Plc0002 Aula08 Guiadeestudos (2)

Licenciatura em Cincias USP/Univesp Mdulo 1

1

AtividAdes PresenciAisguia de estudo

aula 8

DINMICA DO MOVIMENTO DOS CORPOSenergiA MecnicA

Lei dA conservAo dA energiA MecnicA

Caro(a) aluno(a).Esta aula sobre os temas Foras conservativas/Energia potencial e Energia Mecnica e sua conservao.Este tema abrange o contedo constante dos itens 13.9, 13.10 e 13.11 do PDF Energia Mecnica disponvel no AVA. Nesta aula no teremos as Videoaulas Teoria e Exerccios. Para iniciar os seus estudos, recomendamos estudar

o contedo que segue. Aps estuda-lo, consulte, no mnimo, os itens indicados no PDF para outra verso dos conceitos envolvidos.

Tema: Foras conservativas/energia potencialAs foras so ditas conservativas se os trabalhos por elas realizados no dependerem da trajetria segundo a qual

os respectivos pontos de aplicao se deslocarem.Dois exemplos importantes de foras conservativas: a fora peso e a fora elstica de uma mola.

1) trAbALho dA forA PesoUm bloco e uma esfera, ambos com massa m, so soltos de uma mesma

altura yA, conforme esquematizado.

O trabalho do peso desde A at B , para ambos os casos, conforme visto antes:

peso AB

= mg[yB y

A]

O trabalho do peso no depende da trajetria: depende do peso mg e das alturas das posies inicial e final. A fora peso uma fora conservativa.


2Atividades Presenciais guia de estudo aula 8

2) trAbALho dA forA eLsticA de uMA MoLA

Situao IUm bloco pendurado na extremidade de

uma mola puxado para baixo. Depois de solto da posio A, ele puxado para cima pela fora elstica da mola.

Qual o trabalho da fora da mola desde a posio A at B?

A deformao inicial xA = L

A L

0 e a final

xB = L

B L

0, onde L

0 = comprimento natural da

mola. Ento:

mola AB = ( ) ( ) k x xB A2

2 2 .

Situao IIA mesma mola agora posicionada como no

esquema. Solto, o bloco A puxado para a direita pela componente da fora da mola na direo do eixo. Qual o trabalho da mola desde a posio A do bloco at a posio B?

As deformaes so: xA = L

A L

0 e x

B = L

B L

0.

Portanto:

mola AB = ( ) ( ) k x xB A2

2 2 .

Estas duas situaes ilustram o fato de o trabalho da fora elstica de uma mola de constante elstica k depender apenas das deformaes inicial e final.

3) energiA PotenciAL grAvitAcionAL - sMboLo: Ugrav

Diz-se que um corpo tem energia potencial mecnica U se ele tiver capacidade de realizar trabalho.A pergunta : Como um corpo adquire capacidade de realizar trabalho ou, adquire energia poten-

cial U para poder realizar trabalho? Veja o exemplo do mao de um bate estacas da figura.



O mao s se torna operacional (fincar a estaca no solo) se ele for erguido at certa corta yA > yB (cota da parte superior da estaca) onde solto para atingir a estaca com certa energia cintica. Para isto preciso realizar trabalho sobre o mao para ergu-lo at a cota de onde ser solto. Esse trabalho o trabalho da fora tensora do cabo flexvel atado na extremidade superior do mao.

Para este trabalho, duas foras so operacionais: a fora tensora

T que puxa o mao para cima e a fora de atrao gravitacional (peso do mao)

p que puxa o mao para baixo.Aplicando-se o principio do Trabalho-Energia Cintica, escreve-se:

Porm, vB = 0 (o mao encontra-se em repouso em B) e vA = 0 (o mao atinge o estado de repouso em A de onde solto). Consequentemente, m(vA)/2 = 0 e m(vB)/2 = 0 e, assim a relao (I) reduz-se a T pAB AB+ = 0 donde T pAB AB= . Substituindo-se o trabalho do peso pelo formalismo p A BAB mg y y= ( ), o trabalho da fora tensora :

