Universidade Federal de Campina GrandeDepartamento de Sistemas e Computação

Pós-Graduação em Informática

Introdução a Circuitos Quânticos

Alexandre de Andrade Barbosaaab@dsc.ufcg.edu.br

Campina Grande, 16 maio de 2005

Resumo

A Computação Quântica é uma área recente e combina três outras áreas bastanteconhecidas: matemática, física e computação. Este trabalho apresenta um estudointrodutório aos circuitos utilizados na Computação Quântica, porém apenas osaspectos matemáticos e computacionais serão abordados. O principal objetivodeste é fornecer uma compreensão básica sobre o tema e possibilitar um estudomais aprofundado sobre a computação quântica.

Conteúdo1 Introdução 3

2 Revisão Matemática 42.1 Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.1 Adição e subtração de complexos . . . . . . . . . . . . . . 42.1.2 Multiplicação de complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.3 Conjugado de um complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.4 Divisão de complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.1 Adição e subtração de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.2 Multiplicação de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3.1 Vetores no Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3.2 Produto interno ou escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3.3 Produto externo ou vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3.4 Produto tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3.5 Base e Combinação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Notação de Dirac 103.1 Produto interno ou escalar na notação de Dirac . . . . . . . . . . 103.2 Produto externo ou vetorial na notação de Dirac . . . . . . . . . . 113.3 Produto tensorial na notação de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Bits quânticos 12

5 Portas Quânticas 125.1 Portas Quânticas de um Q-Bit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5.1.1 Porta de Pauli X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.1.2 Porta de Pauli Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.1.3 Porta de Pauli Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.1.4 Porta Hadamard ou Hadamard-Walsh . . . . . . . . . . . 145.1.5 Porta de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.2 Portas Quânticas de múltiplos Q-Bits . . . . . . . . . . . . . . . . 155.2.1 Porta CNOT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.2.2 Porta To�oli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

6 Circuitos Quânticos 156.1 Circuito swap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166.2 Circuito Somador de 2 bits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166.3 Implementação de circuitos quânticos . . . . . . . . . . . . . . . . 17

7 Conclusão 18

1

Lista de Figuras1 Representação grá�ca de um vetor no R2 . . . . . . . . . . . . . . 82 Portas clássicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Portas de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Porta NOT quântica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Porta controlada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 CNOT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 To�oli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 swap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Lista de Tabelas1 Entradas e saídas para o circuito SWAP . . . . . . . . . . . . . . 172 Somador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2

1 IntroduçãoO conceito de computador quântico teve inicio quando, em 1982, Feynman propôsque sistemas quânticos não seriam e�cientemente modelados em sistemas clássi-cos, pois estes só poderiam ser modelados e�cientemente por outro sistema quân-tico.

Deutsch [Deu85] propôs em 1985 um modelo para computação quântica uni-versal, seria o correspondente a Máquina de Turing(MT) para computação clás-sica, este modelo adicionava algumas características à MT, as quais permitia arepresentação de sobreposições.

Porém o modelo inicialmente proposto era bastante complexo, assim Deutschcriou uma representação mais simples para a computação quântica que era bas-tante semelhante ao modelo de circuitos clássicos. Por serem de fácil compreensãoos circuitos quânticos vêm sendo cada vez mais utilizados.

Só em 1994, quando Shor publicou seu algoritmo quântico para fatoração denúmeros inteiros grandes é que a computação quântica despertou interesse geral,pois a fatoração é a base para os atuais sistemas de criptogra�a. O algoritmo deShor resolve o problema de fatoração de primos em tempo polinomial, enquantoa solução clássica só é obtida em tempo exponencial.

A principal técnica utilizada para aumentar a velocidade dos computadoresclássicos é a miniaturização de circuitos, o que torna possível a utilização denúmeros cada vez maiores de circuitos nos processadores.

Porém devido ao limite de De Broglie, que diz que os atuais circuitos poderãoprogredir até o tamanho de 20 nanômetros sem sacrifício funcional, após estelimite os elétrons deixam de agir como partículas e passam a agir como ondas,quando obedecem então as leis da física quântica [Cab04].

Os computadores quânticos não serão apenas mais velozes que as máquinasatuais, eles torna rão possível uma nova forma de computação.

Os circuitos quânticos fornecem uma forma simples para que se possa com-preender o funcionamento de computadores quânticos. Os circuitos aqui apresen-tados são bastante simples e para compreender como estes funcionam é necessárioapenas um conhecimento matemático básico. Todos os conceitos matemáticosnecessários serão também apresentados.

