INVESTIGAÇÃO NUMÉRICA DO USO DA INTEGRAL – J NA … · tecnológicos tais como as indústrias...
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FACULDADE DE TECNOLOGIA UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA INVESTIGAÇÃO NUMÉRICA DO USO DA INTEGRAL – J NA AVALIAÇÃO DA INTEGRIDADE DE ESTRUTURAS SOB CARREGAMENTOS CÍCLICOS RICARDO FIUZA LIMA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO EM ESTRUTURAS E CONSTRUÇÃO CIVIL DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL
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FACULDADE DE TECNOLOGIA
UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA
INVESTIGAÇÃO NUMÉRICA DO USO DA INTEGRAL – J NA AVALIAÇÃO DA INTEGRIDADE DE ESTRUTURAS SOB
CARREGAMENTOS CÍCLICOS
RICARDO FIUZA LIMA
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO EM ESTRUTURAS E CONSTRUÇÃO CIVIL DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL
UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA
FACULDADE DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL
INVESTIGAÇÃO NUMÉRICA DO USO DA INTEGRAL – J NA AVALIAÇÃO DA INTEGRIDADE DE ESTRUTURAS SOB
CARREGAMENTOS CÍCLICOS
ENG° RICARDO FIUZA LIMA
ORIENTADOR: LUCIANO MENDES BEZERRA
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO EM ESTRUTURAS
PUBLICAÇÃO: E.DM - 014A/05
BRASÍLIA/DF: 19 DE DEZEMBRO DE 2005
UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA FACULDADE DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL INVESTIGAÇÃO NUMÉRICA DO USO DA INTEGRAL – J NA
AVALIAÇÃO DA INTEGRIDADE DE ESTRUTURAS SOB CARREGAMENTOS CÍCLICOS
ENG° RICARDO FIUZA LIMA
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO SUBMETIDA AO DEPARTAMENTO DE
ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL DA FACULDADE DE TECNOLOGIA DA
UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA, COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS
PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS (M.Sc.).
APROVADA POR:
________________________________________________
LUCIANO MENDES BEZERA, Ph.D. (UnB)
(ORIENTADOR)
________________________________________________
PAUL WILLIAM PARTRIDGE, Ph.D. (UnB)
(EXAMINADOR INTERNO)
________________________________________________
JOSÉ EDUARDO DE ALMEIDA MANESCHY, D.Sc. (ELETRONUCLEAR)
(EXAMINADOR EXTERNO)
DATA: BRASÍLIA/DF, 19 DE DEZEMBRO DE 2005
ii
FICHA CATALOGRÁFICA
FIUZA LIMA, RICARDO Investigação Numérica do uso da Integral – J na Avaliação da Integridade de Estruturas sob Carregamentos Cíclicos [Distrito Federal], 2005. xxi, 116 p., 210 mm x 297 mm (ENC/FT/UnB, M.Sc., Estruturas, 2005) Dissertação de Mestrado – Universidade de Brasília. Faculdade de Tecnologia. Departamento de Engenharia Civil e Ambiental. 1. Mecânica da Fratura 2. Fadiga 3. Integral – J 4. Propagação de Trinca 5. Método dos Elementos Finitos
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA FIUZA LIMA, R. (2005). Investigação Numérica do uso da Integral – J na Avaliação da
Integridade de Estruturas sob Carregamentos Cíclicos. Dissertação de Mestrado,
Publicação E.DM 014A/05, Departamento de Engenharia Civil e Ambiental, Universidade de
Brasília, Brasília, DF, 116p.
CESSÃO DE DIREITOS NOME DO AUTOR: Ricardo Fiuza Lima.
TÍTULO DA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO: Investigação Numérica do uso da Integral-J
na Avaliação da Integridade de Estruturas sob Carregamentos Cíclicos.
GRAU/ANO: Mestre em Ciências (M.Sc.) /2005.
É concedida à Universidade de Brasília a permissão para reproduzir cópias desta dissertação
de mestrado e para emprestar ou vender tais cópias somente para propósitos acadêmicos e
científicos. O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte desta dissertação de
mestrado pode ser reproduzida sem sua autorização por escrito.
_________________________________ Ricardo Fiuza Lima SQS 405 Bloco I Ap. 305 Asa Sul 70239-090 – Brasília-DF - Brasil
iii
e-mail: [email protected]
Aos meus pais,
José Ricardo e Vera.
iv
AGRADECIMENTOS
À vida.
Ao meu orientador, Prof. Luciano Mendes Bezerra, pela orientação, paciência, dedicação e
incentivo, dados para escolha do tema e elaboração do meu trabalho de dissertação.
Ao Dr. José Eduardo Maneschy, por ter disponibilizado sua tese de doutorado juntamente
com o programa computacional desenvolvido durante o andamento de sua tese, materiais
amplamente utilizados e referenciados nesta dissertação.
A todos os professores e funcionários do Departamento de Engenharia Civil da Universidade
de Brasília (UnB) por terem contribuído significativamente na minha formação profissional.
Aos amigos Daniel, Gustavo, Rommel, Rafael, Marcelo Gaúcho, André, Alessandro, Paulo
Pimenta, Luiz Otávio e Luis Carlos pelo incentivo de sempre.
Aos amigos de mestrado, Paulo Marcelo, Gabriel, Alexon, Eider, Elder, Elizandra e Li Chong
Lee pela valiosa amizade e momentos de descontração ao longo desses dois anos.
Ao amigo Sandro Petry Laureano Leme pelas orientações e conhecimentos transmitidos e, em
especial, ao amigo Arlindo Pires Lopes pela amizade incondicional e pelas orientações e
conhecimentos transmitidos em mais essa fase da minha vida (muito obrigado).
Aos meus irmãos, Marcelo e Fernanda, pela paciência e incentivo.
Aos meus pais, por toda ajuda, paciência, incentivo, apoio, em resumo, por terem realmente
participado de todos esses momentos comigo, sem os quais teria sido muito mais difícil.
À minha namorada, Luciana, por ter vivido comigo toda essa história e, também, por servir de
inspiração e estímulo para que eu a cada dia possa conquistar mais e mais, pois sinto que
essas conquistas não são apenas minhas (te amo) ...
Ao CNPq, pelo apoio financeiro.
v
RESUMO
O emprego da mecânica da fratura na engenharia tem importância fundamental no
dimensionamento e no monitoramento de estruturas solicitadas por carregamentos
monotônicos e cíclicos, que estão sujeitas ao aparecimento de trincas. Diversos setores
tecnológicos tais como as indústrias nucleares e petroquímicas, a aviação, as usinas
hidrelétricas e termoelétricas e a engenharia naval são, entre outros, os maiores interessados
no controle da propagação de trincas em vasos de pressão, tubulações, fuselagens, cascos de
navio, turbinas, etc. O interesse de setores estratégicos para a economia de qualquer país
ocasionou um crescente desenvolvimento de técnicas de engenharia para previsão de falhas
dessas estruturas.
