INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA EM SALA DE AULA NA EDUCAÇÃO BÁSICA: UM

ESTUDO COM ALUNOS DO 3º ANO DO ENSINO MÉDIO

Flavia Pollyany Teodoro, (IC), UNESPAR/FECILCAM,

pollyany_teodoro@hotmail.com Willian Beline, (OR), UNESPAR/FECILCAM,

wbeline@gmail.com

INTRODUÇÃO

Ao se considerar novas formas de pensamentos e envolvimentos com a matemática em sala de

aula, as investigações matemáticas tem obtido destaque por proporcionarem ao aluno uma

oportunidade de criar e consolidar seu conhecimento matemático, desenvolvendo sua capacidade,

criatividade e tornando-o sujeito de sua própria aprendizagem.

As tarefas de cunho investigativo, também conhecidas como tarefas exploratório-

investigativas1, são mais abertas e permitem que os alunos sigam por caminhos diferentes ainda que

partam de um mesmo ponto. Elas instigam o aluno a levantar suas conjecturas, escolhendo a melhor

maneira de se trabalhar com a situação-problema.

De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais:

As necessidades cotidianas fazem com que alunos desenvolvam capacidades de natureza prática para lidar com a atividade Matemática, o que lhes permite reconhecer problemas, buscar e selecionar informações, tomar decisões. Quando essa capacidade é potencializada pela escola, a aprendizagem apresenta melhor resultado (BRASIL, 1998, p. 37).

Para Ponte, Brocardo e Oliveira (2003, p. 23) “o aluno aprende quando mobiliza os seus

recursos cognitivos efetivos com vista a atingir um objetivo”, assim é fundamental que o aluno esteja

envolvido na construção de seu conhecimento. Nessa perspectiva Braumann (2002) destaca:

Aprender Matemática sem forte intervenção da sua faceta investigativa é como tentar aprender a andar de bicicleta vendo os outros andar recebendo informação sobre como o conseguem. Isso não chega. Para verdadeiramente aprender é preciso montar a bicicleta e andar, fazendo erros e aprendendo com eles (BRAUMANN, 2002, p.5).

Nesta perspectiva, apresentaremos neste trabalho uma análise da aplicação de atividades

investigativa com alunos do 3º Ano do Ensino Médio de um colégio da rede pública da cidade de

Goioerê. 1 Tarefas exploratório-investigativas: termo usado por Cristóvão (2007) para diferenciar as tarefas investigativas, que exigem maior exploração por parte do aluno, da resolução de problemas.

CONSIDERAÇÕES TEÓRICAS SOBRE INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA

Para Ponte, Brocardo e Oliveira (2003), uma investigação pode ser remetida a diversos

contextos, como por exemplo, investigação científica, investigação jornalística, investigação criminal,

entre outras. Assim, quando referido a uma investigação, abordamos atividades que envolvem a

descoberta de informação. Logo,

[...] investigar não é mais do que conhecer, procurar compreender, procurar encontrar soluções para os problemas com nos deparamos. Trata-se de uma capacidade de primeira importância para todos os cidadãos e que deveria permear todo o trabalho da escola, tanto dos professores como dos alunos (PONTE et al, 2003, p. 2).

Braumann (2002) compartilha dessa ideia e destaca a importância de se colocar o aluno no

centro de seu aprendizado, atuando como sujeito ativo na construção de seu conhecimento, uma vez

que,

Aprender Matemática não é simplesmente compreender a Matemática já feita, mas ser capaz de fazer investigação de natureza matemática (ao nível adequado a cada grau de ensino). Só assim se pode verdadeiramente perceber o que é a Matemática e a sua utilidade na compreensão do mundo e na intervenção sobre o mundo (BRAUMANN, 2002, p. 5).

