FISICA, MATEMATICA & MATEMATICA APLICADA

MS 149 – COMPLEMENTOS DE MATEMATICA

PROF. LUCIO T. SANTOS

IMECC – SALA 131 1S/2011

Introducao

Neste documento voce esta recebendo quatro listas com um total de 121 exercıcios. Esses ex-

ercıcios definem o que voce deve fazer para aprender o conteudo e aprovar nesta disciplina. O

importante e que voce deve fazer todos os exercıcios, porque todos eles sao importantes para

a aprendizagem. Todos significa todos. Cada vez que voce tenha alguma duvida a respeito

desse significado, leia novamente este paragrafo. Nao especule pensando que voce podera,

talvez, aprovar na disciplina sem ter feito todos os exercıcios. Isso nao acontecera.

Fazer um exercıcio envolve uma atividade sua. O exercıcio nao vai ser feito para voce. Mesmo

que voce precise de uma ajuda para faze-lo, o que sera frequente e normal, voce deve ter

pensado previamente nele. E pensado muito! Essa reflexao sua, pessoal e intransferıvel e o

principal fator de aprendizagem. Muitas vezes voce tera a necessidade de consultar o monitor.

Consulte-o sem hesitacao. Ele esta aı para atender voce. Mas nao peca para ele fazer o

exercıcio para voce. Peca, sim, dicas, empurroes, sugestoes. Conte para o monitor ate onde

voce chegou e peca para ele criticar seu raciocınio. Finalmente, peca para o monitor conferir

se a solucao que voce encontrou e correta ou nao.

Objetivos

O objetivo deste curso e aprender algumas das tecnicas mais importantes da Matematica:

definir rigorosamente, fazer demonstracoes e encontrar contra-exemplos. Voce aprendera

fazendo. Seu principal mestre e voce mesmo, com lapis e papel, resolvendo os exercıcios

propostos. Encare seriamente todos os problemas sugeridos, consulte suas duvidas com o

professor, o monitor e seus colegas e use a aula para trabalhar ativamente.

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Avaliacao

Havera uma prova e um exame formados por exercıcios claramente correlacionados (mas nao

identicos) com os exercıcios das listas, com duracao de duas horas. Nao havera surpresas nem

“pegadinhas” de nenhum tipo. Por isso e fundamental que voce faca todos os exercıcios e

confira que sua resolucao esta correta.

Seja P a nota da prova e E a nota do exame. Se P for maior ou igual a 5,0 a nota final sera

P . Caso contrario, a nota final sera dada pelo maximo entre P e E. Sera aprovado o aluno

com nota final maior ou igual a 5,0.

Atendimento

Abel e o monitor do curso e o atendimento sera na sala 124 do IMECC, as segundas e quartas-

feiras das 12h as 13h30min.

Datas Importantes

22/Fevereiro Apresentacao — Turma A

24/Fevereiro Apresentacao — Turma B

28/Junho PROVA — Turma A

30/Junho PROVA — Turma B

05/Julho Notas — Turmas A & B

12/Julho EXAME — Turmas A & B

Referencias

D.C. Kurtz

Foundations of Abstract Mathematics, McGraw–Hill, 1992.

G. Chartrand, A.D. Polimeni & P. Zhang

Mathematical Proofs: A Transition to Advanced Mathematics, Addison–Wesley, 2007.

S. Lipschutz

Teoria dos Conjuntos, McGraw-Hill, 1972.

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LISTA 1 DEMONSTRACOES COM CONJUNTOS

Exercıcio 1: Explique a seguinte piada: Ansioso, o pai pergunta ao parteiro: “Doutor, e

homem ou mulher?” O medico responde: “Sim”.

Exercıcio 2: Fernando Pessoa escreveu “Todo cais e uma saudade de pedra”. Em Suazilandia

nao ha nenhum cais. O que acham os suazilandeses sobre o verso de Fernando Pessoa?