Os métodos numéricos mais utilizados no estudo da propagação de trincas em estruturas são o
Método dos Elementos Finitos (MEF) e o Método dos Elementos de Contorno (MEC). Este
trabalho utiliza o Método dos Elementos Finitos para calcular a integral – J, pelo Método da
Energia, para carregamentos monotônicos ( )J e para carregamentos cíclicos ( , por meio
da metodologia desenvolvida por Maneschy (1998). O Elemento Finito adotado foi o
elemento isoparamétrico implementado por Barsoum (1976).
)
)
J∆
Alguns estudos foram realizados ao longo deste trabalho. Foram feitas análises do Fator de
Intensidade de Tensão comparando os valores calculados com casos clássicos da
literatura. Avaliou-se também o parâmetro
( IK
J tanto aplicando-se tensão quanto aplicando-se
deslocamento na estrutura. Foram determinados valores de J∆ para diferentes valores de
razão de carga . Por fim, algumas aplicações foram analisadas como a estimativa do
tempo de vida de uma tubulação submetida a fadiga ou solicitada por transientes hidráulicos.
( )R
Os valores de J e obtidos pelo Método da Energia foram comparados com soluções
disponíveis na literatura e com respostas fornecidas pelo programa ANSYS, apresentando
compatibilidade em todos os casos analisados.
J∆
vi
ABSTRACT
The use of fracture mechanics in engineering is fundamentally important in the design and
monitoring of structures subject to monotonic and cyclical loadings in which cracks might
appear. Several technological sectors such as the nuclear and petrochemical industries,
aviation, hydroelectric and thermoelectric plants and naval engineering, among others, are the
most interested in preventing these cracks in pressure vessels, pipes, fuselages, hulls of ships,
turbines, etc. The interest of strategic sectors of the economy of any country caused an
increasing development in engineering techniques to predict flaws in these structures.
The numerical methods mostly used in the study to prevent cracks in these structures are the
Finite Element Method (FEM) and the Boundary Element Method (BEM). This work uses
Finite Element Method to calculate the J integral, by the Energy Method, to monotonic ( )J
and cyclical ( J∆ ) loadings, using the method developed by Maneschy (1998). The Finite
Element was the isoparametric element implemented by Barsoum (1976).
Analysis of the Stress Intensity Factor ( )IK
J
were done, comparing the calculated values to
classic cases in books. The J parameter was also evaluated by applying stress and
displacement to the structure. Values for ∆ were chosen for different values of load ratio
( )R . Some applications, such as lifetime of pipes subjected to fatigue or subject to hydraulic
transients were also analysed.
The J and values obtained by the Energy Method were compared to solutions available
in books and to results provided by the ANSYS program, presenting compatibility in all the
cases that were analyzed.
J∆
vii
ÍNDICE
1– INTRODUÇÃO ...................................................................................................................1
1.1 – GENERALIDADES.................................................................................................... 1
1.2 – BREVE HISTÓRICO DA MECÂNICA DA FRATURA .......................................... 2
1.3 – ABRANGÊNCIA, LIMITAÇÕES E OBJETIVOS DESTE TRABALHO................ 5
1.4 – ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO .......................................................................... 8
2 – FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA LINEAR
ELÁSTICA (MFLE)......................................................................................................... 11
2.1 – INTRODUÇÃO........................................................................................................ 11
2.2 – MODOS DE CARREGAMENTO........................................................................... 11
2.3 – EQUAÇÕES QUE DESCREVEM O CAMPO DE TENSÕES E
DESLOCAMENTOS NA PONTA DA TRINCA PARA O MODO I DE
CARREGAMENTO ................................................................................................ 12
2.4 – EXPRESSÕES DE PARA PROBLEMAS COM GEOMETRIA FINITA....... 14 IK
2.5 – PLASTICIDADE NA PONTA DA TRINCA.......................................................... 15
2.6 – MÉTODOS DE OBTENÇÃO DO FATOR DE INTENSIDADE DE TENSÃO.... 16
2.6.1 – Cálculo de pelo Método da Extrapolação dos deslocamentos .............. 17 IK
2.6.2 – Cálculo de pelo Método da Integral – J................................................. 19 IK
3 - FUNDAMENTOS TEÓRICOS SOBRE A INTEGRAL – J......................................... 20
3.1 – INTRODUÇÃO........................................................................................................ 20
3.2 – FORMULAÇÃO ORIGINAL.................................................................................. 20
3.3 – INTEGRAL – J PARA CARREGAMENTOS CÍCLICOS ( )J∆ ............................ 23
3.4 – CÁLCULO DE .................................................................................................. 25 J∆
viii
4 – MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS (MEF) APLICADO À MECÂNICA
DA FRATURA................................................................................................................. 29
4.1 – INTRODUÇÃO........................................................................................................ 29
4.2 – DESENVOLVIMENTO DA FORMA FRACA ...................................................... 29
4.3 – FUNÇÃO DA FORMA............................................................................................ 31
4.4 – ELASTICIDADE BIDIMENSIONAL: ESTADOS PLANOS DE
DEFORMAÇÕES E DE TENSÕES ....................................................................... 32
4.5 – ELEMENTO FINITO ISOPARAMÉTRICO DE OITO NÓS ................................ 34
4.6 – ELEMENTO FINITO MODIFICADO DE BARSOUM (Barsoum, 1976)............. 37
5 – ASPECTOS COMPUTACIONAIS E SOLUÇÃO NUMÉRICA ................................ 42
5.1 – INTRODUÇÃO........................................................................................................ 42
5.2 – ARQUITETURA DA METODOLOGIA UTILIZADA PARA OBTER A
INTEGRAL – J VIA MÉTODO DA ENERGIA..................................................... 42
5.3 – DETALHAMENTO DA ETAPA DE ANÁLISE VIA MEF (BLOCO 1) .............. 43
5.4 – DETALHAMENTO DA ETAPA DE CÁLCULO DE J E (BLOCO 2) ........ 47 J∆
5.5 – MACROS UTILIZADAS DO ANSYS ................................................................... 50
6 – RESULTADOS ................................................................................................................. 51
6.1 – INTRODUÇÃO........................................................................................................ 51
6.2 – ANÁLISE DO PARÂMETRO .......................................................................... 51 IK
6.3 – ANÁLISE DO PARÂMETRO J e J∆ .................................................................. 55
6.3.1 – Dados do problema ...................................................................................... 56
6.3.2 – Análise do parâmetro J aplicando-se tensão .............................................. 59
6.3.3 – Análise do parâmetro J aplicando-se deslocamento .................................. 63
6.3.4 – Análise do parâmetro J∆ aplicando-se tensão............................................ 66
