos números racionais, será representado pela letra Q. Por definição, fazem parte

desse conjunto todos os números que podem ser escritos como quocientes de números inteiros.

Explicitamente, escrevemos:

Em se tratando de números reais, é costumeira a introdução de outros conjuntos além

daqueles já definidos. Assim, se excluirmos o elemento zero, colocamos (como feito acima) um

asterisco R*, Q*, N*,... para indicar tal conjunto. Temos assim que para ni inteiro, por definição:

Dessa forma, definimos por exemplo, no caso dos números reais:

1.5.1 O Conjunto dos Números Reais

Para dois elementos pertencentes ao conjunto dos números reais valem as operações usuais

como as de adição e multiplicação. Podemos introduzir ainda outra operação conhecida como

relação de ordem. Ela será representada pelo símbolo ≤. Se a e b forem dois elementos distin-

tos de R(a ≠ b) a notação a < b significa que para tais números vale a relação de ordem a ≤ b.

Se a,b, c e d ∈ R, a relação de ordem goza das seguintes propriedades:

• para números arbitrários, tem-se que a ≤ b ou a ≥ b;

1.17{ } / , Q x x a b a Z b Z ∗= = ∈ ∈

1.18{ }N > 0 i in n∗ =Figura 1.11 / Fonte CEPA

Figura 1.12 / Fonte CEPA

Figura 1.13 / Fonte CEPA

Figura 1.14 / Fonte CEPA

Figura 1.15 / Fonte CEPA

1.19{ } 0R x R x+ = ∈ ≥

1.20{ } 0R x R x− = ∈ ≤

1.21{ }* 0R x R x+ = ∈ >

1.22{ }* 0R x R x− = ∈ <

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• se as duas condições, a ≤ b e b ≤ a, forem satisfeitas, então b = a;

• se a ≤ b e b ≤ c, então a ≤ c;

• se a ≤ b e c ≤ d, então a + c ≤ b + d.

1.6 IntervalosA partir de dois números reais, designados por a e b, de tal sorte que ambos

sejam números reais tais que a ≤ b, então podemos definir conjuntos especiais a

partir dos mesmos, aos quais designamos intervalos.

Intervalo aberto é aquele definido por

Intervalo aberto à esquerda é o conjunto cujos elementos são dados por:

Intervalo aberto à direita é aquele para o qual seus elementos são dados por

Finalmente, definimos os intervalos fechados como aqueles cujos elementos

incluem os extremos do intervalo. Ou seja,

Os intervalos acima podem ser entendidos como subconjuntos dos números

reais estendidos. Isto é o conjunto de números reais aumentados, ou estendidos,

de tal forma a incluir −∞ e +∞ .

De acordo com essa interpretação, podemos introduzir os seguintes intervalos:

1.23] [ { }, a b x R a x b= ∈ < <Figura 1.16: Intervalo aberto ]a,b[ / Fonte CEPA

1.24] ] { }, a b x R a x b= ∈ < ≤Figura 1.17: Intervalo semi-fechado ]a,b] / Fonte CEPA

1.25[ [ { }, a b x R a x b= ∈ ≤ <Figura 1.18: Intervalo semi-aberto [a,b[ / Fonte CEPA

1.26[ ] { }, a b x R a x b= ∈ ≤ ≤Figura 1.19: Intervalo fechado [a,b] / Fonte CEPA

+∞ mais infinito

−∞ menos infinito1.27] ] ] [ [ [ ] [, , , , , , e ,b b a a−∞ −∞ +∞ +∞

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Em particular, o intervalo ] [,−∞ +∞ denota o conjunto de números reais.

Utilizando essa simbologia, o conjunto R será representado pelo conjunto

aberto, mas sem limite definido, sem pontos extremos do intervalo:

Todo intervalo é dotado da propriedade:

Ou seja, se dois números pertencem a ele, então o mesmo vale para um

número entre eles.

1.6.1 Vizinhança de um Ponto

Dado um ponto x0 no eixo real, ou um elemento do conjunto dos números

reais, definimos a vizinhança completa desse ponto representada por V(x0) a um

intervalo aberto I que o contenha. Ou seja, x0 ε I .

Definimos a vizinhança-ε de x0 sobre o eixo real, denotada por ( )0V xε ,

como sendo o intervalo aberto:

1.6.2 Comprimento de um segmento (distância entre dois pontos numa reta)

Antes de introduzirmos o conceito de distância entre dois pontos pertencen-

tes à reta, ou de comprimento de um segmento de reta, introduzimos o módulo,

ou valor absoluto, de um número real.

