Introdu¸c˜ao A` Algebra Linear´ -...

IntroducaoA

Algebra Linear

Cristian Patricio Novoa BustosDepartamento de Matematica e Fısica

Pontifıcia Universidade Catolica de Goias

Goiania-2012

Sumario

Prefacio 1

1 Vetores 31.1 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Algebra Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Produto Escalar e Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Matrizes 122.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2 Adicao de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Multiplicacao por Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4 Multiplicacao de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.5 Inversao de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 Sistemas de Equacoes e Inversao de Matrizes 373.1 Forma Reduzida de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2 Inversao de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4 Espacos Vetoriais 544.1 Espacos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.1.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.2 Subespacos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.3 Dependencia e Independencia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.3.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.4 Base e Dimensao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

i

4.4.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5 Transformacoes Lineares e Conicas 755.1 Transformacoes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.1.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.2 Nucleo e Imagem de Transformacoes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.2.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.3 Representacao de Transformacoes Lineares por Matrizes . . . . . . . . . . . 86

5.3.1 Ecercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.4 Autovalor, Autovetor e Diagonalizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.4.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.5 Reconhecimento de Conicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.5.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

A Introducao a Estruturas Algebricas 103A.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

A.1.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109A.2 Naturais, Inteiros e Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

A.2.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115A.3 Reais e Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

A.3.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Referencias Bibliograficas 119

ii

Prefacio

Caros leitores, gostaria de enfatizar que este texto nao tem a intencao de substituiroutros textos de Algebra Linear, ao contrario, visto que este trabalho vem a contribuir ecomplementar alguns textos ja existentes.

Na verdade, o desenvolvimento de este texto e o fruto do trabalho desenvolvido juntodas turmas de Engenharia da Pontifıcia Universidade Catolica de Goias, na disciplina deAlgebra Linear, onde foi detectada a necessidade de ter um texto nao muito extenso, masque desse um bom suporte para esta disciplina de quatro creditos, por isto e que o nossoenfoque e meramente introdutorio, deixando alguns conteudos de lado, como conceitosde espacos com produto interno e determinantes entre outros. Tambem procuramos decolocar listas de exercıcios muito extensas, mas sem deixar de abranger todo o conteudo,procurando sempre introduzir novos conceitos com a intencao de desenvolver um raciocıniologico abstrato.

Uma das grandes dificuldades observadas no decorrer do tempo ministrando esta disci-plina e o desconhecimento de algumas estruturas algebricas por parte dos alunos, e comoelas aparecem, como por exemplo a construcao dos Corpos Numericos, em particular osReais e Complexos. Existem muitas construcoes destas estruturas algebricas, mas usamosa teoria de Conjuntos e relacoes de equivalencia para fazer isto. Estas ideias sao dadas nonosso primeiro capıtulo, que pode ser omitido dependendo do grau de familiaridade queo nosso leitor pode ter com os conceitos basicos de estruturas algebricas.

Ja no segundo Capıtulo, trabalhamos o conceito de matriz e exploramos suas propri-edades operatorias, com a finalidade de caracterizar a inversao de matrizes. Como umaaplicacao, vemos no capıtulo tres como trabalhar a inversao de matrizes via operacoeselementares.

Agora, no Capıtulo quatro trabalhamos o conceito de Espaco Vetorial e enfocamos onosso trabalho para Espacos Vetoriais de dimensao finita, tentando mostrar alguns exem-plos conhecidos pelo aluno a partir dos cursos de Calculo e, em particular o Espaco Vetorialformado pelas matrizes, estudado no Capıtulo dois. Particularmente, sao explorados osconceitos de base e dimensao e a relacao entre estes conceitos.

No capıtulo cinco, fazemos uma analogia com funcoes dos cursos de Calculo e intro-duzimos o conceito de Transformacao Linear entre Espacos Vetoriais. Um dos objetivosfundamentais deste Capıtulo e dado pelo fato de que, se consideramos transformacoesLineares entre Espacos Vetoriais de dimensao finita, entao existe uma correspondenciabiunıvoca com matrizes, isto e, Matrizes e transformacoes Lineares entre espacos Vetoriaisde dimensao finita ”sao a mesma coisa”. Desta forma, todo o trabalho feito com matrizes

1

2

nos Capıtulos dois e tres pode ser transportado para Transformacoes Lineares. Como,no capıtulo dois estabelecemos uma particao no conjunto das Matrizes, via a relacao desemelhanca, esta relacao e melhorada neste Capıtulo via o Calculo de autovalores e dediagonalizacao de matrizes. Para fechar este Capıtulo e trabalho, damos uma pequenaaplicacao de Diagonalizacao de matrizes no reconhecimento de Conicas tao conhecidas eestudadas no curso de Geometria Analıtica.

Gostaria de deixar registrado o meu agradecimento aos varios alunos dos nossos cursosde Engenharia da Pontifıcia Universidade Catolica de Goias, que leram versoes prelimi-nares deste texto e me apontaram as falhas, para desta forma contribuir com a melhoriadeste. Em particular, gostaria de agradecer a professora, Elisangela Silva Dias, do Insti-tuto de Informatica da Universidade Federal de Goias pela paciencia nas correcoes.

Crıticas, sugestoes e informacoes sobre eventuais erros ou enganos, serao muito bemrecebidos.

Cristian Patricio Novoa [email protected]

Capıtulo 1

Vetores

Este capıtulo tem por finalidade recordar alguns conceitos vistos em outras discipli-nas, como geometria analıtica, calculo etc., entao nao aprofundaremos muito os conceitoscom enunciados e demostracoes de propriedades destas estruturas, mas queremos reforcaralgumas propriedades mais importantes para o futuro desenvolvimento dos conteudosdeste texto.

1.1 Vetores

O conceito de vetor tem sido a base para estudar fısica e geometria, entre outrasdisciplinas, no segundo grau. Em particular, na disciplina de geometria analıtica, esteconceito esta associado a um sistema de coordenadas, mas para trabalhar este conceito,na verdade nao e necessario, como veremos a seguir.

Definicao 1.1.1 Chamaremos de Vetor a magnitude que e determinada pelo seu modulo,direcao e sentido.

Esta nocao e tao familiar, que basta olhar ao redor que vemos muitos exemplos devetores, como e o deslocamento, a velocidade, aceleracao ou a forca aplicada em umdeterminado corpo, etc. Geometricamente, podemos representar um vetor pelo segmentoorientado OP , e o tamanho do vetor OP e dito o modulo do vetor, e a direcao do segmentodenota a direcao do vetor OP . O ponto O e dito a origem do vetor OP ou ponto deaplicacao, e P e o extremo do vetor OP .

P

O

OP

Como notacao, representaremos um vetor com uma letra minuscula com uma setaacima. No exemplo anterior entao temos OP = −→v , e o seu modulo que o denotaremos

por | ←−v |. Tambem podemos usar a notacao−→OP para o vetor, e para o seu modulo | −→OP |.

3

CAPITULO 1. VETORES 4

Exemplo 1.1.1 Representemos geometricamente as seguintes situacoes:

1. Uma forca de 10 newtons na direcao Leste 30o Norte, como na figura (a) abaixo.

N

O)30o

10N

L

S Fig. (a)

N

O

15N

30o

L

S Fig. (b)

2. Uma forca de 15 newtons na direcao Norte 30o Leste, como na figura acima.

Chamaremos de escalar a magnitude que e determinada pelo seu valor numerico, quee a quantidade com relacao a uma unidade de medida do mesmo tipo. Como exemplos demagnitudes escalares podemos citar, comprimento, massa, tempo, temperatura, trabalhoetc., e qualquer numero Racional Q, Real R, ou Complexo C. De agora em diante,denotaremos por K o conjunto dos escalares.

1.2 Algebra Vetorial

Nesta secao mostraremos a estrutura algebrica que possui o conjunto de vetores, defi-nido na secao anterior, definindo uma operacao interna, que chamaremos de soma e umaoperacao externa que chamaremos de produto por escalar, tentando estender as operacoesrealizadas para o conjunto dos escalares K.

Definicao 1.2.1 Sejam −→u e −→v dois vetores. Diremos que os vetores −→u e −→v sao equi-

polentes se eles tem o mesmo modulo, a mesma direcao e sentido.

Geometricamente temos:

P Q

O

−→u

R

−→v

Se dois vetores −→u e −→v sao equipolentes com a mesma origem, entao diremos que osvetores −→u e −→v sao iguais, que denotaremos por −→u = −→v .


Definicao 1.2.2 Seja −→u um vetor. Chamaremos de vetor oposto ao vetor −→u , que deno-taremos por −−→u , o vetor que tem o mesmo modulo e direcao, mas sentido oposto.

Geometricamente, temos a seguinte figura:

P P

O

−→u

0

−−→u

Agora estamos em condicoes de definir formalmente uma lei de eperacao interna entrevetores, da seguinte forma.

Definicao 1.2.3 Sejam −→u e −→v dois vetores. Chamaremos de soma dos vetores −→u e−→v , ao vetor −→w que se obtem trasladando a origem do vetor −→v ao extremo do vetor−→u e juntando a origem do vetor −→u com o extremo do vetor −→v , que denotaremos por−→w = −→u +−→v .

Veja que trasladando os dois vetores −→u e −→v a um origem comum, o vetor somacorresponde a diagonal do paralelograma com origem comum (veja a figura abaixo).

−→u

−→v

−→v

−→u

−→u+−→v

Para, a soma de −→u + −→v + −→w , primeiro fazemos a soma de dois vetores, e o vetorresultante soma com o terceiro vetor, desta forma podemos estender para qualquer somafinita de vetores −→u1 + ... +−→un.

Exemplo 1.2.1 Vamos usar a soma de vetores e as suas propriedades para provar umresultado conhecido de geometria plana. Seja um triagulo ABC e sejam M e N os pontosmedios dos segmentos AC e BC, respectivamente. Vamos provar que o segmento MN eparalelo ao segmento AB e tem comprimento igual a metade do comprimento do segmentoAB. Entao devemos provar que :

|−−→MN | = 1

2|−→AB|

:


C

M N

A B

Agora, a partir da figura acima temos que

−−→MN =

−−→MC +

−−→CN

Agora, como M e o ponto medio do segmento AC e N e o ponto medio do segmento BC,entao −−→

MC =1

2

−→AC

e

−−→CN =

1

2

−−→CB

Logo,−−→MN =

1

2

−→AC +

1

2

−−→CB =

1

2(−→AC +

−−→CB) =

1

2

−→AB

Definicao 1.2.4 Chamaremos de diferenca dos vetores −→u e −→v , que denotaremos por−→u −−→v , o vetor −→w tal que −→w +−→v = −→u .

No caso em que os vetores sejam iguais −→u = −→v , o vetor diferenca −→u −−→v e chamadode vetor nulo, que representaremos por

−→0 .

Definicao 1.2.5 Sejam −→u um vetor e λ um escalar. Chamaremos de produto por

escalar λ do vetor −→u ao vetor −→w = λ−→u , que tem a mesma direcao, e | λ | vezes omodulo do vetor −→u com sentido igual ou oposto ao do vetor −→u , dependendo do valor de| λ | ser negativo ou positivo, e se λ = 0 entao temos que λ−→u =

−→0 e o vetor nulo.

As propriedades que enunciaremos a seguir podem ser encontradas em qualquer cursode calculo, onde estes vetores podem ser vistos como pares ordenados, ou triplas ordenadasou em forma de n-uplas ordenadas em geral.


Proposicao 1.2.1 Sejam −→u ,−→v e −→w vetores e α, β escalares. Entao sao validas:

• −→u +−→v = −→v +−→u

• −→u + (−→v +−→w ) = (−→u +−→v ) +−→w

• α−→u = −→u α

• α(β−→u ) = (αβ)−→u

• (α + β)−→u = α−→u + β−→u

• α(−→u +−→v ) = α−→u + α−→v

Um dos objetivos deste texto e estudar, entender e nos familiarizar um poucomais com os conjuntos que admitem as propriedades da proposicao anterior,como veremos nos capıtulos 4 e 5.

Definicao 1.2.6 Seja −→v um vetor. Diremos que o vetor −→v e unitario se o seu modulo| −→v | e uma unidade escalar.

Veja que se | −→v |6= 0, entao o vetor−→v|−→v |

e um vetor unitario no mesmo sentido e direcao

que o vetor −→v . Um sistema muito importante e conhecido, e o sistema dado pelos vetoresunitarios associados aos eixos coordenados do sistema cartesiano do espaco, por exemplo,cujos eixos sao geralmente identificados com X, Y e Z, com sentidos positivos destes eixos,

e sao denotados por−→i ,−→j e−→k , respectivamente, como mostra a figura abaixo.

Z

−→k

−→i

−→j

Y

X Fig. (a)

Todo vetor −→v pode ser representado pelo produto de um vetor unitario −→u na direcao esentido do vetor −→v , isto e, −→v =

−→v|−→v ||−→v |. Todo vetor do espaco R3 pode ser representado

com a sua origem a origem do espaco R3. Sejam (x, y, z) as coordenadas cartesianas do

ponto extremo do vetor −→v cuja origem e 0. Os vetores x−→i , y−→j , z−→k sao conhecidas como


as componentes retangulares do vetor −→v nas direcoes x, y, z, respectivamente. Veja que

a soma dos tres vetores, x−→i + y

−→j + z

−→k e novamente o vetor original −→v isto e,

−→v = x−→i + y

−→j + z

−→k

onde o modulo e dado por:|−→v | =

√x2 + y2 + z2

Se a cada ponto (x, y, z) de uma determinada regiao R do espaco R3 associamosum escalar dado pela funcao f(x, y, z), temos definido o que se conhece como campoescalar, onde a funcao f(x, y, z) tambem e conhecida como funcao escalar de posicao.Vejamos os seguintes exemplos.

Exemplo 1.2.2 1. Para cada posicao de um carro, hoje em dia usamos o famosoGPS para fazer isto, podemos associar a temperatura do motor em um determinadoinstante. Entao esta funcao de associar a temperatura pode ser vista como um campoescalar.

2. A funcao f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 determina um campo escalar.

Um outro campo muito conhecido e o campo vetorial, onde em cada ponto (x, y, z)de uma determinada regiao R do espaco R3 associamos um vetor dado pela funcao−→f (x, y, z) = −→v , esta funcao tambem e conhecida como funcao vetorial ou de posicaovetorial.

Exemplo 1.2.3 1. Para cada carro, determinamos a sua posicao, hoje em dia usamoso famoso GPS para fazer isto, que e vetorial, e podemos associar a sua velocidadeem um determinado instante, que tambem e vetorial. Entao esta funcao de associara velocidade a cada carro pode ser vista como um campo vetorial.

2. A funcao−→f (x, y, z) = x2y

−→i + y2z2

−→j + xz

−→k determina um campo vetorial.


1.2.1 Exercıcios

1. Das grandezas a seguir, indique quais sao escalar e quais sao vetoriais.

(a)Peso (c)Densidade (e)Energia (g)velocidade(b)Calor (d)Impetu (f)Potencia (h)distancia

2. Um automovel percorre 3Km na direcao Norte e logo 5Km na direcao Nordeste.Represente geometricamente o deslocamento e calcule o vetor resultante.

3. Considere os seguintes deslocamentos:

• −→u = 10m na direcao Nordeste.

• −→v = 20m , na direcao Leste.

• −→w = 35m na direcao Sul.

Entao calcule −→u +−→v ; −→u −−→w ; −→v +−→v −−→w e faca a sua representacao geometrica.

4. Sejam −→u ,−→v vetores. Mostre que −→u +−→v = −→v +−→u .

5. Calcule o vetor unitario com direcao e sentido da resultante dos vetores −→u = 2−→i −

5−→j + 9

−→k ;−→v = 6

−→i + 2

−→j − 7

−→k

6. Sobre um solido atuam tres forcas −→u ,−→v e −→w que, em funcao das suas componentes,

estao dadas pelas equacoes vetoriais −→u = u1−→i +u2

−→j +u3

−→k ;−→v = v1

−→i +v2

−→j +v3

−→k

e −→w = w1−→i + w2

−→j + w3

−→k . Calcule o modulo da forca resultante.

7. Determine os angulos α, β e γ que o vetor −→v = x−→i + y

−→j + z

−→k forma com os eixos

positivos do sistema de coordenadas de R3. e mostre que

cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1

8. Considere o campo escalar dado por f(x, y, z) = 3x2z − xy + z2, calcule o valor docampo escalr f nos pontos (2,−3, 6); (−2, 4, 9); (6,−9,−3).

9. Represente Geometricamente o campo vetorial dado por−→f (x, y, z) = x

−→i − y

−→j +

z−→k .

1.3 Produto Escalar e Vetorial

Na secao anterior mostramos como podemos obter novos vetores a partir de veto-res, e como podemos gerar outros vetores a partir da multiplicacao por escalar. Entaoagora mostraremos como a partir de dois vetores podemos associar um escalar, mostrandoalgumas propriedades.


Definicao 1.3.1 Seja −→u e −→v dois vetores. Chamaremos de produto escalar ou in-

terno dos vetores −→u e −→v , ao seguinte escalar:

−→u · −→v =

0, se −→u ou −→v e o vetor nulo;|−→u | · |−→v | cos θ, Caso contrario.

onde θ e o angulo formado pelos dois vetores.

Quando os vetores sao dados em termos das suas componentes nao sabemos direta-mente o angulo entre eles. Por isso, precisamos de uma forma de calcular o produtoescalar que nao necessite do angulo entre os vetores.

Sejam −→u e −→v dois vetores nao nulos e θ o angulo entre eles, entao pela lei dos cossenos,temos a seguinte expressao:

|−→u −−→v |2 = |−→u |2 + |−→v |2 − 2|−→u ||−→v |cosθ

Assim,−→u · −→v = |−→u ||−→v |cosθ =

1

2(|−→u |2 + |−→v |2 − |−→u −−→v |2)

Ja temos entao uma formula para calcular o produto escalar que nao depende dire-tamente do angulo entre eles. Substituindo-se as coordenadas dos vetores na identidadeacima, temos uma expressao mais simples para o calculo do produto interno. Por exem-plo, se−→u = (u1, u2, u3) e −→v = (v1, v2, v3) sao vetores no espaco, entao substituindo-se|−→u |2 = u2

1+u22+u2

3 , |−→v |2 = v21 + v22 + v23 e |−→u −−→v |2 = (u1− v1)2+(u2− v2)

2+(u3− v3)2

na igualdade anterior, os termos u2i e v2i sao cancelados e obtemos a seguinte expressao

−→u · −→v = u1v1 + u2v2 + u3v3

Vejamos algumas propriedades na seguinte proposicao.

Proposicao 1.3.1 Sejam −→u ,−→v e −→w vetores e α um escalar. Entao sao validas:

1. −→u · −→v = −→v · −→u

2. −→u · (−→v +−→w ) = −→u · −→v +−→u · −→w

3. α(−→u · −→v ) = (α−→u ) · −→v

Definicao 1.3.2 Sejam −→u e −→v dois vetores. Chamaremos de produto vetorial, ou pro-duto externo dos vetores −→u e −→v ao vetor −→c = −→u ×−→v dado por:

−→c = −→u ×−→v = det

−→i−→j−→k

u1 u2 u3

v1 v2 v3

=

∣∣∣∣∣∣

−→i−→j−→k

u1 u2 u3

v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣

Algumas propriedades do produto vetorial sao dadas na seguinte proposicao.


Proposicao 1.3.2 Sejam −→u ,−→v e −→w vetores e α um escalar. Entao sao validas:

1. −→u ×−→v = −−→v ×−→u

2. −→u × (−→v +−→w ) = −→u ×−→v +−→u ×−→w

3. α(−→u ×−→v ) = (α−→u )×−→v = −→u × (α−→v ) = (−→u ×−→v )α

4.−→i ×−→i =

−→j ×−→j =

−→k ×−→k = 0,

−→i ×−→j =

−→k ,−→j ×−→k =

−→i ,−→k ×−→i =

−→i

5. O modulo do vetor −→u ×−→v representa a area do paralelogramo de lados −→u e −→v .

6. Se −→u ×−→v = 0 onde nenhum dos vetores e nulo, entao os dois vetores tem a mesmadirecao.

1.3.1 Exercıcios

1. Ache o angulo formado pelos vetores −→u = 2−→i + 3

−→j −−→k e −→v = 6

−→i + 3

−→j + 2

−→k .

2. Ache o valor de α de forma que os vetores −→u = 2−→i +α

−→j +−→k e −→v = 4

−→i −2

−→j −−→k

sejam ortogonais.

3. Mostre que os seguinte vetores −→u = 3−→i − 2

−→j +

−→k ; −→v =

−→i − 3

−→j + 5

−→k e

−→w = 2−→i +−→j − 4

−→k formam um triangulo.

4. Mostre a proposicao 1.3.2.

5. Sejam −→u = 2−→i − 3

−→j −−→k e −→v = 1

−→i + 3

−→j + 6

−→k calcule

a −→u ×−→vb −→v ×−→uc (−→u +−→v )× (−→u −−→v )

6. Calcule a area do triangulo de vertices P (1, 3, 2), Q(2,−1, 1), R(1, 2, 3).

7. Calcule o momento de uma forca−→F com relacao a um ponto P .

Capıtulo 2

Matrizes

2.1 Matrizes

A partir de agora, e no decorrer do texto, usaremos a letra K, para denotar o corpodos escalares, que pode ser Q (Racionais), R (Reais) ou C (Complexos). Neste capıtulo,introduziremos o conceito de Matriz, que e um dos conceitos matematicos mais usadospor parte da area de economia e administracao entre outros como um recurso na agrupacaode um grande numero de informacoes, e claro, e uma das ferramentas basicas na pesquisaoperacional.

Definicao 2.1.1 Chamaremos de Matriz1 de ordem n×m a ordenacao de n vezes m

escalares em n linhas e m colunas, que denotaremos da seguinte forma:

A =

a11 a12 · · · a1ma21 a22 · · · a2m· · · · · · · · · · · ·an1 an2 · · · anm

= (aij)n,m

onde aij denota o escalar na linha i e coluna j para i = 1, . . . , n , j = 1, . . . , m

Se todas as entradas da matriz A = (aij)n,m sao nulas, a matriz A e dita de matriznula ou matriz zero, que denotaremos por 0n,m. Se o numero de linhas e igual ao numerode colunas da matriz A = (aij)n,m, ou n = m, entao diremos que a matriz A e uma matrizquadrada e a denotaremos por A = (aij)n. Chamaremos de diagonal principal da matrizquadrada A = (aij)n, os escalares da forma aii onde i = 1, . . . , n. Diremos que a matrizquadrada A = (aij)n e diagonal, se todos os elementos acima e abaixo da diagonal principalsao zero. Chamaremos de matriz identidade, que denotaremos por In, a matriz diagonalde ordem n onde todos os elementos da diagonal principal sao iguais a 1, entao In podeser vista da seguinte forma:

In = (cij) =

1 se i = j0 se i 6= j

1O matematico Ingles Arthur Cayley(1821-1895), foi o primeiro a introduzir o conceito de matriz emostrar as suas propriedades algebricas, ele publicou mais de 300 artigos de investigacao

12

CAPITULO 2. MATRIZES 13

Denotaremos por Mn,m o conjunto de todas as matrizes de n linhas e m colunas,simbolicamente temos:

Mn,m(K) =Mn,m = A = (ai,j)n,m/ai,j ∈ K, ∀i = 1, · · · , n; j = 1, · · · , m

Exemplo 2.1.1 Vejamos agora alguns exemplos da definicao anterior.

1. Um dos exemplos mais simples de ordenacao matricial, e observar a ordenacao dascadeiras na sala de aula, ou das poltronas em um cinema, que sempre sao dados emlinhas e colunas.

2. Os escalares de forma geral podem ser vistos como matrizes de ordem 1× 1.

3. Uma linha de uma matriz A = (aij)n,m, digamos Ai = (ai1 · · · aij · · · aim) pode serconsiderada como uma matriz de ordem 1×m, de maneira analoga podemos definir a

matriz coluna dada por uma coluna da matriz A = (aij)n como sendo Aj =

a1j...anj

.

4. Consideremos o seguinte diagrama:

1 3

2 4

A forma matricial deste diagrama e dado por :

A =

0 1 0 11 0 1 10 1 0 01 1 0 0

= (aij)n,m

Onde aij = 1 se o ponto i esta ligado ao ponto j, e aij = 0, se o ponto i nao estaligado ao ponto j. Esta matriz e conhecida como matriz de incidencia.

5. Considere o plano projetivo de Fano, de ordem dois e construa a sua matriz deincidencia.

Definicao 2.1.2 Diremos que duas matrizes da mesma ordem A = (aij)m,n e B =(bij)m,n sao iguais se aij = bij ∀i, j.


2.1.1 Exercıcios

1. Escreva a matriz A = (aij)2,3 tal que aij = ij + 2i− j.

2. (a) Escreva a matriz A = (aij)4,4, tal que :

A =

aij = −1 se i > jaij = 1 se i ≤ j

(b) Escreva a matriz A = (aij)3,3 tal que aij = −aji

3. Ache os possıveis valores de x e de y, tais que :

(a) (2 20 x2 − 2

)=

(y x0 0

)

(b) (x yx2 y2

)=

(1 00 1

)

4. Seja A = (aij)n e definamos tr(A) =∑n

i=1 aii que e conhecida como traco da matrizA, entao mostre que tr(tr(A)) = tr(A).

5. Suponha que existe uma relacao de dominancia entre quatro terminais, dada peloseguinte diagrama:

1 3

2 4

onde cada seta indica a dominancia do ponto i sobre o ponto j. Passe para linguagemmatricial este diagrama (supondo que nenhum ponto domine ele mesmo).

2.2 Adicao de Matrizes

Recordemos que tanto a adicao como a subtracao entre os numeros e uma funcao, outambem conhecida como operacao binaria ou interna, onde sao relacionados dois elementosdo mesmo conjunto e, apos esta relacao ou mistura entre eles, obtemos um novo elementodo mesmo conjunto. Sera que o relacionamento entre animais da mesma especie satisfazesta condicao?. Sera que com as matrizes isto e valido?. Entao vejamos a seguintedefinicao.


Definicao 2.2.1 Sejam A,B ∈Mn,m. Entao a operacao binaria ou interna+ :Mn,m ×Mn,m −→Mn,m dada por :

A+B = (aij)n,m + (bij)n,m = (aij + bij)n,m

sera chamada de soma de matrizes.

Veja que se as matrizes forem de 1×1, a definicao anterior nos da a definicao usual desoma de escalares, ou se forem matrizes de 1 × n a definicao anterior nos da a definicaousual de soma de n-uplas ou soma vetorial componente a componente. Vejamos agoraalguns exemplos.

Exemplo 2.2.1 Consideremos os seguintes exemplos dos conceitos anteriores.

1. Considere as seguintes matrizes:

A =

(2 −65 −6

), B =

(−3 π

2√3

)e C =

(−1

√8 −5

−2 2π 9

)

Observe que A+B esta bem definida, mas A+C nao, pois a matriz A tem ordem2 × 2 e a matriz C tem ordem 2 × 3, isto e, a matrız A,e a matrız B nao tem amesma ordem.

2. A matriz nula 0n,m tem a propriedade de que se A ∈Mn,m entao e facil verificar, apartir da definicao que, A+ 0n,m = 0n,m + A = A

3. Uma certa empresa de Computacao produz um software X. Agora, para produzir estesoftware foram necessarios seis tecnicos, tres (um digitador, um programador e umanalista de sistemas) de uma localidade A e os outros tres (digitador, programadore analista) de uma localidade B. As despesas feitas pela empresa na manutencao etransporte dos tecnicos pode ser vista matricialmente por :

A =

Manut. T rans. Cargo100 150 Dig.800 400 Prog.900 850 Anal.

B =


A matriz que representa a despesa total com alimentacao e transporte de cada umdos tecnicos vindo de ambas localidades e dada por :

A+B =



Exemplo 2.2.2 Uma Universidade, pretende utilizar o perıodo de recesso das ferias parafazer a instalacao de ar condicionado central nos blocos D,EeF do centreo de CienciasExatas. Entao, faz uma licitacao para a realizacao desta obra, e pede que seja discri-minado o custo por bloco, pois pode pegar a obra por bloco, e seleciona tres propostas,que denotaremos por Emp.1, Emp.2 e Emp.3, como discriminada abaixo(os valores saorelativos a R$1.000, 00 reais) :

Bl D Bl E Bl FEmp.1 53 96 37Emp.2 47 87 41Emp.3 60 92 36

Entao, a Universidade esta interessada na proposta de menor custo e cada empressaso pode pegar um bloco para fazer. Como calcular a melhor proposta. Na verdade temos3! = 3 × 2 × 1 possibilidades. Entao as propostas podem ser vistas de maneira matricialcomo segue :

53 96 3747 87 4160 92 36

Entao estas seis propostas sao dadas por :

(a)

53︸︷︷︸ 96 37

47 87︸︷︷︸ 41

60 92 36︸︷︷︸

(b)

53︸︷︷︸ 96 37

47 87 41︸︷︷︸60 92︸︷︷︸ 36

(c)

53 96︸︷︷︸ 37

47︸︷︷︸ 87 41

60 92 36︸︷︷︸

(d)

53 96 37︸︷︷︸47︸︷︷︸ 87 41

60 92︸︷︷︸ 36

(e)

53 96︸︷︷︸ 37

47 87 41︸︷︷︸60︸︷︷︸ 92 36

(f)

53 96 37︸︷︷︸47 87︸︷︷︸ 41

60︸︷︷︸ 92 36

Onde a proposta (a) = 53 + 87 + 36 = 176 a proposta (b) = 53 + 92 + 41 = 186a proposta (c) = 47 + 96 + 36 = 179 a proposta (d) = 47 + 92 + 37 = 176 a proposta(e) = 60+96+41 = 197 e finalmente a proposta (f) = 60+87 = 37 = 184. Mostrando quea proposta (a) e (d) sao as melhores. Claramente o metodo anterior e muito ”primitivo”e,em programacao Linear poderao estudar metodos mais eficientes.

Proposicao 2.2.1 Sejam A,B e C ∈Mn,m, entao e valido que :

i) Associatividade (A +B) + C = A+ (B + C)

ii) Neutro ∃0n,m ∈Mn,m tal que A+ 0n,m = 0n,m + A = A

iii) Inverso ∀A ∈Mn,m existe a matriz −A ∈Mn,m tal que A+ (−A) = 0n,m

iv) Comutatividade A +B = B + A


2.3 Multiplicacao por Escalar

Anteriormente, definimos uma relacao binaria, como sendo uma funcao que relacio-nava dois elementos do mesmo conjunto, e obtinhamos como resultado um novo elementodo mesmo conjunto, como faz a adicao de matrizes. Agora, estamos interessados em re-lacionar o corpo K, com o conjunto das matrizes de ordem n ×m por exemplo, e obterdesta relacao uma nova matriz de ordem n×m. Como fazer isto e o que mostra a seguintedefinicao.