6.4 – APLICAÇÕES ......................................................................................................... 69
6.4.1 – Estimativa da vida útil de uma tubulação submetida à fadiga ..................... 69
6.4.2 – Estimativa da vida útil de uma tubulação solicitada por transientes
hidráulicos .................................................................................................... 79
ix
7 – CONCLUSÕES E SUGESTÕES .................................................................................... 86
7.1 – CONCLUSÕES........................................................................................................ 86
7.2 – SUGESTÕES ........................................................................................................... 87
REFÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................................................... 89
APÊNDICE A DETALHES DAS SUB-ROTINAS INTERNAS (MACROS)
UTILIZADAS DO PROGRAMA ANSYS ............................................ 92
A.1 – LINHAS DE COMANDO DO ANSYS UTILIZADAS PARA DEFINIR O
COMPORTAMENTO DO MATERIAL........................................................................ 92
A.1.1 – Comportamento linear elástico (exemplo) ......................................................... 92
A.1.2 – Comportamento elastoplástico (exemplo).......................................................... 93
A.2 – LINHAS DE COMANDO DO ANSYS UTILIZADAS PARA DEFINIR A
GEOMETRIA ESTRUTURAL ...................................................................................... 93
A.3 – LINHAS DE COMANDO DO ANSYS UTILIZADAS PARA DEFINIR O
CARREGAMENTO QUE SOLICITA A ESTRUTURA .............................................. 94
A.3.1 – Carregamento monotônico aplicando-se tensão (exemplo) ............................... 94
A.3.2 – Carregamento monotônico aplicando-se deslocamento (exemplo) ................... 94
A.3.3 – Carregamento cíclico aplicando-se tensão ( 0=R ) (exemplo) .......................... 94
A.3.4 – Carregamento cíclico aplicando-se tensão ( 1−=R ) (exemplo) ........................ 95
A.4 – MACROS UTILIZADAS PARA CALCULAR A INTEGRAL - J............................... 96
A.4.1 – Macro que utiliza o método da extrapolação dos deslocamentos (exemplo)..... 96
A.4.2 – Macro que utiliza o método da integral de contorno (exemplo) ........................ 97
A.5 – EXEMPLO COMPLETO............................................................................................... 98
APÊNDICE B DESENVOLVIMENTO TEÓRICO SOBRE TRANSIENTES ........ 104
B.1 – DESCRIÇÃO DO FENÔMENO TRANSIENTE PARA O CASO DE UMA
INTERRUPÇÃO BRUSCA DE UM ESCOAMENTO................................................ 104
B.2 – HIPÓTESES E EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS ....................................................... 108
B.3 – MÉTODO DE SOLUÇÃO DE ‘TRANSIENTES’ NO DOMÍNIO DO TEMPO ....... 109
B.3.1 – Método das Características (M. C.).................................................................. 109
B.3.2 – Condições de Contorno .................................................................................... 112
x
LISTA DE TABELAS
Tabela Conteúdo Página 6.1 Resultados de erros de para painel com trinca central............................. 52 IK 6.2 Resultados de erros de para painel com trinca de bordo.......................... 52 IK 6.3 Resultados de erros de para painel com trinca de bordo IK
dupla ............................................................................................................... 53 6.4 Propriedades do aço inoxidável 304 a 21°C (Maneschy, 1998)..................... 56 6.5 Propriedades geométricas das placas com trinca central e trinca de bordo dupla...................................................................................... 57 6.6 Propriedades geométricas da placa com trinca de bordo................................ 57
xi
LISTA DE FIGURAS
Figura Legenda Página 1.1 Fator de Concentração de tensão segundo Inglis para um furo elíptico............. 3 2.1 Modos de Carregamento (ANSYS User’s Manual, 1995) ............................... 11 2.2 Sistema de coordenadas adotado na ponta da trinca ........................................ 12 2.3 (a) Placa com trinca central ................................................................................... 14 2.3 (b) Placa com trinca de bordo................................................................................ 14 2.3 (c) Placa com trinca de bordo dupla ...................................................................... 14 2.4 Zona plástica na ponta da trinca ....................................................................... 15 2.5 Extrapolação de K com base nos deslocamentos ............................................ 18 3.1 Caminho ao longo do qual a integral - J é calculada ........................................ 21 3.2 Energia de deformação para o cálculo da integral – J quando
o carregamento é monotônico (Maneschy, (1998) Modificado) ...................... 26 3.3 Energia de deformação para o cálculo de J∆ Caso linear elástico (Maneschy, (1998) Modificado) ...................................... 27 3.4 Energia de deformação para o cálculo de J∆
Caso elastoplástico (Maneschy, (1998) Modificado) ....................................... 27 4.1 Elemento Finito Isoparamétrico de 8 nós ......................................................... 35 4.2 Elemento Finito Isoparamétrico de 8 nós modificado
por Barsoum (1976).......................................................................................... 37 4.3 Exemplos de elementos singulares colapsados
(ANSYS User’s Manual, 1995)........................................................................ 41 5.1 Metodologia utilizada para obter a integral – J ( J e J∆ )
via método da energia....................................................................................... 42 5.2 Exemplo de painel com trinca central submetido à condição
de carregamento imposto.................................................................................. 44
xii
5.3 Detalhe da região próxima à ponta da trinca
(elementos com quarter – point) ...................................................................... 45 5.4 Detalhe da região próxima à ponta da trinca
(elementos sem quarter – point)....................................................................... 45 5.5 Exemplo de painel com trinca de bordo
(Elemento PLANE2) ........................................................................................ 46 5.6 Exemplo de painel com trinca de bordo dupla
(Elemento PLANE82) ...................................................................................... 46 5.7 Diagrama que ilustra o funcionamento do programa
em FORTRAN.................................................................................................. 48 6.1 Resultados de erros de para painel com trinca central............................... 52 IK 6.2 Resultados de erros de para painel com trinca IK
de bordo ............................................................................................................ 53 6.3 Resultados de erros de para painel com trinca IK
de bordo dupla .................................................................................................. 53 6.4 Malha usada no ANSYS para discretização da trinca de
bordo ( 1,0=Wa ) usando simetria. O elemento utilizado foi o triângulo de 6 nós ..................................................................................... 54
