INTRODUÇÃO AO CÁLCULO

USANDO A “VISÃO DE RAIO X” E “VISÃO DE TEMPO CORRIDO”

• A visão de raio x nos permite

enxergar o que está escondido dentro

de um padrão.

• Você vê a árvore, mas sabe que ela é

composta de anéis.

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USANDO A “VISÃO DE RAIO X” E “VISÃO DE TEMPO CORRIDO”

• A visão de tempo corrido nos permite

enxergar o futuro de determinado

objeto.

• A Lua está posicionada no céu de

uma determinada maneira hoje, mas

essa posição mudará nos próximos

dias.

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RELACIONANDO PADRÕES

• O que a visão de raio x e a de tempo corrido têm

em comum? Elas examinam padrões passo a passo.

A visão de raio X mostra as divisões internas e a

visão de tempo corrido coloca estágios futuros

próximos uns aos outros.

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RELACIONANDO PADRÕES

• Essas duas fórmulas

parecem ter algo em

comum, não é mesmo?

• Usando a equação da

circunferência (2𝜋𝑟) vamos

tentas descobrir a da área.

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RELACIONANDO PADRÕES

• Usando a visão de raio x, podemos perceber que o

disco, na verdade, é um conjunto de anéis

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RELACIONANDO PADRÕES

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RELACIONANDO PADRÕES

• Esticando os anéis

encontramos um triângulo

retângulo, de base 𝑟 e

altura 2𝜋𝑟. Dessa forma, a

área do círculo é a área

desse triângulo.

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MÚLTIPLAS FORMAS DE OBSERVAR

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VISÃO DE TEMPO CORRIDO NA CONSTRUÇÃO DO CÍRCULO

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VISÃO DE TEMPO CORRIDO NA CONSTRUÇÃO DO CÍRCULO

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VISÃO DE TEMPO CORRIDO NA CONSTRUÇÃO DO CÍRCULO

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VISÃO DE TEMPO CORRIDO NA CONSTRUÇÃO DO CÍRCULO

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EXPANDINDO A IDEIA

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TERMOS OFICIAIS

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TERMOS OFICIAIS

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Conceito Intuitivo Nome Formal Símbolo

Raio x (Separa em partes) Derivar𝑑

𝑑𝑡

Visão de Tempo Corrido Integrar න

Direção da SetaIntegrar ou derivar com

respeito a uma variável

𝑑𝑟 implica se mover

ao longo de 𝑟

Início e Fim da Seta Intervalo de integração න𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜

𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙

Fatia IntegrandoUma equação como

𝑓 𝑟 = 2𝜋𝑟

DERIVADA

• A derivada de um círculo com respeito ao raio cria

anéis;

• A derivada de um círculo com respeito ao

perímetro cria fatias;

• A derivada de um círculo com respeito ao eixo x

cria faixas

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DERIVAR A ÁREA DE UM CÍRCULO COM RESPEITO AO RAIO

𝑑

𝑑𝑟Á𝑟𝑒𝑎

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DERIVAR A ÁREA DE UM CÍRCULO COM RESPEITO AO PERÍMETRO

𝑑

𝑑𝑝Á𝑟𝑒𝑎

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DERIVAR A ÁREA DE UM CÍRCULO COM RESPEITO AO EIXO X

𝑑

𝑑𝑥Á𝑟𝑒𝑎

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INTEGRAL

• A derivada diz: “Ok, eu divido a figura para você. Ela vai se parecer com um monte de peças de altura

2𝜋𝑟 e largura d𝑟”;

• A integral responde: “Ok, esses pedaços lembram um triângulo – Eu posso medi-lo! A sua área total é

igual a 1

2× 𝑏𝑎𝑠𝑒 × 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎, que neste caso será

𝜋𝑟2”.

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INTEGRAR (2𝜋𝑟 𝑑𝑟) DE 𝑟 = 0 ATÉ 𝑟 = 𝑟

න0

𝑟

2𝜋𝑟 𝑑𝑟

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INTEGRAR UMA FATIA DE PIZZA DE 𝑃 =𝑀𝐼𝑁 ATÉ 𝑃 = 𝑀𝐴𝑋

න𝑝=𝑚𝑖𝑛

𝑝=𝑚𝑎𝑥

(𝑓𝑎𝑡𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎) 𝑑𝑝

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INTEGRAR UMA FAIXA DE X = 𝑀𝐼𝑁 ATÉ X = 𝑀𝐴𝑋

න𝑥=𝑚𝑖𝑛

𝑥=𝑚𝑎𝑥

(𝑓𝑎𝑖𝑥𝑎) 𝑑𝑥

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UTILIZANDO O WOLFRAM ALPHA

• integrate [equação] from [variável=início] to

[variável=final]

• derive [equação] with respect to [variável]

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UTILIZANDO FÓRMULAS MELHORES

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DERIVADA COMO TAXA DE VARIAÇÃO

𝑑𝑓(𝑥)

𝑑𝑥= 𝑓′ 𝑥 = lim

𝑑𝑥→0

𝑓 𝑥 + 𝑑𝑥 − 𝑓 𝑥

𝑑𝑥

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DERIVADA COMO TAXA DE VARIAÇÃO

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TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO

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න𝑎

𝑏

𝑝𝑎𝑠𝑠𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎 𝑏 − 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙(𝑎)

REGRAS DE DERIVAÇÃO

Nome Operação Resultado

Regra da Soma

𝑑

𝑑𝑥𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 𝑑𝑓(𝑥)

𝑑𝑥±𝑑𝑔(𝑥)

𝑑𝑥

Regra do Produto𝑑

𝑑𝑥𝑓 𝑥 × 𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 ×

𝑑𝑔(𝑥)

𝑑𝑥+ 𝑔 𝑥 ×

𝑑𝑓(𝑥)

𝑑𝑥

Regra da Cadeia𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑔 𝑥 )

𝑑𝑓(𝑥)

𝑑𝑥ቚ𝑥→𝑔(𝑥)

×𝑑𝑔(𝑥)

𝑑𝑥

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DERIVADAS NOTÁVEIS

𝒇(𝒙) 𝒇′(𝒙)

𝑐 0

𝑥𝑛 𝑛 × 𝑥𝑛−1

log𝑐(𝑥)1

𝑥log𝑐(𝑒)

𝑎𝑥 𝑎𝑥ln(𝑎)

𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(𝑥)

cos 𝑥 −𝑠𝑒𝑛(𝑥)

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EXERCÍCIO

• Utilizando a regra da multiplicação, a regra da

cadeia e a derivada de 𝑓 𝑥 = 𝑥−1, determine uma

regra para a divisão:

𝑑

𝑑𝑥

𝑣 𝑥

𝑢 𝑥=

𝑑

𝑑𝑥𝑣 𝑥 × 𝑢 𝑥

−1

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