Introdução aos Sistemas de Controle

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1 INTRODUÇÃO Até agora, estudamos a modelagem matemática, a análise e a simulação de sistemas dinâmicos sem controle. O objetivo desta apostila é estabelecer um elo entre as disciplinas de Sistemas Dinâmicos e Análise de Sistemas de Controle, mostrando ao Aluno a importância que têm a modelagem matemática e a análise de um sistema dinâmico no projeto de um controlador que sobre ele atuará, tornando-o um sistema controlado. Por sistema controlado queremos dizer que a adição de um controlador deve fazer com que o sistema exiba um comportamento com certas características pré-estabelecidas. Evidentemente, a adição de um controlador tornará o sistema original ainda mais complexo. Os sistemas de controle podem ser classificados como: • Sistemas de controle em malha aberta: o sistema simplesmente executa um conjunto de ações pré-

programadas, não havendo meios de corrigi-las caso o comportamento do sistema não se aproxime do desejado. Tal tipo de sistema também recebe o nome de sistema de controle sem realimentação.

Exemplo: no controle de um semáforo em um cruzamento, a mudança de sinal se faz mediante tempos cronometrados, não importando a variação no fluxo de carros de uma das ruas em relação à outra.

• Sistemas de controle em malha fechada: o estado atual do sistema é continuamente comparado com o desejado e correções são feitas na tentativa de conduzir o sistema para o estado desejado. Tal tipo de sistema também recebe o nome de sistema de controle com realimentação. Exemplo: no controle da temperatura de uma sala, a mesma é medida continuamente e comparada com uma temperatura desejada, sendo tomadas ações de controle com o objetivo de levar a temperatura àquele valor.

Vamos, a seguir, examinar um exemplo bem simples e mostrar a ligação da modelagem matemática com o Controle.

20 INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS

DE CONTROLE

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2 EXEMPLO: CONTROLE DO MOVIMENTO DE ROLAMENTO DE UM NAVIO Um problema comum encontrado na dinâmica de um navio é o do movimento de rolamento (rotação do navio em torno do eixo longitudinal que passa pelo seu centro de massa), induzido pela ação das ondas. Modelo matemático do sistema sem controle A fig. 1 ilustra o movimento de rolamento, representado pela coordenada angular θ.

Fig. 1 A massa do navio é m e o seu momento de inércia em relação ao eixo longitudinal que passa pelo centro de massa é IC. Aplicando a Equação dos Momentos:

(1) ..

CIM θ=∑ θ

onde ∑ θM é a resultante de todos os momentos externos em relação ao eixo longitudinal que passa pelo

centro de massa C. Tais momentos são provocados: (a) Pela força de Arquimedes, de valor mg, a qual passa pelo metacentro do navio (centro de massa da

água deslocada). Tal força provoca um torque resistente ao movimento de magnitude -mgLsenθ ≈ mgLθ, para pequenos ângulos de rolamento;

(b) Pela ação do movimento das ondas, a qual fornece um torque de magnitude Md(t), normalmente imprevisível;

(c) Pela ação viscosa da água (coeficiente de amortecimento c), a qual provoca um torque resistente ao

movimento que consideraremos proporcional à velocidade angular, de módulo -c.θ .

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Substituindo tais momentos na eq. (1): ..

C.

d IcmgL)t(M θ=θ−θ− ou

(2) )t(MmgLcI d...

C =θ+θ+θ que é o modelo matemático para o sistema sem controle. Modelo matemático do sistema com controle Consideraremos, por questões de segurança e conforto, que o movimento de rolamento deva ser controlado, de modo que θ(t) fique limitada a uma faixa de valores aceitáveis. Um modo de conseguir isso: 1. Colocar estabilizadores em ambos os lados do navio (ver fig. 1). Tais estabilizadores podem girar, de

modo a produzir torques de rolamento positivos ou negativos, de magnitudes desejadas, à medida que o navio executa movimentos de rolamento;

2. Definir a orientação desejada para o navio, θd(t). No nosso caso, θd(t) = 0, mas, por questões de generalidade, conservaremos o valor genérico θd(t).

