INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA

VICE-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO E CORPO DISCENTE

COORDENAÇÃO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA

Rio de Janeiro / 2007

TODOS OS DIREITOS RESERVADOS À

UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO

UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO

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U n3p Universidade Castelo Branco. Introdução à Álgebra. – Rio de Janeiro: UCB, 2007. 48 p. ISBN 978-85-86912-61-0

1. Ensino a Distância. I. Título. CDD – 371.39

Universidade Castelo Branco - UCBAvenida Santa Cruz, 1.631Rio de Janeiro - RJ21710-250 Tel. (21) 2406-7700 Fax (21) 2401-9696www.castelobranco.br

Responsáveis Pela Produção do Material InstrucionalResponsáveis Pela Produção do Material Instrucional

Coordenadora de Educação a DistânciaCoordenadora de Educação a DistânciaProf.ª Ziléa Baptista Nespoli

Coordenador do Curso de GraduaçãoCoordenador do Curso de GraduaçãoMauricio Magalhães - Ciências Biológicas

ConteudistaConteudistaWilson Jorge Gonçalves

Supervisor do Centro Editorial – CEDISupervisor do Centro Editorial – CEDIJoselmo Botelho

Apresentação

Prezado(a) Aluno(a): É com grande satisfação que o(a) recebemos como integrante do corpo discente de nossos cursos de graduação,

na certeza de estarmos contribuindo para sua formação acadêmica e, conseqüentemente, propiciando oportunidade para melhoria de seu desempenho profi ssional. Nossos funcionários e nosso corpo docente esperam retribuir a sua escolha, reafi rmando o compromisso desta Instituição com a qualidade, por meio de uma estrutura aberta e criativa, centrada nos princípios de melhoria contínua.

Esperamos que este instrucional seja-lhe de grande ajuda e contribua para ampliar o horizonte do seu conhe-cimento teórico e para o aperfeiçoamento da sua prática pedagógica.

Seja bem-vindo(a)!Paulo Alcantara Gomes

Reitor

Orientações para o Auto-Estudo

O presente instrucional está dividido em três unidades programáticas, cada uma com objetivos defi nidos e conteúdos selecionados criteriosamente pelos Professores Conteudistas para que os referidos objetivos sejam atingidos com êxito.

Os conteúdos programáticos das unidades são apresentados sob a forma de leituras, tarefas e atividades com-plementares.

As Unidades 1 e 2 correspondem aos conteúdos que serão avaliados em A1.

Na A2 poderão ser objeto de avaliação os conteúdos das três unidades.

Havendo a necessidade de uma avaliação extra (A3 ou A4), esta obrigatoriamente será composta por todo o conteúdo de todas as Unidades Programáticas.

A carga horária do material instrucional para o auto-estudo que você está recebendo agora, juntamente com os horários destinados aos encontros com o Professor Orientador da disciplina, equivale a 30 horas-aula, que você administrará de acordo com a sua disponibilidade, respeitando-se, naturalmente, as datas dos encontros presenciais programados pelo Professor Orientador e as datas das avaliações do seu curso.

Bons Estudos!

Dicas para o Auto-Estudo

1 - Você terá total autonomia para escolher a melhor hora para estudar. Porém, seja disciplinado. Procure reservar sempre os mesmos horários para o estudo.

2 - Organize seu ambiente de estudo. Reserve todo o material necessário. Evite interrupções.

3 - Não deixe para estudar na última hora.

4 - Não acumule dúvidas. Anote-as e entre em contato com seu monitor.

5 - Não pule etapas.

6 - Faça todas as tarefas propostas.

7 - Não falte aos encontros presenciais. Eles são importantes para o melhor aproveitamento da disciplina.

8 - Não relegue a um segundo plano as atividades complementares e a auto-avaliação.

9 - Não hesite em começar de novo.

SUMÁRIO

Quadro-síntese do conteúdo programático ................................................................................................. 11Contextualização da disciplina ................................................................................................................... 12

UNIDADE I

TEORIA DOS CONJUNTOS

1.1 - Conceituação ...................................................................................................................................... 131.2 - Tipos de conjuntos .............................................................................................................................. 141.3 - Operações com conjuntos ................................................................................................................... 151.4 - Conjuntos numéricos .......................................................................................................................... 16 1.5 - Intervalos ............................................................................................................................................ 17

UNIDADE II

FUNÇÕES

2.1 - Produto cartesiano .............................................................................................................................. 192.2 - Relações .............................................................................................................................................. 202.3 - Defi nição de função ............................................................................................................................ 222.4 - Notação de função .............................................................................................................................. 232.5 - Estudo do sinal da função y = ax + b .................................................................................................. 232.6 - Tipos de funções ................................................................................................................................. 242.7 - Problemas envolvendo funções .......................................................................................................... 26

UNIDADE III

TEORIA DAS PROBABILIDADES

3.1 - Introdução ........................................................................................................................................... 323.2 - Conceitos básicos ............................................................................................................................... 323.3 - Defi nição de probabilidades ............................................................................................................... 333.4 - Adição de probabilidades .................................................................................................................... 333.5 - Produto de probabilidades .................................................................................................................. 34

Glossário ..................................................................................................................................................... 39Gabarito ....................................................................................................................................................... 40Referências bibliográfi cas ........................................................................................................................... 47

11

1 - TEORIA DOS CONJUNTOS1.1 - Conceituação 1.2 - Tipos de conjuntos1.3 - Operações com conjuntos1.4 - Conjuntos numéricos1.5 - Intervalos

UNIDADES DO PROGRAMA OBJETIVOS

II - FUNÇÕES2.1 - Produto cartesiano2.2 - Relações2.3 - Defi nição de função2.4 - Notação de função2.5 - Estudo do sinal da função y = ax + b2.6 - Tipos de funções2.7 - Problemas envolvendo funções

III – TEORIA DAS PROBABILIDADES3.1 - Introdução3.2 - Conceitos básicos3.3 - Defi nição de probabilidades3.4 - Adição de probabilidades3.5 - Produto de probabilidades

• Familiarizar o aluno com as convenções e notações usadas no estudo dos conjuntos; Conhecer todos os tipos de conjuntos;

• Habilitar o aluno a realizar todas as operações en-volvendo conjuntos;

• Conhecer e operar com todos os conjuntos numéri-cos;

• Conhecer e operar com todos os tipos de intervalos fi nitos e infi nitos.

• Defi nir o produto cartesiano e mostrar sua representação gráfi ca;

• Defi nir uma relação e mostrar sua importância para o estudo das funções;

• Conceituar função e conscientizar o aluno para um dos assuntos da maior importância na matemática;

• Levar o aluno a identifi car uma função através de suas notações;

• Identifi car uma função como crescente ou decres-cente;

• Conhecer os principais tipos de funções do 1º grau e traçar seus gráfi cos;

• Resolver problemas do cotidiano, aplicando o conhe-cimento de funções.