Este trabalho está organizado da seguinte maneira: na seção seguinte é reali-zada uma revisão matemática; a Seção 3 apresenta a notação comumente utilizadana computação quântica; a Seção 4 exibe o conceito de q-bit; portas quânticas sãoapresentadas na Seção 5; a Seção 6 apresenta os circuitos quânticos; �nalmentena seção 7 são apresentadas as conclusões �nais deste trabalho.

3

2 Revisão MatemáticaDiversos conceitos matemáticos são necessários para que se possa compreendero funcionamento dos circuitos quânticos. Nesta seção será realizada uma breverevisão matemática sobre estes conceitos, os quais são de fácil compreensão.

2.1 Números ComplexosPara o conjunto dos números reais, representado por R, equações como x2+1 = 0não possuem solução, pois números negativos não possuem raízes reais, caso oíndice da raiz seja par. No entanto tomando o conjunto dos números complexos,representado por C, tal equação possui solução como veremos a seguir.

Um número complexo pode ser expresso como z = a + bi onde aεR, bεR ei =

√−1, sendo i chamado de unidade imaginária [FY95], então temos:

C = {z = a + bi|a ∈ R, b ∈ R, i =√−1 (1)

Tomando como universo o conjunto dos números complexos temos uma soluçãopara a equação x2 + 1 = 0, assim temos:

x2 + 1 = 0 ⇒ x2 = −1 ⇒ x =√−1 ⇒ x = i (2)

Todos os números reais podem ser representados com um número complexo,para isto basta fazer b = 0 restando z = a. Caso a = 0 temos um númerocomplexo z = bi, denominado imaginário puro [FY95].

2.1.1 Adição e subtração de complexosAs de�nições das operações de soma, subtração, multiplicação e divisão de com-plexos exibidas aqui se baseiam nas de�nições apresentadas em [FY95].

Dados dois números complexos z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i, a soma ousubtração de z1 e z2 são realizadas somando ou subtraindo a parte real de z1 coma parte real de z2 e a parte imaginária de z1 com a parte imaginária de z2, temosa adição de�nida na Equação 3 e a subtração de�nida na Equação 4:

z1 + z2 = (a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i (3)

z1 − z2 = (a1 + b1i)− (a2 + b2i) = (a1 − a2) + (b1 − b2)i (4)

2.1.2 Multiplicação de complexosDados dois números complexos z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i, a multiplicação de z1

e z2 é realizada como a multiplicação de binômios, sabendo que i2 = −1, temos:

4

z1.z2 = (a1 + b1i).(a2 + b2i)z1.z2 = (a1.a2) + (a1.b2i) + (a2.b1i) + b1.b2.i

2

z1.z2 = (a1.a2) + (a1.b2i) + (a2.b1i)− b1.b2

(5)

2.1.3 Conjugado de um complexoDado z1 = a1 + b1i, chamamos de conjugado de z1, representado por z̄, o númerocomplexo z1 = a1−b1i, ou seja aquele com o sinal de sua parte imaginária negado,assim temos:

z = a + bi =⇒ z̄ = a− bi (6)O produto de um número complexo por seu conjugado é sempre um número

real positivo, pois temos:

z.z̄ = (a + bi).(a− bi)z.z̄ = a2 + b2 (7)

2.1.4 Divisão de complexosDados dois números complexos z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i, a divisão de z1 e z2 éobtida multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador,assim temos:

z1

z2= (a1+b1i)

(a2+b2i). (a2−b2i)(a2−b2i)

z1

z2= (a1.a2−a1.b2i+a2.b1i+b1.b2)

a22+b2

2z1

z2= (a1.a2+b1.b2)+(a2.b1i−a1.b2i)

a22+b2

2z1

z2= z1.z̄2

z2.z̄2

(8)

2.2 MatrizesUma matriz é uma tabela onde os elementos estão dispostos em linhas e colunas.Toda matriz é indicada por uma letra maiúscula do alfabeto latino e pode serrepresentada em geral utilizando-se parênteses ( ) ou colchetes [ ] [FY95].

