Universidade Federal de Minas GeraisInstituto de Ciências ExatasDepartamento de Estatística

Introdução à Bioestatística – Turma Nutrição

Aula 8 :

Intervalos de Confiança para Média e Proporção

Distribuição t-Student

A distribuição t-Student aproxima-se da distribuição Normal Padrão à medida que seus graus de liberdade, k, crescem.

Tabela t

(continua…)

(… continuação)

Tabela t

879.0]10;20.0[ =t 812.1]10;05.0[ =t 753.1]15;05.0[ =t

Distribuição t-Student

A distribuição t-Student é simétrica em torno de 0 .

É por isso que somente os percentis positivos são tabelados.

812.1]05.0;10[

=t

812.1]05.0;10[]95.0;10[

−=−= tt

Um pesquisador quer conhecer as seguintes características dos sobre os estudantes de uma certa universidade:

• a médiada renda familiar per capita;

• a proporçãodeles que trabalha.

O pesquisador não tem acesso às informações de renda e ocupação de todos os (30 mil) estudantes da universidade (da população) para saber qual é o valor desta média e desta proporção. proporção.

Vamos chamar estes valores desconhecidos de média e proporção na população (todos os estudantes da universidade) de:

µ = valor da média da renda familiar per capita na população;

p = valor da proporção de estudantes que trabalha na população.

Ele selecionou aleatoriamente 100 estudantes e perguntou, para cada estudante desta amostra, sua renda familar per capita e o se estudante trabalha ou não.

Ele pretende usar os valores da média de renda dos estudantes da amostra ( )e da proporção de estudantes da amostra que trabalham ( )Para saber os valores na população.

x

p̂

Se por exemplo, p = 0.20

Histograma dos valores da proporção em 1000 amostras aleatórias de tamanho 100 retiradas da população com p =0.20.

A teoria da probabilidade diz que, se p = 0.20, os, valores da

proporção em amostras aleatórias de tamanho 100 têm, aprox. distribuição Normal com média = 0.20 e d.p.= 0.040.040.040.04=−

100

)2.01)(2.0(p̂

Inferência Estatística

Parâmetros:média (µ)

desvio-padrão (σ)proporção (p)

AMOSTRA

Estatísticas:média ( )

desvio-padrão (s) x

Conjunto de métodos de análise estatística que permitem tirar conclusões sobre uma população com base em

somente uma parte dela, a amostra .

POPULAÇÃO

desvio-padrão (s) proporção ( )p̂

Tipos de Inferência Estatística

Inferência sobre

Estimação de(de µ ou p)

Intervalo de Confiança

Inferência sobre os parâmetros

(µ ou p)

Teste de Hipóteses (sobre µ ou p)

Teste de Hipóteses

Estimação

Exemplo: de posse de uma amostra de 1000 eleitores de um Estado, deseja-se estimar a proporção de eleitores desse Estado que votarão no candidato Fulano.

O valor dessa proporção na população (p) é desconhecido.Este parâmetro pode ser estimado de duas formas:

somente um valor é dado como estimativa para θ. Exemplo : proporção amostral de eleitores de

Fulano, = 0.60.

Estimação pontual :

Estimação intervalar :

um intervalo de valores é dado como estimativa para θ. Exemplo : [ margem de erro ] = [0.60 0.03]

= [0.57 ; 0.63].± ±

p̂

p̂

Estimação Intervalar

Estimativa Intervalar

= Estimativa pontual ±±±± Margem de Erro

Exemplo:

Em uma amostra de 40 alunos da UFMG, encontrou-se umaEm uma amostra de 40 alunos da UFMG, encontrou-se umarenda familiar média de 1600 reais (estimativa pontual ),com desvio-padrão de 323 reais .

A margem de erro foi calculada em 104 reais .

Assim, a estimativa intervalar para a renda familiar média doaluno da UFMG é de

[1600 ±±±± 104] = [1496 ; 1704] reais.

EXEMPLO: estimar µ, a média da renda familiar dos alunos que ingressaram na UFMG este ano

Experimento :

1. Cada um de vocês tem acesso a uma amostra de 100 calouros;

2. Cada um calcula a estimativa pontual em sua amostra;

3. Os valores de irão variar de amostra para amostra:

x

x

Alguns valores de serão próximos a µ, outros não….x

Nível de Confiança de uma Estimativa Intervalar

A estimativa intervalar é associada a um nível de confiança(geralmente expresso em porcentagem).

Ex: nível de confiança de 95%.

Chamamos a Estimativa Intervalar de Intervalo de Confiança .

Ex: o intervalo de 95% de confiança para a renda familiar médiaEx: o intervalo de 95% de confiança para a renda familiar médiado aluno da UFMG vai de R$1496 a R$1704.

Interpretação:

Temos uma confiança de 95% de que o valor desconhecido da renda familiar média do aluno

da UFMG está entre R$1496 a R$1704.

O que entendemos por confiança ?

EXEMPLO: estimar µ, a renda média familiar dos alunos que ingressaram na UFMG este ano

Experimento :

1. Cada um de vocês tem acesso a uma amostra de 100 calouros;

intervalo de 95% de confiança 2. Cada um construirá um intervalo de 95% de confiança utilizando os dados da sua amostra.

Resultado esperado :

Intervalos de confiança com limites e comprimentos diferentes.

Cerca de 95% dos intervalos construídos por vocês irão conter o valor desconhecido de µ.

Interpretação do Nível de Confiança na Estimação In tervalar

95% dos IC95% construídos de diferentes amostras de mesmo tamanho contêmo valor desconhecido de µ.

