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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA "JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Faculdade de Ciências e Tecnologia

Introdução: Revisão sobre Sistemas de Coordenadas em

Fotogrametria e Equações de Colinearidade

Notas de aula: Fotogrametria III

Este material constitui material complementar ao desenvolvido na disciplina Fotogrametria III, ministrada no Curso de Graduação em Engenharia Cartográfica da UNESP/FCT – Faculdade de Ciências e Tecnologia, Campus de Presidente Prudente – SP. Autor: Prof. Mauricio Galo Departamento de Cartografia

Presidente Prudente

2018

Notas de Aula de Fotogrametria / 2018 / Dep. de. Cartografia / Prof. Mauricio Galo 1

Introdução: Revisão sobre Sistemas

de Coordenadas em Fotogrametria

1 Introdução

Quando se trabalha com a determinação de coordenadas, posicionamento e representação de

dados espaciais, a definição de sistemas de coordenadas é essencial. Em ciências como a Cartografia,

Geodésia, Astronomia, Fotogrametria, etc, diversos sistemas de coordenadas são utilizados e o

relacionamento entre eles é freqüentemente necessário.

Segundo Lugnani (1987), ao definir um sistema de referência deve-se, na maioria das vezes,

fazer algumas simplificações, sendo estas simplificações funções de fatores como:

• Adequação ao nível didático;

• Qualidade exigida dos valores processados;

• Complexidade da definição do sistema;

• Complexidade do(s) modelo(s) matemático(s) envolvido(s).

Deste modo, muitas vezes em Fotogrametria são realizadas algumas simplificações na

definição de sistemas de coordenadas. Na sequência são apresentados alguns dos sistemas de

coordenadas mais utilizados em Fotogrametria, sendo eles divididos em três categorias: sistemas de

máquina ou instrumentais, sistemas do espaço imagem e sistemas do espaço objeto.

1.1 Sistemas de máquina ou instrumentais

São sistemas de coordenadas associados aos instrumentos Fotogramétricos, sejam eles:

trianguladores, monocomparadores, estereocomparadores, etc. Estes sistemas podem ser planos (ℜ2)

ou tridimensionais (ℜ3), conforme o instrumento considerado.


Sistema de Coordenadas do Comparador (ou Instrumental)

Os comparadores, sejam eles mono ou estéreo, são instrumentos utilizados para a medição de

coordenadas planas ou bidimensionais (ℜ2). O sistema de eixos pode ser considerado ortogonal e sua

origem normalmente é arbitrária, ou seja, cada instrumento tem a sua origem. Além disso, cada

instrumento tem suas particularidades. Por exemplo, o STECOMETER (Zeiss) pode funcionar tanto

como monocomparador quanto como estereocomparador. Quando atua no modo estéreo ele não

fornece diretamente as coordenadas (x,y)e de um ponto na foto da esquerda e as coordenadas (x,y)d na

foto da direita. Ele fornece algumas coordenadas bem como as paralaxes em x e y, devendo as

coordenadas restantes serem calculadas indiretamente, a partir destes valores.

Designando os eixos do sistema cartesiano associados aos instrumentos por xM e yM, eles são

normalmente orientados de tal modo que de xM para yM se tem uma rotação de 90o, no sentido anti-

horário. A Figura 1.1 ilustra o sistema de coordenadas de máquina ou instrumental, sendo a origem

localizada num ponto arbitrário.

xM

1

2

3

4

yM

O

Figura 1.1 - Sistema de coordenadas do comparador.

1.2 Sistemas do espaço imagem

O espaço imagem é o espaço compreendido entre o ponto nodal posterior do sistema de lentes

e o plano do negativo, bem como o espaço correspondente para o caso do diapositivo.


Sistema de Coordenadas Fiducial

É um sistema de coordenadas bidimensional (ℜ2) no qual a origem do sistema se localiza no

centro fiducial (CF) e onde o eixo xF tem a direção da linha que une as marcas fiduciais mais próximas

da linha de vôo, sendo as coordenadas xF positivas neste sentido. O eixo yF é posicionado de tal modo

que de xF para yF se tem uma rotação anti-horária de 90º, como ilustra a Figura 1.2.

xM

1

2

3

4

yM

xF

yF

CF

Figura 1.2 - Sistema de coordenadas do comparador (x,y)M e fiducial (x,y)F, para o caso em que as

marcas fiduciais são localizadas nas laterais do quadro fotográfico.