6.5 Malha usada no ANSYS para discretização da trinca central
( 1,0=Wa ) usando simetria. O elemento utilizado foi o triângulo de 6 nós ..................................................................................... 55
6.6 Malha usada no ANSYS para discretização da trinca de
bordo dupla ( 1,0=Wa ) usando simetria. O elemento utilizado foi o triângulo de 6 nós ..................................................................................... 55
6.7 Relação tensão x deformação dada pela relação de
Ramberg - Osgood para o aço inoxidável 304 ................................................. 57 6.8 Malha usada no ANSYS para discretização da trinca central
( 1,0=Wa ) usando simetria. O elemento utilizado foi o isoparamétrico de 8 nós (tamanho médio do elemento igual a 0,005 m) ................................................................................................ 58
6.9 Malha usada no ANSYS para discretização da trinca de bordo
( 1,0=Wa ) usando simetria. O elemento utilizado foi o isoparamétrico de 8 nós (tamanho médio do elemento igual a 0,005 m) ................................................................................................ 58
xiii
6.10 Tensão Yσ aplicada em uma placa com trinca central sendo
linear elástico o comportamento do material.................................................... 59 6.11 Deslocamentos u da estrutura em resposta à solicitação de tensão ............... 59 Y
6.12 J x para placa com trinca central. Análise linear elástica F
(Tensão Imposta) .............................................................................................. 60 6.13 J x para placa com trinca central. Análise linear elástica F
e elastoplástica (Tensão Imposta)..................................................................... 60 6.14 J x para placa com trinca de bordo. Análise linear elástica F
(Tensão Imposta) .............................................................................................. 61 6.15 J x para placa com trinca de bordo. Análise linear elástica F
e elastoplástica (Tensão Imposta)..................................................................... 61
6.16 J x para placa com trinca de bordo dupla. Análise linear elástica F(Tensão Imposta) .............................................................................................. 62
6.17 J x para placa com trinca de bordo dupla. Análise linear elástica F
e elastoplástica (Tensão Imposta)..................................................................... 62 6.18 Placa com trinca central sendo solicitada por deslocamento
sendo linear elástico o comportamento do material ......................................... 64
6.19 Tensão Yσ da estrutura em resposta à solicitação de deslocamento................ 64 6.20 J x para placa com trinca central. Análise linear elástica F
(Deslocamento Imposto)................................................................................... 65 6.21 J x para placa com trinca central. Análise linear elástica F
e elastoplástica (Deslocamento Imposto) ......................................................... 65 6.22 Comparação entre , calculado pelo método da energia, J∆
com , calculado pelas Expressões (3.16) e (3.17)...................................... 67 eJ∆ 6.23 Laço de histerese σ x δ para 0=R ( MPaMAX 240=σ e
0=MINσ ) .......................................................................................................... 68 6.24 Laço de histerese σ x δ para 1−=R ( MPaMAX 120=σ e
MPaMIN 120−=σ ) ........................................................................................... 68 6.25 ∆ x ∆ para e J F 0=R 1−=R ( J∆ obtido pelo método da energia);
eJ∆ x F∆ para (0=R eJ∆ obtido pela Equação (3.16))............................... 69
xiv
6.26 Metodologia para estimar o tempo de vida remanescente
de materiais submetidos à fadiga - Passo 1 (Liaw, et al. (1993b) Modificado) .................................................................... 70
6.27 Metodologia para estimar o tempo de vida remanescente
de materiais submetidos à fadiga - Passo 2 (Liaw, et al. (1993b) Modificado) .................................................................... 71
6.28 Metodologia para estimar o tempo de vida remanescente
de materiais submetidos à fadiga - Passo 3 (Liaw, et al. (1993b) Modificado) .................................................................... 71
6.29 Sistema estrutural a ser avaliado
(Liaw, et al. (1993b) Modificado) .................................................................... 72 6.30 Tubulação trincada sendo modelada por meio de
uma placa com trinca de bordo......................................................................... 73 6.31 Esquema de análise de integridade estrutural de tubulações
(Liaw, et al. (1993b) Modificado) .................................................................... 74 6.32 Esquema para estimar o tamanho crítico de trinca
(Liaw, et al. (1993b) Modificado) .................................................................... 75
6.33 Metodologia utilizada para estimar o crescimento de trinca por fadiga (Liaw, et al. (1993b) Modificado)................................................... 76
6.34 Relação tensão x deformação dada pela Expressão (6.2)
para o aço A106B ............................................................................................. 77 6.35 Estimativa do tempo de vida remanescente da tubulação
em estudo submetida à fadiga utilizando três maneiras distintas para o cálculo de J∆ .......................................................................... 78
6.36 Relação entre da tubulação calculado utilizando fN
a Expressão (3.20) e as Expressões do EPRI.................................................... 79 6.37 Fechamento parabólico de válvula .................................................................... 81 6.38 Gráfico Pressão x Tempo obtido pelo programa
PRONDAS-1D ................................................................................................. 81 6.39 Gráfico Velocidade x Tempo obtido pelo programa
PRONDAS-1D ................................................................................................. 82 6.40 Tubulação trincada, submetida a pressão interna,
sendo modelada por meio de uma placa com trinca de bordo ............................................................................................................ 82
xv
6.41 Gráfico Pσ x Tempo (carga cíclica que solicita a estrutura) ............................ 83 6.42 Estimativa do tempo de vida remanescente da tubulação
analisada submetida a carga de pressão transiente ........................................... 84 B.1 Sistema reservatório tubo................................................................................. 105 B.2a Fechamento instantâneo da válvula e surgimento
da onda de compressão ................................................................................... 105 B.2b Chegada da onda de pressão ao reservatório e surgimento
da onda de descompressão.............................................................................. 106 B.2c Chegada da onda à válvula e surgimento de
uma onda de baixa pressão ............................................................................. 106 B.2d Chegada da onda de baixa pressão e surgimento da onda
de pressão que restitui as condições iniciais................................................... 107 B.3 Evolução da pressão no meio do tubo em função