O envolvimento do aluno em sua aprendizagem é fundamental no processo de produção de seu

conhecimento. Segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2003) “o aluno aprende quando mobiliza os seus

recursos cognitivos e afetivos com vista a atingir um objetivo” (p. 23). Desta forma atividades

envolvendo Investigação Matemática “ajuda a trazer para a sala de aula o espírito da atividade

matemática genuína, constituindo, por isso uma poderosa metáfora educativa” (Ibidem).

Ainda para esses autores, atividades dessa natureza, despertam no aluno um espírito

investigativo, propício a descobertas de novos conhecimentos e o desenvolvimento do pensamento

matemático, à medida que o aluno “é chamado à agir como um matemático” (p. 23), levantando

conjecturas, testando e socializando.

Para Brocardo, Oliveira e Ponte (2003) “pode sempre programar-se o modo de começar uma

investigação, mas nunca se sabe como ela irá acabar” (p. 25). Os imprevistos permeiam a sala de aula,

na medida em que os alunos trilham por caminhos diferentes, demonstram avanços e dificuldades e

ainda, a maneira com que concebem as intervenções do professor.

Ainda que muitos aspectos sejam imprevisíveis, Tudella et al (1999) apontam alguns fatores

que podem minimizá-los, estes estão relacionados á elaboração da atividade. Diferente do que

pensamos o espírito investigativo não deve estar presente somente no aluno, o professor precisa, desde

a elaboração da atividade, desenvolver uma atitude investigativa, levando em consideração a

especificidade da turma, o tempo e o currículo a ser cumprido.

É necessário ter sempre presente que a tarefa deverá proporcionar uma actividade de investigação para todos os alunos e também ter em conta a sua realidade cognitiva e cultural, de modo a despertar-lhes a curiosidade e o entusiasmo, proporcionando-lhes experiências diversificadas e desafiantes, fazendo apelo aos seus conhecimentos prévios e intuições (TUDELLA et al, 1999, p.88).

Quanto á organização da turma, Tudella et al (1999) recomendam a divisão em pequenos

grupos, em que, se cria “o ambiente propício á troca de idéias, confronto de opiniões e argumentos,

onde o receio de “arriscar” conjecturas é relativamente reduzido” (p. 88). No entanto não descartam a

possibilidade de se trabalhar em grande grupo, e ainda, sugeri o trabalho com as duas formas, e

individual quando professor achar pertinente.

A realização de uma atividade investigativa comporta para Brocardo, Oliveira e Ponte (2003),

três etapas: introdução da atividade, em que o professor expõe a atividade oralmente ou escrita, o

desenvolvimento da atividade, individualmente, aos pares, em grupos ou com toda a turma e discussão

da atividade, em que o aluno apresenta aos colegas o trabalho realizado.

Embora curta, a fase inicial é considera de fundamental importância para a compreensão e

desenvolvimento da atividade. É nessa fase que o professor apresenta a dinâmica da atividade

deixando claro ao aluno o papel que o mesmo deverá desempenhar (BROCARDO; OLIVEIRA;

PONTE, 2003).

Tudella et al (1999) apontam duas formas de abordagens. No modo misto, em que o professor,

ao entregar a atividade por escrito, poderá realizar uma leitura junto à turma, tecendo os comentários

que achar pertinente para um maior entendimento da investigação, mas que, no entanto, não evidencie

respostas ou estratégias.

A opção de realizar a leitura junto ao grupo também pode ser utilizada, de forma que o

professor precisará de mais tempo para atender aos grupos. Assim, é aconselhável elaborar atividades

com termos de fácil compreensão, para que a investigação inicie com maior autonomia pelos alunos.

Segundo Brocardo, Oliveira e Ponte (2003), atividades envolvendo Investigações Matemáticas

requerem interpretação, assim é fundamental que o aluno individualmente ou em grupo busque

interpretar a atividade sem a interferência do professor, de modo que perceba a autonomia que possui

e o papel que o professor tem a desempenhar de orientador.