Cada termo do lado direito de (II) corresponde a um tipo energia associada ao peso do mao. Este tipo de energia recebe o nome de Energia Potencial Gravitacional (UGrav). Assim, a igualdade (II) revela que o trabalho da fora tensora ao erguer o mao trabalho contra o peso - igual variao da energia potencial gravitacional do mao e assim pode ser escrita como:

Ou em outras palavras, o mao ao ser erguido at a cota yA, em relao qualquer cota abaixo, adquire a condio de realizar trabalho (como o de cravar uma estaca no solo), porm, isto s se torna operacional depois que o mao for solto. Enquanto ele continuar parado na cota yA o mao tem capacidade de realizar trabalho (tem energia potencial), mas pode nunca tornar-se operacional, se por exemplo, ele fica na cota yA at a eternidade. Dai o adjetivo potencial que acompanha este tipo de energia.

unidAde de MedidA de ugrAv

energiA PotenciAL grAvitAcionAL negAtivA, nuLA e PositivAA energia potencial gravitacional UGrav = mgy pode assumir valores positivo, nulo ou negativos. O produto mg

sempre tomado em mdulo, mas as cotas y dependem do referencial y = 0 adotado.Muitas vezes conveniente adotar cota ZERO (y = 0) junto ao nvel da gua do mar como fazem os GPS. Mas

o GPS tambm pode fornecer cota NEGATIVA que ocorre em casos de pontos abaixo do nvel do mar. Subindo uma montanha, o GPS registra cota POSITIVA.

Em nossos exerccios, a cota y = 0, pode ser adotado no piso do 4 Andar de um edifcio ou ao nvel do solo ou pode ser no fundo de uma cisterna que fica abaixo do solo.

Cota Energia Potencial Gravitacionaly > 0 UGrav > 0

y = 0 UGrav = 0

y < 0 UGrav < 0

T pA B

AB AB

m v m v+ =

( ) ( )2 2

(I)

T A B A B A BAB mg y y mg y y mg y mg y= = = [ ( )] ( ) ( ). ( ). (II)

T Grav Grav GravAB A BU U U= =

UGrav = mgy logo [UGrav] SI = [m][g][y] = (kg)(N/kg)(m) = N.m = J



exeMPLo 01:Considere o edifcio e o seu entorno conforme esquematizado. Um objeto de massa m = 20 kg que pode ser posicionado em diversas cotas. Adotar g = 10 N/kg e o referencial 0y desenhado.

Em unidades do SI, a energia potencial gravitacional da massa em A, B,C e D ser:a. UGrav A = mgyA = 2010110 = 222.000 J = 22 kJ.b. UGrav B = mgyB = 201080 = 16.000 J = 16 kJ.c. UGrav C = mgyC = 2010(0) = 0.d. UGrav D = mgyD = 2010(20) = 4000 J = 4 kJ.

A variao de energia potencial gravitacional quando o objeto for transportado de:e. B para A ser UGrav BC = UGrav A UGrav B = (22 kJ) (16 kJ) = + 6 kg.f. D para C ser UGrav DC = UGrav C UGrav D = (0) ( 4 kJ) = + 4 kg.g. C para B ser UGrav BC = UGrav B UGrav D = (16 kJ) (0) = + 16 kg.

trAbALho do Peso e A energiA PotenciAL grAvitAcionALO trabalho do peso desde A de cota yA at B de cota yB , conforme formulrio j estudado,

Observe que sendo mgyB = UGravB e mgyA = UGravA, substituindo acima, escreve-se:

A funo energiA PotenciAL grAvitAcionALA energia potencial gravitacional associada fora conservativa fora gravitacional

F = mg.

j (prximo superfcie da Terra) expressa como funo da varivel altura y medido em relao a um referencial vertical, cuja origem de escolha arbitrria. Por isso, a energia potencial pode ser negativa.