• Conscientizar o aluno sobre a importância do assunto como ferramenta de ajuda em várias áreas do conheci-mento;

• Conhecer os fundamentos e a base teórica para o estudo das probabilidades;

• Expressar matematicamente o conceito de probabili-dade;

• Solucionar problemas de probabilidade utilizando o teorema da soma;

• Solucionar problemas de probabilidades utilizando o teorema do produto.

Quadro-síntese do conteúdo programático

12 Contextualização da Disciplina

“Não há ramo da Matemática, por mais abstrato que seja, que não possa um dia vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo real”.

Lobachevsky.

A afi rmação acima foi o grande farol a nos guiar na produção deste instrucional de Introdução à Álgebra.

Como sabemos, a Matemática hoje deixou de ser aquela ciência apenas exata e isolada das demais. Atualmente, a Matemática, com seus modelos aplicativos, tem ampla presença em todas as áreas do conhecimento, quer sejam áreas biomédicas, humanas ou sociais.

As unidades didáticas foram cuidadosamente escolhidas para auxiliar você, das áreas biomédicas, a resolver questões do cotidiano da sua profi ssão.

Começamos pelo estudo de Conjuntos, cuja idéia intuitiva é tão antiga quanto a de número. Embora a idéia de conjunto sempre tenha existido no pensamento humano, ela só recebeu um tratamento formal pela Matemática no fi nal do século XIX, por George Cantor (1845-1918), matemático russo.

O conceito dos conjuntos levará você a desembocar no estudo das Relações e Funções, pois toda vez que relacionamos dois conjuntos ocorre uma função.

Encontramos o uso de funções nos mais variados assuntos. Por exemplo, o preço a ser pago numa conta de luz é função da quantidade de energia consumida. Em várias ocasiões, os profi ssionais da área de Biologia precisarão mergulhar nas funções para resolver vários problemas inerentes a sua área de trabalho, como serão exemplifi cados no presente instrucional.

Finalmente, chegamos ao estudo das Probabilidades – assunto primeiramente estudado pelos italianos Gerôni-mo Cardano (1501-1576) e Galileu Galilei (1564-1642) –, hoje uma moderna e poderosa ferramenta de auxílio em várias áreas do conhecimento científi co, inclusive no estudo da Genética, razão pela qual esse estudo foi incluído neste programa.

Esperamos que você, que se utiliza deste modesto, mas valioso instrumento de aprendizagem, tire o melhor proveito.

13UNIDADE I

TEORIA DOS CONJUNTOS

1.1- Conceituação

Noções Primitivas

As noções de CONJUNTO, ELEMENTO e PERTINÊNCIA são consideradas primitivas e, por isso, não requerem defi nição.

• Conjunto das fl ores;• A rosa pertence ao conjunto das fl ores.

Convenções

• Conjunto: letra maiúscula (A, B, C etc.)• Elemento: letra minúscula (a, b, c etc.)• Pertinência: símbolo ∈ (pertence a...) símbolo ∉ (não pertence a ...)

Ex: Conjunto A = {2, 4, 5, 8}2 ∈ A, 3 ∉ A

Notações

Os conjuntos podem ser representados de três maneiras:

• Pela enumeração de seus elementos;Ex: conjunto das vogais A = {a, e, i, o, u}

• Enunciando uma propriedade de seus elementos;Ex: A = {x | x é vogal}

• Pelo diagrama de Venn.

.a i.

e. o.

.u

141.2 – Tipos de Conjuntos

Conjunto Unitário

É o conjunto que possui um só elemento.

Ex: A = {6}

Conjuntos Iguais

Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A for elemento de B e todo elemento de B for elemento de A.

NOTAÇÃO: A = B (∀x ∈ A ⇔ x ∈ B)

Ex: {1, 5, 7, 9 } = {9, 1, 5, 7}

Conjuntos Disjuntos

Dois conjuntos são disjuntos quando não possuem nenhum elemento em comum.

Ex: {3, 5} e {4, 6}

Conjunto Vazio

É aquele que não possui nenhum elemento.

NOTAÇÃO: ∅ ou { }

Ex: A = {x | x + 1 = x}

Subconjunto

Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se todo elemento de A for também elemento de B.

NOTAÇÃO: A ⊂ Β

Lê-se: A é subconjunto de B. A está contido em B.

Ex: {0, 2} ⊂ {0, 1, 2, 4}

Observação: a) ⊄: não contido; ⊃: não contém.b) O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.c) Dado um conjunto com n elementos, o total de subconjuntos é dado por 2n.Ex: A = {a, b, c}Total de subconjuntos: 23 = 8 subconjuntos.Se não, vejamos A = {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a,c}, {b, c}, {a, b, c} e { }

151.3 - Operações com Conjuntos

União dos Conjuntos

Dados dois conjuntos A e B, chama-se união de A e B ao conjunto dos elementos que pertencem a A ou a B.

NOTAÇÃO: A ∪ B ; {x | x ∈ A ou x ∈ B}.

Ex.: A {2, 4} , B {1, 2, 5, 6}A ∪ B = {1, 2, 4, 5, 6}

Interseção de Conjuntos

Dados dois conjuntos A e B, chama-se de interseção de A e B o conjunto dos elementos que pertencem a A e a B.

NOTAÇÃO: A ∩ B ; {x | x ∈ A e x ∈ B}.

Ex.: A = {a, b, d, e}; B = {b, c, e, f}A ∩ B = {b, e}

Diferença de Conjuntos

Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre eles (A – B) o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B.

NOTAÇÃO: A − B ; {x | x ∈ A e x ∉ B}.

Ex.: A = {3, 5, 6, 8, 11}; B = {4, 5, 8, 10, 11}A − B = {3, 6}

= A ∪ B =

A B A B

A B A B

= A ∩ B =

A B A B

= A − B =

16161.4 - Conjuntos Numéricos

Conjunto de Números Inteiros (ℤ)

ℤ = { ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }

ℤ* = { ... , -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... }

ℤ+ = { 0, 1, 2, 3, ... } ℤ- = { ... -3, -2, -1, 0 }

ℤ*+ = { 1, 2, 3, 4, ... } ℤ*

- = { ... -3, -2, -1 }

Conjunto de Números Naturais (ℕ)

ℕ = { 0, 1, 2, 3, 4, ... }

ℕ* = { 1, 2, 3, 4, 5, ... }

Conjunto de Números Racionais (ℚ)

ℚ = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ≠∧Ζ∈∧= 0 q q p

qp x

Ex.: ∈= 4,052 ℚ

31 =

0,33... ∈

ℚ

Conjunto de Números Irracionais ()

É o conjunto dos números que possue uma representação decimal, infi nita e não-periódica.

= 3, 14159265 ...

2 = 1, 4142135 ...

3 = 1, 7320508 ...

Conjunto de Números Reais (ℝ)

São todos os números contidos na retal real.

