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INTRODUCAO ATEORIA DOS NUMEROS

Vıtor Neves

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Departamento de Matematica

Universidade de Aveiro

2001

IntroducaoO presente texto resulta da evolucao de um conjunto de notas de apoio a disci-

plina Introducao a Teoria dos Numeros do segundo semestre do terceiro ano dalicenciatura em Ensino de Matematicada Universidade de Aveiro.

Parafraseando um mestre, nao pretendemos ”escrever para autodidatas, mas simpara alunos com professor”, pelo que deixamos para o leitor demonstrar – por vezesexplicitamente como exercıcio – o que e manifestamente rotineiro (nao necessariamentetrivial...) ou nos parece estar fora do ambito de um primeiro curso sobre Teoria dosNumeros.

Nao sendo especialistas, limitamo-nos a aspectos classicos e elementares da Teoria,de caracter mais formativo e menos tecnico: a orientacao foi de facto muito forte nosentido de preparar docentes para o ensino secundario.

O capıtulo sobre extensoes do corpo dos numeros reais (Cap. 8) pretende recuperar oestudo das construcoes do corpo real e suas extensoes mais importantes, que deixou de sefazer sistematicamente nas licenciaturas, mas continua a ser importante se se pretendeaprofundar o conceito de Numero. As extensoes nao arquimedianas sao afloradas demodo a alertar para a sua existencia e onde podem ser estudadas.

A finalidade principal do texto – apoiar uma disciplina semestral – obrigou a es-colhas nao muito agradaveis: por questoes de tempo nao se tem mostrado razoaveltratar cuidadosamente a equacao de Pell, aspectos de Teoria Analıtica, aproximacaopor fraccoes contınuas, raızes primitivas, criterios de primalidade ou Teoria Combi-natoria. Tais assuntos poderiam ser abordados se a filosofia subjacente a este textose modificasse; mesmo assim, nem toda a materia aqui descrita tem sido trabalhadadurante o semestre nas aulas teoricas ou teorico-praticas.

Utilizamos um mınimo de Algebra, de modo a construir um texto tao independentequanto possıvel.

Os saltos na numeracao das paginas sao um expediente de organizacao tipograficaincompleta: podem incluir-se sempre mais paginas alterando muito pouco as referenciasde edicao para edicao.

Agradecemos aos Mestres Paulo Almeida e Rui Duarte e a Doutora Ana Foulquiea leitura cuidada das varias versoes preliminares destas notas bem como as sugestoesque apresentaram.

NOTACAO

Salvo referencia em contrario, variaveis representadas por letrasminusculas designam numeros inteiros.

AveiroMaio de 2001Vıtor Neves

Indice

I Introducao a Teoria dos Numeros 1

1 Teorema Fundamental da Aritmetica 31.1 Numeros Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Axiomatica de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Soma, ordem e produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Aritmetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1 O maximo divisor comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 Teorema Fundamental da Aritmetica . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Congruencias 2012.1 Propriedades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2012.2 Inversao I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2032.3 Congruencias lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

2.3.1 Inversao II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2052.4 A funcao φ de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

2.4.1 Sistemas reduzidos de resıduos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2062.4.2 Teoremas de Euler, de Fermat e de Wilson . . . . . . . . . . . . 207

2.5 Congruencias polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2102.5.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2102.5.2 Modulo primo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2112.5.3 Modulo potencia de base prima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2132.5.4 Teorema Chines do Resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

2.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

3 Resıduos quadraticos 3013.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3013.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3023.3 Lei de Reciprocidade Quadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3033.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

4 Equacoes Diofantinas 401

i

Indice ITN (2001)

4.1 Ternos Pitagoricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4014.2 Somas de duas quartas potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4064.3 Somas de dois quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4084.4 Somas de quatro quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4124.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

5 Funcoes aritmeticas 5015.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5015.2 Produto de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5045.3 Funcoes multiplicativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5045.4 Formula de Inversao de Mobius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5065.5 A funcao de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5075.6 Numeros perfeitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5095.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510

II Numeros reais 601

6 Fundamentacao 6036.1 Corpos ordenados e numeros racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6036.2 Uma visao construtiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6086.3 Extensoes proprias do corpo dos numeros racionais . . . . . . . . . . . . 6106.4 Corpos ordenados completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6126.5 Existencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6156.6 Numeros transcendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6186.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619

7 Dızimas e Fraccoes contınuas 7017.1 Dızimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7017.2 Fraccoes contınuas simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7057.3 Fraccoes periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7137.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715

8 Extensoes 8018.1 Os numeros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8018.2 Quaternioes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8038.3 Extensoes ordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805

8.3.1 (In)Completude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8058.3.2 Parte standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806

8.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807

ii VN

Int. a Teoria dos Numeros Indıce

III Aplicacoes 901

9 Criptografia 9039.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9039.2 Sistemas afins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9039.3 Codificacao Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9049.4 Criptografia de chave publica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9059.5 Assinaturas; ISBN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9079.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908

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Indice ITN (2001)

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Parte I

Introducao a Teoria dos Numeros

1

Capıtulo 1

Teorema Fundamental daAritmetica

1.1 Numeros Naturais

Se bem que se suponham conhecidas as propriedades algebricas elementares dos con-juntos de numeros naturais, inteiros, racionais, reais e complexos, vamos enunciar pro-priedades basicas dos numeros naturais que serao demonstradas e utilizadas mais tardenuma construcao de outros conjuntos de numeros.

1.1.1 Axiomatica de Peano

Uma estrutura de numeros naturais e um terno N =≺ N, S,1 � satisfazendo asseguintes condicoes:

N1) N e um conjunto nao vazio

N2) S e uma funcao injectiva de N em N.

N3) Existe um elemento de N, designado por 1, que nao e imagem por S, isto e,S : N→ N\{1}.

N4) Princıpio de Inducao.

Se 1 ∈ A ⊆ N e S(n) ∈ A sempre que n ∈ A, entao A = N.

Um elemento S(n) designa-se por sucessor de n, a condicao N3 estabelece que 1nao e sucessor e, de acordo com a condicao N2, dois elementos de N sao iguais sse temo mesmo sucessor.

3

Teorema Fundamental ITN (2001)

Explorando as propriedades das estruturas de numeros naturais:

Teorema 1.1.1 Qualquer elemento de N\{1} e sucessor.

Por outras palavras: 1 e o unico elemento de N que nao e sucessor.

Dem. Defina-se A = {1} ∪ S(N) = {1} ∪ {S(n) : n ∈ N}. Por definicao de A, naoso 1 ∈ A mas tambem S(n) ∈ A seja qual for n ∈ N, em particular o mesmo acontecese n ∈ A. Pelo Princıpio de Inducao, A = N, ou seja, o contradomınio S(N) de S eN\{1}, em virtude de N3. 2

Pode tambem demonstrar-se que

Teorema 1.1.2 Todas as estruturas de numeros naturais sao isomorfas

Dem. As condicoes I(11) = 12

I(S1(x)) = S2(I(x)) se x ∈ N1

definem uma funcao1 I : N1 → N2. O Princıpio de Inducao, o teorema 1.1.1 e ofacto de as funcoes sucessor serem injectivas garantem que I e um isomorfismo entre asestruturas. 2

Em face deste teorema, passaremos a designar os elementos de N por numerosnaturais. No entanto, ainda antes de nos fixarmos nos numeros naturais intuitivos,verificaremos que a axiomatica N1, N2, N3 e suficiente para definir a Aritmetica eordenar adequadamente a estrutura.

1.1.2 Soma, ordem e produto

Seja N =≺ N, S,1 � uma estrutura de numeros naturais.

Definicao 1.1.1 A soma de dois numeros naturais m e n designa-se por m + n edefine-se recursivamente do seguinte modo2:{

m+ 1 = S(m) (m ∈ N)m+ S(n) = S(m+ n) (m,n ∈ N)

(1.1)

1Veja-se o Teorema de Recursao em [8, pp 39 e seg.]2Idem nota 1

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Int. a Teoria dos Numeros (2001) Teorema Fundamental

Tem-se entao

Teorema 1.1.3 Para quaisquer m,n ∈ N a soma m + n esta definida e≺ N,+ � e um semigrupo comutativo que verifica a Lei do Corte, isto e, a con-dicao seguinte

∀m,n, p ∈ N m+ p = n+ p⇒ m = n. (1.2)

Dem. Esquematizamos apenas uma demonstracao da Lei do Corte. Defina-se paracada m,n ∈ N

Amn = {p ∈ N : m+ p = n+ p⇒ m = n}

Tem-se 1 ∈ Amn pela definicao de soma e pelo axioma N2. Se p ∈ Amn tem-se

m+ S(p) = n+ S(p) sse S(m+ p) = S(n+ p) sse m+ p = n+ p sse m = n

respectivamente por (1.1), por S ser injectiva (N2) e porque p ∈ Amn. Mas entao1 ∈ Amn & p ∈ Amn ⇒ S(p) ∈ Amn (p ∈ N)

Pelo Princıpio de Inducao Amn = N. 2

Ha uma forma frequentemente mais conveniente de enunciar oPrincıpio de Inducao, a saber:

Teorema 1.1.4 Se A ⊆ N, 1 ∈ A e n+ 1 ∈ A sempre que n ∈ A, entao A = N.

A ordenacao de N pode fazer-se a custa da soma.O numero natural m diz-se menor que o numero natural n — escrevendo-se m < n

— se existir p ∈ N tal que n = m+ p.

Teorema 1.1.5 1. 1 < n, seja qual for n ∈ N\{1}.

2. N nao tem maximo.

3. A relacao < e de ordem total estrita em N, ou seja, e transitiva e para quaisquerm,n ∈ N, da-se uma e so uma das seguintes condicoes

m = n ou m < n ou n < m.

4. Todo o subconjunto nao vazio de N tem mınimo para <.

Em virtude das partes 3 e 4 deste teorema diz-se que N e bem ordenado por <.A relacao de ordem permite um novo enunciado do Princıpio de Inducao.

Teorema 1.1.6 Princıpio de Inducao Completa Se A e um subconjunto de N talque, seja qual for n ∈ N, n ∈ A sempre que {k ∈ N : k < n} ⊆ A, entao A = N.

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Este enunciado e de facto equivalente ao axioma N4 e ao teorema 1.1.4 em estru-turas de numeros naturais, mas nao em conjuntos bem ordenados quaisquer.

E passamos a definicao do produto.

Definicao 1.1.2 O produto dos numeros naturais m e n, nota-se m · n e define-serecursivamente3 por {

m · 1 = m (m ∈ N)m · (n+ 1) = m · n+m (m,n ∈ N)

(1.3)

Como habitualmente, a notacao simplifica-se pondom · n = mn (m,n ∈ N).

Nestes termos vem

Teorema 1.1.7 Para quaisquer m,n ∈ N o produto mn esta bem definido e≺ N, · � e um semigrupo comutativo com elemento neutro 1 que verifica a Lei doCorte, isto e, a condicao seguinte

∀m,n, p ∈ N mp = np⇒ m = n. (1.4)

Retomando o teorema 1.1.2, pode acrescentar-se que

Teorema 1.1.8 A aplicacao I do teorema 1.1.2 respeita a soma, o produto e a ordem,isto e, se +i, ·i, <i designam respectivamente a soma, o produto e a ordem sobre Ni (i =1, 2), entao, para quaiquer m,n ∈ N1,

1. I(m+1 n) = I(m) +2 I(n)

2. I(m ·1 n) = I(m) ·2 I(n)

3. I(m) <2 I(n) sse m <1 n

Este teorema da-nos mais uma razao para nos limitarmos a estudar como estruturade numeros naturais o terno ≺ N, S, 1 �, onde N designa o conjunto dos numerosnaturais intuitivos 1,2,3,... com a respectiva soma +, ordem < e produto × usuais,sendo S(n) = n+ 1.

Os teoremas de extensao de semigrupos (ordenados) que verificam a lei do corte porgrupos (ordenados) e de domınios de integridade (ordenados) por corpos (ordenados)permitem varias construcoes de aneis de Numeros Inteiros e de corpos de NumerosRacionais a partir das estruturas de Numeros Naturais. Algumas destas construcoes,bem como o estudo do corpo dos Numeros Reais e suas extensoes, serao tratadas maistarde (parte II).

Terminamos esta seccao com uma das propriedades mais importantes de N. Recorde-se que ≤ designa a relacao de ordem lata associada a <, i.e., a ≤ b se e so se a < b oua = b.

3Idem nota 1

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Teorema 1.1.9 Propriedade Arquimediana Para quaisquer a, b ∈ N, existe x ∈ Ntal que a < xb.

Dem. Tome-se a ∈ N. Seja

A = {b ∈ N| a ≤ b ou [b < a & ∃x ∈ N a < xb]}.

Em primeiro lugar 1 ∈ A pois, ou a = 1 ou 1 < a, mas pelo teorema 1.1.5, existex ∈ N tal que a < x = x1.

Suponha-se agora que b ∈ A: se a ≤ b tambem a ≤ b + 1 e b + 1 ∈ A. Se b < a,ou b+ 1 = a e, de novo b+ 1 ∈ A, ou b+ 1 < a; em qualquer caso, por hipotese, paracerto x ∈ N tem-se a < xb < xb+ x = x(b+ 1) e consequentemente, b+ 1 ∈ A.

Pelo Princıpio de Inducao A = N. 2

1.2 Aritmetica

1.2.1 O maximo divisor comum

Teorema 1.2.1 (Algoritmo de Euclides) Para quaisquer a e b, se a > 0 existemnumeros inteiros unicos d e r tais que

b = da + r & 0 ≤ r < a (1.5)

Dem.UnicidadeFixe-se a > 0. Suponha-se que da+ r = d′a+ r′ & 0 ≤ r, r′ < a. Tem-se

(d− d′)a = r′ − r & |r′ − r| < a

Se d 6= d′ entao 1 ≤ |d− d′| e vem

a ≤ |d− d′|a = |r′ − r| < a

o que e impossıvel. Portanto d = d′ e tambem r = r′.ExistenciaSe 0 ≤ b < a tem-se b = 0a + b e pode fazer-se d = 0 & r = b. Se a < b, pelo

teorema 1.1.9, existe x ∈ N tal que b < xa. Tome-se

d = min{x ∈ N| b < xa} − 1 & r = b− da

Se b < 0, pelo que acabamos de ver, existem d1 ∈ N e r1 ∈ N, sendo 0 ≤ r1 < a,tais que −b = d1a+ r1; tome-se d = −d1 − 1 e r = a− r1. 2

Um corolario de facil demonstracao:

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Corolario 1.2.1 Para quaisquer numeros inteiros a, b, se a 6= 0 existem d, r ∈ Z unicostais que

b = da + r & 0 ≤ r < |a|

Dem. Aplique-se o teorema anterior 1.2.1 a |b| e |a| e ajuste-se adequadamente. 2

Os numeros d e r das proposicoes anteriores designam-se respectivamente por co-ciente e resto da divisao de b por a.

Definicao 1.2.1 Dado a 6= 0, b e divisıvel por a (ou a divide b ou a e divisor de bou b e multiplo de a) se o resto da divisao de b por a e zero. Nota-se a | b se a divideb.

Repare-se que zero e divisıvel por qualquer numero inteiro, no sentido em que paraqualquer a ∈ Z, existe d ∈ Z tal que 0 = da, nomeadamente d = 0; nao se define ocociente de zero por zero

Proposicao 1.2.1 A relacao ·|· em Z e reflexiva e transitiva, mas nao e anti-simetricapois

a | b & b | a ⇔ |a| = |b| (1.6)

Dem. Demonstramos apenas a equivalencia 1.6, no caso em que a 6= 0 6= b.Suponha-se que b = ad & a = bd′. Tem-se a = add′ donde dd′ = 1. Segue-se que

d = d′ = 1, caso em que a = b, ou d = d′ = −1, caso em que a = −b. 2

Mais algumas propriedades importantes, cuja demonstracao fica ao cuidado doleitor.

Teorema 1.2.2 Para quaisquer a, b, c ∈ Z,

1. [a | b & a | c] ⇒ ∀x, y a | (bx+ cy);

2. em particular a | b ⇒ ∀x a | bx.

3. [0 < a & 0 < b & a | b] ⇒ a ≤ b.

A alınea 1. do teorema anterior e de facto equivalente a qualquer das alıneas docorolario seguinte.

Corolario 1.2.2 Para quaisquer a, b, c, x, y ∈ Z

1. [a | b & a 6 |(bx+ cy)] ⇒ a 6 |c.

2. [a | b & a | (bx+ c)] ⇒ a | c.

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Definicao 1.2.2 O numero inteiro d e maximo divisor comum de a e b e designa-sepor mdc(a, b), se satisfaz simultaneamente as seguintes condicoes:

1. d > 0

2. d | a & d | b

3. ∀c [[c | a & c | b] ⇒ c | d]

Se mdc(a, b) = 1 diz-se que a e b sao primos entre si.

Teorema 1.2.3 Se a 6= 0 ou b 6= 0, entao

mdc(a, b) = min{z = ax+ by| x, y ∈ Z & z > 0}, (1.7)

pelo que o maximo divisor comum de dois numeros inteiros nao simultaneamente nulosexiste e e unico.

O que, em particular, tem como consequencia

Corolario 1.2.3 Se d = mdc(a, b), entao existem x, y ∈ Z tais que d = ax+ by.

Dem. (Teorema 1.2.3) Seja

S = {z = ax+ by| x, y ∈ Z & z > 0}

Como a 6= 0 ou b 6= 0, S 6= ∅ pois 0 < a2 + b2 = aa+ bb; assim S tem mınimo (teorema1.1.5), digamos d = min S = ax0 + by0 > 0, para certos x0, y0; d verifica entao acondicao 1 da definicao.

Vamos ver que d | a. Ponha-se a = qd + r, de acordo com o teorema 1.2.1, sendo0 ≤ r < d; repare-se que,

r = a− qd = a(1− qx0) + b(−qy0) ∈ S,

portanto, se r > 0, r teria de ser maior ou igual ao mınimo de S, o que nao e o caso. Atroca de a por b neste racicınio, permitiria concluir que d | b e a condicao 2 da definicaotambem esta verificada.

Por outro lado, se c | a & c | b, como d = ax0 + by0, pelo teorema 1.2.2, c | d,verificando-se a condicao 3.

Quanto a unicidade: utilize-se o que acabamos de ver e a condicao 1.6 para concluirque se d′ verifica as mesmas condicoes que d, entao d = d′. 2

Algumas propriedades do maximo divisor comum.

Teorema 1.2.4 Para quaisquer a, b ∈ Z

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1. mdc(a, b) = 1 ⇔ ∃x, y ax+ by = 1

2. mdc( amdc(a,b) ,

bmdc(a,b)) = 1

3. [a | bc & mdc(a, b) = 1] ⇒ a | c

4. a | bc ⇒ amdc(a,b) | c

5. mdc(na, nb) = n ·mdc(a, b) se n > 0.

Dem. Alınea 1.(⇒) e um caso particular do corolario 1.2.3.(⇐) Como 1 e o menor inteiro positivo, se 1 = ax + by, necessariamente 1 =

min{z = ax+ by| x, y ∈ Z & z > 0} e consequentemente, 1 = mdc(a, b), pelo teorema1.2.3.

Alınea 2. Observe-se que d = ax+by, para certos x, y e divida-se por d em, ambosos membros.

Alınea 3. Como mdc(a, b) = 1, para certos x, y, 1 = ax+ by de onde se segue quec = acx+ bcy. Como a | bc, para certo q vem c = acx+ aqy = a(cx+ qy) e a | c.

Alınea 4. Esquematicamente:

a | bc ⇒ bc = qa ⇒ cd = cax+ cby = cax+ qay = a(cx+ qy);

ou ainda c = ad(cx+ qy) e a

d | c.Alınea 5. Observe-se que se n > 0 entao min{nz| z ∈ A} = n ·minA. 2

1.2.2 Teorema Fundamental da Aritmetica

Definicao 1.2.3 Um numero inteiro p diz-se primo se verificar simultaneamente asduas condicoes

1. p > 1

2. ∀a ∈ Z [a | p ⇒ [|a| = p ou |a| = 1]] .

Um numero que nao seja primo nem 1 diz-se composto.

A propriedade mais importante dos numeros primos e talvez a seguinte:

Lema 1.2.1 (de Euclides) Se p e numero primo e p | ab, entao p | a ou p | b.

Dem. Se p | ab, entao, pelo teorema 1.2.4, pmdc(p,a) | b; ora se p 6 |a, como p e primo

mdc(p, a) = 1, consequentemente p | b. 2

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Lema 1.2.2 Se n > 1 e p = min{x > 1| x | n}, entao p e primo. Em particular,qualquer numero natural maior que 1 tem divisores primos.

Dem. Ou bem que n e primo e, nesse caso p = n, ou bem que nao; neste caso n temdivisores maiores que 1 e distintos de si proprio, o mınimo dos quais e p; ora p naopode ter divisores distintos de si proprio e de 1, pois qualquer deles seria um divisor den, maior que 1 e menor que p, que nao existe por definicao de p; logo p e primo. 2

E passamos a demonstrar o

Teorema 1.2.5 (Fundamental da Aritmetica)Se n > 1, existem numeros primos distintos dois a dois p1, · · · , pk e numeros nat-

urais α1, · · · , αk de modo que

n =k∏

i=1

pαii . (1.8)

Esta representacao de n e unica a menos de uma permutacao dos factores.

Dem. Tome-se um numero natural n.I. Existem numeros primos p1, · · · , pm tais que n =

∏mi=1 pi.

Dem. Seja n > 1. Do lema anterior concluimos que n tem divisores primos.Defina-se uma sequencia de numeros primos da seguinte forma

p1 = min{x > 1| x | n} (1.9)

pi+1 = min{x > 1| x

∣∣∣∣∣ n∏ij=1 pj

} se existir (1.10)

Repare-se que pi+1 so nao existe se n∏ij=1 pj

= 1, isto e, se n =∏i

j=1 pj , como se

pretende verificar que acontece.Por outro lado,

∏mj=1 pj | n desde que existam os pj definidos como acima (proposicao

1.2.1) e, de facto,∏m

j=1 pj ≤ n.Observe-se ainda que, sendo os numeros primos maiores ou iguais a 2, vem

2m ≤m∏

j=1

pj ≤ n.

Como 2m > n, para m suficientemente grande, concluimos que os numeros primospi sao em numero finito, em particular, para certo i, pi existe, mas pi+1 nao. Comoobservamos acima, n =

∏ij=1 pj .

Nao e difıcil mostrar que pj ≤ pj+1 (1 ≤ j < i), pelo que associando da esquerdapara a direita primos iguais, se obtem

n =k∏

i=1

pαii

VN 11


com bases pi em ordem crescente.Resta ver que todos os divisores primos de n foram encontrados. Suponha-se que p

e primo e p | n. Pelo lema 1.2.1, p tera de dividir um dos pi, sendo portanto um deles.2

Ha muitos numeros primos.

Corolario 1.2.4 (de Euclides) O conjunto dos numeros primos e infinito.

Dem. Vamos ver que, seja qual for o conjunto de numeros primos {p1, · · · , pk} existeum numero primo que lhe nao pertence.

Dados primos p1, · · · , pk, seja n = p1 · · · pk + 1. De acordo com o Teorema Funda-mental, n tera pelo menos um divisor primo. Ora como nenhum dos pi divide n, poispi | p1 · · · pk mas pi 6 |1, esse primo nao pode ser um deles. 2

Os numeros primos estao esparsamente distribuidos

Corolario 1.2.5 Os intervalos entre numeros primos consecutivos sao arbitrariamentegrandes.

Dem. Para qualquer n ∈ N, a sequencia

(n+ 1)! + 2, (n+ 1)! + 3, · · · , (n+ 1)! + (n+ 1)

nao contem numeros primos, pois k | (n+ 1)! + k se 2 ≤ k ≤ n+ 1. 2

Onde parar na deteccao dos divisores primos de um dado inteiro?

Teorema 1.2.6 Todo o numero composto n > 0 tem um divisor primo menor ou iguala√n.

Dem. Se n e composto tem pelo menos dois divisores primos, possivelmente iguais,caso contrario seria primo pelo Teorema Fundamental; se p1, p2 sao primos que dividemn, algum nao e maior que

√n, pois p1, p2 >

√n ⇒ n ≥ p1p2 > (

√n)2 = n, o que e

impossıvel. 2

Um resultado semelhante e o corolario seguinte do lema de Euclides (1.2.1) e doteorema 1.2.2

Teorema 1.2.7 (de Gauss) O produto de dois numeros naturais menores que umnumero primo nao e divisıvel por este ultimo.

12 VN


Quanto a distribuicao dos numeros primos, o seguinte teorema e um dos mais im-portantes de Dirichlet; a sua demonstracao e muito difıcil e esta fora do ambito dopresente texto; o leitor interessado pode encontrar uma demonstracao por exemplo em[3], onde todo o capıtulo 7 lhe e dedicado.

Teorema 1.2.8 (de Dirichlet) Se a e b sao numeros naturais primos entre si, aprogressao aritmetica (na+ b)n∈N tem uma infinidade de termos que sao numeros pri-mos.

Tendo-se observado que um numero primo ımpar e de uma das formas 4k + 1 ou4k − 1 (k ∈ Z), uma ligeira adaptacao da demonstracao do corolario 1.2.4 permite noentanto demonstrar facilmente o seguinte:

Teorema 1.2.9 Existe uma infinidade de numeros primos da forma 4k − 1(k ∈ Z).

Dem. Consideremos um conjunto finito de numeros primos distintos da forma 4k− 1,digamos C := {p1, · · · , pn} e defina-se

N = 22p1 · · · pn − 1.

Em primeiro lugar observe-se que N e da forma 4k − 1 e maior que qualquer doselementos de C, portanto se for primo nao esta em C, i.e., C nao contem todos osnumeros primos da forma em estudo; se N for composto e p for um seu divisor primo,entao p tambem nao pode ser qualquer dos elementos de C; deixa-se como exercıciomostrar que algum divisor primo de N e da forma 4k−1 e, como acabamos de ver, naoesta em C.

Em suma: C nao contem todos os numeros primos da forma 4k − 1. 2

Nao e tao simples demonstrar que o teorema anterior vale com 4k + 1 em vez de4k − 1; fa-lo-emos mais tarde (vide corolario 2.4.3).

1.3 Exercıcios

1. Demonstre que a adicao e a multiplicacao em N sao associativas, sao comutativase verificam a Lei do Corte.

2. Mostre que se f : N → N e estritamente crescente, entao para qualquer n ∈ N,n ≤ f(n).

3. Demonstre o seguinte teorema.

Princıpio de Inducao Completa: Se A e um subconjunto de N talque, seja qual for o n ∈ N, n ∈ A sempre que {k ∈ N : k < n} ⊆ A,entao A = N.

VN 13


4. Suponha dadas duas funcoes g : N → N e h : N3 → N. Admita que existe umafuncAo f que verifica as formulas de recorrencia presentes nas alıneas seguintese prove a sua unicidade.

(a) (Recorrencia) Defina f : N2 → N tal que{f(1, n) = g(n) (n ∈ N)f(m+ 1, n) = h(m,n, f(m,n)) (m,n ∈ N)

(b) (Recorrencia elementar)Suponha dados a ∈ N e h : N2 → N defina umafuncao f : N → N por{

f(1) = af(n+ 1) = h(n, f(n)) (n ∈ N)

5. Mostre que, para qualquer n ∈ N,

(a)n∑

i=1

i =n(n+ 1)

2;

(b)n∑

i=1

i2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6;

(c)n∑

i=1

i3 =

(n∑

i=1

i

)2

.

6. Encontre uma formula de recorrencia para∑n

i=1 ip (n, p ∈ N).

7. Mostre que, para quaisquer a, b ∈ Z e n ∈ N,

(a) an − bn = (a− b)n−1∑i=0

aibn−1−i;

(b) an + bn = (a+ b)n−1∑i=0

(−1)ian−1−ibi, se n e ımpar;

(c) (a+ b)n =n∑

i=0

(n

i

)aibn−i;

sendo o coeficiente binomial(ni

)definido por

(n

i

)=

n!i!(n− i)!

(n ∈ N e 0 ≤ i ≤ n).

14 VN


8. O coeficiente multinomial e o numero(

ni1i2···ik

)definido por(

n

i1i2 · · · ik

)=

n!i1!i2! · · · ik!

,

com i1 + i2 + · · ·+ ik = n (k, n ∈ N, i1, . . . , ik ∈ Z+0 ).

(a) Mostre que os coeficientes multinomiais sao numeros inteiros.

(b) Mostre que, para quaisquer n, k ∈ N e a1, . . . , ak ∈ Z,(k∑

i=1

ai

)n

=∑

i1+i2+···+ik=n

(n

i1i2 · · · ik

)ai1

1 ai22 · · · a

ikk .

9. Mostre que d | a se e so se d | |a|.

10. Mostre que se a | c, b | c e a e b sao primos entre si, entao ab | c.

11. Sejam a, b, c e d inteiros tais que b 6= 0, d 6= 0, mdc(a, b) = 1 = mdc(c, d) ea

b+c

dtambem e inteiro. Mostre que |b| = |d|.

12. Um mınimo multiplo comum de dois numeros inteiros positivos a e b e um numerointeiro mmc(a, b) que verifique as seguintes condicoes:

• mmc(a, b) > 0;

• a | mmc(a, b) e b | mmc(a, b);• para todo k ∈ Z, se a | k e b | k, entao mmc(a, b) | k.

(a) Mostre que mmc(a, b) existe e e unico. De facto

ab = mdc(a, b)mmc(a, b)

(b) Mostre que · | · e uma relacao de ordem parcial em N para a qual

mdc(a, b) = inf{a, b} & mmc(a, b) = sup{a, b}

13. (a) Mostre que os factores de base prima da representacao demdc(a, b) (TeoremaFundamental) sao os factores de base prima comum a a e a b tomados como menor expoente.