Sendo a massa e o campo gravitacional forem constantes, a energia potencial funo da cota y e podemos trat-la como um funo de y:

Ugrav

(y) = mg.y

p B A B AAB mg y y mgy mgy= = [ ] [ ]

[ ] [ ] p B A Grav Grav GravAB B A ABmgy mgy U U U= = =

p GravAB ABU=

O trabalho do peso igual ao incremento negative da energia potencial.1. Se

ABGravU > 0 (o movimento da massa foi de uma cota menor para outra

maior) o trabalho do peso ser negativo.2. Se

ABGravU < 0 (o movimento da massa foi de um ponto de cota maior para

outra menor) o trabalho do peso ser positivo.



exeMPLo 2No bate-estacas esquematizado, considere m = 120 kg, y

B = 2 m; y

A = 5 m. Adote g = 10 N/kg. Despreze

resistncia do ar e outros tipos de atritos.

a. Calcular a energia potencial gravitacional do mao quando nas posies A e B.b. Qual foi o trabalho realizado pelo peso do mao ao se deslocar da posio A para B?c. Qual foi o ganho de energia cintica do mao?

Respostas:a. U

A = mg.y

A = 120 kg 10 N/kg 5 m = 6.000 N.m = 6.000 J = 6 kJ e U

B = 2,4 kJ.

b. peso AB

= mg.yA mg.y

B = U

A U

B = (6 2,4) kJ = + 3,6 kJ. O trabalho do peso igual variao

de energia potencial: peso AB

= UA U

B = U

AB.

c. Princpio do trabalho e energia cintica:

peso AB = = mv mv ECB A AB

2 2

2 2

ou, substituindo peso AB

= UAB

, escreve-se: ECAB

= UAB

= 3,6 kJ. Como o mao partiu do repouso (EC

A = 0), a energia cintica do mao ao colidir com a estaca era EC

B = 3,6 kJ. A energia potencial

transformou-se em energia cintica.

A fora gravitacional pode ser obtida da funo UGrav(y)Considere que o ponto de aplicao da fora gravitacional

F = mg.

j percorra uma trajetria no plano xy, desde um ponto A de ordenada y

A = y at outro ponto B

de ordenada yB = 0.

Em cada deslocamento elementar d cujo mdulo |d

| = ds (elemento da traje-

tria), realiza-se um trabalho elementar d. O trabalho da fora gravitacional desde A at B :

ABA

B

B ASd mg j d mg y y mg y U y= = = ( ) = = ( ) . . . .

grav

O processo inverso permite determinar a fora conservativa a partir da respectiva funo energia potencial. No caso da fora gravitacional:

FU yy

mg yy

mg yy

mgy = ( )

=

=

= .

que a expresso analtica da componente y da fora gravitacional sobre uma massa m.



exeMPLo 3Considere a situao esquematizada. O zelador do prdio de massa m = 60 kg (represen-

tado na figura por um corpo esfrico) pode ocupar diversas posies.De acordo com o referencial utilizado e adotando g = 10 N/kg, determinar:

a. a energia potencial gravitacional do zelador quando:1. No ponto D (fundo do poo).2. No ponto C. 3. No ponto B.

b. Qual a variao de energia potencial do zelador quando ele sobe do ponto B at A?

Respostas:O referencial adotado implica que, na horizontal que passa pelo ponto C, a energia potencial de qualquer corpo

seja nula, ou seja, Ugrav C

= mg(0) = 0.A qualquer corpo situado abaixo dessa horizontal (nvel de energia potencial nulo) ser atribudo uma U

grav = 0

(pontos de y < 0).a.1 U

D = mg.y

D = 60 kg 10 N/kg (20 m) = 12 kJ;

a.2 UC = mg.y

C = 60 kg 10 N/kg (0 m) = 0;

a.3 UB = mg.y

B = 60 kg 10 N/kg (80 m) = 48 kJ.

b. UBA

= UA U

B = 60 kg 10 N/kg (110 m) 48 kJ = 66 kJ 48 kJ = 18 kJ. Significado: ao

subir, o zelador ganhou energia potencial. Ao descer (pela escada ou em queda livre) de A para B, a sua energia potencial diminuir de 18 kJ ou em outras palavras: U

grav = 18 kJ.

4) energiA PotenciAL eLsticAUm estilingue, um arco ou uma mola, quando deformado adquire capacidade de realizar trabalho. Um estilingue

adquire a capacidade de realizar trabalho sobre um pequeno corpo (pedra, esfera de vidro etc.), conferindo-lhe energia de movimento.