Seja Am×n uma matriz, onde m representa o número de linhas e n o de colunas,um elemento qualquer de A é representado por aij, sendo i o índice para a linhado elemento e j o índice da coluna. Então seja A2×2 uma matriz qualquer, temos:

A2×2 =

(a11 a12

a21 a22

)

A ordem de uma matriz representa o número de linhas e colunas desta, assimse temos Am×n, A é dita uma matriz de ordem m por n.

5

Duas matrizes A e B quaisquer só podem ser iguais se e somente se possuírema mesma ordem e todos seus elementos correspondentes forem iguais, ou sejaa11 = b11, a12 = b12 e assim por diante [Ste75].

Existem diversos tipos especiais de matrizes, destacamos como os mais im-portantes tipos no contexto apresentado, as matrizes descritas abaixo:

Matriz quadrada - toda aquela que possui um número de linhas e colunas igual.

Matriz coluna - toda aquela que possui apenas uma coluna.

Matriz linha - toda aquela quando possui apenas uma linha.

Matriz transposta - obtida transformando as linhas em colunas e as colunasem linhas, como visto na Equação 9.

A3×3 =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

⇒ AT

3×3 =

a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

(9)

Matriz identidade - é uma matriz quadrada onde todos os elementos da dia-gonal principal são iguais a um e todos os outros iguais a zero.

Matriz inversa - a inversa de uma matriz A é representada por A−1 e pode serencontrada resolvendo-se a expressão A.A−1 = A−1.A = I. Assim se temosuma matriz

A =

1 4 0−1 2 20 0 2

(10)

sua inversa é dada por

A−1 =

4 −8 82 2 −20 0 6

(11)

pois podemos ver nas Equações 12 e 13 que A.A−1 = I e A−1.A = I,respectivamente.

A.A−1 =

1 4 0−1 2 20 0 2

13 − 2

3 + 23

16 + 1

6 − 16

0 +0 + 12

=

1 0 00 1 00 0 1

(12)

A−1.A =

13 − 2

3 + 23

16 + 1

6 − 16

0 +0 + 12

1 4 0−1 2 20 0 2

=

1 0 00 1 00 0 1

(13)

Matriz unitária - matriz que satisfaz a condição (A∗)T = A−1, como observadona Equação 14.

A =(

0 −ii 0

)⇒ A∗ =

(0 i−i 0

)⇒ (A∗)T =

(0 −ii 0

)= A (14)

6

2.2.1 Adição e subtração de matrizesPara que duas matrizes A e B quaisquer possam ser adicionadas ou subtraídas,é necessário que estas tenham o mesmo número de linhas e colunas (sejam damesma ordem), ou seja Am×n só pode ser adicionada ou subtraída por Bp×q sem=p e n=q [Ste75].

Dadas as matrizes A2×2 e B2×2:

A =

(a11 a12

a21 a22

)B =

(b11 b12

b21 b22

)

Então A±B = (aij ± bij) como pode ser visto abaixo:

A±B =

(a11 a12

a21 a22

)±

(b11 b12

b21 b22

)=

(a11 ± b11 a12 ± b12

a21 ± b21 a22 ± b22

)

2.2.2 Multiplicação de matrizesPara que duas matrizes A e B quaisquer possam ser multiplicadas é necessárioque o número de colunas de A seja igual ao número de linhas de B, ou seja Am×n

só pode ser multiplicada por Bp×q se n=p [Ste75].Seja C a matriz resultante da multiplicação da matriz A2×3 pela matriz B3×2,

então C será uma matriz 2×2 onde cik = ai1b1k + ai2b2k + ... + ainbnk, como podeser observado abaixo:

Dadas as matrizes A e B:

A =

(a11 a12

a21 a22

)B =

(b11 b12

b21 b22

)

Então a multiplicação é de�nida como abaixo:

A.B =

(a11 a12

a21 a22

).

(b11 b12

b21 b22

)=

(a11.b11 + a12.b21 a11.b12 + a12.b22

a21.b11 + a22.b21 a21.b12 + a22.b22

)

2.3 Álgebra LinearPara compreender diversos aspectos da computação quântica é bastante desejávelo conhecimento de conceitos básicos da álgebra linear, os conceitos necessáriospara compreensão de circuitos quânticos são apresentados nas subseções seguintes.

2.3.1 Vetores no Rn

Um vetor pode ser representado como um segmento de reta orientado em umplano ou espaço, como pode ser visto na Figura 1. As componentes do vetorpodem ainda ser de�nidas utilizando um sistema de coordenadas cartesianas,

7

Figura 1: Representação grá�ca de um vetor no R2

sendo (v1, v2) a representação do ponto �nal do vetor e a origem (0,0) o pontoinicial do mesmo. Assim, o vetor da Figura 1 seria representado por (2,3) [SW87].