(b) Mostre que os factores de base prima da representacao de mmc(a, b) (Teo-rema Fundamental) sao todos os factores de base prima de a ou de b, sendoos factores de base comum tomados com o maior expoente.

14. Algoritmo de Euclides. Dados a, b ∈ Z com b ≥ a > 0, mostre que o algoritmodefinido pelas relacoes de recorrencia seguintes termina com r = mdc(a, b).

VN 15


• a = r0;

• b = q1r0 + r1, 0 ≤ r1 < a;

• se ri > 0 (i ≥ 1), entao ri−1 = qi+1ri + ri+1, 0 ≤ ri+1 < ri;

• se ri = 0, entao r = ri−1 e o algoritmo termina.

15. Comprimento do algoritmo de Euclides. Considere o algoritmo descrito noexercıcio anterior e seja rn = mdc(a, b). Mostre que:

(a) b ≥ 2r1 e a ≥ 2r2;

(b) ri ≥ 2ri+2 (i ≥ 1);

(c) b ≥ 2n/2.

Qual e o numero maximo de passos se b ≤ 10p?

16. Determine mdc(a, b) e escreva-o como combinacao linear de a e b para os seguintespares:

(a) (21, 77), (12, 128), (54, 640), (28, 640); nesta alınea verifique a sua respostautilizando a definicao de maximo divisor comum.

(b) (22587, 534), (9800, 180), (1587645, 6755).

17. Determine o mınimo multiplo comum de cada um dos pares de numeros consid-erados no exercıcio anterior.

18. Sejam a, b e c numeros inteiros nao simultaneamente nulos.

(a) Mostre que equacao diofantina em x e y, ax+ by = c tem solucao se e so semdc(a, b) | c.

(b) Mostre que se (x0, y0) e uma solucao da equacao da alınea anterior e d =mdc(a, b), entao todas as solucoes sao da forma

x = x0 +b

dk & y = y0 −

a

dk (k ∈ Z).

19. Determine as solucoes inteiras das equacoes Diofantinas seguintes:

(a) 5x+ 7y = 14;

(b) 4x+ 6y = 24;

(c) 17x+ 34y = 25;

(d) 56x+ 634y = 168;

(e) 1521x+ 1955y + 455z = 221;

(f) 2x+ 3y + 5z = 7.

16 VN


20. Determine duas fraccoes cujos denominadores sejam 12 e 16 e cuja soma seja1048

.

21. Numa papelaria vendem-se dois tipos de canetas por 110 e 70 escudos respectiva-mente. Ao fim de um dia a importancia total recebida pela venda dessas canetasfoi 6570 escudos. Qual e o menor numero possıvel de canetas vendidas? E qual omaior?

22. Determine todas as solucoes inteiras dos sistemas de equacoes seguintes.

(a){

2x+ 3y − 4z = 96x+ 9y + 3z = 12

(b){

3x− 2y + 6z = −314x+ 28y − 21z = 35

(c){

4x+ 5y + 6z = 117x+ 14y + 21z = 35

(d){

9x+ 3y + 15z = −35x− 6y + z = −2

(e){

3x+ 2y − 5z = 106x+ 12y + 4z = 14

23. Numeros de Fermat. Um numero da forma Fk = 22k+ 1 para algum k ∈ N0

diz-se um numero de Fermat. F0, F1, F2, F3, F4 sao primos. Euler mostrou em1732 que F5 nao e primo. (F5 = 4294967297 = 641× 6700417.)

(a) Mostre que se 2n + 1 e primo, entao n e potencia de 2.(Sugestao: comece por estudar o caso em que n e ımpar).

(b) Mostre que numeros de Fermat distintos sao primos entre si.(c) Deduza da alınea anterior que ha uma infinidade de primos.

24. Numeros de Mersenne. Um numero da forma Mp = 2p − 1, com p primo,diz-se um numero de Mersenne.

Mostre que se n > 1, a > 1 e an − 1 e primo, entao a = 2 e n e primo.

25. Suponha que p e um numero primo.

(a) Mostre que p e o maximo divisor comum dos coeficientes binomiais(pi

), onde

1 ≤ i ≤ p− 1.(b) Mostre que para quaisquer a, b ∈ Z, ap − bp e p sao primos entre si ou

p2 | (ap − bp).

26. Mostre todos os numeros inteiros exceptuando as potencias de 2 sao somas deinteiros consecutivos.

27. Mostre que so a primeira soma parcial da serie harmonica e inteira.

VN 17


18 VN

Capıtulo 2

Congruencias

2.1 Propriedades basicas

Definicao 2.1.1 Seja n um numero natural maior que 1. Dois numeros inteiros x, ey dizem-se congruentes modulo n se n | (x − y). Se x e congruente com y modulon, nota-se

x ≡ y (mod n)

Repare-se que a definicao tambem tem sentido com n = 1, neste caso todos osnumeros inteiros sao congruentes entre si e por isso eliminamo-lo de inıcio.

Outra formulacao

Teorema 2.1.1 Dois numeros inteiros x, y sao congruentes (mod n) se e apenas sea divisao de cada um deles por n tem o mesmo resto.

Dem. Pondo x = dn+ r e y = qn+ s com 0 ≤ r, s < n, se n | (x− y) entao n | (r− s);como |r − s| < n tera de ser r − s = 0. A recıproca verifica-se imediatamente. 2

Demonstra-se sem dificuldade que

Corolario 2.1.1 A relacao de congruencia · ≡ · e de equivalencia em Z e compatıvelcom a soma e o produto, ou seja se a ≡ b (mod n) e c ≡ d (mod n), entao a + c ≡b+ d (mod n)e ac ≡ bd (mod n).

201

Congruencias ITN(2001)

E daqui se deduz que, mais geralmente,

Corolario 2.1.2 Se ai ≡ bi (mod n) (1 ≤ i ≤ k), entao

1.∑k

i=1 ai ≡∑k

i=1 bi (mod n)

2.∏k

i=1 ai ≡∏k

i=1 bi (mod n)

3. Se f e um polinomio de coeficientes em Z (f ∈ Z[x]) e a ≡ b (mod n), entaof(a) ≡ f(b) (mod n)

Note-se que, n | m se e apenas se m ≡ 0 (mod n).

Exemplo 2.1.1 Dados dıgitos a0, · · · , ap ∈ {0, 1, · · · , 9}, sejaap · · · a0 = ap10p + · · ·+ a110 + a0;

entao

ap · · · a0 ≡p∑

i=0

ai (mod 3).

pois, por um lado 10 ≡ 1 (mod 3), por outro, se f(x) = apxp + · · ·+ a1x+ a0 entao

ap · · · a0 = f(10) ≡ f(1) =p∑

i=0

ai (mod 3).

Por outras palavras: um numero inteiro representado na base 10 e divisıvel por 3 se eapenas se a soma dos seus algarismos o for.

Por exemplo 3 6 |7523426, pois 7+5+2+3+4+2+6 = 29 ≡ 2+9 = 11 ≡ 2 (mod 3)e 2 6≡ 0 (mod 3).

Observando um pouco melhor7 + 5 + 2 + 3 + 4 + 2 + 6 = (7 + 5) + 2 + (4 + 2) + 6 ≡ 2 (mod 3)

Teorema 2.1.2 Qualquer numero inteiro e congruente (mod n) com um e so um doselementos de {0, 1, · · · , n− 1}.

Dem. Dados n ∈ N & x ∈ Z, pelo teorema 1.2.1, existem q e r unicos tais que

x = qn+ r 0 ≤ r < n;

portanto x ≡ r (mod n) & 0 ≤ r ≤ n − 1. A unicidade resulta doteorema 2.1.1. 2

Um conjunto {r1, · · · , rn} diz-se um sistema completo de resıduos modulo n,se para cada numero inteiro x existe um e um so ri tal que x ≡ ri (mod n)

Exemplo 2.1.2 {−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3} e {−7, 8,−5, 10,−3, 19, 13} sao sistemas com-pletos de resıduos modulo 7.

202 VN

Int. a Teoria dos Numeros (2001) Congruencias

Teorema 2.1.3 Todos os sistemas completos de resıduos para um mesmo modulo temo mesmo numero de elementos.

Dem.Consideremos um sistema completo de resıduos, digamos R = {r1, r2, · · · , rk}, para

um modulo fixo n > 1; seja aindaR0 = {1, 2, · · · , n−1}. Como vimos acima, no teorema2.1.2, para cada j = 1, · · · , k, existe um e so um i(j) ∈ R0 tal que rj ≡ i(j) (mod n),portanto R0 tem pelo menos o mesmo numero de elementos que R; por outro lado, Re tambem um sistema completo de resıduos e, por definicao, para cada elemento de R0

existe um e so um elemento de R com o qual aquele e congruente (mod n), donde Rtem pelo menos tantos elementos como R0. Em suma: R e R0 tem de facto o mesmonumero n de elementos. 2

2.2 Inversao I

A congruencia em x 2x ≡ 1 (mod 4) nao tem solucao, porque os multiplos de 4 saopares e 2x− 1 e sempre ımpar; mas 2x ≡ 1 (mod 5) tem solucao 3.

Definicao 2.2.1 Um inverso aritmetico de a (mod n) e um numero inteiro a∗ talque

a∗a ≡ aa∗ ≡ 1 (mod n).

Teorema 2.2.1 O numero a ∈ Z \ {0} tem inverso aritmetico (mod n) se e apenasse mdc(a, n) = 1.

Dem. O teorema 1.2.4 diz, em particular, que mdc(a, n) = 1 se e apenas se existemx, y ∈ Z tais que ax + ny = 1. Por um lado esta ultima equacao indica que ax ≡1 (mod n) e consequentemente x e um inverso aritmetico de a (mod n), que existe semdc(a, n) = 1;por outro lado, de aa∗ ≡ 1 (mod n), deduz-se aa∗ = dn+ 1, para algumd ∈ Z, pelo que aa∗ + (−d)n = 1 e a e n sao primos entre si. 2

Veremos adiante que dois inversos aritmeticos de um mesmo numero para o mesmomodulo sao congruentes entre si para esse modulo.

Teorema 2.2.2 Se mdc(a, n) = d & a 6= 0, entao

ax ≡ ay (mod n) ⇔ x ≡ y mod(n

d)

Dem. (⇐) Se x ≡ y mod(nd ), entao, para certo q ∈ Z, x− y = q n

d , pelo que ax− ay =q an

d = q adn, ou seja ax ≡ ay (mod n).

VN 203


(⇒) Se ax ≡ ay (mod n), entao a(x − y) = qn para algum q ∈ Z; segue-se quead(x − y) = n

d q; ora ad e n

d sao primos entre si (teorema 1.2.4), pelo que ad | q, vindo

x− y = qa/dn, isto e x ≡ y (mod n). 2

Observando que, de acordo com o teorema 2.2.1, a∗ (mod n) existe se e apenas semdc(a, n) = 1, deduz-se que

Corolario 2.2.1 Se a tem inverso aritmetico (mod n), entao

ax ≡ ay (mod n) ⇔ x ≡ y (mod n).

E ainda

Corolario 2.2.2 Se p e primo e a 6≡ 0 (mod p), entao a tem inverso (mod p).

Dem. Note-se que a 6≡ 0 (mod n) ⇒ mdc(a, p) = 1. 2

2.3 Congruencias lineares

Uma congruencia diz-se linear se for da forma

ax ≡ b (mod n) (2.1)

Se a = 0, esta congruencia tem solucao x se e apenas se n | b e neste caso qualquerx ∈ Z e solucao. Assim consideraremos apenas congruencias

ax ≡ b com a 6= 0. (2.2)

Teorema 2.3.1 Se a tem inverso a∗ (mod n), entao

ax ≡ b (mod n) ⇔ x ≡ a∗b (mod n).

Dem. Suponha-se que aa∗ ≡ 1 (mod n).(⇒) Se ax ≡ b (mod n), entao a∗ax ≡ a∗b (mod n). Ora a∗ax ≡ x (mod n),

portanto x ≡ a∗b (mod n).(⇐) Se x ≡ a∗b (mod n), analogamente se obtem

ax ≡ aa∗b ≡ b (mod n)e daı ax ≡ b (mod n). 2

Teorema 2.3.2 Suponha-se que a 6≡ 0 (mod n). A congruencia (2.1) tem solucao see apenas se mdc(a, n) | b. Se d = mdc(a, n) | b, e a∗d e um inverso de a

d (mod n), entaoas seguintes condicoes sao equivalentes

204 VN


1. A congruencia (2.1)

2. x ≡ a∗d(

bd

)(mod n

d )

3. x = a∗d(

bd

)+ k

(nd

)0 ≤ k ≤ d− 1 (mod n)

Dem. Seja d = mdc(a, n).I) Existencia de solucao(⇒) Se ax ≡ b (mod n) entao n | (ax− b). Como d | n & d | a, tem-se d | (ax− b)

e d | a, portanto d | b (corolario 1.2.2).(⇐) Existem x0, y0 tais que x0a + y0n = d. Por outro lado, por hipotese existe k

tal que b = kd, assima(x0k) + n(y0k) = kd = b

isto e a(x0k) ≡ b (mod n). Faca-se x = x0k.II) Determinacao da solucao.HIPOTESE: a∗d

(ad

)≡ 1 (mod n

d ) & d | b.Considere-se a seguinte sequencia de congruencias equivalentes, observando que 2 e

3 o sao obviamente:

ax ≡ b (mod n)

da

dx ≡ d

b

d(mod n)

a

dx ≡ b

d(mod

n

d) (teorema 2.2.2).

2.3.1 Inversao II

Dados a 6= 0 e n > 0 tais que mdc(a, n) = 1, vimos na demonstracao do teorema 2.2.1que a∗ (mod n) e coordenada x da solucao (x, y) da equacao diofantina ax+ ny = 1,pelo que, determinado um a∗, todos os outros sao da forma a∗ + kn (k ∈ Z), ou seja

Teorema 2.3.3 Todos os inversos (mod n) de um mesmo numero inteiro nao nulosao congruentes (mod n) entre si.

E ainda

Teorema 2.3.4 Se a 6= 0 & mdc(a, n) = 1 entao a∗∗ ≡ a (mod n).

Dem. A equacao aa∗ + ny = 1 diz-nos que a e inverso (mod n) de a∗, isto e, a e uma∗∗.

O teorema anterior diz-nos que todos os inversos (mod n) de a∗ sao congruentes(mod n). Consequentemente a∗∗ ≡ a (mod n). 2

Uma outra forma de enunciar o teorema 2.2.1 e a seguinte:

VN 205


Teorema 2.3.5 O numero a ∈ Z\{0} tem inverso (mod n) se e apenas se e congruentecom algum dos resıduos (mod n) que sao primos com n.

Este resultado obtem-se muito facilmente do seguinte

Lema 2.3.1 Se a 6= 0 & a ≡ a′ (mod n) & mdc(a, n) = 1, entao mdc(a′, n) = 1.

Dem. Tem-se a − a′ = kn & ax + ny = 1 para alguns k, x, y ∈ Z. Assim ax =a′x+ kxn & ax+ ny = a′x+ (kx+ y)n ou seja 1 = a′x+ ny′ & mdc(a′, n) = 1.

2

2.4 A funcao φ de Euler

Definicao 2.4.1 A funcao de Euler φ : N → N e dada por

φ(n) = numero de numeros naturais de 1 a n que sao primos com n.

Exemplo 2.4.1 Seja Pn = {x ≥ 0| x < n & mdc(x, n) = 1}. Designando o numerode elementos de um conjunto C por #C, tem-se entao φ(n) = #Pn

1. φ(1) = #{1} = 1

2. φ(n) = n− 1 se e apenas se n e primo.

3. φ(2725) = 2724 (Porque?)

2.4.1 Sistemas reduzidos de resıduos

Definicao 2.4.2 Um sistema reduzido de resıduos (mod n) e um conjunto denumeros inteiros a1, · · · , ak primos com n, tais que para qualquer x ∈ Z, se mdc(x, n) =1 entao existe um e um so i tal que x ≡ ai (mod n).

Teorema 2.4.1 {1, 2, · · · , n − 1} e um sistema reduzido de resıduos (mod n) se eapenas se n e primo.

Dem. (se) resulta da definicao de numero primo.(apenas se) Se n e composto tem pelo menos um divisor proprio, digamos d1, tal

que 1 < d1 < n; mas entao 1 ≤ d1 ≤ n − 1 & mdc(d1, n) = d1 6= 1, portanto{1, 2, · · · , n−1} tem elementos que nao sao primos com n, consequentemente nao e umsistema reduzido. 2

Teorema 2.4.2 Para cada n, todos os sistemas reduzidos de resıduos (mod n) temφ(n) elementos.

206 VN


Dem. Seja Pn definido como no exemplo 2.4.1.

1. Pn e um sistema reduzido (mod n) porque

(a) Qualquer inteiro e congruente (mod n) com algum elemento de Sn ={0, 1, · · · , n − 1}, em particular um inteiro primo com n, cujo congruenteem Sn e primo com n (teorema 2.3.5), logo esta em Pn.

(b) Dois elementos distintos de Pn nao sao congruentes entre si. Assim

I. cada x primo com n e congruente com um e um so elemento dePn.

2. Dado um sistema reduzido de resıduos (mod n), digamos P ′n, a proposicao I

acima afirma a funcao que associa a cada resıduo em Pn o seu unico congruenteem P ′

n e bijectiva. 2

2.4.2 Teoremas de Euler, de Fermat e de Wilson

Teorema 2.4.3 (de Euler) Para qualquer a ∈ Z \ {0} e qualquer n ∈ N \ {1}

mdc(a, n) = 1 ⇒ aφ(n) ≡ 1 (mod n).

O corolario seguinte e imediato:

Corolario 2.4.1 Para qualquer a ∈ Z \ {0} e qualquer n ∈ N \ {1}

mdc(a, n) = 1 ⇒ a∗ ≡ aφ(n)−1 (mod n).

Dem. (do teorema 2.4.3) Suponha-se a 6= 0 & mdc(a, n) = 1.

I) Se 0 6= r & mdc(r, n) = 1, entao mdc(ar, n) = 1.Dem. Seja d = mdc(ar, n) nas condicoes da hipotese. Se d > 1, entao existe umnumero primo p tal que p | d. Segue-se que p | ar & p | n, logo p | a & p | n oup | r & p | n; no primeiro caso mdc(a, n) ≥ p > 1, no segundo mdc(r, n) ≥ p > 1, o quecontradiz as hipoteses.

II) Seja {r1, · · · , rφ(n)} um sistema reduzido de resıduos (mod n), e defina-seP = {ar1, · · · , arφ(n)}.

Todos os elementos de P sao primos com n, pelo que vimos em I. Por outro lado,como os ri nunca sao congruentes entre si, o mesmo acontece com os ari (teorema2.2.2). Segue-se que

cada ari e congruente com um e so um dos rj, digamos rj ≡ arσ(j), em queσ e uma permutacao de {1, · · · , φ(n)}.

VN 207


III) Tem-se entaoφ(n)∏i=1

(arσ(i)) ≡φ(n)∏i=1

ri (mod n)

ou seja

aφ(n)

φ(n)∏i=1

rσ(i) ≡φ(n)∏i=1

ri (mod n)

ou

aφ(n)

φ(n)∏i=1

ri ≡φ(n)∏i=1

ri (mod n)

Pelo teorema 2.2.2, ja que mdc(∏φ(n)

i=1 ri, n) = 1, conclui-se aφ(n) ≡ 1 (mod n). 2

Teorema 2.4.4 (Pequeno Teorema de Fermat) Se p e primo e p 6 |a, entaoap−1 ≡ 1 (mod p).

Dem. Basta observar que φ(p) = p− 1. 2

Teorema 2.4.5 (de Wilson) Se p e primo, entao (p− 1)! ≡ −1 (mod p)

Dem. Se p = 2, tem-se (p − 1)! = 1 ≡ −1 (mod 2). Se p = 3, tem-se (p − 1)! =2 ≡ −1 (mod 3). Suponha-se que p > 3. Sabemos que Pp = {1, 2, · · · , p − 1} e umsistema reduzido de resıduos (mod p). Observando que qualquer numero e o seu inverso(mod n) sao primos com n e finalmente considerando o teorema 2.3.4:

Cada r ∈ Pp tem um inverso (mod p) r∗p ∈ Pp e (r∗p)∗p = r. Por outro lado, se

r = r∗p, tem-se r2 = rr∗p ≡ 1 (mod p) e p | (r2 − 1) = (r + 1)(r − 1); logo p | (r + 1) oup | (r − 1), isto e, r ≡ −1 (mod p) ou r ≡ 1 (mod p) ou ainda r ≡ p − 1 (mod p) our ≡ 1 (mod p).

Concluimos quer = r∗p ⇔ (r = 1 ou r = p− 1) (1 ≤ r ≤ p− 1);

donde os pares {r, r∗} sao conjuntos nao singulares e definem uma particao de {2, · · · , p−2}, tendo-se

p−2∏i=2

i =

p−32∏

i=1

rir∗i ≡ 1 (mod p)

Segue-se que

(p− 1)! = 1 ·p−2∏i=2

i · (p− 1) ≡ p− 1 (mod p)

isto e (p− 1)! ≡ −1 (mod p). 2

208 VN


O lema seguinte e extremamente simples, mas tem uma consequencia nao trivial.

Lema 2.4.1 Se p e um numero primo ımpar e (−1)p−12 ≡ 1 (mod p), entao p ≡

1 (mod 4).

Dem. Suponha-se entao que p e um numero primo ımpar e que (−1)p−12 ≡ 1 (mod p);

queremos mostrar que p−12 e par. Se p−1

2 fosse ımpar, viria −1 ≡ 1 (mod p), pelo quep dividiria 2, o que nao e o caso; portanto p−1

2 e par. 2

A consequencia:

Teorema 2.4.6 Seja p um primo ımpar. A congruencia x2 ≡ −1 (mod p) tem solucaose e apenas se p ≡ 1 (mod 4); neste caso

(p−12

)! e uma solucao.

Dem. (apenas se) De x2 ≡ −1 (mod p) deduz-se

xp−1 = (x2)p−12 ≡ (−1)

p−12 (mod p)

e conclui-se 1 ≡ (−1)p−12 (mod p); pelo lema 2.4.1, p ≡ 1 (mod 4).

(se) Se p ≡ 1 (mod 4), entao p−12 e par. Por outro lado

(p− 1)! =(p− 1

2

)!(p− p− 1

2

)· · · (p− 2)(p− 1).

Pelo Teorema de Wilson,

−1 ≡ (−1)p−12

[(p− 1

2

)!]2

(mod p)

Como p−12 e par,

−1 ≡[(

p− 12

)!]2

(mod p)

como pretendıamos verificar. 2

E consequentemente

Corolario 2.4.2 Se p e primo ımpar e para algum numero inteiro x p | (x2 +1), entaop ≡ 1 (mod 4).

E mais um corolario (compare-se com o teorema 1.2.9).

Corolario 2.4.3 Ha uma infinidade de numeros primos da forma 4k + 1(k ∈ Z), i.e., congruentes com 1 para o modulo 4.

VN 209


Dem. Vamos mostrar que seja qual for o numero natural n, existe um numero primomaior que n da forma pretendida. Seja entao n um numero natural – maior ou igual a4 para evitar trivialidades – e defina-se

N = (n!)2 + 1.

Seja p o menor divisor primo de N . Se N e primo, N = p, e ja da forma pretendidae maior que n. Se N nao e primo, p > n pois N nao e divisıvel por qualquer numeromenor que n; p > 2 – porque N e ımpar – e p | (n!)2 + 1; pelo corolario anterior (2.4.2)p ≡ 1 (mod 4). 2

2.5 Congruencias polinomiais

2.5.1 Introducao

Nesta seccao estudamos a resolucao de congruencias da forma

f(x) ≡ 0 (mod n) (2.3)

em que f e um polinomio de coeficientes inteiros e grau m maior que 1 (mod n):

f(x) = a0 + a1x1 + · · · + amx

m & m > 1 & am 6≡ 0 (mod n). (2.4)

O grau de um polinomio f (mod n) designa-se por degn(f). Se f(x) = α ∈ Z, o graude f (mod n) e zero.

O Teorema 2.4.6 e obviamente um caso particular deste estudo.Comecemos por observar que, para qualquer n > 1 existem congruencias (2.3) &

(2.4) sem solucao; mais precisamente:

Exemplo 2.5.1 Se p e primo e p|n, entao a congruencia xp−x+1 ≡ 0 (mod n) nao temsolucoes. Tal pode verificar-se do seguinte modo: quando p|n,se xp−x+1 ≡ 0 (mod n) tambem xp−x+1 ≡ 0 (mod p); mas xp−x+1 ≡ 1 6≡ 0 (mod p),quando p e primo, em virtude do Pequeno Teorema de Fermat; portanto a congruenciainicial nao tem de facto solucao.

Exemplo 2.5.2 Dois polinomios f(x) e g(x) congruentes (mod n) para todo o x ∈ Znao tem necessariamente o mesmo grau (mod n): se p e primo, xp2−x e xp−xsao ambos identicamente nulos (mod p).

A situacao e assim algo complicada mas, tal como a proposito do problema daresolubilidade algebrica, ha resultados parciais importantes e relativamente simples1.

Repare-se que1De facto, nem mesmo no caso em que n e primo, se conhecem formulas resolventes gerais para a

congruencia (2.3) & (2.4)

210 VN


Teorema 2.5.1 Se dois polinomios f e g tem coeficientes do mesmo grau congruentes(mod n), as congruencias f(x) ≡ 0 (mod n) e g(x) ≡ 0 (mod n) sao equivalentes.Assim basta considerar polinomios cujos coeficientes estejam entre 0 e n− 1.

Dem. Suponha-se que f(x) =∑m

i=0 aixi e g(x) =

∑mi=0 bix

i, sendo ai ≡ bi (mod n)para 0 ≤ i ≤ n. Tomando ci = ai−bi

n vemf(x)− g(x) = n

∑mi=0 cix

i

ou seja, f(x) ≡ g(x) (mod n) para qualquer x ∈ Z, em particular f(x) ≡ 0 (mod n) sse g(x) ≡0 (mod n). 2

De facto, uma aplicacao da regra de Ruffini mostra que

Teorema 2.5.2 Para qualquer polinomio f(x) como em (2.3) e (2.4) e qualquer a ∈ Z,existe um polinomio q(x), de coeficientes inteiros e grau m− 1, tal que

f(x) = (x− a)q(x) + f(a) (x ∈ Z).

Daqui decorre

Corolario 2.5.1 Se f(x) e um polinomio como em (2.3) & (2.4) e a ∈ Z, entao f(a) ≡0 (mod n) sse existe um polinomio q(x) de coeficientes inteiros, grau m− 1 (mod n) ecoeficiente de maior ordem igual ao de f(x) tal que

f(x) ≡ (x− a)q(x) (mod n) (x ∈ Z). (2.5)

Dem. Se f(a) ≡ 0 (mod n), entao n|f(a) e (2.5) resulta imediatamente do teoremaanterior, por definicao de congruencia. Reciprocamente, se vale (2.5),entao como a econcerteza solucao de (x − a)q(x) ≡ 0 (mod n) para qualquer x ∈ Z, necessariamentef(a) ≡ 0 (mod n). 2

2.5.2 Modulo primo

Convencionemos que p designa um numero primo. O primeiro facto a registar e quebasta considerar polinomios de grau menor ou igual a p (mod p) :

Teorema 2.5.3 Qualquer congruencia polinomial f(x) ≡ 0 (mod p) e equivalente aoutra g(x) ≡ 0 (mod p) em que g(x) e um polinomio nulo ou de grau menor ou igual ap− 1 (mod p).

Dem. A ideia e baixar tanto quanto possıvel o grau dos monomios envolvidos, uti-lizando o Pequeno Teorema de Fermat:

Repare-se que, se n = pq + r com 0 ≤ r < p, entao

xn = (xp)qxr ≡ xqxr = xq+r (mod p)

VN 211


Aplicando sucessivamente esta sequencia de congruencias a cada monomio de f , reduz-se o expoente de cada um deles a um numero inferior a p. 2

Tal como para equacoes, o teorema 2.5.2 tem a seguinte consequencia.

Teorema 2.5.4 Se b1, b2, ..., bk sao solucoes da congruencia polinomialf(x) ≡ 0 (mod p) nao congruentes duas a duas, existe um polinomio q(x), cujo coefi-ciente de maior ordem e o mesmo que o de f e tal que

degp(q) ≤ degp(f)− k & f(x) ≡ (x− b1)(x− b2) · · · (x− bk)q(x) (mod p)

Dem. A demonstracao e muito semelhante a correspondente para equacoes, por uti-lizacao recursiva da regra de Ruffini:

Primeiro obtem-sef(x) ≡ (x− b1)q1(x) (mod p)

pelo corolario 2.5.1. Em seguida ha que verificar se

q1(b2) ≡ 0 (mod p) (2.6)

e reaplicar o mesmo corolario, tantas vezes quanto necessario. Repare-se entao que,por hipotese

0 ≡ f(b2) ≡ (b2 − b1)q1(b2) (mod p),

isto e,p|(b2 − b1)q1(b2)

e como, tambem por hipotese, p e primo e p 6 |(b1 − b2), necessariamente p|q1(b2), ouseja vale a equacao (2.6). 2

Uma conclusao a retirar e

Corolario 2.5.2 Quando p e primo e f(x) e um polinomio cujos coeficientes nao saotodos nulos (mod p), o numero de solucoes distintas (mod p) de uma congruenciapolinomial f(x) ≡ 0 (mod p) e quando muito degp(f).

Antes de apresentarmos uma demonstracao atentemos no seguinte exemplo.