Ainda para os autores, deixar claro ao aluno que, ao término da atividade a mesma será

apresentada para toda a turma, pode evidenciar a valorização de suas ideias e a confiança para

desenvolver a atividade. O tempo que se destina a fase inicial deve ser curto para que o aluno não

perca o interesse pela atividade e o tempo destinado à investigação seja aproveitado ao máximo.

Para além de uma abordagem inicial que estimule os alunos a serem “pequenos exploradores”,

Brocardo, Oliveira e Ponte (2003), afirmam que,

O sucesso de uma investigação depende também [...] do ambiente de aprendizagem que se cria na sala de aula. É fundamental que o aluno se sinta á vontade e lhe seja dado tempo para colocar questões, pensar, explorar as suas idéias e exprimi-las, tanto ao professor como aos seus colegas. O aluno deve sentir que as suas idéias são valorizadas e que se espera que as discuta com os colegas, não sendo necessária a validação constante por parte do professor (BROCARDO; OLIVEIRA; PONTE, 2003, p.28).

Na fase de desenvolvimento, o professor precisa estar atento as formas com que os alunos

relacionam a investigação e o trabalho em grupo, visto que, os mesmos não estão acostumados a

realizar atividade do tipo. Segundo Brocardo, Oliveira e Ponte (2003), é comum que o aluno leve um

tempo para compreender o que deve fazer, e assim iniciar a coleta e organização dos dados, pois não

estão acostumados a trabalhar com essa natureza de atividade, deste modo primeiramente necessita se

familiarizar.

Segundo Tudella et al (1999), o desenvolvimento da atividade ainda que centrada nas idéias e

pesquisas do aluno, depende em grande parte da atuação do professor, que deve incentivar o aluno á

[...] privilegiar-se o desenvolvimento de atitudes questionadoras, a observação e análise de situações, a formulação de conjecturas, a procura de explicações e de argumentações, onde a criatividade e o desenvolvimento de idéias próprias têm um papel muito importante (p. 90).

Para Brocardo, Oliveira e Ponte (2003), o professor desempenha um papel determinante nas

aulas de investigação, visto que sua interação com os alunos necessita ser diferente das aulas

tradicionais, diante das dificuldades e dilemas encontrados em atividades dessa natureza.

Ainda para os autores, para que o aluno não desanime caso não consiga avançar na atividade e

a mesma deixe de fazer sentido, o professor precisa buscar compreender como a investigação vem

sendo realizada, motivando e estimulando por meio de questionamentos. À medida que a investigação

vá se desenvolvendo pedir explicação das estratégias utilizadas pode apresentar ao aluno um incentivo

a suas ideias.

Diante de um grupo de alunos com interesses e saberes diversificados, trabalhar com questões

abertas pode enriquecer a investigação, ainda que algumas vezes a atividade centre em um ou dois

alunos. A troca de ideias oportuniza novos conhecimentos aos alunos e desenvolve o pensamento

crítico em sua aprendizagem. Assim, [...] “é fundamental permitir que os alunos interajam entre si,

aprendendo a discutir e a argumentar em defesa das suas opiniões” (TUDELLA et al, 1999, p. 95).

A formulação de conjecturas configura, segundo Brocardo, Oliveira e Ponte (2003), o

momento em que o aluno ainda que de forma intuitiva ou verbal formaliza as ideias elaboradas. A

prova das conjecturas se dá por meio de teste e pode representar desnecessária ao aluno que já este

convencido da sua resposta, entretanto é fundamental que o mesmo compreende a credibilidade que

suas conjecturas adquirem no processo de validação.

Segundo Brocardo, Oliveira e Ponte (2003), a discussão da investigação representa o balanço

da atividade realizada, um momento de partilhar conhecimentos e estratégias utilizadas, sendo

fundamental:

[...] para que os alunos, por um lado, ganhem um entendimento mais rico do que significa investigar e, por outro, desenvolvam a capacidade de comunicar matematicamente e de refletir sobre o seu trabalho e o seu poder de argumentação (PONTE et al, 2003, p.41).