Um vetor pode também ser representado por uma matriz linha ou coluna,seja um vetor ~v = (v1, v2, v3) este pode ser representado como abaixo:

~v =[

v1 v2 v3

]=

v1

v2

v3

Utilizando as coordenadas cartesianas a adição, subtração e multiplicação porum escalar podem ser facilmente de�nidas, assim se temos dois vetores quaisquer~v = (v1, v2) e ~u = (u1, u2) e um escalar α, as operações são de�nidas em [SW87]como abaixo:

• Adição: ~v + ~u = (v1, v2) + (u1, u2) = (v1 + u1, v2 + u2)

• Subtração: ~v − ~u = (v1, v2)− (u1, u2) = (v1 − u1, v2 − u2)

• Multiplicação por escalar: α~v = α(v1, v2) = (αv1, αv2)

2.3.2 Produto interno ou escalarO produto interno entre dois vetores é representado por �.�, assim se temos doisvetores quaisquer ~v = (v1, v2) e ~u = (u1, u2), o produto interno de ~v e ~u, repre-sentado por ~v.~u e pode ser obtido como abaixo:

• ~v.~u = (v1, v2).(u1, u2) = v1.u1 + v2.u2

2.3.3 Produto externo ou vetorialO produto externo entre dois vetores é representado por �×�, assim se temos doisvetores quaisquer ~v = (v1, v2, v3) e ~u = (u1, u2, u3), o produto externo de ~v e ~u,representado por ~v × ~u pode ser obtido resolvendo-se

~v × ~u = (v1, v2, v3)× (u1, u2, v3) = det

~i ~j ~kv1 v2 v3

u1 u2 u3

(15)

8

onde i=(1,0,0), j=(0,1,0) e k=(0,0,1).Por exemplo sejam ~v = (1, 3, 2) e ~u = (2, 1, 1), o produto vetorial, ~v × ~u, é

dado por

det

~i ~j ~k1 3 22 1 1

= (3~i + 4~j + ~k)− (~j + 2~i + 6~k) =~i + 3~j − 5~k = (1, 3,−5) (16)

2.3.4 Produto tensorialO produto tensorial entre dois vetores é representado por �⊗�, assim se temos doisvetores quaisquer ~v = (v1, v2, ..., vm) e ~u = (u1, u2, ..., un), o produto tensorial de~v e ~u, representado por ~v ⊗ ~u e pode ser obtido como abaixo:

~v ⊗ ~u = (v1, v2, ..., vm)⊗ (u1, u2, ..., un)~v ⊗ ~u = (v1u1, v1u2, ..., v2u1, v2u2, ..., vmu1, vmu2, ..., vmun)

(17)

2.3.5 Base e Combinação linearSeja ~v = (4, 3) um vetor no espaço R2, ~v pode ser escrito como combinação linearde outros vetores, como exempli�cado na Equação 18.

~v = (4, 3) = 4(1, 0) + 3(0, 1) (18)De modo mais geral uma combinação linear em um espaço Rn é de�nida em

[Sho04] como uma soma de um conjunto de vetores não nulos tal como,

α1 ~v1 + α2 ~v2 + ... + αn ~vn (19)onde α1, α2, ..., αn ∈ Rn.Um conjunto de vetores pode ser chamado linearmente independente se a

única solução para a equação

α1 ~v1 + α2 ~v2 + ... + αn ~vn = 0 (20)for α1 = α2 = ... = αn = 0. Conjuntos de vetores que não são linearmente

independentes são chamados linearmente dependentes.Uma base para um espaço vetorial é de�nida em [Sho04] como o conjunto de

vetores linearmente independentes que geram o espaço. A grosso modo pode seentender a de�nição de base como o conjunto mínimo de vetores do espaço quepode criar todos os outros vetores deste espaço através de combinação linear.

Como exemplo de base podemos citar a base canônica (i,j) para o espaço R2,onde i=(1,0) e j=(0,1). Note que qualquer vetor do espaço R2 pode ser escritocomo combinação linear de (i,j).

9

3 Notação de DiracNa computação quântica é comumente utilizada a notação de Dirac para repre-sentar estados quânticos, essa notação é utilizada devido a praticidade de repre-sentar estados quânticos e transformações [VNB04]. Na literatura a notação deDirac pode também ser encontrada como notação braket, devido a sua forma derepresentação de vetores.