É relevante observar que na definição apresentada acima são levadas em conta apenas as duas

marcas fiduciais opostas, que mais se aproximam da linha vôo, sendo as demais ignoradas. Deste

modo não se pode afirmar que o eixo yF passa exatamente pelas marcas fiduciais 2 e 4. A Figura 1.3

mostra umas destas marcas, de modo ampliado, ilustrando esta possível situação.

Figura 1.3 - Detalhe da Figura 1.2 no qual é mostrada a marca fiducial de número 2.

No caso de fotos obtidas com câmaras onde as marcas fiduciais são localizadas nos cantos, e

não nas laterais, a definição anterior é mantida, sendo aplicada uma rotação adicional de 45o aos eixos,

como mostra a Figura 1.4. Esta rotação pode ser tanto no sentido horário quanto anti-horário,

dependendo da diagonal escolhida. No caso mostrado na Figura 1.4 a rotação se dá no sentido horário,

em relação à diagonal.


xM

45oyM

xF

yF

CF

Figura 1.4 - Sistema fiducial para o caso de câmaras que possuem as marcas fiduciais nos cantos do

quadro fotográfico.

Sistema Fotográfico de Coordenadas do Diapositivo

É um sistema de coordenadas tridimensional no qual a origem coincide com o ponto nodal

anterior, designado de modo simplificado como Centro Perspectivo (CP), e os eixos x e y são paralelos

aos eixos xF e yF do sistema fiducial. O eixo z é definido de tal modo que o sistema seja dextrogiro,

possuindo a direção do eixo óptico do sistema de lentes. Este sistema é geralmente adotado nos

sistemas analíticos e é comum ser chamado de sistema de coordenadas Fotogramétrico. A Figura 1.5

ilustra este sistema.

x

y

z

CP=0

ppf

• xF

yF

Diapositivo

Figura 1.5 - Sistema fotográfico de coordenadas do diapositivo, ou sistema Fotogramétrico.

Conhecidas as coordenadas de um ponto qualquer sobre o quadro fotográfico, no sistema

fiducial (x,y)F, pode-se determinar as coordenadas deste ponto no sistema Fotogramétrico da seguinte

maneira:


fz

yyy

xxx

0F

0F

−=

−=

−=

(1.1)

onde:

- f é a distância focal ou constante da câmara.

O sistema correspondente ao anterior, para o caso do negativo fotográfico, tem origem no

ponto nodal posterior e os eixos x e y sofrem uma reflexão, como ilustra a Figura 1.6. No caso do

negativo a coordenada z de cada um dos pontos situados no plano do negativo assumirá o valor f, ao

invés de -f.

x

y

z

CP=0

pp•

Negativo

Figura 1.6 - Sistema fotográfico de coordenadas do negativo.

Como leituras adicionais sobre o assunto, as seguintes referências são sugeridas: Lugnani

(1987) e Andrade (2003).

Sistema de Imagem

Por sistema de imagem considera-se o sistema associado a uma imagem digital. Imagem

digital pode ser definida como um conjunto de elementos de imagem (pixels) espacialmente

ordenados, em um arranjo matricial, no qual a posição de cada elemento é dada por um par ordenado

(coluna,linha) ou (x,y), sendo que a cada elemento de imagem é associado um tom de cinza, expresso

genericamente por g(x,y) ou g(c,l). Normalmente o centro do pixel situado no canto superior esquerdo

coincide com a origem deste referencial, como ilustra a Figura 1.7.


Colunas (c)

Linhas(l)

g(c,l)

Elemento(0,0)

Figura 1.7 - Sistema de imagem.

Na figura anterior considerou-se uma imagem genérica, que pode ser adquirida diretamente

por uma câmara digital ou pode ser o resultado da digitalização de uma fotografia em papel (ou

película fotográfica), seja em negativo ou diapositivo, a partir de um dispositivo como um scanner,

por exemplo. Na figura seguinte é mostrada (de forma esquemática) uma imagem digital, obtida pela

digitalização de um par de fotografias, métricas, onde podem ser observadas quatro marcas fiduciais,

nos cantos das foto, bem como os limites da foto.