do tempo ......................................................................................................... 108 B.4 Método das diferenças finitas aplicado à solução
de problemas transientes................................................................................. 111 B.5 Reservatório com nível constante e válvula
a jusante inicialmente aberta........................................................................... 112
xvi
LISTA DE SÍMBOLOS 1. Matrizes, Vetores e Tensores Símbolo Significado t Vetor de trações de superfície definido no plano da normal n u Componente do vetor deslocamento
mnσ∆ Variações nas componentes do tensor de tensão
mnε∆ Variações nas componentes do tensor de deformação
mt∆ Variações nas componentes do vetor de trações de superfície
mu∆ Variações nas componentes do vetor deslocamento D Matriz elástica (3x3)
2. Escalares Símbolo Significado a Comprimento da trinca
0a Tamanho inicial de trinca
cra Tamanho de trinca crítico
Wa Relação entre o comprimento da trinca e a largura da placa
'A Coeficiente de crescimento de trinca por fadiga
Xb Componente das forças de corpo na direção x
xvii
Yb Componente das forças de corpo na direção y
da Variação no comprimento de trinca ds Elemento infinitesimal de arco ao longo do caminho Γ Πd Variação de energia
dMAX Deslocamento máximo dMIN Deslocamento mínimo D Coeficiente de plasticidade E Módulo de elasticidade do material
YSYf σ= Tensão de escoamento do material
uuf σ= Tensão de ruptura do material F Módulo plástico G Taxa de energia liberada
CG Taxa de energia liberada crítica J Integral – J para carregamentos monotônicos
ICJ Integral - J crítica associada com o modo I de carregamento ( )EK IC2
maxJ Integral - J referente à tensão máxima de um determinado ciclo de
carregamento
minJ Integral - J referente à tensão mínima de um determinado ciclo de carregamento
k Constante que depende do tipo de estado plano K Fator de intensidade de tensão
IK Fator de intensidade de tensão associado com o modo I de carregamento
IIK Fator de intensidade de tensão associado com o modo II de carregamento
IIIK Fator de intensidade de tensão associado com o modo III de carregamento
xviii
CK Fator de intensidade de tensão crítico
ICK Fator de intensidade de tensão crítico associado com o modo I de carregamento também conhecido como Tenacidade à fratura
maxK Fator de intensidade de tensão referente à tensão máxima de um determinado
ciclo de carregamento
minK Fator de intensidade de tensão referente à tensão mínima de um determinado ciclo de carregamento
n Expoente de encruamento do material
1n Expoente de crescimento de trinca por fadiga
Xn , Cossenos diretores Yn
fN Tempo de vida remanescente do material P Pressão interna da tubulação R Razão de carga ( )maxmin σσ
Mr Raio médio da tubulação
pr Comprimento da zona plástica t Espessura da tubulação
Xu Deslocamento na direção x
Yu Deslocamento na direção y U Densidade de energia de deformação W Largura da placa u&& Aceleração na direção x v&& Aceleração na direção y β Fator de correção geométrica
F∆ Variação da força
K∆ Variação do fator de intensidade de tensão
xix
J∆ Integral – J para carregamentos cíclicos
eJ∆ Integral – J para carregamentos cíclicos tendo regime linear elástico do material
monJ∆ Integral – J para carregamentos cíclicos estimada por meio de expressões
baseadas em solicitações monotônicas σ∆ Variação de tensão
ε Deformação
0ε Deformação de referência ( )EfY=0ε φ Função de forma de elementos finitos ρ Massa específica µ Módulo de Deformação Transversal ( )υ+= 12E Ω Domínio do problema Γ Contorno do problema υ Coeficiente de Poisson do Material σ Tensão
MAXσ Tensão máxima de fadiga
MINσ Tensão mínima de fadiga
Pσ Tensão circunferencial na tubulação
xx
LISTA DE ABREVIAÇÕES
Abreviaturas CNEN Comissão Nacional de Energia Nuclear COD Crack Openning Displacement CPP Circuitos Pressurizados de Petróleo CQP Com Quarter Point DI Deslocamento Imposto FCT Fator de Concentração de Tensão FIT Fator de Intensidade de Tensão IPEN Instituto de Pesquisas Energéticas e Nucleares MCT Ministério de Ciência e Tecnologia MEC Método dos Elementos de Contorno MEF Método dos Elementos Finitos MELF Mecânica Elástica Linear da Fratura MFLE Mecânica da Fratura Linear Elástica SQP Sem Quarter Point SIF Stress Intensity Factor TI Tensão Imposta
xxi
1 – INTRODUÇÃO
Este capítulo tem a finalidade de mostrar, de maneira geral, a temática abordada neste
trabalho, fazendo uma breve introdução sobre sua relevância e aplicações. Além disso, será
apresentado também um histórico resumido sobre a mecânica da fratura e, por fim, os
objetivos e a estrutura da dissertação.
1.1 – GENERALIDADES
O emprego da mecânica da fratura na engenharia tem importância fundamental no
dimensionamento e no monitoramento de estruturas sujeitas ao aparecimento de trincas e
que são solicitadas por carregamentos monotônicos e cíclicos. Diversos setores
tecnológicos como as indústrias nucleares e petroquímicas, a aviação, as usinas
hidrelétricas e termoelétricas, e a engenharia naval são, entre outros, os maiores
interessados no controle da propagação de trincas em vasos de pressão, tubulações,
fuselagens, cascos de navio, turbinas, etc. O interesse de setores estratégicos para a
economia de qualquer país ocasionou um crescente desenvolvimento de técnicas de
engenharia para previsão de falhas nessas estruturas.
Nos Estados Unidos, a fratura em materiais promove um gasto anual em reparo de
aproximadamente 119 bilhões de dólares, o que corresponde a 4% do seu produto nacional
bruto em 2000. Conforme estimou Saouma (2000), seria possível reduzir os gastos em 35
bilhões apenas utilizando-se as tecnologias já disponíveis. Além disso, 28 bilhões ainda
poderiam ser economizados investindo-se em novas pesquisas. Tomando por base esses
valores, evidencia-se a importância do assunto e o interesse que ele desperta na
comunidade internacional. No Brasil, apesar de ser notável o prejuízo causado pela
presença de trincas e fraturas em estruturas, não há registros que os quantifiquem.
Os projetos estruturais da atualidade não podem mais desconsiderar a existência de trincas.
Negligenciar tais aspectos resultaria no desenvolvimento de projetos inseguros e
antieconômicos. Algumas estruturas especiais, como estruturas aeronáuticas e navais, que
possuem as características de serem esbeltas e estarem submetidas a cargas cíclicas, devem
ser dimensionadas considerando-se a presença de falhas. Mesmo em regime de pouca
carga, tais estruturas apresentam regiões com elevadas concentrações de tensão, podendo,
1
com isso, ter início o processo de propagação de trincas, potencializando-as ao colapso
precoce.
Com o contínuo desenvolvimento dos computadores e com a aplicação de métodos
numéricos na resolução dos problemas de engenharia, ocorreu um avanço considerável na
precisão dos cálculos de parâmetros utilizados para a caracterização dos problemas na
mecânica da fratura. Parâmetros como o fator de intensidade de tensão (K) e a Integral – J
( J ) passaram a ser mais facilmente calculados com a aplicação, por exemplo, do método
dos elementos finitos (MEF) e, posteriormente, do método dos elementos de contorno
(MEC) (Saouma, 2000).
A mecânica da fratura avançou significativamente durante a Segunda Guerra Mundial,
quando um elevado número de estruturas de aço chegou ao colapso. Nesse período quase
700 navios de produção americana sofreram sérios problemas de fratura, sendo
impossibilitados de atuarem em guerra, e outros 145 simplesmente partiram-se ao meio em
seu primeiro contato com a água.