3. Medir continuamente a posição θ(t), por meio de um sensor apropriado. Comparar esse valor atual com o valor desejado, de modo a obter o erro (cujo valor queremos tornar nulo):

(3) e(t) = θd(t) - θ(t) 4. Fornecer uma ação de controle que continuamente torne o valor do erro e(t) igual a zero. Uma

estratégia possível é fazer com que os estabilizadores produzam um torque de controle MC(t), proporcional ao erro e(t), estratégia essa conhecida como controle proporcional:

(4) MC(t) = kP e(t) = kP [θd(t) - θ(t)] A constante kP é chamada constante de proporcionalidade. Intuitivamente, o controle proporcional faz sentido: um erro grande necessita de um momento grande para ser corrigido; um erro pequeno requer um momento pequeno para ser corrigido. Com a introdução dessa ação de controle, o modelo matemático do sistema com controle passa a ser:

(5) )(k)t(MmgLcI dPd...

C θ−θ+=θ+θ+θ Em termos físicos, podemos melhor ver a ação do controlador rescrevendo a equação acima na forma

(6) )t(k)t(M)kmgL(cI dPdP...

C θ+=θ++θ+θ Vemos que uma parte do torque de controle, kP θd, é uma entrada que define a condição desejada de operação, enquanto que kP θ aumenta a rigidez do sistema. Assim, enquanto o sistema sem controle tem

uma freqüência angular natural igual a CI

mgL, o sistema com controle tem uma freqüência angular natural

maior, igual a C

PI

kmgL +. Portanto, a adição de um controlador proporcional alterou as propriedades

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básicas do sistema original, criando um novo sistema com características dinâmicas diferentes e presumivelmente melhores. Vemos, pois, que o controle com realimentação envolve as seguintes ações: 1. Medição contínua do estado atual do sistema: no caso, medimos a variável a ser controlada, θ(t). 2. Determinação contínua do erro e(t): tal determinação envolve a realimentação, isto é, o valor

medido do estado atual do sistema é realimentado em um dispositivo que compara o estado atual com o desejado para determinar o erro, conforme eq. (3).

3. Atuação: uma parte do sistema de controle consiste de dispositivos que exercem alguma ação corretiva com o objetivo de reduzir o erro a zero. Nesse exemplo, os atuadores (que podem ser hidráulicos ou eletromagnéticos) exercem momentos que giram os estabilizadores, fazendo com que um momento de rolamento adequado seja exercido sobre o navio.

Conforme podemos ver, a adição de um controlador requer o uso de instrumentos de medição (sensores), dispositivos eletrônicos (tais como microprocessadores) para a determinação do erro e atuadores para a aplicação da ação corretiva. Nesse exemplo, uma seqüência típica de projeto seria: 1. Determinar as propriedades relevantes do sistema sem controle: IC, c, mg e as localizações do centro

de massa C e do metacentro (a fim de determinar L). 2. Obter uma amostra representativa de torques típicos Md(t), os quais podem ser baseados em dados

existentes para navios de configuração semelhante, testes em modelos, etc. 3. Estabelecer as necessidades que o sistema controlado deve satisfazer. Por exemplo, podemos querer

que o valor absoluto do ângulo de rolamento, |θ(t)|, esteja sempre abaixo de um determinado valor. 4. Usando o modelo matemático do sistema, encontrar valores da constante kP que produzam um

desempenho aceitável para entradas típicas. 5. Projetar um sistema de medição/atuação que produza o kP requerido. Isso significa que precisamos

conhecer o torque de controle MC(t) em função do tamanho e da posição angular dos estabilizadores e, então, projetar atuadores que mantenham os estabilizadores posicionados convenientemente.

6. Testar e modificar se necessário. Se a modelagem matemática foi feita cuidadosamente, o esforço de teste/verificação será reduzido consideravelmente.

Devemos ressaltar que o modelo matemático aqui descrito é bastante simplificado. Por exemplo, o subsistema estabilizador/atuador possui inércia, amortecimento e rigidez, de modo que seria necessário construir um modelo matemático para descrever o comportamento dinâmico desse subsistema. Também é importante notar que o sistema acima caracteriza-se por possuir apenas uma entrada, θd(t), e uma saída controlada, θ(t). Sistemas desse tipo são classificados como sistemas SISO (Single Input/Single Output). A maioria dos sistemas, entretanto, são mais complexos, nos quais temos várias entradas e várias saídas controladas. Sistemas desse último tipo são classificados como sistemas MIMO (Multiple Inputs/ Multiple Outputs).