Ao expor suas conjecturas para toda a turma, o aluno é levado a refletir sobre suas idéias, uma

vez que, o mesmo mobiliza seu pensamento matemático para apresentar aos colegas as estratégias

utilizadas, o que oportuniza ao aluno maior assimilação do processo realizado.

Ainda para Brocardo, Oliveira e Ponte (2003), na fase final, o professor precisa garantir que

sejam apresentados os principais processos realizados, havendo [...] “uma sistematização das

principais idéias e uma reflexão sobre o trabalho realizado”. Essa fase também configura um momento

propício ao entendimento do porque justificar suas conjecturas, de modo que, “[...] comecem a

perceber o sentido de uma demonstração matemática” (p. 41).

Segundo Tudella et al (1999), à medida que os alunos comunicam suas ideias,

questionamentos mutuamente surgem e confrontos de ideias são desencadeados, o que enriquece o

trabalho investigativo, á medida que o aluno argumenta em defesa de suas ideias. Esse processo

possibilita “criar nos alunos uma visão mais verdadeira da Matemática” (p. 95).

Refletir as estratégias e os resultados alcançados possibilita ao aluno perceber o objetivo da

atividade, que não está tão somente em chegar a um resultado, mas aprender a investigar

matematicamente sobre e com ele, não cabendo ao professor dizer se “esta certo” ou “errado”, apenas

motivar a pensar matematicamente.

Desta forma, Brocardo, Oliveira e Ponte (2003), afirmam que “sem a discussão final, se corre

o risco de perder o sentido da investigação” (p. 41), pois, “realizar uma actividade de investigação e

não reflectir sobre ela é perder uma das suas grandes potencialidades” (TUDELLA et al, 1999, p. 95).

DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE DESENVOLVIDA EM SALA DE AULA2

No primeiro contato com a docente da turma, pude perceber que a atividade a ser desenvolvida

se mostrava um tanto nova para esta, desta maneira imaginei que para a turma também seria.

Desta maneira, iniciei a atividade relatando meu objetivo, enquanto aluna de pesquisa de

Iniciação Científica do Núcleo de Pesquisa Multidisciplinar (NUPEM), da Faculdade Estadual de

Ciências e Letras de Campo Mourão. E a fim de familiarizá-los com atividades investigativas,

discursei sobre esta, convidando a serem pequenos investigadores no desenvolvimento da atividade.

A escolha da atividade se deu pelo fato de que, num outro momento tive a oportunidade de

desenvolver a mesma, que se mostrou um tanto instigante e desafiadora. Desta maneira, munido pelo

interesse de analisar o desempenho de alunos do terceiro ano Ensino Médio, do Colégio Estadual

Duque de Caxias, propus a atividade a seguir:

Atividade: Observe o triângulo de Sierpinski3 e suas transformações em três etapas:

(...)

(1) (2) (3)

1) Faça o próximo triângulo da sequencia. 2) Escreva o roteiro que transforma o primeiro triângulo (posição 1) na figura da posição (2) e

faça o mesmo da segunda para a terceira posição, explicando o que acontece com a figura. Fique atento ao tamanho dos triângulos.

3) Procure e registre, se encontrar relações existentes entre os triângulos e as posições na sequencia. Por exemplo, relacionar a posição ocupada com o número de triângulos existentes ou faltantes, ou ainda com a área, perímetro e etc.

4) Escreva com suas palavras o padrão que descreve a sequencia.. 5) Faça o 10º triângulo da seqüência.

Quadro 1: Atividade Proposta

A atividade foi iniciada dividindo a sala em cinco grupos, nomeando de: Grupo A, Grupo B,

Grupo C, Grupo D e Grupo E, para identificar seus membros utilizamos da seguinte notação: A1,

A2,...,An integrantes do Grupo A, o mesmo realizamos com os demais grupos. Em seguida

distribuído uma folha A4 com atividade impressa para cada grupo, bem como um gravador digital para

2 Em alguns momentos utilizaremos escrita em primeira pessoa do singular, por tratar-se de episódios muito específicos da primeira a aplicação da atividade autora quanto.