Coluna

xF

yF

CF

Linha

Figura 1.8 – Foto aérea com quatro marcas fiduciais após a digitalização.

Uma vez que as medidas feitas sobre as imagens estão referidas ao sistema (c,l), ou

(coluna,linha), para fazer a transformação para o sistema de coordenadas fiducial (xF,yF), como

mostrado na Figura 1.8, deve-se aplicar uma transformação plana, como por exemplo uma

transformação afim. Para a determinação dos parâmetros desta transformação, ou de outra

transformação escolhida, é necessário conhecer as coordenadas das marcas fiduciais, no sistema

fiducial, que pode ser obtida a partir do certificado de calibração da câmara, bem como as coordenadas

das marcas fiduciais, medidas na imagem. Deste modo, os parâmetros desta transformação podem ser

estimados a partir do ajustamento usando o critério dos mínimos quadrados (MMQ).

Considerando que a imagem foi adquirida diretamente a partir de uma câmara digital, onde os

sensores são do tipo CCD (Charge Couple Device), ou CMOS (Complementary Metal Oxide


Semiconductor), o sistema equivalente ao fiducial pode ser considerado como sendo o sistema com

origem no centro da matriz de sensores, cuja posição será dada por (cx,cy) como mostrado na Figura

1.9.

x=j=coluna

y=i=linha

xF

yF

(cx,cy) Centro da imagem

0 W-1

0

H-1 W: número de colunas (largura) H: número de linhas (altura)

Figura 1.9 - Sistemas de imagem e sistema dextrogiro com origem no centro da imagem.

Assumindo que a imagem adquirida possua W colunas e H linhas, a posição (cx,cy) poderá ser

calculada por:

2

1Hc

2

1Wc

y

x

−=

−=

. (1.2)

Uma vez medido um pixel na posição (coluna,linha)=(c,l), para transformá-lo para o sistema

(xF,yF) deve fazer translações em c e l e uma reflexão no eixo y. Deste modo, as coordenadas (xF,yF),

na unidade pixel, de um ponto situado na posição (c,l) poderão ser obtidas por:

−−

−=

)cl(

cc

y

x

y

x

F

F. (1.3)

As coordenadas obtidas pela Equação 1.3 estão na unidade pixel. Para transformá-las para

grandezas no sistema métrico é necessário conhecer as dimensões dos pixels em x e y. Se as

dimensões em x e y forem representadas respectivamente por Sx e Sy, as coordenadas (xF,yF) podem

ser calculadas por:

−−

−−

−=

−−−

−−

=

2

1Hl

2

1Wc

S0

0S

2

1HlS

2

1WcS

y

x

y

x

y

x

F

F. (1.4)

A partir da Equação 1.4 pode-se obter a equação inversa, que permite o cálculo das coordenadas (c,l) a

partir de (xF,yF), W, H, Sx e Sy, ou seja:


−

−

+

−=

2

1H2

1W

y

x

S/10

0S/1

l

c

F

F

y

x. (1.5)

1.3 Sistemas do espaço objeto

Por espaço objeto pode-se considerar a região que envolve o ponto nodal anterior e todos os

pontos do espaço fotografado. Vários são os sistemas do espaço objeto que podem ser utilizados e

dentre eles pode-se destacar o Sistema Geodésico Cartesiano, o Sistema UTM e o Sistema Cartesiano

Local.

Coordenadas Geodésicas e o Sistema Geodésico Cartesiano

O sistema geodésico cartesiano é um sistema que tem origem no centro do elipsóide adotado

como modelo geométrico para a superfície terrestre e sobre o qual são normalmente realizados os

cálculos em Geodésia. O eixo X se localiza sobre o plano do equador e dirigido para o meridiano de

Greenwich e o eixo Z é dirigido para a origem convencional internacional (CIO - Conventional

International Origin). O eixo Y do sistema é disposto de tal modo que torna o sistema dextrogiro,

como ilustra a Figura 1.10.