Exercıcio 3: Sejam A, B e C conjuntos. Prove as seguintes proposicoes:

a) A ⊂ A ∪B.

b) A ∩B ⊂ A.

c) A−B ⊂ A.

d) A ∩B ⊂ A ∪B.

e) B − (B − A) = A ∩B.

f) A ∩ (B − A) = ∅.g) A ∪ (B − A) = A ∪B.

h) A ∪ (A ∩B) = A.

i) C − (A ∪B) = (C − A) ∩ (C −B).

j) C − (A ∩B) = (C − A) ∪ (C −B).

k) (A ∪B)− (A ∩B) = (A−B) ∪ (B − A).

l) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C).

m) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C).

n) A ∩ (B − C) = (A ∩B)− (A ∩ C).

Exercıcio 4: Sejam A, B, C e D conjuntos. Para cada um dos seguintes teoremas enuncie

em portugues a hipotese e a tese e prove cada um deles:

a) A ⊂ B e B ⊂ C =⇒ A ⊂ C.

b) A ⊂ (C −B) =⇒ A ∩B = ∅.c) A ∩B = ∅ =⇒ B = (A ∪B)− A.

d) A ⊂ C e B ⊂ D =⇒ A ∪B ⊂ C ∪D.

e) A ⊂ B =⇒ A ∩ (C −B) = ∅.f) A ∪B 6= ∅ ⇐⇒ A 6= ∅ ou B 6= ∅.g) A ∩ C = ∅ =⇒ A ∩ (B ∪ C) = A ∩B.

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h) A ⊂ B =⇒ A = B − (B − A).

i) A ∪B ⊂ A ∩B =⇒ A = B.

j) A ⊂ ∅ ⇐⇒ A = ∅.k) A ⊂ B ⇐⇒ A ∪B = B.

l) A ⊂ C e B ⊂ C ⇐⇒ A ∪B ⊂ C.

m) A−B ⊂ B ⇐⇒ A−B = ∅.n) (A ∩ C = A ∩B) e (A ∪ C = A ∪B) =⇒ B = C.

Exercıcio 5: Sejam A, B, C e D conjuntos. Prove ou de um contra-exemplo para as

seguintes proposicoes:

a) B ⊂ C =⇒ A ∩B ⊂ A ∩ C.

b) A ∩B ⊂ A ∩ C =⇒ B ⊂ C.

c) A ⊂ B e C ⊂ D =⇒ A× C ⊂ B ×D.

d) A 6= ∅ e A×B ⊂ A× C =⇒ B ⊂ C.

e) A 6= ∅ e A×B = A× C =⇒ B = C.

f) A× (B ∪ C) = (A×B) ∪ (A× C).

g) A× (B ∩ C) = (A×B) ∩ (A× C).

h) A× (B − C) = A×B − A× C.

i) (A×B) ∩ (C ×D) = (A ∩ C)× (B ∩D).

j) (A×B) ∩ ((C − A)×B) = ∅.k) A ∪ (B × C) = (A ∪B)× (A ∪ C).

l) A ∩ (B × C) = (A ∩B)× (A ∩ C).

m) A ∩B = ∅ =⇒ (A× C) ∩ (B × C) = ∅.

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LISTA 2 DEMONSTRACOES COM INTEIROS

Exercıcio 1: Sejam p, q e r numeros inteiros. Prove que:

(a) Se p e q sao multiplos de r entao p + q e multiplo de r.

(b) Se p e multiplo de r entao p · q e multiplo de r.

(c) Se p e multiplo de r e q > 0 entao pq e multiplo de r.

Exercıcio 2: Sejam p, q e r numeros inteiros. Prove que:

(a) 10p + q e divisıvel por 3 se e somente se p + q e divisıvel por 3.

(b) 100p + 10q + r e divisıvel por 3 se e somente se p + q + r e divisıvel por 3.

(c) Inspirado nos ıtens (a) e (b) deduza o criterio de divisibilidade por 3.