3 Fonte: Fernandes (2007).

que as falas dos alunos fossem registradas, o que causou inicialmente estranheza para os alunos, mas

que aos poucos foram que não estão facilitando a coleta dos dados.

Inicialmente, percebi a insegurança dos alunos em como realizar a atividade, uma vez que, a

mesma apresenta-se um tanto distante do contexto escolar, sendo recebida com estranheza e

desconfiança. Desse modo no intuito de familiarizá-los realizei uma leitura da atividade a fim de

esclarecer possíveis dúvidas, sem evidenciá-lo resultados e métodos de resolução. Também os instrui

sobre a dinâmica de uma atividade investigativa, na qual ao término da atividade um representante do

grupo deveria se dirigir ao quadro para apresentar a resolução para toda a turma.

Apesar de se tratar de uma atividade aberta a todos os tipos de resolução, a todo o momento

me questionavam se resoluções e/ou resultados estavam corretos, evidenciando o apego em estar

“certo” ou “errado. Desta maneira quanto questionada pelo Aluno C1: Ta certo? e ainda pelo Aluno

E1: Você tem a resposta marcada professora? me antecipei em responder com novos questionamentos

instigando a refletir sobre suas resoluções, e criando grande expectativa de estarem ou não corretos.

Durante o desenvolvimento da atividade pude perceber o espírito de liderança nos grupos e

ainda a centralização da atividade em um ou dois alunos, que se revela na fala do aluno C2: Por favor

alguém pode me ajudar? E ainda do aluno A1: Pô meu, vocês não vão pensar ai não? Isso também

demonstra a falta de comprometimento e interesse de alguns alunos.

Ao fim da atividade cada representante de seu grupo se dirigiu ao quadro explicando e

reescrevendo a estratégia utilizada, bem como o resultado alcançado. Nesse momento pude perceber a

falta de costume dos alunos em direcionar ao quadro, pois quando solicitado ao Grupo D, que sua

resolução fosse apresentada a sala, ninguém do grupo queria ir ao quadro, alegando ter utilizado as

mesmas estratégias dos colegas.

No entanto nas gravações constatei o seguinte diálogo no grupo:

Aluno D1: Quem vai lá na frente?

Aluno D2: Você!

Aluno D1: Eu não, eu tenho vergonha.

Vale destacar que os grupos optaram por levar os registros de suas resoluções para o quadro,

alguns por medida de segurança, um apoio, outros por pouco terem participado da atividade, não

sabendo expor para a sala a ideia utilizada pelo grupo sem se apoiar nos registros. Registros esses

escritos por alguns grupos com grande dificuldade, visto que, não estão habituados a escrever

matematicamente, ou seja, escrever suas conclusões a respeito dos resultados matemáticos.

ANÁLISE DA ATIVIDADE

Tendo em vista a limitação do número de páginas para apresentação de trabalhos neste

evento, optou-se por analisar as diferentes estratégias apresentadas pelos grupos, enfatizando

quando houver semelhanças de idéias.

Compreendem intuitivamente a sequencia que descreve o triângulo de Sierpinski

Compreendida a relação existente entre os triângulos, ainda que intuitivamente, os grupos, A,

B, C e D desenvolveram a ideia corretamente, chegando ao quarto triângulo requerido pela questão

(1). A estratégia utilizada pelos grupos foi desenhar um triângulo preto nos espaços brancos, ou seja,

nos triângulos brancos, de modo que, na construção de cada triângulo preto determinasse três novos

brancos.

Figura 1: Resolução apresentada pelo Grupo A

A análise realizada intuitivamente é revelada na fala do aluno C1: “Ele nasceu, depois

procriou, procriou, procriou...”, o que de certa maneira descreve a evolução dos triângulos quando

analisado como uma sequência de triângulos existentes.