ℝ 2−

-2 -1

- 21

0 1 2 3

3

ℝ = {x | x é racional ou irracional}

17Podem ser representados na reta real ou por desigualdades.

a) Fechado

5 2 • • [ 2, 5 ] = { x ∈ ℝ | 2 ≤ x ≤ 5 }

b) Aberto

7 3 ° ° ] 3, 7 [ = { x ∈ ℝ | 3 < x < 7 }

c) Fechado à esquerda e aberto à direita

4 1 • ° [1, 4 [ = { x ∈ ℝ | 1 ≤ x < 4 }

d) Fechado à direita e aberto à esquerda

6 3 ° • ] 3, 6 ] = { x ∈ ℝ | 3 < x ≤ 6 }

e) Infi nito fechado à esquerda

9 • [ 9, + ∞ [ = x ∈ ℝ | x ≤ 9 }

f) Infi nito aberto à esquerda

5 ° ] 5, + ∞ [ = { x ∈ ℝ | x > 5 }

g) Infi nito fechado à direita

7 • ] - ∞ , +7] = { x ∈ ℝ | x ≤ 7 }

h) Infi nito aberto à direita

2 ° ] - ∞ , 2 [ = { x ∈ ℝ | x < 2 }

Exercícios de Auto-Avaliação

1. Enumere os conjuntos abaixo:a) A = { x | x é mês com inicial m}.b) B = { x | é inteiro maior que 4 e menor que 7}.c) C = { x inteiro | 6 < x ≤ 11}.d) D = { x inteiro | 8 < x < 9 }.e) E = { x | x é ímpar, inteiro e maior que 4}.

2. Complete com = ou ≠.a) {3, 7, 8, 9} ___ {7, 8, 3, 9}b) {x | x2 = 1} ___ {1}

c) {x | x é 16 ___ {4, - 4}d) {x | x é inteiro, positivo, divisível por 3} ____ {x | x é ímpar, inteiro e positivo}

3. Complete com ⊂ ou ⊄:a) {a, e, u} ___ {conjunto das vogais}b) {3, 5, 6, 9} ___ {2, 3, 6, 9, 10}c) {a, b, c} ___ {c, b, a}d) ∅ ___ {1, 4}

1.5 - Intervalos

16

184. Determine o número de subconjuntos do conjunto A = {2, 4, 6, 10, 11}.

5. Enumere os subconjuntos do conjunto B = {a, 7, 8}.

6. Realize as operações com conjuntos solicitados abaixo:a) {a, b, c} ∪ {b, e}b) {1, 7, 9} ∪ {0, 7, 8}c) {3, 5, 10} ∩ {1, 2, 5, 9, 10}d) {m, n} ∩ { }e) {b, d, f} - {a, c, f, g}f) {2, 5, 8} - {4, 6, 8}

7. Sendo A = {1, 2, 4, 6}, B = {2, 3, 5, 6} e C = {2, 4, 6, 8}, determine os seguintes conjuntos:a) A ∪ Bb) B ∩ Cc) A – Cd) (A ∪ B) ∩ (B ∪ C)

8. Dados os conjuntos abaixo, represente com hachuras as seguintes operações.a) A ∧ B ∧ Cb) (A ∧ B) ∪ (A ∧ C)c) A – (B ∧ C)

9. No diagrama, temos:

n (A) = 20n (B) = 30n ( A ∩ B ) = 5

Determine n (A ∪ B).

10. Dois clubes A e B somam 141 sócios. O clube B possui 72 sócios e os clubes possuem em comum 39 sócios. Determine o número de sócios do clube A.

11. Complete com ∈ ou ∉:a) 5 ____ ℤ d) – 6 ____ ℕ*

b) 2 ____ ℚ e) ____ ℝ

c) 4 ____ ℕ f) 0 ____ ℕ

12. Complete com ⊂ ou ⊄:a) ℕ ___ ℤ* c) II ___ ℝb) ℕ ___ ℚ d) ℚ ____ ℤ

13. Represente na reta Real os seguintes intervalos:a) [2, 12 [ c) [ -6, 0 ]

b) ] 2 , [ d) { x ∈ ℝ | 2 < x ≤ 8 }

14. Dados os intervalos A= [1, 4[ e B= ]2, 8], represente grafi camente e com desigualdades os conjuntos abaixo:a) A ∪ Bb) A ∧ Bc) A - B

A B

A B

C

19UNIDADE II

FUNÇÕES

2.1- Produto Cartesiano

Eixos Cartesianos

OX - eixo das abcissas

OY - eixo das ordenadas

• xp e yp são as coordenadas do ponto P: P (xp, yp)

Quadrantes

Locação de Pontos

Para locar pontos no plano cartesiano, utiliza-se o par ordenado, no qual o primeiro número é a abcissa do ponto e o segundo é a ordenada. Se não, vejamos:

A (4, 3 ) B (3, -2 ) C (-4, -1) D (-3, +2)

1) Se tivermos dois pares ordenados (a, b) e (c, d), eles só serão iguais se a = c e b = d .

y

yP •

0 xP x

Pyp

xp

y

II I

0 II I IV

y y

y A

•

• D

3

2

1

-3 -4 -2 -1 0 1 2 3 4 x

C • -1

-2

-3

• B

20

2.2 - Relações

Consideremos dois conjuntos A e B. Chamemos de x os elementos de A e de y os elementos de B. Toda vez que associamos a elementos x ∈ A, elementos y ∈ B, temos uma relação de A em B. O conjunto A se chama domínio da relação e o conjunto B, contradomínio da relação.

Exemplo

Sejam A = {1; 2; 3; 4} e x os elementos de A; sejam B = {1; 2; 3; 4} e y os elementos de B; consideremos então a relação dada pela lei y = x2 .

Esta relação pode ser esquematizada, com diagramas de fl echas de Euler-Venn, da seguinte forma:

Note que esta relação é constituída pelos seguintes pares ordenados (x, y): (1; 1) e (2; 4). Se fi zermos um gráfi co cartesiano desta relação, teremos:

2) Existe uma correspondência biunívoca entre os pontos do plano cartesiano e o conjunto dos pares (x, y) de números reais, ou seja, a cada par corresponde um único ponto e vice-versa.

Ex.: Dê o valor a e b para que se tenha (a, b) = (3, 4). → basta igualar as abcissas e as ordenadas. Então a = 3 e b = 4

Produto Cartesiano

Chama-se produto cartesiano de um conjunto A por um conjunto B o conjunto de todos os pares ordenados (x, y), com x ∈ A ∧ y ∈ B.

A x B = {(x , y) | x ∈ A ∧ y ∈ B}

Ex.: Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {1, 2}. A x B = {( 1, 1 ) , ( 1, 2 ) , ( 2, 1 ), ( 2, 2 ) , ( 3, 1 ), ( 3, 2 )}

Representação Gráfi ca y

2

1

0 1 2 3

• • •

• • •

21

Este gráfi co é constituído por apenas dois pontos.