Um vetor ~v é representado na notação de Dirac como |v〉 (lê-se �ket vê�), assimtemos:

~v = (v1, v2) ⇒ |v〉 =

[v1

v2

](21)

Nesta notação tem-se ainda o vetor representado por 〈v| (lê-se �bra vê�), oqual é o transposto conjugado de |v〉, assim temos:

|v〉 =

[v1

v2

]⇒ 〈v| = [

v∗1 v∗2]

(22)

Dados |v〉 e |u〉|v〉 =

[vx

vy

]|u〉 =

[ux

uy

](23)

podemos representar as operações vetoriais como é mostrado abaixo:

• Adição:|v〉+ |u〉 =

[vx

vy

]+

[ux

uy

]=

[vx + ux

vy + uy

](24)

• Subtração:|v〉 − |u〉 =

[vx

vy

]−

[ux

uy

]=

[vx − ux

vy − uy

](25)

• Multiplicação por escalar:

α|v〉 = α

[vx

vy

]=

[αvx

αvy

](26)

Utilizando a notação de Dirac temos novos meios para representar os produtosentre vetores, os quais são apresentadas nas subseções seguintes.

3.1 Produto interno ou escalar na notação de DiracO produto interno entre dois vetores é representado na notação de Dirac por�(v,v)� ou �〈v|v〉�, sendo a segunda maneira mais utilizada. Assim dados doisvetores |v〉 e |u〉

10

|v〉 =

[vx

vy

]|u〉 =

[ux

uy

](27)

o produto interno de |u〉 e |v〉 pode ser obtido como abaixo:

〈u|v〉 =[

u∗x u∗y] [

vx

vy

]= u∗xvx + u∗yvy (28)

3.2 Produto externo ou vetorial na notação de DiracO produto externo entre dois vetores v e u quaisquer é representado na notaçãode Dirac por �|v〉〈u|�. Assim se temos dois vetores

|v〉 =

[vx

vy

]|u〉 =

[ux

uy

](29)

o produto externo de ~v e ~u pode ser obtido como abaixo:

|v〉〈u| =[

vx

vy

] [u∗x u∗y

]=

[vxu

∗x vxu

∗y

vyu∗x vyu

∗y

](30)

3.3 Produto tensorial na notação de DiracO produto tensorial entre dois vetores também é representado na notação deDirac por �⊗�, assim se temos dos vetores

|v〉 =

[vx

vy

]|u〉 =

[ux

uy

](31)

o produto tensorial de |v〉 e |u〉, representado por |v〉 ⊗ |u〉 ou em sua formaabreviada |vu〉 e pode ser obtido como abaixo:

|v〉 ⊗ |u〉 ≡ |vu〉 =

v1

v2

...vm

⊗

u1

u2

...un

=

v1u1

v1u2

...v2u1

v2u2

...vmu1

vmu2

...vmun

(32)

11

4 Bits quânticosPara a computação clássica o conceito fundamental é o bit, para a computaçãoquântica o conceito análogo é o bit quântico [NC00]. Na literatura as referênciasaos bits quânticos freqüentemente são realizadas de maneira abreviada QuBit ouainda q-bit. Neste trabalho os bits quânticos serão referenciados como q-bits, talcomo em [PLCM04] e descritos puramente como objetos matemáticos, tal comoem [NC00].

Um bit clássico possui apenas dois estados possíveis os quais são representadospor 0 ou 1, q-bits possuem como possíveis estados os vetores |0〉 e |1〉, que podemser ditos equivalentes aos estados clássicos 0 e 1 e representados como

|0〉 =[

10

]e |1〉 =

[01

](33)

porém um q-bit pode estar em um estado chamado superposição, onde este éuma combinação linear de estados [NC00].

Seja |ψ〉 um q-bit genérico ele pode então ser escrito como:|ψ〉 = α|0〉+ β|1〉 (34)

onde α e β são números complexos, |ψ〉 é denominado superposição de estados.Um q-bit pode ser de�nido matematicamente como um vetor unitário no

espaço C2. Os vetores |0〉 e |1〉 são denominados base computacional pois qualqueroutro vetor pode ser criado através de uma combinação linear destes [PLCM04].