Para cada triângulo preto, três brancos Utilizando a ideia de que, cada triângulo preenchido (preto), origina três novos (branco), o

grupo E analisou a lógica desenvolvida no triângulo de posição (2), que possui um preto e três

brancos, desse modo elaboraram o quarto triângulo de modo que, para cada triângulo preto, obtivesse

três brancos em volta.

Figura 2: Resolução apresentada pelo Grupo E

A resolução apresentada na figura 3 demonstra a abordagem realizada somente em torno do

segundo triângulo, uma vez que, o triângulo obtido na quarta posição apresenta cinco triângulos de

tamanhos iguais e com a relação estabelecida pelo grupo, um preto e três brancos em volta.

Desconsiderando, portanto a relação existente no terceiro triângulo, no momento em que o triângulo

central maior preto é desmembrado em três novos triângulos pretos.

Outra resolução apresentada que demonstra equívoco do grupo, está na questão três que

quando solicitados que uma relação fosse estabelecida entre os triângulos e suas posições, o grupo

apresentou a seguinte relação:

Figura 3: Resolução apresentada pelo Grupo E

A relação apresentada condiz com a relação que descreve a sequência do Triângulo de

Sierpinsk, visto que para cada triângulo preto existem três brancos, no entanto o grupo ao estabelecer

essa regra se equivoca ao dividir o triângulo central em quatro partes.

No momento da discussão com a sala, quando o Grupo B, apresentava a estratégia utilizada

para descrever, pude compreender melhor o pensamento equivocado do Grupo E :

Aluno E1: Esse é o dez?

Aluno B1: Não, esse é o quarto triângulo.

Aluno E1: Então o nosso ta errado.

Aluno E1: Esse é o nosso 10º.

Aluno B1: Como assim?

Aluno E1: Eu fui pela lógica.

Aluno E1: Porque daí ficou a mesma relação do segundo, um preenchido, três não.

Aluno E1: Ai não falava, nem se podia usar o que estava preenchido, ou se não, ai que a gente

fez isso.

O diálogo apresentado acima revela também o comprometimento e participação dos alunos na

discussão com toda a turma, em que questionamentos e argumentos eram realizados a fim de tornar

clara a estratégia realizada pelos grupos. Isso mostra o senso crítico dos alunos no momento de expor e

defender suas ideias.

Triângulos aumentam infinitamente

Quando questionados do roteiro que transforma o primeiro triangulo no segundo, o segundo

no terceiro e assim por diante, é perceptível a ideia de infinito que surge no grupo A, como podemos

observar na resolução apresentada pelo grupo:

Figura 4: Resolução apresentada pelo Grupo A

Tal eventualidade é observada também na fala do aluno A1: “É infinito! Na verdade, tipo,

cada espaço em branco vai ter mais um triângulo”. E ainda A3 “Onde tava branco fez um preto, então

nunca vai ficar preto, vai continuar até dois bilhões, trilhões” (Aluno A3)

A análise realizada pelo grupo B, também aborda a ideia de infinito ao descreverem que os

triângulos vão diminuindo de tamanho à medida que as transformações ocorrem, ou seja, á medida que

o tamanho dos triângulos diminui, o número de triângulos aumenta infinitamente.

Figura 5: Resolução apresentada pelo Grupo B

Realizam a contagem dos triângulos internos por meio de padrões de triângulos O grupo B ao descrever o roteiro que transforma os triângulos, trabalhou com a ideia do todo

no processo de contagem, ou seja, analisou os triângulos brancos e pretos inclusive o triângulo maior,

o que não é observado nos demais grupos. Assim, ao descrever o processo que ocorre do triangulo (1)

para o triangulo (2), designam como sendo cinco o total de triângulos da figura correspondente, sendo

quatro brancos e um preto. Na contagem do triangulo (2) para o (3), o mesmo processo é realizado, no

entanto, o grupo passa a considerar o triangulo preto central como sendo quatro triângulos, assim

obtém dezessete triângulos no total. Da terceira posição para a quarta, desenhando quatro triângulos

dentro dos triângulos preto originais da figura três, eles obtiveram cinquenta e três triângulos no total.