Definicao 2.3.1 Chamaremos de produto por escalar, a operacao externa · : K×Mn,m−→Mn,m

dada da seguinte forma: Sejam α ∈ K e A ∈Mn,m entao

α · A = (αaij)n,m

Veja que a operacao externa produto por escalar nada mais e multiplicar cada umadas entradas da matriz A ∈Mn,m pelo escalar α ∈ K. Vejamos agora alguns exemplos.

Exemplo 2.3.1 Sejam

(2 3 −5√5 −2 6

), α1 = 2, e α2 = π. Entao calculemos

α1 ·A− α2 · A

Exemplo 2.3.2 Seja A ∈Mn e λ ∈ K, entao calculemos λ · In −A.

Proposicao 2.3.1 Sejam A,B ∈Mn,m e α, α1, α2 ∈ K, entao sao validas:

1. (α1 + α2) ·A = α1 · A+ α2 · A

2. α · (A+B) = α · A+ α · B

3. α1(α2 · A) = (α1α2) ·A

4. 1 · A = A, −1 · A = −A, 0 ·A = 0n,m

De agora em diante consideraremos α ·A = αA.

Exemplo 2.3.3 Seja X ∈ M3. Entao procuremos o valor da matriz X tal que satisfaza seguinte igualdade:

−4(X +

2 3 −5√5 −2 6

0√3 1

) = 5X +

1 0 45 0 31 1 0


2.3.1 Exercıcios

1. Uma Universidade esta querendo pintar quatro dos seus carros, com as cores e ossımbolos da universidade. Entao, a Universidade faz uma licitacao para executareste servico, onde cada empressa so pode pintar um carro. Dentro das propostas elaseleciona quatro delas, cujos valores sao dados segundo tabela abaixo.

carro A carro B carro C carro DOf.1 3 6 7 5Of.2 7 7 4 3Of.3 6 2 6 5Of.4 5 3 4 7

Entao, encontre a melhor proposta para a Universidade.

2. Sejam A =

1 −3 4√7 0 −7

6√−3 18

, B =

10 13 9

0√7 −3

1 4√11

, C =

(2 0 9

2√3 8

),

D =

(1 −3 4√7 0 −7

), e E =

1 40 −7√5 18

Entao veja se e possıvel calcular e, se for possivel, entao calcule:

(a) 2A+B

(b) E − 2C

(c) −4A + 5B − 3C +D

(d) D + I2 −E

3. Sejam α ∈ K e r ∈ R e A ∈Mn,m entao mostre que:

(a) α(rA) = (αr)A

(b) (α + r)A = αA+ rA

4. Mostre que se r ∈ R, e A,B ∈Mn,m entao, r(A+B) = rA+ rB.

5. Determine o valor da matriz X da seguinte igualdade:

0 9 8√2 10 6

5√6 9

+ 3X =

0 3 1910 7 −1311 6

√11


6. Sejam A =

1 −3 4√7 0 −7

6√−3 18

, B =

10 13 9

0√7 −3

1 4√11

, C =

2 0 9

2√3 8

2 −4 7

.

Justifique cada um dos seus passos para achar o valor da matriz X , das seguintesigualdades:

(a)√2(2X +B) = 3

5X + C − 2A

(b) −3A + 5X = πC − 27B

(c)√7(3X + 2A) +−2(A−

√5C) = 2

3B

7. Mostre as propriedades da soma de matrizes e do produto por escalar.

8. Sejam A1, ..., Ar ∈Mn e sejam λ1, ..., λr ∈ K. Usando a definicao de traco de umamatriz mostre que : tr(λ1A1 + · · ·+ λrAr) = λ1tr(A1) + · · ·+ λrtr(Ar).

2.4 Multiplicacao de Matrizes

Ate agora temos definido a soma de matrizes e a multiplicacao por escalar, agora nosresta trabalhar em uma definicao de multiplicacao de matrizes. Comecaremos primeiroconsiderando uma situacao particular com matrizes de ordem 1 × n e de ordem n × 1,como sera dado na seguinte definicao.

Definicao 2.4.1 O produto da matriz X =(x1 x2 · · · xn

)pela matriz Y =

y1y2...yn

e a matriz de ordem 1× 1 dada por :

X · Y =(x1 x2 · · · xn

)·

y1y2...yn

= (x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn)

Ilustremos esta definicao com o seguinte exemplo.

Exemplo 2.4.1 Sejam X =(3 2 −6

)e Y =

497

, a partir da definicao segue que

X · Y =(3 2 −6

)

497

= (3 · 4 + 2 · 9 +−6 · 7) = (−12)1,1.

Veja que, a partir da definicao anterior o numero de colunas da matriz X deve serigual ao numero de linhas da matriz Y , se isso acontece, diremos que as matrizes X e Ysao compatıveis para a multiplicacao.


Definicao 2.4.2 Sejam A ∈ Mn,p e B ∈ Mp,m. O produto das matrizes A e B, quedenotaremos por C = AB, e a matriz cujo elemento generico cij, e o produto da i-esimalinha Ai da matriz A pela j-esima coluna Bj da matriz B, isto e,

cij = AiBj = ai1b1j + · · ·+ aipbpj

onde 1 ≤ i ≤ n e 1 ≤ j ≤ m.

Vejamos como esta definicao funciona no seguinte exemplo.

Exemplo 2.4.2 Sejam A =

(1 53 2

)e B =

(2 6 78 5 −3

), entao

AB =

(1 · 2 + 5 · 8 1 · 6 + 5 · 5 1 · 7 + 5 · −33 · 2 + 2 · 8 3 · 6 + 2 · 5 3 · 7 + 2 · −3

)=

(2 + 40 6 + 25 7− 156 + 16 18 + 10 21− 6

)=

(42 31 −822 28 15

)

Veja que o exemplo anterior mostra que o produto de matrizes pode nao ser comuta-tivo, visto que existe o produto AB, mas nao existe o produto BA.

Exemplo 2.4.3 A notacao matricial foi introduzida pelo matematico Ingles Artur Cayleyem 1958. Ele usou-a para abreviar a notacao para expressar um sistema de equacoeslineares. Isto e, o sistema

a11x1+ a12x2+ · · · +a1mxm = b1a21x1+ a22x2+ · · · +a2mxm = b2...

......

......

an1x1+ an2x2+ · · · +anmxm = bn

pode ser representado matricialmente pela seguinte equacao :

AX = B

onde A =

a11 a12 · · · a1n...

......

an1 an2 · · · anm

e a matriz X =

x1

x2...xm

e B =

b1b2...bn

onde o

anterior se verifica facilmente usando as definicoes de produto de matrizes.

Este problema consiste em determinar um conjunto S de n-uplas x =

x1

x2...xn

cujas

coordenadas satifazem simultaneamente a cada uma das equacoes do sistema dado por


AX = B. O conjunto S e chamado de conjunto solucao do sistema de equacoeslineares. O sistema de equacoes lineares anterior e dito Homogeneo se a matriz coluna

B =

b1b2...bm

= 0 =

00...0

for nula. Uma matriz que sera estudada no proximo capıtulo e a matriz aumentada,que denotaremos por (A : B), associada ao sistema de equacoes lineares anterior, observeque (A : B) ∈Mn,m+1.

Vejamos uma pequena aplicacao do exemplo anterior:

Exemplo 2.4.4 Sabemos que dados dois pontos no plano R2, so pode passar uma unicareta, que a partir de geometria analitica e dada pela equacao

ax+ by + c = 0

Onde a, b, c ∈ R. Entao, encontremos a equacao da reta que passa pelos pontos (1, 2), (2, 3).Veja que os pontos anteriores devem satisfazer a equacao ax + by + c = 0, ou seja quetemos a seguinte situacao :

a1+ b2+ = −ca2+ b3+ = −c

Veja que nao e dificıl, usando alguns conhecimentos de segundo grau, mostrar quea = −3c e b = c, ou seja, a equacao da reta procurada e dada por

−3cx+ cy = −c

ouy = 3x− 1

onde c 6= 0.

Se A ∈Mn pode-se verificar facilmente que AIn = InA = A.


Exemplo 2.4.5 Consideremos as seguintes matrizes :

A =

(1 34 7

); B =

(1 0−1 1

); C =

(0 01 0

); D =

(0 02 0

); E =

(4 02 1

);

F =

(4 06 7

); I =

(1 00 1

); J =

(−1 00 1

); K =

(1 00 −1

);

e L =

(−1 00 −1

).

1. AB =

(−2 3−3 7

)6=

(1 33 4

)= BA, o que mostra que o produto de matrizes nao

e comutativo.

2. CD =

(0 00 0

), onde tanto a matriz C como a matriz D sao diferente da matriz

nula.

3. Veja que DE =

(0 08 0

)= DF , mas a matriz E 6= F , isto mostra que nao existe

uma lei de cancelamento entre matrizes.

4. Temos que I2 = I, J2 = I, K2 = I, L2 = I, isto mostra que a matriz I tem pelomenos quatro raızes quadradas, sendo que com escalares so poderia ter no maximoduas raızes.

Por outro lado, a seguinte proposicao mostra as propriedades validas com o produtode matrizes.

Proposicao 2.4.1 Sejam A,B,C ∈Mn. Entao sao validas :

i) Associatividade : A(BC) = (AB)C.

ii) Neutro : Existe In ∈Mn tal que InA = AIn = A.

iii) Lei Distributiva Esquerda : A(B + C) = AB + AC.

iv) Lei Distributiva Direita : (A +B)C = AC +BC.

Se considerarmos matrizes quadradas, digamos de n × n, podemos ter o conceito depotencia de uma matriz, ou seja que se A ∈ Mn segue que A0 = In;A

1 = A;AA =A2, · · · , An+1 = AAn. Fazendo uso de inducao finita, como visto no capıtulo 1, pode-mos mostrar que An+m = AnAm. A partir do anterior, podemos trabalhar expressoespolinomiais como p(x) = anx

n + an−1xn−1 + · · · + a0 ∈ K[x], isto e, podemos calcular

p(A) = anAn + an−1A

n−1 + · · ·+ a0In ∈Mn, vejamos o anterior no seguinte exemplo.


Exemplo 2.4.6 Seja A =

(1 43 8

)∈M2 e consideremos o polinomio p(x) = x3+x−2,

entao

p(A) = A3 + A− 2I2 =

(1 43 8

)3

+

(1 43 8

)− 2

(1 00 1

)

=

(121 340255 716

)+

(1 43 8

)+

(−2 00 −2

)=

(121 + 1− 2 340 + 4 + 0255 + 3 + 0 716 + 8− 2

)=

(120 344258 722

)

Exemplo 2.4.7 Consideremos o seguinte sistema de comunicacao (esses centros de co-municacao podem representar pessoas, nacoes, computadores etc.) dado pelo seguintediagrama.

1 3

2 4

onde a seta indica que o terminal i se comunica com o terminal j. A forma matricialdeste diagrama e dado pela matriz.

A =

0 1 1 11 0 1 10 0 0 01 1 1 0

onde aij = 1 se existe comunicacao entre o terminal i e o terminal j e aij = 0, casocontrario. Estamos considerando que os terminais nao se comunicam com si proprios.Entao temos:

B = AA = A2 =

2 1 2 11 2 2 10 0 0 01 1 2 2

= (aij)n,m

Aqui b11 = a11a11+a12a21+a13a31+a14a41 = 2, veja que esses produtos a1jaj1 e um, se, esomente se a1j e aj1 sao um, isto diz que o terminal 1 esta comunicado com o terminal je o terminal j esta comunicado com o terminal 1, logo como b11 = 2, diz que temos duaschances de isto acontecer, o terminal 1 via outro terminal se comunicar com o terminal 1novamente. Assim A+A2 diz sobre o numero total de chances de comunicacao que estaoabertas entre varios terminais usando nenhum terminal ou um terminal intermediario.

Uma das grandes ferramentas na area de transportes hoje em dia, e dada pela teoria degrafos, que claramente nao e o nosso objeto de estudo, mas daremos a definicao de grafodirigido para ilustrar uma outra aplicacao destes conceitos matriciais vistos ate aqui.


Definicao 2.4.3 Chamaremos de Grafo Dirigido a quadrupla G = (G0, G1, o, t), ondeG0 e o conjunto de vertices, e G1 e o conjunto de flechas, e para qualquer flecha α ∈ G1

temos a funcao o : G1−→G0 tal que o(α) e o vertice origem da flecha α, e a funcaot : G1−→G0 e o vertice final ou termino da flecha α.

Ilustremos a definicao anterior com o seguinte exemplo.

Exemplo 2.4.8 Consideremos uma famılia, com a Mae, Pai, uma filha e dois filhos.Cada um dos membros desta famılia tem influencia sobre os outros membros da famıliada seguinte forma : A Mae tem influencia sobre a sua filha e sobre o filho mais velho;e o Paı tem influencia sobre os dois filhos; e a filha pode influenciar sobre o Pai; e ofilho mais velho pode influenciar o irmao mais novo, e finalmente o filho mais novo podeinfluenciar a Mae. Entao, usando grafos podemos modelar esta familia da seguinte forma :G0 = Mae,Pai,Filha,Filho mais velho,Filho mais novo = M,P, F, Fv, Fn e G1 =Infleuncia na familia = α1, α2, α3, α4, α5, α6, α7

Fv

α2

M

α5

α1

Fnα4

F α7P

α6

α3

•1α2

•2α5

α1

•3α4

•4 α7•5

α6

α3

(a) (b)

Em um grafo dirigido com n vertices, podemos associar uma matriz M = (nij) ∈Mn,chamada de matriz de incidencia do grafo dirigido. As entradas da matriz de incidenciasao dados da seguinte forma :

nij =

1 se Pi−→Pj

0 outra

para i, j = 1, 2, ..., n. Agora, a matriz de incidencia associado ao exemplo 2.4.8 e dadopela seguinte matriz :

M =

1 2 3 4 51 0 1 0 0 12 0 0 1 0 03 1 0 0 0 14 0 1 0 0 05 0 0 0 1 0


Exemplo 2.4.9 Consideremos a seguinte situacao de migracao entre a regiao Nordestedo Brasil e a regiao de Rio- Sao Paulo da seguinte forma. cada ano, 50% da Populacaodo Nordeste migra para a regiao de Rio-Sao Paulo, nao entanto 25% da Populacao deRio-Sao Paulo migra para a regiao Nordeste.

ND0.5

0.5

RSp 0.75

0.25

Se esta migracao tende a continuar, nos parametros anteriores, sera que acabara apopulacao no Nordeste, ou a futuro esto se estabilizara?.

Entao, vamos supor que sejam nk e sk as proporcoes das populacoes no Nordeste e noRio-Sao Paulo respectivamente, em um determinado ano k, e entao temos que nk+sk = 1.Logo, estas diretrizes determinam que no ano seguinte, isto e, no ano k+1 as proporcoesde populacoes sera dado por

nk+1 = nk0.5 + sk0.25

sk+1 = nk0.5 + sk0.75

Se pTk = (nk, sk) e pTk+1 = (nk+1, sk+1) representam as populacoes no final do ano k eno ano k + 1 respectivamente, entao temos a matriz

T =

(0.5 0.50.25 0.75

)

Sendo a matriz de transicao, de onde temos que pTk+1 = pTk T . Logo, temos a seguintesequencia

pT1 = pT0 T ; pT2 = pT1 T = pT0 T2; pT3 = pT2 T = pT0 T

3; . . . ; pTk = pT0 Tk

Calculando as potencias da matriz T temos

T 2 =

(0.375 0.6250.312 0.687

)· · · T 7 =

(0.333 0.6670.333 0.667

)

Nao e difıcil de ver que esta sequencia tende a matriz

T∞ = limk−→∞

T k =

(13

23

13

23

)

Portanto, a migracao a futuro estara estabilizada, onde 13da populacao ficara no Nor-

deste, e 23da populacao ficara no Rio-Sao Paulo.

Vejamos agora uma aplicacao entre matrizes que sera de muita utilidade na parte finaldeste texto.

Definicao 2.4.4 Seja A = (aij) ∈ Mn,m. A transposta da matriz A, que indicaremospor At, e a matriz obtida da matriz A trocando as linhas por colunas, isto e,

At = (aji) ∈Mm,n


Veja que transposta pode ser vista como uma transformacao ()t :Mn,m−→Mm,n. Ilus-tremos esta definicao com o seguinte exemplo.


24 2 6 812 3 10 111 0 1 7

entao At =

24 12 112 3 06 10 18 1 7

Na seguinte proposicao, damos as propriedades satisfeitas pela transposta de matrizes.

Proposicao 2.4.2 Sejam A ∈Mn,p , B ∈Mp,m e c ∈ K. Entao sao validas :

i) (At)t = A.

ii) (A+B)t = At +Bt.

iii) (cA)t = cAt.

iv) (AB)t = BtAt.

Definicao 2.4.5 Seja A ∈Mn. Entao diremos que a matriz A e simetrica se At = A,e diremos que a matriz A e anti-simetrica se At = −A.

Um dos fatos importantes sobre simetria e anti-simetria de matrizes e dada na seguinteproposicao.

Proposicao 2.4.3 Seja A ∈ Mn. Entao a matriz A se decompoe como a soma deuma matriz simetrica, que denotaremos por As, mais uma matriz anti-simetrica, quedenotaremos por Aa, isto e,

A = As + Aa

Dem. Seja A uma matriz como no enunciado, entao consideremos as seguintes matrizes

As =A+ At

2e Aa =

A−At

2

Claramente As + Aa = A, entao so resta mostrar que a matriz As e simetrica e que amatriz Aa e anti-simetrica. Mas pelas propriedades da transposta temos:

(As)t = (

A+ At

2)t =

At + (At)t

2=

A+ At

2= As

portanto As e simetrica. De forma analoga temos que (Aa)t = −Aa logo e anti-simetrica,

como querıamos.


2.4.1 Exercıcios

1. Ache a equacao da reta que passa pelos pontos (−2, 1); (3, 8).

2. Construa a matriz de incidencia dos seguintes grafos orientados.

•1α2

•2α5

α1

•3 α5•4

α6

α3

•1α2

α8

α1

•2α5

•3α4

•4 α7

α9

•5α6

α3

(a) (b)

3. Ache o grafo orientado, associado as seguintes matrizes :

0 1 0 0 1 00 0 1 0 1 01 0 0 1 0 10 1 0 0 1 11 1 1 1 0 01 1 1 1 0 0

0 1 0 0 11 0 1 0 10 0 0 1 01 1 1 0 11 1 1 0 0

0 1 0 0 1 0 10 0 1 0 1 0 01 0 0 1 0 1 10 1 0 0 0 1 01 1 1 0 0 1 10 1 0 1 1 0 01 1 1 0 1 1 0

(a) (b) (c)

4. Expresse o seguinte sistema linear, como uma equacao matricial da forma AX = B,identificando cada uma das matrizes, A;X e B.

3x1 +6x2 −x3 = 6−4x1 +2x2 = 9

3x2 +5x3 = 5

5. Mostre que

− 1 − 1 − 1

0 1 00 0 1

2

=

0 1 0− 1 − 1 − 1

0 0 1

3

=

0 1 00 0 1

− 1 − 1 − 1

4

= I3

6. Sejam A,B ∈M2, tais que AB = BA. Entao mostre que

(A+B)2 = A2 + 2AB +B2

Se as matrizes A,B ∈ Mn sao quaisquer, a igualdade e sempre verdadeira?.Mostre um contraexemplo se nao for verdadeiro.


7. Seja A ∈ Mn e p(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · · + a0 ∈ K[x], entao mostre queAp(A) = p(A)A.

8. Consideremos a seguinte situacao de migracao entre Rio e Sao Paulo da seguinteforma: cada ano, 30% da populacao do Rio migra para a regiao de Sao Paulo, noentanto 20% da populacao de Sao Paulo migra para o Rio. Sera que esta migracaose estabiliza?

9. Uma matriz A de ordem n e dita idempotente se A2 = A.

a) Verifique se a matriz

2 − 2 − 4− 1 3 4

1 − 2 3

e idempotente ou nao.

b) Mostre que se AB = A e BA = B, entao A e B sao idempotentes.

c) Se a matriz A e idempotente, mostre que a matriz B = I − A e idempotente eAB = BA = 0.

10. Sejam A,B ∈M2, mostre que:

a) tr(A± B) = tr(A)± tr(B).

b) tr(αA) = αtr(A), onde α ∈ K.

c) tr(AB −BA) = 0.

onde tr(A) denota o traco da matriz A, ou seja a soma da diagonal principal damatriz A.

11. Mostre as propriedades da transposta.

12. Mostre que se A ∈Mn entao a matriz AAt e uma matriz simetrica.

13. Diga se e verdadeiro ou falso, e justifique a sua resposta :

a) Se as matrizes A e B sao simetricas, entao A+B e A− B sao simetricas.

b) Se as matrizes A e B sao anti-simetricas entao A+B e A−B sao anti-simetricas.

14. Expresse a matriz

3 1 8− 4 − 9 2

6 − 5 1

como soma de uma matriz simetrica e

outra anti-simetrica.


2.5 Inversao de Matrizes

Temos visto, nas secoes anteriores, que podemos somar e multiplicar matrizes noconjunto Mn, onde as matrizes com a soma, tem estrutura de grupo abeliano, e como produto e so um grupoide com unidade I. Entao, e natural se perguntar: dada umamatriz A ∈ Mn quando e possıvel achar uma outra matriz B ∈ Mn tal que o produtoAB = I seja a matriz identidade?. Este conceito e dado na seguinte definicao.

Definicao 2.5.1 Seja A ∈ Mn. Diremos que a matriz A e invertıvel pela esquerda

(direita) se existe uma matriz C ∈Mn (B ∈Mn) tal que AC = In (BA = In).

A definicao anterior diz, que uma matriz quadrada A de ordem n pode ter inversaso pela direita ou so inversa pela esquerda, mas se tiver inversa pelos dois lados temos aseguinte proposicao.

Proposicao 2.5.1 Seja A ∈ Mn. Se A tem inversa pela direita B e pela esquerda C,entao temos que B = C.

Dem. A partir da definicao de inversa temos que BA = In e AC = In. Entao,

B = BIn = B(AC) = (BA)C = InC = C

Desta forma, se a matriz A tem inversa pela direita e pela esquerda, entao a partir daproposicao anterior a matriz A tem uma unica inversa, que denotaremos por A−1, e nestecaso diremos que a matriz A e invertıvel (ou nao singular), e A−1A = AA−1 = In,caso contrario diremos que a matriz A nao e invertıvel (ou singular).


(3 −5−4 7

)e B =

(7 54 3

), entao

AB =

(3 −5−4 7

)·(

7 54 3

)=

(1 00 1

)= BA. Portanto A−1 =

(7 54 3

).

Observe que, nem toda matriz admite inversa, como veremos no seguinte exemplo.


(3 64 8

), entao achar a inversa da matriz A significa achar

uma matriz X =

(x yz w

), tal que AX =

(3 64 8

)·(

x yz w

)=

(1 00 1

), de onde

pode-se obter o seguinte sistema de equacoes.

3x +6z = 13y +6w = 04x +8z = 04y +8w = 1

O calculo anterior mostra que o sistema e inconsistente, logo nao e possıvel achar x, y, znem w, tal que AX = I2. Portanto a matriz A nao e invertıvel.


Proposicao 2.5.2 Sejam A,B ∈Mn inversıveis. Entao e valido que:

i) (A−1)−1 = A

ii) (AB)−1 = B−1A−1

Dem. A primeira afirmacao decorre diretamente da definicao. Entao vejamos a segunda,na qual basta verificar que: (AB)(B−1A−1) = A(BB−1)A−1 = AInA

−1 = AA−1 = In ede maneira analoga verifica-se (B−1A−1)(AB) = In.

Corolario 1 Sejam A1, A2, . . . , An ∈Mn, matrizes inversıveis, entao (A1A2 · · ·An)−1 =

A−1n · · ·A−1

2 A−11

Assim como tınhamos definido potencias na multiplicacao de matrizes, temos que seA e uma matriz quadrada de ordem n e inversıvel, entao por inducao segue que A−n =(A−1)n, onde n ∈ N.

Proposicao 2.5.3 Sejam A,B ∈ Mn. Se AB = 0, entao a matriz A = 0 ou a matrizB = 0 ou ambas A e B nao sao inversıveis.

Dem. Claramente se a matriz A ou a matriz B e zero, o anterior e claro, logo so restaassumir que as matrizes A e B sao diferentes da matriz nula. Entao vamos supor que amatriz A ou a matriz B e invertıvel, e obtenhamos uma contradicao. Consideremosa matriz A invertıvel, logo como

AB = 0⇒ A−1(AB) = A−10⇒ InB = 0

Ou seja, que a matriz B e nula, o que e uma contradicao pois ela e inversıvel. Deforma analoga, segue que B nao pode ser invertıvel, portanto as matrizes A e B nao saoinversıveis.


(0 03 0

)e B =

(0 50 0

), segue que AB = BA =

(0 00 0

), onde tanto a matriz A como a matriz B sao diferentes da matriz nula, logo

pela proposicao anterior podemos concluir que, as matrizes A e B nao sao inversıveis.

Proposicao 2.5.4 Seja A ∈Mn. Se a matriz A tem inversa pela esquerda (ou direita),entao a matriz A e inversıvel.

A demonstracao desta proposicao sera deixada para depois, mas esta proposicao dizque para uma matriz A quadrada de ordem n ser invertıvel, basta ter somente inversa oupela direita ou pela esquerda.


Recordemos que um sistema de equacoes da forma:

a11x1+ a12x2+ · · · +a1nxn = b1a21x1+ a22x2+ · · · +a2nxn = b2...

......

......

an1x1+ an2x2+ · · · +annxn = bn

Pode ser representado matricialmente pela seguinte equacao matricial

AX = B

onde A =

a11 a12 · · · a1n...

......

an1 an2 · · · ann

e a matriz X =

x1

x2...xn

e B =

b1b2...bn

Se consideramos a matriz anterior A inversıvel, a equacao matricial AX = B tem umaunica solucao, a saber dada por:

X = A−1B

Que e solucao, isto e claro, pois e so substituir na equacao matricial X = A−1B emAX = B, entao mostremos agora, que esta solucao e unica. Para isto, vamos supor quenao, isto e, que existe uma outra solucao Y tal que AY = B, entao segue que :

X = A−1B = A−1(AY ) = (A−1A)Y = Y

Portanto a solucao X = A−1B e unica. Vejamos uma aplicacao desta proposicao, noseguinte exemplo pratico.

Exemplo 2.5.4 Uma empresa de componentes eletronicos, usa dois tipos de maquinas Pe Q para produzir dois tipos de componentes eletronicos A e B. As maquinas P e Q podemoperar 80 e 60 horas por semana, respectivamente. A maquina P requer duas horas paraproduzir o componente eletronico A e quatro horas para produzir o componente eletronicoB. A maquina Q requer tres horas para produzir o componente eletronico A, e duas horaspara produzir o componente eletronico B. Estamos interessados em determinar o numerode unidades de cada componente eletronico produzidos pelas maquinas P e Q, semanais.

Solucao. Seja x o numero de unidades do componente eletronico A e y o numero decomponentes eletronicos B produzidos por semana. Logo, a maquina P gasta 2x horaspara produzir o componente A e 4y horas para produzir o componente B. Se a maquinatrabalha o tempo todo, temos

2x+ 4y = 80

De forma analoga a anterior, com a maquina Q temos que

3x+ 2y = 60


Entao matricialmente a situacao anterior e dada por

(2 43 2

)(xy

)=

(8060

)

Vejamos se a matriz C =

(2 43 2

)admite inversa, isto e, se existe uma matriz

(a bc d

)

tal que (2 43 2

)(a bc d

)=

(1 00 1

)

entao temos que C−1 =

(−1/4 1/23/8 −1/4

), portanto

X =

(−1/4 1/23/8 −1/4

)(8060

)=

(1015

)

Desta forma, podem ser produzidos dez componentes eletronicos do tipo A semanais equinze do tipo B.

Podemos trabalhar outros exemplos de aplicacoes de matrizes, como e dado pelo en-cobrimento de mensagens. A historia da humanidade mostra a Julio Cesar , o grandeimperador Romano, como sendo um dos precursores na area de Criptografia, que e aciencia das comunicacoes secretas, que vem a resolver o seguinte problema:

Transmitir a um destinatario de maneira segura uma mensagem ou in-formacao de forma que somente o destintario possa entender o conteudo, ape-sar de que outras pessoas possam ter acesso a mensagem.

Quando transformamos uma mensagem ou informacao de tal forma que possa serentendida somente pelo destinatario, diremos que a mensagem ou a informacao esta co-dificada, e que o destinatario conhece a decodificacao. Vejamos um exemplo dado pelahistoria da humanidade de como o anterior funciona. O Grande Imperador Romano JulioCesar usava um deslocamento das letras do alfabeto, de tal forma que a letra A escrevia-secomo D, e os espacos entre as palavras colocava-se a letra A. O anterior parece muito facil,basta conhecer o idioma ou saber ler e escrever bem para codificar e decodifivcar estasmensagens, mas recordemos que saber ler e escrever nos tempos de Julio Cesar era coisade muito, mas muito poucos, o que tornava o sistema anterior complexo para a epoca.Vejamos o seguinte exemplo: A frase ”Historias Curiosas Na Matematica”, escreve-se daseguinte forma:

KLVWRULDVAFXULRVDVAQDAPDWHPDWLFDQue tao difıcil serıa para o exercito inimigo decifrar esta mensagem?. Nao sabemos da

habilidade dos inimigos de Julio Cesar, mas este tipo de codificacao nao e difıcil descobrir.Basta estudar a frequencia em que as letras aparecem, que varia de idioma para idioma, ea quantidade de mensagem que voce tem, e o que vai te ajudar muito para voce descobrira decodificacao. O anterior da uma ideia para decodificar o codigo de transposicao deJulio Cesar.


Agora, a historia mais recente mostra uma sofisticacao na forma de codificar e de-codificar mensagens. Durante a primeira Guerra Mundial, os Britanicos interceptaramuma mensagem codificada do ministro de relacoes Exteriores de Alemanha, Arthur Zim-mermann, dirigida ao embaixador no Mexico, Heinrich von Eckardt. Depois de muitotrabalho, os analistas Britanicos conseguiram quebrar a mensagem, e descobriram umplano por parte do Governo Alemao de estimular o Mexico para participar na guerracomo aliado do Governo Alemao. Em contrapartida, o Mexico recuperaria as terras per-didas para os Estados Unidos em 1847.

Foi enviado um aviso ao Presidente dos Estados Unidos, Woodrow Wilson, que oajudou a decidir pela entrada na guerra imediatamente junto com os aliados. O que pro-vavelmente, acelerou o final da primeira Guerra Mundial. O sistema de codificacao alemaoestava baseado na teoria de matrizes estudada neste texto. Por exemplo, consideremos asseguintes matrizes:

A0 =

(2 33 5

)B0 =

(5 −3−3 2

)

que sao tais que:

A0 × B0 =

(2 33 5

)×(

5 −3−3 2

)=

(1 00 1

)

Vejamos, agora como poderıamos usar as operacoes com matrizes para esconder in-formacoes, de uma maneira mais eficiente que a implementada por Julio Cesar.