5 Portas QuânticasNos computadores clássicos o processamento da informação ocorre através decircuitos lógicos que são agrupamentos de portas lógicas as quais executam ope-rações sobre bits [Cab04].

Para os circuitos clássicos cinco portas lógicas são os principais blocos cons-trutores, tais portas obedecem a álgebra booleana e podem ter suas entradas esaídas descritas em tabelas verdade [Tan00], como é exibido na Figura 2.

NOT

A

A

0

1

X

1

0

X

(a) NOT

NAND

0

0

1

1

A

0

1

0

1

B

1

1

1

0

X

A

BX

(b) NAND

NOR0

0

1

1

A

0

1

0

1

B

1

0

0

0

X

A

BX

(c) NOR

AND

A

A

0

0

1

1

B

0

1

0

1

X

0

0

0

1

B

X

(d) AND

OR0

0

1

1

A

0

1

0

1

B

0

1

1

1

X

A

BX

(e) OR

Figura 2: Portas clássicas

Os circuitos da computação quântica também são agrupamentos de portasquânticas, as quais realizam operações unitárias sobre q-bits [Cab04]. Assim

12

portas quânticas podem ser vistas como operadores ou matrizes unitárias, estefato é de grande importância pois assim todas as matrizes unitárias 2×2 podemrepresentar portas quânticas de um q-bit [NC00].

Como exemplo de portas quânticas temos as matrizes de Pauli, vistas em suarepresentação matricial na Equação 35 e em uma representação visual na Figura3.

X = σ1 =[

0 11 0

], Y = σ2 =

[0 −ii 0

], Z = σ3 =

[1 00 −1

](35)

X

(a) X

Y

(b) Y

Z

(c) Z

Figura 3: Portas de Pauli

5.1 Portas Quânticas de um Q-BitO conjunto de portas quânticas que realizam operações unitárias sobre um q-bit é in�nito, pois as matrizes unitárias 2x2 são in�nitas. Entre as portas deum q-bit mais utilizadas estão as portas de Pauli já citadas, a porta Hadamardou Hadamard-Walsh e a porta S. As operações realizadas por estas portas sãoexplicadas nas seções seguintes.

5.1.1 Porta de Pauli XA porta de Pauli X de�nida como

X =[

0 11 0

](36)

corresponde a porta clássica NOT, pois X|0〉 = |1〉 e X|1〉 = |0〉, como pode servisualizado mais detalhadamente nas Equações 37 e 38.

X|0〉 =

[0 11 0

] [10

]=

[01

]= |1〉 (37)

X|1〉 =[

0 11 0

] [01

]=

[10

]= |0〉 (38)

Uma outra representação da porta quântica NOT pode ser vista na Figura 4.

Figura 4: Porta NOT quântica

13

5.1.2 Porta de Pauli YO operador unitário abaixo representa a porta Y

Y =[

0 −ii 0

](39)

que ao ser aplicada em um q-bit genérico |ψ〉 = |0〉+ |1〉 resulta em

Y |ψ〉 =[

0 −ii 0

] [αβ

]=

[ −iβiα

]= i(|1〉 − |0〉) (40)

5.1.3 Porta de Pauli ZA matriz que representa a porta Y é

Z =[

1 00 −1

](41)

que ao ser aplicada a um estado genérico |ψ〉 = |0〉+ |1〉 resulta em

Z|ψ〉 =[

1 00 −1

] [αβ

]=

[α−β

]= |0〉 − |1〉 (42)

5.1.4 Porta Hadamard ou Hadamard-WalshA porta de um q-bit hadarmard é de�nida pelo operador

H =1√2

[1 11 −1

](43)

e leva um estado a uma superposição, como podemos observar nas equaçõesseguintes

H|0〉 =1√2

[1 11 −1

] [10

]=

1√2

[11

]=|0〉+ |1〉√

2(44)

H|1〉 =1√2

[1 11 −1

] [01

]=

1√2

[1−1

]=|0〉 − |1〉√

2(45)

5.1.5 Porta de faseA matriz que representa a porta S é

S =[

1 00 i

](46)

assim aplicando S a um estado genérico |ψ〉 = |0〉+ |1〉 obtemos

S|ψ〉 = S(α|0〉+ β|1〉) =[

1 00 i

] [αβ

]=

[α 00 iβ

]= α|0〉+ iβ|1〉 (47)

14

5.2 Portas Quânticas de múltiplos Q-BitsApesar de in�nito, o conjunto de portas de um q-bit não é universal, assim pararealizar operações sobre n q-bits é necessário utilizar portas com mais de um q-bit. Serão mostradas aqui as portas quânticas CNOT e To�oli as quais realizamoperações sobre 2 e 3 q-bits respectivamente.