Figura 6. Resolução apresentada pelo Grupo B

Abordam a inserção e inversão do triângulo A resolução apresentada pelo Grupo C remete a análise de “inversão” de triângulos no que diz

respeito aos triângulos pretos, uma vez que, consideraram os mesmos inversos em relação aos

triângulos brancos. Um aluno C1 afirma a existência da inversão e assegura para colega, “Acontece

que eles colocaram um triângulo invertido para baixo”. Essa análise foi desenvolvida enquanto

descreviam o roteiro que refere a transformação dos triângulos como mostra a figura a seguir:

Figura 7: Resolução apresentada pelo Grupo C

A análise realizada pelo grupo revela o compromisso em explorar todas as transformações

ocorridas nos triângulos, ainda que esta não tenha influenciado diretamente no desenvolvimento da

atividade. A percepção de que triângulos pretos eram invertidos se fez presente somente neste grupo,

que instigados com tal eventualidade me questionaram sobre esta.

Aluno C1: Mas porque esse está para baixo?

Professora: Porque esse é o modelo que descreve o triângulo de Sierpinski.

Aluno C1: Já sei, é para estimular nossa mente.

Nesta fala podemos observar a inquietação do aluno em saber por que os triângulos se

encontram inversos, concluindo que tal feito é para estimulá-los a pensar sobe os possíveis motivos da

inversão.

Designam a sequencia como potência de três

Ao estabelecerem relações entres os triângulos e suas respectivas posições, o Grupo A

observou que uma sequencia crescente e de “potencia de 3” estava sendo desenvolvida, de modo que o

triangulo em branco representava a base e os triângulos pretos representava a potencia. Desse modo

designaram o primeiro triângulo como sendo três elevado á zero, pois não havia nenhum triângulo

preto na figura (1). Esse procedimento foi realizado para os demais triângulos, chegando a sequência

apresentada:

Figura 8: Resolução apresentada pelo Grupo A Todavia perceberam que seria não seria a estratégia utilizada, pois para realizar o calculo dos

triângulos seguintes deveriam ter os estes esboçados, para que a contagem de triângulos brancos e

pretos fosse realizada. Com a sequencia já estabelecida uma nova análise foi realizada, desta vez em

meio à sequencia, na qual puderam perceber que o expoente da função condiz com a subtração de um

no número da posição correspondente de cada triângulo, ou seja, ( ).

Ainda que não descrito na resolução a generalização da sequencia , a idéia estava clara

ao grupo, na qual ao apresentar a resolução para a sala enfatizou que os demais triângulos seriam

obtidos realizando o calculo da potencia de três, subtraindo um no expoente, na qual o representava

a posição do triângulo, e resultaria na quantidade de triângulos brancos existentes nas figuras.

Descrevem a sequencia como sendo múltiplos de três

Analisando o roteiro que descrevia as transformações dos triângulos o Grupo B percebeu que a

medida que o número de triângulos brancos aumentavam, os triângulos operavam como múltiplos de

três. Desta maneira o grupo descobriu que multiplicando por três a quantidade de triângulos brancos

existentes na figura anterior, obtêm o numero de triângulos brancos da figura seguinte.

Figura 9: Resolução apresentada pelo Grupo B

Por meio da resolução apresentada e da análise das gravações, pude perceber que o grupo ao

descrever a sequência não leva em conta uma possível generalização da sequência obtida, no caso,

, em que representa o número de triângulos brancos existentes na figura anterior, abordando de

maneira intuitiva sem se atentar na possível construção de um triângulo de n-esimo termo, que

implicaria num extenso e cansativo trabalho para encontrar o número de triângulos brancos existentes,

visto que, infinitas multiplicações deveriam ser realizadas para chegar ao triângulo desejado.