λϕa

b

Equador

P(X,Y,Z)Z

X

Y

ZMeridiano deGreenwich

h

Figura 1.10 - Sistema geodésico cartesiano e as coordenadas geodésicas.

As coordenadas de um ponto genérico P da superfície física podem ser univocamente

expressas através das coordenadas Geodésicas, ou Elipsoidais (ϕ,λ,h), e também através das

coordenadas geodésicas cartesianas. As coordenadas geodésicas podem ser definidas da seguinte

maneira:

Latitude Geodésica (ϕ) • É o ângulo que a normal ao elipsóide, passante por P, forma

com a sua projeção equatorial. O sentido de contagem das


latitudes é tal que para o hemisfério norte as latitudes são

positivas e para, o hemisfério sul, negativas.

Longitude Geodésica (λ) • Ângulo compreendido entre o meridiano de Greenwich e o

meridiano que passa pelo ponto P. As longitudes, a leste de

Greenwich, são convencionadas positivas.

Altitude Geométrica (h)1 • É a distância do ponto P ao elipsóide, contado sobre a normal.

As coordenadas cartesianas (X,Y,Z) do ponto P podem ser obtidas a partir das coordenadas

geodésicas (ϕ,λ,h), através de:

( )( )( )[ ]

ϕ+−

λϕ+

λϕ+

=

senhe1N

sencoshN

coscoshN

Z

Y

X

2

(1.6)

onde:

- N é o raio de curvatura da seção normal (ou grande normal), função de a, e, e ϕ;

- a é o semi-eixo maior do elipsóide de referência;

- e é a excentricidade do elipsóide de referência.

Definidos os parâmetros (a,e) do elipsóide e dada uma latitude (ϕ), a grande normal pode ser obtida

por:

ϕ−=

22 sene1

aN . (1.7)

O sistema geodésico cartesiano é comumente empregado em Geodésia, mas oferece algumas

dificuldades quando utilizado em Fotogrametria. Uma das dificuldades está na determinação das

coordenadas aproximadas dos pontos numa aerotriangulação. Um outro fator é a própria grandeza das

coordenadas, que faz com que o esforço computacional seja maior, além de dificultar a análise dos

resultados.

Sistema UTM - Universal Transverso de Mercator

É um sistema do espaço objeto, associado a uma projeção cartográfica, que é obtido pela

projeção dos pontos do elipsóide de revolução sobre um cilindro secante, que por sua vez é

1 É também usual o termo altura geométrica.


desenvolvido no plano. Este sistema faz parte de uma categoria de sistemas de projeções, as projeções

conformes, no qual a propriedade fundamental é a preservação da forma de pequenas áreas. Nesta

projeção as coordenadas de um ponto são representadas por (E,N), que podem ser calculadas a partir

das coordenadas no sistema transverso de Mercator (TM) por:

+

=

000.500

000.000.10

y

x

9996,00

09996,0

E

N

TM

TM, (Hemisfério Sul) (1.8)

ou

+

=

000.500

0

y

x

9996,00

09996,0

E

N

TM

TM. (Hemisfério Norte) (1.9)

Por sua vez as coordenadas no sistema transverso de Mercator (xTM,yTM) podem ser obtidas a

partir das coordenadas Geodésicas (ϕ,λ), como pode ser visto, por exemplo, na formulação

apresentada por Blachut et al. (1979). Pode-se notar que as coordenadas no sistema UTM se referem a

um sistema cartesiano e através delas pode-se obter a posição da projeção de um ponto sobre o

elipsóide de revolução. Assim, é necessária uma terceira componente a fim de que se tenha a

determinação unívoca de um ponto sobre a superfície física. Esta terceira componente pode ser a

altitude, seja ela geométrica (h), ou ortométrica (H). Desta maneira, ao se utilizar o terno (E,N,h), ou

seja, a combinação UTM-h, ou UTM-H para o terno de coordenadas (E,N,H), um ponto da superfície

física poderá ser univocamente determinado.