Comencemos por atribuir a cada letra do alfabeto um numero, da seguinte forma:

A B C D E F G H I J K L M1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

N O P Q R S T U V W X Y Z14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Codifiquemos a seguinte mensagem:O Numero e a origem de todas as coisas (PLATON)

Comecaremos dividindo a mensagem em pares de letras, pois a matriz que estamosconsiderando e de tamanho 2× 2, como segue:

ON UM ER OE AO RI GE MD ET OD AS AS CO IS AS PL AT ONCom a divisao anterior, transformaremos os pares de letras, em colunas da seguinte

forma:

(1514

) (2113

) (518

) (115

) (189

) (75

)

(134

) (520

) (154

) (119

) (119

) (315

)

(919

) (119

) (1612

) (120

) (1514

)


Agora, usaremos a matriz A0 =

(2 33 5

)para ocultar a nossa mensagem. Faremos

isto, multiplicando cada uma das nossas colunas pela matriz A0 anterior. Entao, temos oseguinte conjunto de novas colunas:(

72115

) (81128

) (64105

) (4778

) (6399

) (2946

)

(3859

) (70115

) (4265

) (5998

) (5998

) (5184

)

(75122

) (5998

) (68108

) (62103

) (57115

)

Para decodificar a mensagem anterior, procedemos da seguinte forma: Ele, o desti-

natario, deve conhecer a matriz B0 =

(5 −3−3 2

)que e a matriz inversa da matriz

A0. Onde ele multiplica as novas colunas pela matriz B0 e podera ler a mensagem deforma correta. Veja que a mensagem anterior e muito difıcil de decodificar, se nao seconhecem as matrizes A0 e a matriz B0, mas nao e impossıvel. Uma outra dificuldadepassa pelo fato de encontrar gente qualificada na area de Algebra para poder entender epoder desenvolver um sistema de decodificacao, que poderıa ser comparada a dificuldadede Julio Cesar, para encontrar gente qualificada com o idioma. A mensagem dirigida aoembaixador da Alemanha no Mexico decodificado pelo servico de inteligencia Britanico,estava codificado via uma matriz de 6× 6.

De quantas formas podemos escolher a nossa matriz inversıvel A0?A resposta a pergunta anterior e dada pelo seguinte Teorema.

Proposicao 2.5.5 Uma matriz

(a bc d

)admite inversa com entradas inteiras, se e

somente se, ad− bc e 1 ou −1

Dem. Sejam A =

(a bc d

)e B =

(e fg h

)duas matrizes com entradas inteiras, tais

que AB = I, entao det(A) = ad − bc = p e det(B) = eh − gf = q tambem sao inteiros.Portanto, det(AB) = det(A)det(B) = pq = 1 = det(I) e como p, q sao inteiros temos quep, q sao divisores de 1, se e somente se, p = q = 1 ou p = q = −1.

Os exemplos anteriores deixam pelo menos duas perguntas:

• Quando uma matriz tem inversa?ou Como decidir se uma determinadamatriz admite inversa?

• Como calcular esta inversa, se ela existir.

Um dos objetivos no proximo capıtulo, e tentar responder estas duas perguntas.


2.5.1 Exercıcios

1. Verifique se as seguintes afirmacoes sao verdadeiras ou falsas, e justifique a suaresposta.

a) Se A nao e uma matriz quadrada, entao nao existe A−1.

b) Se A,B ∈Mn sao matrizes inversıveis, entao A+B tambem e invertıvel.

c) Se A,B ∈Mn sao matrizes singulares, entao A+B e singular.

2. Sejam A,B,C ∈ Mn matrizes inversıveis. Entao ache o valor da matriz X nasseguintes igualdades.

a) A(X + C) = BC

b) B(X + AC) = X + C

3. Seja A ∈ Mn tal que, Am = In para algum inteiro m. Mostre que a matriz A einvertıvel. Qual e a inversa da matriz A?.

4. Seja A ∈Mn. Diremos que a matriz A e nilpotente, se existe um inteiro k > 0, talque Ak = 0 e Ak−1 6= 0. Mostre que, se a matriz A e nilpotente, entao a matriz Anao e invertıvel.

5. Sejam A =

(2 51 3

)e B =

(32

). Ache a matriz X que satisfaz a seguinte

equacao : AX = B

6. Use a matriz A do exercıcio anterior para calcular A−2 e A−3.

7. Calcule a inversa da matriz A ∈Mn diagonal:

A =

aij 6= 0 se i = jaij = 0 se i 6= j

8. Seja A =

(a bc d

). Mostre que A e invertıvel se ∆ = ad− bc 6= 0 e calcule A−1.

9. Seja A ∈Mn.

a) Se A3 = 0 entao mostre que I − A e uma matriz invertıvel.

b) Em geral, se An = 0 para algum n ∈ N, entao mostre que a matriz I − A einvertıvel.

c) Suponha que A3 −A− I = 0. Entao mostre que a matriz A e invertıvel.

10. Seja A =

(cosθ −senθsenθ cosθ

). Mostre que A2 =

(cos2θ −sen2θsen2θ cos2θ

). Use inducao

para determinar An, onde n ∈ N.


11. Use sistema de Julio Cesar para decodificar a seguinte mensagem:HVWXGDUAPHAIDCAEHP

12. Decodifique a seguinte mensagem:

(2314

) (8952

) (6743

) (10352

) (116

) (3920

)

(4521

) (169

) (3920

) (5130

) (4324

) (5637

)

Capıtulo 3

Sistemas de Equacoes e Inversao deMatrizes

3.1 Forma Reduzida de Matrizes

Vimos, no final do capıtulo anterior, a importancia da existencia de matriz inversana resolucao de sistema de equacoes lineares, como ilustra o seguinte exemplo:

2x +4y = 803x +2y = 60

fazendo uso da notacao matricial segue que:

(2 43 2

)(xy

)=

(8060

)

entao, calculando a inversa da matriz

(2 43 2

)−1

=

(−1/4 1/23/8 −1/4

), a solucao do

sistema linear anterior e dada por :

X =

(xy

)=

(−1/4 1/23/8 −1/4

)(8060

)=

(1015

)

Veja que na solucao que encontramos no problema acima, usamos o calculo da inversa

da matriz

(2 43 2

). Esta e a unica forma de calcular o conjunto solucao de

sistemas de equacoes lineares?. E se tivermos uma outra maneira de calcularo conjunto de solucoes do sistema linear, modificando o sistema original?. Seraque o conjunto de solucoes do sistema de equacoes lineares e o mesmo?. Seraque e possivel transformasr este sistema de equacoes lineares em um outromuito mais simples?. Como poderia ser feito isto?. Sera que o conjunto desolucoes do sistema inicial e o do sistema transformado coincidem?. A partir

37

CAPITULO 3. SISTEMAS DE EQUACOES E INVERSAO DE MATRIZES 38

do exemplo anterior podemos mostrar o seguinte processo de resolver o mesmo sistemade equacoes lineares, para tentar responder algumas das perguntas feitas anteriormente:

L1 : 2x +4y = 80L2 : 3x +2y = 60

Se multiplicarmos L1 por 12temos o seguinte novo sistema de equacoes :

L1 : x +2y = 40L2 : 3x +2y = 60

A seguir, podemos multiplicar a primeira equacao do sistema L1 por −3 e somar coma segunda equacao L2, desta forma obtemos o seguinte sistema:

L1 : x +2y = 40L2 : 0x −4y = −60

Agora, se multiplicarmos a segunda equacao L2 por −14

temos o seguinte sistema deequacoes:

L1 : x +2y = 40L2 : 0x +y = 15

Finalmente, se multiplicamos a segunda equacao L2 por −2 e somamos com L1 temos:

L1 : x +0y = 10L2 : 0x +y = 15

Observe que, o conjunto solucao do sistema de equacoes acima e o mesmo encontradofazendo uso do calculo de inversa. O metodo descrito no exemplo e conhecido como ometodo de Gauss1 para resolver sistemas de equacoes. Veja que se mudarmos de ordemas equacoes anteriores ou, se multiplicamos a igualdade por uma constante nao nula assolucoes do sistema continuam sendo as mesmas, entao consideremos a seguinte definicao.

Definicao 3.1.1 Chamaremos de operacoes elementares em um sistema de equacoes li-neares, as seguintes :

a) Trocar a ordem das equacoes do sistema .

b) Multipilicar uma equacao do sistema por uma escalar nao nulo.

c) Somar a uma equacao do sistema o multiplo escalar de outra equacao do sistema.

Veja que as operacoes descritas na definicao anterior, diz que as novas equacoes resul-tantes, depois de aplicar estas operacoes elementares, sao somas e multiplos escalares dasequacoes originais, ou sao uma ”combinacao linear”das equacoes anteriores. Esta nocaode combinacao linear, sera mostrada com mais clareza e detalhe no capıtulo 4. Mas temosa seguinte definicao:

1Carl Friederich Gauss(1777-1855), e considerado por muitos matematicos , como o maior Matematicoque ja existiu, e por muitos denominado o ”Principe da Matematica”


Definicao 3.1.2 Diremos que dois sistemas de equacoes lineares A e B sao equiva-

lentes quando cada equacao do sistema de equacoes lineares B pode-se obter como umacombinacao linear das equacoes do sistema de equacoes lineares A, ou vice-versa.

Logo, segue a seguinte proposicao.

Proposicao 3.1.1 Sistemas equivalentes de equacoes lineares, tem o mesmo conjunto desolucoes.

Fazendo uso da notacao matricial, introduzida no capıtulo anterior, no exemplo acima,temos a seguinte sequencia de novas matrizes associada a cada um dos novos sistemas deequacoes lineares obtidos no comenco deste capıtulo.

L1 : 2x +4y = 80L2 : 3x +2y = 60

(2 4 : 803 2 : 60

)

L1 : x +2y = 40L2 : 3x +2y = 60

(1 2 : 403 2 : 60

)

L1 : x +2y = 40L2 : 0x −4y = −60

(1 2 : 400 −4 : −60

)

L1 : x +2y = 40L2 : 0x +y = 15

(1 2 : 400 1 : 15

)

L1 : x +0y = 10L2 : 0x +y = 15

(1 0 : 100 1 : 15

)

A partir do anterior temos a seguinte definicao.

Definicao 3.1.3 Seja A ∈ Mn,m. As seguintes operacoes efetuadas na matriz A, saochamadas de operacoes elementares de linhas :

ǫ1) Transposicao de duas linhas da matriz A.

ǫ2) Multiplicacao de uma linha da matriz A por um escalar nao nulo.

ǫ3) Subtituicao da r-esima linha da matriz A pela linha r-esima linha da matriz A maisc vezes a linha s da matriz A, onde 0 6= c ∈ K e r 6= s.

Veja que estas operacoes elementares nas linhas podem ser vistas como aplicacoesǫi : Mn,m−→Mn,m, onde i = 1, 2, 3 na definicao anterior. Neste sentido, para cadaoperacao elementar ǫi existe uma operacao elementar do mesmo tipo ǫi

′ tal que

ǫi(ǫi′(A)) = A = ǫi

′(ǫi(A))

para todo i = 1, 2, 3.No decorrer deste texto, sempre trabalharemos com operacoes elementares

nas linhas, com isto queremos destacar que e possıvel fazer um trabalho similarconsiderando operacoes elementares somente nas colunas.


Definicao 3.1.4 Sejam A,B ∈ Mn,m. Diremos que a matriz A e equivalente a matrizB, se existe um numero finito de operacoes elementares α1, α2, · · · , αn tal que

α1α2 · · ·αn(A) = B

Que denotaremos por A ∼ B.

Agora vamos responder a uma das perguntas feitas anteriormente, a saber, dadosdois sistemas de equacoes lineares equivalentes, eles tem o mesmo conjuntosolucao?, por meio da seguinte proposicao.

Proposicao 3.1.2 Sejam [A : Y ], [B : Z] duas matrizes aumentadas correspondentes asistemas de equacoes lineares de n equacoes e m indeterminadas. Se [A : Y ] ∼ [B : Z],entao os sistemas de equacoes AX = Y e BX = Z tem o mesmo conjunto solucao.

Dem. Sejam [A : Y ], [B : Z] matrizes aumentadas tais que [A : Y ] ∼ [B : Z], entao existeuma sucessao finita de operacoes elementares tal que leva a matriz [A : Y ] na matriz[B : Z], isto e,

[A : Y ] = [A0 : Y0] → [A1 : Y1] → · · · → [Ak : Yk] = [B : Z]

Observe que se conseguirmos provar a proposicao para um dos passos, isto e, que osistema AjX = Yj e o sistema Aj+1X = Yj+1, sao equivalentes, entao terao o mesmoconjunto de solucoes, a proposicao segue.

Sem perda de generalidade, vamos supor que realizamos uma operacao elementar namatriz [A : Y ] e obtemos a matriz [B : Z], entao temos que as equacoes do sistema deequacoes lineares BX = Z sao uma combinacao das equacoes do sistema de equacoeslineares de AX = Y , e vice versa, pois recordemos que existem as operacoes elementaresinversas. Portanto, os sistemas sao equivalentes e, portanto tem o mesmo conjunto desolucoes como querıamos.

Consideremos o seguinte exemplo.

Exemplo 3.1.1 Sejam o sistema de equacoes lineares e a matriz aumentada consideradaanteriormente,

L1 : 2x +4y = 80L2 : 3x +2y = 60

(2 4 : 803 2 : 60

)

onde mostramos a seguinte sequencia de passos, usando operacoes elementares na matrizaumentada, como segue:

(2 4 : 803 2 : 60

)→1

2L1

(1 2 : 403 2 : 60

)→

−3L1+L2

(1 2 : 400 −4 : −60

)→

−1

4L2

(1 2 : 400 1 : 15

)→

−2L2+L1

(1 0 : 100 1 : 15

)


Como vimos anteriormente, o conjunto solucao dos sistemas de equacoes associados

e o mesmo, veja que a partir 3.1.2 o conjunto solucao associado a

(2 4 : 803 2 : 60

)e

(1 2 : 403 2 : 60

)e o mesmo, e de maneira analoga o conjunto solucao de

(1 2 : 403 2 : 60

)

e o de

(1 2 : 400 −4 : −60

)tambem e o mesmo. Portanto, podemos concluir que o con-

junto solucao associado a

(2 4 : 803 2 : 60

)e

(1 0 : 100 1 : 15

)e o mesmo, como querıamos

mostrar.

Definicao 3.1.5 Seja R ∈ Mn,m. Diremos que a matriz R e escalonada reduzida

por linhas se:

a) O primeiro elemento nao nulo em cada linha nao nula da matriz R e 1 (da esquerdapara direita).

b) Cada coluna da matriz R que tem o primeiro elemento nao nulo de alguma linha temtodos os outros elementos da coluna nulos.

c) Todas as linhas nulas da matriz R (se existirem) estao abaixo das linhas nao nulas damatriz R.

d) Se as linhas 1, ..., r sao as linhas nao nulas da matriz R, e o primeiro elemento naonulo da linha i ocorre na ji-esima coluna (i = 1, ..., r), entao o primeiro elementonao nulo da linha i+ 1 ocorre na coluna ji+1, onde ji+1 > ji.

Na maioria dos textos de Algebra Linear, os itens a, b da definicao anterior correspon-dem ao conceito de matriz reduzida. A importancia do conceito anterior esta dado naseguinte proposicao.

Proposicao 3.1.3 Seja A ∈ Mn,m. Entao, a matriz A e equivalente a uma matrizescalonada reduzida por linha.

Dem. Seja A ∈ Mn,m. Se a matriz A tiver alguma linha nula, entao fazendo uso dastransposicoes de linhas podemos colocar estas linhas na parte inferior da matriz A, ob-tendo assim uma nova matriz que denotaremos por A1, entao podemos assumir que amatriz A e equivalente a matriz A1. Sem perda de generalidade, podemos supor que aprimeira linha de A1 nao e nula. Se o primeiro elemento nao nulo desta linha nao nulaestiver na coluna j, digamos a1j e nao for 1, entao podemos aplicar a segunda operacaoelementar multiplicando a primeira linha por 1/a1j . Agora, podemos ter que o primeironovo termo nao nulo da nova matriz e 1, entao fazendo uso da terceira operacao elemen-tar podemos anular todos o termos abaixo deste 1, que como a matriz e finita, temos umnunero finito de operacoes elementares a serem feitas. De maneira analoga ao anteriorprocedemos com a segunda linha, mas desta vez anulamos tambem os elementos nao nulos


acima deste termo igual a 1, continuando com este processo ate a r-esima linha nao nula.Claramente, so falta agora colocar a matriz para que a condicao d seja satisfeita, maspara isso basta usar transposicoes de linhas, para colocar as linhas nao nulas em ordemcrescente. Finalmente temos que a matriz A e equivalente a uma matriz R escalonadareduzida, como querıamos.

Como consequencia da proposicao anterior, temos a seguinte aplicacao.

Proposicao 3.1.4 Seja A ∈ Mn,m tal que n < m, entao o sistema homogeneo AX = 0admite uma solucao nao trivial.

Dem. Como toda matriz A e equivalente a uma matriz R escalonada reduzida, pelaproposicao anterior segue que os sistemas homogeneos AX = 0 e RX = 0 admitem omesmo conjunto de solucoes. Logo estudemos o sistema RX = 0. Seja r o numero delinhas nao nulas da matriz R, logo segue que r ≤ n < m, portanto teremos no sistemahomogeneo mais indeterminadas que equacoes, logo admite solucoes nao triviais, ou sejaque o sistema homogeneo AX = 0 admite solucoes nao triviais.

Veja que esta proposicao diz que um sistema homogeneo da forma AX = 0, ondeA ∈ Mn,m, so tem solucao trivial se o numero de linhas da matriz A e menor ou igualao numero de colunas desta matriz. Esta observacao e muito importante para a seguinteproposicao.

Proposicao 3.1.5 Seja A ∈Mn, e se o sistema de equacoes lineares homogeneo AX = 0admite so a solucao trivial, entao a matriz A e equivalente a matriz identidade In.

Dem. Seja R a matriz escalonada reduzida associada a matriz A, e r o numero de linhasnao nulas da matriz R. Como o sistema AX = 0 so admite a solucao trivial, entao osistema RX = 0 tambem tem so a solucao trivial. Entao, pela proposicao 3.1.4 temosque r ≥ n, mas por outro lado r ≤ n que e o numero de linhas nao nulas da matriz R,portanto r = n. Logo, a partir da definicao de R temos que R = In, como querıamos.

Exemplo 3.1.2 Consideremos o seguinte sistema homogeneo:

x +y +z = 02y +z = 0y +z = 0

admite somente a solucao trivial, entao e equivalente ao sistema homogeneo:

x = 0y = 0

z = 0

onde a matriz R neste caso e a matriz identidade I3.


Consideremos agora o caso nao homogeneo. Seja [A : Y ] a matriz aumentada associadaao sistema nao homogeneo AX = Y , e seja [R : Z] a matriz escalonada reduzida associadaa [A : Y ], e claro!!, associada ao sistema nao homogeneo RX = Z. Como ambos sistemastem o mesmo conjunto de solucoes, basta estudar o sistema RX = Z. Seja r o numero delinhas nao nulas da matriz R, entao segue que existem (n− r) indeterminadas em funcaodas r outras indeterminadas x1, ..., xr e escalares z1, ..., zr. Logo, as (n − r) equacoesrestantes sao da forma :

0 = zr+1...

...0 = zn

Portanto, para um sistema nao homogeneo ter solucao, ou ser consistente, temos quezi = 0 para todo i > r, caso contrario, diremos que o sistema de equacoes lineares einconsistente. Para exemplificar o anterior vejamos o seguinte exemplo.

Exemplo 3.1.3 Consideremos o seguinte sistema de equacoes lineares nao homogeneo:

2x +y +z = 7y +z = 4

x = 1

Logo, a matriz aumentada e reduzida escalonada associada e dada por :

2 1 1 70 1 1 41 0 0 1

→

L1∼L3

1 0 0 10 1 1 42 1 1 7

→

−2L1+L3

1 0 0 10 1 1 40 1 1 5

→

−L2+L3

1 0 0 10 1 1 40 0 0 1

onde a ultima matriz

1 0 0 10 1 1 40 0 0 1

e escalonada reduzida, associada a matriz A, do

sistema AX = B, dado acima. Pela ultima linha desta matriz, que representa a equacao0x+ 0y + 0z = 1, vemos que o sistema nao homogeneo AX = Y e inconsistente.

Em geral temos o seguinte, dado um sistema nao homogeneo da forma AX = Bonde A ∈ Mn e X,B ∈ Mn,1, temos claramente um sistema homogeneo associado, asaber, AX = 0. Sera que existe relacao entre os conjuntos de solucoes dos dois sistemasanteriores? (Homogeneo e nao Homogeneo?). Vamos supor que o sistema nao homogeneoadmite uma solucao, digamos v ∈ Mn,1 tal que Av = B. Se considerarmos agora, umasolucao u ∈ Mn,1 qualquer do sistema homogeneo AX = 0, e simples verificar que u+ vtambem e uma solucao do sistema nao homogeneo AX = B. Entao temos o seguinteresultado.


Proposicao 3.1.6 Seja v ∈Mn,1 uma solucao do sistema nao homogeneo AX = B ondeA ∈Mn e X,B ∈Mn,1. Entao toda solucao do sistema nao homogeneo e da forma v+uonde u ∈M1,n percorre as solucoes do sistema homogeneo AX = 0 associado a AX = B.

Dem. So resta mostrar que toda solucao do sistema nao homogeneo AX = B e da formav+u onde v e a solucao particular fixa do sistema nao homogenea, e u percorre as solucoesdo sistema homogeneo AX = 0. Seja z ∈M1,n uma solucao qualquer de AX = B, entaocomo z e solucao temos :

n∑

j=1

aijzj = bi

Mas, como v e uma solucao particular de AX = B segue que:

n∑

j=1

aijvj = bi

Portanto, fazendo a diferenca das duas igualdades anteriores segue que

n∑

j=1

aij(zj − vj) = 0

Portanto, z − v e uma solucao do sistema homogeneo AX = 0. Entao, existe umasolucao u do sistema homogeneo AX = 0 tal que esta solucao e da forma u = z − v, istoe, z = u+ v como querıamos.

Exemplo 3.1.4 Consideremos o sistema de equacoes lineares dado no exemplo 3.1.1 dadopor :

L1 : 2x +4y = 80L2 : 3x +2y = 60

Entao, podemos considerar a solucao (x = 10, y = 15) como sendo uma solucao parti-cular do sistema nao homogeneo. Entao procuremos a solucao geral do sistema homogeneoassociado, isto e, procuremos a solucao de :

L1 : 2x +4y = 0L2 : 3x +2y = 0

que claramente tem como solucao (x = 0, y = 0, entao a solucao de

L1 : 2x +4y = 80L2 : 3x +2y = 60

e realmente (x = 10, y = 15) = (0, 0) + (10, 15)

Observe que se o sistema homogeneo AX = 0 admite infinitas solucoes,entao o sitema nao homogeneo AX = B tambem admite infinitas solucoes.


3.1.1 Exercıcios

1. Reduza cada uma das seguintes matrizes a sua forma escalonada reduzida.

a)

3 6 71 8 9

− 6 8 1

b)

2 8 − 72 − 3 5

− 5 6 1

c)

2 8 4− 1 4 0

6 24 12

2. Quais das seguintes matrizes sao equivalentes por linhas?.

a)

(3 6 02 1 4

)b)

(0 14 3

)c)

(2 14 3

)

d)

1 0 00 4 02 0 1

e)

− 2 1 0

4 − 3 25 6 1

f)

2 1 14 0 16 24 12

3. Usando escalonamento reduzido ache as solucoes dos seguintes sistemas, se tiver.

a)

x +y −z = 02x +5y −2z = 0

b)

x +y −z = 4x −y +z = 2

c)x −y +z = 0 d)

3x −6y +2z = 05x −y +3z = 0

e)

x −2y −z −w = 72x −3y = 3x −y −z +w = 1

f)

x −y +2z = 43x +y +4z = 6x +y +z = 1

4. Mostre, geometricamente (Fazendo o grafico de cada uma das equacoes do sistemalinear) e algebricamente (Usando as ferramentas desenvolvidas ate aqui), que oseguinte sistema e consistente.

x +y +z = 32y z = 2+y +z = 2

5. Mostre, geometricamente e algebricamente, que o sistema e inconsistente.

x +y = 2x −y = 02x +y = 2


3.2 Inversao de Matrizes

Nesta secao, estamos interessados em usar as informacoes dadas na secao 3.1, comrelacao a operacoes elementares, e trabalhar com o conceito de matrizes elementares paraencontrar condicoes necessarias e suficientes para que uma matriz A seja inversıvel.

Definicao 3.2.1 Seja A ∈Mn. Diremos que a matriz A e uma matriz elementar, seela se obtem da matriz identidade In, apos ter realizado uma operacao elementar em In.

Denotaremos por Ei = ǫi(In), a matriz elementar associada a operacao elementar ǫi,onde i = 1, 2, 3, da definicao 3.1.3.

Exemplo 3.2.1 Consideremos o caso particular n = 3 na definicao 3.2.1, e a partir dasoperacoes definidas em 3.1.3, podemos determinar algumas matrizes elementares ondec 6= 0 ∈ K:

• Com relacao a primeira operacao elementar ǫ1 podemos ter as seguintes matrizeselementares :

E11 =

0 1 01 0 00 0 1

E1

2 =

1 0 00 0 10 1 0

E1

3 =

0 0 10 1 01 0 0

Onde foi trocada a primeira linha com a segunda linha na primeira matriz, a segundalinha com a terceira linha na segunda matriz e finalmente primeira linha com aterceira linha.

• Com relacao a segunda operacao elementar ǫ2, temos as seguintes matrizes elemen-tares:

E21 =

c 0 00 1 00 0 1

E2

2 =

1 0 00 c 00 0 1

E2

3 =

1 0 00 1 00 0 c

Onde foi multiplicada a primeira linha, a segunda e terceira linha por uma constante0 6= c ∈ K, respectivamente.

• Com relacao a terceira operacao elementar ǫ3 temos as seguintes matrizes elemen-tares:

E31 =

1 c 00 1 00 0 1

E3

2 =

1 0 0c 1 00 0 1

E3

3 =

1 0 00 1 00 c 1

Onde foi multiplicada a segunda linha por uma constante c 6= 0 ∈ K e somadana primeira linha, a segunda matriz e o resutado de multiplicar a primeira linhapor uma constante c 6= 0 ∈ K e somada a segunda linha, e a terceira matriz foimultiplicado a segunda linha por uma constante c 6= 0 ∈ K e somada a terceiralinha.


Proposicao 3.2.1 Sejam A ∈ Mn,m , B ∈ Mp,n e ǫi uma operacao elementar nasmatrizes de ordem p× n, onde i = 1, 2, 3. Entao

(∗) ǫi(B) · A = ǫi(B · A)

Dem. Sejam B1, ..., Bp as linhas da matriz B, e C1, ..., Cp as linhas da matriz C = B ·A.A partir da definicao de produto de matrizes, temos que Ci = Bi · A, onde i = 1, ..., p.Como temos tres tipos de operacoes elementares, distinguiremos tres casos:

ǫ1) Trocar a linha r com a linha s.

ǫ1rs(C) =

C′

r = Bs ·AC

′

s = Br · AC

′

i = Ci i 6= r, s

ǫ2) Multiplicar a r-esima linha por c 6= 0 ∈ K.

ǫ2(C) =

C

′

r = cBr · AC

′

i = Ci i 6= r

ǫ3) Susbstituir a r-esima linha pela linha r mais c vezes a linha s.

ǫ3(C) =

C

′

r = (cBs +Br) · AC

′

i = Ci i 6= r

Claramente, em cada um dos casos anteriores temos que C′

j = ǫi(Bj) ·A, para todoj = 1, ..., p.

Veja que a proposicao 3.2.1 diz que, aplicar uma operacao elementar numa matriz B, edepois multiplicar este resultado pela matriz A e analogo a primeiro fazer a multiplicacaodas matrizes B e A e depois aplicar a operacao elementar. Como consequencia direta daproposicao 3.2.1, temos o seguinte corolario.

Corolario 2 Seja A ∈Mn,m e B = In. Entao

E ·A = ǫ(In) · A = ǫ(In · A) = ǫ(A)

onde E e uma matriz elementar.

Recordemos que ǫ(In) e uma matriz elementar, ou seja o corolario anterior diz que,realizar uma operacao elementar ǫi numa matriz A, e o mesmo que multiplicar a matrizA, pela matriz elementar ǫi(In) = Ei associada a operacao elementar ǫi, onde i = 1, 2, 3,definidas em 3.1.3. A partir da observacao apos a definicao 3.1.3, temos que toda matrizelementar e inversıvel.


Proposicao 3.2.2 Sejam A,B ∈ Mn,m. Entao A ∼ B se, e somente se, existe umamatriz inversıvel P ∈ Mn tal que A = P · B e a matriz P e o produto finito de matrizeselementares.

Dem. ⇒ ) Sejam A,B ∈Mn,m tal que A ∼ B. Logo sabemos que existe um numero finitode operacoes elementares, digamos ǫ1, ..., ǫt tal que ǫt ·ǫt−1 · · · ǫ1(A) = ǫt ·ǫt−1 · · · ǫ1(In)·A =B onde ǫt · ǫt−1 · · · ǫ1(In) = P e como cada uma das matrizes elementares Ei = ǫi(In) einversıvel, para todo i = 1, ..., t, segue que a matriz P e inversıvel.⇐ ) Vamos supor que existe uma matriz inversıvel P = Et · · ·E1, onde cada uma das

matrizes Ei, com i = 1, ..., t e matriz elementar e a matriz P e tal que A = P · B. Logosegue que E1B ∼ B, e E2 · E1 · B ∼ B, e assim sucessivamente. Mas como so temos umnumero finito de matrizes segue que A ∼ B.

Proposicao 3.2.3 Seja A ∈Mn. Entao sao equivalentes :

i) A matriz A e inversıvel.

ii) A matriz A tem inversa a esquerda.

iii) O sistema homogeneo AX = 0 so tem solucao trivial.

iv) A matriz A e o produto de matrizes elementares.

Dem. i)⇒ ii)) Seja A ∈ Mn inversıvel, entao por definicao ela tem inversa pela direitae esquerda.

ii) ⇒ iii)) Seja P a matriz inversa a esquerda da matriz A, logo multiplicando osistema linear AX = 0 pela matriz P pela esquerda segue que:

P (AX) = P · 0⇔ (P · A)X = 0⇔ InX = 0⇔ X = 0

Portanto, so tem a solucao trivial X = 0.iii) ⇒ iv)) Seja R a matriz reduzida escalonada associada a matriz A, entao segue

que RX = 0 so admite a solucao trivial, logo R = In. Portanto A ∼ In, e pela proposicao3.2.1, existe uma matriz inversıvel P , dada pelo produto de matrizes elementares, tal queA = P · In = P .

iv) ⇒ i)) Seja A = Et · · ·E1, onde Ei e uma matriz elementar com i = 1, ..., t. Logo,a matriz A e o produto finito de matrizes inversıveis, entao A e inversıvel.

Corolario 3 Seja A ∈ Mn. Se A tem inversa a esquerda (ou direita) entao ela e in-versıvel.