Exemplo 2.5.3 Se n nao e primo, o numero de solucoes nao mutuamente congruentes(mod n) de uma equacao como em (2.3) e (2.4) pode ser superior ao grau de f (mod n):x2 − 1 ≡ 0 (mod 8) tem solucoes 1, 3, 5, 7.

Dem. (Do corolario 2.5.2) Tomem-se f, q e os bi, com 1 ≤ i ≤ k, como no teorema.Como q(x) tem o mesmo coeficiente de maior ordem que f(x), necessariamente o seugrau e maior ou igual a zero, portanto

0 ≤ degp(q) ≤ degpf(x)− k i.e. k ≤ degp(f).

212 VN


2

2.5.3 Modulo potencia de base prima

Veremos como se podem obter as solucoes de uma congruencia

f(x) ≡ 0 (mod pα+1) (2.7)

a partir das da congruencia f(x) ≡ 0 (mod pα). De facto vamos provar o seguinte:

Teorema 2.5.5 As solucoes da congruencia

f(x) ≡ 0 (mod pα+1)

sao da formax = b+ kpα com k ∈ Z, (2.8)

sendof(b) ≡ 0 (mod pα) & f ′(b)k ≡ −f(b)

pα(mod p) (2.9)

Comecemos com uma Formula de Taylor. Designando por f ′ a derivada dopolinomio f, definimos tambem{

f (0) = f

f (i+1) =(f (i))′

i ∈ Z+0

Nestes termos tem-se

Lema 2.5.1 Seja f(x) um polinomio de grau m (mod n) de coeficientes inteiros comoem (2.3) & (2.4). Entao

f(x+ y) = f(x) +m∑

k=1

f (k)(x)k!

yk (x, y ∈ Z) (2.10)

e os coeficientes f (k)(x)k! (1 ≤ k ≤ m) sao numeros inteiros.

Dem. Como, para quaisquer polinomios f e g e qualquer α ∈ Z se tem

(f + g)′ = f ′ + g′ & (αf)′ = αf,′

basta demonstrar o teorema quando f(x) = xm e neste caso (2.10) e nada mais nadamenos que uma outra forma de apresentar o desenvolvimento de Newton para (x+y)m,pois

f (k)(x) = m(m− 1) · · · (m− k + 1)xm−k =m!

(m− k)!xm−k.

VN 213


Dem. (Do teorema 2.5.5)Observe-se que, quando f(x) ≡ 0 (mod pα+1) tambem f(x) ≡ 0 (mod pα), pelo que

as solucoes da primeira congruencia se encontram entre as da segunda; resumindo

f(x) ≡ 0 (mod pα+1) ⇒ f(x) ≡ 0 (mod pα) ⇒ x = b+ kpα

para algum k ∈ Z e algum b ∈ Z tal que f(b) ≡ 0 (mod pα).Ora, pelo lema 2.5.1, vem

f(b+ kpα) = f(x) +m∑

i=1

f (i)(b)i!

(kpα)i;

como α ≥ 1, os termos do segundo membro em que i > 1 sao divisıveis por pα+1, poisαi > 2α = α+ α ≥ α+ 1. Assim

f(b+ kpα) ≡ f(b) +f ′(b)

1kpα (mod pα+1);

mas f(b) ≡ 0 (mod pα), pelo que f(b) = tpα, para algum t ∈ Z. A situacao a analisare entao a seguinte

pα(t+ f ′(b)k

)≡ 0 (mod pα+1)

ou sejaf(b)pα

+ f ′(b)k ≡ 0 (mod p)

como se pretendia verificar. 2

Segue-se uma verificacao mais detalhada da validade da formula (2.9).Caso f ′(b) ≡ 0 (mod p). Neste caso a congruencia (2.9) e equivalente a

f(b)pα

≡ 0 (mod p)

por sua vez equivalente af(b) ≡ 0 (mod pα+1); (2.11)

se esta se nao verifica, pura e simplesmente nao ha solucoes; se (2.11) se da, entao,pelo lema 2.5.1, a equacao (2.8) da-nos solucoes para a congruencia (2.7) seja qual fork ∈ Z.Caso f ′(b) 6≡ 0 (mod p). Neste caso a solucao em k de (2.9) e dada por

k ≡ −f ′(b)∗ f(b)pα

(mod p)

A solucao da congruencia (2.7) e mesmo unica e dada por

x ≡ b− f ′(b)∗f(b)pα

pα (mod pα+1) com f ′(b)∗f ′(b) ≡ 1 (mod p)

214 VN


ou aindax ≡ b− f ′(b)∗f(b) (mod pα+1) & f ′(b)∗f ′(b) ≡ 1 (mod p) (2.12)

2

2.5.4 Teorema Chines do Resto

A resolucao de congruencias polinomiais (2.3) & (2.4) pode reduzir-se aos casos quetemos vindo a estudar, como vamos ver. Note-se que para a discussao que segue naoimporta se f(x) e ou nao um polinomio.

Suponhamos entao que n e um numero natural composto, digamos

n = pα11 pα2

2 · · · pαkk

para certos numeros primos pi.Generalizando o argumento apresentado no exemplo 2.5.1, observe-se que

f(x) ≡ 0 (mod n) ⇒ f(x) ≡ 0 (mod pαii ) (1 ≤ i ≤ k),

pelo que as solucoes da congruencia

f(x) ≡ 0 (mod n) (2.13)

se encontram entre as do sistema de congruencias{f(x) ≡ 0 (mod pαi

i )1 ≤ i ≤ k

Acontece que este sistema e mesmo equivalente a congruencia (2.13), pois potencias deprimos distintos sao primas entre si e o seu produto divide qualquer numero divididosimultaneamente por todas elas (se a|c, b|c e a e b sao primos entre si, entao ab|c.)Provamos entao o seguinte

Teorema 2.5.6 Se n e um numero composto de factores de base prima pαii

n = pα11 · · · pαk

k ,

a congruenciaf(x) ≡ 0 (mod n)

e equivalente ao sistema de congruencias{f(x) ≡ 0 (mod pαi

i )1 ≤ i ≤ k

(2.14)

VN 215


Vimos ja que algumas congruencias polinomiais f(x) ≡ 0 (mod n) nao tem solucao,mas se todas as do sistema (2.14) tiverem, entao ha de facto solucao e devera ser possıveldetermina-la. Utilizaremos o seguinte lema

Lema 2.5.2 (Teorema Chines do Resto) Se m1, ...,mk sao numeros naturais pri-mos entre si dois a dois e b1, ..., bk sao numeros inteiros quaisquer, o sistema de con-gruencias {

x ≡ bi (mod mi)1 ≤ i ≤ k

(2.15)

tem solucao e quaisquer duas solucoes sao congruentes (mod m1 · · ·mk).

Dem. Comecemos pela afirmacao final.Se x e y sao solucoes do sistema (2.15), entao x − y ≡ 0 (mod mi) para qualquer

dos mi, ou seja, x− y e divisıvel por qualquer dos mi. Como os mi sao primos entre si,o seu produto divide x− y, como se pretendia concluir.

Quanto a existencia de solucao para o sistema: vamos procura-la na forma

x = x1b1 + · · ·+ xkbk (2.16)

de modo que, para cada i,

1. todas as parcelas com possıvel excepcao da i-esima sejam divisıveis por mi,

2. a i-esima parcela seja congruente com bi (mod mi).

Para verificar a primeira condicao basta que

m′i =

k∏j=1

j 6=i

mj |xi;

para verificar a segunda basta que

xi ≡ 1 (mod mi)

As duas condicoes sao verificadas simultaneamente se

(m′i)∗m′

i ≡ 1 (mod mi) & xi = (m′i)∗m′

i (2.17)

Ora cada m′i e primo com mi, portanto os inversos aritmeticos (m′

i)∗ existem e as

condicoes (2.16) e (2.17) definem uma solucao para o sistema (2.15). 2

216 VN


Exemplo 2.5.4 Considere-se a congruencia

x2 − 1 ≡ 0 (mod 108). (2.18)

Como 108 = 22 · 33, pelo teorema 2.5.6, (2.18) e equivalente ao sistema{x2 − 1 ≡ 0 (mod 22) (i)x2 − 1 ≡ 0 (mod 33) (ii)

(2.19)

Por simples inspeccao conclui-se que as solucoes da congruencia (i) sao dadas por

x ≡ 1,−1 (mod 22).

Quanto a (ii), vamos utilizar o teorema 2.5.5. O modulo 32 e ainda razoavelmentebaixo e, tambem por inspeccao, se podem obter as solucoes

x ≡ 1,−1 (mod 32).

Ora f ′(x) = 2x donde

f ′(1) = 2 ≡ −1 6≡ 0 (mod 3) & f ′(−1) = −2 ≡ 1 6≡ 0 (mod 3).

Ambas as derivadas sao invertıveis (mod 3) e nas congruencias em (2.9)k ≡ 0(mod 3), portanto

x2 − 1 ≡ 0 (mod 33) se e so se x ≡ ±1 (mod 33).

O sistema (2.19) da entao lugar aos sistemas seguintes, que podem ser resolvidos uti-lizando, por exemplo, o Teorema Chines do Resto 2.5.2, como vimos atras.

(S1){x ≡ 1 (mod 22)x ≡ 1 (mod 33)

(S2){x ≡ 1 (mod 22)x ≡ −1 (mod 33)

(S3){x ≡ −1 (mod 22)x ≡ 1 (mod 33)

(S4){x ≡ −1 (mod 22)x ≡ −1 (mod 33)

De um modo geral, as solucoes da congruencia (2.18) sao dadas pela formula

x ≡ 3 · 33 · (±1) + 7 · 22 · (±1) ≡ ±81± 28 (mod 108)

onde as combinacoes de sinal sao todas as possıveis.Resolvendo detalhadamente (S1): de acordo com a demonstracao de 2.5.2, com

(2.16) e (2.17) tem-se m1 = 22, m′1 = 33 e (m′

1)∗ ≡ −1 (mod 22) e tambem m2 =

33, m′2 = 22 e (m′

2)∗ ≡ 7 (mod 33). Segue-se que as solucoes de (S1) sao dadas por

x ≡ 3 · 33 · 1 + 7 · 22 · 1 ≡ 109 ≡ 1 (mod 22 · 33).

VN 217


2.6 Exercıcios

1. Mostre que a congruencia y2 − x2 − 2 ≡ 0 (mod 4) nao tem solucoes e concluaque a equacao Diofantina y2 − x2 − 2 = 0 tambem as nao tem.

2. Utilize congruencias modulo 4 para mostrar que se y2 = x3 + 2, entao x e y saoambos ımpares.

3. Seja f(x) = 11x3 + 15x2 + 9x − 2. Determine o resto da divisao de f(a) por bpara os pares (a, b) seguintes: (2,7), (6,7), (97,11).

4. Mostre que se p e primo, qualquer sequencia de p−1 numeros inteiros consecutivosque nao inclui multiplos de p e um sistema reduzido de resıduos (mod p).

5. Calcule φ(n) para n ≤ 28.

6. Mostre que se p e primo e n ∈ N, entao φ(pn) = pn − pn−1.

7. Resolva as congruencias:

(a) 3x ≡ 1 (mod 5);

(b) 3x ≡ 9 (mod 5);

(c) 3x ≡ 9 (mod 24);

(d) 5x ≡ 15 (mod 12);

(e) x2 + 1 ≡ 0 (mod 4);

(f) x3 + 2x+ 1 ≡ 0 (mod 7);

(g) x5 + x4 + x3 + x2 + x ≡ −1 (mod 5).

8. Determine os inversos (mod 18) de todos os inteiros que os tem.

9. Qual o inverso de 1975 (mod 2001)?

10. Mostre que uma quarta potencia e congruente com 0 ou 1 (mod 5).

11. Resolva as congruencias

(a) 2x+ 3y ≡ 5 (mod 7);

(b) x2 + y2 − 5y ≡ 2 (mod 9).

12. Seja ak10k + ak−110k−1 + · · ·+ a110 + a0 a expressao decimal do numero naturaln = akak−1 · · · a1a0 (0 ≤ ai ≤ 9, 0 ≤ i ≤ k, a0 6= 0).

(a) Mostre que 11 | n se e so se 11 |∑k

i=0(−1)iai;

(b) Verifique se 1234567890987654321 e divisıvel por 11.

218 VN


13. Mostre que se k for ımpar, 112k + 192k e divisıvel por 241.

14. Resolva os sistemas de congruencias

(a){

2x+ 7y ≡ 2 (mod 5)3x+ 6y ≡ 2 (mod 7)

;

(b){

9x+ 3y ≡ 3 (mod 10)15x+ 2y ≡ 4 (mod 15)

;

(c){

2x+ 7y ≡ 2 (mod 5)3x− y ≡ 11 (mod 5)

.

15. Verifique se as seguintes congruencias tem ou nao solucao e, no caso afirmativo,resolva-as.

(a) x2 ≡ −1 (mod 17);

(b) x2 ≡ −1 (mod 43);

(c) x2 ≡ −1 (mod 65).

16. Mostre o recıproco do Teorema de Wilson:

Se m ∈ N \ {1} e (m− 1)! ≡ −1 (mod m), entao m e primo.

(Sugestao: Observe que se m > 4 e m nao e primo entao (m−1)! ≡ 0 (mod m).)

17. Mostre que a equacao Diofantina x2 + 1 = 23y nao tem solucoes inteiras.

18. Seja p um numero primo. Mostre que (a+ b)p ≡ ap + bp (mod p).

19. Suponha que p e um primo ımpar. Mostre que

(a)(p−1)/2∏

i=1

(2i)2 ≡ (−1)(p+1)/2 (mod p),

(b)(p−1)/2∏

i=1

(2i− 1)2 ≡(p−1)/2∏

i=1

(2i)2 (mod p).

20. Reduza o mais possıvel o grau dos polinomios nas seguintes congruencias e resolva-as.

(a) 2x17 + 3x2 + 1 ≡ 0 (mod 5);

(b) x10 + 2x5 + 1 ≡ 0 (mod 5);

(c) 3x23 + 2x20 + 4x17 − x6 + x5 − 3x3 + 2x+ 1 ≡ 0 (mod 5).

21. Factorize (mod 11) de duas maneiras distintas os polinomios f(x) seguintes, ob-servando que em cada caso f(a) ≡ 0 (mod 11).

VN 219


(a) f(x) = x2 + 10x+ 3, a = 6;

(b) f(x) = x3 − x2 + x+ 10, a = 1;

(c) f(x) = x3 − 6x2 − 2x+ 20, a = −3.

22. Factorize (mod 13) o polinomio f(x) = x4 − 6x3 − 3x2 − 7x+ 2 com pelo menosdois factores de primeiro grau.

23. Mostre que o polinomio x3 + 3x2 + 2x+ 2 nao pode ser factorizado (mod 5).

24. Resolva a congruencia xpα ≡ b (mod p) sabendo que p e primo e α ≥ 1.

25. Resolva os seguintes sistemas de congruencias

(a)

x ≡ 3 (mod 7)x ≡ 2 (mod 6)x ≡ 1 (mod 5)

(b)

x ≡ 5 (mod 2)x ≡ 1 (mod 3)x ≡ 2 (mod 5)

(c){

3x ≡ 1 (mod 10)4x ≡ 2 (mod 7)

(d)

3x ≡ 2 (mod 4)2x ≡ 7 (mod 15)4x ≡ −1 (mod 7)

26. (a) Suponha que m,n ∈ N e que d = mdc(m,n). Mostre que o sistema decongruencias {

x ≡ a (mod m)x ≡ b (mod n)

tem solucao se e so se a ≡ b (mod d) e que, nesse caso, a solucao e unica(mod mmc(m,n)).

(b) Determine se cada um dos seguintes sistemas de congruencias tem solucaoe, em caso afirmativo, resolva-o.

i.{x ≡ 5 (mod 6)x ≡ 7 (mod 10)

ii.{x ≡ 1 (mod 6)x ≡ 8 (mod 15)

27. Resolva as congruencias:

(a) x13 ≡ x (mod 1365);

(b) x17 ≡ x (mod 4080).

220 VN


28. Resolva as seguintes congruencias

(a) x2 + x+ 1 ≡ 0 (mod 8);

(b) x3 + x2 + 1 ≡ 0 (mod 24);

(c) x4 + x2 + 1 ≡ 0 (mod 250).

29. Resolva a congruencia

4x4 + 9x3 − 5x2 − 21x+ 61 ≡ 0 (mod 1125).

Nota: Pretende-se que este seja um exercıcio de revisao dos varios temas tratadossobre congruencias polinomiais.

30. Resolva a congruencia x50 + x12 ≡ 2 (mod 75).

31. Mostre que 5n3 + 7n5 ≡ 0 (mod 12), para qualquer inteiro n.

32. Determine todos os numeros inteiros cuja divisao inteira por 8 e por 7 da respec-tiva e simultaneamente resto 6 e resto 5.

33. Um Coronel apos ter sido destacado para comandar um regimento do Exercitoquis saber por quantos efectivos esse regimento era formado, com esse objectivomandou-os dispor sucessivamente em colunas de:

37 indivıduos, tendo sobrado um indivıduo;32 indivıduos, tendo sobrado 4 indivıduos;27 indivıduos, tendo sobrado um indivıduo.

Sabendo que um regimento tem menos de 10 000 efectivos, determine quantaspessoas constituıam esse regimento.

34. Um casal resolveu ir fazer uma viagem a volta do mundo. Sabendo que partiramno dia 1 de Marco de um ano bissexto num domingo, que chegaram no dia 6 deMarco, segunda-feira e que demoraram menos de 4 anos, determine quantos diasdemorou a viagem usando o teorema chines do resto.

VN 221


222 VN

Capıtulo 3

Resıduos quadraticos

3.1 Introducao

Neste capıtulo, vamos estudar a resolubilidade de congruencias polinomiais de segundograu

uy2 + vy + w ≡ 0 (mod m) (2 < m 6 |u)Repare-se que a condicao 2 < m 6 |u evita que o grau do polinomio no primeiro membrodesca. Vamos ver como se pode reduzir este estudo a congruencias da forma

x2 ≡ a (mod p) (p primo maior que 2 & p 6 |a) (3.1)

Comecemos por observar que, fazendo a = v2 − 4uw, x = 2uy + v, as solucoes dacongruencia inicial se encontram entre as da congruencia

x2 ≡ a (mod 4um), (3.2)

as quais sao solucoes do sistema{x2 ≡ a (mod pαi

i )1 ≤ i ≤ k

se 4um = pα11 · · · pαk

k em representacao canonica, resolvendo-se cada uma das con-gruencias a partir da inicial x2 ≡ a (mod p). Na verdade, se m 6 |4u2, as solucoespretendidas podem encontrar-se entre as da congruencia

x2 ≡ a (mod m), (3.3)

potencialmente com menos solucoes.Uma outra forma de considerar o problema consiste em observar que, se m e primo,

o inverso (2u)∗ existe (mod m), ∆ := u2 − vw e z2 ≡ ∆ (mod m), entao

uy2 + vy + w ≡ 0 (mod m) ⇔ u ≡ (−v ± z)(2u)∗ (mod m).

Organizemos o estudo.

301

Resıduos quadraticos ITN(2001)

3.2 Preliminares

O numero inteiro a diz-se resıduo quadratico (mod n) se mdc(a, n) = 1 e a con-gruencia x2 ≡ a (mod n) tem solucao; caso contrario diz-se resıduo nao quadratico.

Em primeiro lugar: se a ∈ Z e resıduo quadratico (mod m), entao e resıduoquadratico (mod p), para qualquer numero primo que divida m. Pelo que as solucoesde x2 ≡ a (mod m) se encontram entre as do sistema{

x2 ≡ a (mod p)p|m p primo

Alem disso qualquer numero inteiro ımpar e resıduo quadratico (mod 2); assim bastaconsiderar primos ımpares. Mas podemos ser mais precisos.

Lema 3.2.1 Se p e numero primo ımpar e p 6 |a, a congruencia

x2 ≡ a (mod pα) (3.4)

tem solucao sse o mesmo acontece com

x2 ≡ a (mod pα+1). (3.5)

De facto, ambas as congruencias tem o mesmo numero de solucoes.

Dem. (se) Qualquer solucao da congruencia (3.5)e solucao de (3.4).(so se) Se x2 ≡ a (mod pα) e (2x)∗ designa um inverso de 2x (mod p), entao

(x+ kpα)2 ≡ a (mod pα+1) se k ≡ k(x) = −(2x)∗x2 − a

pα(mod p), (3.6)

pois a ultima expressao implica

2xkpα ≡ x2 − a (mod pα+1).

Finalmente observe-se que duas solucoes da forma (3.6) da congruencia (3.5) quesejam congruentes (mod pα+1) provem de solucoes congruentes (mod pα) da primeira.Resumindo: ha uma injeccao do conjunto das solucoes de (3.4) no das solucoes de (3.5)que, por sua vez esta contido naquele, i.e., sao equipotentes. 2

Segue-se

Corolario 3.2.1 Se p e um numero primo ımpar e p 6 |a, o numero de solucoes dascongruencias x2 ≡ a (mod p) & x2 ≡ a (mod pα+1) e o mesmo.

E podemos concluir

302 VN

Int. a Teoria dos Numeros (2001) Resıduos quadraticos

Teorema 3.2.1 Se m e ımpar e maior que 2, a e resıduo quadratico (mod m) sse eresıduo quadratico (mod p), para todos os numeros primos p que dividem m.

Um outro resultado que interessa ter em conta e:

Teorema 3.2.2 Se p e numero primo ımpar, ha p−12 resıduos quadraticos (mod p)

que sao os elementos de {i2| 1 ≤ i ≤ p−12 }.

Dem. verifiquemos que os resıduos descritos nao sao congruentes (mod p). Orai2 ≡ j2 (mod p) sse p|i − j ou p|i + j, isto e, sse i ≡ j ou i ≡ −j (mod p); mas, paravalores de i e j entre 1 e p−1

2 , estas condicoes sao equivalentes a i = j. Como os resıduosentre p+1

2 e p sao simetricos (mod p) dos ja considerados, tem os mesmos quadrados(mod p) e descrevemos de facto todos os resıduos quadraticos (mod p). 2

E claro que 1 e sempre resıduo quadratico. Mais precisamente

Lema 3.2.2 Se p e numero primo,

x2 ≡ 1 (mod p) ⇔ [x ≡ 1 (mod p) ou x ≡ −1 (mod p)]

3.3 Lei de Reciprocidade Quadratica

O sımbolo de Legendre(

ap

)e um instrumento de determinacao do caracter quadratico

do numero inteiro ou resıduo a (mod p) e define-se do seguinte modo

(a

p

)=

0 p | a1 a e quadratico (mod p)−1 caso contrario

(p e primo) (3.7)

E bastante simples verificar que

Teorema 3.3.1 Se p 6 |a & p 6 |b & a ≡ b (mod p), entao(

ap

)=(

bp

)Desenvolvamos algumas tecnicas de calculo

Teorema 3.3.2 (Criterio de Euler) Se p e primo ımpar e p 6 |a, entao(a

p

)≡ a

p−12 (mod p) (3.8)

Dem.I) a e resıduo quadratico.

VN 303


Neste caso temos, por um lado x2 ≡ a (mod p), para algum x, pelo que p 6 |x, e daı(a

p

)= 1 ≡ xp−1 ≡ (x2)

p−12 ≡ a

p−12 (mod p).

II) a nao e resıduo quadraticoRepare-se que, pelo Pequeno Teorema de Fermat,

(ap−12 )2 ≡ 1 (mod p);

pelo que (lema 3.2.2)a

p−12 ≡ ±1 (mod p).

Defina-seQp := {i2| 1 ≤ i ≤ p− 1

2};

Como xp−12 ≡ 1 (mod p) para qualquer x ∈ Qp e Qp tem precisamente p−1

2 elementos,pelo Teorema de Lagrange (2.5.2), a 6∈ Qp; consequentemente(

a

p

)= −1 ≡ a

p−12 (mod p).

2

Obtem-se entao

Corolario 3.3.1 Se p e um numero primo ımpar , entao

1.(

abp

)=(

ap

)(bp

)(p 6 |a & p 6 |b)

2.(−1p

)= (−1)

p−12

3. −1 e resıduo quadratico (mod p), sse p = 2 ou p ≡ 1 (mod 4)

A terceira assercao e ja conhecida (teorema 2.4.6); a segunda e a primeira resultamde o sımbolo de Legendre so tomar os valores 0, 1 ou −1 e por aplicacao do criterio deEuler.

Dado n ∈ N\{1, 2}, seja

Ln =

{i ∈ Z| |i| ≤ n

2 } se n e impar

{i ∈ Z| |i| < n2 } ∪ {

n2 } se n e par.

Ln e o sistema completo de resıduos (mod n), de menor valor absoluto. Para cadax ∈ Z e cada n ∈ N, designe-se por x o resıduo em Ln congruente com x (mod n).

304 VN


Teorema 3.3.3 (Lema de Gauss) Se p e um numero primo ımpar que nao divide ae l = #{j| 1 ≤ j ≤ p−1

2 & ja < 0}, entao(a

p

)= (−1)l.

Dem. Como p 6 |a, a funcao i 7→ ia e uma permutacao de {i ∈ Z| 1 ≤ |i| ≤ p−12 }, em

particular, #{ia| 1 ≤ i ≤ p−12 }

{|ja| : 1 ≤ j ≤ p−12 } = {1, 2, · · · , p−1

2 }, pelo que, por um lado

p−12∏

j=1

ja = (−1)l

(p− 1

2

)!

e por outrop−12∏

j=1

ja ≡ ap−12

(p− 1

2

)! (mod p);

considerando o criterio de Euler (teorema 3.3.2)(a

p

)≡ a

p−12 ≡ (−1)l

e(

ap

)= (−1)l. 2

Corolario 3.3.2 Quando p e um numero primo ımpar,(2p

)= (−1)

p2−18

e, consequentemente: 2 e resıduo quadratico (mod p) sse p ≡ ±1 (mod 8).

Dem. Para 1 ≤ j ≤ p−12 tem-se{

2j = 2j 1 ≤ j ≤ p−14

2j = 2j − p p−14 < j ≤ p−1

2

portanto o numero l do lema de Gauss verifica

l =p− 1

2−[p− 1

4

]

VN 305


e o segundo membro tem a mesma paridade que p2−18 , como se pode ver observando

que p ≡ ±1 (mod 4), portanto para certos k ∈ Z, vem

p− 12

−[p− 1

4

]= k &

p2 − 18

= 2k2 + k

oup− 1

2−[p− 1

4

]= 2k − 1 − [k − 1

2] = k &

p2 − 18

= 2k2 − k

2

Teorema 3.3.4 (Lei de Reciprocidade Quadratica) Se p e q sao numeros primosımpares entao (

p

q

)(q

p

)= (−1)

(p−1)(q−1)4

Por outras palavras: se dois numeros primos ımpares sao congruentes com 3 (mod 4),entao um e um so deles e resıduo quadratico mod o outro; caso contrario, qualquer delese ou nenhum e resıduo quadratico mod o outro.

Dem. Considere-se a figura 3.3.

Lei de Reciprocidade Quadratica.6

-x��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

y

xu

u

uu

p2

q2

12

12

[−12q < px− qy < 0 ∼ Cpq]

-

[Cqp ∼ −12p < qy − px < 0]�

px− qy ≤ −12q

qy − px ≤ −12p

Figura 3.1: O rectangulo R.

306 VN


Sejam

Cpq = {x ∈ Z| 1 ≤ x ≤ q − 12

& − q − 12

≤ px < 0 (mod q)}

Cqp = {y ∈ Z| 1 ≤ y ≤ p− 12

& − p− 12

≤ qy < 0 (mod p)}

l = #Cpq

m = #Cqp

Pelo Lema de Gauss (teorema 3.3.3),(p

q

)(q

p

)= (−1)l+m

Portanto basta mostrar que

l +m e(p− 1)(q − 1)

4tem a mesma paridade. (3.9)

Ora, para cada x ∈ Cpq existe um e so um y ∈ Z tal que − q−12 ≤ px − qy < 0 e

simultaneamente 0 < y < p2 (repare-se que p e ımpar). Segue-se que

Cpq = {(x, y) ∈ Z2| 0 < x <12q & 0 < y <

12p & − 1

2q < px− qy < 0}

Analogamente

Cqp = {(x, y) ∈ Z2| 0 < x <12q & 0 < y <

12p & − 1

2p < qy − px < 0}

Se

R = {(x, y) ∈ Z2| 0 < x <12q & 0 < y <

12p},

entao #R = (q−1)(p−1)4 e #R− (l +m) e o numero de pares (x, y) ∈ R tais que

−12q < px− qy < 0 ou − 1

2p < qy − px < 0;

estas condicoes definem dois conjuntos dijuntos equipotentes pois

(x, y) 7→ 12(q + 1, p+ 1)− (x′, y′)

define uma bijeccao entre eles. Conclui-se que vale a condicao (3.9). 2

VN 307


3.4 Exercıcios

1. Determine todos os numeros primos ımpares p para os quais−3 e resıduo quadratico(mod p).

2. Determine todos os numeros primos ımpares p para os quais 7 e resıduo quadratico(mod p).

3. Seja p um primo ımpar. Prove que 5 e um resıduo quadratico (mod p) se p ≡±1(mod 10) e nao e resıduo quadratico (mod p) se p ≡ ±3(mod 10).

4. Encontre todos os resıduos quadraticos (mod 29).

5. Calcule os seguintes sımbolos de Legendre:

(a)(

229

),

(−129

),

(529

),

(1129

);

(b)(

2127

),

(−1127

),

(5

127

),

(11127

).

6. Determine, caso existam, as solucoes das seguintes congruencias quadraticas.

(a) 5x2 + 4x+ 7 ≡ 0 (mod 19).