A investigação desses acidentes evidenciou que os processos de dimensionamento da
época apresentavam-se muito incipientes. Não se considerava a perda da capacidade
resistente causada por falhas estruturais que ocasionavam altas concentrações de tensão, as
quais eram intensificadas pelas condições de serviço. Dessa maneira, favorecia-se o
colapso antecipado da estrutura (Ewalds e Wanhil, 1984).
1.2 – BREVE HISTÓRICO DA MECÂNICA DA FRATURA
Em 1898, o engenheiro alemão Kirsch demonstrou que o fator de concentração de tensão
(FCT) para uma placa infinita com um furo circular é igual a três quando ela está sujeita a
tensão de tração uniforme (Timoshenko e Goodier, 1980). Em 1913, Inglis estendeu a
solução das tensões em volta de um orifício circular para o caso mais geral de uma elipse.
Ele demonstrou o valor do Fator de Concentração de Tensão para esse caso, apresentado
na Figura 1.1, onde a é a metade do comprimento do eixo maior, b é a metade do
comprimento do eixo menor e ab2=ρ é o raio de curvatura.
2
O valor de FCT mostrado por Inglis tem um interesse especial para a mecânica da fratura
pois, quando b tende a zero ou b << a, o furo tende a se tornar uma trinca e o valor de FCT
tende ao infinito, ocorrendo o que se chama de singularidade de tensão.
ρaFCT 21+=
Figura 1.1 – Fator de Concentração de tensão segundo Inglis para um furo elíptico
Logo após e seguindo o trabalho de Inglis, Griffith, em 1921, contribuiu muito ao
desenvolvimento da Mecânica da Fratura. Sua primeira grande contribuição foi a sugestão
de que falhas internas agiriam como intensificadores de tensão em sólidos, afetando
fortemente suas resistências. A segunda foi a formulação do critério energético para a
fratura, que considera a mudança total na energia durante o processo de fratura. Durante a
extensão da trinca, a energia do sistema é liberada e transferida na forma de energia
superficial. Essa análise foi desenvolvida por meio de seus estudos de propagação de
trincas em materiais frágeis. A partir desse momento, foi possível estabelecer
procedimentos de análise e dimensionamento de estruturas considerando a presença de
trincas, o que ocasionou um significativo avanço na engenharia estrutural.
Após o trabalho de Griffith, a Mecânica da Fratura permaneceu relativamente inalterada
por aproximadamente 20 anos. Em 1939, Westergaard formulou a expressão para o campo
de tensão perto de uma ponta aguda de trinca.
Um grande número de fraturas catastróficas e repentinas que ocorreram durante e logo
após a Segunda Guerra Mundial motivou o desenvolvimento impetuoso da Mecânica da
Fratura. Depois da guerra, George Irwin, que estava no laboratório de pesquisa naval nos
3
EUA, partiu da idéia de Griffith para propor os fundamentos da Mecânica da Fratura. Ele
fez três grandes contribuições:
1. Verificou e comprovou o conceito da taxa de energia liberada G.
2. Estendeu a teoria de Griffith para metais pela consideração da deformação na ponta da
trinca. Isto resultou na chamada Teoria de Griffith Modificada.
3. Alterou a solução geral de Westergaard pela introdução do conceito do Fator de
Intensidade de Tensão (SIF, do inglês Stress Intensity Factor ou, em português, FIT
que difere do FCT. O símbolo SIF posteriormente passou a ser chamado de K)
(Saouma, 2000).
Existe um limite para o valor de G para que o sistema não entre em instabilidade. Esse
limite é a quantidade máxima de energia que a estrutura pode liberar para que não ocorra a
propagação instável de trinca. Dessa maneira, pode-se dizer que existe um valor crítico,
, o qual deve ser superior a G para garantir a estabilidade do sistema. De acordo com
essa nova abordagem energética, a constante G é a resistência do material à fratura, que é
uma propriedade de cada material e deve ser determinada por meio de ensaios previstos em
normas.
CG
C
Irwin, ao final da década de 1950, formulou o conceito de fator de intensidade de tensão
(K) e demonstrou a equivalência entre K e G obtendo expressões matemáticas que
correlacionavam estes dois parâmetros. Demonstrações da equivalência de K e G foram a
base para o aparecimento da Mecânica da Fratura Linear Elástica. De acordo com essa
nova abordagem, a fratura ocorre quando se atinge determinada distribuição crítica do
campo de tensões na ponta da trinca, ou seja, quando K atinge determinado valor crítico. A
esse valor crítico deu-se o nome de , característico de cada material. , de maneira
similar a , também representa a resistência à fratura do material (Broek, 1988).
CK CK
CG
O crescimento subcrítico da trinca também vem sendo estudado. Sabe-se que ele acontece
quando a trinca sofre aplicação de carregamento cíclico (fadiga) ou é submetida a um
ambiente corrosivo. Em ambos os casos, o comprimento original da trinca e as condições
de carregamento estão abaixo dos valores críticos para a ruptura catastrófica. Em 1961,
4
Paris propôs a primeira equação empírica relacionando a faixa do fator de intensidade de
tensão com a taxa de crescimento da trinca.
Outra grande contribuição foi feita por Erdogan e Sih em meados dos anos 60, quando foi
introduzido o primeiro modelo de propagação de trinca para modo misto (Saouma, 2000).
As primeiras pesquisas que foram desenvolvidas com o objetivo de produzir uma teoria
satisfatória que explicasse a mecânica da fratura em materiais com comportamento não
linear ocorreram no final da década de 1950. Tentou-se utilizar o fator de intensidade de
tensão K em modelos com não linearidade do material, porém tais modelos não obtiveram
sucesso (Ewalds e Wanhil, 1984).
Considerações não lineares foram propostas por Wells e Rice. Em 1963, Wells utilizou o
deslocamento da abertura da trinca (posteriormente conhecido como COD – Crack
Openning Displacement) como parâmetro que caracteriza a resistência à propagação da
trinca em sólidos elastoplásticos. Em 1968, Rice introduziu o conceito da integral – J, uma
integral de contorno independente do caminho por meio do qual se calcula, em relação à
extensão da trinca, a mudança de energia potencial para um sólido em regime linear
elástico e elastoplástico.
Na década de 1980, surgem pesquisas que visam desenvolver uma teoria de mecânica da
fratura aplicada a materiais cerâmicos e a compósitos.
Grandes contribuições em muito maior número aconteceram com a introdução dos
métodos numéricos na análise de estruturas trincadas (Saouma, 2000).