Corolario 4 Seja A ∈Mn. Se A ∼ In se, e somente se A e inversıvel.


Corolario 5 Seja A ∈ Mn. Se A e inversıvel, entao a mesma sequencia de operacoeselementares aplicada na matriz In, obtemos a matriz A−1.

Dem. Como a matriz A e inversıvel, temos que pelo corolario 4 que A ∼ In, isto e,A = Et · · ·E1 · In, onde as matrizes Et, ..., E1 sao matrizes elementares, logo inversıveis,portanto temos que E−1

1 · E−12 · · ·E−1

t · A = In e segue que A−1 = E−11 · E−1

2 · · ·E−1t =

ǫ−11 (In) · ǫ−1

2 (In) · · · ǫ−1t (In) = ǫ−1

1 · ǫ−12 · · · ǫ−1

t (In), como querıamos.

Corolario 6 Se [A : In] ∼ [In : P ], entao P = A−1

Dem. Como [A : In] ∼ [In : P ], segue que existe uma matriz inversıvel Q, dada peloproduto finito de matrizes elementares tal que [A : In] = Q · [In : P ]⇔ A = Q · In e In =Q · P ⇔ A−1 = Q−1 = P

Exemplo 3.2.2 Determinemos a matriz inversa de A =

2 4 33 6 52 5 2

. Pelo corolario 5

temos a seguinte matriz aumentada:

2 4 3 : 1 0 03 6 5 : 0 1 02 5 2 : 0 0 1

→

1

2L1

1 2 32

: 12

0 03 6 5 : 0 1 02 5 2 : 0 0 1

→

−3L1+L2

1 2 32

: 12

0 00 0 1

2: −3

21 0

2 5 2 : 0 0 1

→−2L1+L3

1 2 32

: 12

0 00 0 1

2: −3

21 0

0 1 −1 : −1 0 1

→

L2∼L3

1 2 32

: 12

0 00 1 −1 : −1 0 10 0 1

2: −3

21 0

→−2L2+L1

1 0 72

: 52

0 −20 1 −1 : −1 0 10 0 1

2: −3

21 0

→

2L3

1 0 72

: 52

0 −20 1 −1 : −1 0 10 0 1 : −3 2 0

→L3+L2

1 0 72

: 52

0 −20 1 0 : −4 2 10 0 1 : −3 2 0

→

−7

2L3+L1

1 0 0 : 13 −7 −20 1 0 : −4 2 10 0 1 : −3 2 0

Logo, a partir do corolario 5 temos a inversa da matriz A e dada pela matriz

A−1 =

13 −7 −2−4 2 1−3 2 0


Exemplo 3.2.3 No seguinte exemplo, mostraremos uma pequena aplicacao a sistemasde equacoes lineares do uso de inversa de matrizes. Seja o seguinte sistema de equacoeslineares :

2x +4y +3z = 33x +6y +5z = −12x +5y +2z = 2

Que matricialmente, o sistema anterior esta dado por : A·X = B onde A =

2 4 33 6 52 5 2

X =

xyz

e B =

3−12

.

Portanto, a solucao do sistema e dado por

X = A−1 · B =

13 −7 −2−4 2 1−3 2 0

·

3−12

=

39 + 7− 4−12− 2 + 2−9− 2 + 0

=

42−12−11

Exemplo 3.2.4 Recordemos que os geradores eletricos, como baterias, criam correnteseletricas num circuito eletrico e os resistores, como lampadas eletricas, limitam as mag-nitudes das correntes.

Existem tres quantidades basicas associadas a circuitos eletricos : Potencial eletrico

(E), a resistencia (R) e a intensidade (I), que sao medidas en Volt, Ohms e Amperesrespectivamente.

Em um circuito eletrico, o potencial eletrico entre dois pontos e dado pela diferenca depotencial ou queda de tensao entre estes dois pontos. O fluxo da corrente em um circuitoeletrico e dado por tres principios basicos :

a) A Lei de Ohm. A diferenca de potencial atraves de um resistor e o produto dacorrente que passa por ele e a resistencia : E=IR

b) A Lei da corrente de Kirchhoff. A soma algebrica da corrente fluindo ao interiorde qualquer circuito eletrico e igual a soma das correntes fluindo para fora do ponto.

c) A Lei de Voltagem de Kirchhoff. Em torno de qualquer circuito fechado, a somaalgebrica das diferencas de potencial e zero.

Entao, consideremos a seguinte figura a seguir, e fazendo uso dos tres princıpios an-teriores determinemos I1, I2 e I3 :

Logo, a partir do princıpio da corrente de Kirchhhoff, dado em b) anterior, segue que:

I1 = I2 + I3 No ponto AI2 + I3 = I1 No ponto B


B 50V

11Ω

7 Ω A

30V

>

>

>I I I12

3

3 Ω

Figura 3.1: Circuito Eletrico

Entao temos que I1−I2−I3 = 0. Fazendo, uso do principio da voltagem de Kirchhoff,dado em c) anterior, temos :

7I1 + 3I3 = −30−3I3 + 11I2 = −50

Agora, como I1 = I2 + I3 temos o seguinte sistema de equacoes lineares :

7I2 + 7I3 + 3I3 = −30−3I3 + 11I2 = −50

(7 10 −3011 −3 −50

)

Fazendo uso de operacoes elementares segue que :

(7 10 −3011 −3 −50

)→1

7L1

(1 10

7−307

11 −3 −50

)→

−11L1+L2

(1 10

7−307

0 −1317

−207

)

→−7

131L2

(1 10

7−307

0 1 20131

)→

−10

7L2+L1

(1 0 −590

131

0 1 20131

)

Portanto, temos que I2 =−590131

e I3 =20131

e logo, podemos tambem conhecer

I1 = I2 + I3 =−590131

+20

131=−570131

Como solicitado.


Na secao 3.1 definimos operacoes elementares sobre as linhas, mas de maneira analogapodem ser definidas operacoes elementares sobre as colunas, e ao igual que antes, obtertodos os resultados enunciados neste capıtulo trocando, nos enunciados dos resultados,linhas por colunas. Logo, podemos dizer que as matrizes A,B ∈ Mn,m sao equivalen-tes por coluna, que denotaremos por A∼

cB se fizermos um numero finito de operacoes

elementares nas colunas da matriz B ate obter a matriz A, e de maneira analoga dire-mos que uma matriz e dita elementar se ela pode-se obter da matriz identidade apos terfeito uma operacao elementar nas colunas da matriz identidade. Portanto, temos que,toda matriz elementar coluna e inversıvel e toda matriz inversıvel pode-se escrever comoum produto finito de matrizes elementares colunas. Mas, sempre estaremos interessadosnas operacoes linha, por uma questao de comodidade e familiaridade ao trabalhar comsistemas de equacoes lineares.

3.2.1 Exercıcios

1. Reduza a matriz A =

1 3 92 8 43 6 7

a uma matriz escalonada reduzida R. Escreva a

matriz elementar em cada um dos passos, e depois ache a matriz inversıvel P dadapelo produto destas matrizes elementares e verifique que R = PA.

2. Use o corolario 6 para verificar se a matriz e inversivel, e se for, calcule a sua inversaem cada um dos casos.

a)

3 −2 12 7 −31 9 3

b)

9 6 −25 1 81 0 7

c)

2 7 35 9 26 −5 3

d)

7 5 12−2 9 −311 4 6

e)

(3 17 −3

)f)

(5 −91 9

)

3. Seja A =

(a bc d

). Mostre, usando operacoes elementares que a matriz A e in-

versıvel se, e somente se, ad− bc 6= 0.

4. Ache a solucao do seguinte sistema de equacoes lineares, usando operacoes elemen-tares.

3x −7y = 4−2x +5y = 8

5. Uma empresa de componentes eletronicos, usa tres tipos de maquinas P , Q e Rpara produzir tres tipos de componentes eletronicos A, B e C. As maquinas P ,Q e R podem operar 80,60 e 90 horas por semana, respectivamente. A maquinaP requer duas horas para produzir o componente eletronico A, quatro horas paraproduzir o componente eletronico B e duas horas para produzir o componente C. A


maquina Q requer tres horas para produzir o componente eletronico A, duas horaspara produzir o componente eletronico B, e duas horas para produzir o componenteC. A maquina R requer duas horas para produzir o componente eletronico A, qua-tro horas para produzir o componente eletronico B, e uma hora para produzir ocomponente C. Estamos interessados em determinar o numero de unidades de cadacomponente eletronico produzidos pelas maquinas P , Q e R por semana.

6. Fazendo uso da figura abaixo, determine I1, I2 e I3.

B 8V

9Ω

10 Ω A

6V >

I I I12

3

3 Ω

< <

Figura 3.2: circuito eletrico

7. Fazendo uso do sistema alemao da primeira guerra mundial, visto no final do capıtuloanterior, para decodificar a seguinte mensagem:

675941

838949

11116987

589456

557638

609757

799553

493826

Capıtulo 4

Espacos Vetoriais

4.1 Espacos Vetoriais

Recordemos que nos capıtulos 2 e 3 trabalhamos o conjunto Mn,m das matrizes de nlinhas e m colunas, onde definimos a operacao soma (ou operacao interna) ⊕ : Mn,m ×Mn,m−→Mn,m tal que (Mn,m,⊕) era um grupo abeliano, mas tambem definimos o produtopor escalar (ou operacao externa) ⊙ : K×Mn,m−→Mn,m tal que eram validas as seguintespropriedades onde α, β, 1 ∈ K e A,B ∈Mn,m :

i) (α + β)⊙ A = α⊙ A⊕ β ⊙A

ii) α⊙ (A⊕B) = α⊙A⊕ α⊙ B

iii) (α · β)⊙A = α⊙ (β ⊙A)

iv) 1⊙ A = A

A pergunta que surge e a seguinte. Sera que existem outros conjuntos nao va-zios tais que possuam duas operacoes (uma operacao interna e um produto porescalar) tal que sejam satisfeitas todas as propriedaes enunciadas no paragrafoanterior?. Em outras palavras, como serıa a definicao de uma ”soma”neste conjunto e,como serıa a definicao de multiplicacao por escalar, tal que sejam validas todas as pro-priedades do paragrafo anterior?. Veja que ate agora as unicas operacoes que a maioriados nossos alunos conhece sao muito similares as enuncidas acima. Mas sera que exis-tem outras operacoes que atendam as exigencias das propriedades anteriores, isto e, teruma operacao interna que seja um grupo Abeliano, e com a operacao externa atenda aspropriedades dadas pelo produto escalar?. Entao, vejamos a seguinte definicao.

54

CAPITULO 4. ESPACOS VETORIAIS 55

Definicao 4.1.1 Seja V um conjunto nao vazio e K um corpo. Diremos que V e um K-espaco vetorial se existem uma operacao interna, que chamaremos de soma e denotaremospor ⊕ : V × V−→V tal que (V,⊕) e um grupo abeliano e uma multiplicacao por escalarque denotaremos · : K × V−→V tal que:

i) (α + β) · v = α · v ⊕ β · v

ii) α · (v ⊕ w) = α · v ⊕ α · w

iii) (αβ) · v = α · (β · v)

iv) 1 · v = v

onde α, β, 1 ∈ K e v, w ∈ V

Chamaremos de vetores os elementos do K-espaco vetorial V , e os denotaremos porletras minusculas. Denotaremos por 0 o vetor nulo de V e ele existe, pois (V,⊕) e umgrupo abeliano. Vejamos agora alguns exemplos.

Exemplo 4.1.1 Consideremos V = Mn,m com a soma ⊕ : Mn,m × Mn,m−→Mn,m eproduto por escalar · : K ×Mn,m−→Mn,m , entao pelo capıtulo 2 temos que (Mn,m,⊕, ·)e um K-espaco vetorial.

Exemplo 4.1.2 Seja V = R com a soma e produto usuais de R. Entao, temos que(R,+, ·) e um R-espaco vetorial. Observe que todo corpo K com as suas operacoes desoma e multiplicacao forma um K-espaco vetorial.

Exemplo 4.1.3 Seja V = C = a + bi/a, b ∈ R, onde i2 = −1 e K = R onde a somae dada por (a + bi) ⊕ (c + di) = (a + c) + (b + d)i e o produto por escalar e definido porα · (a + bi) = αa + αbi , e a + bi, c + di ∈ V , e α ∈ R, tambem forma um R-espacovetorial.

Exemplo 4.1.4 Seja V = p(x) = anxn + · · · + a0/ai ∈ K, i = 0, · · · , n onde a soma

p(x)⊕ q(x) =∑n

0 (ai+ bi)xi e a multiplicacao por escalar e dada por α ·p(x) =

∑n

0 (αai)xi

tambem forma um K-espaco vetorial.

Exemplo 4.1.5 Seja V = f : X−→K/X 6= Φ onde a soma f ⊕ g = (f + g)(x) =f(x) + g(x) e o produto por escalar α · f = (αf)(x) = αf(x). Entao, (V,⊕, ·) e umK-espaco vetorial.


Proposicao 4.1.1 Seja V um K-espaco vetorial. Entao sao validas:

i) ∀α ∈ K, temos que α · 0 = 0.

ii) 0 · v = 0.

iii) Se k · v = 0 onde k ∈ K, v ∈ V , entao k = 0 ou v = 0.

iv) ∀k ∈ K, ∀v ∈ V temos que (−k) · v = k · (−v) = −(k · v).

v) Sejam v1, · · · , vn ∈ V e c1, · · · , cn, d1, · · · , dn ∈ K entao

(c1 · v1 ⊕ · · · ⊕ cn · vn)⊕ (d1 · v1 ⊕ · · · ⊕ dn · vn) = (c1 + d1) · v1 ⊕ · · · (cn + dn) · vn

Dem.

i) Como o conjunto V 6= Φ e (V,⊕) e um grupo abeliano, temos que 0⊕0 = 0, segue quek · 0 = k · (0⊕ 0) = k · 0⊕ k · 0, agora como (V,⊕) e um grupo abeliano, temos quek · 0 = 0.

ii) Como K e um corpo, temos que 0+0 = 0, entao segue que 0·v = (0+0)·v = 0·v⊕0·v.Como (V,⊕) e um grupo abeliano, segue que 0 · v = 0.

iii) Seja k · v = 0, vamos supor que k 6= 0. Entao, como K e um corpo, todo elementonao nulo de K admite inverso multiplicativo, logo existe k−1 tal que k−1 · (k · v) =(k−1k) · 0 = 1 · 0 = 0 = v, como querıamos. Agora, se o vetor v 6= 0, temos queo escalar k pode ser zero ou diferente de zero, mas se for diferente de zero, peloanterior podemos concluir que o vetor v = 0, o que e uma contradicao. Portantok = 0.

iv) Como sabemos que v ⊕ (−v) = 0, para todo vetor v ∈ V , temos que 0 = k · 0k · (v ⊕(−v)) = k ·v⊕k ·(−v), portanto segue que, −(k ·v) = k ·(−v). Por outro lado, comoK e um corpo temos que k+(−k) = 0, logo 0 = 0 ·v = (k+(−k)) ·v = k ·v⊕(−k) ·v.Portanto, temos que −(k · v) = (−k) · v. Veja que se k = 1 temos que −v = (−1) · v.

v) Segue diretamente da associatividade e da distributividade de (V,⊕).


4.1.1 Exercıcios

1. Mostre que o corpo dos numeros complexos e um espaco vetorial real, e que todoelemento de C pode ser escrito como uma combinacao linear real dos elementos1, i ∈ C.

2. Seja V = R2

i) Definamos:(x, y) + (x′, y′) = (x+ x′, y + y′) e c(x, y) = (cx, cy) com c ∈ R. Comestas operacoes mostre que V e um espaco vetorial real.

ii) Definamos: (x, y) ⊕ (x′, y′) = (3y + 3y′,−x − x′) e c ⊙ (x, y) = (3cy,−cx).Verifique se V e um espaco vetorial real ou nao.

iii) Definamos: (x, y) + (x′, y′) = (x+ x′, y+ y′) e c(x, y) = (x+ c, y+ c). Verifiquese V e ou nao un espaco vetorial real.

3. Mostre que o conjunto S, solucao do sistema nao homogeneo AX = B, nao formaum espaco vetorial.

4. Mostre que o conjunto W = (0, x2, ..., xn) ∈ Rn com as operacoes usuais de somae produto por escalar de Rn forma um espaco vetorial real.

5. Verifique que o conjunto das matrizes diagonais de dois por dois, com as operacoesusuais de soma de matrizes e produto por escalar de matrizes, forma um espacovetorial real.

4.2 Subespacos Vetoriais

Um dos objetivos desta secao e dar uma forma mais pratica para poder decidir seum conjunto nao vazio V , juntamente com operacoes de soma e multiplicacao por escalar,forma um espaco vetorial ou nao.

Definicao 4.2.1 Seja V um k-espaco vetorial e seja W um subconjunto nao vazio de V .Se o subconjunto W de V , forma um espaco vetorial com as operacoes induzidas de V ,entao diremos que W e um subespaco vetorial do espaco vetorial V .

Veja que a definicao anterior, realmente nao ajuda muito para decidir se um conjuntoV e um espaco vetorial ou nao, pois para verificar se um subconjunto W de V e umsubespaco vetorial ou nao temos que mostrar que o conjunto (W,⊕) e um grupo abeliano,e (W, ·,⊕) satisfaz todas as propriedades do produto por escalar. Uma forma de resolvereste problema e dado pela seguinte proposicao.


Proposicao 4.2.1 Seja V um K-espaco vetorial e Φ 6= W ⊆ V . Entao W e um su-bespaco vetorial de V se, e somente se, ∀u, v ∈ W e α ∈ K o vetor α · u⊕ v ∈ W .

Dem. Seja V um K-espaco vetorial e Φ 6= W ⊆ V tal que W e um subespaco vetorialde V , portanto W e um espaco vetorial, logo segue que ∀u, v ∈ W, e α ∈ K, temos queα · u⊕ v ∈ W .

Seja W como acima, entao como Φ 6= W , entao W tem pelo menos um vetor, digamosu ∈ W , assim (−1)·u⊕u = 0 ∈ W , e logo temos que α·u = α·u⊕0 ∈ W para todo α ∈ K,em particular temos que (−1) · u = −u ∈ W , e tambem temos que u⊕ v = 1 · u⊕ v ∈ W

Exemplo 4.2.1 Seja V um K-espaco vetorial. Entao W = 0 e um subespaco vetorial,claramente se W = V , entao W tambem e um subespaco vetorial. Estes espacos vetoriaissao conhecidos como espacos vetoriais triviais. Veja que usando o fato de W = V naoe necessario verificar as oito propriedades de espaco vetorial, isto se reduz a verificar acondicao dada na proposicao 4.2.1, i.e., para mostrar que V e um K-espaco vetorial, bastaverificar a proposicao 4.2.1.

Exemplo 4.2.2 Sejam V = R3 e W = (x, y, z)/x, y, z ∈ Z. E facil verificar que seα ∈ R e (x, y, z) ∈ W , entao α · (x, y, z) = (αx, αy, αz) /∈ W , isto e, as coordenadas de(αx, αy, αz) nao sao necessariamente inteiras, logo nao pode estar em W . Portanto Wnao e um subespaco vetorial.

Exemplo 4.2.3 Seja V = Rn, e seja W = (0, x2, ..., xn)/xi ∈ R onde i = 2, ..., n.Veja que W e um subespaco vetorial, pois sejam (0, x2, ..., xn), (0, y2, ..., yn) ∈ W e sejaα ∈ R, entao α · (0, x2, ..., xn) ⊕ (0, y2, ..., yn) = (0, αx2 + y2, ..., αxn + yn) ∈ W , pois emW estao todas as n-uplas que tem a primeira coordenada nula.

Exemplo 4.2.4 Seja V = f : R−→R/f e uma funcao real, entao os seguintes conjun-tos sao subespacos vetoriais de V . Claramente o conjunto W = f ∈ V/f e continua esubespaco vetorial de V, pois a partir dos cursos de calculo temos que a soma de funcoescontınuas e contınua, e produto de funcoes contınuas tambem e contınua, em particular amultiplicacao por escalar. Consideremos agora o conjunto Wp = f ∈ V/f(−x) = f(x),que e o conjunto das funcoes pares, e consideremos o conjunto Wi = f ∈ V/f(−x) =−f(x) que e o conjunto das funcoes ımpares, ambos conjuntos sao subespacos vetoriaisde V .

Exemplo 4.2.5 Seja V = p(x) =∑n

0 aixi/ai ∈ K, ∀i = 0, ..., n e seja W = p(x) ∈

V/ai = 0 se i e impar. Entao, a soma de polinomios de grau par continua sendo degrau par, e como multiplicacao por escalar nao altera o grau do polinomio, temos que We um subespaco vetorial de V .

Exemplo 4.2.6 Seja V = Mn,m e consideremos os conjuntos Ws = A ∈ V/At = Ae Wa = A ∈ V/At = −A. Como visto no capıtulo 2, temos que tanto o conjunto Ws

como o conjunto Wa sao subespacos vetoriais de V .


Proposicao 4.2.2 Seja V um K-espaco vetorial e sejam U e W subespacos vetoriais naovazios de V . Entao U

⋂W e um subespaco vetorial de V .

Dem. Veja que, como U,W sao subespacos nao vazios, entao o 0 ∈ U ∩ W . Sejamu, w ∈ U ∩W e α ∈ K, entao u, w ∈ U e u, w ∈ W , logo segue que α · u ⊕ v ∈ U eα · u ⊕ v ∈ W pois U e W sao subespacos vetoriais de V , portanto α · u ⊕ v ∈ U ∩Wcomo querıamos. Portanto, U ∩W e um subespaco vetorial de V .

Exemplo 4.2.7 Seja S o conjunto solucao do seguinte sistema de equacoes homogeneo :

a11x1+ · · · +a1mxm = 0...

...an1x1+ · · · +anmxm = 0

O sistema anterior pode ser visto matricialmente como AX = 0, onde a matriz Ae dada pelos coeficientes do sistema homogeneo. Claramente o conjunto solucao S =S1 ∩S2 ∩ ...∩Sn onde Si e o conjunto solucao da i-esima equacao do sistema homogeneo.Veja que cada Si e um subespaco vetorial de Km, pois sejam x1 = (x1

1, ..., x1m) e x2 =

(x21, ..., x

2m) ∈ Si, ou seja,

ai1x11 + · · ·+ aimx

1m = 0

ai1x21 + · · ·+ aimx

2m = 0

Entao, a partir da proposicao 4.2.1, temos que αx1+x2 ∈ Si (verifique). Em geral, sejamX,X ′ ∈ S e seja α ∈ K, entao A(α ·X⊕X ′) = (α)AX⊕AX ′ = (α)0⊕ 0 = 0. Portanto,o conjunto solucao S e um subespaco vetorial de Km.Observemos tambem que poderıamoster usado a proposicao 4.2.2 para concluir o anterior.

Exemplo 4.2.8 Sejam U = (x, 0) ∈ R2/x ∈ R, W = (0, y) ∈ R2/y ∈ R. Nao edifıcil verificar que tanto U como W sao subespacos vetoriais de R2. Veja que U ∪W =(x, y) ∈ R2/x = 0 ou y = 0 nao e um subespaco vetorial de R2, pois, (1, 1) = (1, 0) +(0, 1) /∈ U ∪W nao tem nenhuma das coordenadas igual a zero.

Definicao 4.2.2 Seja v ∈ V . Diremos que o vetor v e uma combinacao linear dos vetoresv1, ..., vn ∈ V , se existem escalares c1, ..., cn ∈ K tal que :

v = c1v1 + · · ·+ cnvn =n∑

1

civi

Exemplo 4.2.9 Seja V um K-espaco vetorial e sejam v1, ..., vn vetores quaisquer de V .Consideremos o seguinte conjunto W = v ∈ V/ existem c1, ..., cn ∈ K onde v =

∑n

1 civi.Entao, verifiquemos que o conjunto W e um subespaco de V . Sejam u =

∑n

1 aivi, v =∑n

1 civi ∈ W e seja α ∈ K, entao temos que

αu+ v = α(n∑

1

aivi) +n∑

1

civi =n∑

1

αaivi +n∑

1

civi =n∑

1

(αai + ci)vi ∈ W

Portanto W e um subespaco vetorial de V .


Definicao 4.2.3 Seja V um K-espaco vetorial. Diremos que o conjunto de vetores de Vv1, ..., vn, gera o espaco vetorial V , se ∀v ∈ V , existem escalares c1, ..., cn ∈ K tal que

v = c1v1 + · · ·+ cnvn =

n∑

1

civi

V = [v1, ..., vn] denotara que o espaco vetorial V e gerado pelo conjunto v1, ..., vn

Exemplo 4.2.10 Seja V = R2, e sejam e1 = (1, 0), e2 = (0, 1). Entao, este conjuntogera V , pois, para quaisquer (x, y) ∈ V temos que (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) = xe1 + ye2.Portanto o conjuto e1, e2 e um conjunto gerador de V ou V = [e1, e2].

Exemplo 4.2.11 Seja V = R3 e seja v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0), v3 = (1, 1, 0), entaoeste conjunto nao gera V , pois basta considerar um vetor v = (x, y, z) tal que a terceiracoordenada seja diferente de zero, entao nao e possıvel achar escalares c1, c2, c3 ∈ R talque v = c1v1 + c2v2 + c3v3.

Exemplo 4.2.12 Seja V = M2 o conjunto das matrizes de dois por dois, entao o con-

junto formado pelas matrizes E1 =

(1 00 0

), E2 =

(0 10 0

), E3 =

(0 01 0

), E4 =

(0 00 1

) e um conjunto gerador de V , pois para qualquer matriz A ∈ V temos que :

A =

(a bc d

)= aE1 + bE2 + cE3 + dE4

Exemplo 4.2.13 Denotemos por P3(x) o conjunto de todos os polinomios de grau menorou igual a tres, isto e, P3(x) = p(x) =

∑31 aix

i/ai ∈ K, i = 1, 2, 3. ConsideremosV = P3(x) entao o conjunto p0(x) = 1, p1(x) = x, p2(x) = x2, p3(x) = x3 e um conjuntogerador de V = P3(x).

Exemplo 4.2.14 Sejam S1, S2 dois subespacos vetoriais de V , e consideremos o conjuntoS1 + S2 = s1 + s2/s1 ∈ S1, s2 ∈ S2. Entao S1 + S2 e um subespaco vetorial de V .

Exemplo 4.2.15 Seja V = Mn e sejam S1 = A ∈ V/At = A e S2 = A ∈ V/At =−A, entao V = S1 + S2.

Exemplo 4.2.16 Seja V = f : K−→K/f e funcao e sejam S1 = f ∈ V/f(−x) =f(x) e S2 = f ∈ V/f(−x) = −f(x), entao V = S1 + S2


4.2.1 Exercıcios

1. Seja V = R3. Verifique se W e um subespaco vetorial de V .

a) W = (x, y, z) ∈ V/x+ y + z = 0b) W = (x, y, z) ∈ V/x ≥ 0c) W = (x, y, z) ∈ V/x2 + y2 + z2 ≧ 0d) W = (x, y, z) ∈ V/x, y, z ∈ Qe) W = (x, y, z) ∈ V/xyz = 0

2. Se V = Mn(K), onde n ≧ 2. Verifique se os seguintes subconjuntos de V saosubespacos vetoriais de V .

a) W = A ∈ V/AT = TA.b) W = A ∈ V/A2 = A.c) W = A ∈ V/det(A) 6= 0.d) W = A ∈ V/det(A) = 0.

3. Seja V = f : R−→R o espaco das funcoes reais. Verifique quais dos seguintesconjuntos e um subespaco vetorial de V .

a) W = f : R−→R/f(0) = f(1)b) W = f : R−→R/f(3) = 0c) W = f : R−→R/f ′(0) = 1d) W = f : R−→R/f(x) ≤ 0

4. Seja V = Pn(R) o espaco vetorial dos polinomios de grau menor ou igual a ncom coeficientes reais. Determine se os seguintes conjuntos sao ou nao subespacosvetoriais de V .

a) W = P5(R)

b) W e o conjunto dos polinomios de grau n.

c) W e o conjunto dos polinomios de grau par menor ou igual a n.

d) W = Pn(Z)

5. Seja V um espaco vetorial, e W1,W2 subespacos vetoriais de V . Entao mostre quese W1 ∪W2 e um subespaco vetorial de V , entao temos que W1 ⊂W2 ou W2 ⊂W1.

6. Seja V um espaco vetorial e W1,W2 subespacos vetoriais de V . Mostre que se V =W1 +W2 e W1 ∩W2 = 0, entao todo vetor v ∈ V pode-se escrever de maneira unicacomo combinacao linear de W1 e de W2. Neste caso diremos que o espaco vetorialV e a soma direta dos subespcos W1 e W2 que denotaremos por V = W1 ⊕W2.


7. Prove que os espacos vetoriais V = Mn e V = f : R−→R admitem uma decom-posicao em soma direta de subespacos vetoriais.

8. Seja V o espaco vetorial formado por todas as retas no plano R2. Sejam L1, L2 ∈ Ve W = L ∈ V/L e ortogonal as retas L1, L2 um subconjunto de V . Mostre queo conjunto W nao e um subespaco vetorial de V .

9. Seja V o espaco vetorial formado por todas as retas no plano R2. Seja W = L ∈V/L = ax onde a ∈ R um subconjunto de V , entao mostre que W e um subespacovetorial de V .

10. Deteremine o valor de c tal que o vetor x = (1,−2, c) ∈ R3 seja combinacao lineardos vetores x1 = (3, 0,−2), x2 = (2,−1,−5).

11. Escreva o polinomio p(t) = t3 + 4t2 + t+ 1 como combinacao linear dos polinomiosp1(t) = t3 + t− 2, p2(t) = −t2 + 2t+ 4, p3(t) = t+ 5.

12. Mostre que o conjunto de vetores (0, 1,−1), (0, 1, 1), (1, 1, 1) gera o espaco vetorialR3.

13. Descreva geometricamente os subespacos vetoriais de R3 gerados pelos seguintesconjuntos.

a) (0, 1, 2), (0, 2, 3), (0, 3, 1)b) (0, 2, 1), (1, 1, 1), (2, 1, 4)c) (1, 2, 3), (1,−1, 1)

14. Mostre que o conjunto (

1 00 1

),

(0 11 0

) nao gera V = M2.

15. Mostre que o conjunto (1− t)3, (1− t)2, 1− t, 1 gera o espaco vetorial V = P3(K).


4.3 Dependencia e Independencia Linear

Um dos conceitos mais importantes em Algebra Linear e o de dependencia e inde-pendencia linear, que e tambem muito usado em outras areas da Matematica ou na areade exatas, como em equacoes diferenciais ordinarias, para decidir se duas ou mais solucoesde uma equacao diferencial sao linearmente independentes ou nao, para construir o espacocompleto de solucoes da equacoes diferenciais ordinarias. Este conceito e dado na seguintedefinicao.

Definicao 4.3.1 Seja V um K-espaco vetorial e seja v1, ..., vn um conjunto de vetoresde V . Se a unica solucao para a equacao vetorial

c1v1 + · · ·+ cnvn = 0

e c1 = c2 = · · · = cn = 0, entao diremos que o conjunto v1, ..., vn e linearmente in-

dependente que denotaremos por LI, caso contrario diremos que o conjunto v1, ..., vne linearmente dependente, que denotaremos por LD.