Exemplo

Sejam A = {1; 2; 3; 4} e x os elementos de A e B = {3; 4; 5; 6; 7} e y os elementos de B; consideremos então a relação dada pela lei y = x + 1.

Esquematize esta relação, com o diagramas de Euler-Venn. Diga quais são os pares que constituem a relação e faça o gráfi co cartesiano.

Resolução:

A relação pode ser esquematizada, com diagramas de Euler-Venn, da seguinte forma:

Esta relação é constituída pelos seguintes pares ordenados (x, y): (2, 3), (3, 4) e (4, 5). O gráfi co cartesiano da relação será:

222.3 - Definição de Função

Consideremos uma relação de um conjunto A em um conjunto B. Esta relação será chamada de função quando associar a todo elemento de A um único elemento de B.

Exemplo Consideremos algumas relações, esquematizadas com diagramas de Euler-Venn, e vejamos quais são fun-

ções:

Esta relação é uma função de A em B, pois associa a todo elemento de A um único elemento de B.

Esta relação não é uma função de A em B, pois associa a x1 ∈ A dois elementos de B: y1 e y2 .

Esta relação é uma função de A em B, pois associa a todo elemento de A um único elemento de B.

Esta relação não é uma função de A em B, pois não associa a x2 ∈ A nenhum elemento de B.

Esta relação é uma função de A em B, pois associa a todo elemento de A um único elemento de B.

Esta relação é uma função de A em B, pois associa a todo elemento de A um único elemento de B.

Observação:

→ nenhum elemento de A pode fi car solitário;→ nenhum elemento de A pode lançar mais do que uma fl echa.

23

a) A função será crescente, se a > 0 ou ainda se x cresce → f ( x ) cresce.

Ex.: y = 2x + 5

b) A função será decrescente, se a < 0 ou ainda se x cresce → f ( x ) decresce.

Ex.: y = - x + 4

2.4 - Notação de Função

Considere a seguinte função dada pelo seu diagrama de Euler-Venn:

Esta função será a seguinte notação:

Y2 = f ( x1 ) – indica que y2 é a imagem de x1.Y2 = f ( x2 ) – indica que y2 é a imagem de x2.Y3 = f ( x3 ) – indica que y3 é a imagem de x3.

Então:A = {x1, x2, x3} é o domínio de f.B = {y1, y2, y3} é o contradomínio de f.F (A) = {y2, y3} é o conjunto-imagem de A.

2.5 - Estudo do Sinal da Função y = ax + b

x y

-2 1 -1 3 0 5 1 7

x y

0 4 1 3 2 2 3 1

α < 90º

242.6 - Tipos de Funções

Função Variável Real

São aquelas cujo domínio é um subconjunto de ℝ ou o próprio ℝ.

Ex.: y = 2x + 6 D (f) = ℝ

y = x1 D (f) = ℝ* ou {x ∈ | x ≠ 0}

y = x D (f) = ℝ+ ou {x ∈ | x ≥ 0}

Função Inversa

Seja f uma função de A em B, a função inversa é a função obtida invertendo todas as fl echas de f.

função f função inversa f-1

Ex.: Achar a função inversa de y = 2x → trocando x por y, teremos x = 2y → em seguida, expressa-se o novo y em função de x.

Y = 2x ou f -1 (x) =

2x

Função Constante

É a função que para todo x ∈ ℝ, tenhamos f (x) = c (cte). O gráfi co será uma reta paralela ou coincidente com xx´.

a) c > 0 b) c = 0 c) c < 0

Exemplo: Represente grafi camente as funções.

y = 4 y = -2

x

y

0

x

y

0

x

y

0

y

0

4

x

- 2

y

0 x

25Função Identidade

É uma função em que para todo x ∈ ℝ, tenhamos f (x) = x.

Seu gráfi co é o da reta bissetriz dos 1º e 3º quadrantes.

Função Linear

É a função em que para todo x ∈ ℝ, tem-se f (x) = a.x, com a ∈ ℝ*. Seu gráfi co passa pela origem.

Ex.: y = 2x

Função Afim ou Polinômio do 1º Grau

É a função em que para todo x ∈ ℝ, tem-se f (x) = a x + b com a ∈ ℝ* e b ∈ ℝ.

Ex.: y = x + 1

y

x 0

45º

x y

0 0 1 2 2 4

x

y

4

3

2

1

1 2 3

x y

0 1 1 2 2 3

x

y

3

2

1

1 2

26Função Exponencial

É uma função f, tal que para todo x ∈ ℝ , com a > 0 e a ≠ 1. Os gráfi cos da função exponencial apresentam os seguintes aspectos:

→ para a > 1 * crescente; * quando x cresce, f (x) cresce.

→ para a < 0 < 1 * decrescente; * quando x cresce, f (x) decresce.

Observações:• O gráfi co dessa função sempre corta o eixo yy´ no ponto (0, 1).• O gráfi co dessa função sempre passa pelo ponto de coordenadas (1,0).• O gráfi co dessa função nunca toca o eixo xx´.• Nessa função as imagens são sempre positivas.I = ℝ*

+

ExemploResolva as equações abaixo:a) 3x = 32 ∴ x = 2b) 5x = 125 ∴ 5x = 53 ∴ x = 3

c) 8x = 2 ∴ (23)x = 21 ∴ 23x = 21 ∴ x = 31

2.7 - Problemas Envolvendo Funções

A seguir, apresentaremos vários problemas e suas respectivas soluções, envolvendo situações do cotidiano que, aplicando os conhecimentos de funções, são facilmente resolvidos.

1. O custo de um produto é calculado pela fórmula c = 10 + 20q, na qual c indica o custo (em reais) e q, a quantidade produzida (em unidades). Construa o gráfi co de c em função de q.

Solução: c = 10 + 20 q c - custo q - quantidade

c = 20q + 10y = ax + b

{

27quando c = 0 = 20q = -10 ∴ q = - ½ = P1 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛− 0 ,

21 P2 = (0,10)

q = 0 = c = 10

2. O preço de venda de um livro é de R$ 15,00 por unidade. A receita total obtida pela venda desse livro pode ser calculada pela fórmula: receita total = preço de venda por unidade vezes quantidades de livros vendidos.

a) Indicando por x a quantidade de livros vendidos, escreva a lei dessa função.b) Essa função é linear?c) A receita total é diretamente proporcional ao número de livros vendidos?

Soluçãoa) y = 15. X.b) Sim.c) Sim, pois quanto mais livros forem vendidos, maior será a receita.

3. A fórmula que dá o número do sapato (N) em função do comprimento (c) do pé, em centímetros, é:

N = 5c + 284

ou N = 54

c + 7. Calcule:

a) O número do sapato quando o comprimento do pé é de 24 cm;b) O comprimento do pé de quem calça 40.