1.3 – ABRANGÊNCIA, LIMITAÇÕES E OBJETIVOS DESTE TRABALHO
Este trabalho de dissertação tem a finalidade de dar continuidade ao trabalho de doutorado
realizado pelo Eng° e Dr. José Eduardo Maneschy (Maneschy, 1998). Maneschy (1998)
desenvolveu sua tese de doutorado, intitulada “Integral – J para carregamentos cíclicos”,
no Instituto de Pesquisas Energéticas e Nucleares (IPEN) em São Paulo, órgão federal de
pesquisa pertencente a CNEN (Comissão Nacional de Energia Nuclear ligada ao MCT –
Ministério de Ciência e Tecnologia). Atualmente, o Dr. Maneschy trabalha na
5
Eletronuclear, no Rio de Janeiro, prestando relevante trabalho na área de mecânica da
fratura.
Em sua tese de doutorado, Maneschy (1998) desenvolveu, utilizando a linguagem
FORTRAN, um programa computacional que calcula a integral – J (por meio do método
da energia) para uma placa com trinca central tendo como carregamento tensão aplicada
(monotônica ou cíclica). O presente trabalho utilizou tal programa para promover
modificações.
Tendo em vista a continuidade a ser dada no trabalho do Dr. Maneschy, modificou-se o
programa implementando-se o cálculo da integral – J para as placas com trinca de bordo e
trinca de bordo dupla. Além disso, implementou-se ainda a consideração de carregamento
com deslocamento aplicado. A sub-rotina de integração que utiliza o método de Gauss foi
completamente aproveitada do programa original. Detalhes do funcionamento do programa
serão discutidos no capítulo 5 desse trabalho.
Dessa maneira, esta dissertação tem o objetivo de estudar o comportamento de estruturas
trincadas submetidas a solicitações monotônicas e cíclicas. Serão analisadas algumas
estruturas modeladas em estado plano de tensão e de deformação com elementos finitos
utilizando o programa ANSYS em conjunto com o programa computacional mencionado
anteriormente. A metodologia de análise para avaliação das estruturas é a integral - J tanto
associada a carregamentos monotônicos ( )J quanto associada a carregamentos cíclicos
. Os principais objetivos desse trabalho são: ( J∆ )
• Calcular o fator de intensidade de tensão ( )IK (modo I de carregamento) para alguns
exemplos clássicos da literatura utilizando macros do programa ANSYS preparadas para
este trabalho de dissertação;
• Implementar modificações no programa computacional desenvolvido por Maneschy
(1998) para possibilitar o cálculo de J e J∆ para painéis com trinca de bordo e trinca
de bordo dupla. Além disso, implementar a consideração de carregamento com
deslocamento aplicado;
6
• Analisar o parâmetro J , calculado pelo método da energia, para as placas com trinca
central, de bordo e de bordo dupla submetidas a carregamento monotônico com tensão
aplicada, em regime linear elástico e elastoplástico. Os resultados serão comparados
com expressões analíticas e com os valores obtidos com as macros do ANSYS;
• Estudar o parâmetro J , calculado pelo método da energia, para uma placa com trinca
central submetida a carregamento monotônico com deslocamento aplicado, em regime
linear elástico e elastoplástico. A condição de deslocamento imposto representa melhor
que a tensão aplicada os efeitos de temperatura. A principal fonte de fadiga em
componentes nucleares é resultante de transientes térmicos, que produzem tensões
controladas pela deformação imposta. Os resultados também serão comparados com as
macros do ANSYS;
• Avaliar o parâmetro (carregamento cíclico), calculado pelo método da energia, para
uma placa com trinca central em regime linear elástico e elastoplástico para o caso com
tensão aplicada;
J∆
• Estimar o tempo de vida de tubulações submetidas a fadiga e tubulações sob transientes
hidráulicos utilizando o parâmetro J∆ obtido pelo método da energia (estruturas como
oleodutos podem estar submetidas a carregamentos transientes ocasionados por
fechamentos de válvulas, despressurizações, etc; esses fenômenos transientes provocam
oscilações da pressão na estrutura que podem levá-la ao colapso).
É importante comentar que será utilizado o programa PRONDAS-1D, desenvolvido por
Fiuza Lima (2003), para gerar as pressões transientes que solicitarão a tubulação. As
pressões informadas pelo programa PRONDAS-1D serão levadas ao programa ANSYS
como condição de carregamento da estrutura analisada. A parte teórica sobre transientes
hidráulicos, mostrada em anexo, foi baseada em Streeter (1979), Nascimento (2002) e
Fiuza Lima (2003).
O cálculo de é um problema relativamente pouco estudado em mecânica da fratura.
Devido a esse motivo não existem expressões para a obtenção de facilmente
disponíveis na literatura. É prática comum nas indústrias estimar os valores de por
meio de expressões baseadas em solicitações monotônicas
J∆
J∆
J∆
( )monJ∆ . Muitas vezes, porém,
7
esses resultados podem ser bastante conservadores, ou seja, essa aproximação nem
sempre pode ser considerada confiável. Dessa maneira é importante estudar novos critérios
de obtenção de ∆ . J
A utilização do parâmetro foi proposto inicialmente por Dowling e Begley (1976), que
determinaram valores de por meio das curvas F x d (força x deslocamento) obtidas
durante ensaios experimentais. Esse estudo difere-se do realizado por Maneschy (1998)
principalmente pelo fato de este último ter obtido as curvas F x d por meio de simulação
numérica.
J∆
J∆
Apesar de o emprego de não ter comprovação matemática rigorosa para a situação de
descarregamento, alguns resultados experimentais indicam que é válida a correlação entre
a integral – J para cargas cíclicas e a taxa de crescimento de trincas (Maneschy, 1998).
J∆
1.4 – ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO
Nesta seção será feita uma descrição resumida a respeito dos capítulos deste trabalho.
No primeiro capítulo são apresentados aspectos que tratam de generalidades sobre a
mecânica da fratura bem como um breve histórico desta. Além disso, são descritos os
objetivos desta dissertação mostrando de maneira resumida as abrangências e limitações
deste trabalho.
No segundo capítulo, mostra-se uma revisão bibliográfica sobre a Mecânica da Fratura
Linear Elástica (MFLE) apresentando os modos de carregamento mais discutidos na
literatura, as equações que descrevem o campo de tensões e deslocamentos na ponta da
trinca para o modo I de carregamento, expressões usuais para o cálculo do fator de
intensidade de tensão encontradas na literatura e alguns métodos de obtenção de .
Além disso, neste capítulo, apresenta-se um tópico a respeito do fenômeno de plasticidade
que ocorre na ponta das trincas.