Intervalo de Confiança para uma Média µµµµ

margem de erro

estimativa da variabilidade de entre amostras de tamanho n

x

percentil da distribuição t-Student com (n -1) g.l. que deixa acima dele uma probabilidade igual a α/2

/ 2;( 1)ntα −

α/2

estimativa

pontual de µ

tamanho nnível de confiança

Exemplo : Estimação da idade média ao falar

Em uma amostra de n=20 crianças, a idade média ao falar foi de= 10 meses, com desvio-padrão de s =1,5 meses.x

( 1; /2) (19; /2)100(1 )% . 10n

sIC x t t

nα α

αµ −

− = ± = ±

( 1; /2) (19; /2).1.5

. 1020

IC x t tα α = ± = ±

[ ]100(1 )%

nα−

= ± ]20

10 .0.335

[ ](19; /2)100(1 )% 10 .0.335IC t α

αµ

−

= ±

�Intervalo de 90% de confiança: 100(1-α)%=90%1-α = 0.90 → α = 0.10 → α/2 = 0.05 → t(19;0,05) = 1.729

[ ] [[ ]

90% 10 1.729 0.335 10 0,6 10 0.6;10 0.69.4;10.6

IC

ICµ = ± ⋅ = ± = − +

=[ ] [ ]10 1.729 0.335 10 0,6 10 0.6;10 0.6= ± ⋅ = ± = − +[

[ ]90% 9.4;10.6ICµ = “A idade média ao falar para esta populaçãode crianças é estimada entre 9.4 e 10.6meses, com 90% de confiança.”

�Intervalo de 95% de confiança: 100(1-α)%=95%1-α = 0.95 → α = 0.05 → α/2 = 0.025 → t(19;0,025) = 2.093

[ ] [ ] [ ][ ]

95% 10 2.093 0.335 10 0.7 10 0.7;10 0.7ICµ = ± ⋅ = ± = − += [ ]95% 9.3;10.7ICµ = “A idade média ao falar para esta população

de crianças é estimada entre 9.3 e 10.7meses, com 95% de confiança.”

Como reduzir a margem de erro (e o comprimento do IC )?

Reduzir o nível de confiança

Escolher uma população com menor

variabilidade

100(1 )% . 10s

IC x t tα− = ± = ±

Aumentar o tamanho da

amostra

[ ]( 1; /2) (19; /2)

100(1 )%

100(1 )%

. 10n

sIC x t t

nα α

αµ

α

−−

−

= ± = ±

= ±

Cálculo do Tamanho da Amostra para IC

nst me n ⋅= −

−)2/;1(

)%1(100α

αµ

Cálcular o tamanho da amostra (n) Cálcular o tamanho da amostra (n) tal que a margem de erro seja igual

ao valor especificado pelo pesquisador.

Exemplo: Em uma amostra de 40 alunos da UFMG, encontrou-se uma renda familiar média de 1600 reais, com d.p. de 323 reais.

A margem de erro com 95% de confiança na estimação da

média de renda na população de alunos (µ), é dada por:

reais. 104071.51)042.2(40

323)(]025.0;39[

%95 =⋅=⋅= tmeµ

Suponha que se deseja que a margem de erro caia para 50 reais.Suponha que se deseja que a margem de erro caia para 50 reais.Para quanto deveria ser aumentado o tamanho da amostra?

? reais 50323

]025.0;1[ =⇒=⋅− nn

nt

nntme

323]025.0;1[

%95 ⋅= −µ

Intervalo de Confiança para uma Proporção p

margem de erroestimativa da variabilidade de entre amostras de tamanho n

nível de confiança

p̂

Válido somente quando n > 30 (amostras grandes)

e 0.2<θ<0.8.

percentil da distribuição Normal Padrão que deixa acima dele probabilidade igual a α/2

estimativa pontual

de p

Exemplo: Deseja-se estimar:p = proporção de pessoas curadas com o novo tratamento.

Estimativa Pontual: a proporção amostral = 40/50 = 0.8

50 pessoas receberam o novo tratamento e 40 foram curadas.

Estimativa Intervalar:

90% de confiança: 100(1-α)%=90%

p̂

Com base nesta amostra, estimamos que a proporção de cura como novo tratamento está entre 70% e 90%, com 90% de confiança.

90% de confiança: 100(1-α)%=90%1-α = 0.90 → α = 0.10 → α/2 = 0.05 → zαααα/2 = z0,05 =1.64

[ ] [ ] [ ].9.0 ; 7.01.08.0 )06.0)(64.1(8.050

)2.0(8.0)64.1(8.0%90 =±=±=

±=pIC

Cálculo do Tamanho da Amostra para IC

nzme

ppp

)ˆ1(ˆ)2/( )%1(100 −⋅=−

αα

Para um valor de margem de erro (d) especificado pelo pesquisador,

o tamanho da amostra deve ser:

][ )ˆ1(ˆ

2

]2/[pp

d

zn −⋅

= α

o tamanho da amostra deve ser:

máximo=0.25 quando p=0.50

4

1 ][

22

]2/[]2/[)ˆ1(ˆ ⋅

=⇒⋅

= −

d

zn

d

zn pp

αα

Para 95% de confiança: 1-α=0.95 � zαααα/2 = z0,025 =1.96 ≈ 2

12122

]2/[ ⋅=⇒⋅

=zα

4

12

4

1]2/[ ⋅

=⇒⋅

=

dn

d

zn α

2222dn

1=