Introducao Sinais

8/6/2019 Introducao Sinais

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UNIVASFUNIVASF

An An á álise de Sinais e Sistemaslise de Sinais e Sistemas

Prof. Rodrigo Ramos

[email protected]

IntroduIntroduçção aos Sinaisão aos Sinais



ClassificaClassificaçção de Sinaisão de Sinais



Sinais geralmente transportam informações a respeito do

estado ou do comportamento de um sistema físico e,geralmente, são sintetizados para a comunicação entrehumanos ou entre humanos e máquinas

Sinais são representados matematicamente como funçõesde uma ou mais variáveis independentes

– Um sinal de voz pode ser representado matematicamentecomo uma função do tempo

– Um imagem fotográfica pode ser representadamatematicamente como a variação do brilho e da cor emfunção de duas variáveis no espaço

SinaisSinais



Sinais Determinísticos

– Podem ser representados por uma função analítica• É possível determinar precisamente o valor do sinal em um dado

instante de tempo

• ex: f(t)=Acos(ωot), onde A e ωo são constantes

Sinais DeterminSinais Determiní í sticos x Sinais Aleatsticos x Sinais Aleatóóriosrios

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tempo (s)

A m p l i t u d e ( V )

Sinal Determinístico



Sinais Aleatórios

– Sinal sobre o qual há incerteza antes de sua ocorrência. – Só podem ser representados por suas características estocásticas

(média, variância, autocorrelação etc)

• Não podem ser representados por uma função analítica (não é

possível determinar precisamente o valor do sinal em um dadoinstante de tempo)

• ex: f(t)=Acos(ωot), onde A é uma V.A. contínua Gaussiana• ex: f(t) é um sinal de voz

Sinais DeterminSinais Determiní í sticos x Sinais Aleatsticos x Sinais Aleatóóriosrios

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Tempo (s)

A m p l i t u d e ( V )

Sinal Aleatório - Voz



Sinais em Tempo Contínuo

– Definidos ao longo de todos os instantes de tempo num intervalopossível de valores. Portanto, podem ser representados por umavariável independente contínua

• x(t ) onde t pode assumir qualquer valor real

Sinais em Tempo Discreto – Definidos apenas em instantes distintos do tempo num intervalo

possível de valores. Portanto, podem ser representados por umavariável independente discreta

– São matematicamente representados como sequências denúmeros

• x[n] onde n ∈ ...-3,-2,-1,0,1,2,3...

– Normalmente são derivados de sinais em tempo contínuo atravésdo processo de amostragem

Tempo ContTempo Contí í nuo x Tempo Discretonuo x Tempo Discreto



Sinais Analógicos

– Variação contínua da amplitude – Número infinito de símbolos

Sinais Digitais – Variação discreta da amplitude

– Número finito de símbolos

– Maior imunidade ao ruído e distorção do canal

– Regeneração do sinal empregando repetidores (TX noise free)

– Codificação• Multiplexação de sinais digitais é mais simples e eficiente

Sinais Digitais x Sinais AnalSinais Digitais x Sinais Analóógicosgicos

1-1



Sinais Digitais x Sinais AnalSinais Digitais x Sinais Analóógicosgicos

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Sinal Analógico

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Sinal em Tempo Discreto

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-2

-1

0

1

2

3

4

Sinal Digital

Sinal Contínuoem Amplitude e

no Tempo

(Sinal Analógico)

Sinal Contínuoem Amplitude e

Discreto no Tempo

Sinal Discretoem Amplitude e

no Tempo

(Sinal Digital)



Tempo-Contínuo x Tempo-Discreto

– O termo discreto significa quantização no tempo Analógico x Digital

– Digital significa quantização na amplitude

Um processador de sinais digitais (DSP) é um sistemadigital em tempo discreto – Um DSP é adequado para implementação de filtros digitais LTI

Tempo ContTempo Contí í nuo x Tempo Discretonuo x Tempo Discreto



0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f ( t )

na er co

Sinais Periódicos – Apresentam uma repetição de seus valores de amplitude a

intervalos regulares de tempo – Satisfazem a condição:

• f (t ) = f (t + kT0), para todo t

• Onde, T0 é o período fundamental de repetição e k é um no inteiro

• De forma equivalente, f0 = 1/T0 é a freqüência fundamental – A área sob qualquer intervalo de duração igual a kT0 é a mesma

• Integrar de 0 a T0 é equivalente a integrar de –T0 /2 a T0 /2

Sinais PeriSinais Perióódicos x Sinais Aperidicos x Sinais Aperióódicosdicos

To 2To



Sinais Aperiódicos

– Não existe T0 que satisfaça a condição de periodicidade – Não apresentam um repetição de seus valores de amplitude a

intervalos regulares de tempo

Sinais PeriSinais Perióódicos x Sinais Aperidicos x Sinais Aperióódicosdicos

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t

f ( t )

na per co



Sinais Causais

– Definidos apenas para t>0 Sinais Não-Causais

– Definidos para t>0 e t<0

Sinais Anti-Causais – Definidos apenas para valores de t<0

Sinais Causais x Sinais NãoSinais Causais x Sinais Não--CausaisCausais



Energia e Potência de Sinais (Tamanho do sinal)

