IntroduIntrodução a árvores AVLção a árvores AVL

Prof. Ernesto Lindstaedt

Definição Definição

O nome AVL vem dos seus criadores Adelson O nome AVL vem dos seus criadores Adelson Velsky e Landis (1962); Velsky e Landis (1962);

Uma ABP Uma ABP TT é denominada é denominada AVLAVL se:se:•• Para todos nós de Para todos nós de TT, as alturas de suas duas , as alturas de suas duas

subsub--árvores diferem árvores diferem no máximo em uma no máximo em uma unidade;unidade;

Uma ABP é Uma ABP é completamente balanceadacompletamente balanceadaquando a distância média dos nós até a raiz for quando a distância média dos nós até a raiz for mínima.mínima.

Definição Definição Balanceamento EstáticoBalanceamento EstáticoEste balanceamento consiste em, depois de um Este balanceamento consiste em, depois de um certo tempo de uso da árvore, destruir sua certo tempo de uso da árvore, destruir sua estrutura, guardando suas informações em uma estrutura, guardando suas informações em uma lista ordenada e reconstruílista ordenada e reconstruí--la de forma la de forma balanceada. balanceada.

Balanceamento DinâmicoBalanceamento DinâmicoTem por objetivo reajustar os nós de uma árvore Tem por objetivo reajustar os nós de uma árvore sempre que uma inserção ou remoção provocar sempre que uma inserção ou remoção provocar desbalanceamento.desbalanceamento.

Definição Definição Como saber se a árvore está Como saber se a árvore está desbalanceada desbalanceada ??•• Verificando se existe algum nó “desregulado”.Verificando se existe algum nó “desregulado”.

Como saber se um nodo está Como saber se um nodo está desregulado desregulado ? ? •• SubtraindoSubtraindo--se as alturas das suas subse as alturas das suas sub--árvores. árvores.

Por questões de Por questões de eficiênciaeficiência, estas diferenças são , estas diferenças são prépré--calculadas e armazenadas nos nós calculadas e armazenadas nos nós correspondentes, sendo atualizadas durante as correspondentes, sendo atualizadas durante as operações.operações.

AVL AVL –– Fator de BalanceamentoFator de BalanceamentoPossíveis valores de diferença para cada nó em Possíveis valores de diferença para cada nó em uma árvore balanceada: uma árvore balanceada: --11, , 00, , 11..

Fator de Balanceamento (FB) de cada nó da Fator de Balanceamento (FB) de cada nó da árvoreárvore•• FB(p)FB(p) = h(sae(p)) = h(sae(p)) –– h(sad(p)) :h(sad(p)) :

h = alturah = alturap = nóp = nósae = subsae = sub--árvore à esquerdaárvore à esquerdasad = subsad = sub--árvore à direitaárvore à direita

Em uma árvore binária balanceada todos os FB Em uma árvore binária balanceada todos os FB de todos os nós estão no intervalo de todos os nós estão no intervalo --1 1 ≤≤ FB FB ≤≤ 1.1.

AVLAVL

Exemplo de uma ABP não AVLExemplo de uma ABP não AVLInserção: 4, 1, 3, 6, 5, 2 e 7

4

1 6

3

2

75

1

-2

1

0

0

0 0

Fator de BalanceamentoEx.: Nó Raiz

FB(“4”) = 3 – 2 FB(“4”) = 1

AVL AVL –– VantagemVantagemA vantagem de uma árvore balanceada com A vantagem de uma árvore balanceada com relação a uma degenerada está em sua relação a uma degenerada está em sua eficiência;eficiência;

Ex.: numa árvore binária degenerada de 10.000 Ex.: numa árvore binária degenerada de 10.000 nós são necessárias, em média, 5.000 nós são necessárias, em média, 5.000 comparações (semelhança com arrays ordenados comparações (semelhança com arrays ordenados e listas encadeadas);e listas encadeadas);

Numa árvore balanceada com o mesmo número Numa árvore balanceada com o mesmo número de nós essa média reduzde nós essa média reduz--se a 14 comparações.se a 14 comparações.

AVL AVL –– OperaçõesOperaçõesA inserção ou remoção de um nó em uma árvore A inserção ou remoção de um nó em uma árvore AVL AVL podepode ou ou nãonão provocar seu provocar seu desbalanceamento;desbalanceamento;

Se a árvore AVL ficar desbalanceada, a Se a árvore AVL ficar desbalanceada, a restauração do seu balanceamento é realizado restauração do seu balanceamento é realizado através de através de ROTAÇÕESROTAÇÕES..