Considere a situao a seguir descrita. Uma mola comprimida por um bloco at que sua compresso seja x

A = L L

0. Assim que o bloco

solto, a mola se expande, realizando um trabalho sobre o bloco.

O trabalho da fora da mola desde a situao A at a situao B , conforme visto anteriormente:

mola AB = ( ) ( ) = ( )

( ) = ( )

k x x k x k x k xB A B A A2 2 2 22 2 2 2 22 2

2 ( )k xB ; sendo xB = 0

mola AB = ( )k xA2

2

(A)

(B)



Se a mola no fosse comprimida, ela no teria capacidade de empurrar o bloco para a direita. Mas, comprimida (ou deformada de sua configurao natural), ela ganha capacidade de realizar trabalho; em outras palavras, a mola deformada tem Energia Potencial Elstica cuja funo :

onde x = L L0 a deformao da mola. Se L > L

0, a mola distendida; se L < L

0, ela comprimida. L

0 = compri-

mento natural da mola ou comprimento sem tenses.

exeMPLo 4Uma mola, de comprimento natural L

0 = 30 cm e constante elstica k = 8 kN/m,

tem uma extremidade fixa numa parede e a outra, com uma ala, permite que ela seja alongada.

Num primeiro momento, o operador puxa a ala e a segura numa posio A, onde a mola tem comprimento L

A = 35 cm; em seguida, ele puxa a ala at uma

posio B, onde o comprimento da mola LB = 40 cm. Determinar:

a. A fora com que o operador segura a ala na posio A e a respectiva energia potencial elstica da mola.b. A variao de energia potencial da mola quando o operador alonga a mola desde A at B.

Respostas:

a. A deformao da mola na posio A xA = L

A L

0 = 35 cm 30 cm = 5 cm = 5 102 m.

O DCL indica as foras da mola e do operador sobre a ala em equilbrio na posio A. Logo:

F Fmola oper+ = 0 kx

A + F

oper = 0; donde: F

oper = kx

A = (8 103 N/m)(5 102 m) = 400 N.

A energia potencial da mola Uk x

AA=

( )=

( ) ( )=

2 3 2 2

2

8 10 5 10

210

N/m m J.

b. A deformao da mola na posio B xB = L

B L

0 = 40 cm 30 cm = 10 cm = 10 102 m. Portanto,

a energia potencial da mola na posio B Uk x

BB=

( )=

( ) ( )=

2 3 2 2

2

8 10 10 10

240

N/m m J.

A variao de energia potencial da mola no alongamento desde A at B

UAB

= UB U

A = 40 10 = 30 J

U x kx( ) =2

2

A fora elstica pode ser obtida da funo U(x)

A fora elstica, por ser conservativa, pode ser derivada da funo energia potencial,

tal como vimos acima no caso da fora gravitacional. Sendo U x kx( ) =2

2, a fora ter

a direo da varivel x.

FU xy

kx

xk x

yk x k xx =

( )

=

=

= ( ) =

2

22

2 22 . que a expresso da fora elstica.



Tema: Energia Mecnica e sua conservaoEste tema se refere aos itens 13.10 e 13.11 do texto 13 da apostila. O item 13.12 que no ser objeto de estudo

neste momento - amplia o conceito de energia potencial gravitacional para corpos distantes da Terra, por exemplo, de satlites artificiais.

Vamos analisar as condies para as quais a energia mecnica de um corpo mantida inalterada.Um bloco de massa m desliza ao longo da rampa tipo tobog conforme o esquema.

As foras que atuam no bloco so o peso p, a fora normal

N e a fora de atrito

Fat. Aplicando TEC de A at B:

(I)

Destas trs foras, apenas o peso conservativa, ou seja, o seu trabalho pode ser expresso em termos de energia potncia.