Solução:

N = 5c + 284

pedido c = 24cm = Ndados N – número do sapato N = 40 = C C – comprimento do pé

a) N = 5c + 24 + 284 = 148

4 N = 37

b) 40 = 5c + 284

160 = 5 c + 28 5 c = 132 c = 26,4 cm

4. Uma encomenda, para ser enviada pelo correio, tem um custo C de 10 reais para um peso P de até 1 kg. Para cada quilograma adicional ou fração de quilograma, o custo aumenta 30 centavos. A função que representa o custo de uma encomenda de peso P ≥ 1 kg é :

a) C = 10 + 3P.b) C = 10P + 0,3.c) C = 10 + 0,3 ( P – 1 ).d) C = 9 + 3P.e) C = 10P – 7.

x (q )

y (c )

P 1

P 1 0

10

{

28Solução: P (peso) = 1kgDados C (custo) = 10,00 até 1kg Kg adicional = 0,30

C = 10 + 0,3 ( P – 1 ) Letra (c).

5. Biólogos descobriram que o número de sons emitidos por minuto por certa espécie de grilos está relacionado com a temperatura. A relação é quase linear. A 68º F, os grilos emitem cerca de 124 sons por minuto. A 80º F, emitem 172 sons por minuto. Encontre a equação que relaciona a temperatura em Fahrenheit (F) e o número de sons (n).

Solução: 01 = 68º F ⇒ n1 = 124 sonsDados Pedido n = f (⊖) 02 = 80º F ⇒ n2 = 172 sons

F - 6880 - 68 =a

b = n - 124172 - 124

F - 6812 = n - 124

484 (F – 68) = n – 124

4 F – 272 = n – 124

4F = n + 148

F = n4 + 37

6. Observe o gráfi co em que o segmento AB é paralelo ao eixo das abscissas. Esse gráfi co representa a relação entre a ingestão de certo composto, em mg/dia, e sua absorção pelo organismo, também em mg/dia.

A única afi rmativa falsa relativa ao gráfi co é:a) Para ingestão de até 20 mg/dia, a absorção é proporcional à quantidade ingerida.b) A razão entre a quantidade absorvida e a quantidade ingerida é constante.c) Para a ingestão acima de 20 mg/dia, quanto maior a ingestão, menor a porcentagem absorvida do composto ingerido.d) A absorção resultante da ingestão de mais de 20 mg/dia é igual à absorção resultante da ingestão de 20 mg/dia.Solução (b).

{

{ { n ºF

172 80

F

68 124

n •

• •

• •

b a

•

29Exercícios de Auto-Avaliação

1. Sendo os conjuntos A {1, 5, 7} e B = {2, 6, 8}, determinar o produto cartesiano A x B e fazer sua repre-sentação gráfi ca.

2. Sabendo-se que A = {- 4, - 2, 0} e B = {0, 1, 5}, determinar:a) Os pares ordenados do produto cartesiano A x B.b) A representação gráfi ca do produto cartesiano.c) Os pares ordenados do produto cartesiano B x A.d) O conjunto ( A x B ) ∩ ( B x A ).

3. Sabendo-se que os pares ordenados (3x + y; 1 ) e (7 ; 2x – 3y) são iguais, determinar x e y.

4. Construa o gráfi co cartesiano de A x B, sabendo que A = [ 1, 5 ] e B = [ 2, 4 ] e que x ∈ A e y ∈ B.

5. Sejam os conjuntos A = {- 2, - 1, 0 , 1, 2} e x seus elementos; B = {0, 1, 2, 3, 4} e y seus elementos. Con-sidere a relação y = x2. Pede-se:

a) Esquematizar essa relação pelo diagrama de Venn. (diagrama das fl echas).b) Citar os pares ordenados.c) Fazer o gráfi co cartesiano.

6. Das relações abaixo esquematizadas pelos diagramas de Venn, diga quais são as funções de A em B. Para cada função, dê o domínio D (f), o contradomínnio CD (f) e a imagem (II).

a) b)

c) d)

7. Das relações abaixo, dadas por seus gráfi cos cartesianos, dizer quais são funções. Em seguida dar o con-junto-imagem das funções. Obs.: o contradomínio pertence ao ℝ.

x1 y1 • •

A B

• •

A B

x1

•

y1

y2 x2 •

x1 y1

y3

A B

x3 x4

•

• y2

y4 •

• x2

•

• • •

• •

A B

x1

y1 •

y2

y3 •

a) D (f) = {1 ;2 ; 3 ;4}

C D =ℝ

c ) D (f) = [1; 3]

C D =ℝ

b ) D (f) = {2}

C D =ℝ

d ) D (f) = [-2; 2 ]

C D =ℝ

e ) D (f) = [0;2 ]

C D =ℝ

308. Dê o domínio das funções abaixo:

a) y = x – 9 e) y = 2x −

b) y = 7x

1−

f) y = 3x

3−

c) y = 4x7x

++ g) y =

6x8+

d) y = x3

9. Ache a função inversa das seguintes funções:a) y = x + 3b) y = 5x – 7c) y = - 2 x + 5d) y = 4x2 + 4

e) y = 2

2x3 −

10. Represente grafi camente as seguintes funções, mostrando os pontos em que a reta intercepta os eixos coordenados.

a) y = 3 xb) y = - xc) y = 2x + 1d) y = - 3 x + 2e) y = 2x – 4

11. Ache o valor de x nas equações exponenciais abaixo:

a) 3x = 32 f) 8x = 2

b) 5x = 125 g) 4x

37

73

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

c) 8x = 2 d) 16x = 32 h) 4x+1 = 82x – 3

e) 9x = 127

i) (2x)2 – 3 . 2x + 2 = 0

12. O gráfi co abaixo mostra o resultado de uma experiência relativa à absorção de potássio pelo tecido da folha de certo vegetal, em função do tempo e em condições diferentes de luminosidade.

Nos dois casos, a função linear y = mx ajustou-se razoavelmente bem aos dados, daí a referência a m como taxa de absorção (geralmente medida em micromols por unidade de peso por hora). Com base no gráfi co, se m1 é a taxa de absorção no claro e m2 a taxa de absorção no escuro, a relação entre essas duas taxas é:

a) m1 = m2b) m2 = 2m1c) m1m =1d) m1m2 = -1e) m1 = 2m2

3113. Uma companhia de táxi cobra R$ 4,20 de bandeirada mais R$ 1,12 por quilômetro rodado. Sabendo-se

que o preço a pagar é dado em função do número x de km rodados, responda:a) Qual a função que representa esta situação?b) Quanto um cliente pagará por uma corrida de 20 km?c) Dispondo de R$ 35,00, qual o máximo percurso que um cliente poderá fazer com o táxi?

14. Na produção de peças, uma indústria tem um custo fi xo de R$ 8,00 mais um custo variável de R$ 0,50 por unidade produzida. Sendo x o número de peças produzidas:

a) Escreva a função que fornece o custo total de x peças.b) Calcule o custo de 100 peças.