Rotação Dupla:Rotação à EsquerdaRotação à Direita

Rotação Simples:Rotação à EsquerdaRotação à Direita

AVL AVL –– Classe Nodo Classe Nodo public class public class AvlNodeAvlNode {{

protected int height; protected int height; protected int key;protected int key;protected AvlNode left, right;protected AvlNode left, right;

public AvlNode ( int theElement ) {public AvlNode ( int theElement ) {this( theElement, null, null );this( theElement, null, null );

}}

public AvlNode ( int theElement, AvlNode lt, AvlNode rt public AvlNode ( int theElement, AvlNode lt, AvlNode rt ) ) {{

key = theElement;key = theElement;left = lt;left = lt;right = rt;right = rt;height = 0;height = 0;

}}}}

AVL AVL –– Rotação Simples à DireitaRotação Simples à DireitaToda vez que uma subToda vez que uma sub--árvore fica com um árvore fica com um fator:fator:•• positivopositivo e sua sube sua sub--áárvore da esquerda tambrvore da esquerda tambéém m

tem um fator tem um fator positivopositivo

120

110 150

100

80

130 200

1

0

0

0

120

100 150

80 110 130 200

0

0

00

0

0 0

2

01

AVL AVL –– Rotação Simples à DireitaRotação Simples à Direita

k2

k1

x y

z

Nó k2 é a raiz de transformação

X, Y e Z são subárvores (vazias ou não)

AVL AVL –– Classe InicialClasse Inicial

public class AvlTree {private AvlNode root = null;

/** Retorna a altura da árvore */private static int height ( AvlNode t ) {

return t == null ? 0 : t.height;}

/** Retorna o maior valor ente lhs e rhs. */private static int max ( int lhs, int rhs ) {

return lhs > rhs ? lhs : rhs;}

/** Retorna o fator de balanceamento da árvore com raiz t */private int getFactor (AvlNode t) {

return height( t.left ) - height( t.right );}

AVL AVL –– Rotação Simples à DireitaRotação Simples à Direita

k2

k1

x y

z

k1

k2

y z

xRotação Direita

private static AvlNode doRightRotation( AvlNode k2 ) {AvlNode k1 = k2.left;k2.left = k1.right;k1.right = k2;k2.height = max( height( k2.left ), height( k2.right ) ) + 1;k1.height = max( height( k1.left ), k2.height ) + 1;return k1;

}

AVL AVL –– Rotação Simples à DireitaRotação Simples à Direita

42

15 88

6 27

1

Incluir 4

42

15 88

6 27

2

01

1 0

40

0 0

0 0

AVL AVL –– Rotação Simples à DireitaRotação Simples à Direita

RotaçãoDireita

42

15 88

6 27

15

6 42

4 27

0

01

0 0880

Ajustado!

2

1 0

1 0

40

AVL AVL –– Rotação Simples à EsquerdaRotação Simples à EsquerdaToda vez que uma subToda vez que uma sub--árvore fica com um árvore fica com um fator:fator:•• negativonegativo e sua sube sua sub--áárvore da direita tambrvore da direita tambéém tem m tem

um fator um fator negativo negativo 120

100 130

150

200

80 110

Rotação Esquerda

-1

0

0 0

0

-2

-1

120

100 150

80 110 130 200

Completamente BalanceadaFB = 0

AVL AVL –– Rotação Simples à EsquerdaRotação Simples à Esquerdak2

k1

x y

z

k1

k2

y z

x

Rotação Esquerda

private static AvlNode doLeftRotation( AvlNode k1 ) {AvlNode k2 = k1.right;k1.right = k2.left;k2.left = k1;k1.height = max( height( k1.left ), height( k1.right ) ) + 1;k2.height = max( height( k2.right ), k1.height ) + 1;return k2;

}

AVL AVL –– Rotação Simples à EsquerdaRotação Simples à Esquerda

42

15 88

9467

-1

00

0 0

Incluir 90

42

15 88

9467

-2

-10

0 1

900

AVL AVL –– Rotação Simples à EsquerdaRotação Simples à Esquerda

88

42 94

9067

0

Ajustado!

42

15 88

9467

-2

RotaçãoEsquerda0 -1 0 1

0150 1 00

900

AVL AVL –– Rotação Dupla à DireitaRotação Dupla à DireitaToda vez que uma subToda vez que uma sub--árvore fica com um árvore fica com um fator:fator:•• positivopositivo e sua sube sua sub--áárvore da esquerda tem um rvore da esquerda tem um

fator fator negativonegativo120

110 150

80

100

130 200

Rotação DuplaDireita

1

2

-1

0 0

0

0

AVL AVL –– Rotação Dupla à Rotação Dupla à DireitaDireita

DIREITA

ESQUERDA

120

110 150

80

100

130 200

120

110 150

100

80

130 200

120

100 150

80 110 130 200

AVL AVL –– Rotação Dupla à DireitaRotação Dupla à Direitak3

k1

a

b

d

k2

k3

c d

Rotação Esquerda

k2

c

k1

a b

k3

k2

c

a

d

k1

b

RotaçãoDireita

1

2

AVL AVL –– Rotação Dupla à DireitaRotação Dupla à Direita

Rotação DuplaDireita

k3

k1

a

b

d

k2

c

k2

k3

c d

k1

a b

private static AvlNode doDoubleRightRotation( AvlNode k3 ) {

k3.left = doLeftRotation( k3.left );return doRightRotation( k3 );