Seja x um número real ou, analogamente, a coordenada cartesiana de um

ponto sobre uma reta. Escrevemos, assim, x R∈ . O módulo de um número real,

ou seu valor absoluto, representado por |x|, é definido por:

1.28] [, R−∞ +∞ =

∀ qualquer1.29, ,x y x z y z∀ ∈ Ι ≤ ≤ ⇒ ∈Ι

1.30( ) ] [0 0 0,V x x x= − +ε ε ε

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Da definição (1.31) segue que, se y for outro número real

Dados dois pontos quaisquer, x1 e x2, podemos introduzir um intervalo fecha-

do que os contenha. Tal intervalo corresponde a um segmento de reta. Definimos

o comprimento do segmento, ou distância entre esses dois pontos, como:

1.7 Operações Com ConjuntosDefinimos três operações envolvendo conjuntos. A união (ou soma), a inter-

secção e a diferença de conjuntos.

1.7.1 União ou Soma

A união de dois conjuntos A e B é representada por:

é um novo conjunto cujos elementos são aqueles que pertencem a um dos

dois conjuntos, ou a ambos. Ou seja, os elementos que pertencem a pelo menos

um dos conjuntos. Formalmente, escrevemos “A união B” da seguinte forma:

1.31 se 0

se 0x x

xx x

≥= − <

1.320 , x xy x y x x≥ = ≤

1.33( )1 2 2 1,d x x x x= −

Figura 1.20: União de conjuntos. / Fonte: CEPA

1.34A B∪∪ união

1.35{ } ou A B x x A x B∪ = ∈ ∈

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Exemplo: considere os conjuntos

Pode-se verificar que as seguintes propriedades são válidas:

• A B B A=

• ( ) ( )A B C A B C=

• ( )A A B⊂ ∪

• A B⊂ se, e somente se A B B=

• A A A=

• A A∅ =

1.7.2 Intersecção

A intersecção de dois conjuntos , representada por:

que se lê “A intersecção B”, é um novo conjunto, aqui incluída a possibilidade de

um conjunto vazio, cujos elementos são comuns a ambos os conjuntos.

Formalmente, escrevemos:

No exemplo dado anteriormente:

1.36{ }1,2,4,6,7,9,11A =

1.37{ }0,2,5,6,7,10,12B =

1.38{ }0,1,2,4,5,6,7,9,10,11,12A B∪ =

1.39

1.40

1.41

1.42

1.43

1.44

1.45A B

Figura 1.21: Intersecção de conjuntos. / Fonte: CEPA

∩ intersecção

1.471.46{ } A B x x A e x B= ∈ ∈

1.47{ }2,6,7A B =

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• A B B A=

• ( ) ( )A B C A B C=

• A B A⊃

• A A A=

• A ∅ = ∅

• A B⊂ se, e somente se A B A=

1.7.3 Diferença

Podemos definir o conjunto diferença (C) de dois conjuntos A e B (A – B), como aquele

cujos elementos pertencem ao conjunto A, mas que não pertencem ao conjunto B. Ele é

representado por:

Se B for um subconjunto de A, ou o próprio conjunto( B A⊂ ),

dizemos que o conjunto diferença é o complemento de B em A.

Exemplos

• {1, 2} − {vermelho, preto, branco} = {1, 2}.

• {1, 2, verde} − {vermelho, branco, verde} = {1, 2}. • {1, 2} − {1, 2} = ∅ . • {1, 2, 3, 4} − {1, 3} = {2, 4}.

1.7.4 Produto Cartesiano de Conjuntos

A partir de dois conjuntos A e B podemos criar um novo conjunto mediante uma operação

denominada produto cartesiano dos mesmos. Tal produto será representado por:

Este novo conjunto (o produto cartesiano de A e B) é construído mediante associação

de todo elemento de um conjunto a todo elemento pertencente ao outro. Assim, o produto

1.48

1.49

1.50

1.51

1.52

1.53

1.54C A B= −

Figura 1.22: A diferença entre os conjuntos A e B represen-tado por A – B é o conjunto dos elementos que estão em A mas não estão em B. / Fonte: CEPA

1.55

1.56

1.57

1.58

1.59A B×

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cartesiano A × B de dois conjuntos é formado por elementos que são pares ordenados (a, b) tais que a é um elemento de A e b é um elemento de B.

Temos, assim, que:

Exemplos:

• {1, 2} × {vermelho, branco} = {(1, vermelho), (1, branco), (2, vermelho), (2, branco)}.

• {1, 2} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.

Algumas propriedades dos produtos cartesianos são:

O produto cartesiano

é um conjunto que pode ser colocado em correspondência biunívoca com os pontos do plano.

O produto cartesiano

é um conjunto que pode ser colocado em correspondência biuní-

voca com os pontos do espaço.

( ){ }, e A B x y x A y B× = ∈ ∈ 1.60

1.61

1.62

A×∅ = ∅ 1.63

( ) ( ) ( )A B C A B A C× ∪ = × × 1.64

( ) ( ) ( )A B C A C B C× = × × 1.65

R R× 1.66

Figura 1.23: Plano cartesiano. / Fonte: CEPA

R R R× × 1.67