(b) 7x2 + x+ 11 ≡ 0 (mod 17).

(c) 2x2 + 7x− 13 ≡ 0 (mod 61).

7. Prove que 19 nao divide 4n2 + 4 para qualquer numero inteiro n.

8. Encontre os numeros primos p < 100 tais que a congruencia quadratica

x2 + x− 3 ≡ 0 (mod p)

tem solucao.

9. Resolva a congruencia quadratica x2 + x− 10 ≡ 0 (mod 24)

10. Determine os valores de n para os quais −1 e resıduo quadratico (mod n).

11. Procure as solucoes da congruencia quadratica x2 ≡ 7 (mod 513)

12. Verifique se 43 e um resıduo quadratico (mod 923).

13. Geradores de numeros primos.

(a) Mostre que n2 − n+ 41 e primo quando 1 ≤ n ≤ 40, mas nao para n = 41.

(b) Mostre que n2 − 79n + 1061 e primo quando 1 ≤ n ≤ 79, mas nao paran = 80.

308 VN


(c) Mostre que n2 − 81n + 1681 e primo quando 1 ≤ n ≤ 80, mas nao paran = 81.

Sugestao: Utilize o sımbolo de Legendre para resıduos quadraticos.

14. (a) Mostre que para todos α ∈ N e n ∈ Z, mdc(n, 2α) = 1 se e so se mdc(n, 2) =1.

(b) Mostre que para todos α ∈ N e n ∈ Z, (2α − n)2 ≡ n2 (mod 2α).

(c) Mostre que para todos α ∈ N, α ≥ 2 e n ∈ Z, (2α−1 − n)2 ≡ n2 (mod 2α).

(d) Calcule todos os resıduos quadraticos modulo 2, 4 e 8.

(e) Mostre que para todos α ∈ N, α ≥ 3 e n ∈ Z, se n ≡ 1 (mod 8), entao[n]2α ∈ Q2α .

(f) Mostre que para todos α ∈ N, α ≥ 3 e n ∈ Z, se [n]2α ∈ Q2α , entaon ≡ 1 (mod 8).

15. Seja f(x) um polinomio de coeficientes inteiros. Prove que

∑x(mod p)

(f(ax+ b)

p

)=

∑x(mod p)

(f(x)p

), se mdc(a, p) = 1

∑x(mod p)

(af(x)p

)=(a

p

) ∑x(mod p)

(f(x)p

), para todo a.

16. Prove que se mdc(a, p) = 1 entao

p−1∑x=0

(ax+ b

p

)= 0.

17. Seja f(x) = x(ax+ b), onde mdc(a, p) = mdc(b, p) = 1. Prove que:

p−1∑x=1

(f(x)p

)=

p−1∑x=1

(a+ bx

p

)= −

(a

p

).

18. Sejam α, β numeros inteiros de valores possıveis ±1. Seja N(α, β) o numero deinteiros x no conjunto {1, 2, . . . , p− 2} tais que

(x

p

)= α,

(x+ 1p

)= β,

onde p e um primo ımpar. Prove que

VN 309


4N(α, β) =p−2∑x=1

{1 + α

(x

p

)}{1 + β

(x+ 1p

)}

e deduza

4N(α, β) = p− 2− β − αβ − α

(−1p

).

19. Use o exercıcio anterior para provar que para cada primo p existem inteiros x, ytais que x2 + y2 + 1 ≡ 0 (mod p).

310 VN

Capıtulo 4

Equacoes Diofantinas

Neste capıtulo vamos estudar a resolucao em Z de algumas equacoes Diofantinas daforma

axm + bym = czk m,n, k ∈ Z

De um modo geral designaremos por solucoes triviais as que tem pelo menos umadas coordenadas zero.

4.1 Ternos Pitagoricos

Um terno pitagorico e um terno ordenado (x, y, z) de numeros inteiros tal que

x2 + y2 = z2. (4.1)

E bastante simples verificar que os ternos pitagoricos triviais sao os que tem pelomenos uma das primeiras coordenadas zero e as outras duas iguais ou simetricas. Assolucoes nao triviais de (4.1) sao caracterizadas pelo seguinte teorema.

Teorema 4.1.1 O terno ordenado de numeros inteiros (x, y, z) e pitagorico sse e trivialou existem a, b, d ∈ N verificando simultaneamente as seguintes condicoes.

1. b < a

2. mdc(a, b) = 1

3. |z| = (a2 + b2)d

4.[|x| = 2abd & |y| = (a2 − b2)d

]ou

[|x| = (a2 − b2)d & |y| = 2abd

]Esta parte do texto e essencialmente dedicada a demonstracao deste teorema.

Comecemos por notar que se tem o seguinte

Lema 4.1.1 O terno (x, y, z) e pitagorico sse o mesmo acontececom (|x|, |y|, |z|).

401

Equacoes Diofantinas ITN(2001)

Assim vamos limitar-nos a caracterizar as solucoes nao triviais da equacao (4.1) emque todas as coordenadas sejam positivas, ou seja, vamos de facto passar a demonstrar

Teorema 4.1.2 O terno ordenado de numeros naturais (x, y, z) e pitagorico sse exis-tem a, b, d ∈ N verificando simultaneamente as seguintes condicoes.

1. b < a

2. mdc(a, b) = 1

3. z = (a2 + b2)d

4.[x = 2abd & y = (a2 − b2)d

]ou

[x = (a2 − b2)d & y = 2abd

]Calculos muito simples mostram que as quatro condicoes enunciadas no teorema

sao suficientes para que (x, y, z) seja um terno pitagorico nao trivial. Veremos que saotambem necessarias.

Considere-se o seguinte lema.

Lema 4.1.2 Para quaisquer numeros naturais m e n, m2|n2 sse m|n.

Dem. E imediato que m|n⇒ m2|n2, para quaisquer m,n ∈ Z. A implicacao recıproca,baseia-se em que um numero primo divide um quadrado se e so se divide a base e nofacto de todos os factores de base prima na decomposicao canonica (Teorema Funda-mental) de um quadrado perfeito terem expoente par. 2

Como consequencia tem-se

Lema 4.1.3 Se (x, y, z) e um terno pitagorico de numeros naturais, entao

mdc(x, y, z) = mdc(x, y) = mdc(x, z) = mdc(y, z).

Dem. Sejam (x, y, z) um terno pitagorico de numeros naturais, d = mdc(x, y, z) e, porexemplo d1 = mdc(x, z). Queremos mostrar que

d = d1.

Comecemos por observar que

mdc(x, y, z) := mdc(mdc(x, y), z) = mdc(x,mdc(y, z)) = mdc(y,mdc(x, z)),

de onde se obtem, em particular, d = mdc(y, d1). Como y2 = z2 − x2, tambem d21|y2 e,

pelo lema 4.1.2, d1|y; mas entao d1 = d. 2

Digamos que um terno pitagorico (x, y, z) e primitivo se

x, y, z ∈ N & mdc(x, y, z) = 1.

Do lema anterior (lema 4.1.3), resulta imediatamente o seguinte teorema.

402 VN

Int. a Teoria dos Numeros (2001) Equacoes Diofantinas

Teorema 4.1.3 As condicoes seguintes sao equivalentes para um ternopitagorico (x, y, z)

1. (x, y, z) e primitivo.

2. Duas das coordenadas do terno sao primas entre si.

3. As coordenadas do terno sao primas entre si duas a duas.

E deste pode obter-se ainda:

Teorema 4.1.4 Dado o terno pitagorico (x, y, z) ∈ N3, se

d ∈ N & x = du & y = dv & z = dw (4.2)

entao d = mdc(x, y, z) sse (u, v, w) e terno pitagorico primitivo.

Dem. Suponha-se que (x, y, z), (u, v, w) e d sao dados como em (4.2).(se) Por hipotese (u, v, w) e terno pitagorico primitivo e d|x, y, z. Vamos ver que d =mdc(x, y), o que, pelo lema 4.1.3, arrasta d = mdc(x, y, z). Ora, por hipotese e pelolema 4.1.3, mdc(u, v) = mdc(x

d ,yd) = 1, pelo que d = mdc(x, y), como se pretendia

mostrar.(so se) Tem-se

(du)2 + (dv)2 = (dw)2;

dividindo por d2 conclui-se que (u, v, w) e terno pitagorico; mais uma vez utilizando olema 4.1.3, tambem se conclui que (u, v, w) e primitivo. 2

Resumindo:

Teorema 4.1.5 E condicao necessaria e suficiente para que o terno denumeros naturais (x, y, z) seja pitagorico que exista um terno pitagorico primitivo(u, v, w) e um numero natural d tais que

x = du & y = dv & z = dw (4.3)

e neste caso d = mdc(x, y, z).

Passamos entao a caracterizacao dos ternos pitagoricos primitivos.

Teorema 4.1.6 Para que o terno ordenado de numeros naturais (x, y, z) seja pita-gorico primitivo e condicao necessaria e suficiente que existam a, b ∈ N verificandosimultaneamente as seguintes condicoes.

1. a e b tem paridades distintas

2. b < a

VN 403


3. mdc(a, b) = 1

4. z = a2 + b2

5. [x = 2ab & y = a2 − b2] ou [x = a2 − b2 & y = 2ab]

Dem. Comecamos com duas observacoes importantes. Uma cuja demonstracao sedeixa ao cuidado do leitor

Lema 4.1.4 A soma de dois quadrados de numeros ımpares nao e divisıvel por 4.

e outra que demonstramos

Lema 4.1.5 Se (x, y, z) e terno pitagorico primitivo, entao x e y tem paridades difer-entes.

Dem. (do lema 4.1.5) Pelo lema 4.1.3, x e y nao podem ser ambos pares e, pelolema anterior (4.1.4), nao podem ser ambos ımpares pois nesses casos z2 seria par econsequentemente divisıvel por 4 e soma de dois quadrados de numeros ımpares. 2

Lema 4.1.6 Para quaisquer numeros naturais a e b primos entre si, tais que b < a.Tem-se uma das situacoes seguintes

1. a e b tem paridades distintas e nesse caso (2ab, a2 − b2, a2 + b2) e(a2 − b2, 2ab, a2 + b2) sao ternos pitagoricos primitivos.

2. a e b sao ambos ımpares e nesse caso (ab, a2−b2

2 , a2+b2

2 ) e (a2−b2

2 , ab, a2+b2

2 ) saoternos pitagoricos primitivos.

Dem. Como a e b sao primos entre si, nao podem ser ambos pares, daı que as hipotesesapresentadas esgotam as possibilidades. Alguns calculos simples mostram que os ternosem estudo sao pitagoricos. Observe-se que no caso 2, como a e b sao ambos ımpares, adiferenca e a soma de quadrados sao ambas pares.

Suponha-se entao que

mdc(a, b) = 1 & b < a & d = mdc(2ab, a2 − b2, a2 + b2).

Vamos ver que no primeiro caso d = 1 e no segundo d = 2, o que, em vista do teorema4.1.4, permite retirar as conclusoes descritas.1. Como a e b tem paridades diferentes, um e par e outro e ımpar de modo que a2 + b2

e ımpar, ou seja 2 6 |(a2 + b2) e consequentemente 2 6 |d. Assim, se p for um numeroprimo que divide d, ter-se-a

p 6= 2 & p|ab & p|(a+ b)(a− b) & p|a2 + b2.

404 VN


Se p|a e p|a+b, entao p|b. Ora nao ha divisores primos comuns a a e b, donde d nao temdivisores primos, isto e, d = 1. Analogamente se estudam os casos em que p|a & p|a−bou p|b & p|a+ b ou p|b & p|a− b.

2. Vejamos que d1 = mdc(a2−b2

2 , a2+b2

2 ) = 1. Como d1 ∈ N, d1|a2−b2

2 e d1|a2+b2

2 ,somando ou subtraindo adequadamente, conclui-se que

d1|a2 & d1|b2

pelo que se p fosse divisor primo de d1, p seria divisor comum de a e de b, o que eimpossıvel por estes serem numeros primos entre si; mas entao d1 = 1, por ser umnumero natural sem divisores primos; segue-se mdc(a2 − b2, a2 + b2) = 2 e, como2|2ab, d = 2. 2

Continuando a demonstracao do teorema 4.1.6:Provamos no lema 4.1.6.1 que as condicoes do enunciado produzem ternos pitago-

ricos primitivos, ou seja formam uma condicao suficiente como se pretende. Vejamosque formam tambem uma condicao necessaria.

Seja (x, y, z) um terno pitagorico primitivo. Pelo lema 4.1.5, x e y tem paridadesdiferentes. Digamos que x e par (e y e ımpar), por exemplo

x = 2k. (4.4)

Tem-se2|(2k)2 = x2 = z2 − y2 = (z − y)(z + y) (4.5)

Pelo que 2|z − y ou 2|z + y; em qualquer caso,

2|z − y & 2|z + y

pois ambos os factores tem a mesma paridade. Segue-se que, para certos numerosnaturais u e v se tem

z − y = 2u & z + y = 2v & u < v. (4.6)

Resulta daqui, pela equacao (4.5), que

k2 = uv (4.7)

Vejamos queu e v sao primos entre si : (4.8)

Se p fosse um numero primo divisor simultaneo de u e v, entao ter-se-ia, pela condicao(4.6)

p|u+ v = z & p|v − u = y;

VN 405


mas entao (x, y, z) nao seria primitivo pelo lema 4.1.3, pois p|mdc(y, z); assim neces-sariamente se da (4.8). Mas entao resulta da equacao (4.7) que u, e v sao por sua vezquadrados perfeitos e, para certos a, b ∈ N tem-se, ainda por (4.6),

u = b2 & v = a2 & b < a & mdc(a, b) = 1

E concluimos com a equacao (4.4)

x = 2ab & y = a2 − b2 & z = a2 + b2.

tendo-se ainda que a e b tem paridades distintas pois, caso contrario, x e y seriamambos pares.

O caso em x e ımpar (e y e par) tratar-se-ia de modo analogo, dando lugar a outrapossibilidade em 5 no lema 4.1.6. 2

Resumindo: o teorema 4.1.2 caraceriza os ternos pitagoricos de numerosnaturais como multiplos naturais de ternos que se prova serem os unicos primitivos; osternos pitagoricos em Z serao entao obtidos de ternos em N por variacoes de sinal nascoordenadas (lema 4.1.1).

4.2 Somas de duas quartas potencias

Demonstraremos o seguinte:

Teorema 4.2.1x4 + y4 = z2

so tem solucoes triviais.

Entendendo solucoes triviais como aquelas em que uma das coordenadas x ou y enula.

Dem. Suponhamos que existem de facto solucoes nao triviais e, portanto existemnumeros inteiros u, v, w para os quais

u4 + v4 = w2 & u 6= 0 & v 6= 0 & w > 0.

De outro modo

C := {z ∈ N| ∃x ∈ N ∃y ∈ N x4 + y4 = z2} 6= ∅. (4.9)

Assim sendo (u2, v2, w) e terno pitagorico; como, se mdc(u, v) = d, entao(u2

d2 ,v2

d2 ,wd2 ) seria terno pitagorico primitivo e (u

d ,vd ,

wd ) ∈ C, podemos supor que (u2, v2, w)

406 VN


e primitivo, pelo que, pelo teorema 4.1.6, possivelmente trocando u com v, existemnumeros naturais a, b tais que

a e b tem paridades distintas, (4.10)a > b, (4.11)

mdc(a, b) = 1, (4.12)w = a2 + b2, (4.13)u2 = 2ab, (4.14)v2 = a2 − b2; (4.15)

admitamos que valem estas mesmas condicoes. Em primeiro lugar, por (4.10),

a e impar e b e par, (4.16)

porque se a fosse par, viria

v2 = a2 − b2 ≡ −b2 ≡ −1 (mod 4),

o que nao pode acontecer porque v e ımpar e daı v2 ≡ 1 (mod 4). Ora a2 = v2 + b2,por (4.15), e (v, b, a) e terno pitagorico primitivo, por (4.12). Por (4.16) e pelo teorema4.1.6, existem numeros naturais s e t tais que

s e t tem paridades distintas,

s > t,

mdc(s, t) = 1, (4.17)a = s2 + t2, (4.18)b = 2st, (4.19)v = s2 − t2; (4.20)

mas entao, por (4.14)u2 = 2ab = 4st(s2 + t2) (4.21)

e, como s e t sao primos entre si, por (4.17), o mesmo acontece com s e s2 + t2 e te s2 + t2, portanto s, t e s2 + t2 sao quadrados perfeitos, digamos que, para certosnumeros inteiros x, y e z, que podemos supor nao negativos,

s = x2 & t = y2 & s2 + t2 = z2 (4.22)

e portantox4 + y4 = z2,

ou seja(x, y, z) ∈ C. (4.23)

VN 407


Vamos ver que0 < z < w. (4.24)

Se s = 0 = t, entao u = v = 0, por (4.20) e (4.21), o que nao acontece, portanto0 < s2 + t2 = z2 e z > 0 porque estamos a supor que z nao e negativo; por outro lado,por (4.22), (4.18) e (4.13)

z < z2 = s2 + t2 = a < a2 + b2 = w.

Por (4.23) e (4.24), deduzimos que C nao tem mınimo; tal nao pode acontecer se severifica (4.9), portanto C = ∅ e o teorema fica demonstrado. 2

4.3 Somas de dois quadrados

Vamos caracterizar agora as solucoes da equacao

x2 + y2 = n (0 ≤ n ∈ Z) (4.25)

Comecemos por verificar que ela nao tem sempre solucao.

Exemplo 4.3.1 Pode verificar-se por tentativas que a equacao x2 + y2 = 7 nao temsolucao em Z: como 7 nao e um quadrado perfeito,nao ha solucoes triviais; por outrolado, as unicas expressoes de 7 como soma de dois numeros naturais sao 1+6, 2+5, 3+4e suas comutadas e 2, 3, 5 e 6 tambem nao sao quadrados perfeitos.

Veremos de que maneira a existencia de solucao inteira para (4.25) depende danatureza de n.

Definicao 4.3.1 Um numero natural n e simples se n = 1 ou n verifica a seguintecondicao: Se p e um numero primo

p|n ⇒ {p2 6 |n & [p = 2 ou p ≡ 1 (mod 4)]}

Vamos demonstrar o seguinte:

Teorema 4.3.1 A equacao (4.25) tem solucao sse existem s, n0 ∈ N tais que n0 esimples e n = s2n0.

Comecemos por observar que o exemplo 4.3.1 nao e excepcional.

Lema 4.3.1 Se n ≡ 3 (mod 4), entao n nao e soma de dois quadrados.

Dem. Um quadrado e congruente com 0 ou 1 (mod 4) consoante a base e par ou ımpar,pelo que uma soma de dois quadrados e congruente com 0, 1 ou 2 (mod 4). 2

O exemplo seguinte tambem nao e acidental

408 VN


Exemplo 4.3.2 5 = 1 + 4 = 12 + 22

Lema 4.3.2 Um numero primo p e soma de dois quadrados sse p = 2 oup ≡ 1 (mod 4).

Dem. (so se) Suponha-se que p e soma de dois quadrados, entao pelo lema 4.3.1,p 6≡ 3 (mod 4). Ora os numeros congruentes com 0 ou 2 (mod 4) sao pares, pelo que p,sendo primo e par so pode ser 2, e se for ımpar, so resta p ≡ 1 (mod 4).(se) Se p = 2 entao p = 12 + 12. Vejamos o caso

p ≡ 1 (mod 4). (4.26)

Em primeiro lugar tem-se

∃t ∈ N ∃x ∈ Z[x2 + 1 = tp & |x| ≤ p− 1

2<p

2

](4.27)

pois a equacao em (4.27) e equivalente a congruencia x2 + 1 ≡ 0 (mod p), que temsolucao por (4.26), podendo esta ser determinada pelo sistema completo de resıduos(mod p)

{−p−12 + i : 0 ≤ i ≤ p− 1}

onde os resıduos tem valor absoluto majorado como descrito em (4.27). Como 1 = 12,tem-se que

Cp = {t ∈ N : tp e soma de dois quadrados} 6= ∅De (4.27) deduz-se tambem

minCp < p (4.28)

pois se t ∈ Cp, entao

t =x2 + 1p

≤p2

4 + 1p

=p

4+

1p<p

4+p

2< p

Na verdademinCp = 1 (4.29)

como se pode ver do seguinte modo: suponha-se que, pelo contrario,

1 < k = minCp & kp = a2 + b2 (4.30)

Por um lado tem-se

∃x, y∈Z ∃m∈N {[x 6= 0 ou y 6= 0] & |x|, |y| ≤ k

2& mk = x2 + y2} (4.31)

pois, por um lado, podemos tomar x ≡ a (mod k) e y ≡ b (mod k) no sistema completode resıduos (mod k) {−k

2 +1+i : 0 ≤ i ≤ k−1} se k e par, ou {−k−12 +i : 0 ≤ i ≤ k−1}

se k e ımpar, verificando-se as inequacoes em (4.31); por outro lado, x e y nao podem

VN 409


ser nulos simultaneamente, ja que, se x = 0 = y, entao a ≡ 0 ≡ b (mod k), pelo que a2 ≡0 ≡ b2 (mod k2); mas entaoter-se-ia kp = a2 + b2 ≡ 0 (mod k2) ou seja kp = αk2 para algum α ∈ Z, de ondese concluiria k|p, o que e impossıvel por (4.28). Assim, sob a hipotese (4.30), tambem0 ≡ kp = a2 + b2 ≡ x2 + y2 (mod k), isto e, x2 + y2 = mk para algum m ∈ N, ficandodemonstrado (4.31) tambem sob a hipotese (4.30).

Mas podemos ser mais precisos ainda: nas condicoes (4.30)

m < k, (4.32)

pois

m =x2 + y2

k≤ 2k2/4

k=k

2< k.

Vamos ainda poder concluir que

∃u, v ∈ Z u2 + v2 = mp, (4.33)

o que, junto com (4.32) esta em contradicao com a definicao de k em (4.30), seguindo-seque nao pode ter-se k > 1, ou seja vale (4.29) como se pretendia provar. Deduzamosentao (4.33):

k2mp = (kp)(mk) = (ay − bx)2 + (ax+ by)2

Como x e y foram escolhidos de modo que x ≡ a (mod k) e y ≡ b (mod k), deduz-seque

ax+ by ≡ a2 + b2 ≡ 0 (mod k) & k|ax+ by

e tambemay − bx ≡ ab− ba = 0 (mod k) & k|ay − bx.

Segue-se que

mp =(ay − bx

k

)2

+(ax+ by

k

)2

e as duas fraccoes do segundo membro sao os u e v que procuravamos paradeduzir (4.33).

O lema 4.3.2 esta demonstrado. 2

Para terminarmos a demonstracao do teorema 4.3.1, interessa ter presente que

Lema 4.3.3 Se dois numeros naturais sao somas de dois quadrados, o seu produtotambem e.

Dem. Basta lembrar a formula (do quadrado do valor absoluto) do produto doisnumeros complexos 1 na forma algebrica: se m = a2 + b2 e n = c2 + d2, entao mn =(ac− bd)2 + (ad+ bc)2 2

1Veja-se a proposito (8.2)

410 VN


Dem. (do teorema 4.3.1)(se) Suponhamos entao que n = s2n0, em que n0 e simples. Se n0 = 1, imediatamentese tem n = s2 + 02. Se, para numeros primos distintos pi, n0 = p1 · · · pk, sendo pos-sivelmente algum dos primos igual a 2 e os restantes congruentes com 1 (mod 4), pelolema anterior (lema 4.3.3) e pelo lema 4.3.2, tem-se

n = s2(a2 + b2) = (sa)2 + (sb)2.

(so se) Suponha-se que n e soma de dois quadrados. Se n = s2 + 02, o teorema valecom n0 = 1. Se n nao e um quadrado, escreva-se

n = a2 + b2 =k∏

i=1

qαii ·

r∏i=1

qαk+i

k+i

em que os qi sao primos distintos, os αi sao pares se 1 ≤ i ≤ k e ımpares se k < i ≤ k+r,digamos

αk+i = 2βi + 1 (1 ≤ i ≤ r).

e faca-se

s2 =k∏

i=1

qαii ·

r∏i=1

q2βi

k+i & n0 =r∏

i=1

qk+i.

Falta verificar que os qk+i = pi sao 2 ou congruentes com 1 (mod 4). Suponhamos quenao e portanto, reordenando convenientemente,

p1 ≡ 3 (mod 4)Repare-se que n = a2 + b2 ≡ 0 (mod p1), portanto

p1|a,

ja que, caso contrario, a teria inverso a∗ (mod p1), e viria 1 + (a∗b)2 ≡ 0 (mod p1), oque e impossivel porque p1 6≡ 1 (mod 4). Analogamente se conclui que

p1|b

e portantop21|a2 + b2 = n.

Como p1 e distinto dos outros pi, p1|s; segue-se que

n

p12

=(a

p1

)2

+(b

p1

)2

=(s

p1

)2

p1 · · · pr.

Por este processo eliminamos p1 de s mas mantemos a forma

n = s2p1 · · · pr

o que implica que p1|s. Em suma, nao podemos supor que p1 ≡ 3 (mod 4) e o teoremafica demonstrado. 2

VN 411


4.4 Somas de quatro quadrados

Vamos demonstrar o seguinte

Teorema 4.4.1 Qualquer numero natural e soma de quatro quadrados de numerosinteiros.

Convencionamos, para abreviar, que soma de quatro quadrados deve entender-secomo soma de quatro quadrados de numeros inteiros.

Observando que vale

Lema 4.4.1 O produto de dois numeros naturais que sao somas de quatro quadradose soma de quatro quadrados.

bastara entao provar

Lema 4.4.2 Qualquer numero primo e soma de quatro quadrados.

Dem. (do lema 4.4.1)2 Basta tomar em consideracao a seguinte Identidade de La-grange: para quaisquer a, b, c, d, u, v, x, y ∈ R,

(a2 + b2 + c2 + d2)(u2 + v2 + x2 + y2) = (au+ bv + cx+ dy)2 + (av − bu− cy + dx)2

+ (ax+ by − cu− dv)2 + (ay − bx+ cv − du)2.

2

A demonstracao do lema 4.4.2 e essencialmemte semelhante a do lema 4.3.2, masprecisamos ainda de um outro lema.

Lema 4.4.3 A congruencia

x2 + y2 ≡ −1 (mod p) (4.34)

tem solucao para qualquer numero primo p.

Dem. E claro que 12 + 02 = 1 ≡ −1 (mod 2). Portanto suporemos de ora em dianteque p designa um numero primo ımpar.

Relembrando a contagem de resıduos quadraticos sabemos que os x2, para 0 ≤ x ≤p−12 , sao p+1

2 resıduos nao congruentes (mod p) dois a dois; o mesmo acontece com os−1− y2, para 0 ≤ y ≤ p−1

2 . Como um sistema completo de resıduos tem p elementos,existem x2 e −1− y2 congruentes entre si (mod p); mas entao x2 + 1 + y2 ≡ 0 (mod p).

2

2Veja-se a proposito o teorema 8.2.3

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Dem. (do lema 4.4.2) Queremos provar que, para qualquer numero primo p, existemx, y, z, w ∈ Z tais que

p = x2 + y2 + z2 + w2. (4.35)

De novo 2 = 12 +12 +02 +02, pelo que passaremos a supor que p designa um primoımpar.

Em primeiro lugar, resulta do lema 4.4.3 que, para certos m,x, y ∈ Z,

mp = x2 + y2 + 12 + 02 & 0 ≤ 0, 1, x, y ≤ p− 12

. (4.36)

Assim, definindo

k := min{m ∈ N| ∃x, y, z, w mp = x2 + y2 + z2 + w2} (4.37)

podemos concluir que1 ≤ k < p. (4.38)

E claro que se k = 1 nada ha mais a demonstrar. Vamos ver que 1 < k nao podeacontecer. Suponhamos entao que na verdade 1 < k.

Se k e par, o mesmo acontece com x + y + z + w, portanto ou todos os x, y, z, wsao pares ou todos sao ımpares ou dois sao pares e dois sao ımpares; suponha-se queno ultimo caso x e y tem a mesma paridade assim como z e w. Tem-se entao

k

2p =

(x+ y

2

)2

+(x− y

2

)2

+(z + w

2

)2

+(z − w

2

)2

.

o que contradiz a minimalidade de k, dada em (4.37). Portanto k nao e par, ou seja ktera de ser ımpar.

Se k dividisse todos os x, y, z, w entao k2|kp e daı k|p, o que tambem nao podeacontecer. Assim k ≥ 3. Por definicao de k em (4.37),

x2 + y2 + z2 + w2 equiv 0 (mod k)

e podemos escolher resıduos positivos (mod k), a, b, c, d de modulo nao superior a k2 , e

s ∈ N tais que

s < k & x ≡ a & y ≡ b & z ≡ c & w ≡ d (modk) & a2+b2+c2+d2 = sk.

Pelo lema 4.4.1, existem e, f, g, h ∈ Z tais que

kpks = e2 + f2 + g2 + h2. (4.39)

Como os e, f, g, h podem ser dados pela Identidade de Lagrange, pode supor-se que saotodos divisıveis por k, pelo que, dividindo em (4.39) por k2, representamos sp comosoma de quatro quadrados e s < k, contradizendo a definicao de k. Em qualquer casoconcluimos que k nao pode ser maior que 1. 2

VN 413


4.5 Exercıcios

1. Resolva as seguintes equacoes Diofantinas:

(a) x2 + y2 = 51;

(b) x2 + y2 + z2 = 18;

(c) x2 + 2xy + 2y2 = 17;

(d) 4x2 + 12xy + 10y2 = 26.

2. Resolva a equacao Diofantina em (x, y, z) x2 − y2 = z. e conclua que a equacaoDiofantina x2 − y2 = mk tem solucao (x, y) quando m, k ≥ 3.