15. Por uma mensagem dos EEUU para o Brasil, via fax, a empresa dos correios (ECT) cobra R$ 1,37 pela primeira página e R$ 0,67 por página que se segue, completa ou não. Qual o número mínimo de páginas de uma mensagem, para que seu preço ultrapasse o valor de R$ 10,00?

16. Uma pessoa obesa com 156kg recolhe-se a um spa onde se anuncia perdas de peso de 2,5 kg por semana. Nessas condições:

a) Encontre uma fórmula (função) que expresse o peso mínimo (P) que essa pessoa poderá atingir em (n) semanas.

b) Calcule o número mínimo de semanas completas que essa pessoa deverá permanecer no spa para sair com menos de 120kg de peso.

17. Na lanchonete Biriboys, entrou um grupo de x estudantes e cada um pediu o “prato da casa”. A despesa total y, em reais, é calculada assim: y = 5x – 4, em que 4 representa o desconto fi xo dado ao grupo. Com base nestes dados, determine:

a) A despesa para um grupo de 4 estudantes.b) O número de estudantes que participaram de outro grupo, cuja despesa total fora de R$ 36,00.

32 UNIDADE III

TEORIA DAS PROBABILIDADES

3.1 - Introdução

Lançar um dado não viciado e anotar o número da face voltada para cima é um experimento aleatório, pois, antes de ocorrer, é impossível se prever o resultado e, ocorrendo várias vezes, nas mesmas condições, pode apresentar resultados diferentes.

Historicamente, os primeiros estudos matemáticos sobre “chances” foram feitos pelos italianos Gerônimo Cardano (1501-1576) e Galileu Galilei (1564-1642) e eram relacionados com jogos de dados.

O estudo das probabilidades é, na verdade, o estudo dos fenômenos aleatórios resolvidos por modelos matemáti-cos probabilísticos. Hoje, a teoria das probabilidades tem uma importância muito grande em estatística, economia, engenharia, física, biologia e vários outros campos do conhecimento.

3.2 - Conceitos Básicos

Espaço Amostral

Chama-se espaço amostral de um experimento o conjunto de todos os possíveis resultados para este experi-mento. Será representado por S.

Exemplo→ Lançamento de um dado de 6 faces.S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

→ Lançamento de duas moedas. (c – cara, k – coroa).S = { ( c, c ) ( c, k ) ( k, k ) ( k, c ) }

Evento

Chama-se de evento qualquer subconjunto de um espaço amostral.

Exemplo→ No lançamento de um dado de 6 faces, seja o evento A = { ocorrer número par }A = { 2, 4, 6 }

Eventos Mutuamente Exclusivos

São os eventos que não podem ocorrer simultaneamente. Exemplo → No lançamento de um dado de 6 faces, sejam os eventos A = { ocorrer número par } e B = {ocorrer número ímpar}A = { 2, 4, 6 } B = { 1, 3, 5 } A e B são eventos mutuamente exclusivos.

→ Defi nição matemática: A ∩ B =

33Evento Complementar

Seja um evento A de um espaço amostral S. Chama-se evento complementar de A em relação a S, o evento A de tal modo que A = S – A. Em outras palavras, A é formado por resultados de S que não são de A.

Exemplo→ No lançamento de um dado, seja A = {ocorrer número menor que 3}S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }A = { 1, 2 }O evento complementar é A = { 3, 4, 5, 6 }

AA S

3.3 – Definição de Probabilidades

Chamaremos de probabilidade de um evento A ao realizarmos um experimento, o valor P (A) que vai indicar a chance de ocorrer este evento em relação ao experimento considerado.

Assim:P (A) = ou P (A) =

Exemplo → Lançando-se um dado não viciado de 6 faces, calcule a probabilidade de a face voltada para cima ser um

número maior ou igual a 5. Se não, vejamos:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Seja A, o evento. A = { 5 , 6 }

P(A) = NCFNTC

= 62 P(A) = 31

Observação:

Da defi nição é fácil concluir que 0 ≤ P(A) ≤ 1 .

número de casos favoráveisnúmero total de casos de S

NCFNTC

3.4 – Adição de Probabilidades

Seja S um espaço amostral fi nito e A e B dois eventos de S. Da teoria dos conjuntos, sabemos que:

n (A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)

34Então,

n (A ∪ B)n (S) =

n(A) + n(B) - n(A ∩ B)

n(S)

n (A ∪ B)n (S) =

n (A ∩ B)n(S)

n(A)

n(S)+

n(B)

n(S)-

P(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B)

Observação: Se os eventos A e B forem mutuamente exclusivos (A ∩ B = ), a adição de probabilidade neste caso será:

P (A ∩ B) = p(A) + p(B)

Exemplo→ Numa pesquisa feita com 600 pessoas de uma comunidade, verifi cou-se que 200 lêem o jornal A. 300 lêem

o jornal B e 150 lêem ambos os jornais. Qual a probabilidade de, escolhendo-se uma pessoa ao acaso, ela ser leitora do jornal A ou B.

SoluçãoSeja o evento A = { leitora do jornal A } e seja o evento B = { leitora do jornal B }

P(A) = NTCNCF =

31

600200 =

P(B) = NTCNCF =

21

600300 =

P(A ∩ B) = NTCNCF =

41

600150 =

P(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p( A ∩ B)

P(A ∪ B) = 12

36441

21

31 −+=−+

12

P(A ∪ B) = 12712

3.5 - Produto de Probabilidades

Probabilidade Condicional

Seja o experimento E = { lançar um dado } e um evento A = { sair o n.º 3 }. Logo, P(A) = 1/6. Consideremos agora o evento B = { sair um número ímpar }. Logo, P(B) = { 1, 3, 5 }. Poderíamos agora estar interessados em avaliar a probabilidade do evento A, condicionada à ocorrência do evento B - P(A/B) – “probabilidade de A dado B”.

P (A/B) = 31

B A A ∩ B

S

35Observe que na realidade teremos uma redução do espaço amostral. No exemplo:S = { 1, 2, 3, 4, 5 , 6 } → S* = { 1, 3, 5 }. E é nesse novo espaço ( S* ) que avaliaremos a probabilidade condicionada.

Então, P (A/B) = )B(P

)BA(P ∩ ou ainda P (A/B) = ( )(B) NCF

BA NCF

NTC(B) NCF

NTCB)(A NCF

∩=

∩( )BA ∩

→ Da mesma maneira

P (B/A) = (A) NCF

)BA( NCF ∩

ExemploDois dados são lançados. Consideremos os eventos A = { (x1, x2) | x1 + x2 = 10 } e B = { (x1, x2) | x1 > x2 }.Avaliar: P (A), P (B), P (A/B), P (B/A)

Solução:

Solução

P(A) = 121

63

NTCNCF ==

12

P (B) = 3615

NTC)B(NCF = 15

36

P (A/B) = (B) NCF

)BA( NCF ∧

151

15

P (B/A) = 31

)A( NCF)BA(NCF =∧

Teorema do Produto (retiradas sem reposição)

A partir da defi nição de probabilidade condicional, podemos enunciar o teorema do produto. A probabilidade da ocor-rência simultânea de dois eventos A e B do mesmo espaço amostral é igual ao produto da probabilidade de um deles pela probabilidade condicional do outro em relação a ele.