Substituindo peso

= mg.yA mg.y

B em (I), tem-se:

Rearranjando os termos e juntando as grandezas com os mesmos ndices:

(II)

Pode-se escrever (II) em termos de EC (energia cintica) e Ugrav

(energia potencial):

(III)

soma [EC + U] atribumos o conceito de energia mecnica (EM) de uma massa; portanto, podemos escrever:

(IV)

As foras

N e

Fatr no so foras conservativas e, como tais, os seus trabalhos no se associam a energias potenciais. Denomina-se N + atr = fora no conserv; assim, a equao (IV) pode ser reduzida a:

(V)

Esta uma relao que muitos denominam Princpio do Trabalho e Energia Mecnica ou simplesmente: TEM.

p NB Am v m v+ + = ( ) ( )atr

2 2

2 2

mg y mg ym v m v

A B NB A ( ) + + = ( ) ( ) atr

2 2

2 2

NB

BA

Am v

mg ym v

mg y+ = ( ) +

( )+

atr

2 2

2 2. .

N + atr = [EC + U]B [EC + U]A

N + atr = EMB EMA = EM

fora no conserv

= EMB EM

A

TEM

fora no conserv

= EMB EM

A.

A somatria dos trabalhos das foras no conservativas sobre um corpo igual variao da Energia Mecnica do corpo.



A pergunta que no quer calar: e se fora no conservativas

= 0?Nesse caso, 0 = EM

B EM

A EM

B = EM

A, ou seja,

m vmg y

m vmg yB B

AA

( )+ =

( )+ =

2 2

2 2. . constante

Esta relao nada mais do que a forma de expressar a Lei da Conservao da Energia Mecnica.Vejamos agora uma situao que envolve a fora elstica e a respectiva energia potencial associada.

O carrinho de massa m, preso na extremidade de uma mola, puxado e solto; ele puxado para a esquerda e passa pela posio A, onde a deformao da mola x

A = L

A L

0, com velocidade v

A. Passa

tambm pela posio B com velocidade vB quando a deformao da

mola xB = L

B L

0.

Sem atrito, no carrinho atuam 4 foras, duas conservativas e duas no conservativas. Vamos aplicar o princpio do trabalho e energia cintica:

atr elast + + + =( )

( )

p N ABB A

AB AB

m v m v2 2

2 2

Os trabalhos das foras conservativas p AB B A AB B Amg y yk x x elast e = [ ] = ( ) ( ) 2

2 2; aps substitudos na

expresso acima e rearranjando os termos, tem-se

N B BB

A AA

ABmg y k x

m vmg y k x

m v+ = + ( ) + ( )

+ ( ) +atr . .2 2 2

22

2 (( )

2

2

Agora, a Energia Mecnica ganha mais um termo: a Energia Potencial Elstica

EM mg y k x mv U U EC= + + = + +.2 2

22

grav elas

Se os trabalhos das foras no conservativas forem nulos, temos a Lei de Conservao da Energia, incluindo a energia potencial elstica:

(Ugrav

+ Uelas

+ EC)A = (U

grav + U

elas + EC)

B

Lei da Conservao da Energia Mecnica

Na ausncia de trabalho de foras no conservativas, a soma

(EC + Ugrav

+ Uelas

)posio A

= (EC + Ugrav

+ Uelas

)posio B

Ou seja, a EM = EC + Ugrav

+ Uelas

a mesma durante o movimento.



exeMPLo 5No esquema abaixo, a situao (I) ilustra um carrinho de massa m comprimindo uma mola de constante elstica k.

O carrinho mantido na posio por um anteparo. A deformao x = L L0.

A situao II ilustra o momento no qual o anteparo retirado e o carrinho lanado com velocidade de intensidade v

0. O carrinho percorre um trecho horizontal antes de subir rampa acima at parar em certa posio

antes de retornar.a. Com que velocidade v

0 o carrinho lanado para a direita?

b. Qual a altura mxima alcanada pelo carrinho ao subir a rampa?

Resposta

a. DCL da situao: o carrinho representado por uma pequena esfera.

b. Na ausncia da fora de atrito e sabendo que a fora normal no realiza trabalho (deslocamento perpen-dicular direo da fora normal), no movimento A at D, os trabalhos das foras no conservativas nulo. Assim, podemos aplicar a Lei da Conservao da Energia Mecnica, desde o ponto B at D, ou desde o ponto A D. Vamos considerar o movimento A at D:

(EC + Ugrav

+ Uelas

)A = (EC + Ugrav + Uelas)D.