A combinação UTM-h (ou UTM-H) pode ser caracterizada como um sistema híbrido, uma vez

que é composto por superfícies de referência de diferentes características. As coordenadas (E,N) são

coordenadas cartesianas e as altitudes são obtidas a partir das distâncias dos pontos da superfície física

a uma superfície não plana, i. e., o geóide no caso de H e o elipsóide no caso de h. A utilização de

coordenadas planas (E,N), juntamente com h ou H, em alguns procedimentos, como por exemplo a

fototriangulação, provoca efeitos sistemáticos, principalmente no caso de extensos blocos de

fotografias.

Como discutido anteriormente, o uso de sistemas híbridos não é totalmente adequados para a

utilização em alguns procedimentos Fotogramétricos e uma alternativa é a adoção de um sistema

cartesiano local, que será descrito na seqüência.


Sistema Cartesiano Local2

O sistema cartesiano local pode ser definido a partir dos seguintes elementos:

- origem - sobre a superfície do elipsóide (ou sobre um ponto de altitude geométrica

h0);

- eixo Z - direção da normal passante pelo ponto origem;

- eixo Y - direção do norte geodésico;

- eixo X - orientado de tal modo que o sistema seja dextrogiro.

Na realidade, a origem do sistema local não precisa ser definida rigorosamente sobre a

superfície do elipsóide, podendo ser definida sobre o geóide, ou mesmo sobre a superfície física,

ficando esta escolha a critério do Fotogrametrista. A Figura 1.11 ilustra o sistema cartesiano local,

onde a origem é considerada sobre um ponto genérico de altitude geométrica h0.

PN

PS

λ0ϕ0

a

b

Equador

X

Y

Z

h0

•

XL

YL

ZL

••

OL

O

Figura 1.11 - Sistema cartesiano local.

As coordenadas no sistema local podem ser determinadas a partir das coordenadas cartesianas

geodésicas por meio de rotações e translações. Designando as coordenadas geodésicas da origem do

sistema local como sendo (ϕ0,λ0,h0) pode-se, pelas Equações 1.6, calcular as coordenadas cartesianas

do ponto origem (X0,Y0,Z0). Considerando um ponto genérico P, pode-se representar os vetores que

ligam este ponto, tanto à origem do sistema local (OL), quanto à origem do sistema geodésico (O),

como mostra a Figura 1.12.

2 A designação sistema geodésico cartesiano local é também utilizada por alguns autores, como por exemplo em Andrade (1998, pág. 75).


PN

PS

λ0

ϕ0a

b

Equador

X

Y

Z

h0

•

XL

YL

ZL

••

OL

O

P(XL,YL,ZL)

Figura 1.12 - Sistema Cartesiano Local e os vetores que determinam os segmentos LOO , PO L e

OP .

A partir da Figura 1.12 pode-se observar que a seguinte equação vetorial é válida:

LL OOOPPO −= . No entanto, cada um dos termos pode ser expresso em função de suas

componentes, ou seja:

=

L

L

L

L

Z

Y

X

PO (1.10)

e

−

−

−

=−

0

0

0

L

ZZ

YY

XX

OOOP . (1.11)

Na expressão 1.10 cada uma das componentes está referida ao sistema cartesiano local

OL(XL,YL,ZL), enquanto que na Equação 1.11 as componentes são relativas ao sistema geodésico

cartesiano, que não são paralelos entre sí. Portanto, as Equações 1.10 e 1.11 não podem ser igualadas,

a menos que as rotações que deixam paralelos os dois sistemas sejam consideradas. Para que o sistema

geodésico cartesiano fique paralelo ao sistema local, as seguintes rotações podem ser aplicadas:

- rotação em torno de Z, sentido anti-horário, de um ângulo igual a π/2+λ0 e

- rotação em torno de X, sentido anti-horário, de um ângulo igual a π/2-ϕ0.