P(A∩B) = P(B) . P(A/B) , e do mesmo modo

P(A∩B) = P(A) . P(B/A)

ExemploEm um lote de 12 peças, quatro são defeituosas. Duas peças são retiradas, uma após a outra, sem reposição. Qual a

probabilidade de que:

a) Ambas sejam boas.evento A = {a peça é boa}evento B = {a peça é boa}

P( A ∩ B ) = P(A) . P(B/A) = 13256

117 .

128 =

12 1156

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

6, ( ) 5 6, ( ) 4 6, ( ) 6,3 ( ) 2 6, ( ) 1 6, (5, ( ) 5 5, ( ) 4 5, ( ) 3 5, ( ) 2 5, ( ) 1 5, (4, ( ) 5 4, ( ) 4 4, ( ) 4,3 ( ) 2 4, ( ) 1 4, (3, ( ) 5 3, ( ) 4 3, ( ) 3 3, ( ) 2 3, ( ) 1 3, (2, ( ) 5 2, ( ) 4 2, ( ) 3 2, ( ) 2 2, ( ) 2,1 (

1, ( ) 5 1, ( ) 4 1, ( ) 3 1, ( ) 2 1, ( ) 1,1 (

S

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) ⎪

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

)

36b) Ambas sejam defeituosas.evento A = {a peça é defeituosa}evento B = {a peça é defeituosa} P( A ∩ B ) = P(A) . P(B/A) =

13212

113 .

124 =

12 1112

Independência Estatística (retiradas com reposição)

Se A e B são eventos independentes, ou seja, se a ocorrência de um deles não infl ui na ocorrência do outro, então:

P(A/B) = P(A) e P(B/A) = P(B)

E podemos escrever:

P( A ∩ B ) = P(A) . P(B)

ExemploEm um lote de 10 peças, quatro são defeituosas. São retiradas duas peças, uma após a outra, com reposição. Qual a

probabilidade de que:

a) Ambas sejam boas.evento A = {a peça é boa}evento B = {a peça é boa}

P( A ∩ B) = P(A) . P(B) = 10036

106.

106 =

10 1036

b) A primeira boa e a segunda defeituosa.evento A = {a peça é boa}evento B = {a peça é defeituosa}

P( A ∩ B) = P(A) . P(B) = 10024

104.

106 =

10 1024

37Exercícios de Auto-Avaliação

1. Lance um dado e uma moeda e faça o que se pede:a) Construa o espaço amostral.b) Enumere os eventos A = {coroa, par} e B = {cara, ímpar}.c) Enumere os eventos A e BA ∪ .

2. Um número inteiro é escolhido ao acaso entre os números de 1 a 50. Qual a probabilidade de:a) O número ser divisível por 5.b) Terminar em 3.c) Ser divisível por 6 ou por 8.

3. Um lote é formado por 10 peças boas, quatro com defeitos e duas com defeitos graves. Uma peça é retirada ao acaso. Calcule a probabilidade de que:

a) Ela seja boa.b) Ela não tenha defeitos graves.

4. Numa cidade, 400 pessoas foram classifi cadas segundo o sexo e seu estado civil, de acordo com a tabela:

SEXO SOLTEIRO CASADO DESQUITADO VIÚVOMASCULINO 50 60 40 30FEMININO 150 40 10 20

a) Sendo escolhido um homem, qual a probabilidade de ele ser solteiro?b) Se for escolhida uma mulher, qual a probabilidade de ela ser desquitada?

5. Em uma urna existem 18 bolas, sendo seis brancas numeradas de 1 a 6; cinco bolas pretas numeradas de 7 a 11 e sete bolas amarelas numeradas de 12 a 18. Retirando-se uma bola ao acaso, calcule a probabilidade de:

a) Sair uma bola branca.b) Sair uma bola preta com número par.c) Sair número ímpar em bola amarela.

6. Numa classe com 36 alunos, a professora numera os seus alunos de 1 a 36 com a fi nalidade de realizar um sorteio. Determinar a probabilidade do aluno sorteado ter o número menor que 12 ou par.

7. Numa urna existem 15 bolas, sendo oito brancas e sete pretas. Retiram-se sucessivamente duas bolas. Calcule a proba-bilidade de saírem:

a) As 2 pretas, sem reposição.b) As 2 pretas, com reposição.c) As 2 brancas, sem reposição.d) Uma branca e uma preta, sem reposição e nessa ordem.

8. Um menino vai jogar um dado duas vezes e aposta que sairá ambas as vezes o número 4. Sua irmã vai atirar uma moeda cinco vezes e aposta que dará cara as cinco vezes. Quem tem mais chance de ganhar a aposta?

9. De um baralho de 52 cartas, duas são escolhidas aleatoriamente e sem reposição. Qual a probabilidade de observar-mos:

a) Duas cartas de copas.b) Dois reis.c) Uma dama e um número.

10. Uma urna contém 10 bolas pretas e 8 bolas vermelhas. Retiram-se três bolas sem reposição. Qual a probabilidade de as duas primeiras retiradas serem bolas pretas e a última, vermelha?

38

Se você:

1) concluiu o estudo deste guia;2) participou dos encontros;3) fez contato com seu tutor;4) realizou as atividades previstas;

Então, você está preparado para as ava-liações.

Parabéns!

39Glossário

Biunívoca – é a correspondência de um elemento de um certo conjunto com outro elemento de outro con-junto.

Experimento aleatório – é aquele que quando repetido em iguais condições, pode fornecer resultados dife-rentes.

Quadrante – um dos 4 (quatro) campos em que é dividido o plano cartesiano.Símbolos -∀ para todo| tal que⇔ implica, acarreta∧ e

40Gabarito

Unidade I

1. a) A = {março, maio}.b) B = {5, 6}.c) C = {7, 8, 9, 10, 11}.d) D = { }.e) E = {5, 7, 9, ...}.

2. a) = b) ≠ c) =d) ≠

3. a) ⊂ b) ⊄ c) ⊂ d) ⊂

4. Trinta e dois subconjuntos.

5. B = {a}, {7}, {8}, {a, 7}, {7, 8}, {a, 8}, {a, 7, 8}, { }

6. a) {a, b, c, e}. b) {0, 1, 7, 8, 9}. c) {5, 10}. d) { }.e) {b, d}.f) {2, 5}.