Exemplo 4.3.1 Seja V = R3 e seja e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1), logo esteconjunto e um conjunto linearmente independente.

Exemplo 4.3.2 Seja V = R2 e consideremos o seguinte sub-conjunto de V = R2, v1 =(1, 1), v2 = (2, 5) que e LI, pois sejam c1, c2 ∈ K tal que:

c1v1 + c2v2 = c1(1, 1) + c2(2, 5) = (c1 + 2c2, c1 + 5c2) = (0, 0)

se e somente se c1 = c2 = 0. Portanto, o conjunto v1 = (1, 1), v2 = (2, 5) e linearmenteindependente.

Exemplo 4.3.3 Seja V = P3(t), e consideremos o sub-conjunto de V = P3(t) dado porp1(t) = t3+4t2+2t+3 ; p2(t) = t3+6t2− t+4; p3(t) = 3t3+8t2−8t+7, este conjuntoe um conjunto LD, pois sejam c1, c2, c3 ∈ K tal que

c1p1(t)+ c2p2(t)+ c3p3(t) = c1(t3+4t2+2t+3)+ c2(t

3+6t2− t+4)+ c3(3t3+8t2−8t+7)

(c1+c2+3c3)t3+(4c1+6c2+8c3)t

2+(2c1−c2−8c3)t+(3c1+4c2+7c3) = 0t3+0t2+0t+0

admite uma solucao nao trivial ou nao nula, logo o conjunto p1(t) = t3 + 4t2 + 2t +3; p2(t) = t3 + 6t2 − t+ 4; p3(t) = 3t3 + 8t2 − 8t+ 7 e linearmente dependente.

Exemplo 4.3.4 Seja V = M2 e consideremos o conjunto v1 =

(1 −13 0

); v2 =

(2 −26 0

). Este conjunto e LD, pois sejam c1, c2 ∈ K tal que

c1v1 + c2v2 = c1

(1 −13 0

)+ c2

(2 −26 0

)=

(0 00 0

)


de onde temos que c1 = 1, c2 = −2, portanto o conjunto v1 =

(1 −13 0

); v2 =

(2 −26 0

) e linearmente dependente.

Proposicao 4.3.1 Sejam r, n ∈ N tal que r > n. Entao qualquer conjunto com r vetoresde Kn e linearmente dependente.

Dem. Seja v1, ..., vr um conjunto de r vetores em Kn e sejam c1, ..., cr ∈ K tal que:

c1v1 + · · ·+ crvr = 0

Como vi ∈ Kn, entao tem n coordenadas e cada uma das coordenadas de∑r

1 civie igual a zero. Logo, temos um sistema homogeneo de n equacoes iguais a zero, ondeo numero de indeterminadas e maior que o numero de equacoes, portanto admite umasolucao nao trivial, logo o conjunto e linearmente dependente como querıamos.

Proposicao 4.3.2 Seja V um K-espaco vetorial. O conjunto v1, ..., vn, onde n ≥ 2, elinermente dependente se, e somente se, pelo menos um dos vetores e uma combinacaolinear dos outros vetores.

Dem. ⇒) Seja v1, ..., vn um conjunto linearmente dependente de V . Entao, existemescalares c1, ..., cn nao todos nulos tal que

c1v1 + · · ·+ cnvn = 0

Sem perda de generalidade, podemos supor que c1 6= 0, entao segue que:

c1v1 = −c2v2 − · · · − cnvn

v1 = −c2c1v2 − · · · −

cnc1

Portanto, o vetor v1 e uma combinacao linear dos vetores v2, ..., vn.⇐) Sem perda de generalidade, vamos supor que v1 = c2v2 + · · ·+ cnvn logo, −v1 +

c2v2 + · · ·+ cnvn = 0, portanto o conjunto v1, ..., vn e linearmente dependente.

Corolario 7 Seja V um K-espaco vetorial. Qualquer subconjunto de vetores de V quecontenha um subconjunto linearmente dependente, e linearmente dependente.

Dem. Seja v1, ..., vn um subconjunto qualquer de vetores de V . Se o conjunto v1, ..., vnja e linearmente dependente, entao nao temos nada a mostrar. Consideremos o subcon-junto v1, ..., vr do conjunto v1, ..., vn linearmente dependente, onde r < n. Logo,existem escalares c1, ..., cr ∈ K, nao todos nulos tal que

c1v1 + · · ·+ crvr = 0⇔ c1v1 + · · ·+ crvr + 0vr+1 + · · ·+ 0vn = 0

Portanto, a combinacao anterior mostra que como os c′is nao sao todos nulos, entao oconjunto v1, ..., vn e um conjunto linearmente dependente.


Corolario 8 Seja V um K-espaco vetorial. Qualquer subconjunto v1, ..., vn de vetoresde V que contem o vetor nulo e linearmente dependente.

Corolario 9 Seja V um K-espaco vetorial. Qualquer subconjunto de um conjunto line-armente independente e linearmente independente.

Dem. Seja v1, ..., vn um subconjunto linearmente independente de vetores de V e sejav1, ..., vr um subconjunto de v1, ..., vn, isto e, r < n, pois se r = n nao temos nadaa mostrar. Se v1, ..., vr e linearmente dependente, entao pelo corolario 8 temos que oconjunto v1, ..., vn e linearmente dependente, o que induz a contradicao. Portanto osubconjunto v1, ..., vr e linearmente independente.

Exemplo 4.3.5 Seja V = R3, e seja u = (1,−2, 3), v = (2,−4, 6), w = (1, 1, 1) umsubconjunto de vetores de V . Este subconjunto e linearmente dependente, pois 2u − v +0w = (0, 0, 0).

4.3.1 Exercıcios

1. Mostre que:

a) Se v 6= 0 ∈ V , entao o conjunto formado pelo vetor v e, linearmente indepen-dente.

b) Sejam u, v ∈ V . O conjunto formado pelos vetores u e v sao linearmente depen-dentes se, e somente se, um deles e multiplo do outro.

2. Decida se o seguinte conjunto e LI ou LD e justifique.

a) u = (1,−3), v = (3, 5)b) u = (4, 3,−3), v = (2, 7, 5)

c) u =

(1 3 42 7 −5

), v =

(2 4 90 6− 3

)

d) p1(t) = 3t2 + 3t− 8, p2(t) = −t2 + 5t + 7

3. Determine tres vetores de R3 que sejam LD, mas, dois quaisquer destes vetoressejam LI.

4. Seja V um espaco vetorial e sejam u, v, w ∈ V , tal que o subconjunto u, v, w e LI,entao mostre que o conjunto u+ v, v + w, u+ w tambem e um conjunto LI.

5. Seja V = M2. Determine se os seguintes conjuntos sao LI ou LD e justifique.

a) A =

(1 −54 0

), B =

(3 −12 2

), C =

(1 33 1

)


b) A =

(1 00 0

), B =

(0 10 0

), C =

(0 01 1

)

6. Seja V = P3(R). Determine se o conjunto a seguir e LI ou LD e justifique.

a) p1(t) = 9t3 − 6t2 + 9t− 3, p2(t) = 3t3 − 3t+ 1b) p1(t) = 2t3 − 4t2 + 9t + 5, p2(t) = 3t3 − 8t2 − 8t+ 7

7. Seja V o espaco das funcoes reais. Determine se os seguintes conjuntos de funcoesa seguir sao LI ou LD e justifique.

a) f(t) = sent, g(t) = cost, h(t) = tb) f(t) = t2, g(t) = t, h(t) = 1

8. Mostre que os vetores u = (1 + i, 2i), v = (1, 1 + i) ∈ C2 sao linearmente indepen-dentes sobre o corpo C, mas nao sobre o corpo R.

9. Mostre que se o conjunto v1, ..., vn e LI e v1, ...vn, v e LD, entao o vetor v ecombinacao linear do conjunto v1, ...vn.

10. Sejam v1, ..., vn vetores LI, e suponha que v = a1v1+ · · ·+anvn, onde a1, ..., an ∈ K.Mostre que estes escalares sao unicos.

4.4 Base e Dimensao

Um dos objetivos de uma democracia, e achar um certo conjunto de representantesna populacao, denominados deputados, de tal maneira que com o parecer deles possamser definidas as metas e objetivos de um paıs, sem ter que a cada momento seja consultadaa populacao. Esta ideia pode ser vista na seguinte definicao.

Definicao 4.4.1 Seja V um K-espaco vetorial e seja B = v1, ..., vn um subconjunto devetores de V . Diremos que B e uma base de V se:

i) ∀v ∈ V , existem escalares c1, ..., cn ∈ K tal que v = c1v1 + · · ·+ cnvn.

ii) O conjunto B e linearmente independente.

Veja, que se o subconjunto B = v1, ..., vn forma uma base para o espaco vetorial V ,entao qualquer informacao de um outro elemento v do espaco vetorial V , pode ser obtidoa partir deste conjunto B = v1, ..., vn, que vem a ser os representantes do espaco vetorialV .

Exemplo 4.4.1 Sejam V = R3, e B = (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Entao, claramenteeste conjunto gera e e linearmente independente em V , portanto e uma base de V .


Exemplo 4.4.2 Seja V = M2 o conjunto das matrizes de dois por dois, entao o subcon-

junto B = E1 =

(1 00 0

), E2 =

(0 10 0

), E3 =

(0 01 0

), E4 =

(0 00 1

), e um

conjunto gerador de V , pois para qualquer matriz A ∈ V temos que :

A =

(a bc d

)= aE1 + bE2 + cE3 + dE4

Claramente e linearmente independente, portanto o subconjunto B e uma base de V =M2.

Exemplo 4.4.3 Seja S = (x, y, z) ∈ R3/z = x + y. Entao, qualquer vetor da forma(x, y, x+ y) esta no conjunto S. Mas, por outro lado, temos que

(x, 0, x) + (0, y, y) = x(1, 0, 1) + y(0, 1, 1)

Entao, o conjunto B = (1, 0, 1), (0, 1, 1) e uma base do conjunto S.

Exemplo 4.4.4 Seja V = P3(t), entao o conjunto B = p0(t) = 1, p1(t) = t, p2(t) =t2, p3(t) = t3 e uma base de V .

Exemplo 4.4.5 Seja V = R2, entao o vetor (1, 1) e linearmente independente em V , masnao e base, pois nao consegue gerar todo V , ele so pode gerar a reta r(1, 1). Por outrolado, o conjunto B = (1, 0), (0, 1), (1, 1) gera V , mas nao e linearmete independente.

Proposicao 4.4.1 Seja B = v1, ..., vn uma base de V . Entao, ∀v ∈ V , existem unicosc1, ...cn ∈ K tal que v = c1v1 + · · ·+ cnvn.

Dem. Como B e uma base de V , sabemos que existem escalares c1, ..., cn ∈ K tal quev = c1v1 + · · · + cnvn. Entao, resta mostrar que estes escalares sao unicos, logo vamossupor que existem outros escalares c

′

1, ..., c′

n ∈ K tal que

v = c1v1 + · · ·+ cnvn = c′

1v1 + · · ·+ c′

nvn ⇔ (c1 − c′

1)v1 + · · ·+ (cn − c′

n)vn = 0

Mas como B e base, logo e linearmente independente, entao temos que c1 = c′

1, ..., cn =c′

n mostrando assim a unicidade.

Proposicao 4.4.2 Sejam V um K-espaco vetorial, e B = v1, ..., vn uma base de V .Entao, qualquer outra base de V tem o mesmo numero de vetores.

Dem. Seja A = w1, ..., wm uma outra base do espaco vetorial V . Entao mostremos queas duas bases tem o mesmo numero de vetores, isto e, que n = m. Como B e uma basede V e os vetores w1, ..., wm ∈ V temos, um sistema de m equacoes e n indeterminadasdado por:

w1 = a11v1+ a12v2+ · · · a1nvn...

......

wm = am1v1+ am2v2+ · · · amnvn


Vamos supor por absurdo, isto e, vamos supor primeiro que m > n. Entao, temosmais equacoes do que indeterminadas, ou seja

w1...wm

= A

v1...vn

onde a matriz A =

a11 a12 · · · a1n...

...am1 am2 · · · amn

∈ Mmn. Consideremos agora a matriz

At ∈Mnm e o sistema homogeneo, induzido pela matriz At, dado por:

At

c1...cm

=

0...0

Agora, como o numero de equacoes e menor que o numero de indeterminadas (n < m),

o sistema homogeneo anterior admite solucoes nao triviais, digamos

c1...cm

, portanto:

At

c1...cm

t

=

0...0

t

⇔

c1...cm

t

(At)t= (0 · · ·0)

⇔

c1...cm

t

A = (0 · · ·0)

Multiplicando esta ultima igualdade pelo vetor

v1...vn

segue que :

c1...cm

t

A

v1...vn

= (0 · · ·0)

v1...vn

= 0v1 + · · ·0vn = 0

mas como A

v1...vn

=

w1...wm

segue que :

c1...cm

t

w1...wm

= 0⇔ c1w1 + · · · cmwm = 0


Portanto, o conjunto A e linearmente dependente, o que e uma contradicao. De ma-neira analoga, se considerarmos n < m, podemos obter uma contradicao. Portanto, temosque n = m como querıamos.

Definicao 4.4.2 Seja n ∈ N. Se a base de um espaco vetorial V tem n vetores, diremosque o K-espaco vetorial V tem dimensao finita n, que denotaremos por dimKV = n. Oespaco vetorial formado pelo vetor nulo, tem dimensao zero.

No seguinte exemplo, usaremos o conceito de Grafo Orientado ou Grafo dirigido, dadona definicao 2.4.3, para mostrar uma estrutura especial de espaco vetorial de dimensaofinita.

Exemplo 4.4.6 Consideremos o seguinte Grafo dirigido, dado pela figura abaixo :

•V1

α−→•V2

Onde, V1 e V2 sao os vertices e α um caminho ligando os dois vertices. Entao, podemosconsiderar o espaco vetorial formado pelos caminhos e1, e2 e α, onde os caminho e1, e2representam os caminhos triviais (nao sair do lugar ou do vertice) associados aos verticesV1, V2 respectivamente. Logo, temos um espaco vetorial de dimensao tres. Agora, seV1 = V2, temos o caminho trivial e1 e α, α2, ...., isto e, temos um espaco vetorial dedimensao infinita, que nao e difıcil de mostrar que este espaco vetorial coincide com oanel dos polinomios na indeterminada x, ou K[x].

Exemplo 4.4.7 Vejamos os seguintes exemplos conhecidos:

1. Seja V = Kn = Rn, tem dimensao n.

2. Seja V = Pn(K). Este espaco vetorial tem dimensao n + 1 = dimKPn(K).

3. Seja V = Mn entao dimKMn = n2.

4. Seja V = Mm,n, entao dimKMn,m = nm.


Corolario 10 Seja V um K-espaco vetorial tal que dimKV = n. Entao :

i) Todo conjunto com mais de n vetores de V e um conjunto linearmente dependente.

ii) Todo conjunto com n vetores linearmente independentes de V , e uma base de V .

Dem.

i) Seja B = v1, ..., vn uma base do espaco vetorial V , e seja u1, ..., um um subconjuntode V com mais de n vetores. Entao, temos que:

u1 = a11v1+ · · · +a1nvn...

...um = am1v1+ · · · amnvn

Entao, pelo argumento da proposicao anterior o conjunto u1, ..., um e linearmentedependente.

ii) Seja u1, ..., un um conjunto linearmente independente de V . Como dimKV = n, oconjunto u1, ..., un, v que tem n+1 vetores e um conjunto linearmente dependente,pela parte i) anterior, onde o vetor v ∈ V e qualquer. Entao, existem escalaresc1, ..., cn, c ∈ K nao todos nulos (pois o conjunto anterior e LD), tal que :

c1u1 + · · ·+ cnun + cv = 0

Veja que c 6= 0 , pois caso contrario, temos que:

c1u1 + · · ·+ cnun = 0

e como o conjunto u1, ..., un e linearmente independente, segue que c1 = c2 = · · · =cn = 0, o que e uma contradicao, pois pelo menos um dos escalares c1, c2, · · · , cn, ce diferente de zero, visto que o conjunto u1, ..., un, v e linearmente dependente.

Portanto c 6= 0 e temos que:

v =−c1c

u1 + · · ·+−cnc

un

Logo, segue que o conjunto u1, ..., un e um conjunto gerador de V , como querıamos.

A partir do corolario e proposicoes anteriores, temos que para todo vetor v ∈ V , ondedimKV = n. Este vetor pode-se escrever de maneira unica como combinacao linear dabase ordenada B = v1, ..., vn, onde suas novas coordenadas sao dadas pelos escalaresc1, ..., cn ∈ K tais que v = c1v1 + · · · + cnvn. As coordenadas vetoriais do vetor v serao

denotadas por: [v]B =

c1...cn

, entao temos a seguinte definicao.


Definicao 4.4.3 Seja v ∈ V , onde V e um espaco vetorial de dimensao finita n e baseB = v1, ..., vn. Entao v = c1v1 + · · · + cnvn onde os escalares c1, ..., cn ∈ K. Estesescalares sao chamados de coordenadas do vetor V com relacao a base ordenada B, eo vetor coluna

[v]B =

c1...cn

e chamada de matriz coordenada de v com relacao a base ordenada B.

Exemplo 4.4.8 Seja V = P2(K) o espaco vetorial dos polinomios de grau menor ouigual a dois, e seja B = 1, t, t2 uma base de V . Seja p(t) = 2t2 − 5t + 3 ∈ V , entao a

matriz coordenada associada a p(t) e dada por [p(t)]B =

3−52

.

O exemplo anterior mostra dois fatos relevantes, o primeiro e dado pela ordem da base,ja que esta ordem determina o posicionamento das coordenadas de seu vetor coordenadaassociado. Isto tambem determina uma correspondencia biunıvoca entre os vetores v ∈ Ve sua matriz coordenada, dada pelos escalares determinados pela combinacao linear dabase.

Proposicao 4.4.3 Todo conjunto finito de geradores de um espaco vetorial nao nulo V ,contem um subconjunto que e uma base de V .

Dem. Seja B = v1, ..., vm um conjunto de geradores de V . Como o espaco vetorial Vnao e nulo, entao o conjunto B deve conter vetores nao nulos, e como B e um conjuntofinito, podemos considerar o subconjunto B′ = v1, ..., vm ⊆ B maximal, no sentido quee o maior subconjunto de B que contem todos os vetores linearmente independentes de B.Vamos supor que B′ contem n vetores, entao n ≤ m. Se n = m, entao B e a base procu-rada, logo so nos resta uma unica possibilidade, a saber n < m. Por outro lado, qualquerconjunto da forma v1, ..., vn, vn+i, onde i = 1, ..., m− n e linearmente dependente, poiso conjunto B′, e um subconjunto maximal de vetores linearmente independentes. Logo,como o conjunto v1, ..., vn, vn+i e linearmente dependente, temos que existem escalaresc1, ..., cn, cn+i nao todos nulos tal que:

c1v1 + · · ·+ cnvn + cn+ivn+i = 0

de onde se deduz que cn+i 6= 0, pois caso contrario, terıamos que algum dos escalaresc1, ..., cn e diferente de zero, logo o conjunto B′ e linearmente dependente, o que umacontradicao. Logo, temos que

vn+i =−c1cn+i

v1 + · · ·+−cncn+i

vn

Portanto, o conjunto B′ e linearmente independente e gera V , logo e uma base.


Mostremos uma forma pratica de encontrar uma base, a partir de um conjunto devetores dados. Seja V um K-espaco vetorial de dimensao finita n > 1, vejamos uma formapratica de mostrar que todo conjunto linearmente independente pode ser completado auma base. Fixemos uma base B = v1, ..., vn de V e seja C = w1, ..., wk um conjuntonao necessariamente linearmente independente de de vetores de V . Recordemos que cadavetor wi, onde i = 1, ..., k, pode-se escrever da seguinte forma, na base B.

wi =n∑

j=1

aijvj

Entao temos a seguinte matriz A ∈Mk,n cujas linhas sao formadas pelas coordenadasdo vetor wi :

A =

a11 a12 · · · a1n...

......

ak1 ak2 · · · akn

Consideremos agora a matriz reduzida M = (βij) ∈Mk,n obtida da matriz A anterior.Como temos visto no capıtulo 3, as linhas da matriz M = (βij) foram obtidas a partirde operacoes elementares nas linhas da matriz A, entao os subespacos vetoriais geradospor w1, ..., wk e o gerado por u1 = (β11, ..., β1n), ..., uk = (βk1, ..., βkn) sao o mesmo.Veja que neste processo de escalonamento, algumas linhas da matriz M podem ser nulas,ou seja, que alguns dos vetores u1, ..., uk poderiam ser o vetor nulo. Reagrupandoos vetores, e renomeando se for necessario, podemos considerar que u1, ..., ul (l < k)sao vetores diferentes do vetor nulo. A partir do escalonamento reduzido, cada um dosvetores u1, ..., ul tem uma posicao igual a 1, de esquerda para direita da matriz. Logo,os vetores u1, ..., ul sao linearmente independentes e como geram o mesmo espaco geradopelos vetore w1, ..., wk, temos que o conjunto u1, ..., ul forma uma base paraW . Sem perdade generalidade, vamos supor que o conjunto C = w1, ..., wk e linearmente independentee que k < n. Assim, a matriz M tera k linhas nao nulas e n− k linhas nulas.

Consideremos a seguinte matriz M ∈Mn, definida da seguinte forma:

• As primeiras k linhas de M sao as k primeiras linhas da matriz M .

• As n−k linhas restantes sao definidas da seguinte forma : Para cada coluna j dentreas n− k que nao tem 1, coloque uma linha com 1 na coluna j e zero no resto dascolunas.

Desta forma a matriz M tem n linhas nao nulas, e pela construcao anterior, o conjuntodas linhas da matriz M formam um conjunto linearmente independente em V , e portantouma base ( pois dimKV = n ). Vejamos o seguinte exemplo para mostrar esta construcao.

Exemplo 4.4.9 Seja V = P3(K). Vamos construir uma base para V a partir dos seguin-tes vetores: p1(x) = 1 + 2x− x2 + 3x3 e p2(x) = 2 + 4x+ x2 + 6x3. Consideremos a baseB = 1, x, x2, x3 canonica de P3(x). Entao claramente a matriz A e dada por:

A =

(1 2 −1 32 4 1 6

)


Fazendo o escalonamento reduzido temos que a matriz M e dada por:

(1 2 0 30 0 1 0

)

O anterior mostra que o conjunto p1(x), p2(x) e um conjunto linearmente independente(tem duas linhas nao nulas na matriz M). Como V tem dimensao 4, faltam duas linhas.Veja que falta 1 na segunda coluna e na quarta coluna, logo temos a seguinte matriz:

M =

1 2 0 30 0 1 00 1 0 00 0 0 1

Assim, B′ = p1, p2, x, x3 forma uma base de V = P3(K) e claramente contem p1, p2.

4.4.1 Exercıcios

1. Verifique quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base para V = R3.

a) (1, 2, 1), (1, 3, 0), (0, 1,−1)b) (1, 0, 1), (2, 0, 1), (1, 1, 1)c) (1, 1, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)d) (2, 1, 4), (1, 2, 3)

2. Seja B = (1, 4, 2), (3, 0,−1), (2,−1,−1) uma base de R3. Escreva o vetor (17, 3, 19)como combinacao linear dos elementos da base B.

3. Mostre que os conjuntos t2 + t, t, 1 e t2 + t, t, t+ 1 sao base de V = P2(K).

4. Seja W = (

x x0 0

)∈ M2/x ∈ K. Mostre que W e um subespaco de V = M2 e

ache a base de W .

5. Seja B = v1, v2, v3 uma base para o espaco vetorial V , entao mostre que o conjuntoB′ = v1 + v2, v2 + v3, v1 + v3 tambem e uma base de V .

6. Seja V um espaco vetorial que e gerado por sete vetores, entao o que voce podeafirmar com relacao a dimensao de V ?. E estes sete vetores sao linearmente depen-dentes?.

7. Calcule a dimensao de cada um dos subespacos vetoriais de V = M2(K)

a) A ∈ V/At = Ab) A ∈ V/At = −A


c) A = (aij) ∈ V/a11 = a22 = 0d) A = (aij) ∈ V/a21 = a12 = 0

8. Seja x ∈ R2, escreva a matriz coordenada [v]B na base B a seguir:

i) v = (6, 2) e B = (1, 0), (0, 1)ii) v = (6, 2) e B = (0, 1), (1, 0)iii) v = (6, 2) e B = (1, 3), (2, 5)

9. Seja A ∈M2 escreva [A]B na base B a seguir:

a) B = (

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

) e A =

(13 45 7

)

b) B = (

0 00 1

),

(1 02 0

),

(1 20 0

),

(1 00 0

) e A =

(16 82 4

)

c) B = (

1 00 0

),

(1 20 0

),

(1 02 0

),

(0 00 01

) e A =

(5 85 2

)

10. Seja p(t) ∈ P1(K) escreva [p(t)]B na base B a seguir:

a) p(t) = 2t+ 3 e B = t, 1b) p(t) = 2t+ 3 e B = t + 1, 2t− 3c) p(t) = 5t+ 4 e B = t+ 1, 2t− 3

11. Ache uma base, formada pelos caminhos do seguinte grafo dirigido :

1 3

2 4

12. Se W e um subespaco de um espaco vetorial V de dimensao finita n, mostre quedimKW ≤ n. Em particular, se dimKW = dimKV , entao W = V .

13. Encontre uma base para V = R4 que contenha os vetores (1, 3, 8, 5), (1, 1, 4, 2).

14. Seja V = P4(K). Encontre uma base para V que contenha os vetores 1 + 2x +3x2 − x4, 1− 3x2 + x3 − x4.

Capıtulo 5

Transformacoes Lineares e Conicas

5.1 Transformacoes Lineares

No curso de Calculo I, por exemplo, estuda-se como relacionar os Reais R com elemesmo. Para estudar esta relacao, e usado o conceito de funcoes em particular o conceitode funcoes contınuas, derivavaeis etc.. Mas recordemos que temos mostrado no capıtulo4 que o conjunto dos numeros reais R e, em particular, um R-espaco vetorial, entao apergunta que surge e a seguinte. como seriam as funcoes que relacionam R comele mesmo, mas que preservem a sua estrutura de espaco vetorial?. Entao, onosso objetivo, neste capıtulo e estudar uma situacao mais geral que a anterior, isto e,como dois k-espacos vetoriais V e W podem-se relacionar, preservando a sua estrutura deespaco vetorial, e assim temos a seguinte definicao.

Definicao 5.1.1 Sejam (V,+, ·) e (W,⊕,⊙) dois k-espacos vetoriais. A transformacaoT : V−→W e dita uma transformacao linear se :

i) T (u+ v) = T (u)⊕ T (v)

ii) T (λ · v) = λ⊙ T (v) ∀u, v ∈ V, λ ∈ K

Veja, que na definicao 5.1.1, demos enfases em denotar de maneira diferente as operacoesde soma e operacao por escalar tanto em V como em W , para mostrar que uma trans-formacao linear preserva tanto a soma como a multiplicacao por escalar do espaco vetorialV , ou seja transforma soma em V em uma soma em W , e a multiplicacao por escalarem V em uma multiplicacao por escalar em W . Por outro lado, veja que se T : V−→We uma transformacao linear, entao T (0V ) = T (0 · 0V ) = 0 ⊙ T (0V ) = 0W . Uma formapratica de verificar se uma transformacao T : V−→W e linear ou nao e dada pela seguinteproposicao.

75

CAPITULO 5. TRANSFORMACOES LINEARES E CONICAS 76

Proposicao 5.1.1 Sejam V,W dois k-espacos vetoriais e T : V−→W uma transformacao.Entao T : V−→W e uma transformacao linear se, e somente se,

T (u+ λ · v) = T (u)⊕ λ⊙ T (v)

para todo u, v ∈ V e λ ∈ K.

Dem. ⇒) Seja T : V−→W uma transformacao linear e u, v ∈ V e λ ∈ K. Entao a partirda definicao 5.1.1 parte i), temos que T (u+ λ · v) = T (u)⊕ T (λ · v), agora pela parte ii)da mesma definicao segue que T (u+ λ · v) = T (u)⊕ λ⊙ T (v), como querıamos.⇐) Vejamos que se λ 6= 0 ∈ K, entao T (0V ) = T (0V + λ · 0V ) = T (0V )⊕ λ⊙ T (0V ).

Mas como (W,⊕) e um grupo abeliano, podemos cancelar T (0V ) da igualdade anterior e,portanto, segue que λ⊙ T (0V ) = 0W , mas como λ 6= 0 segue que T (0V ) = 0W . Po outrolado,

T (λ · v) = T (0V + λ · v) = T (0V )⊕ λ⊙ T (v) = λ⊙ T (v)

pois T (0V ) = 0W . Portanto, vale ii) da definicao 5.1.1.Mostremos agora a parte i) da definicao 5.1.1. Sejam u, v ∈ V , entao T (u + v) =

T (u + 1 · v) = T (u) ⊕ 1 ⊙ T (v) = T (u)⊕ T (v), como querıamos. Logo, T e uma trans-formacao linear.

Exemplo 5.1.1 1. Seja A ∈ Mm,n entao definamos T : Kn−→Km por TA(x) =Ax ∀x ∈ Kn. Entao, T e linear pois, TA(x + λy) = A(x + λy) = Ax + λAy =TA(x) + λTA(y) ∀x, y ∈ Kn, λ ∈ K

2. Consideremos agora T : R3−→R3 definida por T ((x, y, z)) = (x, y, 0). Entao T elinear, pois

T ((x, y, z) + λ(x′, y′, z′)) = T ((x+ λx′, y + λy′, z + λz′))

= (x+ λx′, y + λy′, 0) = (x, y, 0) + λ(x′, y′, 0)

= T (x, y, z) + λT (x′, y′, z′)

∀(x, y, z), (x′, y′, z′) ∈ R3, λ ∈ R

3. Seja V = Pn(t), e consideremos a transformacao dada pela derivacao muito conhe-cida nos cursos de Calculo Dt =

ddt

: V−→V dada por:

Dt(p(t) = a0+a1t+ · · ·+antn) =

d

dt(a0+a1t+ · · ·+ant

n) = a1+2a2t+ · · ·+nantn−1

∀p(t) = a0 + a1t+ · · ·+ antn ∈ V . A partir dos cursos de calculo, a transformacao

anterior e uma transformacao linear.


4. Seja V = Pn(t) e seja W = R e definamos a transformacao∫ b

a: V−→W dada por

∫ b

a

p(t)dt =

∫ b

a

(a0 + a1t+ · · ·+ antn)dt = (a0t+

a1t2

2+ · · ·+ ant

n+1

n + 1)/

b

a

∀p(t) = a0+a1t+ · · ·+antn ∈ V . A partir dos cursos de calculo, e conhecido que a

transformacao anterior e uma transformacao linear, pois integral da soma e a somadas integrais, e todo escalar pode sair da integral.