3. Mostre que nem todos os numeros inteiros positivos sao somas de, no maximo,tres quadrados.

4. O Teorema de Fermat afirma:

Quando n > 2, a equacao Diofantina xn + yn = zn so tem solucoes triviais.

Verifique que vale quando n = 4, suponha-o demonstrado quando n e primo ımpare apresente uma demonstracao para os restantes casos baseada nestes dois.

5. Determine cinco ternos Pitagoricos primitivos distintos.

6. Mostre que para cada numero inteiro n ≥ 3 existe um terno Pitagorico em queuma das coordenadas e n.

7. Resolva a equacao Diofantina x2 + 4y2 = z2.

8. Determine todos os angulos θ para os quais sen θ e cos θ sao numeros racionais.

9. Mostre que a equacao Diofantina x2+y4 = z2 tem um numero infinito de solucoesnao triviais tais que mdc(x, y) = 1.

10. Resolva a equacao Diofantina x2 + py2 = z2 nos casos em que p e primo.

11. Resolva a equacao Diofantina (x2 + y2 − 2)4 + 16 = z2.

12. Suponha que mdc(a, b) = 1. Mostre que se a nao e soma de dois quadrados, entaoab tambem nao e.

13. Mostre que a equacao 5x2 + 14xy + 10y2 = n tem solucoes em inteiros se e so sen e soma de dois quadrados.

14. Mostre que a equacao (x2 + 1)4 + (y2 + 2)4 = (z + 4)2 nao tem solucoes inteiras.

15. Determine todas as solucoes da equacao diofantina

(x4 + 1)4 + y12 = (z2 + 1)4.

414 VN


16. Considere a equacao x2 − 6y2 = 1.

(a) Mostre que se (x0, y0) ∈ Z2 e uma solucao da equacao, entao (5x0+12y0, 5y0+2x0) tambem e.

(b) Use a alınea anterior para obter pelo menos cinco solucoes distintas daequacao.

(c) Mostre que a equacao tem infinitas solucoes.

17. Mostre que se n4k ≡ 7 (mod 8) (k ∈ N), entao n nao e soma de tres quadrados.

VN 415


416 VN

Capıtulo 5

Funcoes aritmeticas

5.1 Introducao

Uma funcao real de variavel natural diz-se aritmetica. Consideremos algumas funcoesaritmeticas importantes.

Para cada n ∈ N define-se

d(n) = numero de divisores positivos de n

σ(n) = soma dos divisores positivos de n

Teorema 5.1.1 Se p1, · · · , pk sao os divisores primos de n ∈ N e para certos numerosnaturais αi n =

∏ki=1 p

αii , entao

d(n) =k∏

i=1

(1 + αi) (5.1)

σ(n) =k∏

i=1

αi∑j=0

pji (5.2)

=k∏

i=1

pαi+1i − 1pi − 1

(5.3)

A validade destes dois resultados conclui-se das observacoes seguintes

1. Os numeros primos que dividem os divisores de n nao triviais tambem dividemn, isto e

1 6= d | n ⇒ d =r∏

j=1

pβj

ij

com 1 ≤ βj ≤ αij .

501

Funcoes aritmeticas ITN(2001)

2. Consequentemente os divisores positivos de n sao os monomios do desenvolvi-mento de

f(n) = (1 + p1 + · · ·+ pα11 ) · · · (1 + pk + · · ·+ pαk

k )

3. Assim d(n) e o numero de monomios do desenvolvimento do mesmo f(n) eσ(n) = f(n)

Uma argumentacao de contagem analoga as anteriores permite estabelecer o teore-ma seguinte. Demonstra-lo-emos tambem via das propriedades das funcoes multiplica-tivas (teorema 5.5.2)


∏ki=1 p

αii , entao

φ(n) = n

k∏i=1

(1− 1

pi

)=

k∏i=1

[pαi−1

i (pi − 1)]. (5.4)

Utilizaremos o lema seguinte.

Lema 5.1.1 Sejam d e n numeros naturais e suponha-se que d|n. O conjunto {i ∈N| d|i ≤ n} tem n

d elementos.

Dem. Se n = kd, os elementos do conjunto em questao sao precisamente 1d, 2d, · · · , kd.

2

Dem. (do teorema 5.1.2) Seja n um numero natural maior que 1, representado naforma canonica por pα1

1 · · · pαkk . Se designarmos por C o conjunto dos numeros entre 1

e n que nao sao primos com n e definirmos

Ci := {k ∈ N| 1 ≤ k ≤ n & pi|k},

tem-se, por um ladoC = ∪k

i=1Ci

e, por outro lado

Ci1 ∩ · · · ∩ Cis = {k ∈ N| 1 ≤ k ≤ n & pi1 · · · pis |k} (i1 < · · · < is; 1 ≤ s ≤ k).

Portanto

#C =k∑

i=1

#Ci −∑

1≤i1<i2≤k

#(Ci1 ∩ Ci2) +∑

1≤i1<i2<i3≤k

#(Ci1 ∩ Ci2 ∩ Ci3)− · · ·

+ (−1)k+1#(C1 ∩ · · · ∩ Ck)

502 VN

Int. a Teoria dos Numeros (2001) Funcoes aritmeticas

Como, pelo lema 5.1.1,

#Ci1 ∩ · · · ∩ Cis =n

pi1 · · · pis

= n1pi1

· · · 1pis

,

concluimos

#C =k∑

i=1

n

pi−

∑1≤i1<i2≤k

n1pi1

1pi2

+∑

1≤i1<i2<i3≤k

n1pi1

1pi2

1pi3

− · · ·

+ (−1)k+1n1p1· · · 1

pk.

e, pondo n em evidencia nesta ultima formula, como

φ(n) = n−#C,

φ(n)n

= 1− #Cn

= 1−k∑

i=1

1pi

+∑

1≤i1<i2≤k

1pi1

1pi2

−∑

1≤i1<i2<i3≤k

1pi1

1pi2

1pi3

+ · · ·

+(−1)k 1p1· · · 1

pk

=k∏

i=1

(1− 1

pi

),

ou seja

φ(n) = n

k∏i=1

(1− 1

pi

).

2

Outras funcoes aritmeticas que virao a ser-nos uteis: defina-se para cada n ∈ N

1(n) := 1 (5.5)

e(n) :=[

1n

]=

{1 se n = 10 se n > 1

. (5.6)

(5.7)

E ainda a funcao µ de Mobius, definida, para cada numero natural n, por

µ(n) =

1 se n = 10 se ∃p [p e primo & p2 | n](−1)k se n = p1 · · · pk com os pi primos distintos.

(5.8)

VN 503


5.2 Produto de Dirichlet

Designemos por A o conjunto de todas as funcoes aritmeticas. Uma forma que se ob-servou ser conveniente de algebrizar A foi o produto de convolucao ou de Dirichlet,designado por ∗ e definido por

f ∗ g(n) =∑d|n

f(d)g(n

d) (n ∈ N). (5.9)

As propriedades basicas deste produto ficam descritas nos teoremas seguintes, cujademonstracao se deixa a cargo do leitor. Recordem-se as funcoes definidas na seccaoanterior (5.1).

Teorema 5.2.1 (A, ∗) e um monoide comutativo. Mais precisamente:

1. ∗ e associativa e comutativa,

2. e e elemento neutro para ∗.

Designe-se por A1 o conjunto das funcoes aritmeticas nao nulas em 1.

Teorema 5.2.2 Se f ∈ A1 e g e definida recursivamente por

g(1) =1

f(1)

g(n) = − 1f(1)

∑d|n

f(d)g(nd

), se n > 1,

entao

1. g ∗ f = f ∗ g = e,

2. (A1, ∗) e grupo abeliano.

5.3 Funcoes multiplicativas

Uma funcao aritmetica f diz-se multiplicativa se verificar

mdc(m,n) = 1 ⇒ f(mn) = f(m)f(n) (m,n ∈ N) (5.10)

Um resultado natural:

Teorema 5.3.1 Uma funcao aritmetica nao identicamente nula f e multiplicativa see apenas se

f(1) = 1 & f

(k∏

i=1

pαii

)=

k∏i=1

f (pαii ) (5.11)

sempre que os pi sao primos distintos dois a dois e os αi sao numero naturais.

504 VN


Dem. Suponha-se que f e multiplicativa. Como mdc(1, n) = 1, tem-se f(1) = f(1 ×1) = f(1)f(1), de onde se segue f(1) = 0 ou f(1) = 1; ora, se f(1) = 0, resultaf(m) = f(1 ×m) = f(1)f(m) = 0, pois mdc(1,m) = 1 (m ∈ N) e f e identicamentenula; assim, se f 6≡ 0, necessariamente f(1) = 1. A segunda parte da condicao (5.11)e tambem necessaria, pois potencias de base prima sao primas entre si se as bases saodistintas.

Concluimos que a condicao (5.11) e necessaria.Suponha-se agora que vale a condicao (5.11) e que mdc(m,n) = 1. De f(1) = 1

obtem-se, para m=1, f(mn) = f(n) = f(1)f(n) = f(mn) e, para n = 1, f(mn) =f(m) = f(m)f(n). Se m 6= 1 6= n, entao as representacoes canonicas de m e de nnao tem factores primos comuns e a segunda parte da condicao (5.11) garante quef(mn) = f(m)f(n).

Concluimos que a condicao (5.11) e suficiente. 2

E um exercıcio facil demonstrar agora o seguinte corolario.

Corolario 5.3.1 Duas funcoes multiplicativas coincidem sse coincidirem nas potenciasde expoente inteiro nao negativo dos numeros primos.

Ilustremos a definicao:

Teorema 5.3.2 1. Todas as funcoes definidas na seccao anterior (5.1) sao multi-plicativas.

2. De facto, o produto de convolucao de duas funcoes multiplicativas e tambem mul-tiplicativo.

Dem. (1) Para verificar que d, σ e φ, basta observar que dois numeros naturais saoprimos entre si apenas quando nao tem divisores primos comuns; consequentemente,se n =

∏ki=1 p

αii e m =

∏ri=1 q

βii , com primos pi e qj totalmente distintos dois a dois, e

mdc(m,n) = 1, tem-se

mn =k∏

i=1

pαii

r∏i=1

qβii

e resta aplicar as equacoes em 5.1 e 5.4.1 e obviamente multiplicativa, pois so toma o valor 1.Quanto a e: dados numeros naturais m e n quaisquer, se sao ambos 1

e(mn) = 1 = 1× 1 = e(m)e(n).

Se um deles e maior que 1, o mesmo acontece com o produto mn e tem-se[1mn

]= 0;

VN 505


por outro lado se, por exemplo m > 1, entao[1m

] [1n

]= 0×

[1n

]= 0

e tambem e(mn) = e(m)e(n).Para a funcao de Mobius vamos utilizar o Teorema 5.3.1.Por definicao µ(1) = 1 e, se p e primo e α ∈ N, µ(pα) vale −1 ou 0, consoante

α = 1 ou α > 1; assim, se algum dos expoentes em∏k

i=1 pαii e maior que 1, por um

lado µ(∏k

i=1 pαii

)= 0, por definicao de µ e, por outro,

∏ki=1 µ (pαi

i ) = 0, pelo queobservamos acima, pois um dos factores e zero; se todos os expoentes sao 1, de novoµ(∏k

i=1 pαii

)= (−1)k, por definicao de µ e

∏ki=1 µ (pαi

i ) = (−1)k, pelo que observamosacima. Em qualquer dos casos se verifica a condicao (5.11) para µ.

(2) A demonstracao nao e conceptualmente difıcil. Basta observar que, semdc(m,n) =1 e d|mn, entao para certos k e t, d = kt, mdc(k, t) = 1 e k|m e t|n e desenvolver calculosa partir das definicoes relevantes. 2

Teorema 5.3.3 Se g e uma funcao aritmetica multiplicativa e

f(n) =∑d|n

g(d)

entao f e multiplicativa.

Dem. Basta observar que, nas condicoes descritas f = g ∗1, e aplicar o teorema 5.3.2.2

5.4 Formula de Inversao de Mobius

Lema 5.4.1 Para qualquer n ∈ N

∑d|n

µ(d) =

{1 se n = 10 se n > 1

(5.12)

Ou sejaµ ∗ 1 = 1 ∗ µ = e. (5.13)

Dem. Defina-se f(n) =∑

d|n µ(d). Como vimos no teorema 5.3.2, µ e multiplicativa,pelo que f tambem e (teorema 5.3.3). Assim temos

f(1) =∑d|1

µ(d) = µ(1) = 1.

506 VN


Se p e primo e α ≥ 1,

f(pα) =

{µ(1) + µ(p) = 1− 1 = 0 se α = 1∑α

i=0 µ(pi) = 1− 1 + 0 = 0 α > 1(5.14)

Portanto, se n =∏k

i=1 pαii for a decomposicao canonica de n, tem-se que o valor (da

funcao multiplicativa f) f(n) e um produto de zeros, logo e zero. 2

Teorema 5.4.1 Seja g uma funcao aritmetica qualquer. As duas condicoes seguintessao equivalentes

∀n ∈ N f(n) =∑d|n

g(d). (5.15)

∀n ∈ N g(n) =∑d|n

µ(d)f(n

d). (5.16)

Dem. (5.15) pode reformular-se por f = g ∗ 1, de onde se segue, pelo teorema 5.2.1 epelo lema 5.4.1, f∗µ = (g∗1)∗µ = g∗(1∗µ) = g, que reformula (5.16). Reciprocamente,(5.16) traduz-se por g = f ∗µ e segue-se analogamente g∗1 = f ∗µ∗1 = f , que reformula(5.15). 2

5.5 A funcao de Euler

Nesta seccao apresentamos uma demonstracao da formula (5.4) que poe em evidenciaalguns resultados tambem importantes da teoria elementar dos numeros; em particularnao se recorre ao produto de Dirichlet.

Lema 5.5.1 Se d | n ∈ N, entao

φ(n

d) = #{k ∈ N| k ≤ n & mdc(k, n) = d} (5.17)

Dem. Vamos ver que os dois seguintes conjuntos sao equipotentes:

Cnd = {k ∈ N| k ≤ n & mdc(k, n) = d} (5.18)

C ′nd = {k′ ∈ N| k′ ≤ n

d& mdc(k′,

n

d) = 1} (5.19)

Defina-se f(k) = kd (k ∈ Cnd). Pelo teorema 1.2.4, f(Cnd) ⊆ C ′

nd. Por outro lado, sek′ ∈ C ′

nd, tem-se mdc(k′, nd ) = 1, logo

1 = min{xk′ + yn

d> 0| x, y ∈ Z}

VN 507


donde

d = min{d(xk′ + yn

d) > 0| x, y ∈ Z}

= min{xdk′ + yn > 0| x, y ∈ Z}= mdc(dk′, n).

Mas entao f e bijectiva, pois de facto f−1 = k′ 7→ dk′.Concluindo, os conjuntos em causa tem o mesmo cardinal, como querıamos provar.

Repare-se que #C ′nd e precisamente φ(n

d ). 2

Teorema 5.5.1n =

∑d|n

φ(d) (n ∈ N) (5.20)

Dem. Por um lado d 7→ nd define uma permutacao dos divisores de n, consequentemente∑

d|n

φ(d) =∑d|n

φ(n

d);

por outro lado, os conjuntos Cnd definidos na demonstracao do teorema anterior formamuma particao de {1, 2, · · · , n} e daı

n = #{1, · · · , n} =∑d|n

#Cnd =∑d|n

φ(n

d) =

∑d|n

φ(d).

Como querıamos. 2

Finalmente voltamos a formula de calculo da funcao de Euler.


∏ki=1 p

αii , entao

φ(n) = n

k∏i=1

(1− 1

pi

)=

k∏i=1

[pαi−1

i (pi − 1)]. (5.21)

Em particular, φ e multiplicativa.

Dem. A segunda equacao resulta obviamente da primeira. A primeira equacao obtem-se com a formula de inversao de Mobius. Pelo teorema anterior e pela formula deinversao

φ(n) =∑d|n

µ(d)n

d= n

∑d|n

µ(d)d

508 VN


Por um lado os divisores positivos de n sao da forma pβ11 · · · pβk

k com 0 ≤ βi ≤ αi; poroutro µ(d) = 0 se algum dos βi ≥ 2. Consequentemente µ(d)

d 6= 0 apenas quando d elivre de quadrados; mas entao os termos nao nulos do segundo somatorio acima sao daforma

(−1)l 1pi1

· · · 1pil

As formulas de Van de Graaf para o desenvolvimento de∏l

i=1(x − ai) dao-nos a ex-pressao final.

A multiplicatividade de φ e agora facil de demonstrar: basta observar que, se m en nao tem divisores primos comuns, as comutatividade e associatividade do produto denumeros naturais permitem concluir φ(mn) = φ(m)φ(n). 2

5.6 Numeros perfeitos

Um numero natural diz-se perfeito se for a soma dos seus divisores proprios (nos quaisse inclui 1); por exemplo 6 e o menor numero perfeito. Vejamos alguns teoremas declassificacao. Recorde-se que σ(m) designa a soma dos divisores naturais do numeronatural m.

Teorema 5.6.1 Para qualquer n ∈ N, se 2n−1 e primo, entao 2n−1(2n−1) e perfeito.

Dem. Repare-se que n e perfeito sse σ(m) = 2m e que, se 2n − 1 e primo, entaomdc(2n−1, 2n − 1) = 1 (n ∈ N). 2

Teorema 5.6.2 Os numeros perfeitos pares sao da forma 2n−1(2n − 1) com n ∈ N e2n − 1 primo.

Dem. Em primeiro lugar observe-se que uma potencia de dois nao e perfeita pois

σ(2n) = 2n+1 − 1 < 2n+1 = 2 · 2n. (5.22)

Suponha-se entao que m e perfeito e par. Pela equacao anterior (5.22)

m = 2α · k com k impar & k > 1.

Como σ e multiplicativa,

2m = σ(m) = σ(2α)σ(k) =(2α+1 − 1

)σ(k)

ou seja2α+1k =

(2α+1 − 1

)σ(k).

VN 509


Como 2α+1 e 2α+1 − 1 sao primos entre si

2α+1|σ(k) isto e σ(k) = u2α+1; (5.23)

mas entao2α+1k = (2α+1 − 1)u2α+1 & k = u(2α+1 − 1).

Assim, se u > 1,σ(k) ≥ 1 + u+ u(2α+1 − 1) = u2α+1 + 1,

o que contradiz (5.23); portanto so u = 1 e possıvel. Mas entao

k = 2α+1 − 1 & m = 2α(2α+1 − 1) & σ(k) = 2α+1.

Em particular σ(k) = k + 1 e daı k e primo. 2

5.7 Exercıcios

1. Mostre que d(n) e ımpar se e so se n e um quadrado perfeito.

2. Mostre que para cada numero natural m > 1 existe um numero infinito denumeros naturais n tais que d(n) = m.

3. Mostre que ∏d|n

d = nd(n)

2 .

4. Mostre que para qualquer funcao aritmetica f se tem∑d|n

f(d) =∑d|n

f(n

d).

5. Nos problemas que se seguem supoe-se que para certos numeros primos distintospi e naturais αi,

n =k∏

i=1

pαii .

Uma funcao aritmetica f diz-se totalmente multiplicativa se para quaisquerm,n ∈N se tem f(mn) = f(m)f(n).

(a) Defina λ(n) = (−1)∑k

i=1 αi e λ(1) = 1. Mostre que

i. λ e totalmente multiplicativa.

510 VN


ii. ∑d|n

λ(d) ={

1 se n e quadrado perfeito0 caso contrario.

(b) Defina ν(n) = 2∑k

i=1 αi e ν(1) = 1. Mostre que ν e totalmente multiplicativae determine uma expressao para

∑d|n ν(d).

(c) Para um dado t ∈ Z defina ω(k) = tk e ω(1) = 1. Mostre que

i. ω e multiplicativa;ii. ∑

d|n

ω(d) =k∏

i=1

(1 + αit).

6. Mostre que

(a) O produto de convolucao e comutativo, associativo e distributivo relativa-mente a adicao usual de funcoes.

(b) Se f e g sao funcoes aitmeticas multiplicativas, f ∗ g tambem e.

7. Defina

e(n) =[

1n

]={

1 se n = 10 se n > 1

(n ∈ N)

(a) Mostre que e e multiplicativa.

(b) Mostre que para qualquer funcao aritmetica f , f ∗ e = f .

(c) Conclua que o conjunto das funcoes aritmeticas f, A, algebrizado por ∗ eum monoide comutativo.

8. Dada f ∈ A tal que f(1) 6= 0, seja g a funcao aritmetica definida por

g(1) =1

f(1)

g(n) = − 1f(1)

∑d|n

f(d)g(nd

), se n > 1

Mostre que

(a) g ∗ f = e.

(b) Conclua da alınea anterior que o conjunto das funcoes aritmeticas nao nulasem 1 munido do produto de convolucao e grupo abeliano.

(c) SejaM o conjunto das funcoes multiplicativas nao identicamente nulas. Quepode dizer quanto a natureza algebrica de (M, ∗)?

VN 511


9. (a) Defina as funcoes aritmeticas Ik e 1 por

Ik(n) = nk 1(n) = 1

e mostre que

i. As funcoes Ik e 1 sao multiplicativas.ii. d = 1 ∗ 1;iii. σ = 1 ∗ I;iv. se σk(n) e a soma das k-esimas potencias dos divisores positivos de n,

entao σk = 1 ∗ Ik;v. se f e totalmente multiplicativa, entao f ∗ f = fd;vi. Ik ∗ Il(n) = nlσk−l(n).

(b) Determine uma expressao para σ ∗ d.

10. Suponha que f e uma funcao aritmetica e defina

F (n) =∑d|n

f(d) (n ∈ N).

Mostre que se F e multiplicativa, f tambem e.

11. Mostre que a unica funcao aritmetica f que verifica a condicao∑d|n

f(d) = n

e a funcao φ.

12. A funcao Λ de von Mangoldt e definida por

Λ(n) ={

log p se n = pm para algum primo p e algum m ≥ 10 caso contrario.

Mostre que

(a) log n =∑

d|n Λ(d);

(b) Λ(n) = −∑

d|n µ(d) log(d).

13. Mostre que, para cada n ∈ N, o conjunto {x ∈ N | φ(x) = n} e finito.

14. Mostre que se n > 2, φ(n) e par.

15. Mostre que d(n) ≤ 2√n.

512 VN


16. Seja f(n) uma funcao multiplicativa nao identicamente nula. Entao∑d|n

µ(d)f(d) =∏p|n

(1− f(p)),

onde p percorre todos os divisores primos de n.

17. Mostre que se n e um numero perfeito, entao∑

d|n1d = 2.

18. Determine todos os numeros perfeitos menores que 103.

19. Mostre que 28 e o unico numero perfeito par da forma

(a) an + 1, com n ≥ 2;

(b) an + bn, com n ≥ 2 e mdc(a, b) = 1 (28 = 33 + 13).

20. Mostre que nao ha numeros perfeitos pares da forma ann···

n

+1, com n ≥ 2 e pelomenos dois expoentes n.

21. Mostre que um numero perfeito ımpar nao e primo nem produto de dois primos.

22. Mostre que se n e um numero perfeito ımpar entao n = pek2, onde p e um primoque nao divide k e p ≡ e ≡ 1 (mod 4).

23. Um par (m,n) ∈ N2 diz-se amigavel se cada coordenada e a soma dos divisoresproprios (incluindo 1) da outra. Mostre que

(a) O par (m,n) e amigavel se e so se σ(m) = σ(n) = m+ n.

(b) Verifique que (220, 284), (5020, 5564) e (17296, 18416) sao pares amigaveis.

24. Mostre que se a = 3 × 2n − 1, b = 3 × 2n−1 − 1 e c = 9 × 22n−1 − 1 sao primosımpares, o par (2nab, 2nc) e amigavel.

VN 513


514 VN

Parte II

Numeros reais

601

Capıtulo 6

Fundamentacao

Neste capıtulo provamos que, a menos de um isomorfismo, o corpo Q, dos numerosracionais, esta contido em todos os corpos ordenados e todos os corpos ordenadoscompletos sao isomorfos e revemos algumas propriedades dos numeros reais.

Tomaremos um ponto de vista superestrutural: identificaremos subestruturas espe-ciais dos corpos ordenados como estruturas de numeros naturais, de numeros inteirose de numeros racionais. Na seccao 6.2 abordaremos rapidamente uma visao mais con-strutiva (teorema 6.2.1).

OBS.: 1. Os termos anel e domınio de integridade entender-se-ao respectivamentecomo sinonimos de anel associativo e domınio.

2. Um mergulho de uma estrutura algebrica A noutra B e um morfismoinjectivo de A em B

6.1 Corpos ordenados e numeros racionais

Um corpo e um anel de divisao comutativo. Por outras palavras, uma estruturaalgebrica K = (K,+, ·) com duas operacoes binarias + e · diz-se um corpo se verificaras seguintes propriedades

1. K e um anel cujo zero designamos por 0.

2. (K\{0}, ·) e um grupo comutativo cujo elemento neutro designamos por 1, oupor unidade do corpo.

Note-se que, em particular, 0 6= 1 pela segunda propriedade. Do modo usual,identificaremos a · b com ab quando a, b ∈ K.

Um corpo K e ordenado quando se distingue um subconjunto K+ de K, ditoconjunto dos elementos positivos de K, para o qual se verificam as condicoesseguintes

1. 0 6∈ K+ 6= ∅

603

Numeros Reais ITN(2001)

2. Para quaisquer a, b ∈ K, da-se uma e so uma das condicoes seguintes

(a) a = b

(b) a− b ∈ K+

(c) b− a ∈ K+

3. Para quaisquer a, b ∈ K+, a+ b ∈ K+

4. Para quaisquer a, b ∈ K+, ab ∈ K+

E um exercıcio verificar que a condicao

a < b se e so se b− a ∈ K+ (a, b ∈ K+)

define uma relacao < de ordem total estrita em K de modo queK+ = {x ∈ K : 0 < x}, e K = (K,+, ·, < ) e uma estrutura algebrica em queK = (K,+, ·) e um corpo e < e compatıvel com + e semicompatıvel com ·, ou seja:

1. A relacao < e

(a) Anti-reflexiva — a 6< a, seja qual for a ∈ K.(b) Anti-simetrica — a < b ⇒ b 6< a, sejam quais forem a, b ∈ K.(c) Transitiva — a < b & b < c ⇒ a < c, sejam quais forem a, b, c ∈ K.(d) Tricotomica — para quaisquer a, b ∈ K, da-se uma e so uma das condicoes

seguintes: a = b, a < b, b < a.

2. Para quaisquer a, b, c ∈ K, a < b ⇒ a+ c < b+ c.

3. Para quaisquer a, b, c ∈ K, [a < b & 0 < c] ⇒ ac < bc

De facto, estas propriedades de < podem ser tomadas como definidoras de corpoordenado, deduzindo-se delas que o conjunto {x ∈ K : 0 < x} verifica as propriedadestomadas inicialmente como caracterısticas de K+, de tal modo que a relacao de ordemobtida a partir de K+ e precisamente < . De modo um pouco informal: ha umacorrespondencia bijectiva natural entre ordens compatıveis com as operacoes do corpoe conjuntos de positivos.

Vamos ver que, a menos de um isomorfismo, todos os corpos ordenados, contem ocorpo dos numeros racionais, ou seja Q e o menor corpo ordenado.

Seja entao K um corpo ordenado com relacao de ordem <.

Lema 6.1.1 Para qualquer a ∈ K,

(i) a < 0 se e so se 0 < −a

(ii) −a < 0 se e so se 0 < a

604 VN

Int. a Teoria dos Numeros (2001) Numeros Reais

(iii) Se a 6= 0 entao 0 < a2

(iv) 0 < 1

Dem. As condicoes (i) e (ii) sao equivalentes, ja que, em qualquer anela = −(−a). Assim limitar-nos-emos a provar (i), (iii) e (iv)

(i) Observe-se que vale a seguinte cadeia de implicacoes, pela compatibilidade de< com +.

a < 0 ⇒ 0 = a+ (−a) < 0 + (−a) = −a ⇒ a = 0 + a < −a+ a = 0

(iii) Como a2 = (−a)2, por (i) e pela semicompatibilidade de < com ·, quando a 6= 0,a2 e sempre o produto de dois elementos positivos, portanto e positivo.(iv) Observe-se que 0 6= 1 = 12 e tome-se em conta (iii). 2

Definicao 6.1.1 Um subconjunto C de K diz-se indutivo se 1 ∈ C e x + 1 ∈ Csempre que x ∈ C.

Obviamente K e K+ sao indutivos, mas ha concerteza subconjuntos indutivos maispequenos. Designe-se por N a interseccao de todos os subconjuntos indutivos de K.Seja ainda S a restricao da funcao x 7→ x+ 1 a N.

Lema 6.1.2 N e um subconjunto indutivo e (N,S,1) e uma estrutura denumeros naturais.

Dem. Em primeiro lugar, 1 ∈ N pois, por definicao, 1 e elemento de todos os sub-conjuntos indutivos. Por outro lado, se x ∈ N entao x esta em todos os subconjuntosindutivos e consequentemente x+1 tambem, portanto x+1 ∈ N se x ∈ N. E concluimosde facto duas coisas a saber:

1. N e indutivo

2. S e uma funcao de N em N.

Como (K,+) e um grupo, S e injectiva. Alem disso, 1 = S(x) ⇒ x = 0, pelo que1 so pode ser imagem por S de algum elemento de N se 0 ∈ N. Ora K+ e indutivo e0 6∈ K+, portanto 0 6∈ N e 1 6∈ S(N).