Em circuitos clássicos o símbolo • representa uma cópia, no entanto na com-putação quântica não existe cópia quântica como é demonstrado em [VNB04]. AFigura 5 apresenta uma porta controlada onde o símbolo • representa um con-trole, e a linha vertical o alvo deste controle. As portas CNOT e To�oli possuemum e dois q-bits de controle respectivamente e um q-bit alvo.

Figura 5: Porta controlada

5.2.1 Porta CNOTA porta CNOT ou NOT-controlado é representada como na Figura 6 onde

⊕pode ser vista a operação clássica XOR. A execução desta porta pode ser descritada seguinte maneira, tendo o q-bit |a〉 como o controlador da negação do q-bit|b〉, ou seja |b〉 será negado se e somente se |a〉 = |1〉 [dLJC03].

|a

|b |a

|a

|b

Figura 6: CNOT

5.2.2 Porta To�oliO funcionamento da porta To�oli é bastante semelhante a CNOT, podemos vi-sualizar sua representação na Figura 7. Seu funcionamento pode ser da seguintemaneira, caso os q-bits |a〉 e |b〉 sejam iguais a |1〉 o q-bit |c〉 será negado [dLJC03].

6 Circuitos QuânticosDeustch [Deu85] propôs em 1985 um modelo para computação quântica univer-sal, seria o correspondente a Máquina de Turing(MT) para computação clássica,

15

|b

|a

|c |c

|b

|a

(a^b)

Figura 7: To�oli

este modelo adicionava algumas características à MT, as quais permitia a repre-sentação de sobreposições.

Porém o modelo inicialmente proposto era bastante complexo, assim Deustchcriou representação mais simples para a computação quântica que era bastantesemelhante ao modelo de circuitos clássicos. Por serem de fácil compreensão oscircuitos quânticos vem sendo cada vez mais utilizados.

Alguns circuitos quânticos serão aqui apresentados, como primeiro exemploserá apresentado o circuito quântico de swap e em seguida um circuito pararealizar uma soma modulo 2.

6.1 Circuito swapO circuito de swap pode ser visualizado na Figura 8, podemos observar que estecircuito é formado por três portas CNOT.

|a

|b

Figura 8: swap

A evolução deste circuito pode ser descrita da seguinte maneira, caso o q-bit de entrada |a〉 = |1〉 e |b〉 = |0〉, ao aplicarmos o primeiro CNOT aos doisq-bits, os q-bits de entrada para a segunda porta CNOT será |a〉 = |1〉 e |b〉 =|1〉, aplicando o segundo CNOT obtemos os estados |a〉 = |0〉 e |b〉 = |1〉, como oq-bit de controle para terceira porta CNOT é o q-bit |0〉, teremos a saída |a〉 =|0〉 e |b〉 = |1〉, a tabela 1 apresenta algumas entradas e saídas.

6.2 Circuito Somador de 2 bitsO circuito exibido na Figura 9 é apresentado em Menscher [Men97], este circuitorealiza a soma de dois números de dois bits e obtém como resultado um númerode 3 bits.

16

Tabela 1: Entradas e saídas para o circuito SWAPEntradas Saídas|a〉 |b〉 |a〉 |b〉|0〉 |0〉 |0〉 |0〉|0〉 |1〉 |1〉 |0〉|1〉 |0〉 |0〉 |1〉|1〉 |1〉 |1〉 |1〉

Podemos observar que o circuito somador apresentado é composto de portasCNOT e To�oli exibidas como portas NOT quânticas controladas por um e doisq-bits respectivamente. A sétima porta é uma porta To�oli com uma exibiçãoalternativa, o q-bit só será negado se e somente se os q-bits de controlem foremiguais a |1〉.

x x

x

x

x x

x

xx

Figura 9: soma

A Tabela 2 apresenta o conjunto de q-bits de entrada, os q-bits de saída e osproblemas de adição para os quais o circuito encontrou a solução.

6.3 Implementação de circuitos quânticosDiversos estudos vêm sendo realizados para se conseguir construir um computadorquântico [Pre]. Alguns requisitos para construção de uma máquina quântica sãodescritos em [Alv03], como abaixo:

• Armazenamento - Os q-bits precisam ser armazenados por períodos detempo su�cientes para completar computações interessantes.