Entre os pontos A e B as foras sobre o carri-nho so: fora da mola, fora peso e fora normal. O movimento considerado sem atrito; logo,

atrito = 0. Sendo

N perpendicular ao desloca-mento, a fora normal no realiza trabalho; logo, N = 0. Escrevemos, ento, a Lei da Conservao da Energia Mecnica:

(EC + Ugrav

+ Uelas

)A = (EC + Ugrav + Uelas)B



c. Vamos consolidar os dados na nova tabela:

Ponto EC UGrav

Uelast

EM

A0

vA = 0

0y

A = 0

kx2

2x

A = L L

0 0

kx2

2

D0

Na altura mxima a velocidade nula.m.g.hy

D = h

0(no existe mola q) mgh

A Lei da Conservao da Energia Mecnica se escreve: kx2

2 = mgh. Isolando-se a altura h, temos

Conhecendo-se os valores da massa, da constante elstica, da deformao inicial da mola, calcula-se a altura mxima h.

exeMPLo 6Um jovem de massa m = 60 kg desliza ao longo de um tobog gigante conforme

ilustra o esquema.Ele parte de A, onde se encontrava em repouso, e emerge no ponto B com velocidade

vB = 10 m/s medido por um sistema de radar. Considerar g = 10 N/kg.Neste evento, o atrito pode ser considerado desprezvel?

Resposta: Se a energia for conservada: (EC + Ugrav

)A = (EC + U

grav)

B.

Podemos responder o questionamento admitindo que o atrito seja desprezvel e verificar se a velocidade v

B 10 m/s. Condies iniciais (ponto A): v

A = 0; y

A = 50 m; condies finais

(Ponto B): vB = 10 m/s e y

B = 20 m. Se for menor, existe atrito. Vamos consolidar as energias na tabela a seguir e

analisar as informaes.

Ponto EC mv=2

2U

Grav = mgy EM = EC + U

Grav

A 60 0

20

2

kgms

=(60 kg)(10 N/kg)(50 m) = 30 103 N.m = 30 kJ 0 + 30 kJ = 30 kJ

B 60 10

23

2

kgms kJ

=(60 kg)(10 N/kg)(20 m) = 12 103 N.m = 12 kJ 3 kJ + 12 kJ = 15 kJ

Constata-se que EMB < EM

A; portanto, a diferena, EM = (15 30) = 15 kJ quantidade de energia

potencial inicial que se transformou em outra forma de energia. Portanto, neste evento, no se pode considerar o atrito desprezvel. O trabalho da fora de atrito

atrito = 15 kJ corresponde energia dissipada (transformada

em energia trmica) no processo.

h kxmg

=( )

2

2



Se o atrito fosse nulo, qual seria a velocidade vB.

Nesse caso, EMA = EM

B, ou seja, (0 + 30.000 )

A =

602

12 0002+

vBB

. .

exeMPLo 7A massa pendular m solta da posio, conforme o esquema.

Despreza-se a resistncia do ar e considere que o comprimento L do pndulo permanea constante. Como calcular a velocidade da massa pendular ao passar pelo ponto B?

Resposta: Na massa pendular atua uma nica fora no conservativa: a trao

T do fio. Mas esta fora no realiza trabalho, pois a sua direo radial (portanto, perpendicular trajetria circular de raio L) e, alm disso, o seu comprimento L permanece invarivel. Logo, T = 0. Na ausncia da resistncia do ar, a soma dos trabalhos das foras no conservativas nula e, assim, a energia mecnica da massa pendular permanece invarivel. Ento, podemos escrever: EM

A = EM

B.

Ponto EC mv=2

2U

Grav = mgy EM = EC + U

Grav

A 0 (vA = 0) mgy

Amgy

A

Bm vB( )

2

20 (y

B = 0)

m vB( )2

2

EMA = EM

B.

602

30 000 12 000 18 000 600 10 6 24 52= = = =

v vB B. . . , J e m/s

mgym v

v gyAB

B A=( )

=2

22 donde

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