Finalmente, vejamos que se verifica o Princıpio de Inducao:Se 1 ∈ A ⊆ N e x + 1 ∈ A sempre que x ∈ A, entao A e um suconjunto indutivo

de N ; ora, por definicao, N ⊆ A, portanto A = N. 2

Assim N = {1,1 + 1,1 + 1 + 1, · · · } e como habitualmente fazemos a convencaonotacional de designar a soma de n 1s pelo numero natural intuitivo n. Em suma

VN 605


Corolario 6.1.1 A menos de um isomorfismo de estruturas de numeros naturais, oconjunto N dos numeros naturais intuitivos e subconjunto de qualquer corpo ordenado.

Deixamos ao cuidado do leitor a demonstracao do seguinte resultado

Teorema 6.1.1 A soma, o produto e a ordem definidas em N como universo da estru-tura de numeros naturais (N, S,1) coincidem com as induzidas pelocorpo K.

Repare-se agora que, como K e um corpo, todos os elementos n ∈ N tem um inversomultiplicativo n−1 ∈ K, que e sempre um numero positivo, e que os elementos daforma np−1 com n, p ∈ N formam um grupo para a multiplicacao. Reunimos num lemaalgumas propriedades importantes:

Lema 6.1.3 Sejam K+ o subconjunto de elementos positivos de K eQ = {np−1 : n, p ∈ N}.

1. Para qualquer a ∈ K\{0}, a−1 tem o mesmo sinal que a.

2. N ⊂ Q ⊆ K+

3.(np−1

)−1 = pn−1, para quaisquer n, p ∈ N

4. (np−1)(mq−1) = (nm)(pq)−1 (m,n, p, q ∈ N)

5. (Q, ·) e um grupo comutativo

6. (mk)(pk)−1 = mp−1

7. np−1 +mq−1 = (nq +mp)(pq)−1 (m,n, p, q ∈ N), e (Q,+) e um semigrupo.

8. (Q,+, ·) e uma estrutura algebrica onde · e distributiva relativamente a +.

Dem. 1. Se x < 0 < y, entao xy < 0y = 0, pela semi-compatibilidade do produto coma ordem; como 0 < 1 = aa−1, a e a−1 tem o mesmo sinal.

2. Por um lado, para todo o n ∈ N, n = n1 = n1−1; por outro, como K+ e indutivo,N ⊆ K+ e daı os elementos de Q sao produtos de elementos positivos, logo tambempositivos.

3,4,6 deixam-se ao cuidado do leitor.

5. As partes 3 e 4 estabelecem que a estrutura e de grupoide (com identidade e)onde todos os elementos tem inverso; como a associatividade e a comutatividade saohereditarias, a estrutura e de facto de grupo comutativo.

7. np−1 +mq−1 = nqq−1p−1 +mpq−1p−1 = (nq +mp)(pq)−1.

8. As distributividades sao tambem hereditarias. 2

606 VN


Passando a identificacao usual

ab−1 =a

bse b 6= 0,

as propriedades da estrutura (Q,+, ·) que acabamos de descrever poem em evidencia queela se comporta como o conjunto dos numeros racionais positivos usuais ou intuitivos,em particular as propriedades 3, 4, 6 e 7 descrevem as propriedades essenciais dasfraccoes:

1ab

=b

a(a 6= 0) &

a

b· cd

=ac

bd&

ad

bd=a

b&

a

b+c

d=ad+ bc

bd

Ora K e um corpo, consequentemente, fazendo −X = {−x : x ∈ X},

−N ⊆ −Q ⊆ K

e e facil, se bem que porventura trabalhoso, demonstrar que

Teorema 6.1.2 1. N ∪ {0} ∪ −N ⊆ Q ∪ {0} ∪ −Q ⊆ K.

2. (N ∪ {0} ∪ −N,+, ·) e um subdomınio de integridade de K.

3. (Q ∪ {0} ∪ −Q,+, ·, < ) e um subcorpo ordenado de K com conjunto de positivosQ.

Para fixar ideias, defina-se

Z = N ∪ {0} ∪ −N & Q = Q ∪ {0} ∪ −Q & Z = (Z,+, ·) & Q = (Q,+, ·).

Teorema 6.1.3 Q = {mn : m,n ∈ Z & n 6= 0}

Dem. Um aspecto fundamental da demonstracao e que

−m−n

=m

n& − m

n=−mn

=m

−n.

A verificacao destas igualdades pode fazer-se por casos. 2

Sistematizando o que temos vindo a descrever

Teorema 6.1.4 A menos de isomorfismos de aneis

1. Qualquer corpo ordenado contem um subdomınio de integridade Z e um subcorpoQ como descritos no teorema 6.1.2.

2. Qualquer anel que contenha N tambem contem Z como subanel.

VN 607


3. Qualquer corpo que contenha Z como subanel tambem contem Q.

4. Z e o menor domınio de integridade que contem N.

5. Q e o menor corpo ordenado que contem Z como subanel.

Dem. (esquema) A proposicao 1 tem vindo a ser demonstrada ao longo do texto. Naverdade e essencialmente para este resumo que se tem vindo a apresentar lemas, dosquais o terceiro (lema 6.1.3) tem por fim descrever os morfismo de aneis em causa:

A partir do momento em que se identificam os zeros 0 e 0′ e as unidades 1 e1′ dos corpos ordenados K e K′ os isomorfismos entre as varias subestruturas (denumeros naturais ou com universos em subconjuntos Q e Q′ ou Z e Z ′) sao restricoesou prolongamentos de um mesmo que fica definido pelas condicoes necessarias (de factoredundantes)

Φ(0) = 0′

Φ(1) = 1′

Φ(n1) = n1′

Φ(a+ b) = Φ(a) + Φ(b)Φ(ab) = Φ(a)Φ(b)

Φ(−x) = −Φ(x)

As proposicoes 2 e 3 resultam apenas de os aneis serem fechados para a passagemao simetrico e os corpos serem fechados para a passagem ao inverso. As proposicoes 4e 5 sao meras reformulacoes de 2 e 3, respectivamente. 2

Por estas razoes passamos a identificar Z e Q respectivamente com os conjuntos Zdos inteiros intuitivos e Q dos racionais intuitivos, algebrizados e ordenados da maneirausual.

Repare-se tambem que as condicoes descritas nas equacoes acima nao sao suficientespara garantir que o mergulho Φ se prolongue a um isomorphismo entre os corpos K eK′; ate porque tal isomorfismo pode mesmo nao existir. 1

6.2 Uma visao construtiva

Na seccao anterior tomamos o ponto de vista axiomatico nao nos preocupando com aexistencia de um modelo formal de corpo ordenado: aceitamos que os numeros racionaisintuitivos constituem uma exemplificacao suficiente de tal estrutura. No entanto ad-mitindo apenas a existencia de alguma estrutura de numeros naturais (por exemploa dos naturais intuitivos ...) e possıvel construir um corpo ordenado mınimo que aprolonga. Passamos a esquematizar tal construcao.

1Pode encontrar-se um tratamento deste tema em [16] ou [19].

608 VN


Teorema 6.2.1 Dada uma estrutura de numeros naturais com as operacoes de so-ma ,+, e produto , ·, e a ordem < canonicas N = (N, S,1,+, ·, < ), existe um corpoordenado Q = (Q,0,1,+, ·, < ), que a prolonga e, a menos de um isomorfismo decorpos ordenados, esta contido em todos os possıveis prolongamentos de N por corposordenados.

Dem. A demonstracao da parte de unicidade a menos de um isomorfismo e obviamenteo trabalho que desenvolvemos quase totalmente ate aqui. Um esquema de demonstracaodeste teorema e o seguinte.I. Defina-se em N2 a relacao de equivalencia ≡• por

(m, p) ≡• (n, q) sse mq = np

II. Seja Q = N2/≡• o respectivo conjunto cociente, designem-se as classes de equiv-alencia por [(m, p)]• e algebrize-se Q do seguinte modo

[(m, p)]• � [(n, q)]• = [(mn, pq)]•[(m, p)]• � [(n, q)]• sse mq < np

[(m, p)]• ⊕ [(n, q)]• = [(mq + np, pq)]•

III. Verifique-se que (Q,⊕,�) e uma estrutura algebrica em que

1. (Q,�) e um grupo comutativo com elemento neutro 1 = [(1, 1)]•.

2. (Q,⊕) e um semigrupo comutativo que verifica a Lei do Corte.

3. � e distributiva em relacao a ⊕

4. � e uma ordem total em Q

5. � e compatıvel com ⊕ e � , ou seja

(a) x� y sse x⊕ z � y ⊕ z x, y, z ∈ Q(b) x� y sse xz � yz (x, y, z ∈ Q)

IV. A funcao φ : N → Q dada por φ(n) = [(n, 1)]• e um mergulho da estrutura algebricaordenada (N,+, ·, < ) para a estrutura algebrica ordenada(Q,⊕,�,�); que identifica (N,+, ·, < ) com uma subestrutura de (Q,⊕,�,�), peloque voltamos a designar as operacoes e a ordem pelos seus sımbolos iniciais.V. Defina em Q2 a seguinte relacao de equivalencia

(a, b) ≡+ (c, d) sse a+ d = b+ c ((a, b) ∈ Q2)

e designe por [(a, b)]+ as respectivas classes de equivalencia e ainda por Q o correspon-dente conjunto cociente.

VN 609


VI. Defina uma operacao interna θ em Q por

[(a, b)]+θ[(c, d)]+ = [(a+ c, b+ d)]

e verifique que (Q, θ) e um grupo comutativo, com elemento neutro 0 = [(a, a)]+ e noqual o simetrico (inverso para θ) de x = [(a, b)]+, e −x = [(b, a)]+.

OBS: Nao e necessario utilizar a natureza dos elementos de Q, mas tao so que (Q,+)e um semigrupo comutativo que verifica a Lei do Corte.

VII. A funcao ψ : Q→ Q dada por ψ(x) = [(x+ x, x)]+ e um mergulho da estruturaalgebrica (Q,+) em (Q, θ) e, identificando Q com ψ(Q), tem-se com uniao disjunta

Q = Q ∪ {0} ∪ −Q

VIII. Passando a designar θ por + e antecipando o facto de as novas operacoes esten-derem as anteriores, complete-se a algebrizacao de Q do seguinte modo

1. a < b sse b− a ∈ Q

2. |a| =

{a se a ∈ Q ∪ {0}−a se a ∈ −Q

3. a · b =

{|a||b| se a, b ∈ Q ou − a,−b ∈ Q−|a||b| caso contrario

IX. Verifique-se que Q = (Q,0,1,+, ·, < ) e um corpo ordenado cujo conjunto deelementos positivos e Q.OBS.: Tambem aqui nao e necessario utilizar a natureza dos elementos de Q mas taoso as propriedades descrita em III.X. Seja Z = N ∪ {0} ∪ −N. Verifique-se que, a menos de um isomorfismo de aneis,Z = (Z,+, ·) e o menor anel que prolonga NXI. Verifique-se que, a menos de um isomorfismo de corpos, Q e o menor corpo queprolonga Z.

Fica terminado esquema de demonstracao do teorema 6.2.1. 2

6.3 Extensoes proprias do corpo dos numeros racionais

Se o numero natural n nao e um quadrado perfeito, entao√n 6∈ Q; no entanto, se

Q(√n) = {a+ b

√n : a, b ∈ Q}, entao (Q(

√n),+, .0,1) e um corpo (ordenado) do qual

o corpo dos numeros racionais e subcorpo proprio pois

• Q = Q + 0√n ⊂ Q(

√n),

610 VN


• (a+ b√n)−1 = a

a2−nb2− b

a2−nb2√n

• (a+ b√n)(c+ d

√n) = (ac+ nbd) + (ad+ bc)

√n.

Lembrando que um numero real α se diz algebrico se for raiz de um polinomio decoeficientes inteiros e se diz transcendente caso contrario, tem-se que, para α ∈ R, omenor corpo ordenado que contem Q ∪ {α}, Q(α),

• e uma extensao propria de Q sse α 6∈ Q

• e um espaco vectorial sobre Q que tem dimensao finita sse α e algebrico.

Informalmente: um numero real e algebrico se e so se for representavel por umaexpressao onde figurem apenas numeros inteiros, somas, produtos, diferencas, cocientese radiciacoes de ındice natural em quantidade finita. Calculos pacientes mostram queesta ultima condicao e de facto suficiente para que a expressao represente um numeroalgebrico; a demonstracao de que e necessaria nao cabe no ambito deste curso.

Exemplo 6.3.1√

3 +3√

54 e raiz do polinomio 64(x2 − 3)3 − 5 e nao e racional.

Na verdade nao ha “muitos”irracionais algebricos.

Teorema 6.3.1 O conjunto dos numeros algebricos e numeravel.

Dem. Em primeiro lugar repare-se queO conjunto Z[x] dos polinomios de coeficientes inteiros e numeravel,

pois, para cada n ∈ N, o conjunto dos polinomios de grau menor ou igual a n ecoeficientes inteiros, Z(n)[x], e equipotente a Zn+1; como Z e numeravel, o mesmoacontece com qualquer das suas potencias cartesianas de expoente finito e ainda

Z[x] =∞⋃

n=1

Z(n)[x].

Em segundo lugar, cada polinomio em Z[x] tem um numero finito — eventualmentezero — de raizes reais, portanto o conjunto dos numeros reais algebricos e uma uniaonumeravel de conjuntos finitos e consequentemente e numeravel. 2

A construcao de numeros transcendentes pode fazer-se como aplicacao do seguinteteorema sobre numeros algebricos que, em parte, afirma: os numeros irracionais algebricossao difıceis de aproximar com rapidez.

Teorema 6.3.2 (de Liouville) Seja α um numero irracional algebrico, raiz do polinomioP (x) =

∑ni=0 aix

i, de grau n ≥ 1, e irredutıvel sobre Q[x]. Entao existe M ∈ Q+ talque, para qualquer numero racional m

k (m ∈ Z, k ∈ N) se tem

|α − m

k| < 1 ⇒ |α − m

k| > M

kn

VN 611


Dem. P (x) nao tem raizes racionais, por ser irredutıvel sobre Q[x]; consequentemente,para quaisquer m ∈ Z e k ∈ N,

|P (m

k)| = 1

kn|

n∑i=0

aimikn−i| ≥ 1

kn,

porque o polinomio do segundo membro so toma valores inteiros e nao nulos, donde oseu valor absoluto so pode ser maior ou igual a 1. Faca-se

s = sup{|P ′(x)| : |x− α| < 1}Dados entao m ∈ Z, k ∈ N tais que |mk − α| < 1 tem-se, para algum c entre m

k e α,

1kn

≤ |P (m

k)| = |P (

m

k)− 0|

= |P (m

k)− P (α)| = |P ′(c)||m

k− α|

≤ s|mk− α|.

pelo que podemos tomar M ∈]0, 1s ]. 2

De um ponto de vista afirmativo: se um numero real α e aproximavel por umasucessao (rn) de racionais que converge mais rapidamente para α que qualquer sucessao(

Mkn

)n∈N , entao α e transcendente.

Exemplo 6.3.2 O numero α =∑∞

i=1 10−i! e transcendente, pois

|α −n∑

i=1

10−i!| ≤ 10−[(n+1)!−1].

Ate Cantor ter demonstrado que ha mais numeros transcendentes que numerosalgebricos (teorema 6.6.2), na segunda metade do seculo XIX, o Teorema de Liouvilleera o unico resultado que garantia a existencia numeros transcendentes.

6.4 Corpos ordenados completos

IsomorfismoJa os gregos do sec. V A.C. sabiam que

√2 e irracional (incomensuravel em linguagem

da epoca). Na verdade interessa-nos observar um pouco mais: dados numeros naturaism e n, tem-se(m

n

)2< 2 ⇒

[m

n<

3m+ 4n2m+ 3n

&(

3m+ 4n2m+ 3n

)2

< 2

].

Assim, D = {x ∈ Q : x2 < 2} nao tem supremo em Q; no entanto 2 e claramente ummajorante de D em Q.

612 VN


Definicao 6.4.1 Um corpo ordenado diz-se completo se qualquer dos seus subcon-juntos nao vazios e majorados tem supremo.

Acabamos de ver que o corpo ordenado dos numeros racionais nao e completo. Poroutro lado, uma das propriedades do corpo ordenado dos numeros reais e precisamenteser completo. Na verdade esta propriedade caracteriza este ultimo a menos de umisomorfismo, como se afirma no teorema 6.4.2.

Seja de ora em diante K = (K,+, ·,0,1, < ) um corpo ordenado completo.Um lema importante em si mesmo:

Lema 6.4.1 N nao e majorado em K.

Dem. Se N fosse majorado teria supremo, digamos s = supN; se s pertencesse a N,s nao poderia ser supremo pois s < s + 1 ∈ N; mas entao existem x, y ∈ N tais ques− 1

2 < x < y < s, o que e impossıvel porque a diferenca mınima entre elementosde N e 1. Segue-se que N nao pode ser majorado. 2

Uma consequencia imediata deste lema:

Teorema 6.4.1 Para quaisquer a, b ∈ K tais que 0 < a < b, existe n ∈ N tal queb < na.

Em virtude deste teorema diz-se que os corpos ordenados completos saoArquimedianos. As varias extensoes de Q a que aludimos na seccao anterior saotodas arquimedianas mas nao necessariamente completas. E segue-se

Lema 6.4.2 Entre dois elementos distintos quaisquer de um corpo ordenado completoexiste um numero racional.

Dem. Comecemos por supor 0 < a < b em K; pelo lema anterior, existem um numeronatural n tal que n > 1

b−a e n > 1a , ou seja, 1

n < a, b−a. Sejam = max{k ∈ N : kn ≤ a}.

Tem-se que mn ∈ Q e a < m+1

n < b. Os casos a < 0 < b e a < b < 0 tratam-seanalogamente ou por passagem ao simetrico. 2

Teorema 6.4.2 Todos os corpos ordenados completos sao isomorfos.

Dem. Sejam K1 = (K1,+, ·,0,1, < ) e K2 = (K2,⊕,�, 0, 1,�) dois corpos ordenadoscompletos. Tendo em vista o teorema 6.1.4, cada um destes corpos contem um corpo Qi

de numeros racionais (i = 1, 2) e os Qi sao isomorfos, digamos que por um isomorfismoΦ : Q1 → Q2.

Definam-se seccoes Qix e uma funcao Ψ : K1 → K2 por

Qix = {v ∈ Qi : v < (�)x} (x ∈ Ki; i = 1, 2) & Ψ(x) = supΦ(Q1x) (x ∈ K1).

VN 613


Em primeiro lugar, pelo lema 6.4.2

x = supQix (x ∈ Ki; i = 1, 2) (6.1)

Em segundo lugarΨ coincide com Φ em Q1 (6.2)

pois se x ∈ Q1, por um lado Φ(x) majora Φ(Q1x) (por (6.1)) e, por outro, se 0�ε ∈ Q2

entao, pelo lema 6.4.2 existe u ∈ Q1 tal que x − Φ−1(ε) < u < x, donde Φ(x) − ε �

Φ(u) � Φ(x) e Φ(x) = supφQ1x = Ψ(x). De seguida

x < y ⇒ Ψ(x) � Ψ(y) (6.3)

como se pode ver do seguinte modo: dados x, y ∈ Q1 se x < y, de acordo com o lema6.4.2, podemos escolher u, v ∈ Q1 tais que x < u < v < y; por (6.2) e por definicao deΨ, Ψ(u) = Φ(u) � Φ(v) ≤ Ψ(y); como para qualquer z ∈ Q1, se z < x entao z < u edaı Q1x ⊆ Q1u, temos Ψ(x) ≤ Ψ(u) e finalmente Ψ(x) � Ψ(y). Em particular

Ψ e injectiva. (6.4)

Ψ e sobrejectiva : (6.5)

Vamos ver quePara qualquer y ∈ K2, y = Ψ

(supΦ−1(Q2y)

). (6.6)

Seja x = supΦ−1(Q2y). Se u ∈ Q1x entao existe v ∈ Φ−1(Q2y) tal que u < v ≤ x; masassim Φ(u) � Φ(v) ∈ Q2y, pelo que Ψ(x) = supΦ(Q1x) ≤ supQ2y = y (por (6.1)). SeΨ(x) � y, existe v ∈ Q2y tal que Ψ(x) � v � y; tomando u ∈ Q1 tal que Φ(u) = v e,portanto, tal que u ∈ Φ−1(Q2y), obtemos Ψ(x) � v � Ψ(x) o que e impossıvel. Assim(6.6) e (6.5) ficam provadas.

Repare-se que (6.6) afirma ser Ψ−1 da mesma natureza que Ψ. Vejamos que

Ψ(x+ y) = Ψ(x)⊕Ψ(y) (x, y ∈ K1) (6.7)

Como sup(A⊕B)�=supA⊕ supB (A,B ⊆ K2), tambem

Ψ(x+ y) �= Ψ(x)⊕Ψ(y) (x, y ∈ K1)

Dados δ ∈ Q2 tal que 0 � δ e u ∈ Q1x, v ∈ Q1y, w, z ∈ Q2 tais que

Ψ(x) δ

2� w = Φ(u) � Ψ(x) & Ψ(y) δ

2� z = Φ(v) � Ψ(y)

Segue-se, por (6.3), que u < x e v < y; daı que u+ v < x+ y e tambem, por (6.2),

(Ψ(x)⊕Ψ(y)) δ � w ⊕ z = Φ(u+ v) = Ψ(u+ v) � Ψ(x+ y).

614 VN


Como δ foi escolhido arbitrariamente, podemos concluir (6.7). Provemos agora que

Ψ(xy) = Ψ(x)�Ψ(y) (x, y ∈ K1) (6.8)

Comecemos por observar que de (6.7) se conclui

Ψ(−x) = −Ψ(x) (x ∈ K1) (6.9)

e portanto basta demonstrar (6.8) com x, y > 0; neste caso podemos usar que, paraconjuntos de elementos positivos A,B ⊂ K2, sup(AB)�=supA�supB e raciocinar comopara a soma, com as abreviaturas usuais:

Necessariamente Ψ(xy)�=Ψ(x)Ψ(y); dado δ e escolhendo u, v, w, z como acima, obte-mos

Ψ(x)Ψ(y) δ

2Ψ(x+ y)⊕

(δ

2

)2

� wz

= Φ(uv) = Ψ(uv)� Ψ(xy)

de onde se concluira (6.8). Resumindo: (6.4), (6.5), (6.7), (6.8) e (6.3) dizem-nos queΨ e um isomorfismo entre os corpos ordenados K1 e K2. 2

6.5 Existencia

Tambem neste caso e possıvel tomar uma visao “da base para o topo”quanto a existenciade um corpo ordenado completo, isto e de um corpo de numeros reais. Como vimosem 6.2, pode construir-se um corpo de numeros racionais Q = (Q,+, ·,0,1) a partirde um sistema intuitivo de numeros naturais. Na verdade podemos inspirar-nos nademonstracao da isomorfia entre corpos ordenados completos para definir um dessescorpos a partir do dos numeros racionais; e o que esquematizamos de seguida.

Uma construcao

Definicao 6.5.1 Uma seccao em Q e um conjunto S verificando as seguintes con-dicoes

1. ∅ 6= S ⊆ Q.

2. S tem majorante em Q.

3. S e um ideal de ordem, isto e

∀a, b ∈ Q [b < a ∈ S ⇒ b ∈ S]. (6.10)

VN 615


4. S nao tem maximo.

O corpo ordenado completo cuja construcao vamos esquematizar resultara da alge-brizacao conveniente do conjunto de todas as seccoes, designado por R.

Note-se que, mesmo quando uma seccao tem supremo em Q, este nao eincluido nela.

A ordem �

Dadas seccoes S, T ∈ R,S � T sse S ⊂ T

entendendo-se, como temos vindo a fazer, que ⊂ designa a inclusao estrita.

Teorema 6.5.1 A relacao � e de ordem total em R.

Dem. A anti-reflexividade e a anti-simetria resultam das propriedades da inclusaoestrita ⊂. Se S 6= T & S 6 �T & T 6 �S, entao existem s, t ∈ Q tais que s ∈ S\T & t ∈T\S. Em particular s 6= t. Ora < e uma relacao de ordem total em Q, portanto s < tou t < s; se s < t, pela condicao (6.10) s ∈ T, o que nao pode acontecer; se t < s, entaot ∈ S, o que tambem nao pode acontecer. Assim, ou S = T ou S � T ou T � S. 2

A soma ⊕Dadas seccoes S, T ∈ R defina-se

S ⊕ T = {s+ t : s ∈ S & t ∈ T} (6.11)

Ha que verificar varios aspectos:

1. S ⊕ T e nao vazio

2. S ⊕ T e majorado

3. S ⊕ T nao tem maximo

4. S ⊕ T e ideal de ordem

Mostremos que vale 4, deixando a cargo do leitor a verificacao do restante: se a, b ∈ Qe b < a = s + t para alguns s ∈ S e t ∈ T, entao b − t < a − t = s ∈ S pelo queb− t = s′ ∈ S e consequentemente b = s′ + t ∈ S ⊕ T.

Teorema 6.5.2 Valem as seguintes proposicoes

1. (R,⊕) e um grupo comutativo.

2. A relacao de ordem � e compatıvel com ⊕, isto e

∀S, T, U ∈ R [S � T ⇒ S ⊕ U � T ⊕ U ]. (6.12)

616 VN


Dem. (1) Nao e difıcil mostrar que a estrutura e de semigrupo comutativo comelemento neutro 0 = {x ∈ Q : 0 < x}. Quanto a existencia de simetricos S:

S =

{Q\ − (S

⋃{supS}) se supS existe em Q

Q\ − S caso contrario

As dificuldades na demonstracao residem essencialmente em mostrar que, por ex-emplo no caso S � 0, se r ∈ Q e r < 0, entao existem s ∈ S, s′ ∈ S taisque r = s + s′: se r ∈ S, tome-se r = r + 0; se r 6∈ S, tome-se k ∈ N tal quekr ∈ S & (k−1)r 6∈ S; se supS 6= (k−1)r, faca-se r = kr+(1−k)r; se supS = (k−1)r,tome-se r = (k + 1

2)r + (1 − k − 12)r; em qualquer dos casos se obtem a representacao

desejada para r.Deixamos a prova das restantes afirmacoes a cargo do leitor. 2

O produto �Comece-se por verificar que vale o

Lema 6.5.1 0 �= S sse S�= 0

Defina-se uma funcao valor absoluto, ‖ · ‖ : R→ R por

‖S‖ =

{S se 0 �= S

S se S < 0(6.13)

e defina-se o produto de duas seccoes maiores ou iguais a zero por

0 �= S, T ⇒ S � T = 0 ∪ {st : s ∈ S & t ∈ T & s, t ≥ 0}.

Finalmente, defina-se o produto globalmente por

S � T =

{‖S‖‖T‖ se 0 �= S, T ou S, T

�= 0

‖S‖‖T‖ se S�= 0 �= T ou T

�= 0 �= S(6.14)

Definindo ainda1 = {x ∈ Q : x < 1}

tem-se o seguinte

Teorema 6.5.3 R = (R,⊕,�,0,1,�) e um corpo ordenado completo.

Dem. Tal como para a soma, e necessario verificar que a definicao do produto �e boa, no sentido em que o produto de seccoes ainda e uma seccao, para o que bastaestudar os casos em que as seccoes sao ambas maiores ou iguais a zero. A demonstracaocorrespondente para a soma fornece as linhas orientadoras.

VN 617


Demonstrar que 1 = {r ∈ Q : r < 1} e analogo ao que se fez para verificar que aseccao 0 e neutra para a soma, transformando adequadamente os argumentos aditivosem argumentos multiplicativos. Tambem e simples mostrar que 0 e absorvente para oproduto.

Um caso um pouco mais delicado:

S−1 =

{{r ∈ Q : ∀s ∈ S

(0 < s⇒ r < 1

s

)}\{ 1

supS } supS ∈ Q{r ∈ Q : ∀s ∈ S

(0 < s⇒ r < 1

s

)} supS 6∈ Q;

(0 < S)

se S < 0, S−1 = ‖S‖−1.

As propriedades associativa do produto e distributiva deste em relacao a soma temdemonstracao tambem rotineira.

Finalmente, a verificacao do axioma de completude:Se A e um conjunto de seccoes nao vazio e majorado, entao supA =

⋃S∈AS. 2

6.6 Numeros transcendentes

A existencia de numeros transcendentes esta garantida pelo teorema de Liouville 6.3.2,mas tambem se pode demonstrar que

Teorema 6.6.1 O numero π e a base e dos logaritmos nepperianos saonumeros transcendentes.

A este proposito, veja-se [18] caps. 16 e 20; neste momento interessa-nos apenas mostrarque

Teorema 6.6.2 O conjunto dos numeros transcendentes nao e numeravel.

Dem. I. O conjunto dos numeros reais nao e numeravel.

Se R fosse numeravel, o mesmo acontecia com o intervalo aberto ]0, 1[, digamos que

]0, 1[ = {rn : n ∈ N}

para alguma contagem fixada. Fixando tambem para cada rn ∈]0, 1[ uma representacaodecimal

rn = 0, rn1 r

n2 r

n3 ...r

nn...

podemos definir um novo numero real s = s1s2...sn... ∈]0, 1[ do seguinte modo

sn =

{rnn + 1 se 0 ≤ rn

n < 90 se rn

n = 9

618 VN


O numero s e diferente de qualquer dos rn porque difere de cada um deles na n-esimacasa decimal.

Resumindo: nenhuma enumeracao esgota o intervalo ]0, 1[, ou seja, nao ha aplicacoesbijectivas de N em ]0, 1[, ou ainda, ]0, 1[ e infinito, nao e numeravel e, portanto, Rtambem nao.

II. O conjunto dos numeros racionais e numeravel.Cada numero racional admite uma representacao fraccionaria irredutıvel unica m

nna qual m ∈ Z & n ∈ N; a funcao f : Q → Z2 dada por f(m

n ) = (m,n) e entao injectivae, como Z2 e numeravel, Q tambem e.