• Isolamento - Os q-bits precisam estar isolados do ambiente, para minimizarerros por decoerência.

• Leitura - Os q-bits precisam permitir sua leitura de forma e�ciente e con-�ável.

17

Estados de entrada Estados de saída Problema de adição equivalente00 00 000 00 00 000 0+0=000 01 000 00 01 001 0+1=100 10 000 00 10 010 0+2=200 11 000 00 11 011 0+3=301 00 000 01 00 001 1+0=101 01 000 01 01 010 1+1=201 10 000 01 10 011 1+2=301 11 000 01 11 100 1+3=410 00 000 10 00 010 2+0=210 01 000 10 01 011 2+1=310 10 000 10 10 100 2+2=410 11 000 10 11 101 2+3=511 00 000 11 00 011 3+0=311 01 000 11 01 100 3+1=411 10 000 11 10 101 3+2=511 11 000 11 11 110 3+3=6

Tabela 2: Somador

• Portas lógicas - É necessário a possibilidade de manipulação de q-bits in-dividuais. Deste modo, para permitir interações controladas entre q-Bits énecessário a construção de portas lógicas quânticas.

• Precisão - As portas lógicas quânticas precisam ser implementadas com altaprecisão se o dispositivo for para cálculos con�áveis.

Diversas tecnologias vem sendo propostas para implementação de circuitosquânticos, como por exemplo:

• Íons aprisionados;

• Eletrodinâmica Quântica de Cavidades (QED);

• Ressonância Magnética Nuclear (RMN).RMN foi utilizada na criação de sistemas de 2 e 3 q-bits, utilizados para

mostrar que o problema de Deutsch e o algoritmo de Grover podem ser executadosem hardware quântico.

7 ConclusãoComputadores quânticos tornam possível uma nova forma de computação, elesnão serão apenas mais velozes que os atuais, mas também resolverão problemasde maneira mais e�ciente.

18

Os circuitos quânticos fornecem uma forma simples para que se possa com-preender o funcionamento de computadores quânticos. Os circuitos aqui apresen-tados são bastante simples, esperamos que este trabalho forneça uma compreen-são básica sobre o tema e que possibilite um estudo mais aprofundado sobre acomputação quântica.

19

Referências[Alv03] Flávio Luís Alves. Computação quântica fundamentos físicos e per-

spectivas, 2003.

[Cab04] Gustavo Eulalio M. Cabral. Uma ferramenta para projeto e simu-lação de circuitos quânticos. Master's thesis, Universidade Federal deCampina Grande, 2004.

[Deu85] D. Deutsch. Quantum theory, the church-turing principle and theuniversal quantum computer. Number 97, 1985.

[dLJC03] Aércio Ferreira de Lima, Bernardo Lula Júnior, and Gustavo Eu-lalio M. Cabral. Introdução à Computação Quântica. Technical Re-port 002, Universidade Federal de Campina Grande, junho 2003.

[FY95] Vicente Paz Fernandez and Antônio Nicolau Youssef. Matemáticapara o segundo grau. Editora scipione, 1995.

[Men97] D.P. Menscher. Modeling the quantum computer on the classicalcomputer. Master's thesis, Brigham Young University, 1997.

[NC00] M. A. Nielsen and I. L. Chuang. Quantum Computation and QuantumInformation. Cambridge University Press, 2000.

[PLCM04] Renato Portugal, Carlile Campos Lavor, Luiz Mariano Carvalho, andNelson Maculan. Uma introdução à computação quântica. SBMAC,2004.

[Pre] John Preskill. Notas de aula do curso de computação quântica.

[Sho04] Salahoddin Shokranian. Introdução à algebra linear. Editora UNB,2004.

[Ste75] G. Stephenson. Introdução a matrizes conjutos e grupos. EditoraEdgard Blucher ltda, 1975.

[SW87] A. Steinbruch and Paulo Winterle. Álgebra Linear e GeometriaAnalítica. McGraw-Hill, 1987.

[Tan00] Andrew S. Tanenbaum. Organização estruturada de computadores.Livros Técnicos e Cientí�cos Editora S.A., 2000.

[VNB04] André Luís Vignatti, Francisco Summa Netto, and Luiz FernandoBittencourt. Uma introdução à computação quântica, fevereiro 2004.

20