Exercıcio 3: Repita o processo do exercıcio anterior para o criterio de divisibilidade por 9.

Exercıcio 4: Sejam p, q, r e s numeros inteiros. Prove que:

(a) 100p + 10q + r e divisıvel por 4 se e somente se 10q + r e divisıvel por 4.

(b) 1000p + 100q + 10r + s e divisıvel por 4 se e somente se 10r + s e divisıvel por 4.

(c) Inspirado nos ıtens (a) e (b) deduza o criterio de divisibilidade por 4.

Exercıcio 5: Repita o processo do exercıcio anterior para o criterio de divisibilidade por 8.

Exercıcio 6: Sejam x, y e z numeros inteiros. Para as conjecturas abaixo, prove as ver-

dadeiras e mostre contra-exemplos para as falsas:

a) Se 4x e par entao x e par.

b) Se x e par entao 4x e par.

c) Se 3x e par entao x e par.

d) Se y e par entao y2 e par.

e) Se y2 e par entao y e par.

f) z e ımpar se e somente se z2 e ımpar.

g) Se x + y + z e ımpar entao o numero de inteiros ımpar em [x, y, z] e ımpar.

Exercıcio 7: Sejam a e b numeros inteiros nao divisıveis por 3. Prove que a2− b2 e divisıvel

por 3.

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Exercıcio 8: Prove, usando o Algoritmo da Divis~ao, que todo numero racional tem uma

expressao decimal finita ou periodica. Prove que o numero cuja expansao decimal e dada por

0.1010010001000010000010000001 . . . nao e um numero racional.

Exercıcio 9: Seja {a1, a2, . . . , an} um conjunto de numeros naturais. Prove que existe um

subconjunto de {a1, a2, . . . , an} tal que a soma de seus elementos e divisıvel por n. Sugestao:

convenca-se, primeiro, de que esta proposicao e verdadeira escrevendo varios exemplos. Para

fazer a prova, inspire-se no conjunto {a1, a1 + a2, . . . , a1 + a2 + · · ·+ an}.

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LISTA 3 DEMONSTRACAO POR INDUCAO

Exercıcio 1: Prove, por inducao, que para todo n ∈ IN :

a) 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) = n2.

b) 12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6.

c) 13 + 23 + 33 + · · ·+ n3 = (1 + 2 + 3 + · · ·+ n)2.

d) 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · ·+ n · (n + 1) = n(n + 1)(n + 2)/3.

e) (1 · 2)−1 + (2 · 3)−1 + (3 · 4)−1 + · · ·+ (n · (n + 1))−1 = n/(n + 1).

f) 12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 ≤ n3.

g) 1 + 2−1 + 2−2 + · · ·+ 2−n ≤ 2.

h) Se x + 1 ≥ 0 entao (1 + x)n ≥ 1 + n x.

i) n3 − n e divisıvel por 6.

j) 2n+1 + 32n−1 e divisıvel por 7.

k) 22n−1 · 3n+2 + 1 e divisıvel por 11.

Exercıcio 2: Definimos n! = 1×2×3×· · ·×n, para todo n ∈ IN . Prove, por inducao, que

o numero de maneiras diferentes nas quais pode ser ordenado um conjunto de n elementos e

igual a n!. Observacao: o conjunto {a, b, c}, que tem 3 elementos, pode ser ordenado das

seguintes maneiras: {a, b, c}, {a, c, b}, {c, a, b}, {b, a, c}, {b, c, a} e {c, b, a}.

Exercıcio 3: Suponha um campeonato de futebol com n times onde todos jogam contra

todos uma unica vez. Prove, por inducao, que o numero total de jogos e n(n− 1)/2.

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Exercıcio 4: Numa festa ha n homens e n mulheres. Prove, por inducao, que o numero de

casais (homem com mulher) que podem ser formados e igual a n2.

Exercıcio 5: Prove, por inducao, que o numero de subconjuntos de um conjunto com n

elementos e 2n.