III. O conjunto dos numeros irracionais nao e numeravel.

Se fosse, R tambem seria pois seria uniao de Q com um conjunto numeravel.

IV. O conjunto dos numeros transcendentes nao e numeravel.Os numeros irracionais sao algebricos ou transcendentes; como os algebricos formam

um conjunto numeravel (teorema 6.3.1), pelo que acabamos de ver, os transcendentesnao podem constituir um conjunto numeravel. 2

6.7 Exercıcios

1. Mostre que toda a ordem parcial lata gera uma ordem parcial estrita. Recipro-camente, mostre que toda a ordem parcial estrita gera uma ordem parcial lata.

2. De exemplos de ordens parciais densas, ordens parciais nao densas e ordens par-ciais que nao sao completas.

3. Considere uma estrutura de numeros naturais, N = (N,S,1), e um corpo or-denado, K = (K,+, ·,0,1, <). Defina uma funcao Φ : N → K por Φ(1) =1 & Φ(S(x)) = Φ(x) + 1. Mostre que Φ e um mergulho da estrutura denumeros naturais no corpo, quando na primeira se entendem definidas tambem asoma, o produto e a ordem canonicas.

4. Mostre que todo o corpo ordenado e infinito.

5. Suponha que (K,+, ·,0,1, <) e (K ′,+, ·,0,1, <) sao dois corpos ordenados (ocontexto determina o domınio onde as operacoes se realizam e a ordem se con-sidera). Mostre que a funcao Φ do exercıcio 3 tem um e um so prolongamentoao subcorpo do numeros racionais de K que e por sua vez um isomorfismo parao subcorpo dos numeros racionais de K′.

6. Se um corpo ordenado tem um elemento irracional, entao entre cada dois quais-quer dos seus elementos existe um elemento irracional.

VN 619


7. Suponha que k ∈ N. Mostre que k√n ∈ Q se e so se n e uma k-esima potencia

perfeita, isto e, se e so se existe m ∈ N tal que n = mk.

8. Uma bijeccao entre N e N2.

(a) Mostre que a funcao ν : N2 → N dada por qualquer das equacoes

ν(m,n) =12((m+ n)2 −m− 3n+ 2

)=

12((m+ n)2 − (m+ n)− 2(n− 1)

)=

12

(m(m+ n− 1) + n(m+ n− 3) + 2)

e uma bijeccao.Nota: Esta contagem resulta de ordenar N2 diagonalmente por

(1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), . . .

Sugestao de passos para a demonstracao:

1. 2ν(m,n) ∈ N.2. 2ν e injectiva (Utilize k = m+ n)3. ν e sobrejectiva, isto e, N = ν(N2).

(b) Designe por [x] a caracterıstica de x, ou seja, o maior numero inteiro naosuperior a x. e sejam α, β, f, g : N → N as funcoes dadas por

α(m) =[−1+

√8m−7

2

]+ 1 β(m) = α(m)(α(m)−1)

2

f(m) = m− β(m) g(m) = α(m) + 1− f(m)

Verifique queν−1(m) = (f(m), g(m)) (m ∈ N).

9. Mostre que os numeros seguintes sao transcendentes.

(a)∑∞

n=0 10−nn

(b)∑∞

n=0 10−(2n2+p), para cada p ∈ Z.

10. De varios exemplos de numeros transcendentes obtidos por meio do Teorema deLiouville, alem dos descritos acima e no restante texto.

11. Suponha que f ∈ NN. Que pode dizer quanto a natureza dos numeros da forma∑∞n=0 10f(n), quando lim f(n)

an = +∞ e a > 1? E se este limite for finito?

620 VN

Capıtulo 7

Dızimas e Fraccoes contınuas

7.1 Dızimas

Recorde-se que [x] designa a caracterıstica do numero real x, isto e, o maior numerointeiro que e menor ou igual a x.

Teorema 7.1.1 A representacao de qualquer numero natural na base 10 e unica, amenos de zeros a esquerda, isto e, para cada x ∈ N existe uma e uma so sequencia(x0, · · · , xm) ∈ Zm+1 tal que

1. 0 ≤ xi ≤ 9 (0 ≤ i ≤ m ∈ N0)

2. xm > 0 & x =∑m

i=0 xm−i10m−i

3. Se x =∑p

i=0 xp−i10p−i para algum p ∈ N0, entao p ≥ m ep ≥ j > m ⇒ xj = 0.

Dem. Tome-se x ∈ N e defina-sec0 = x

cn+1 =[

cn10

]xn = cn − 10cn+1 (n ∈ N0)

E facil verificar que cn+1 e xn sao respectivamente o cociente e o resto da divisao de cnpor 10, pelo que, para

0 ≤ xn ≤ 9 & 10cn+1 ≤ cn (n ∈ N0)

e assim, para n ∈ N0

10ncn ≤ c0 = x (7.1)

x = 10ncn +n∑

i=1

10n−ixn−i (7.2)

701


entendendo-se∑0

i=1 αi = 0.Por (7.1), se 10m ≤ x < 10m+1, entao 1 ≤ xm = cm ≤ 9 e xm+r = cm+r = 0

(r ∈ N). Em virtude da equacao (7.2) o teorema fica demonstrado. 2

Teorema 7.1.2 Para cada numero real x ∈ [0,+∞[, existe uma e so uma sucessao(an)n∈N tal que, para qualquer n ∈ N, se verifica

0 ≤ an ≤ 9 (7.3)

0 ≤ x−

([x] +

n+1∑i=1

ai

10i

)<

110n+1

. (7.4)

Deste modo

x = [x] +∞∑

n=1

an

10n

e tambem, para qualquer n ∈ N, existe k > n tal que ak < 9.

A sucessao (an) referida neste teorema diz-se a parte decimal da dızima donumero real x ≥ 0; [x] diz-se tambem a parte inteira da dızima; se xm · · ·x0 for arepresentacao de [x] dada pelo teorema 7.1.1, escreve-se

x = xm · · ·x0, a1a2 · · · an · · ·

O numero 7.4 deste ultimo teorema afirma que a dızima (an) nao e identicamente 9,seja a partir de que ordem for.

Dem. Note-se que 0 e representavel por 0, 000 · · · , verificando-se as assercoes do teo-rema; assim, provado este, a parte de unicidade garante ser esta a unica representacaode zero nestas condicoes.

Defina-se{x1 = x− [x]xn+1 = 10xn − [10xn] (n ∈ N)

an = [10xn] (n ∈ N)

1. E imediato que0 ≤ xn < 1 (n ∈ N) (7.5)

de onde resulta que 0 ≤ [10xn] < 10 e consequentemente, 0 ≤ an ≤ 9.

2. Por outro lado, para cada n ∈ N,

xn+1 = 10nx1 −n∑

i=0

10n−iai

702 VN


e portanto, considerando (7.5),

0 ≤ x−

([x] +

n∑i=1

ai

10i

)=xn+1

10n<

110n

3. Se an = 9 a partir da ordem n+ 1, ter-se-ia

x−

([x] +

n∑i=1

ai

10i

)=

∞∑i=n+1

910i

=1

10n

o que contradiz (7.4).Resta ver que a dızima e unica nas condicoes referidas e basta verificar esta unicidade

quando 0 ≤ x < 1. Observe-se que

0 ≤ x−n∑

i=1

ai

10i<

110n

⇒ 0 ≤ 10nx−n∑

i=1

ai10n−i < 1

⇒n∑

i=1

ai10n−i = [10nx]

portanto os ai sao univocamente determinados por x pelo teorema 7.1.1. 2

Uma dızima diz-se periodica com perıodo b1 · · · bp (bi ∈ N; 1 ≤ i ≤ p ∈ N), se aparte decimal tiver a forma

· · · b1 · · · bpb1 · · · bp · · · b1 · · · bp · · ·

isto e, se existem n0, p ∈ N tais que os termos da sucessao (an) do teorema 7.1.2verificam

an0+i+kp = bi (k ∈ N; 1 ≤ i ≤ p),

representando-sex = [x] + 0, a1 · · · an0(b1 · · · bp).

Se uma dızima e periodica de perıodo b1 · · · bp e a1 = b1, dir-se-a puramente periodica,caso contrario diz-se que a dızima e mista. Uma dızima de perıodo 0 tambem se dizfinita.

Dados numeros naturais primos entre si a e m > 1, a ordem de a (mod m) e omenor numero natural h tal que ah ≡ 1 (mod m).

Exercıcio 7.1.1 Suponha que mdc(a,m) = 1 e que h e a ordem de a (mod m). Mostreque:

1. h|φ(n).

2. h|m.

VN 703


Teorema 7.1.3 Seja x um numero real positivo

1. x e racional se e apenas se tem dızima periodica.

2. Se x = ab (a, b ∈ N) e mdc(a, b) = 1 e b = 2α5βn (n ∈ N), entao

(a) Se n = 1, x tem dızima finita.

(b) Se α = β = 0 & n > 1, x tem dızima puramente periodica e o comprimentodo perıodo e a ordem de 10 (mod n).

(c) Se α > 0 ou β > 0 e n > 1, x tem dızima mista, o comprimento do perıodo ea ordem de 10 (mod n) e o comprimento da parte nao periodica e max(α, β).

Dem. Vamos mostrar que se x tem dızima periodica, entao e racional, ficando provadauma parte do numero 1. De seguida provaremos as restantes alıneas do teorema, queobviamente esgotam os casos em que x e racional, ficando provado o restante de 1.1. Suponhamos que a dızima de x tem perıodo ak+1 · · · ak+p; segue-se que

x =k∑

n=1

an

10n+

∞∑s=0

p∑i=1

ak+i

10k+sp+i

=1

10k

k∑n=1

10k−nan +p∑

i=1

ak+i

10k+i

∞∑s=0

110sp

=1

10k

k∑n=1

an10k−n +1

10k+p

(p∑

i=1

ak+i10p−i

)10p

10p − 1∈ Q

2. Suponha-se entao que x e racional positivo, digamos

x =a

2α5βnmdc(a, 2α5βn) = mdc(10, n) = 1

e sejamµ = max{α, β} & ν = ordem de 10 (mod n).

a) (n = 1) Neste caso

x =a2µ−α5µ−β

10µ

e a dızima de x e claramente finita.b) (α = β = 0; n > 1) Neste caso 10ν ≡ 1 (mod n), ou seja, para algum m ∈ N, 10ν =mn+ 1; mas entao, para certos q, r ∈ N0, sendo 0 < r < 10ν − 1,

10νx =(mn+ 1)a

n= ma+

a

n= ma+ x

x =ma

10ν − 1= q +

r

10ν − 1

= q +r

10ν

11− 1

10ν

704 VN


Tomando r =∑ν

i=1 10ν−iai para certos ai ∈ N0 com aν > 0, segue-se que

x = q +

(ν∑

i=1

ai

10i

) ∞∑n=0

110nν

= q + 0, (a1 · · · aν)

Conclui-se, por um lado, que a dızima e puramente periodica e, por outro, que ocomprimento mınimo de um perıodo, digamos λ, e menor ou igual a ν; mas de

x− [x] =

(λ∑

i=1

ai

10i

) ∞∑n=0

110nλ

=∑λ

n=1 an10λ−n

10λ − 1

=r

n∈ Q & mdc(r, n) = 1

deduz-se n|10λ − 1, ou seja 10λ ≡ 1 (mod n) pelo que λ ≥ ν. Segue-se que λ = ν.

c) (α+ β > 0 & n > 1) Para estudar este caso, basta aplicar a alınea anterior a 10µx.2

7.2 Fraccoes contınuas simples

NotacaoDe modo a respeitar uma notacao classica para fraccoes contınuas e evitar ambigui-

dades ate ao fim deste capıtulo a caracterıstica do numero real x passa a ser designadapor car(x).

Propriedades basicas.Por comodidade de exposicao convira utilizar com frequencia N0 = N ∪ {0} passandoas sucessoes de numeros reais a indiciar-se em N0.

Dados um numero natural n, numeros reais positivos r1, r2, ..., rn e um numero realqualquer r0, o sımbolo [r0; r1, ..., rn] define-se recursivamente do seguinte modo:

[r0] = r0

∀n ∈ N [r0; r1, ..., rn+1] = [r0; r1, ..., rn−1, rn +1

rn+1]

sendo facil verificar o seguinte:

Teorema 7.2.1 Se r0 ∈ R & r1, r2, ..., rn > 0 entao

1. Para 0 ≤ i ≤ n− 1, [ri; ..., rn] = ri + 1[ri+1;...,rn]

VN 705


2. Se todos os ri ∈ N, entao

(a) [ri; ..., rn] > 0 (0 ≤ i ≤ n)(b) [ri; ..., rn] ∈ Q

Definicao 7.2.1 Uma sucessao (rn)n∈N0 de numeros inteiros diz-se simples se se ver-ificarem ambas as seguintes condicoes

1. rn ∈ N0 seja qual for n ∈ N0.

2. ∀n ∈ N [rn = 0 ⇒ ∀k ∈ N0 rn+k = 0].

Repare-se que numa sucessao simples, se um termo de ordem positiva e positivo, ounico termo de ordem menor que pode ser zero e o de ordem zero

Definicao 7.2.2 Dada uma sucessao simples (an), a fraccao contınua simples [a0; a1, ..., an, ...]e a sucessao de numeros racionais xn definida do seguinte modo

1. Se an = 0 para todo o n ∈ N, entao xn = a0 (n ∈ N0)

2. Se an > 0 para todo o n ∈ N, entao

xn = [a0; · · · , an] (n ∈ N0)

3. Se a1 > 0 e n0 = min{n : an = 0} ∈ N entao{xn = [a0; · · · , an] se n < n0

xn = [a0; · · · , an0−1] se n ≥ n0

As fraccoes [a0; · · · , an] chamam-se reduzidas ou convergentes da fraccao contınua.Uma fraccao contınua diz-se finita se os termos an se anulam a partir de alguma ordem.Uma reduzida de ordem n pode identificar-se com a fraccao contınua correspondente[a0; · · · , an, 0, · · · ].

Observe-se que

an > 1 ⇒ [a0; · · · , an] = [a0; · · · , an − 1, 1] (7.6)

no entanto

Teorema 7.2.2 Se [a0; · · · , an] (n > 1) e uma fraccao contınua simples, 0 < m ∈Z, k ∈ N e

m

k= [a0; · · · , an] & an > 1 & mdc(k,m) = 1,

entao os ai verificam as seguintes relacoes de recorrencia:

m = a0k + r0 & 0 ≤ r0 < k & r0 ∈ Zk = a1r0 + r1 & 0 ≤ r1 < r0 & r1 ∈ Z

ri−1 = ai+1ri + ri+1 & 0 ≤ ri+1 < ri & ri+1 ∈ Z & 1 ≤ i < n− 1rn−2 = an

706 VN


Repare-se que commdc(k,m) = 1, supondo mk = [a0; a1] = a0+ 1

a1, vemm = a0k+r0

e k = a1r0, com 0 ≤ r < k, pelo que r0|k e portanto r0|m, ou seja, r0 = 1 e k = a1.Esta situacao pode ser integrada no teorema considerando m = r−2 e k = r−1.

Dem. (do teorema 7.2.2) Comecemos por observar que os ai sao positivos e que asreduzidas [ai; · · · , an] tambem, portanto

0 <1

[ai; · · · , an]=

1ai + 1

[ai+1;··· ,an]

< 1 (7.7)

Definindo xi = [ai; · · · , an], vem

xi−1 = ai−1 +1xi,

dondeai = [xi] = car([ai; · · · , an]);

em particular,

a0 = car(x0) = car(mk

)e a0 e o cociente inteiro de m por k; portanto, se

m = a0k + r0 com 0 ≤ r0 < k & r0 ∈ Z

vemr0k

=1

[a1; · · · , an]

tendo-se tambem r0 > 0 como seria de esperar. De novo

k

r0= [a1; · · · , an] = a1 +

1[a2; · · · , an]

e a1 e o cociente inteiro de k por r0, vindo

k = a1r0 + r1 com 0 < r1 < r0 & r1 ∈ Z

Convencionando m = r−2 & k = r−1 mostramos

ri−1 = ai+1ri + ri+1 com 0 < ri+1 < ri & ri+1 ∈ Zri−1

ri= [ai+1; · · · , an] para i = −1, 0

Suponhamos que estas relacoes se mantem ate i ≤ n− 1. Tem-se

ai+1 +1

[ai+2; · · · , an]=

ri−1

ri= ai+1 +

ri+1

ri

VN 707


donderiri+1

= [ai+2; · · · , an] = ai+2 + α (i+ 2 ≤ n) (7.8)

ai+2 = car

(riri+1

). (7.9)

Ponhamosri = ai+2ri+1 + ri+2;

se i+ 2 < n, entao [ai+2; · · · , an] > ai+2 e a constante α em (7.8) e positiva, pelo queri+2 ≥ 0, como se pretendia verificar; se i+ 2 = n, entao α = 0 e rn−2 = anrn−1.

Pelo que sabemos do algoritmo de Euclides para o calculo de mdc(m, k), a divisaode restos so e exacta quando o divisor e mdc(m, k), neste caso 1; portanto rn−1 = 1.

2

Uma consequencia praticamente imediata deste teorema e

Teorema 7.2.3 Duas fraccoes contınuas simples positivas [a0; · · · , an] e[b0; · · · , bn] em que rn, am > 1 sao iguais sse m = n & ai = bi (0 ≤ i ≤ n).

Dem. Se as duas fraccoes sao iguais, representam o mesmo numero racional e o teoremaanterior descreve a determinacao das coordenadas univocamente. 2

Repare-se que a condicao imposta as ultimas coordenadas das reduzidas em cadaum dos teoremas anteriores e necessaria em vista da equacao (7.6).

Quanto a representacao de numeros negativos por fraccoes contınuas:se m ∈ Z & n ∈ N, independentemente do sinal de m tem-se sempre

m

n= car

(mn

)+ r com r ∈ Q ∩ [0, 1[

Segue-se quem

n= [car

(mn

); a1, · · · , ak] se r = [0; a1, · · · , ak].

Adiantando-nos um pouco:se soubessemos que fraccoes contınuas simples diferentestem limites diferentes poderıamos concluir

Teorema 7.2.4 Se [a0; · · · , an, · · · ] e uma fraccao contınua simples infinita e o limn[a0; · · · , an]existe, entao este limite e um numero irracional.

A este proposito vejam-se os teoremas 7.2.9 e 7.2.10. Na proxima parte verificaremosque as fraccoes contınuas simples convergem sempre.

Fraccoes contınuas infinitasDe ora em diante (an) e uma sucessao simples para a qual an ≥ 1 (n ∈ N). Fixamostambem a seguinte notacao:

708 VN


h−2 = 0 h−1 = 1 hi = aihi−1 + hi−2 (i ≥ 0)k−2 = 1 k−1 = 0 ki = aiki−1 + ki−2 (i ≥ 0)

Em particular

1 = k0 ≤ a1 < kn < kn+1 (n ≥ 2) & limnkn = +∞. (7.10)

Teorema 7.2.5 Para qualquer numero real x ∈]0,+∞[ e qualquer n ∈ N,

[a0; · · · , an−1, x] =xhn−1 + hn−2

xkn−1 + kn−2(7.11)

Dem. (n = 1)

xh0 + h−1

xk0 + k−1=

x[a0 · 1 + 0] + 1x[a0 · 0 + 1] + 0

=a0x+ 1

x= a0 +

1x

= [a0;x]

Supondo a igualdade valida para n

[a0; · · · , an, x] = [a0; · · · , an−1, an +1x

]

=

(an + 1

x

)hn−1 + hn−2(

an + 1x

)kn−1 + kn−2

=x (anhn−1 + hn−2) + hn−1

x (ankn−1 + kn−2) + kn−1

=xhn + hn−1

xkn + kn−1

como se pretendia. Pelo Princıpio de Inducao, a equacao (7.11) vale para qualquern ∈ N. 2

Observacao: Repare-se que [x] = x = xh−1+h−2

xk−1+k−2, pelo que a formula (7.11) vale mesmo

se n = 0.

Corolario 7.2.1 [a0; · · · , an] = hnkn

(n ∈ N0).

Mais detalhadamente:

Teorema 7.2.6 Seja rn = [a0; · · · , an] (n ∈ N). Valem as seguintes proposicoes, paraqualquer n ∈ N:

1. hnkn−1 − hn−1kn = (−1)n−1

VN 709


2. rn − rn−1 = (−1)n−1

knkn−1

3. hnkn−2 − hn−2kn = (−1)nan

4. rn − rn−2 = (−1)nan

knkn−2

5. mdc(hn, kn) = 1

Dem. A primeira e a terceira equacoes podem ser demonstradas por inducao; a segundae a quarta equacoes obtem-se dividindo respectivamente por knkn−1 e knkn−2; quantoa ultima equacao, observe-se que 0 < d|hn, kn implica que d|1 e logo que d = 1. 2

Um teorema sobre monotonia

Teorema 7.2.7 Dada uma sucessao simples (an), seja rn = [a0; · · · , an]. Para quais-quer k, s ∈ N,

1. r2k < r2k+2 < r2s+1 < r2s−1

2. (rn) converge.

Dem. 2. A segunda afirmacao e consequencia da primeira: 1 implica que a subsucessaode ındices pares e a subsucessao de ındices ımpares convergem por serem monotonas elimitadas e tambem que

s = limnr2n ≤ lim

nr2n+1 = t

e, com (7.10), temos

0 ≤ t− s ≤ r2n+1 − r2n =1

k2n+1k2n→ 0.

donde t = s = limn rn.

1. Do teorema 7.2.6.2 obtem-se r2n+1 − r2n > 0; da assercao 4 do mesmo teoremaobtem-se r2n+1 − r2n−1 < 0 & r2n+2 − r2n > 0; agrupando:

r2k < r2k+2 < r2s+1 < r2s−1 (k, s ∈ N)

2

Defina-se θi = [ai; ai+1, · · · ] quando ai+1 ≥ 1.

Lema 7.2.1 Seja (an) uma sucessao simples na qual a1 > 0.

1. Se θ0 = [a0; · · · , an] & an > 1 ou se θ0 e infinita, entao a0 = [θ0].

710 VN


2. θ0 = a0 + 1θ1

Dem. (1) O caso em que θ0 e finita foi tratado na demonstracao do teorema 7.2.2.O caso em que θ0 e infinita obtem-se do seguinte modo: r0 < θ0 < r1 pelo teoremaanterior, isto e, a0 < θ0 < a0 + 1

a1≤ a0 + 1 & a0 < θ0 < a0 + 1, logo a0 = [θ0].

(2) Se θ0 e finita, estamos perante a definicao. Se θ0 e infinita, tem-se

θ0 = limn

[a0; · · · , an] = limn

(a0 +

1[a1; · · · , an]

)= a0 +

1limn[a1; · · · , an]

= a0 +1θ1

2

Teorema 7.2.8 1. Duas fraccoes contınuas simples infinitas distintas tem limitesdistintos

2. Duas fraccoes contınuas simples finitas distintas so tem o mesmo valor se foremda forma [a0; · · · , an] e [a0; · · · , an − 1, 1] com an > 1.

Veremos adiante que fraccoes contınuas simples infinitas tem limite irracional (teo-rema 7.2.9).

Dem. (do teorema 7.2.8) A proposicao 2 foi de facto demonstrada no teorema 7.2.3.

(1) Se θ0 = [a0; · · · ] = [r0, · · · ], pelo lema anterior concluimos a0 = [θ] = r0 e tambem

θ = a0 +1θ1

= a0 +1

[r1; · · · , rn]= a0 +

1[r1; · · · , rn]

,

pelo que tambem θ1 = [a1; · · · ] = [r1; · · · ]. Por inducao pode entao mostrar-se quean = rn para qualquer n ∈ N. 2

Teorema 7.2.9 Se θ = [a0; · · · ] e uma fraccao simples infinita, entao θ e um numeroirracional.

Dem. Pelos teoremas 7.2.6 e 7.2.7,

0 < |θ − rn| < |rn − rn+1| & 0 < |knθ − hn| <1

kn+1;

VN 711


se θ = ab para alguns a, b ∈ Z, ter-se-ia 0 < |kna−hnb| < b

kn+1, o que, como kn+1 → +∞,

implica 0 < |kna − hnb| < 1 para n grande, o que e impossıvel pois kna − hnb ∈ Z.Conclui-se que θ nao pode ser racional. 2

Completando

Teorema 7.2.10 Todo o numero irracional e limite de uma fraccao contınua.

Dem. Suponha-se que r 6∈ Q e defina-se

r = x0

a0 = car(x0) & x1 =1

r − a0

an = car(xn) & xn+1 =1

xn − an

=1

xn − car(xn)(n ∈ N)

Pode demonstrar-se por inducao que todos os an ∈ Z e todos os xn 6∈ Q. Por construcao

an = car(xn) < xn < an + 1, pois xn 6∈ Z,

e daı 0 < xn − an < 1, pelo que

xn+1 =1

xn − an> 1 & an+1 = car(xn+1) ≥ 1 (n ≥ 0);

por inducao concluimos

an ≥ 1 (n ∈ N),

observando que xn = an + 1xn+1

; assim

r = x0 = a0 +1x1

= [a0;x1]

= [a0; a1 +1x2

] = [a0; a1, x2]

= · · · = [a0; a1, · · · , an−1, xn];

Mas entao, pelo teorema 7.2.5,

r = [a0; · · · , an−1, xn] =xnhn−1 + hn−2

xnkn−1 + kn−2

712 VN


seguindo-se

|r − rn−1| = |r − hn−1

kn−1|

= |−(hn−1kn−2 + hn−2kn−1)kn−1(xnkn−1 + kn−2)

|

= | (−1)n−1

kn−1(xnkn−1 + kn−2)|

=1

kn−1(xnkn−1 + kn−2)≤ 1kn−1

porque xn, km > 0 & limn kn = +∞. Em suma rn−1 → r. 2

E fica tambem demonstrado o teorema 7.2.4

7.3 Fraccoes periodicas

Nesta seccao, abusaremos um pouco da notacao identificando

[a0; · · · , an] = [a0, · · · , an]

Teorema 7.3.1 Uma fraccao contınua simples e periodica se e apenas se representaum irracional quadratico.

Dem. Se a fraccao e puramente periodica, digamos

ξ = [a0; · · · , an, · · · ] = [a0, · · · , an],

observe-se queξ = [a0; · · · , an, ξ],

de onde se conclui

ξ =ξhn + hn−1

ξkn + kn−1, (7.12)

que e uma equacao quadratica de coeficientes inteiros.Se a fraccao e mista, digamos

θ = [b0; · · · , bm, a0, · · · , an]ξ = [a0, · · · , an],

entao

θ =ξh′m + h′m−1

ξk′m + k′m−1

. (7.13)

VN 713


para certos h′, k′ ∈ Z. E assim θ e tambem raiz de um polinomio do mesmo tipo; o quetambem pode ser visto do seguinte modo: ξ e irracional (a fraccao e infinita), portanto,como raiz de polinomio do segundo grau de coeficientes inteiros, verifica

ξ = α+ β√d & α, β ∈ Q & d ∈ N;

pelo que, em virtude de (7.13), θ e da mesma forma, por tambem ser irracional.Suponhamos agora que

aξ2 + bξ + c = 0 & a 6= 0 & a, b, c ∈ Z (7.14)& b2 − 4ac 6= & ξ = [a0; · · · , an, · · · ] ∈ R\Q. (7.15)

Tomandosn = [an; · · · , an+1, · · · ]

tem-se

ξ =snhn−1 + hn−2

snkn−1 + kn−2,

Substituindo em (7.14), obtem-se

Ans2n +Bnsn + Cn = 0 (7.16)

com

An = ah2n−1 + bhn−1kn−1 + ck2

n−1

Bn = 2ahn−1hn−2 + b(hn−1kn− 2 + hn−2kn−1) + 2ckn−1kn−2

Cn = ah2n−2 + bhn−2kn−2 + ck2

n−2

Vamos agora obter majoracoes de |An|, |Bn|, |Cn| independentes de n.An 6= 0 porque a equacao (7.14) nao tem raizes racionais.A equacao (7.16) mostra que

Anx2 +Bnx+ Cn = 0 (7.17)

tem raiz sn. Alem disso, alguns calculos mostram que

B2n − 4AnCn = (b2 − 4ac)(hn−1kn−2 − hn−2kn−1)2 = b2 − 4ac (7.18)

Ora ∣∣∣∣ξ − hn

kn

∣∣∣∣ < 1knkn+1

<1k2

n

pelo que

hn−1 = ξkn−1 +δn− 1kn−1

& |δn−1| < 1.

714 VN


Daı

An = a

(ξkn−1 +

δn− 1kn−1

)2

+ bkn−1

(ξkn−1 +

δn− 1kn−1

)+ ck2

n−1

= (aξ2 + bξ + c)k2n−1 + 2aξδn−1 + a

δ2n−1

k2n−1

+ bδn−1

= 2aξδn−1 + aδ2n−1

k2n−1

+ bδn−1,

pelo que|An| < 2|aξ|+ |a|+ |b|

e, como Cn = An−1,|Cn| < 2|aξ|+ |a|+ |b|.

Por (7.18),

B2n ≤ 4|An||Cn|+ |b2 − 4ac|

< 4(2|aξ|+ |a|+ |b|)2 + |b2 − 4ac|.

Portanto os valores dos numeros inteiros An, Bn, Cn sao limitados independentementede n e o numero de ternos (An, Bn, Cn) e finito; se (A,B,C) for um dos que ocorre pelomenos tres vezes, os correspondentes sn1 , sn2 , sn3 tem pelo menos uma repeticao, poisa equacao (7.17) tem apenas duas solucoes.