5. E facil verificar que T (x) = x2, T (x) = senx, T (x) = 2x+2 nao sao transformacoeslineares, de maneira analoga T (x, y) = (2x+ 2, 0) nao e uma transformacao linearentre outras.

Proposicao 5.1.2 Sejam V,W dois espacos vetoriais de dimensao finita, e sejam B =v1, ..., vn uma base de V , e C = w1, ..., wn um conjunto de vetores de W , naonecessariamente diferentes. Entao, existe uma unica transformacao linear T tal queT (vi) = wi ∀i = 1, ..., n

Dem. Seja V um espaco vetorial com base B, entao sabemos que v = c1v1 + · · ·+ cnvn.Entao, consideremos uma transformacao T tal que T (vi) = wi e T (v) = c1w1+ · · ·+cnwn.Como B e uma base temos que T (0V ) = 0W . Vejamos agora que a transformacao T elinear. Sejam u, v ∈ V e α ∈ K entao calculemos T (u+λv) = T ((d1+λc1)v1+ · · ·+(dn+λcn)vn) = T (u) + λT (v) como querıamos. Vejamos agora que a transformacao T e unica.Seja U uma transformacao tal que U(vi) = wi ∀i = 1, ..., n e seja v = c1w1 + · · ·+ cnwn,entao temos

U(v) = c1w1 + · · ·+ cnwn = T (v) ∀v ∈ V

pelas propriedades da definicao de transformacao linear. Portanto temos que T = U ,portanto a transformacao T e unica.

5.1.1 Exercıcios

1. Mostre que as seguintes transformacoes sao lineares :

a) T : R2−→R2 definida por T (x, y) = (−x, 2y)b) T : R3−→R2 definida por T (x, y, z) = (−x, 2y + z)

c) T : R2−→R2 definida por T (x, y) = (ax+ by, cx+ dy)

2. Quais das seguintes transformacoes sao lineares? e justifique.

a) T (x, y) = (x2, y)

b) T (x, y) = (senx, seny)

c) T (x, y) = (y, x)


3. Consideremos a Rotacao de um vetor (x, y) ∈ R2 em um angulo θ dada por :

Q(x, y) =

(xcosθ − ysenθxsenθ + ycosθ

)=

(cosθ senθsenθ cosθ

)(xy

)

Entao mostre que Q(x, y) e uma transformacao Linear.

4. Consideremos a transformacao T : R3−→R2 definida por T (x, y, z) = (x, y, 0), co-nhecida como projecao ortogonal. Mostre que a transformacao T e uma trans-formacao Linear.

5. Considere a transformacao R : R3−→R3 definida por R(x, y, z) = (x, y,−z), conhe-cida como reflexao no plano xy. Mostre que R e uma transformacao Linear.

6. Represente geometricamente cada uma das seguintes transformacoes :

a) T (x, y) = (x+ y, y)

b) T (x, y) = (3x, 0)

c) T (x, y) = (y, x)

7. Seja Pn(K) o conjunto dos polinomios de grau menor ou igual a n. Mostre que astransformacoes a seguir sao lineares:

T ((a0 + a1t + · · ·+ antn) = a0t + a1t

2 + · · ·+ antn+1

S(a0 + a1t + · · ·+ antn) = a1 + a2t+ · · ·+ ant

n−1

8. Sejam V = Mn, e M ∈ Mn. Quais das seguintes transformacoes sao lineares?

a) T (X) = MX, ∀X ∈ V

b) T (X) = MX −XM, ∀X ∈ V

c) T (X) = M −X, ∀X ∈ V

9. Seja V = Mn. Mostre que as seguintes transformacoes sao lineares :

a) TP (A) = PA, onde P e inversıvel.

b) T (A) = PAQ, onde P,Q sao inversıveis.

c) T (A) = P−1AP , onde P e inversıvel.

d) T (A) = P tAP , onde P e inversıvel.

10. Sejam V = Pn(R) e T a transformacao que leva o polinomio p(t) ∈ V , na suaderivada segunda. Sera que T e uma transformacao linear?


5.2 Nucleo e Imagem de Transformacoes Lineares

Nesta secao, daremos algumas ferramentas para poder caracterizar algumas trans-formacoes lineares, que serao de muita ajuda no decorrer deste texto.

Definicao 5.2.1 Sejam V,W dois espacos vetoriais e T : V−→W uma transformacaolinear. Chamaremos de Nucleo da transformacao T ao seguinte conjunto:

N(T ) = v ∈ V/T (v) = 0W

Chamaremos de Imagem da transformacao linear T ao seguinte conjunto :

I(T ) = w ∈ W/ ∃v ∈ V tq T (v) = w

Exemplo 5.2.1 Consideremos agora T : R3−→R3 definida por T ((x, y, z)) = (x, y, 0).Entao, o seu nucleo e dado por N(T ) = (0, 0, 0), e seu conjunto Imagem e dado porI(T ) ∼= R2

Proposicao 5.2.1 Sejam V,W dois espacos vetoriais nao vazios e, T : V−→W umatransformacao linear. Entao, N(T ) e um subespaco vetorial de V e I(T ) e um subespacovetorial de W .

Dem. Sejam u, v ∈ N(T ), entao temos que T (u) = T (v) = 0W , e seja λ ∈ K, entaomostremos que u + λv esta em N(T ). Logo, T (u + λv) = T (u) + λT (v), pois T euma transformacao linear, e como u, v ∈ N(T ) segue que T (u + λv) = 0W , portantou+ λv ∈ N(T ), logo o conjunto N(T ) e um subespaco vetorial de V .

Mostremos agora que I(T ) e um subespaco vetorial de W . Entao, sejam w,w′ ∈ I(T )e λ ∈ K. Mas como w,w′ ∈ I(T ), entao temos que existem v, v′ ∈ V tal que T (v) =w e T (v′) = w′, logo

w + λw′ = T (v) + λT (v′) = T (v + λv′) ∈ I(T )

Portanto, I(T ) e um subespaco vetorial de W como querıamos.

Corolario 11 Seja T : V−→W uma transformacao linear. Se o conjunto v1, ..., vne um conjunto gerador do espaco vetorial V , entao o conjunto T (v1), ..., T (vn) e umconjunto gerador de I(T ).

Dem. Seja w ∈ I(T ), entao existe v ∈ V tal que T (v) = w, mas como o conjuntov1, ..., vn e um conjunto gerador de V , temos que existem c1, ..., cn ∈ K tal quev = c1v1 + · · ·+ cnvn, e como T e linear segue que

w = T (v) = T (c1v1 + · · ·+ cnvn) = c1T (v1) + · · ·+ cnT (vn)

Logo, o vetor w ∈ I(T ) e gerado pelo conjunto T (v1), ..., T (vn).


Exemplo 5.2.2 1. Seja V um espaco vetorial e id : V−→V denota a transformacaoidentidade, isto e id(v) = v. Entao, N(id) = 0 e I(id) = V . Denotemos por0 : V−→V , a transformacao nula, isto e, 0(v) = 0, entao N(0) = V e I(0) = 0.

2. Seja V = Mm,n e seja TA : Kn−→Km dada por TA(x) = Ax, onde A ∈ V . Entao,

N(TA) = x ∈ Kn/TA(x) = Ax = 0

logo o nucleo de TA e dado pelo conjunto solucao do sistema homogeneo Ax = 0.

Agora, o conjunto imagem e dado por:

I(TA) = y ∈ Km/∃x ∈ Kn;TA(x) = Ax = y

que denota o conjunto solucao do sistema nao homogeneo determinado por Ax = y.

3. Seja V = R2 e T : R2−→R2 dada por T (x, y) = (x + y, 2x+ y). Entao o conjuntoN(T ) = (x, y) ∈ R2/T (x, y) = (x+ y, 2x+ y) = (0, 0) = (0, 0).Agora o conjunto I(T ) = (u, v) ∈ R2/∃(x, y) ∈ R2;T (x, y) = (u, v) = (−u +v, 2u− v)

Exemplo 5.2.3 Consideremos a transformacao linear T : R3−→R3 dada por T (x, y, z) =(x+ 2y− z, y+ z, x+ y− 2z). Entao, calculemos uma base para N(T ) e para I(T ). Vejaque N(T ) = (x, y, z) ∈ R3/T (x, y, z) = (0, 0, 0), ou seja, temos o seguinte sistema deequacoes homogeneo:

x+ 2y− z = 0y+ z = 0

x+ y− 2z = 0

Logo, temos que x = 3z; y = −z; z = z, isto e, (x, y, z) ∈ N(T ) se ele e da seguinte forma(3z,−z, z) = z(3,−1, 1), logo o vetor (3,−1, 1) e gerador de N(T ), e como e nao nulo,ele e LI. Portanto, e uma base para N(T ), logo dimKN(T ) = 1.

Para calcular a base de I(T ), consideremos a base canonica de R3 dada por B =(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Logo, I(T ) e gerada por T ((1, 0, 0)), T ((0, 1, 0)), T ((0, 0, 1))=(1, 0, 1), (2, 1, 1), (−1, 1,−2), e como este conjunto e LD (verifique!), temos que um dosvetores e combinacao linear dos outros, entao podemos tirar qualquer vetor, logo podemosconsiderar o seguinte conjunto (1, 0, 1), (2, 1, 1) como base de I(T ) e dimKI(T ) = 2.

Definicao 5.2.2 Sejam V,W espacos vetoriais e T : V−→W uma transformacao linear.Entao :

1) T e injetora se T (v1) = T (v2)⇒ v1 = v2.

2) T e sobrejetora se I(T ) = W .

3) T e bijetora se, a transformacao T e injetora e sobrejetora.


Na proposicao a seguir, damos uma ferramenta pratica para poder decidir quando umatransformacao linear e ou nao injetora, sem recorrer da definicao 5.2.2.

Proposicao 5.2.2 Sejam V,W espacos vetoriais e T : V−→W uma transformacao li-near. Entao, T e injetora se, e somente se, N(T ) = 0V .

Dem. ⇒) Seja T uma transformacao injetora. Entao calculemos N(T ) = v ∈ V/T (v) =0W. Como T e uma transformacao linear temos que T (0V ) = 0W e como T e injetorasegue que se v ∈ N(T ), entao T (v) = 0W portanto, v = 0, logo N(T ) = 0.⇐) Seja T uma transformacao linear tal que N(T ) = 0, entao sejam v1, v2 ∈ V tal

que T (v1) = T (v2). Logo, como T e uma transformacao linear segue que T (v1−v2) = 0W ,portanto v1− v2 ∈ N(T ) = 0, entao temos que v1 = v2 e T e uma transformacao linearinjetora.

Exemplo 5.2.4 1. Seja V um espaco vetorial e id : V−→V , entao id e injetora esobrejetora, logo e uma bijecao. Por outro lado, a transformacao nula 0 : V−→V ,nao e injetora nem sobrejetora desde que V 6= 0.

2. Seja A ∈ Mn e TA : Kn−→Kn tal que TA(x) = Ax. Esta transformacao e injetoradesde que a matriz A seja inversıvel.

A proposicao a seguir, e de muita utilidade para determinar injetividade e sobrejeti-vidade de uma transformacao linear, como mostram o seus corolario.

Proposicao 5.2.3 Sejam V,W espacos vetoriais de dimensao finita e T : V−→W umatransformacao linear. Entao,

dimKN(T ) + dimKI(T ) = dimKV

Dem. Seja V um espaco vetorial tal que dimKV = n e seja v1, ..., vt uma base deN(T ), entao existem vt+1, ..., vn ∈ V tal que o conjunto v1, ..., vt, vt+1, ..., vn e uma basedo espaco vetorial V . Mostremos entao que o conjunto T (vt+1), ..., T (vn) e uma base deI(T ). Claramente, o conjunto T (v1), ..., T (vt), T (vt+1), ..., T (vn) = T (vt+1), ..., T (vn)e um conjunto gerador de I(T ), pelo corolario 5.1.1. Entao, so resta mostrar que esteconjunto e linearmente independente. Entao, sejam αt+1, ..., αn ∈ K tais que

αt+1T (vt+1) + · · ·+ αnT (vn) = 0W

como T e uma transformacao linear segue que

T (αt+1vt+1 + · · ·+ αnvn) = 0W

Entao αt+1vt+1 + · · ·+ αnvn ∈ N(T ). Agora, como o conjunto v1, ..., vt e uma base deN(T ), temos que existem β1, ...., βt ∈ K tais que

β1v1 + · · ·+ βtvt = αt+1vt+1 + · · ·+ αnvn


ou sejaβ1v1 + · · ·+ βtvt − (αt+1vt+1 + · · ·+ αnvn) = 0V

Mas, como o conjunto v1, ..., vt, vt+1, ..., vn e uma base de V , entao ele e linearmenteindependente, portanto todos os escalares β1, ..., βt, αt+1, ...., αn sao nulos, em particularαt+1 = · · · = αn = 0. Portanto, temos que o conjunto T (vt+1), ..., T (vn) e uma base deI(T ) e finalmente temos que dimKN(T ) + dimKI(T ) = dimKV como querıamos.

Corolario 12 Sejam V,W espacos vetoriais e T : V−→W uma transformacao linear.Se dimKV > dimKW , entao a transformacao T nao pode ser injetora.

Dem. Sejam V,W espacos vetoriais tais que dimKV > dimKW . Se T e uma trans-formacao injetora temos que dimKN(T ) = dimK0V = 0, logo temos que

dimKV = dimKN(T ) + dimKI(T ) = 0 + dimKI(T ) ≤ dimKW

que e uma contradicao, pois dimKV > dimKW .

Corolario 13 Sejam V,W espacos vetoriais e T : V−→W uma transformacao linear.Se dimKV < dimKW , entao a transformacao T nao pode ser sobrejetora.

Dem. Vamos supor que a transformacao T e sobrejetora, entao dimKI(T ) = dimKW ,entao segue que

dimKV = dimKN(T ) + dimKI(T ) = dimKN(T ) + dimKW

Logo, temos que dimKV ≥ dimKW uma contradicao.

Proposicao 5.2.4 Sejam V,W,Z espacos vetoriais e VT−→W

U−→Z duas transformacoeslineares, entao temos que a composta U T : V−→Z dada por U T (v) = U(T (v)) e umatransformacao linear.

Dem. Sejam v, v′ ∈ V e λ ∈ K, entao

U T (v + λv′) = U(T (v + λv′)) = U(T (v) + λT (v′))

= U(T (v)) + λU(T (v′)) = U T (v) + λU T (v′)pois tanto T como U sao transformacoes lineares, entao U T e uma transformacao linear.

Consideremos V,W dois espacos vetoriais e T : V−→W uma transformacao linearbijetora, entao existe T−1 : W−→V tal que T T−1 = idW e T−1 T = idV . Sera queexiste uma transformacao linear que admita inversa, sem ela ser uma bijecao?


Proposicao 5.2.5 Sejam, V,W espacos vetoriais e T : V−→W uma transformacao li-near bijetora, entao T−1 tambem e uma transformacao linear.

Dem. Sejam w,w′ ∈ W e λ ∈ K. Entao, existem v, v′ ∈ V, T (v) = w, T (v′) = w′

T−1(w + λw′) = T−1(T (v) + λT (v′))

Pois a transformacao T e sobrejetora. Agora, como T e linear temos

T−1(w+λw′) = T−1(T (v+λv′)) = v+λv′ = T−1(T (v))+λT−1(T (v′)) = T−1(w)+λT−1(w′)

Portanto, T−1 e uma transformacao linear.

Exemplo 5.2.5 Seja V = R2 = W e T (x1, x2) = (x1+x2, x1) uma transformacao linear.Veja que N(T ) = (0, 0) e I(T ) = W , entao existe T−1 que podemos definir da seguinteforma: T−1(u, v) = (v, u− v) pois

T T−1(u, v) = T (T−1(u, v)) = T (v, u− v) = (v + (u− v), v) = (u, v)

de maneira analoga temos que

T−1 T (x1, x2) = T−1(x1 + x2, x1) = (x1, (x1 + x2)− x1) = (x1, x2)

Proposicao 5.2.6 Sejam V,W espacos vetoriais e T : V−→W uma transformacao li-near. Entao a transformacao T e injetora se, e somente se, T transforma conjuntoslinearmente independentes em conjuntos linearmente independentes.

Dem. ⇒) Sejam T : V−→W uma transformacao linear injetora, v1, ..., vn um subcon-junto linearmente independente de V . Entao mostremos que o conjunto T (v1), ..., T (vn)e linearmente independente em W . Logo, sejam α1, ..., αn ∈ K tal que

α1T (v1) + · · ·+ αnT (vn) = 0W

mas como T e linear, segue que T (0V ) = 0W , e entao

T (α1v1 + · · ·+ αnvn) = T (0V )

Agora, como T e injetora temos que α1v1 + · · · + αnvn = 0V . Como o conjuntov1, ..., vn e linearmente independente, segue que α1 = · · · = αn = 0, portanto temos queo conjunto T (v1), ..., T (vn) e linearmente independente.⇐) Sabemos que T leva conjuntos linearmente independentes em conjuntos linear-

mente independentes, entao seja v 6= 0V ∈ V . Claramente, v e linearmente independente,entao T (v) tambem e linearmente independente, portanto T (v) 6= 0W . Logo, a trans-formacao T leva vetores nao nulos em vetores nao nulos, logo N(T ) = 0V , isto e, T einjetora como querıamos mostrar.


Proposicao 5.2.7 Sejam V,W dois espacos vetoriais tais que dimKV = dimKW = n eT : V−→W uma transformacao linear. Entao sao equivalentes :

i) T e inversıvel.

ii) T e sobrejetora.

iii) T e injetora.

iv) Toda imagem de uma base por T e uma base.

Dem. i)⇒ ii) Se T e inversıvel, entao segue que dimKV = dimKW , entao T e sobreje-tora.

ii)⇒ iii) Como dimKN(T )+dimKI(T ) = dimKV = dimKW = n, e a transformacaoT e sobrejetora, temos que dimKI(V ) = dimKW = n, logo segue que dimKN(T ) = 0 ouseja que, N(T ) = 0V , isto e, T e injetora.

iii) ⇒ iv) A partir da proposicao 5.2.6 T leva conjuntos linearmente independentesem conjuntos linearmente independentes. Entao seja v1, ..., vn uma base de V , entao oconjunto T (v1), ..., T (vn) e linearmente independente, e como dimKV = dimKW segueque o conjunto T (v1), ..., T (vn) e uma base de W .

iv) ⇒ i) Seja v1, ..., vn uma base de V , entao o conjunto T (v1) = w1, ..., T (vn) =wn e uma base de W . Definamos S : W−→V tal que S(wi) = vi onde i = 1, ..., n.Mostremos que S e a inversa de T . Seja v =

∑n

1 civi, entao

S T (v) = S(T (v)) = S(T (n∑

1

civi)) = S(n∑

1

ciwi) =n∑

1

ciS(wi) =n∑

1

civi = v

Portanto S T = idV .Seja agora w ∈ W , entao w =

∑n

1 aiwi pois w1, ..., wn e base de W . Logo,

T S(w) = T (S(w)) = T (S(

n∑

1

aiwi)) = T (

n∑

1

aiS(wi)) =

= T (

n∑

1

aivi) =

n∑

1

aiT (vi) =

n∑

1

aiwi = w

Portanto, a transformacao T e inversıvel, e S e a sua inversa.

5.2.1 Exercıcios

1. Determine dimKI(T ) e dimKN(T ) nas seguintes transformacoes lineares :

a) T (x, y, z) = (x− y, y + z, z + x)

b) T (x, y, z) = (y, z, x)


c) T (x, y, z) = (x+ y + z, x− y + z,−x+ y + z)

2. Seja T (x, y, z) = (x− y + 2z, 2x+ y,−2y + 2z) entao :

a) Seja (a, b, c) ∈ R3. Quais sao as condicoes sobre a, b, c tais que (a, b, c) ∈ I(T )?,e calcule dimKI(T ).

b) Seja (a, b, c) ∈ R3. Quais sao as condicoes sobre a, b, c tais que (a, b, c) ∈ N(T )?,e calcule dimKN(T ).

3. Sejam V = R3, e B = e1 = (1, 0, 0); e2 = (0, 1, 0); e3 = (0, 0, 1) a base canonica.Ache T (3, 2, 8) se T ((1, 0, 0)) = (0, 0, 1);T ((0, 1, 0)) = (1, 0, 0);T ((0, 0, 1)) = (0, 1, 0)

4. Seja V um espaco vetorial de dimensao n, e T : V−→V uma transformacao lineartal que I(T ) = N(T ). Mostre que n e um numero par.

5. i) E possıvel ter uma transformacao linear T : R3−→R2 que seja injetora? Justifi-que.

ii) E possıvel ter uma transformacao linear T : R2−→R3 que seja sobrejetora?Justifique.

iii) E possıvel ter uma transformacao linear T : Kn−→Kn que seja injetora e naosobrejetora? Justifique.

6. De um exemplo de uma transformacao linear entre espacos vetoriais de dimensoesdiferentes que seja injetora mas nao sobrejetora, e outra que seja sobrejetora masnao injetora.

7. Sejam B = v1 = (1, 1, 1); v2 = (−1, 1, 1); v3 = (0, 0,−1).

a) Mostre que B e uma base.

b) Seja T (v1) = v1;T (v2) = −v2;T (v3) = 2v3

i) Calcule T (e1);T (e2);T (e3), onde e1, e2, e3 e a base canonica de R3

ii) Obtenha uma expressao generica pata T (x, y, z)

iii) Calcule dimKN(T ) e decida se T e inversıvel.

8. Seja A ∈ V = Mm,n, e seja T : Kn−→Km definida por T (X) = AX . Mostre que :

a) T e sobrejetora se, e somente se, o numero de linhas nao nula da matriz reduzidaescalonada associada a matriz A e m.

b) T e injetora se, e somente se, o numero de linhas nao nulas da matriz reduzidaescalonada associada a matriz A e n.

c) T e inversıvel se, e somente se, o numero de linhas nao nulas da matriz reduzidaassociada a matriz A e m = n.


5.3 Representacao de Transformacoes Lineares por

Matrizes

Seja V um espaco vetorial e seja B = v1, ..., vn uma base ordenada de V . Sabemosque cada vetor v ∈ V admite uma unica forma v =

∑n

1 αivi, onde α1, ..., αn ∈ K.Estes escalares sao conhecidas como as coordenadas do vetor v, na base ordenada B, que

representamos por [v]B =

α1...αn

. Consideremos agora W um espaco vetorial com base

ordenada B′ = w1, ..., wm, entao T (B) e dada por:

T (vi) =m∑

j=1

ajiwj

onde i = 1, ..., n. Entao a matriz coordenada de cada T (vi) e dada da seguinte forma:

[T (vi)]B′ =

a1i...ami

Entao a matriz associada a transformacao linear T e dada por

[T ]BB′ =

a11 · · · am1...

...am1 · · · amn

Exemplo 5.3.1 Sejam V = R3,W = R2 espacos vetoriais com as suas bases canonicasB = (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) e B′ = (1, 0), (0, 1), e a transformacao linear dada por:

T (x1, x2, x3) = (x1 − x2, 2x1 − x2 + x3)

Entao calculemos a matriz [T ]BB′ da seguinte forma:

• T (v1) = T ((1, 0, 0)) = (1, 2) = 1w1 + 2w2

• T (v2) = T ((0, 1, 0)) = (−1,−1) = (−1)w1 + (−1)w2

• T (v3) = T ((0, 0, 1)) = (0, 1) = 0w1 + 1w2

Portanto, a matriz de T e dada por:

[T ]BB′ =

(1 −1 02 −1 1

)


Definicao 5.3.1 Seja V um espaco vetorial. Chamaremos de operador linear a trans-formacao linear T : V−→V .

Para calcular a representacao matricial do operador T : V−→V sempre consideraremosa mesma base de V , que a denotaremos por [T ]B a menos que seja especificado o contrario.

Exemplo 5.3.2 1. Sejam V = R2, com base canonica B = (1, 0), (0, 1), e T ((x1, x2)) =(x1 + kx2, x2) um operador linear. Entao calculemos:

• T ((1, 0)) = (1, 0) = 1v1 + 0v2

• T ((0, 1)) = (k, 1) = kv1 + 1v2

Portanto, segue que [T ]B =

(1 k0 1

)

2. Sejam V = P2(t) e B = 1, t, t2 e o operador T = ddt

: V−→V . Entao calculemos[T ]B da seguinte forma:

• ddt(1) = 0 = 0 · 1 + 0 · t+ 0 · t2

• ddt(t) = 1 = 1 · 1 + 0 · t + 0 · t2

• ddt(t2) = 2t = 0 · 1 + 2 · t+ 0 · t2

Portanto, segue que [T ]B = [ ddt]B =

0 1 00 0 20 0 0

3. Sejam V = R2 e B = e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) e o operador T definido por :Tθ(x, y) = (−xcosθ − ysenθ, xsenθ + ycosθ), onde 0 ≤ θ ≤ 2π e fixo. Entaocalculemos da seguinte forma:

• Tθ((0, 1)) = (−cosθ, senθ) = −cosθ(1, 0) + senθ(0, 1)

• Tθ((0, 1)) = (−senθ, cosθ) = −senθ(1, 0) + cosθ(0, 1) Portanto, temos que

[Tθ]B =

(−cosθ −senθsenθ cosθ

)

Veja que a construcao anterior estabelece uma correspondencia entre as matrizes qua-dradas e os operadores lineares, e uma vez fixada a base ordenada do espaco vetorial, estacorrespondencia sera injetora e sobrejetora, como estabelece a seguinte proposicao.

Proposicao 5.3.1 Seja V um espaco vetorial de dimKV = n e base B = v1, ..., vn.Entao, Ψ : Mn−→Operadores lineares em V e uma bijecao.


Exemplo 5.3.3 Seja V = P2(t) o espaco vetorial dos polinomios de grau menor ou iguala dois e T = d

dt: P2(t)−→P2(t) dada pela derivada. Seja B = 1, t, t2, entao sabemos

que [ ddt]B =

0 1 00 0 20 0 0

. Entao veja que se p(t) = c+ bt + at2 ∈ V , temos que

[d

dt]B

cba

=

0 1 00 0 20 0 0

cba

=

b2a0

Que e exatamente ddt(c+ bt + at2) = b+ 2t + 0t2.

Proposicao 5.3.2 Sejam V um espaco vetorial e B = v1, ..., vn uma base ordenada deV , e sejam U, T operadores lineares. Se [T ]B = A, e [U ]B = B, entao [U T ]B = BA.

Dem. Seja C = [U T ]B e sejam A = [T ]B, B = [U ]B. Logo, basta verificar que para todov ∈ V temos que

[U T ]B[v]B = [U ]B[T ]B[v]B

.

Corolario 14 Seja T um operador linear. Entao T e inversıvel se, e somente se, [T ]B einversıvel.

Dem. ⇒) Seja T inversıvel, entao existe T−1 tal que T T−1 = T−1 T = idV , logo

[T T−1]B = [T ]B[T−1]B = [idV ]B = In

Portanto, temos que [T−1]B = [T ]−1B .

⇐) Seja a matriz A = [T ]B inversıvel, entao existe uma unica matriz A−1 tal queIn = A · A−1 = [T ]B[U ]B = [T U ]B = [idV ], logo T e inversıvel como querıamos.

5.3.1 Ecercıcios

1. Ache a representacao matricial de T onde T e dada por :

a) T (x, y) = (2x, 3y)

b) T (x, y) = (−x,−y)c) T (x, y) = (x, 3y)

d) T (x, y) = (−x+ y, 3y)

e) T (x, y) = (2x+ 3y,−x+ y)

f) T (x, y) = (3x, 3y)


2. Seja T (x, y) = (2x, 3x− 2y). Entao ache a representacao matricial de T onde :

a) a base e B = (1, 0), (0, 1).b) a base e B = (1, 2), (3, 5).

3. Sejam V = P3(t) e T = ddt. Ache a representacao matricial para T onde :

a) a base e B = 1, t, t2, t3.b) a base e B = t2, t, t3, 1.

4. Seja o operador T definido por T (x, y, z) = (3x + z, y + z,−x + 2y + 3z), entaodetermine :

a) [T ]B onde a base e B = (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1).b) [T ]B onde a base e B = (1, 0, 1), (−1, 2, 1), (2, 1, 1).

5. Seja A =

(1 23 5

)e seja T : R2−→R2 tal que T (v) = Avt. Ache a matriz de T

onde :

a) a base e B = (1, 0), (0, 1).b) a base e B = (1, 3), (2, 5).

5.4 Autovalor, Autovetor e Diagonalizacao

Definicao 5.4.1 Seja V um K-espaco vetorial de dimensao n, e T : V−→V um operadorlinear. Um escalar λ ∈ K e dito um autovalor de T se existem vetores 0 6= v ∈ V talque T (v) = λv.

Todo vetor v ∈ V tal que T (v) = λv e dito o autovetor associado ao autovalor λ ∈ K.Denotaremos por Vλ o conjunto de todos os autovetores associados ao autovalor λ.

Fixemos umK-espaco vetorial V com base ordenada B = v1, ..., vn, e T : V−→V umoperador linear. Se consideramos A = [T ]B e X = [v]B, entao temos a seguinte equacaomatricial

AX = λX ou T (v) = λv

de onde segue que:(AX − λX) = 0V ⇔ (A− λIn)X = 0V

Entao, temos a seguinte proposicao.

Proposicao 5.4.1 Sejam V um K-espaco vetorial e T : V−→V um operador linear.Entao sao equivalentes :

i) A equacao matricial AX = λX tem solucoes nao nulas.


ii) A matriz (A− λIn) nao e inversıvel.

iii) det(A− λIn) = 0

Dem. i) ⇒ ii) Seja A ∈ Mn, e seja X 6= 0V tal que AX = λX . Entao temos queo sistema homogeneo (A − λIn)X = 0V admite solucoes nao triviais, portanto a matriz(A− λIn) nao e inversıvel.

ii)⇒ iii) Se a matriz (A− λIn) nao e inversıvel, entao o det(A− λIn) = 0.iii)⇒ i) Se o det(A−λIn) = 0, entao o numero de linhas nao nulas da matriz reduzida

associada a matriz (A − λIn) e menor estrito do que n, logo o sistema homogeneo asso-ciado tera mais indeterminadas do que equacoes, portanto admite solucoes nao triviais.

Definicao 5.4.2 Chamaremos de polinomio caracterıstico associada a matriz A aopolinomio p(x) = det(A− xIn).

A equacao p(x) = det(A−xIn) = 0 e conhecida como equacao caracterıstica associ-ada a matriz A, e nao e dificil mostrar que as solucoes ou raızes da equacao caracterısticadada por p(x) = det(A − xIn) = 0, correspondem-se com os autovalores associados amatriz A, como mostra-se no seguinte exemplo.


(1 23 2

). Entao o polinomio caracterıstico e dado por

p(x) = det((A− xI2)) = det(

(1 23 2

)−(

x 00 x

))

= det(

(1− x 23 2− x

)) = (1− x)(2− x)− 6 = x2 − 3x− 4 = 0

Portanto, os autovalores sao λ1 = 4;λ2 = −1 que sao as raızes de p(x) = x2−3x−4 = 0.Calculemos agora V4, V−1.