O procedimento de efetuar diversas multiplicações pode ser observado no cálculo realizado

pelo grupo para encontrar o décimo triângulo.

Figura 10: Resolução apresentada pelo Grupo B A resolução acima também demonstra o equívoco do grupo ao fornecer 6571 o número de

triângulos brancos do décimo triângulo, sendo na verdade 6561 o valor correto e correspondente ao

nono triângulo e não ao décimo como foi apresentado.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

O trabalho desenvolvido apresentou indícios de que atividades de cunho investigativo podem

contribuir para uma aprendizagem significativa, na qual o aluno é convidado a atuar como sujeito de

sua própria aprendizagem. E para isso, é necessário que atividades do tipo se faça mais presentes em

salas de aulas, para que os alunos se sintam mais a vontade à medida que forem se familiarizando com

atividades investigativas.

Durante a análise das resoluções e enquanto ouvia as gravações pude perceber a falta de

comprometimento de alguns alunos, que pouco se esforçaram para realizar a atividade proposta,

fornecendo desta maneira respostas incoerentes. Penso que seja pela falta de experiência com a

atividade e ou pela sua falta de interesse. Entretanto, houve grupos que se empenharam em explorar e

descobrir as relações existentes as figuras, se mostrando verdadeiros investigadores.

A insegurança quanto à maneira de realizar a atividade, bem os resultados obtidos era

demonstrada nos questionamentos e solicitações a mim, que instigava a refletirem sobre suas

resoluções, atuando apenas como mediadora do conhecimento e deixando claro que não havia uma

regra a ser seguida, e que diferentes seriam as resoluções entre os grupos, por se tratar de diferentes

investigadores. O reflexo dessa insegurança penso que seja o apego a métodos e algoritmos em sala de

aula.

A discussão realizada com toda a turma configurou a etapa mais significativa da atividade, ao

proporcionar aos alunos o contato com outras formas de resoluções e a assimilação de novos

conhecimentos. Nesse momento pude perceber o senso crítico dos alunos, em que quantos

questionados pelos colegas sobre suas resoluções apresentavam argumentos em defesa de suas ideias.

Diante da experiência percebi que não é uma tarefa tão simples de ser trabalhada, requer muita

dedicação e comprometimento, de alunos e professores, para que juntos possam ensinar e aprender

num ambiente investigativo.

Desta maneira, conclui-se que a dinâmica da atividade se mostrou um tanto pertinente de ser

trabalhada em sala de aula, pois a mesma possibilitou aos alunos a construção de seu próprio

conhecimento e a assimilação de novos conhecimentos por meio do trabalho em equipe.

REFERÊNCIAS

BRASIL, Parâmetros Curriculares Nacionais - Ensino de quinta a oitava séries: Matemática. Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC/ SEF, 1998. BRAUMANN, C. Divagações sobre investigação matemática e o seu papel na aprendizagem da matemática. In J. P. Ponte, C. Costa, A. I. Rosendo, E. Maia, N. Figueiredo, & A. F. Dionísio (Eds.), Actividades de investigação na aprendizagem da matemática e na formação de professores. p. 5-24. Lisboa: SEM-SPCE, 2002. CRISTOVÃO, E. M. Investigações matemáticas na recuperação de ciclo II e o desafio da inclusão escolar. 2007. 158 f. Dissertação (Mestrado), Universidade Estadual de Campinas,Campinas, 2007. FERNANDES, F.L.P. Fractais em Sala de Aula: Uma Experiência de Investigação Matemática em Classes de 6ª Série do Ensino Fundamental. In: IX Encontro Nacional de Educação Matemática, 2007, Belo Horizonte. TUDELLA, A. et al; A dinâmica de uma aula de investigação. In: ABRANTES, P.; PONTE, J. P.; FONSECA, H.; BRUNHEIRA, L. (Eds.). Investigações matemáticas na aula e no currículo (p. 87-96). Lisboa: APM e Projecto MPT, 1999.