Deste modo, a expressão que permite relacionar as coordenadas geodésicas cartesianas, com

as coordenadas no sistema cartesiano local, podem ser escritas por:


−

−

−

λ+π

ϕ−π

=

λϕ

0

0

0

),(R

0301

L

L

L

ZZ

YY

XX

)2

(R)2

(R

Z

Y

X 00 4444 84444 76

. (1.12)

Lembrando que as rotações em torno dos eixos X, Y e Z são dadas respectivamente pelas matrizes de

rotação

κκ−

κκ

=κ

ϕϕ

ϕ−ϕ

=ϕ

ωω−

ωω=ω

100

0cossen

0sencos

)(Re

cos0sen

010

sen0cos

)(R,

cossen0

sencos0

001

)(R 321, (1.13)

o produto das matrizes R1(π/2-ϕ0) R3(π/2+λ0) resultará em:

ϕλϕλϕ

ϕλϕ−λϕ−

λλ−

=λ+π

ϕ−π

=λϕ

00000

00000

00

030100

sensencoscoscos

cossensencossen

0cossen

)2

(R)2

(R),(R . (1.14)

Portanto, definidas as coordenadas geodésicas do ponto origem (ϕ0,λ0,h0), deve-se obter as

coordenadas cartesianas (X0,Y0,Z0) pela Equação 1.6, montar a matriz R(ϕ0,λ0) pela Equação 1.14 e

para cada ponto do espaço objeto, calcular as coordenadas no sistema cartesiano local usando a

Equação 1.12.

A transformação inversa, ou seja, do sistema cartesiano local para o sistema geodésico, pode

ser feita a partir da equação inversa à 1.12:

+

λϕ=

−

0

0

0

L

L

L

001

Z

Y

X

Z

Y

X

),(R

Z

Y

X. (1.15)

Uma vez obtidas as coordenadas geodésicas cartesianas (X,Y,Z) pode-se necessitar das

coordenadas geodésicas (ϕ,λ,h). Para tanto deve ser efetuada a transformação inversa à representada

pela Equação 1.6. Neste caso, não existe a transformação inversa à dada pela Equação 1.6 de modo

direto e rigoroso. Para tanto, deve-se aplicar um procedimento iterativo, ou aplicar uma solução não

rigorosa, como pode ser visto em Soler et al. (1988).

Para o cálculo da longitude pode-se utilizar a equação

X

Yarctg=λ , (1.16)

que é obtida pela razão entre a componente Y e X da Equação 1.6. Para o cálculo de ϕ e h podem ser

usadas as seguintes equações:


+

ϕ+=ϕ ϕ

+ 22

i2

1iYX

seneNZarctg i (1.17)

e

ϕ−ϕ+

= Ncos

YXh

22

. (1.18)

A Equação 1.16 permite o cálculo de λ diretamente, devendo-se analisar apenas o quadrante

através dos sinais de Y e X. No entanto, na Equação 1.17 a latitude ϕi+1 é função da latitude ϕi. Neste

caso deve-se adotar um valor inicial para a latitude e com este valor calcular ϕi+1, e assim

sucessivamente. Quando o valor de i1i ϕ−ϕ + for menor que uma tolerância pré-estabelecida, o

procedimento iterativo é finalizado e passa-se para o cálculo da altitude pela Equação 1.18.

Como leituras adicionais referentes aos assuntos tratados neste tópico, a seguintes referências

são sugeridas: Blachut et al. (1979), Lugnani(1987), Soler et al. (1988), Andrade (2003) e Monico

(2000).

1.4 Equações de colinearidade

Nas seções anteriores foram apresentados alguns sistemas de coordenadas e também algumas

transformações de coordenadas. Uma relação extremamente utilizada em Fotogrametria é aquela que

envolve as coordenadas no espaço objeto e espaço imagem, conhecida como equações de

colinearidade.

As equações de colinearidade podem ser consideradas como sendo as equações fundamentais

da Fotogrametria. Elas podem ser deduzidas baseando-se na condição de que os seguintes pontos:

imagem, centro perspectivo e o ponto objeto correspondente, pertençam a uma mesma reta suporte,

daí o nome equação de colinearidade.

Considerando como sistema de coordenadas do espaço objeto um sistema cartesiano local,

representado por (X,Y,Z) e um diapositivo, tem-se a Figura 1.13.


CP(Xcp,Ycp,Zcp)x

yz

O

Y

Z

X

P(X,Y,Z)

Y

X

Ycp

Xcp

Zcp

Z

p

Figura 1.13 – Colinearidade entre o centro perspectivo (CP), ponto imagem (p) e ponto no espaço

objeto (P).

Para a dedução das equações de colinearidade pode-se considerar a relação entre os vetores

mostrados na Figura 1.14.