V4 = (

xy

)/

(1 23 2

)(xy

)= 4

(xy

)=

(4x4y

) ⇔

x+ 2y = 4x3x+ 2y = 4y

⇔ x = (2

3)y

Portanto, V4 = (

xy

)/x = (2

3)y = [

(2/31

)]. Logo, V4 e gerado pelo vetor

(2/31

)

que e linearmente independente, por ser nao nulo, e dimKV4 = 1.De maneira analoga

V−1 = (

xy

)/

(1 23 2

)(xy

)= −1

(xy

)=

(−x−y

) ⇔

x+ 2y = −x3x+ 2y = −y ⇔ x = −y

Portanto, V−1 = (

xy

)/x = −y = [

(−11

)]


Exemplo 5.4.2 1. Seja A =

(1 10 1

). Logo, o polinomio caracterıstico e dado por :

p(x) = det(A− xI2) = (1− x)2

Entao o unico autovalor de A e λ = 1. Calculemos agora V1 da seguinte forma :

(1 10 1

)(xy

)= 1

(xy

)

de onde segue que X =

(10

)e un autovetor correspondente ao autovalor 1.

2. Seja A =

(0 −11 0

)∈ M2(R). Entao as raızes da equacao caracterıstica pA(x) =

det(A − xI2) = x2 + 1 = 0 sao λ = i;λ = −i, que nao pertencem ao corpo R.Portanto, a matriz A nao tem autovalores reais.

A partir de agora assumiremos que o corpo K = C dos numeros complexos. Asmatrizes sobre R podem ser vistas como matrizes sobre C, pois R ⊆ C, como visto nocapıtulo A.

Proposicao 5.4.2 Sejam A,B duas matrizes semelhantes, (isto e, existe uma matrizinversıvel M tal que B = M−1AM), entao :

i) det(B) = det(A)

ii) pA(x) = det(A− xIn) = det(B − xIn) = pB(x), logo tem os mesmos autovalores.

iii) Se vλ e um autovetor da matriz A, correspondente ao autovalor λ, entao M−1vλ eum autovetor de M−1AM correspondente ao autovalor λ.

Dem. Sejam A,B semelhantes, isto e, existe uma matriz M inersıvel tal que B =M−1AM .

i) Logo

det(B) = det(M−1AM) = det(M−1)det(A)det(M) = det(M)−1det(A)det(M) = det(A)

.

ii) Entao, temos que :

M−1(A− xIn)M = M−1AM − xM−1InM = B − xIn

Logo, det(A− xIn) = det(M−1(A− xIn)M) = det(B − xIn) como querıamos.


iii) Seja vλ um autovetor correspondente ao autovalor λ associado a matriz A, logo Avλ =λvλ. Entao, mostremos que M−1vλ e um autovetor de B = M−1AM . Para isto,calculemos:

BM 1vλ = (M−1AM)(M−1vλ) = M−1Avλ

Mas, como Avλ = λvλ segue-se que :

BM 1vλ = M−1(λvλ) = λ(M−1vλ)

Portanto, M−1vλ e um autovetor de M−1AM correspondente a λ.

Corolario 15 Seja A ∈ Mn semelhante a uma matriz diagonal D, entao os elementosda diagonal da matriz D sao os autovalores da matriz A.

Dem. Como as matrizes A e D sao semelhantes, temos que elas tem os mesmos autova-lores, e claramente os autovalores da matriz D sao os elementos da diagonal.

Definicao 5.4.3 Diremos que uma matriz A e diagonalizavel se for semelhante auma matriz diagonal D. Diremos que a matriz inversıvel M e diagonalizante seD = M−1AM .

Definicao 5.4.4 Diremos que um operador T sobre o espaco vetorial V e diagonalizavel,se para alguma base B de V , sua representacao matricial [T ]B e uma matriz diagonal, ediremos que a base B diagonaliza T .

Proposicao 5.4.3 Seja A uma representacao matricial de um operador T sobre o espacovetorial V . Entao, a transformacao T e diagonalizavel se, e somente se, existe uma matrizinversıvel M tal que D = M−1AM e uma matriz diagonal.

Proposicao 5.4.4 Seja A ∈Mn. A e diagonalizavel se, e somente se, a matriz A tem nautovetores linearmente independentes.

Nesta proposicao temos que os autovalores λ1, ..., λn ∈ K da matriz A nao sao neces-sariamente todos diferentes, como mostra o seguinte exemplo.

Exemplo 5.4.3 seja T : R3−→R3 tal que:

A = [T ]B =

3 1 −12 2 12 2 0


Onde B e uma base de R3. logo, o polinomio caracterıstico associado a matriz A edado por: pA(x) = (x−1)(x−2)2 e, portanto tem os autovalores 1 e 2. Calculemos agoraos subespacos vetoriais V1 e V2.

V1 =

xyz

/

3 1 −12 2 12 2 0

xyz

= 1

xyz

=

xyz

⇔

3x+ y− z = x2x+ 2y+ z = y2x+ 2y+ 0z = z

⇔

x = 2zy = 0

Portanto V1 = [

102

]

De maneira analoga, temos que V2 = [

112

]. Como os autovetores associados a

transformacao T sao multiplos de

102

ou do vetor

112

temos que nao podemos ter

uma base de R3 formada por autovetores associados a transformacao linear T . Portanto,a transformacao T nao e diagonalizavel, pois so admite dois autovetores linearmenteindependentes e deveriam ser tres segundo a proposicao 5.4.4.


(1 23 2

)do exemplo 5.4.1 e sabemos que e diagonalizavel

pois A admite dois autovetores linearmente independentes, a saber

(23

);

(1−1

)Seja

M =

(2 13 −1

), a matriz, cujas colunas sao os autovetores da matriz A. Entao, podemos

obter a matriz diagonal da seguinte forma:

M−1AM =

(1/5 1/53/5 −2/5

)(1 23 2

)(2 13 −1

)=

(4 00 −1

)= D

Proposicao 5.4.5 Seja A ∈ Mn tal que tem n autovalores diferentes, entao a matriz Ae diagonalizavel.

Veja que a recıproca da proposicao 5.4.5 nao e verdadeira, isto e, nao e verdade quese a matriz A e diagonalizavel entao os seus autovalores tem que ser diferentes, comomostra o seguinte exemplo.


Exemplo 5.4.5 Seja T : R3−→R3 tal que:

A = [T ]B =

1 2 −1−2 −3 12 2 −2

Onde B e uma base de R3.Logo, o polinomio caracterıstico e dado por pA(x) = (x + 1)2(x + 2), de onde te-

mos que V−1 = [

102

;

012

] e V−2 = [

1−11

]. Veja que a matriz A, admite

um autovalor repetido, a saber −1, mas a partir da proposicao 5.4.4 temos a base B′ =

102

;

012

;

1−11

tal que

[T ]B′ =

−1 0 00 −1 00 0 −2

Logo, a transformacao linear T e diagonalizavel.

A seguir, relacionaremos a multiplicidade de um autovalor λ associado a uma matriz A,com a dimensao do subespaco vetorial formado pelos autovetores associados ao autovalorλ. Para isto, vejamos a seguinte definicao.

Definicao 5.4.5 Seja λ um autovalor associado a matriz A ∈ Mn, cujo polinomio carac-terıstico e dado por pA(x) = (x − λ)mq(x), com q(λ) 6= 0. O numero m e chamado demultiplicidade algebrica de λ e o denotaremos por ma(λ). Chamaremos de multi-

plicidade geometrica de λ a dimensao de Vλ, que denotaremos por mg(λ).

Veja que a multiplicidade algebrica de um autovalor λ e o maior ındice j, tal que(x− λ)j divide o polinomio caracterıstico pA(x). Entao, temos a seguinte proposicao.

Proposicao 5.4.6 Seja λ um autovalor associado a matriz A ∈ Mn. Entao mg(λ) ≤ma(λ).

Veja, que a partir das proposicoes 5.4.4 e 5.4.6 temos que uma matriz A ∈ Mn ediagonalizavel se, e somente se mg(λi) = ma(λi para cada autovalor associado a matrizA.

Definicao 5.4.6 Seja f(x) = anxn + · · ·+ a0 ∈ C[x]. Se f(A) = anA

n + · · ·+ a0In = 0C,diremos que o polinomio f(x) e um polinomio anulador da matriz A e que a matriz Ae um zero de f(x).


Exemplo 5.4.6 1. seja A ∈ Mn tal que A2 = A, entao A2 − A = 0n logo segue quef(x) = x(x− 1) e um polinomio anulador da matriz A.

2. Seja A ∈ Mn tal que Ar = In, onde r e um inteiro positivo. Entao Ar − In = 0n ef(x) = xr − 1 e o polinomio anulador da matriz A.

Proposicao 5.4.7 (Teorema de Caylei Hamilton) Seja f(x) o polinomio carac-terıstico de uma matriz A ∈Mn, entao f(A) = 0n

Proposicao 5.4.8 Se λ e um autovalor da matriz A ∈ Mn e f(x) e um polinomio anu-lador da matriz A, entao f(λ) = 0.

Dem. Seja v 6= 0 um autovetor associado ao autovalor λ da matriz A. Logo Av = λv epode-se mostrar que f(A)v = f(λ)v. Mas, como f(A) = 0 temos que 0 = f(λ)v. Por-tanto, f(λ) = 0 como querıamos.

Proposicao 5.4.9 Seja A ∈ Mn e seja f(x) um polinomio anulador da matriz A. Sef(x) nao possuir raızes multiplas em C, entao a matriz A e diagonalizavel.

Exemplo 5.4.7 Toda matriz A ∈ Mn tal que seu polinomio caracterıstico e dado porf(x) = (x−λ1) · · · (x−λn) e um produto de fatores diferentes, e diagonalizavel. Recordarque todo polinomio caracterıstico em particular e um polinomio anulador.

Para finalizar, recordemos que nem toda matriz A ∈ Mn e diagonalizavel, mas parasuperar esta dificuldade pode-se demonstrar que toda matriz e semelhante a uma matriztriangular. Pode-se ainda mostrar que toda matriz A ∈ Mn e semelhante a uma matrizJ ”diagonal”da seguinte forma:

J =

J1 0J2

. . .

Jr

onde cada um dos blocos Ji, conhecidos como blocos de Jordan, onde i = 1, ..., r, e daseguinte forma:

Ji =

λi 1 0. . .

. . .

0. . . 1

0 λi

e os escalares λ1, ..., λr sao os autovalores da matriz A, nao necessariamente diferentes. Amatriz J e conhecida como Forma de Jordan da matriz A.


5.4.1 Exercıcios

1. Seja λ ∈ K um autovalor de T em V . Mostre que Vλ e um subespaco vetorial de V .

2. Seja A =

(2 73 5

)

i) Ache o polinomio caracterıstico de A.

ii) Ache os autovalores de A e os autovetores correspondentes. A e diagonalizavel?.Justifique!.

iii) Ache uma matriz M inversıvel tal que a matriz M−1AM seja uma matriz dia-gonal.

3. Seja A =

2 0 33 5 11 0 3

i) Ache o polinomio caracterıstico associado a matriz A.

ii) Considere A ∈ M3(C) e calcule os seus autovalores e verifique se a matriz A ediagonalizavel.

iii) Considere A ∈ M3(R) e ache os autovalores de A e verifique se a matriz A ediagonalizavel.


4. Seja T (x, y) = (3x− 3y, x+ 3y). Entao :

i) Encontre os autovalores de T e uma base para cada Vλ.

ii) Ache uma base B′ de R2 tal que a matriz [T ]B′ seja diagonal.

5. Seja T (x, y, z) = (2x+ y, y − z, 2y + 4z).

i) Ache os autovalores de T e uma base para cada Vλ.

ii) T e diagonalizavel? Justifique!

6. Ache uma matriz inversıvel M tal que M−1AM e uma matriz diagonal, onde:

i) A =

(3 44 3

)

ii) A =

1 −3 33 4 16 −6 2

7. Seja A e uma matriz inversıvel. Entao, mostre que se λ 6= 0 e um autovalor associadoa matriz A, entao a matriz A−1 admite λ−1 como autovalor.

8. Se A e uma matriz nao nula nilpotente, isto e Ar = 0n para algum inteiro positivor, entao mostre que todos os autovalores A sao nulos.

9. Se A2 = A, mostre que todos os autovalores de A sao iguais a 1 ou 0.

10. Suponha que λ e um autovalor da matriz A. Mostre que f(λ) e um autovalor damatriz f(A), onde f e um polinomio em C.

11. Seja A ∈M2 uma matriz simetrica (At = A). Mostre que ela e diagonalizavel.

5.5 Reconhecimento de Conicas

Nesta secao consideraremos o corpo K = R e faremos uma pequena aplicacao dos concei-tos de diagonalizacao, em particular faremos uso da diagonalisacao de matrizes simetricaspara reconhecer quadricas e conicas. Mas primeiro recordemos alguns conceitos de geo-metria analıtica.

Definicao 5.5.1 Chamaremos de distancia entre dois pontos de Rn a funcao d : Rn−→Rdada por

d((x1, ..., xn), (y1, ..., yn)) =√

(x1 − y1)2 + · · ·+ (xn − yn)2


Facilmente podem ser verificadas as seguintes propriedades para a funcao d definidaem 5.5.1:

i) d((x1, ..., xn), (x1, ..., xn)) ≥ 0

ii) d((x1, ..., xn), (y1, ..., yn)) = d((y1, ..., yn), (x1, ..., xn))

iii) d((x1, ..., xn), (y1, ..., yn)) ≤ d((x1, ..., xn), (z1, ..., zn)) + d((z1, ..., zn), (y1, ..., yn))

Definicao 5.5.2 Seja A ∈Mn. Diremos que a matriz A e ortogonal se d(Av, (0, ..., 0)) =d(v, (0, ..., 0)), para todo v ∈ Rn, e que representaremos da seguinte forma | Av |=| v |=√v · v =

√vtv

Recordemos que se B e uma base canonica de Rn entao qualquer vetor de Rn pode servisto como uma matriz coluna da seguinte forma

[(x1, ..., xn)]B =

x1...xn

entao v · v = vtv. Agora, como A e ortogonal temos que

vtv = v · v = Av ·Av = (Av)tAv = vtAtAv

Portanto segue que AtA = In ou seja que A−1 = At.

Definicao 5.5.3 Chamaremos de Conica ao lugar geometrico dos pontos (x, y) ∈ R2,cujas coordenadas, em relacao a base canonica de R2, satisfazem a seguinte identidadepolinomial:

ax2 + by2 + 2cxy + dx+ ey + f = 0

onde a, b, c, d, e, f ∈ R, e alem disso a, b, c nao sao todos nulos.

Como estamos interessados em usar as ferramentas de diagonalizacao para reconheceruma conica, simplificaremos a equacao ax2+by2+2cxy+dx+ey+f = 0 dada na definicao5.5.3.

Veja que o polinomio ax2 + by2 + cxy, que e conhecido como forma quadratica doplano, pode ser vista da seguinte forma:

ax2 + by2 + cxy =(x y

)( a c2

c2

b

)(xy

)= vtAv

onde claramente v =

(xy

)e a matriz simetrica A e dada por A =

(a c

2c2

b

).


Veja que a forma quadratica ax2 + by2 + cxy esta associada a matriz simetrica A.Estudemos agora a diagonalisacao da matriz simetrica A. Seja

pA(x) = det(A− xI2) = x2 − tr(A)x+ det(A) = 0

pA(x) = x2 − (a+ b)x+ (ab− c2

4) = 0

Logo, suas raızes estao dadas por :

λ1 =(a + b) +

√(a+ b)2 − 4(ab− c2

4)

2=

(a+ b) +√

(a− b)2 + c2

2

e

λ2 =(a+ b)−

√(a+ b)2 − 4(ab− c2

4)

2=

(a+ b)−√(a− b)2 + c2

2

Observe tambem que se λ1 = λ2 entao (a + b)2 = 4(ab− c2

4)⇔ (a− b)2 + c2 = 0 (*) e se

ambos, λ1, λ2 forem nulos temos que,

(a+ b) =√

(a− b)2 + c2 ⇔ (a + b)2 = (a− b)2 + c2 ⇔ 4ab = c2

Substituido o anterior em (*) temos que (a + b)2 = 0 ⇔ a = −b, ou seja que −4b2 =c2 ⇔ c = a = b = 0. Portanto temos que a matriz A e a matriz nula, o que e umacontradicao. Portanto, os autovalores λ1 e λ2 nao podem ser zero ao mesmo tempo, poroutro lado se λ1 = λ2 segue que (a − b)2 + c2 = 0 ou seja que c = 0 e, a = b e logo a

matriz A tem a seguinte forma A =

(a 00 a

), logo ja e diagonal. Entao, pelo anterior,

podemos considerar os autovalores λ1 e λ2 diferentes, entao pela proposicao 5.4.5 temosque a matriz A e diagonalizavel.

Seja A ∈ Mn uma matriz simetrica diagonalizavel com autovalores λ1, λ2 entao sabe-mos que

Av · w = (Av)tw = vtAtw = vtAw = v · (Aw)e como λ1 6= λ2 segue que:

λ1v1 · v2 = Av1 · v2 = v1 ·Av2 = v1 · λ2v2

Portanto segue que:(λ1 − λ2)v1 · v2 = 0

Ou seja, que os autovetores associados aos autovalores λ1, λ2 sao ortogonais.Po outro lado, como a matriz A e diagonalizavel sabemos que existe um matriz P

inversıvel, formada pelos autovetores associados aos autovalores de A tal que

D = P−1AP


onde D e uma matriz diagonal. Fazendo uso do paragrafo anterior, todos os autovetoressao ortogonais, ou seja, a matriz P e uma matriz ortogonal, logo P−1 = P t, portanto amatriz diagonal e dada por :

D = P tAP =

(λ1 00 λ2

)

A matriz P tambem e conhecida como matriz de mudanca de base, isto e, da basedada pelos autovetores que denotaremos por P para a base canonica dada por B, destaforma temos que

[v]B = P [v]P

Portanto temos que

[v]tBA[v]B = (P [v]P)tA(P [v]P) = ([v]tPP

t)A(P [v]P)

Fazendo uso da associatividade das matrizes temos que:

[v]tBA[v]B = [v]tP(PtAP )[v]P = [v]tPD[v]P

Considerando [v]P =

(x′

y′

)temos que:

(x y

)( a c2

c2

b

)(xy

)=

(x′ y′

)( λ1 00 λ2

)(x′

y′

)

Ou seja,ax2 + by2 + cxy = λ1x

′2 + λ2y′2

Assim, a forma quadratica ax2 + by2 + cxy sempre pode ser substituida pela formaquadratica λ1x

′2 + λ2y′2. Portanto a nossa equacao

ax2 + by2 + cxy + dx+ ey + f =(x y

)( a c2

c2

b

)(xy

)+(d e

)( xy

)+ f = 0

E identificada agora com:

(x′ y′

)( λ1 00 λ2

)(x′

y′

)+(d e

)P

(x′

y′

)+ f = 0

ou seja λ1x′2 + λ2y

′2 + px′ + qy′ + f = 0. Lembre que esta nova equacao refere-seao sistema de coordenadas x′0y′ cujos eixos estao determinados pela base dada pelosautovetores associados nos autovalores λ1, λ2. Fazendo uma translacao nos eixos temosque λ1x

′2 + λ2y′2 + px′ + qy′ + f = 0 pode ser vista como λ1X

2 + λ2Y2 = F esta equacao

e conhecida como equacao reduzida da conica centrada na origem.


Entao segue que

1) Se λ1, λ2 6= 0 temos:

i) Se λ1 e λ2 tem o mesmo sinal, diremos que e uma Elipse.

ii) Se λ1 e λ2 tem sinal diferente diremos que e uma Hiperbole

2) Se λ1 ou λ2 e nulo, diremos que e uma Parabola

Exemplo 5.5.1 Determinar a equacao reduzida e o tipo de conica que e representadapela equacao :

4x2 − 11

16y2 − 6xy − 4x+

9

2y − 12 = 0

Veja que podemos escrever a equacao anterior da seguinte forma:

(x y

)( 4 −3−3 11

16

)(xy

)+(−4 9

2

)( xy

)− 12 = 0

A partir do que temos calculado anteriormente, temos que os autovalores associados

a matriz A =

(4 −3−3 11

16

)sao λ1 = 4 e λ2 = −1, onde os autovetores associados sao

v1 =

(10

)associado a λ1 e v2 =

(34

)associado a λ2.

Mas como estamos interessados em vetores unitarios, consideraremos u1 =v1|v1|

e u2 =v2|v2|

como sendo as colunas da minha matriz de mudanca de base. Portanto, segue que:

(x′ y′

)( 4 00 −1

)(x′

y′

)+(−4 9

2

)( 1 35

0 45

)(x′

y′

)− 12 = 0

Ou seja, temos a seguinte equacao:

4x′2 − y′2 − 4x′ − 6y′ − 12 = 0

Fazendo agora o completamento de quadrados da equacao anterior segue que:

4x′2 − 4x′ + 1− (y′2+ 6y′ + 9) = 12 + 1− 9

4(x′ − 1

2)2 − (y′ + 3)2 = 4

(x′ − 12)2

44

− (y′ + 3)2

4= 1


Portanto, a equacao

4x2 − 11

16y2 − 6xy − 4x+

9

2y − 12 = 0

tem como equacao reduzida

(x′ − 12)2

1− (y′ + 3)2

4= 1

Que representa uma Hiperbole com foco (12,−3) e distancia

√5

5.5.1 Exercıcios

Em cada um dos exercıcios a continuacao determine a forma reduzida e determine o tipode Conica representada pela equacao:

1. x2 − 6x+ 8y + 1 = 0

2. 7x2 + y2 − 6xy − 7x+ 8y + 1 = 0

3. 4x2 + y2 + 4xy − 7√5x+ 8y + 5 = 0

4. x2 + y2 + xy + 5√3x+ 3

√5y + 5 = 0

5. 3x2 + 3y2 − 2xy + 2x− 3y + 4 = 0

6. x2 + y2 − 2xy + x− y − 16 = 0

Apendice A

Introducao a Estruturas Algebricas

A.1 Conjuntos

A matematica, como ela e mostrada geralmente nos dias de hoje, e tao abstrata quefica muito difıcil entender como ela foi construıda, ou descoberta. Mas a base de qualquerestrutura matematica esta baseada na nocao de conjunto, e isto mostra a forca desteconceito, que por outro lado, e um dos conceitos mais amplos e simples que existem.Entao vejamos a seguinte definicao.

Definicao A.1.1 Um Conjunto e um agrupamento ou reuniao de objetos que chamare-mos de elementos. Para denotar um conjunto usaremos letras maiusculas, e para denotaros elementos do conjunto usaremos letras minusculas.

Esta nocao e tao familiar, que basta olhar ao redor que vemos muitos exemplos de con-juntos, como o conjunto formado pelos alunos da aula de algebra linear, como o conjuntodos alunos do curso de computacao, como o conjunto formado pelos objetos da sua mo-chila, etc. Entao, todo conjunto esta determinado pela natureza dos seus elementos queo componhem, assim diremos que dois conjuntos sao iguais se ambos tem os mesmoselementos. Seja A um conjunto, e a um elemento (este elemento pode ser um conjunto)entao, gostarıamos de saber qual e a relacao entre o elemento a e o conjunto A. Sera queo elemento a faz parte do conjunto A?, se ele fizer, diremos que o elemento a faz parte doconjunto A, que denotaremos por a ∈ A, caso contrario, diremos que o elemento a naofaz parte do conjunto A, que denotaremos por a /∈ A. No decorrer deste texto, estaremosinteressados fundamentalmente em conjuntos formados por numeros, figuras geometricas,entre outros. Por enquanto, para descrever um conjunto, podemos especificar os seuselementos (se for finito), ou especificando a propriedade que satisfazem os seus elementos(se for infinito).

103

APENDICE A. INTRODUCAO A ESTRUTURAS ALGEBRICAS 104

Exemplo A.1.1 Consideremos as seguintes situacoes:

1. A = 1, 3, 5 ou B = Joao, Carlos,Maria

2. B = x/x e uma estrela (le-se B e o conjunto formado pelos x tal que x e umaestrela).

Existe um conjunto muito interessante, e porque nao, curioso!, que e o conjunto vazio,que denotaremos por φ. Este e o conjunto que nao tem elementos. A partir de ele-mentos de um conjunto podemos construir novos conjuntos, como os conjuntos unitarios,por exemplo x que denota o conjunto formado pelo elemento x , agora um exemplo deconjunto vazio pode ser dado por φ = x/x 6= x, e claramente φ 6= φ visto que φcontem um elemento, a saber o φ.

Definicao A.1.2 Sejam A e B dois conjuntos. Diremos que o conjunto A e subcon-

junto do conjunto B, que denotaremos por A ⊆ B, se qualquer elemento do conjuntoA faz parte dos elementos do conjunto B, caso contrario, isto e, se pelo menos um ele-mento do conjunto A nao faz parte do conjunto B, diremos que o conjunto A nao e

subconjunto do conjunto B, que denotaremos por A * B.

Nesta definicao de subconjunto fica a possibilidade do conjunto A ser um subconjuntodele mesmo, visto que todo elemento do conjunto A esta dentro do proprio conjunto A.Neste texto, usaremos a notacao A ⊂ B, para indicar que o conjunto A esta contido noconjunto B, mas existe pelo menos um elemento no conjunto B que nao esta no conjuntoA, isto e conhecido como inclusao propria ou subconjunto proprio. Podemos consi-derar como conjunto A os alunos de Engenharia desta universidade, e como conjunto Bos alunos desta Universidade, entao claramente A ⊂ B, visto que alunos de Letras naofaz parte do curso de Engenharia, por exemplo. Assim, como temos definido o conjuntovazio φ, podemos definir o conjunto universal (em muitos textos e conhecido comoUniverso do discurso ou assunto da discussao) , que denotaremos por U , que indicao conjunto que tem como propriedade, que qualquer outro conjunto A e um subconjuntode U . Por exemplo se A = x/x e alunodestaUniversidade, entao o conjunto universalU e formado portodos os alunos universitarios.

Seja A um conjunto qualquer, entao podemos construir um novo conjunto, que de-notaremos por P(A), que e o conjunto formado por todos o possıveis subconjuntos doconjunto A, isto e, os elementos do conjunto P(A) sao subconjuntos do conjunto A, logoφ e A sao elementos de P(A), e nao e dificil de mostrar que φ e um subconjunto dequalquer conjunto. Consideremos agora o seguinte exemplo.

Exemplo A.1.2 Seja A = 1, 2, 3, entao P(A) = φ,A, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 3, 2, 3

Recordemos que dados dois conjuntos, digamos A e B nao vazios, podemos construirum novo conjunto chamado de produto cartesiano, que denotaremos por A × B, estaformado por todos os pares da forma (x, y) onde x ∈ A e y ∈ B, isto e:

A×B = (x, y)/x ∈ A, y ∈ B


Estes conjuntos sao muito importantes, pois podemos definir relacoes do conjunto Ano conjunto B da seguinte forma.

Definicao A.1.3 Sejam A,B ∈ U . Chamaremos de Relacao entre o conjunto A e oconjunto B, ao subconjunto R ⊆ A×B formado por todos os pares (x, y) ∈ A×B tal quex esta relacionado com y, que denotaremos por xRy, simbolicamente temos:

R = (x, y) ∈ A× B/xRy

Consideremos uma relacao R ⊆ A × B, entao o conjunto A e o conjunto de partida,e o conjunto B de chegada da relacao R. Chamaremos ao conjunto D = x ∈ A/∃y ∈B tal que xRy ⊆ A, de domınio da relacao R, e denotaremos por I = y ∈ B/ ∃x ∈A tal que xRy ⊆ B, de conjunto Imagem definido pela relacao R. Ilustremos estesconceitos com o seguinte exemplo.

Exemplo A.1.3 Sejam A = 1, 2, 3, 4, 5 e B = 1, 2, 3, 6 conjuntos, e seja R =(1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 6), (5, 1), (5, 2). Logo o conjunto A e o conjunto de partida, eo conjunto B e o conjunto de chegada. O domınio da relacao R e dado pelo conjuntoD = 1, 2, 5 e a Imagem da relacao R e dado pelo conjunto I = 1, 2, 3, 6.

A relacao que definiremos a seguir, e uma das relacoes mais importantes na matematicaem geral, que voces reconhecerao rapidamente.

Definicao A.1.4 Sejam A,B ∈ U . A relacao R ⊆ A×B dada por: A cada elemento

x de A existe um unico elemento y em B, tal que (x, y) ∈ R, e conhecida comofuncao do conjunto A, que denota o domonio da funcao f, no conjunto B, que denota ocontradominio da funcao f e, que sera denotada por f : A−→B e f(x) = y tal que x ∈ Ae y ∈ B.

A relacao definida no exemplo A.1.3 nao e uma funcao, visto que os elementos 3, 4 ∈ Anao tem um correspondente no conjunto B, ou seja, deveriam estar em R pares da forma(3, ?) e (4, ?), isto e, o conjunto A da relacao deve coincidir com o dominio da funcaodefinida por esta relacao. Veja tambem que se o dominio da relacao definida no exemplo1.1.3 coincidese com o conjunto A, ainda assim nao seria uma funcao, pois se R e umarelacao funcao, entao a cada lelemto do conjunto A corresponde um e so um elementodo conjunto B, mas isto tambem nao acontece ja que , por exemplo, R comtem os pares(1, 2) e (1, 3), ou seja que o 1 tem duas imagens. Diremos que uma funcao f : A−→Be Injetora se f(x) = f(y) ⇒ x = y, como exemplo podemos considerar o fato emque a cada Brasilero corresponde um unico CPF, e diremos que a funcao f : A−→B esobrejetora se o conjunto imagem determinada por f coincide com o conjunto B e comoexemplo podemos considerar o fato considerar o vestibular para Medicina em que paracada vaga tem mais de um candidato para preencher esta vaga. Finalmente diremos quea funcao f : A−→B e uma bijecao se ela for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.

Muitas relacoes sao caracterizadas por satisfizerem algumas propriedades, enunciamosalgumas delas a seguir.


Definicao A.1.5 Sejam A,B ∈ U conjuntos e R ⊆ A× B uma relacao. Entao diremosque R e:

i) Reflexiva se, e somente se xRx ∀x ∈ A onde A e o domınio da relacao R.

ii) Simetrica se, e somente se, xRy ⇒ yRx.

iii) Antissimetrica se, e somente se, xRy e yRx⇒ x = y

iv) Transitiva se, e somente se, xRy e yRz ⇒ xRz.

Como exemplo, podemos considerar o conjunto formado pelas partes P(U) do conjuntouniverso U , e a relacao R ⊆ P(U) × P(U), onde (A,B) ∈ R se, e somente se, A ⊆ B.Veja que esta relacao satisfaz as seguintes propriedades.

Proposicao A.1.1 Sejam A,B,C conjuntos, entao e valido:

i) Reflexiva A ⊆ A.

ii) Antissimetrica Se A ⊆ B e B ⊆ A, entao A = B.

iii) Transitiva Se A ⊆ B e B ⊆ C, entao A ⊆ C.