Exercıcio 6: Prove, por inducao, a seguinte proposicao: Dado um segmento de comprimento

unitario, para todo n ∈ IN pode-se construir com apenas regua e compasso um segmento de

comprimento√

n. Sugestao: Utilize o Teorema de Pitagoras.

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LISTA 4 DEMONSTRACOES COM FUNCOES

Exercıcio 1: Para cada uma das seguintes funcoes prove ou exiba um contra-exemplo das

afirmacoes: (i) f e injetora e (ii) f e sobrejetora.

a) f : IR→ IR, f(x) = ax + b, a 6= 0.

b) f : IR→ [−1,∞), f(x) = x2 − 1.

c) f : IN → IN, f(x) = 2x.

d) f : (0, 1]→ [1,∞), f(x) = 1/x.

e) f : IR→ IR, f(x) = x− |x|.f) f : IR− {1} → IR, f(x) = 1/(1− x).

g) f : ZZ → IN, f(x) = x2!

h) f : IR→ IR, f(x) = −1/(2 + |x|).

i) f : IR→ IR, f(x) =√|x|.

j) f : ZZ → ZZ, f(x) = (3x− 1)(2− x).

k) f : ZZ → ZZ, f(x) = (x− 1)/2 se x e ımpar e f(x) = −x/2 se x e par.

l) f : IR→ IR, f(x) = x se x ∈ CQ e f(x) = −x se x /∈ CQ.

m) f : IR→ IR, f(x) = 2x.

n) f : IR× IR→ IR, f(x, y) = xy + x + y.

o) f : IR→ IR× IR, f(x) = (x, x).

p) f : IR× IR→ IR, f(x, y) = x.

q) f : IR2 → IR, f(x, y) = x + |y|.r) f : ZZ × IR→ IR, f(x, y) = xy.

s) f : IR2 → IR2, f(x, y) = (x2 + y2, x).

t) f : IR2 → IR2, f(x, y) = (3x− y, x + y).

u) f : IR2 → IR2, f(x, y) = (x2 + y, x− y).

v) f : CQ× IR→ IR, f(x, y) = x + y.

w) f : IR→ IR2, f(x) = (x, 0).

x) f : IR3 → IR2, f(x, y, z) = (x + y, x + z).

y) f : (−1, +∞)→ IR, f(x) = x/(1 + x).

z) f : IR→ IR2, f(x) = (1 + x, 1− x).

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Exercıcio 2: Sejam A e B conjuntos e f : A → B. Sejam X, Y ⊂ A e Z, W ⊂ B. Prove

as seguintes proposicoes:

a) X ⊂ Y =⇒ Imf(X) ⊂ Imf(Y ).

b) Imf(X ∪ Y ) = Imf(X) ∪ Imf(Y ).

c) f injetora =⇒ Imf(X ∩ Y ) = Imf(X) ∩ Imf(Y ).

d) Exiba um exemplo onde Imf(X ∩ Y ) 6= Imf(X) ∩ Imf(Y ).

e) Z ⊂ W =⇒ Im−1f(Z) ⊂ Im−1f(W ).

f) Im−1f(Z ∪W ) = Im−1f(Z) ∪ Im−1f(W ).

g) Im−1f(Z ∩W ) = Im−1f(Z) ∩ Im−1f(W ).

h) X ⊂ Im−1f(Imf(X)).

i) f injetora =⇒ X = Im−1f(Imf(X)).

j) Exiba um exemplo onde X 6= Im−1f(Imf(X)).

k) Imf(Im−1f(Z)) ⊂ Z.

l) f sobrejetora =⇒ Imf(Im−1f(Z)) = Z.

m) Exiba um exemplo onde Imf(Im−1f(Z)) 6= Z.

n) Imf(A)− Imf(X) ⊂ Imf(A−X).

o) Im−1f(B −W ) = A− Im−1f(W ).

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Sugestoes de Leitura

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Sugestoes de Filmes

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