Se sn1 = sn2 entaoan1+i = an2+i (i ∈ N0)

e a fraccao e periodica. 2

7.4 Exercıcios

1. Considere n := 4567890123456

(a) Sem a calcular, determine a natureza da dızima de n e diga qual o compri-mento do seu perıodo.

(b) Verifique que a resposta que deu a alınea anterior e correcta.

2. Prove os seguintes resultados

(a) Suponha que f ∈ Z[x] e que f tem grau positivo. Mostre que para qualquerm ∈ N, existe n ∈ N tal que n > m & f(n) e composto.

VN 715


(b) A dızima x := 0, a1 · · · an · · · definida por

an =

{1 se n e primo

0 caso contrario.

e irracional. (SUG: prove que se a dızima e periodica, entao existem a, b ∈ Ntais que a 6= 0 & an+ b e primo quando n e suficientemente grande.)

3. Seja x o numero real em ]0, 1[ cuja parte decimal e a sequencia dos numerosprimos, por exemplo, uma aproximacao de x e 0, 23571113171923 · · · 89 · · · 2161(2161 e um dos primeiros 1000 numeros primos). Prove que x e irracional. (SUG:Comece por deduzir do Teorema de Dirichlet sobre progressoes aritmeticas queha infinitos numeros primos congruentes com 1 para o modulo 10s e conclua queha infinitos numeros primos cuja expressao decimal tem um numero arbitrario dezeros consecutivos.)

4. Suponha que b ∈ N/{1}.

(a) Mostre que se (an)n∈N ∈ {0, 1, · · · , b− 1}N, entao

∞∑i=1

an

bn< +∞ (7.19)

(b) Mostre que qualquer numero real em ]0, 1[ tem uma representacao na baseb, i.e., e a soma de uma serie como a descrita em (7.19).

(c) Mostre que um numero em ]0, 1[ e racional sse a sua representacao na baseb e periodica.

5. Mostre que:

(a) Se a, b ∈ Z, a < b e r := [a; a1, · · · ] e s := [b; b1, · · · ] sao fraccoes contınuassimples, entao r < s.

(b) Se r := [a0; a1, · · · ] e s := [b0; b1, · · · ] sao fraccoes contınuas simples e

k := max{j ∈ N| ∀i ∈ N [0 ≤ i < j ⇒ ai = bi]}

entao, convencionando que

max ∅ := 0,

r < s ⇔

{k e par e ak < bk

k e impar e bk < ak.

716 VN


6. Com a notacao do texto mostre que

∀n ∈ N[n ≥ 1 ⇒ kn

kn−1= [an; an−1, · · · , a1]

]e determine uma expressao semelhante para hn

hn−1, supondo que a0 ≥ 0.

7. Suponha que r := mn e uma fraccao reduzida em Q e que [a0; · · · , an] e a sua

representacao em fraccao contınua. Com a notacao do texto, mostre que

∀i ∈ N [0 ≤ i ≤ n− 1 ⇒| ri − r |≤ 1kiki+1

]

e que a ultima desigualdade e igualdade apenas quando i = n− 1.

8. Mostre que se as primeiras n reduzidas de duas fraccoes contınuas simples saoiguais duas a duas, entao os primeiros n termos das fraccoes correspondentestambem sao iguais dois a dois.

9. Desenvolva os seguintes numeros em fraccao contınua simples: 17/3, 3/17 e 8/1.

10. Converta em numero racional as fraccoes contınuas [2, 1, 4], [−3, 2, 12] e [0, 1, 1, 100].

11. Determine o valor das seguintes fraccoes contınuas:

(a) [1];

(b) [2, 1];

(c) [2, 3, 1];

(d) [2];

(e) [1, 2];

(f) [2, 1].

12. Para cada uma das dızimas 0, 12(4), 12, 23(465) e 1, (12345679), determine afraccao reduzida correspondente.

13. Determine o desenvolvimento em fraccao contınua periodica dos seguintes numerosirracionais quadraticos

(a)√

29

(b)√

41

(c)√

37+53

(d) 1− 2√3

14. Demostre que

VN 717


a)√n2 + 1 = [n, 2n] b)

√n(n+ 1) = [n, 2, 2n]

15. Demonstre que se n e um inteiro positivo se tem

n+√n2 + 42

= [n]

718 VN

Capıtulo 8

Extensoes

De ora em diante supomos fixado um modelo de corpo ordenado completo, isto e, ocorpo dos numeros reais; tambem nos referiremos indistintamente ao corpo enquantoestrutura algebrica K = (K,+, ·, 0, 1, < ) ou ao seu suporte K; alem disso, designaremosgenericamente por + e · (abreviando a · b por ab) as operacoes de soma e produto dequalquer corpo; finalmente: 0 = 0 e 1 = 1.

8.1 Os numeros complexos

O polinomio x2 +1 nao tem raizes reais, pois −1 < 0 ≤ x2 em qualquer corpo ordenado(lema 6.1.1).

Esta seccao consiste essencialmente na demonstracao do seguinte

Teorema 8.1.1 A menos de um isomorfismo de corpos, existe um corpomınimo que prolonga o corpo R e onde o polinomio x2 + 1 tem uma raiz.

Admitamos a existencia de um corpo K do qual o corpo R e subcorpo e onde existeum elemento designado por i tal que

i2 + 1 = 0. (8.1)

Repare-se que R ⊆ K e seja

C = {a+ bi : a, b ∈ R}

801


Lema 8.1.1 Para quaisquer numeros reais a, b, c e d

1. a+ bi = c+ di sse a = c e b = d.

2. (a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i

3. (a+ bi)(c+ di) = (ac− bd) + (ad+ bc)i

4. (a+ bi)−1 = aa2+b2

− ba2+b2

i

Dem. (1) Se a+ bi = c+ di, entao a− c = (b− d)i portanto (a− c)2 = −(b− d)2; masentao

0 ≤ (a− c)2 = −(b− d)2 ≤ 0

pelo que 0 = a− c = b− d.As restantes propriedades sao consequencias do facto de K ser um corpo e a sua

demonstracao fica como exercıcio. 2

Daqui resulta o seguinte teorema:

Teorema 8.1.2 C = (C,+, ·, 0, 1) e um corpo que prolonga R propriamente.

Dem. Vejamos apenas que e extensao propria:

i = 0 + 1i ∈ C & R = R + 0i ⊆ C & i ∈ C\R

2

Por outro lado, o lema 8.1.1 so utiliza o facto de i ser uma raiz quadrada de −1,pelo que vale seja ela qual for, em particular se, por exemplo, substituirmos i por −ino enunciado.

Por outro lado, tambem nao interessou a natureza do corpo K para alem do factode conter uma raiz quadrada de −1.

Resumindo:

Teorema 8.1.3 Qualquer corpo que contenha (um corpo ordenado isomorfo a) R eonde a equacao x2 + 1 = 0 tenha solucao contem um corpo isomorfo a C; um isomor-fismo Φ pode ser descrito do seguinte modo: se i e j designam respectivamente raizesquadradas de −1 em cada um dos corpos extensao, entao

Φ(a+ bi) = a+ bj (a, b ∈ R).

Fica assim cumprido o proposito anunciado no inıcio da seccao. Chamamos a estaextensao mınima o corpo dos numeros complexos.

802 VN


Observe-se ainda que definindo conjugado, z, do numero complexo z = a +bi (a, b) ∈ R2, por

a+ ib = a− ib

e uma funcao N : C → R, designada tambem norma, por

N(a+ bi) = a2 + b2 ((a, bıvtr2)) (8.2)

vem, para z = a+ bi, w = c+ di ∈ C, a, b, c, d ∈ R,

N(z) = zz

z−1 =z

N(z)N(zw) = N(z)N(w).

Em particular

(a2 + b2)(c2 + d2) = (ac− bd)2 + (ad+ bc)2 (a, b, c, d ∈ R).1

Terminamos com as seguintes observacoes:

Observacoes.1. O corpo C nao e ordenavel, pois i2 = −1.2. O corpo C e algebricamente fechado, isto e, vale o seguinte teorema, cuja demon-stracao nao cabe no ambito deste curso.

Teorema 8.1.4 (Fundamental da Algebra)Qualquer polinomio de coeficientes em C e grau maior ou igual a 1 tem raizes em

C.

8.2 Quaternioes

Seja K =≺ K,+ � um espaco vectorial sobre o corpo R dos numeros reais com dimensao4. Vamos definir uma operacao binaria • de modo a que

K1. ≺ K,+, • � e anel de divisao.

K2. O corpo C dos numeros complexos e (isomorfo a um) subanel de K.

Designemos por {1, i, j,k} uma base de K. Como e habitual, simplificamos a notacaox • y por xy e identificamos K com K. Defina-se

1. i2 = j2 = k2 = −1

2. ij = k jk = i ki = j1Recorde-se a proposito o teorema 4.3.3.

VN 803


3. Se a, b, c, d, α, β, γ, δ ∈ R, x = a1 + bi + cj + dk, y = α1 + βi + γj + δk entao

xy = (aα− bβ − cγ − dδ)1 + (aβ + bα+ cδ − dγ)i(aγ + cα+ dβ − bδ)j + (aδ + dα+ bγ − cβ)k

Tres propriedades de demonstracao particularmente rapida

Teorema 8.2.1 Tem-se

1. 1 e elemento neutro de •.

2. ji = −k kj = −i ik = −j

3. ≺ K, • � nao e comutativo.

4. C e isomorfo ao subanel de K cujos elementos sao todos os da forma a1+ bi, emque a, b ∈ R.

E vale K2. Quanto a K1

Teorema 8.2.2 K e anel de divisao

Dem. As propriedades da soma estao garantidas pelo facto de K ser espaco vectorial.A unica propriedade que possivelmente exige mais que calculos rotineiros e a existenciade opostos multiplicativos. Na verdade, analogamente ao que se passa com C, sea1 + bi + cj + dk 6= 0 a, b, c, d ∈ R

(a1 + bi + cj + dk)−1 =a1− bi− cj− dka2 + b2 + c2 + d2

2

Parece-nos interessante observar que, analogamente ao que se faz em C, definindoo conjugado do quaterniao α = a1 + bi + cj + dk, α, por

a1 + bi + cj + dk = a− bi− cj− dk ((a, b, c, d) ∈ R4), (8.3)

e definindo a norma do quaterniao, N , por

N(α) := a2 + b2 + c2 + d2 ((a, b, c, d) ∈ R4),

entao, para quaiquer α, β ∈ K,

N(α) = αα

α−1 =α

N(α)N(αβ) = N(α)N(β).

Em particular, vale uma identidade de Lagrange que enunciamos de seguida.

804 VN


Teorema 8.2.3 Se α = a1 + bi + cj + dk e β = u1 + vi + xj + yk sao quaternioes e(a, b, c, d), (u, v, x, y) ∈ R4, entao

(a2 + b2 + c2 + d2)(u2 + v2 + x2 + y2) = (au+ bv + cx+ dy)2 + (av − bu− cy + dx)2

+ (ax+ by − cu− dv)2 + (ay − bx+ cv − du)2.

8.3 Extensoes ordenadas

8.3.1 (In)Completude

Leibniz utilizava (e Newton tambem) numeros infinitesimais , isto e, numeros nao nulos,mas de valor absoluto menor que qualquer numero real positivo, do mesmo modo queos numeros reais. Na verdade um grande numero de matematicos do seculo XVIII (eFermat antes deles) obteve resultados fundamentais utilizando os primeiros, e mesmoEuler se socorreu de numeros infinitos para obter, por exemplo, o desenvolvimento dafuncao seno em produto. Tal pode de facto ser feito no contexto adequado e tomandoos devidos cuidados como se pode ver em [19]. Para ja tratamos apenas de algumaspropriedades puramente algebricas de extensoes proprias do corpo dos numeros reais.

Teorema 8.3.1 Se K e um corpo ordenado que prolonga propriamente o dos numerosreais, entao existem em K elementos positivos menores que qualquer numero real pos-itivo.

Dem. Suponhamos que K e uma extensao ordenada propria de R e que α ∈ K\R.Podem dar-se tres casos a saber

1. ∀r ∈ R r < α

2. ∀r ∈ R α < r

3. ∃r, s ∈ R r < α < s

No primeiro caso, como K e um corpo ordenado,

∀s ∈ R+ 0 <1α<

1s

ou, como se pretende,

∀r ∈ R+ 0 <1α< r

O segundo caso, pode tratar-se analogamente tomando −α em vez de α.No terceiro caso defina-se

A = {x ∈ R : x < α}

O conjunto A ⊆ R, nao e vazio, pois r ∈ A, e e majorado em R por s, portanto temum supremo tambem em R, digamos σ = supA. Vamos ver que |σ − α| e o numero

VN 805


pretendido. Tome-se M ∈ R+. Por um lado σ −M < σ e assim existe a ∈ A tal queσ −M < a < α e

σ − α < M ;

por outro lado, σ < σ + M e portanto α ≤ σ + M ∈ R; segue-se que de facto α <σ +M ∈ R, ou seja

α − σ < M.

As duas desigualdades mostram o que se pretende. 2

Os elementos α ∈ K cuja existencia esta garantida pelo teorema 8.3.1 dizem-seinfinitesimais. Os outros elementos, ainda designados por α, podem ser infinitos, se

∀r ∈ R+ r < |α| (8.4)

ou finitos, se∃r ∈ R+ |α| < r. (8.5)

A condicao 8.4 e equivalente a disjuncao das 1 ou 2 da demonstracao acima; a condicao8.5 e equivalente a 3 da mesma demonstracao.

8.3.2 Parte standard

Notemos x ≈ y se x−y e infinitesimal, o que tambem se traduz por x esta infinitamenteproximo de y.

Com um pouco mais de precisao pode mostrar-se o seguinte

Teorema 8.3.2 Seja K uma extensao propria ordenada do corpo dos numeros reais.Para cada elemento finito α ∈ K, existe um e so um numero real oα tal que oα ≈ α.

Dem. Releia-se a demonstracao anterior e tome-se oα = σ. Mostrou-se que α ≈oα ∈ R.Quanto a unicidade, observe-se que outro numero real infinitamente proximo de αestaria tambem infinitamente proximo de oα e portanto o valor absoluto da diferencaentre os dois seria um numero real menor que qualquer numero real positivo, pelo queso poderia ser zero. 2

O numero oα cuja existencia e garantida por este teorema diz-se parte standardde α.

Teorema 8.3.3 Seja K uma extensao ordenada propria do corpo R. Sejam respecti-vamente O e Θ os conjuntos dos numeros finitos e dos numeros infinitesimais em K.Para simplificar a notacao, entendam-se as operacoes e ordem restringidas adequada-mente.

1. (O,+, ·,≤) e um domınio de Integridade ordenado.

806 VN


2. (Θ,+, ·,≤) e um domınio de Integridade ordenado e ideal em (O,+, ·,≤); emparticular

∀ε ∈ Θ ∀δ ∈ O [0 ≤ |δ| ≤ ε ⇒ δ ∈ Θ]. (8.6)

3. A funcao st : (O,+, ·) → (R,+, ·) e um epimorfismo de aneis, Θ = st−1(0) e O/Θ

e isomorfo a R.

Concluimos observando que

Corolario 8.3.1 Os corpos ordenados que prolongam propriamente o corpo dos numerosreais nao sao completos.

Dem. Vejamos o conjunto dos infinitesimais Θ nao tem supremo, mesmo sendo majora-do por qualquer numero real positivo: se s = supΘ entao s 6∈ Θ, porque 0 < s < 2s ∈ Θ;mas entao existe r ∈ R tal que 0 < r ≤ s, portanto (o supremo) s e menor ou igual a(omajorante) r, o que e absurdo. Em suma: Θ nao tem supremo. 2

8.4 Exercıcios

1. Determine os seguintes produtos de quaternioes:

(a) (i+ j)(i− j);

(b) (1− i+ 2j − 2k)(1 + 2i− 4j + 6k).

2. Mostre que os unicos quaternioes que comutam com i sao da forma a+ bi.

3. Determine todos os quaternioes que comutam simultaneamente com i e j.

4. Mostre que ha um numero infinito de solucoes da equacao x2 = −1 no conjuntodos quaternioes.

5. Suponha que a = a21 + a2

2 + a23 + a2

4 e que b = b21 + b22 + b23 + b24, onde ai, bi ∈ Z.Mostre que ab = c21 + c22 + c23 + c24, onde

(a1 + a2i+ a3j + a4k)(b1 + b2i+ b3j + b4k) = c1 + c2i+ c3j + c4k.

6. Seja K = (K,+, ·,0,1, <) um corpo ordenado que prolonga propriamente o dosnumeros reais. Sejam respectivamente Θ e O os conjuntos de elementos infinites-imais e elementos finitos de K. Mostre que, para quaisquer a, b, x, y ∈ K

(a) Se x ≈ a ∈ O entao x2 ≈ a2, mas pode acontecer x ≈ a & x2 6≈ a2.

(b) Se a, b ∈ O & x ≈ a & y ≈ b, entao xy ≈ ab, mas pode acontecer x ≈a & y ≈ b mas xy 6≈ ab.

VN 807


(c) Se x ≈ a 6≈ 0, entao 1x ≈

1a , mas pode acontecer x ≈ a & 1

x 6≈1a .

(d) Sendo a funcao f(x) um polinomio em x de coeficientes em O e grau n ∈ Ne a ∈ O \Θ, para todo o h ∈ Θ, existe ε ∈ Θ tal que

f(a+ h) = f(a) + f ′(a)h + εh;

(e) Se f(x) = 1x , a 6∈ Θ & h ≈ 0, entao existe ε ∈ Θ tal que

f(a+ h) = f(a) − 1a2h + εh.

808 VN

Parte III

Aplicacoes

901

Capıtulo 9

Criptografia

9.1 Introducao

Um alfabeto e um conjunto finito de sımbolos com os quais serao elaboradas sequenciasou unidades de texto. Designaremos por T (A) o conjunto das unidades de texto noalfabeto A.

Uma funcao de cifra e uma aplicacao injectiva de um conjunto de unidades detexto para outro; os elementos do contradomınio da funcao de cifra designam-se porunidades de cifra. Um texto e uma sequencia de unidades de texto; um textocifrado e uma sequencia de unidades de cifra.

Vamos considerar apenas casos em as unidades de cifra e de texto sao do mesmotipo e construidas com o mesmo alfabeto.

Um sistema de cifra e um terno

T (A)f→ T (A)

f−1

→ T (A)

em que f e uma funcao de cifra.

9.2 Sistemas afins

Seja A um alfabeto com n sımbolos distintos (n > 1) e fixe-se uma enumeracao ν :A → {0, 1, · · · , n− 1}.

Uma k-unidade de texto e uma sequencia de k elementos de A. Como conven-cionamos na introducao, as unidades de cifra sao tambem sequencias de k elementosde A. Cada texto e constituido por um numero inteiro de unidades; se for necessario,completa-se a ultima unidade por repeticao do ultimo sımbolo do alfabeto.

A funcao de cifra afim de parametros a e b e a funcao f construida do seguintemodo:

1. Fixam-se a ∈ N primo com n e b ∈ {1, · · · , n− 1}

903

Aplicacoes ITN(2001)

2. Cada unidade de texto u = A0 · · ·Ak−1 e codificada por um numero φ(u) que seobtem por expressao na base n:

φ(u) = ν(A0)nk−1 + · · ·+ ν(Ak−2)n+ ν(Ak−1)

3. Para cada unidade de texto u, f(u) = φ−1(aφ(u) + b (mod nk)

)0 ≤ φ (f(u)) ≤ nk − 1.

Os parametros a, b constituem a chave da cifra.

Teorema 9.2.1 Se f e uma funcao de cifra afim de parametros a, b e a∗ designa oinverso de a (mod nk) entao, para cada unidade de cifra c

f−1(c) = φ−1(a∗φ(c)− a∗b (mod nk)

).

Os sistemas afins mais simples ocorrem com k = 1 = a e podem ser designados porsistemas de deslocamento.

9.3 Codificacao Matricial

Outra forma de codificar resulta de se tomar uma k-unidade de texto como um elementode (Zn)k, como modulo sobre o anel Z, e utilizar matrizes. Vejamos um caso menoscomplicado.

Designe-se o conjunto das matrizes 2× 2 com coordenadas em Zn por M2.

Teorema 9.3.1 Se

A =[a bc d

]∈M2 & ∆ = ad− bc,

as seguintes condicoes sao equivalentes.

1. mdc(∆, n) = 1

2. A e invertıvel

3. ker(A) = ~0 ∈ (Zn)2

4. A define um automorfismo de (Zn)2

Dem. (1 ⇒ 2) Designando por ∆∗ o inverso de ∆ (mod n), e facil verificar que

A−1 = ∆∗[

d −b−c a

](2 ⇒ 4) e (4 ⇒ 3) sao imediatas.(3 ⇒ 1) Suponha-se que δ = mdc(∆, n) > 1 e ponha-se n = mδ. Repare-se que0 < m < n e portanto n 6 |m; em particular

m 6≡ 0 (mod n). (9.1)

904 VN

Int. a Teoria dos Numeros (2001) Aplicacoes

Se δ divide todas as coordenadas de A, entao

A

[mm

]= ~0

e, por (9.1), nao vale 3.Se δ nao divide simultaneamente a e b entao[

−bmam

]6= ~0 (9.2)

mas

A

[−bmam

]=[

0m∆

]= ~0.

e torna a nao valer 3, em virtude de (9.2).Se δ nao divide simultaneamente c e d entao[

dm−cm

]6= ~0 (9.3)

mas

A

[dm−cm

]=[m∆0

]= ~0.

e, de novo, nao vale 3, em virtude de (9.3). 2

Neste contexto, os textos sao estruturados em matrizes de duas linhas, correspon-dendo cada coluna a uma unidade de cifra. As funcoes de cifra afins f passam aentender-se do seguinte modo:

1. Sao dados um elemento ~b ∈ (Zn)2 e uma matriz invertıvel A ∈M2.

2. A primeira transformacao φ : T (A) → (Zn)2 toma a forma

φ

([A1

A2

])=[ν(A1)ν(A2)

]3. Modulo n, tem-se finalmente

f(u) = φ−1(Aφ(u) +~b

).

9.4 Criptografia de chave publica

Recorde-se que um numero natural se diz livre de quadrados se for 1 ou um produtode numeros primos distintos. Seja tambem φ a funcao de Euler. O teorema seguinteenuncia alguns lemas de que precisamos para esta seccao.

VN 905


Teorema 9.4.1 1. Se m e livre de quadrados e d = mcd(a,m) entao a e primo commd .

2. Se m e livre de quadrados e d|m entao d e primo com md .

3. Para qualquer m ∈ N, se d|m entao φ(d)|φ(m).

4. Se n ≡ 1 (mod φ(m)) e a e primo com m, entao an ≡ a (mod m)

5. Se m e livre de quadrados e n ≡ 1 (mod φ(m)), entao ∀a ∈ N an ≡ a (mod m).

Dem. Demonstraremos apenas a proposicao 5. As proposicoes anteriores sao essen-cialmente lemas para a ultima.

Para evitar trivialidades podemos supor que a,m, n > 1. Seja d = mdc(a,m); tem-separa certos r, s ∈ N0

an = arφ(m)+1

= arsφ(md

)+1

=[aφ(m

d)]rs

· a

≡ 1rs · a (modm

d)

≡ a (modm

d)

Em particular, para algum α ∈ N,

d|an − a = α · md

e, pela proposicao 1, d|α, donde an ≡ a (mod m). 2

Segue-se como corolario:

Teorema 9.4.2 Se m e simples, k, k′ ∈ N e kk′ ≡ 1 (mod φ(m)), entao∀a ∈ N akk′ ≡ a (mod m).

Um exemplo de codificacaoI. Fixe-se um codigo nσ para cada sımbolo σ da linguagem que vai ser utilizada.

Exemplo 9.4.1 Se σ designar uma letra do alfabeto latino, seja nσ o seu numero deordem alfabetica habitual com dois dıgitos: na = 01, nb = 02, ..., nj = 10, ...

II. Traduza-se a mensagem para esse codigo.

Exemplo 9.4.2 De acordo com o exemplo anterior, supondo ainda que no = 35 apalavra codigo e traduzida por 033504090715.

906 VN

Int. a Teoria dos Numeros (2001) Aplicacoes

III. Pode-se ficar por aqui ou dificultar um pouco mais a descodificacao.

Exemplo 9.4.3 Digamos que o maior nσ e 50 e seja m = 5 · 17, pelo que φ(m) = 64;tome-se tambem k = 5 & k′ = 13. Em vez de se codificar como no exemplo 9.4.1,recodifique-se

n′σ = (nσ)5

com as letras em blocos separados: a palavra codigo passa a ser traduzida por

243 52521875 1024 59049 16807 759375

IV. A descodificacao pode ser feita utilizando o teorema 9.4.2 por quem saiba quek′ = 13 e m = 85.

Exemplo 9.4.4 (mod 85) tem-se

24313 ≡ 7313 ≡ (−12)13

≡ −(123)4 · 12 ≡ −284 · 12≡ −21 · 12 ≡ −82 ≡ 3= 03

Mais um caracter

5252187513 ≡ 3513 ≡ (354)3 · 35≡ (353) · 35 = 354

≡ 35

Repare-se que os exemplos que temos vindo a descrever podem ser tratados comuma calculadora cientıfica nao particularmente sofisticada. Codificacoes mais seguraspodem fazer-se utilizando numeros primos muito grandes para compor o modulo m.

9.5 Assinaturas; ISBN

Num sistema de chave publica uma assinatura do detentor da chave (m, k) pode serα ≡ kk′ (mod n): o receptor, que conhece (m, k), devera obter k ≡ αk (mod m).

O International Standard Book Number, ISBN, e um instrumento de deteccao deeventual existencia de erro de referencia.

Cada livro tem um ISBN que consiste numa sequencia a1 · · · a10 de dezsımbolos: os primeiros nove sao algarismos de 0 a 9, o decimo pode ser um dessesalgarismos ou a letra X, para representar dez na base 11, de acordo com a seguintecongruencia

a10 ≡9∑

i=1

aii (mod 11)

Esta representacao e sensıvel a trocas de quaisquer dois sımbolos, indicando uma prob-abilidade alta de designar o livro correctamente caso a congruencia se verifique.

VN 907


9.6 Exercıcios

1. (a) Suponha que m = pq e φ = (p − 1)(q − 1) onde p e q sao numeros reais.Encontre uma formula para p e para q em funcao de m e de φ;

(b) Suponha que m = 39247771 e o produto de dois primos, p e q, distintos.Determine p e q sabendo que φ(m) = 39233944

2. Sejam T = {©, A,B,C,D, . . . ,W,X, Y, Z}, onde© representa o espaco em bran-co e σ a correspondencia que a cada letra faz corresponder o seu numero de ordemalfabetica habitual com dois dıgitos:

σ(A) = 01, σ(B) = 02, . . . , σ(Z) = 26 e σ(©) = 00.

Consideremos o conjunto T 2 = {xy : x, y ∈ T}, a correspondencia τ : T 2 →{0, 1, . . . ,m− 1} definida por τ(xy) = σ(x)σ(y) (mod 1333) (ab representa a con-catenacao de a com b), o modulo=1333 (1333 = 31×43) e o expoente codificadors = 13.

(a) Prove que a correspondencia τ e uma aplicacao injectiva;

(b) Prove que τ nao e sobrejectiva;

(c) Codifique e descodifique as palavras SIM e EULER;

(d) Descodifique 084404430682 e 084405821121.

908 VN

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910 VN

Indice remissivo

alfabeto, 903Algoritmo

de Euclides, 7assinatura, 907

bem ordenado, 5

caracterıstica, 701chave, 904congruencia

linear, 204congruencias

polinomiais, 210conjugado

de numero complexo, 803de quaterniao, 804

conjuntoindutivo, 605

corpo, 603ordenado, 603

Arquimediano, 613completo, 613

criteriode Euler, 303

dızima, 702finita, 703mista, 703parte

decimal da, 702inteira da, 702

periodica, 703puramente periodica, 703

divisıvel, 8divisor, 8

maximo [...] comum, 9

elementopositivo, 603

equacaoDiofantina, 401

formulade Inversao de Mobius, 507de Taylor, 213

fraccao contınua, 706finita, 706infinita, 708periodica, 713

funcaoaritmetica, 501de cifra, 903de Euler, 206de Mobius, 503multiplicativa, 504

identidadede Lagrange, 412, 804

inversoaritmetico, 203

Leide Reciprocidade Quadratica, 306do Corte, 5, 6

Lemade Euclides, 10

multiplo, 8

numeroalgebrico, 611

911


complexo, 802finito, 806infinitesimal, 806infinito, 806perfeito, 509primo, 10transcendente, 611

numeroscongruentes, 201naturais, 4

estrutura de , 3intuitivos, 6

normade numero complexo, 803de quaterniao, 804

notacaoK+, 603[·], 701µ, 503φ, 206(mod n), 201car, 705mdc(a, b), 9

ordem, 703

PeanoAxiomatica de, 3

Princıpiode Inducao, 3

Completa, 5Propriedade

Arquimediana, 7

reduzida, 706resıduo

nao quadratico, 302quadratico, 302

sımbolode Legendre, 303

simplesfraccao contınua, 706numero, 408

sucessao, 706sistema

de cifra, 903de resıduos

completo, 202reduzido, 206

solucaotrivial, 401

sucessor, 3

TeoremaChines do Resto, 216de Dirichlet, 13de Euclides, 12de Euler, 207de Liouville, 611de Wilson, 208Fundamental da Algebra, 803Fundamental da Aritmetica, 11Pequeno [...] de Fermat, 208

terno Pitagorico, 401primitivo, 402

texto, 903cifrado, 903

unidadek-[...] de texto, 903de cifra, 903

unidadesde texto, 903

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