CP x

yz

O

Y

Z

X

P

Y

X

Ycp

Xcp

p

Figura 1.14 – Vetores ligando os pontos: O, CP e P.

A partir desta figura pode-se escrever a seguinte igualdade vetorial:

PCPCPOOP += . (1.19)

Por outro lado, pode-se escrever o vetor que liga os pontos CP e P como sendo o produto de um

escalar k pelo vetor definido por CP e p, ou seja pCPkPCP = . Deste modo, a Equação 1.19 pode se

escrita por:


pCPkCPOOP += . (1.20)

Dos vetores presentes nesta equação, OP e CPO podem ser expressos em função das coordenadas no

sistema do espaço objeto e o vetor pCP pode ser escrito em função das coordenadas no sistema

fotogramétrico. Assim, isolando k pCP pode-se escrever:

CPOOPpCPk −= . (1.21)

Portanto, para que os componentes sejam incorporados a todos os elementos da Equação 1.21, deve-se

aplicar rotações no sistema de coordenadas do espaço objeto, de modo que eles se tornem paralelos.

Assumindo as matrizes de rotação dadas pelas Equações 1.13 e a aplicação sucessiva das seguintes

rotações:

- ω - em torno de X;

- φ - em torno de Y;

- κ - em torno de Z;

pode-se escrever a seguinte matriz de rotação:

φωφω−φ

κω+κφωκω+κφω−κφ−

κω+κφω−κω+κφωκφ

=ωφκ=

coscoscossinsin

cossinsinsincoscoscossinsinsinsincos

sinsincossincossin.coscossinsincoscos

)(R)(R)(RM 123. (1.22)

Considerando a matriz M e os componentes de cada um dos vetores na Equação 1.21, obtém-

se:

−

−

−

=

−

−

−

=

cp

cp

cp

333231

232221

131211

cp

cp

cp

ZZ

YY

XX

mmm

mmm

mmm

ZZ

YY

XX

M

z

y

x

k . (1.23)

Desenvolvendo o produto matricial na equação anterior obtêm-se as seguintes equações para (x,y,z):

[ ][ ][ ])ZZ(m)YY(m)XX(mkz

)ZZ(m)YY(m)XX(mky

)ZZ(m)YY(m)XX(mkx

cp33cp32cp311

cp23cp22cp211

cp13cp12cp111

−+−+−=

−+−+−=

−+−+−=

−

−

−

. (1.24)

Dividindo as duas primeiras equações pela terceira, fazendo as devidas simplificações e

lembrando ainda da Equação 1.1, pode-se finalmente escrever as equações de colinearidade:

)ZZ(m)YY(m)XX(m

)ZZ(m)YY(m)XX(mfyy

)ZZ(m)YY(m)XX(m

)ZZ(m)YY(m)XX(mfxx

cp33cp32cp31

cp23cp22cp210F

cp33cp32cp31

cp13cp12cp110F

−+−+−

−+−+−−=

−+−+−

−+−+−−=

. (1.25)


No desenvolvimento apresentado não foram consideradas as influências da refração

atmosférica, as distorções radial simétrica e descentrada (provocadas pelo sistema de lentes), o

trabalho do filme, etc. Deste modo, a Equação 1.25 reflete um caso ideal, no qual apenas a posição do

ponto principal é considerada e as demais influências são desprezadas.

1.5 Referências bibliográficas

ANDRADE, J. B. de Fotogrametria. Curitiba: SBEE, 2003. 274p., 2003. (ISBN 85-86180-28-9)

BLACHUT, T. J., CHRZANOWSKI, A., SAASTAMOINEN, T. J. Urban surveying and mapping.

New York: Springer-Verlag, 1979.

LUGNANI, J. B.; Introdução à Fototriangulação. Curitiba: 134p., 1987.

MONICO, J. F. G.; Posicionamento pelo NAVSTAR-GPS, Descrição, fundamentos e aplicações.

São Paulo: Editora Unesp, 2000. 287 p.

SOLER, T.; HOTHEM, L. D. Coordinate systems used in geodesy: basic definitions and concepts.

Journal of Surveying Engineering, v. 114, n. 2, pp. 84-97. May, 1988.


UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA "JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Faculdade de Ciências e Tecnologia

Introdução: Revisão sobre Sistemas de Coordenadas em

Fotogrametria

Exercícios sugeridos

Este material constitui material complementar ao desenvolvido na disciplina Fotogrametria III, ministrada no Curso de Graduação em Engenharia Cartográfica da UNESP/FCT – Faculdade de Ciências e Tecnologia, Campus de Presidente Prudente – SP. Autor: Prof. Mauricio Galo Departamento de Cartografia

Presidente Prudente 2018


Exercícios Sugeridos

1) O resultado de uma aerotriangulação é um conjuntos de pontos com coordenadas tridimensionais num sistema cartesiano local (XL,YL,ZL)i, com i∈{1,2,...,n}, sendo n o número de pontos aerotriangulados. Para que a restituição fotogramétrica possa ser realizada, seja num equipamento analógico, analítico ou em um Sistema Fotogramétrico Digital, o operador necessita das coordenadas destes pontos referidas ao sistema de coordenadas do espaço objeto, no qual o produto será gerado. Considerando que se deseja realizar uma restituição na Projeção UTM* e que a origem do sistema local seja expressa por (ϕ0,λ0,h0) pede-se:

a) descreva de modo detalhado os modelos matemáticos envolvidos na obtenção das coordenadas (E,N,h)i dos n pontos aerotriangulados, a partir das coordenadas no sistema local (XL,YL,ZL)i.

Observação: As coordenadas (E,N)i são as coordenadas no sistema de projeção UTM*. A descrição deve ser tal que se consiga, a partir dos modelos apresentados, realizar todos os cálculos.

* Neste exercício considerou-se a Projeção UTM devido ao fato dela ser largamente utilizada no país. No entanto outras projeções poderiam ser consideradas (Cônica Conforme de Lambert, Policônica, etc).

2) Com o objetivo de fazer a determinação da posição das marcas fiduciais para uma câmara métrica usada em fotogrametria foi adquirida uma imagem usando uma placa emulsionada. Nesta placa aparecem 4 marcas fiduciais e o ponto principal (pp). As coordenadas das 4 marcas, bem como do pp, foram medidas num sistema arbitrário, sendo calculados os valores médios baseados em uma série de observações, como mostra a tabela abaixo:

1

2

3

4

xM

yM

pp

Valores médios das coordenadas,

no sistema de máquina

Ponto XM (mm) YM (mm)

1 169,3345 -128,3949

2 44,6248 -206,3380

3 -33,3345 -81,6051

4 91,3627 -3,7607

pp 68,0442 -105,0307

Utilizando os dados da tabela acima pergunta-se:

a) Quais são as coordenadas das marcas fiduciais 1, 2, 3 e 4 no sistema fiducial ?

b) Quais são as coordenadas do ponto principal (pp), no sistema fiducial ?

Obs.: Apresente as coordenadas em mm, com três casas decimais.


3) Considerando que um sistema sensor do tipo CCD possui elementos de imagens de dimensão 13µm x 13µm, que a distância focal deste sistema seja 1082mm e que o sensor se localiza a uma altura aproximadamente 830km da superfície terrestre, pergunta-se:

a) Qual a área de cobertura por um elemento de imagem, em metros?

Resposta: 10 x 10m.

Obs.: Estes dados se referem ao sistema HRV do SPOT.

4) Você tem disponível uma câmara digital com 4500 (h) x 3000 (v) pixels. Sabendo que a matriz dos CCDs desta câmara possui dimensão 36 mm x 24 mm e que a posição do ponto principal em relação ao centro da imagem seja

x0 = -0,045mm

y0 = 0,068mm

pede-se:

a) Quais são as coordenadas de um pixel situado na posição (c,l)=(4305, 299) no sistema “fotogramétrico”? Expresse as coordenadas obtidas na unidade mm, com três casas decimais.

b) A partir das coordenadas obtidas no item anterior, trunque as coordenadas expressando-as na unidade mm com uma cada decimal e recalcule as coordenadas (c,l) usando estes valores.

c) Compare as coordenadas obtidas no item anterior com as coordenadas (c,l) originais e faça uma análise do resultado obtido.

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