– A energia e a potência de um sinal podem ser definidasconsiderando uma resistência normalizada de 1 Ω

– Deste modo, tem-se que a energia total e potência média de umsinal podem ser obtidas por:

Sinais de Potência x Sinais de EnergiaSinais de Potência x Sinais de Energia

dt t f E T

T T ∫

−∞→

=2 /

2 /

2)(lim

∫ −∞→

=

2 /

2 /

2)(

1lim

T

T T

dt t f

T

P

– Para sinais periódicos, a potência média do sinal é dada por:

∫ −

=

2

2

2)(

1 o

o

T

T o

dt t f

T

P

P = v2 / R

P = i2 . R



Sinal de Energia

– Um sinal é dito de energia se 0 < E < ∞

Sinal de Potência – Um sinal é dito de potência se 0 < P < ∞

Regra geral – Sinais periódicos e os aleatórios são sinais de potência(power signal )

– Sinais determinísticos aperiódicos são sinais de energia(energy signal )




Exemplo: Determinar as medidas adequadas para ossinais abaixo:




Exemplo de Sinal de Energia




Sinais de Potência

– Duração infinita – Potência normalizada finita

e não-zero

– Energia média normalizada

sobre um intervalo infinitoigual a infinito

– Tratável matematicamente

Sinais de Potência x Sinais de EnergiaSinais de Potência x Sinais de Energia Sinais de Energia

– Duração finita – Energia normalizada finita e

não-zero

– Potência média normalizada

sobre um intervalo infinitoigual a zero

– Fisicamente realizável



Sinal Par – Um sinal x

e (t) é dito ser par se x

e (t) = x

e (-t).

– Um sinal par possui os mesmos valores para os instantes t e-t (simétrico).

Sinal Ímpar – Um sinal x

o (t) é dito ser ímpar se x

o (t) = -x

o (-t).

– O valor do sinal ímpar no instante t é o negativo de seu valorem -t (anti-simétrico).

Sinais Pares x SinaisSinais Pares x Sinais ÍÍmparesmpares



Área – Sinais pares

– Sinais ímpares

Sinais Pares x SinaisSinais Pares x Sinais ÍÍmparesmpares



OperaOperaçções Bões Báásicassicas

com Sinaiscom Sinais



Multiplicação por escalar

– Modifica a amplitude do sinal original – Se x(t) for um sinal, uma mudança de escala é dado

pelo sinal y(t) = cx(t)

• Se c > 1 tem-se uma amplificação• Se 0 < c < 1 tem-se uma atenuação

OperaOperaçções Bões Báásicas com Sinaissicas com Sinais



Escalonamento temporal – Modifica a duração do sinal original


O sinal f(2t) é f(t) comprimido porum fator de 2.

O sinal f(t/2) é f(t) expandido por umfator de 2.

Em geral:

- se f(t) é comprimido de um fatora > 1, o sinal resultante será f(at).

- se f(t) é expandido de um fatora > 1, o sinal resultante será f(t/a).



Deslocamento Temporal – Realiza o deslocamento do sinal original sobre o eixo do tempo

– y(t) = x(t - T)

• Se T > 0 tem-se atraso no tempo

• Se T < 0 tem-se adiantamento no tempo




Tipos de SinaisTipos de Sinais



Pulso Unitário com largura τ e amplitude 1/ τ

cuja área é unitária:

Pulso UnitPulso Unitááriorio

∫ ∞

∞−=1)( dt t p

τ

t

><

<<=

τ

τ τ τ

t out

t t p

0001)(

0 τ

pτ(t )

1/τ



Um Pulso Porta Unitário tem largura ∆ e amplitude 1

Pulso Porta UnitPulso Porta Unitááriorio

τ/2−τ/2t

0

1

( )

>

<

=

20

21

τ

τ

t

t t ret

Nota: paraτ

= 1, a áreado pulso é unitária

τ

t ret



Um Pulso Triangular Unitário tem base ∆ e altura 1

Pulso Triangular UnitPulso Triangular Unitááriorio

( )

≥

<−

=∆

2

0

221

τ

τ

τ

t

t t

t

0

1

t τ/2−τ/2

( )t ∆



Idealismo matemático para um evento instantâneo

– Função Delta de Dirac• δ(t ) = 0 para t ≠ 0

• δ(0) é indefinida, mas tem área unitária:

• Caso limite do pulso retangular unitário:

Impulso UnitImpulso Unitááriorio

∫

∞

∞−

=1)( dt t δ

( ) ( )t pt ε

ε

δ 0

lim→

=



Principais Propriedades


∫

∞

∞−

=−⋅

)()()( oo t f dt t t t f δ

)(1

)( t a

at δ δ ⋅=

)()( t t −= δ δ

∫ ∞

∞−=1)( dt t δ

)()0()()( t xt t x δ δ = )()()()( T t T xT t t x −=− δ δ



Operações com a função δ (t )


t

( )t δ

0

∫ ∞

∞−

=⋅ )0()()( f dt t t f δ ∫ ∞

∞−

=−⋅ )()()( oo t f dt t t t f δ

t

( )ot t −δ

0 t o

f (t) f (t)

f (0) f (t o)



Pode-se simplificar δ (t ) sob a operação de integração


( ) ( ) ( )∫ ∞

∞−=⋅ 0 f dt t t f δ

( ) ( )∫

−

∞− =⋅

1

?dt t t f δ

O que resulta de

Resposta: 0



Outros exemplos


O que ocorre nas vizinhanças da origem?

( )

( )

( ) ( ) ( )

∫

∫ ∫

∞

∞−

−−−−

∞

∞−

∞

∞−

−

=−

=

−

=

222

2

04

cos2

1

xt x

t j

edt t e

dt t

t

dt et

δ

π δ

δ ϖ

∫ −

∞−=

00)( dt t δ

∫ +

∞−=

01)( dt t δ

∫ ∞−

=0

?)( dt t δ



Degrau Unitário

– A função degrau foi introduzida por Heaviside e é comumentereferida na matemática como função de Heaviside

Degrau UnitDegrau Unitááriorio

( )

>

<=

01

00

t

t t u

0

1

t

u(t )

Relação entre o Impulso Unitário e o Degrau Unitário

( )( )t

dt

t duδ =( ) ( )

<

>== ∫

∞−0001

t

t d t u

t

τ τ δ



Se quisermos um sinal que comece em t = 0 , bastamultiplicá-lo por

u(t).

Por exemplo, e -at representa uma exponencial não-causal. Para obtermos sua forma causal, fazemose -at u(t)

Degrau UnitDegrau Unitááriorio



Resumo de operações com o Degrau Unitário

FunFunçção Degrau Unitão Degrau Unitááriorio

t

u(t )

0

t

t

u(t - ∆)

∆

u(t + ∆)

-∆

t

u(-t )

0

t

t ∆

u(-t + ∆)

-∆

t -u(t )

0

t

t

-u(t - ∆) ∆

-u(t + ∆) -∆

t u(t) – u(t) u(t – 1) u(t + 1) u(– t – 1) u(– t + 1)

-2 u(-2)= 0 u(-2)= 0 u(-3)=0 u(-1)=0 u(1)=1 u(3)=1

-1 u(-1)= 0 u(-1)= 0 u(-2)=0 u(0)=1 u(0)=1 u(2)=1

0 u(0)= 1 u(0)= -1 u(-1)=0 u(1)=1 u(-1)=0 u(1)=1

1 u(1)= 1 u(1)= -1 u(0)=1 u(2)=1 u(-2)=0 u(0)=1

2 u(2)= 1 u(2)= -1 u(1)=1 u(3)=1 u(-3)=0 u(-1)=0

u(-t - ∆)



Relação entre o Pulso Unitário e o Degrau Unitário

FunFunçção Degrau Unitão Degrau Unitááriorio

( )

−−

+=

22τ τ t ut ut ret

( ) ( ) ( )[ ]τ τ

τ −−= t ut ut p 1

Relação entre o pulso Porta Unitário e o Degrau Unitário

1

t

0

t

t

u(t - τ /2)

u(t + τ /2) - u(t - τ /2)

τ /2

1/ τ

t

u(t )

0

t

t

u(t - τ)

u(t ) - u(t - τ)

τ

u(t + τ /2)

-τ /2



Função Sign

FunFunçção Sign (Sinal)ão Sign (Sinal)

( )

>

<−=

0101

sgnt

t t

0

1

t

sgn(t )

–1



Relação entre a função Sign e o Degrau Unitário

FunFunçção Sign (Sinal)ão Sign (Sinal)

( ) ( ) ( )t ut ut −−=sgn

( ) ( ) 12sgn −⋅= t ut

1

t

u(t )

0

t

t

u(-t )

u(t ) - u(-t )

-1



Função de Amostragem (Sampling)

– Função Par – Zeros em ±π, ±2π, ±3π, … – Amplitude decai proporcionalmente à 1/ x

FunFunçção de Amostragemão de Amostragem

0

1

x

Sa( x)

π −π 2π 3π −2π −3π

( ) x

x xSa

)sen(=

Em vários livros de comunicação (Lathi)

costuma-se usar a mesma definição

para as funções de amostragem (Sa) e

de interpolação (Sinc)



Propriedades Básicas das Funções Senoidais

Sinal SenoidalSinal Senoidal



Principais Identidades Trigonométricas

Sinal SenoidalSinal Senoidal

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