A relacao dada pela proposicao anterior e dita uma relacao de ordem e, comoexemplo podemos citar a realacao definida em R dada por xRyse, esomentese, x ≤ y.Uma outra relacao muito importante usada em termos matematicos e a relacao R e deequivalencia, se ela e Reflexiva, Simetrica e Transitiva. Na relacao de antisimetria, estaimplıcita a nocao de igualdade, visto que se todos os elementos do conjunto A estao noconjunto B, e todos os elementos do conjunto B estao no conjunto A, portanto so nos retaafirmar que os dois conjuntos sao iguais. Agora a transitividade, e a base do raciocıniologico dedutivo, por exemplo se A e o conjunto dos seres humanos e, B o conjunto dosanimais e C o conjunto dos seres mortais. Entao temos que todo ser humano e animal, etodo animal e mortal, logo podemos concluir que todo ser humano e mortal. Em termossimbolicos temos: A ⊆ B e B ⊆ C, entao A ⊆ C. Veja tambem, que a relacao de inclusaoesta diretamente relacionada com a implicacao logica, por exemplo sejam P e Q aspropriedades que definem os conjuntos A e B respectivamente, isto e, x ∈ A (y ∈ B) sex satisfaz a propriedade P (y satisfaz a propriedade Q), entao temos que a propriedadeP implica a propriedade Q, que denotaremos por P ⇒ Q, para significar que A ⊆ B.Consideremos o seguinte exemplo.

Exemplo A.1.4 Sejam as propriedades P : x2 − 1 = 0 e Q : x3 + x2 − x− 1 = 0, entaotemos que toda solucao da equacao x2−1 = 0 e uma solucao da equacao x3+2x2−x−2 = 0,portanto segue que P ⇒ Q. Em termos de conjunto, temos que A = x/x2−1 = 0 e umsubconjunto de B = x/x3 + 2x2 − x− 2 = 0 ou seja A ⊆ B.

Para definir nosso proximo conceito, fixaremos o conjunto universal U , logo todos oselementos a serem considerados pertencerao ao conjunto U , e todos os conjuntos seraosubconjuntos de U . Logo temos a seguinte definicao.


Definicao A.1.6 Seja A um subconjunto de U . Chamaremos de complementar do con-junto A, que denotaremos por Ac, ao conjunto formado por todos os elementos do conjuntoUniversal U , que nao estao no conjunto A.

Veja que a partir da definicao anterior, dado um elemento x ∈ U , so temos duaspossibilidades, a saber, x ∈ A ou x /∈ A, em Logica o anterior e conhecido como oPrincipio do terceiro excluıdo, agora o fato de que as duas opcoes nao podem serverdadeiras ao mesmo tempo e conhecido como principio da nao contradicao. Apartir destes pricıpios temos as seguintes regras:

1. Para todo A ⊆ U , temos que (Ac)c = A.

2. Se A ⊆ B, entao Bc ⊆ Ac.

Sejam A,B ⊆ U , tais que o conjunto A e definido pela propriedade P , e o conjuntoB e definido pela propriedade Q. Entao o conjunto Ac e formado pelos elementos quenao satisfazem a propriedade P que denotaremos por P ′ (negacao de P ), e de maneiraanaloga Bc e dada por Q′ (negacao de Q), logo temos:

A ⊆ B ⇔ Bc ⊆ Ac ou P ⇒ Q se, e somente se, Q′ ⇒ P ′.

Em outras palavras, a implicacao P ⇒ Q e equivalente a afirmar que Q′ ⇒ P ′ (anegacao de Q implica a negacao de P ). A implicacao Q′ ⇒ P ′ e conhecida como acontrapositiva da implicacao P ⇒ Q, esta e a base da demonstracao por absurdo.Consideremos o seguinte exemplo:

Exemplo A.1.5 Sejam U = Seres vivos neste planeta , P : Seres humanos eQ : Animais. Claramente P ⇒ Q, mas se queremos usar o absurdo, segue que P ′ :Existem seres que nao sao humanos e a afirmacao Q′ : Existem seres que nao sao animais,logo segue que Q′ ⇒ P ′, visto que se existem seres que nao podem ser animais , entaoestes nao podem ser seres humanos.

O exemplo anterior mostra que temos que fazer uma distincao entre a ideia matematicade negacao e a nocao (nao matematica) de contrario ou oposto. Se um conceito eexpresso por uma palavra, o conceito contrario e expresso pelo antonimo daquela palavra.Por exemplo, o contrario de gigantesco e minusculo, mas a negacao de gigantesco incluioutras gradacoes de tamanho alem de minuscula, pois so nao pode ser gigantesco.

Vejamos agora algumas operacoes com conjuntos.

Definicao A.1.7 Sejam A,B ∈ U entao temos as seguintes operacoes:

i) Uniao : A ∪ B = x/x ∈ A ou x ∈ B.

ii) Intersecao: A ∩ B = x/x ∈ A e x ∈ B.

iii) Diferenca: A− B = x/x ∈ A e x /∈ B = A ∩Bc.


Notemos que, as operacoes entre conjuntos A∪B e A∩B constituem a contrapartidamatematica dos conectivos logicos ”ou”e ”e”. Assim, quando o conjunto A e determinadopelos elementos que satisfazem a propriedade P , e o conjunto B e determinado peloselementos que satisfazem a propriedade Q, entao segue que a propriedade que determinao conjunto A ∪ B e ”P ou Q”, denotando que um elemento do conjunto A ∪ B estadeterminado pela propriedade que e satisfeita por P ou por Q e de maneira analoga a quedetermina o conjunto A ∩B e ”P e Q”.

Exemplo A.1.6 Seja A = x/x2−3x+2 = 0 = 1, 2, entao neste caso o conjunto A edeterminado pela propriedade P : x tal que x2− 3x+2 = 0, e consideremos o conjuntoB = x/x2−5x+6 = 0 = 2, 3, determinado pela propriedade Q : x tal que x2−5x+6 = 0. Assim a afirmacao P : x tal que x2−3x+2 = 0 ou Q : x tal que x2−5x+6 = 0equivale a dizer que ”x ∈ 1, 2, 3”, e a afirmacao P : x tal que x2 − 3x+ 2 = 0eQ : x tal que x2 − 5x+ 6 = 0 equivale a dizer que x ∈ 2 ou que x = 2.

A diferenca entre o uso comum e o uso matematico do conectivo ”ou”e ilustradapela anedota do obstetra que tambem era matematico. Ao sair da sala de cirurgia, ondeacabara de realizar um parto, o obstetra foi abordado pelo pai da crianca, que lhe pergun-tou:”Foi menina ou menino doutor?”. A resposta do medico foi: ”Sim”. Efetivamente, seA e o conjunto das meninas, e B e o conjunto dos meninos e x o recem nascido, certamentetem-se que x ∈ A ∪ B.

Vejamos agora algumas propriedades satisfeitas por estas operacoes entre conjuntos.

Proposicao A.1.2 Sejam A,B,C ⊆ U . Entao sao validas as seguintes afirmacoes:

1. Comutatividade: A ∪B = B ∪A e A ∩ B = B ∩ A.

2. Associatividade: (A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) e (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

3. Distributividade: A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) e A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C).

4. Leis de De Morgan: (A ∪B)c = Ac ∩ Bc e (A ∩ B)c = Ac ∪Bc.


A.1.1 Exercıcios

1. Sejam P1, P2, Q1, Q2 propriedades referentes a elementos de um conjunto universoU e suponha que P1 e P2 esgotam todas as possibilidades dos elementos de U , esuponha ainda que Q1 e Q2 sao incompatıveis (isto e, excluem-se mutuamente).Suponha finalmente que P1 ⇒ Q1 e P2 ⇒ Q2. Prove que valem as reciprocas:Q1 ⇒ P1 e Q2 ⇒ P2.

2. Expressoes tais como ”para todo”que denotaremos por ∀ e ”qualquer que seja”sao chamados de quantificadores e aparecem em sentencas dos seguintes tipos:

i) ”Para todo x e satisfeita a condicao P (x)”.

ii) ”Existe algum x que satisfaz a condicao P (x)”,

onde P (x) e uma condicao envolvendo a variavel x.

(a) Seja A = x/P (x) e verdadeira. Escreva as sentencas anteriores usando alinguagem de conjunto.

(b) Quais sao as negacoes das duas sentencas anteriores, usando linguagem deconjuntos?.

3. Considere os seguintes conjuntos: F= Conjunto de todos os filosofos.M= Conjunto de todos os matematicos.C= Conjunto de todos os cientistas.P= Conjunto de todos os professores.

(a) Exprima cada uma das afirmacoes abaixo, usando a linguagem de conjuntos:

i. Todos os matematicos sao cientistas.

ii. Alguns matematicos sao professores.

iii. Alguns cientistas sao filosofos.

iv. Todos os filosofos sao cientistas ou professores.

v. Nem todo professor e cientista.

vi. Alguns matematicos sao filosofos.

vii. Nem todo filosofo e cientista.

viii. Alguns filosofos sao professores.

ix. Se um filosofo nao e matematico, ele e professor.

x. Alguns filosofos sao matematicos.

(b) Tomando as primeiras cinco afirmacoes anteriores como hipoteses, verifiquequais das afirmativas restantes sao verdadeiras.


4. O artigo 34 da Constituicao Brasileira de 1988 diz o seguinte: ”A uniao nao interviranos Estados nem no Distrito Federal, exceto para:I Manter a integridade nacional;II Repelir invasao estrangeira ou de unidade da Federacao em outra”

(a) Suponhamos que o estado do Rio de Janeiro seja invadido por tropas de SaoPaulo. O texto acima obriga a Uniao a intervir no estado?. Na sua opiniao,era a intencao dos legisladores nesse caso?.

(b) Rescreva o texto do artigo 34 de modo a torna-lo mais preciso.

5. Mostre as propriedades das operacoes com conjuntos dadas na proposicao 1.1.2.

6. Sejam A,B,C conjuntos. Ache uma condicao necessaria e suficiente para que:

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ C

7. Determine uma condicao necessaria e suficiente para que tenhamos:

A− (B − C) = (A− B)− C

A.2 Naturais, Inteiros e Racionais

Nesta secao daremos uma construcao dos conjuntos numericos Naturais, Inteiros eRacionais, alem de dar algumas das propriedades mais importantes deles. Desde queaprendemos a falar, muitas palavras sao ensinadas sem nenhuma definicao ou significadomas de certa forma passam a fazer parte das nossas regras de comunicacao. Estas palavrassao conhecidas como conceitos primitivos. Para poder empregar os conceitos primitivosadequadamente, e necessario dispor de um conjunto de princıpios ou regras que disciplinemsua utilizacao e estabelecam suas propriedades. Na matematica estes princıpios ou regrassao conhecidas como Axiomas ou postulados. Assim como os conceitos primitivossao objetos que nao se definem, os axiomas sao proposicoes que nao se demonstram.Uma vez feita a lista dos conceitos primitivos e enunciados os axiomas de uma teoriamatematica, todas as demais nocoes devem ser definidas e as afirmacoes demonstradas,nisto consiste o chamado Metodo Axiomatico. As proposicoes a serem demonstradaschamam-se Teoremas e suas consequencias imediatas sao conhecidas como Corolarios.Uma proposicao auxiliar usada na demonstracao do Teorema, e conhecida como Lema.

No limiar do seculo vinte, o matematico Italiano Giuseppe Peano consegue dar umadescricao precisa do conjunto dos numeros naturais, que denotaremos porN, estabelecendouma construcao Axiomatica onde os conceitos primitivos sao ”numero” e ”sucessor”.Intuitivamente, quando n, n′ ∈ N, dizer que n′ e o sucessor de n significa que n′ vemlogo depois de n, nao havendo outros numeros naturais no meio. Logo, ”sucessor” setransforma em ”logo depois”, portanto nao e uma definicao.


Vejamos agora os Axiomas de Peano que regem estes conceitos primitivos:

1. Todo numero natural tem um unico sucessor.

2. Numeros naturais diferentes tem sucessores diferentes.

3. Existe um unico numero natural, chamado um e representado pelo sımbolo 1, quenao e sucessor de nenhum outro.

4. Seja X um conjunto de numeros naturais. Se 1 ∈ X e se, o sucessor de todo elementode X esta em X , entao X = N.

O ultimo axioma de Peano, e conhecido como axioma de inducao, que pode serformulado da seguinte maneira: Seja P (n) a propriedade relativa ao numero natural n.Suponhamos que :

i) P (i) e valida.

ii) Para todo n ∈ N, a validez de P (n) implica a validez de P (n′), onde n′ e o sucessorde n.

Entao P (n) e valida para qualquer que seja o numero natural n. Efetivamente, sechamarmos de X o conjunto dos Numeros naturais n tais que P (n) e verdadeira, temosque 1 ∈ X pela sentenca i) anterior, e se n ∈ X , entao n′ ∈ X pela sentenca ii) anterior.Logo, pelo axioma de inducao temos que X = N. No seguinte exemplo fica mais clara aforca do axioma de inducao.

Exemplo A.2.1 Seja P (n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n(n+1)2

. Sera que P (n) e verdadeira paratodo n natural?. Usemos nosso processo indutivo para responder a pergunta anterior.

Para n = 1 temos que P (1) : 1 = 1(1+1)2

= 1, logo para n = 1 a afirmacao P (1) everdadeira. Entao vamos supor agora que a afirmacao anterior vale para n = k, ou sejaque P (k) e verdadeira (isto e conhecida como hipoteses de inducao), e mostremos quevale para n = k + 1. Pela hipoteses de inducao temos que :

P (k) : 1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

2

Como e uma igualdade, podemos somar k + 1 nos dois lados da igualdade e temos que :

1 + 2 + · · ·+ k + k + 1 =k(k + 1)

2+ (k + 1) =

(k + 1)(k + 2)

2: P (k + 1)

Portanto, P (n) e valido para todo n ∈ N.

Nos numeros Naturais, podemos definir a seguinte funcao + : N×N−→N da seguinteforma:

+(n,m) = n+m

Esta definicao pode ser feita indutivamente, mas nao entraremos em detalhes nistopois, nao e o objetivo deste texto. Na seguinte proposicao enunciamos as propriedadessatisfeitas pela funcao +, para isto assumiremos que o conjunto dos numeros naturaiscontem o 0, isto e, N = 0, 1, 2, 3, ....


Proposicao A.2.1 A funcao + : N× N−→N satisfaz:

i) Associatividade: (a+b)+c=a+(b+c)

ii) Neutro: a+0=0+a=a ∀a, b, c ∈ N

iii) Comutatividade: a+b=b+a

Entao, diremos que (N,+) tem uma estrutura algebrica conhecida como Grupoide.Aqui fica claro a falta de elemento inverso, isto e, para qualquer elemento a ∈ N. Seraque existe um numero a′ ∈ N tal que a + a′ = 0?.

Para tentar resolver este problema, consideremos a seguinte relacao R0 em N× N talque: Sejam a, b, c, d ∈ N entao

(a, b)R0(c, d)⇔ a + d = b+ c

Nao e difıcil verificar que esta relacao R0, e Reflexiva, Simetrica e Transitiva (exerci-cio), logo e uma relacao de equivalencia. Mostremos agora algumas classes :[1, 1] = (a, b) ∈ N× N/1 + b = 1 + a = (1, 1), (2, 2), ... = 0[2, 1] = (a, b) ∈ N× N/2 + b = 1 + a = (2, 1), (3, 2), ... = 1[1, 2] = (a, b) ∈ N× N/1 + b = 2 + a = (1, 2), (2, 3), ... = −1

Definicao A.2.1 Chamaremos de conjunto dos numero inteiros, o conjunto cujos ele-mentos sao as classes de equivalencia determinados pela relacao R0, que denotaremospor:

Z = ...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3...

Como cada classe de equivalencia e um numero inteiro, podemos definir a seguintefuncao ⊕ : Z × Z−→Z dada por ⊕(x, y) = x ⊕ y, que vistos como classes temos⊕([x1, x2], [y1, y2]) = [x1+y1, x2+y2]. Por exemplo −1⊕1 = [1, 2]⊕ [2, 1] = [1+2, 2+1] =[3, 3] = [1, 1] = 0 como querıamos. Estamos usando o sımbolo ⊕ so para diferenciar dasoma usual em N, mas sem medo a ter confusao usaremos o sımbolo + no lugar de ⊕.Entao vejamos agora as propriedade desta soma de inteiros na seguinte proposicao.

Proposicao A.2.2 Sejam x, y, z ∈ Z, entao sao validas:

i) Associatividade: (x+ y) + z = x+ (y + z)

ii) Neutro: ∃0 ∈ Z tal que 0 + x = x+ 0 = x

iii) Inverso: ∀x ∈ Z, ∃ − x ∈ Z tal que x+−x = −x+ x = 0

iv) Comutatividade: x+ y = y + x


Assim como temos definido a soma em Z, nas classes de equivalencia dadas por R0,podemos definir o produto em Z, da seguinte forma:

⊙ : Z× Z−→Z

dada por ⊙(x, y) = ⊙([x1, x2], [y1, y2]) = [x1y1 + x2y2, x1y2 + x2y1] = x ⊙ y, ondex = [x1, x2], y = [y1, y2] ∈ Z. As propriedades deste produto estao dadas pela seguinteproposicao.

Proposicao A.2.3 Sejam x, y, z ∈ Z, entao sao validas:

i) Associatividade: (x⊙ y)⊙ z = x⊙ (y ⊙ z)

ii) Neutro: ∃1 ∈ Z tal que 1⊙ x = x⊙ 1 = x

iii) Comutatividade: x⊙ y = y ⊙ x

E relacionando as duas operacoes temos:

iv) Distributividade a direita: x⊙ (y + z) = x⊙ y + x⊙ z

v) Distributividade a esquerda: (x+ y)⊙ z = x⊙ z + y ⊙ z

Veja que nem todo numero inteiro tem um inverso multiplicativo, i.e., dado um x 6=0, 1 ∈ Z, nao e possıvel achar um inteiro y ∈ Z tal que x ⊙ y = 1, por exemplo, seconsideramos o 2 ∈ Z nao e possıvel achar um inteiro x tal que 2 ⊙ x = 1. O conjunto(Z,+,⊙) e dito um Anel comutativo com unidade. No produto definido acima, ficaimplıcita a nocao de divisibilidade, ou seja, o inteiro a divide o inteiro b se existe uminteiro c tal que a = b⊙ c. Para nao carregar muito a notacao faremos x⊙ y = xy.Existem certos inteiros que merecem destaque, como a nocao de um inteiro ser primo, istoe, diremos que um numero inteiro p, diferente de 1,−1, e primo se os unicos divisores delesao ±1,±p. Um resultado muito importante e que todo numero inteiro α pode-se escrevercomo o produto de um numero finito de numeros primos, ou seja, α = pα1

1 · pα2

2 · · · pαt

t ,onde p1, ..., pt sao numeros primos e α1, ..., αt ∈ N.

Fazendo uma analogia com a construcao dos numeros inteiros a partir de classes deequivalencia, podemos fazer a construcao de um novo conjunto numerico, que veremos aseguir.

Consideremos primeiro o conjunto Z∗ = Z − 0 = ...,−3,−2,−1, 1, 2, 3, ..., entaodefinamos a seguinte relacao R1 no conjunto Z× Z∗, onde (a, b)R1(c, d)⇔ ad = bc. Estarelacao e uma relacao de equivalencia, ou seja R1 e Reflexiva, Simetrica e Transitiva.Entao calculemos algumas classes de equivalencias dadas pela relacao R1.


Exemplo A.2.2 Seja R1 como antes :

1. Calculemos a classe dada pelo par (1, 2) que denotaremos por [1, 2] ou por 12:

1

2= [1, 2] = (a, b)/(a, b)R1(1, 2)

1

2= (a, b)/2a = b = (±1,±2), (±2,±4), (±3,±6), ....

2. Calculemos a classe dada pelo par (0, 1):

0

1= [0, 1] = (0,±1), (0,±2), (0,±3), ...

Em geral temos que a classe de um par (x, y) ∈ Z× Z∗e dada por:

x

y= [x, y] = (a, b) ∈ Z× Z∗/(a, b)R1(x, y)

Logo, temos a seguinte definicao.

Definicao A.2.2 Chamaremos de conjunto dos numeros racionais, que denotaremos porQ, o conjunto formado por todas as classes de equivalencia geradas pela relacao R1, istoe:

Q = xy/x

ye a classe de equivalencia determinada por R1

Vejamos a seguir as definicoes de soma e produto em Q.

Definicao A.2.3 Sejam ab, cd∈ Q. Usaremos o sımbolo ⊕ e ⊙ para denotar a soma e o

produto em Q, dados como segue:

a

b⊕ c

d=

ad+ bc

bde

a

b⊙ c

d=

ac

bd

Na notacao abo inteiro a e chamado de numerador, e o inteiro b e chamado de

denominador, entao como quociente pode ser visto como a comparacao, ou razao, dedois numeros inteiros. Temos usado a notacao ⊕ e ⊙ para denotar a soma e produtode numeros racionais, mas se considerarmos os denominadores iguais a 1, temos queestaremos com as operacoes de soma e produto usuais de N e de Z, entao de agora emdiante usaremos a notacao usual de soma e produto. Vejamos agora as propriedades tantoda soma como o produto de numeros racionais na seguinte proposicao.


Proposicao A.2.4 Sejam x, y, z ∈ Q, entao sao validas com a soma:

i) Associatividade: (x+ y) + z = x+ (y + z)

ii) Neutro: ∃0 ∈ Q tal que 0 + x = x+ 0 = x

iii) Inverso: ∀x ∈ Q, ∃ − x ∈ Q tal que x+−x = −x+ x = 0

iv) Comutatividade: x+ y = y + x

Agora com o produto sao validas:

v) Associatividade: (x⊙ y)⊙ z = x⊙ (y ⊙ z)

vi) Neutro: ∃1 ∈ Q tal que 1⊙ x = x⊙ 1 = x

vii) Inverso: ∀x 6=∈ Q, ∃y 6=∈ Q tal que x · y = y · x = 1

viii) Comutatividade: x⊙ y = y ⊙ x


ix) Distributividade a direita: x⊙ (y + z) = x⊙ y + x⊙ z

x) Distributividade a esquerda: (x+ y)⊙ z = x⊙ z + y ⊙ z

O conjunto dos numeros Racionais (Q,+, ·) com as propriedades dadas pela proposicaoanterior e dito de Corpo comutativo com unidade.

A.2.1 Exercıcios

1. Mostre que a relacao R0, que define os Inteiros Z, e uma relacao de equivalencia.

2. Mostre que dadas duas classes de equivalencia quaisquer definidas por R0 sao dis-juntas.

3. Represente geometricamente as classes [1, 4], [9, 1]e [5, 9] dadas por R0.

4. Usando a notacao das classes em Z, mostre as propriedades da soma e produto emZ.

5. Mostre que a relacao R1 que define os numeros racionais Q, e uma relacao deequivalencia.

6. Mostre que dadas duas classes de equivalencias quaisquer, definidas por R1 saodisjuntas.

7. Represente geometricamente as classes [1, 4], [9, 1] e [5, 9] das por R1.

8. Mostre as propriedades da soma e do produto dos racionais enunciadas na pro-prosicao 1.2.4.


A.3 Reais e Complexos

Na secao anterior vimos que (Q,+, ·) tem uma estrutura algebrica chamada de corpo.Muitos filosofos, antes de Cristo, em especial Pitagoras, pensavam que esses eram todosos possıveis numeros, ou que dado qualquer medida de segmento sempre erapossıvel achar dois inteiros positivos (tambem medidas de segmentos) tal quena comparacao era a medida do segmento inicial. Tentaram por muito tempoprovar esta afirmacao ate que se depararam com uma medida, a qual mostrava que estaafirmacao era realmente falsa, esta medida era dada pela diagonal de um quadrado, delado um, ou seja em nomenclatura de hoje,

√2, entao mostremos a seguinte proposicao.

Proposicao A.3.1√2 nao e Racional.

Dem. Vamos mostrar isto por absurdo, isto e, vamos supor que existem inteiros, semfatores em comum a, b ∈ Q tal que

√2 = a

b. Entao segue que:

2 =a2

b2↔ 2b2 = a2

Como os inteiros a, b nao tem fatores em comum, e dois e primo, temos que o 2 dividea2, logo divide a, isto e, a = 2q para algum q ∈ Q, logo temos que:

a2 = 4q2 ↔ 2b2 = a2 = 4q2 ↔ b2 = 2q2

De maneira analoga, segue que 2 divide b2, ou seja b tambem e multiplo de 2, mostrandoque os inteiros a, b tem um fator em comum (que e 2), o que e uma contradicao. Portanto,√2 nao e racional.

A partir da proposicao anterior vemos que construir numeros, que nao podem ser dadoscomo quociente de dois inteiros, e relativamente facil. Estes numeros sao conhecidos comoIrracionais e denotaremos por

I = x/∄a, b ∈ Z; x =a

b

o conjunto dos numero Irracionais. Seguindo a linha de conjuntos denotaremos por R =Q⋃I o conjunto dos numeros Reais (este conjunto e muito usado e trabalhado nas aulas

de Calculo). Usando as operacoes de soma e produto de Q podemos induzir operacoesde soma e produto em R, entao desta forma R tem uma estrutura algebrica de corpo.Sera que existe um outro corpo que contenha o corpo R?. E porque deveria existir, seexistisse?. Na verdade, quando trabalhamos numa estrutura como um corpo, podemostrabalhar na busqueda de solucoes a problemas de tipo algebricos, como achar solucoesde equacoes algebricas de segundo grao dada por ax2 + bx + c = 0, onde a, b, c ∈ R porexemplo. Entao, gostarıamos que as solucoes de uma equacao definida em R, como aanterior, tenha todas as suas solucoes tambem em R, mas basta considerar a equacao


x2 + 1 = 0 e vemos que isto nao acontece (nao existe nenhum numero real tal que seuquadrado seja negativo). Entao consideremos o seguinte conjunto :

C = z = a+ bi/a, b ∈ R, i2 = −1onde a denota a parte real de z ∈ C, e b a parte imaginaria de z ∈ C. O conjunto C echamado de conjunto dos numeros Complexos.

O conjunto dos numeros complexos C pode ser identificados com o plano cartesianoR2 = (x, y)/x, y ∈ R, onde a primeira coordenada e identificada com a parte real, e asegunda coordenada e identificada com a parte imaginaria do complexo z = x + yi ∈ C.Consideremos z = x + yi ∈ C, entao chamaremos de conjugado de z o complexo z =x − yi, que e o simetrico ao complexo z, com relacao ao eixo x, vistos geometricamenteem R2.

Definamos agora a soma em C, que denotaremos por ⊕ da seguinte forma :

⊕ : C× C−→C

onde ⊕(z1, z2) = z1 ⊕ z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i, e z1 = a1 + b1i ; z2 = a2 + b2i.Na proposicao a seguir sao dadas as propriedades satisfeitas por esta soma em C.

Proposicao A.3.2 Seja (C,⊕) e sejam z1 = a1 + b1i , z2 = a2 + b2i, z3 = a3 + b3i ∈ C.Entao sao validas:

i) Associatividade: (z1 ⊕ z2)⊕ z3 = z1 ⊕ (z2 ⊕ z3)

ii) Neutro: ∃0 = 0 + 0i ∈ C tal que 0⊕ z1 = z1 ⊕ 0 = z1

iii) Inverso: ∀z = a + bi ∈ C, ∃ − z = −a + (−b)i ∈ C tal que z ⊕ (−z) = (−z)⊕ z =0 + 0i = 0

iv) Comutatividade: z1 ⊕ z2 = z2 ⊕ z1

A partir da proposicao anterior podemos concluir que (C,⊕) e um grupo abeliano.Definamos agora o produto em C, que denotaremos por ⊙, da seguinte forma: Sejamz1 = a1 + b1i ; z2 = a2 + b2i ∈ C

⊙ : C× C−→C

onde ⊙(z1, z2) = z1 ⊙ z2 = a1a2 − b1b2 + (a1b2 + a2b1)i. Na seguinte proposicao daremosas propriedades satisfeitas por este produto.


Proposicao A.3.3 Seja (C,⊙) e sejam z1 = a1 + b1i , z2 = a2 + b2i, z3 = a3 + b3i ∈ C.Entao sao validas:

i) Associatividade: (z1 ⊙ z2)⊙ z3 = z1 ⊙ (z2 ⊙ z3)

ii) Neutro: ∃1 = 1 + 0i ∈ C tal que 1⊙ z1 = z1 ⊙ 1 = z1

iii) Inverso: ∀z = a+ bi ∈ C, ∃ z′ = aa2+b2

− bia2+b2

= z⊙ z ∈ C tal que z ⊙ z′ = z′⊙ z =

1 + 0i = 1

iv) Comutatividade: z1 ⊙ z2 = z2 ⊙ z1


v) Distributividade a direita: z1 ⊙ (z2 ⊕ z3) = z1 ⊙ z2 ⊕ z1 ⊙ z3

vi) Distributividade a esquerda: (z1 ⊕ z2)⊙ z3 = z1 ⊙ z3 ⊕ z2 ⊙ z3

Portanto, temos que (C,⊕,⊙) e um corpo, onde toda equacao algebrica em C temtodas as suas solucoes em C, e o corpo com esta propriedade se diz ser Algebricamentefechado. De agora em diante, sem medo a cometer erro, assumiremos z ⊕ z1 = z + z1 ez ⊙ z1 = zz1 ∀ z, z1 ∈ C.

A.3.1 Exercıcios

1. Mostre que a relacao ≤ em R, e uma relacao Reflexiva, antissimetrica e transitiva(estas relacoes sao conhecidas como relacoes de ordem).

2. Mostre que todo complexo z = x+yi ∈ C pode-se escrever como z = r(cosα+i sinα)

onde r =√zz e α e o angulo formado pelo vetor

−−−−−−−→(0, 0)(x, y).

3. Mostre as propriedades da soma e produto em C.

4. Seja Q(√2) = a+b

√2/a, b ∈ Q, onde a soma e dada por (a+b

√2)

⊕(c+d

√2) =

(a + c) + (b+ d)√2 e o produto e dado por (a + b

√2)

⊙(c + d

√2) = (ac + 2bd) +

(ad+ bc)√2. Mostre que o conjunto Q(

√2) e um corpo comutativo com unidade.

5. Calcule a seguinte expressao: 2+i2

3−4i

6. Mostre que z1 + z2 = z1 + z2 ∀z1, z2 ∈ C.

7. Resolva a equacao iz + 2z + 1− i = 0.

8. Seja z ∈ C uma solucao da equacao x2 + bx+ c = 0 onde b, c ∈ R, entao mostre quez tambem e solucao da equacao anterior.

9. Seja K o conjunto de todos os numeros que podem ser escritos na forma a + b√2,

onde a e b sao numeros racionais. Mostre que K e um corpo.

Referencias Bibliograficas

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Cristian Patricio Novoa BustosDepto. de Matematica e FısicaUniversidade Catolica de Goias

Av. Universitaria s/n. St. UniversitarioGoiania-Goias. Brasil

[email protected]

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