}

AVL AVL –– Rotação Dupla à DireitaRotação Dupla à Direita

42

15 88

276

Incluir 34

42

15 88

276

2

0-1

-10

34 0

1

0 0

0 0

AVL AVL –– Rotação Dupla à DireitaRotação Dupla à Direita

Rotação DuplaDireita

PASSO 1Rotação Esquerda

42

15 88

276

242

27 88

3415

2

01

1

6

0

-1 0

0 -1

34 00

AVL AVL –– Rotação Dupla à DireitaRotação Dupla à DireitaPASSO 2

Rotação DireitaRotação

DuplaDireita 27

15 42

34

42

27 88

3415

02

1 01 0

6 0 08801 0

60

AVL AVL –– Rotação Dupla à EsquerdaRotação Dupla à EsquerdaToda vez que uma subToda vez que uma sub--árvore fica com um árvore fica com um fator:fator:•• negativonegativo e sua sube sua sub--áárvore da direita tem um fator rvore da direita tem um fator

positivopositivo120

100 130

200

150

80 110

Rotação Dupla

Esquerda

-1

-2

1

00

0

0

AVL AVL –– Rotação Dupla à EsquerdaRotação Dupla à Esquerda

DIREITA

120

100 130

200

150

80 110

ESQUERDA

120

100 130

150

200

80 110

120

100 150

80 110 130 200

AVL AVL –– Rotação Dupla à EsquerdaRotação Dupla à Esquerdak1

k3

d

b

a

k2

c

ROTAÇÃO DIREITA

k1

k2

b

c

a

k3

dk2

k3

c d

k1

a b

ROTAÇÃOESQUERDA

AVL AVL –– Rotação Dupla à EsquerdaRotação Dupla à Esquerda

k1

k3

d

b

a

k2

c

Rotação Dupla

Esquerda

k2

k3

c d

k1

a b

private static AvlNode doDoubleLeftRotation (AvlNode k1) {k1.right = doRightRotation( k1.right );return doLeftRotation( k1 );

}

AVL AVL –– InserçãoInserção• Percorre-se a árvore verificando se a chave já existe ou não

• Em caso positivo, encerra a tentativa de inserção• Caso contrário, a busca encontra o local correto de inserção

do novo nó

• Verifica-se se a inclusão tornará a árvore desbalanceada• Em caso negativo, o processo termina• Caso contrário, deve-se efetuar o balanceamento da árvore

• Descobre-se qual a operação de rotação a ser executada

• Executa-se a rotação

AVL AVL –– Método para inserçãoMétodo para inserçãoprivate AvlNode insert (int x, AvlNode t) {

if( t == null ) t = new AvlNode( x, null, null );else if( x<t.key ) t.left = insert( x, t.left );else if( x>t.key) t.right = insert( x, t.right );if ( getFactor(t) == 2 ) {

if (getFactor (t.left)>0) t = doRightRotation( t );else t = doDoubleRightRotation( t );

}else if ( getFactor(t) == -2 ) {

if ( getFactor(t.right)<0 ) t = doLeftRotation( t );else t = doDoubleLeftRotation( t );

}t.height = max( height( t.left ), height( t.right ) ) + 1;return t;

}

public boolean insert (int x) {// se nó já existe, retorna falseroot = insert (x, root);return true;

}

AVL AVL –– ExclusãoExclusão• Caso parecido com as inclusões;• No entanto, nem sempre se consegue solucionar com

uma única rotação;• Remover elemento e retornar do pai do nó removido

até a raiz, verificando se cada nó do caminho precisa ser balanceado.

AVL AVL –– ExclusãoExclusão32

16

8

48

24 40 56

28 36 44 52 60

58 62

Excluindo 8

-1

-1

0

-1

-1

0

0 0

-1

0 0

0 0

0

AVL AVL –– ExclusãoExclusão32

16 48

24 40 56

28 36 44 52 60

58 62

0

-1

-2

-1

-1

-1

0

0

000

0

rotação simples à esquerda

0

AVL AVL –– ExclusãoExclusão32

24 48

16 40 5628

36 44 52 60

58 62

00

0

0 0

0 0

00

-10

-1

rotação simples à esquerda

volta recursivamente até a raiz, balanceando todos os nós que se encontrarem desbalanceados.

AVL AVL –– ExclusãoExclusão

32

24

48

16

40

56

28 36 44

52 60

58 620 0

0

0 0

0

0

00

00

-1

0

AVL AVL -- ComplexidadeComplexidade• Uma única reestruturação é O(1)

• usando uma árvore binária implementada com estrutura ligada

• Pesquisa é O(log n)• altura de árvore é O(log n), não necessita reestruturação

• Inserir é O(log n)• busca inicial é O(log n)• reestruturação para manter balanceamento é O(log n)

• Remover é O(log n)• busca inicial é O(log n)• reestruturação para manter balanceamento é O(log n)