7. a) A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }b) B ∩ C = { 2, 6 }c) A – C = { 1 }d) (A ∪ B) ∩ (B ∪ C) = { 2, 3, 4, 5, 6 }

8. a) A ∩ B ∩ C b) ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) c) A – ( B ∩ C )

9. 45

4110. 108

11. a) ∈ b) ∉ c) ∈ d) ∉ e) ∈ f) ∈ 12.a) ⊄ b) ⊂ c) ⊂ d) ⊄

13.a) ℝ

2 12

b) ℝ

2

c) ℝ -6 0

d) ℝ 2 12

14.

A ℝ 1 4

B ℝ 1 8

a) A ∪ B ℝ { x ∈ ℝ∣1≤ x ≤ 8 } 1 8

b) A ∩ B

2 4 ℝ { x ∈ ℝ∣2< x < 4 }

c) A – B 1 2

ℝ { x ∈ ℝ∣1 ≤ x ≤ 2 }

Unidade II

1. A x B = { ( 1, 2 ), ( 1, 6 ), ( 1, 8 ), ( 5, 2 ), ( 5, 6 ), ( 5, 8), ( 7,2 ) , ( 7,6 ), ( 7,8 ) }

0

1

2

3

4

5

6

7

8

y

1 2 3 4 5 6 7

(1 ,8 ) •

(5 ,8 ) •

(1 ,6 ) •

(5 ,6 ) •

(7 ,8 ) •

(7 ,6 ) •

(1 ,2 ) •

(5 ,2 ) •

(7 ,2 ) •

422. a) A x B = { (- 4, 0), (- 4, 1), (- 4, 5) , (- 2, 0), (- 2, 5), (0, 0), (0, 1), (0, 5) }b)

c) B x A = { ( 0, -4), ( 0, - 2 ), ( 0, 0 ), ( 1, - 4 ) , ( 1, - 2 ), ( 1, 0 ), ( 5, - 4 ) , ( 5, - 2 ), ( 5, 0 ) }d) ( A x B ) ∩ ( B ∩ A ) = { ( 0, 0 ) }

3.

⎩⎨⎧

=−=+

1y3x2(x3) 7yx3

substituindo

⎩⎨⎧

=−=+

1y3x2 21y3x9

11 x = 22 x = 2

4.

5.a)

b) { (- 2, 4) , (-1, 1), (0, 0), (1, 1) , (2, 4) }

2

3

4

x

y

1

(-2 ,5 ) •

(0 ,5 ) •

(-4 ,5 ) •

(-4 ,1 ) •

(-2 ,1 ) •

(-4 ,0 ) •

(-2 ,0 ) •

(0 ,0 ) •

5

0 -1 -2 -3 -4

3x + y = 73 x 2 + y = 7y = 7 – 6

y = 1

21

x

y

0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

A B •

•

•

-1

3

0

• •

2 1

-2

• 2

•

0 1 •

• 4

•

43c)

6. a) É função. D (f) = { x1 } CD (f) = { y1 } II = { y1 }b) Não é função.c) Não é função.d) É função. D (f) = { x1 } CD (f) = {y1, y2, y3 } II = { y2 }

7. a) É função; II = { 2 }.b) Não é função.c) É função ; II = [ 1, 2 ].d) É função; II = [ -1, 3 ].e) Não é função.

8. a) D(f) = ℝ.b) D(f) = {x ∈ ℝ|x ≠ 7}.c) D(f) = {x ∈ ℝ|x ≠ - 4}.d) D (f) = ℝ.e) D (f) = {x ∈ ℝ|x ≥ 2}.f) D (f) = {x ∈ ℝ|x > 3}.g) D (f) = {x ∈ ℝ|x ≠ - 6}.

9. a) y = x + 3

x = y + 3 ∴ y = x – 3 ∴ 3xf 1)x( −=−

b) y = 5x – 7

x = 5y – 7 ∴ 5y = x + 7 ∴ y = 5

7x ∴+ 5

7xf 1)x(

+=−

c) y = – 2x + 5

x = – 2y + 5 ∴ 2y = 5 – 7 ∴ y = 2

x5 ∴− 2

x5f 1)x(

−=−

d) y = 4x2 + 4

x = 4y2 + 4 ∴ 4y2 = x – 4 ∴ y2 = 2

4xy −= ∴ 2

4xf 1)x(

−=−

x

y

2 1 -1 0 -2

1

2

3

4 (-2 ,4 ) (2 ,4 )

(1 ,1 )

•

•(-1 ,1 )

•

•

44 e) y = 2

2x3 −

x = 2

2x3 − ∴ 2x = 3y – 2 ∴ 3y = 2x + 2 ∴ y = 3

2x2f 1)x(

+=−

10. a) y = 3x d) y = - 3x + 2

b) y = - x e) y = 2x – 4

c) y = 2x + 1

•

•

0 x 2 1

1

2

3

y

x

-1

1

•

y

• • x -1 /2 -1

1

y

1

1

2

x

y

32 0 •

•

2 x

y

1 0

-1

-2

-3

-4 •

•

x y

0 1 2

0 3 6

x y

0 1

0 -1

x y

0 -1 /2

1 0

x y

0

32

2 0

x y

0 2

- 4 0

4511. a) x = 2.b) x = 3.c) x = 1/3.d) x = 5/4.e) x = - 3/2.f) x = 1/6.g) x = - 4. h) x = 11/4.i) x = 1 / x = 0.

12. e.

13. a) y = 1,12 x + 4.b) R$ 26.40.c) 27,6 km.

14. a) y = 0,5 . x + 8.b) R$ 58,00.

15. 14 páginas.

16. a) P = 156 – 2,5 . n.b) 15 semanas.

17. a) R$ 16,00.b) 8 pessoas.

Unidade III

1.a) S = { (1, c) , (2, c) (3, c) (4, c) (5, c) (6, c) (1, k) (2, k) (3, k) (4, k) (5, k) (6, k).b) A = { (2, k) (4, k) (6, k) }. B = { (1, c) (3, c) (5, c) }.c) A = { (1, c) (2, c) (3, c) (4, c) (5, c) (6, c) (1, k) (3, k) (5, k) }

BA ∪ = { (1, k) (3, k) (5, k) (2, c) (4, c) (6, c) }

2.a) 1/5.b) 1/10.c) 6/25.

3. a) 5/8.b) 7/8.

4. a) 5/18.b) 1/22.

465. a) 1/3.b) 1/9.c) 1/6.

6. 2/3.

7. a) 1/5.b) 49/225.c) 4/15.d) 4/15.

8. A irmã.

9. a) 1/17.b) 1/221.c) 80/663.

10. 5/34.

47Referências Bibliográficas

DANTE, L. Roberto. Matemática – Contexto e aplicação. São Paulo: Ática, 2000.FACCHINI, Walter. Matemática – Volume único. São Paulo: Saraiva, 1997.NERI, Chico. Matemática: Curso completo. São Paulo: Moderna, 1993.

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