( IK ) IK
No terceiro capítulo, apresenta-se uma revisão bibliográfica sobre o método da integral – J
mostrando a formulação original do método, o cálculo da integral – J utilizando a integral
de contorno, a obtenção da integral – J por meio do método da energia e o cálculo da
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integral – J para problemas com carregamento cíclico ( )J∆ por meio do método da
energia.
No quarto capítulo, apresenta-se uma revisão sobre o método dos elementos finitos (MEF)
aplicado à mecânica da fratura, mostrando a teoria geral do MEF aplicada à elasticidade
bidimensional e o modelo de elementos finitos, desenvolvido por Barsoum (1976), que
considera os campos de tensões singulares existentes na ponta de trincas.
No quinto capítulo, discute-se a parte numérica computacional utilizada para calcular a
integral – J. Inicialmente apresenta-se a solução por elementos finitos, mostrando os
modelos estruturais, a descrição dos elementos finitos e a metodologia utilizada para obter
a curva F x d (Esta parte é desenvolvida utilizando o programa ANSYS). Em seguida
descreve-se o programa computacional utilizado para calcular J e J∆ . Por fim, fornecem-
se algumas explicações sobre as macros do programa ANSYS utilizadas neste trabalho.
No sexto capítulo, apresentam-se as aplicações numéricas desenvolvidas neste trabalho.
Foram feitas análises do parâmetro comparando os valores calculados com casos
clássicos da literatura. Estudou-se também o parâmetro
IK
J tanto aplicando-se tensão quanto
aplicando-se deslocamento. Foram determinados valores de J∆ para diferentes valores de
razão de carga ( MAXMINR )σσ= . Por fim, algumas aplicações são avaliadas como a
estimativa da vida útil de uma tubulação submetida a fadiga ou solicitada por transientes
hidráulicos. Os resultados são obtidos com a utilização do programa ANSYS em conjunto
com o programa computacional desenvolvido em FORTRAN. As análises são realizadas
em regimes linear elástico e elastoplástico. Todos os resultados apresentados são discutidos
dentro de cada exemplo.
No sétimo capítulo, encontram-se algumas conclusões deste trabalho, assim como algumas
sugestões para trabalhos futuros.
No anexo A, mostram-se exemplos das macros do programa ANSYS que foram utilizadas
neste trabalho para calcular os valores de J (cargas monotônicas), bem como algumas
linhas de comando que foram utilizadas no programa ANSYS para gerar os modelos
estruturais estudados nesta dissertação (definições de geometria estrutural, carregamento,
9
condições de contorno, definição de comportamento do material – linear elástico e
elastoplástico).
No anexo B, apresenta-se a fenomenologia e a formulação das equações fundamentais que
regem o problema de transientes hidráulicos.
10
2 – FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
LINEAR ELÁSTICA (MFLE)
2.1 – INTRODUÇÃO
Neste capítulo serão abordados conceitos gerais envolvidos em problemas relacionados
com a mecânica da fratura linear elástica (MFLE), tais como os modos clássicos de
carregamento estudados em mecânica da fratura, o comportamento dos campos de tensões
e deslocamentos na ponta de trincas, algumas fórmulas analíticas conhecidas para obtenção
dos fatores de intensidade de tensão, alguns aspectos inerentes ao fenômeno de
plastificação que se desenvolve na região próxima à ponta da trinca e, por fim, será feita
uma introdução sobre os métodos numéricos de obtenção do fator de intensidade de tensão.
2.2 - MODOS DE CARREGAMENTO
Ao se analisar a orientação da carga externa com relação à trinca, podem-se considerar três
formas básicas sob as quais uma estrutura pode ser solicitada. Cada forma de solicitação
chama-se modo de carregamento. Conforme mostrado na Figura 2.1, tais modos são
caracterizados da seguinte maneira:
Modo I Modo II Modo III
Figura 2.1 – Modos de Carregamento (ANSYS User’s Manual, 1995)
Modo I: Também conhecido como modo de abertura. Neste caso as superfícies da trinca
são separadas por forças normais ao plano da trinca;
Modo II: Também conhecido como modo de deslizamento. Neste caso as superfícies da
trinca deslizam devido à ação de forças normais à frente da trinca;
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Modo III: Também conhecido como modo de rasgamento. Neste caso as superfícies da
trinca deslizam devido à ação de forças paralelas à frente da trinca.
Para cada modo de carregamento (modo I, modo II e modo III) está associado um fator de
intensidade de tensão ( , e , respectivamente). IK IIK IIIK
Serão apresentadas a seguir as equações que descrevem o campo de tensões e
deslocamentos para o modo I, pois esse é o modo de carregamento estudado neste trabalho.
Na prática, esse é o modo mais comum em muitos elementos estruturais. Além disso, em
geral, a resistência à abertura da fratura é menor que as resistências ao deslizamento e ao
rasgamento (Pastoukhov e Voorwald, 1995).
2.3 - EQUAÇÕES QUE DESCREVEM O CAMPO DE TENSÕES E
DESLOCAMENTOS NA PONTA DA TRINCA PARA O MODO I DE
CARREGAMENTO
Os campos assintóticos para as componentes de tensão e de deslocamento na ponta da
trinca estão representados nas Expressões (2.1) descritas por Broek (1988) e por Saouma
(2000). Na Figura 2.2 estão mostradas algumas das variáveis em questão.
12 Figura 2.2 – Sistema de coordenadas adotado na ponta da trinca
−=
23sen
2sen1
2cos
2θθθ
πσ
rKI
X
+=
23sen
2sen1
2cos
2θθθ
πσ
rKI
Y
23cos
2sen
2cos
2θθθ
πσ
rKI
XY =
+
−=
2sen
21
2cos
22 θθ
πµkrKu I
X
−
+=
2cos
21
2sen
22 θθ
πµkrKu I
Y
(2.1)
onde: υ é o coeficiente de Poisson; E é o Módulo de Young; µ é o Módulo de
Deformação Transversal ( )υ+= 12E e é uma constante que depende do tipo de estado
plano (
k
( ) ( )υυ +−= 13k para Estados Planos de Tensões e υ43−=k para Estados
Planos de Deformações).
Analisando as Expressões (2.1) nota-se que as componentes de tensão e deformação têm a
singularidade do tipo r1 , ou seja, tais componentes tendem ao infinito quando r tende
a zero. As componentes de deslocamento tendem ao valor zero na ponta da trinca com r .
Percebe-se também que tanto as tensões quanto os deslocamentos são proporcionais ao
fator de intensidade de tensão e a uma função geométrica do tipo IK ( )θf
IK
. Dessa
maneira, para uma dada configuração geométrica, tem-se que os campos de tensão e
deslocamento são dependentes de . Conforme mencionado anteriormente, depende
da tensão solicitante e do tamanho da trinca. Portanto para uma placa infinita tem-se:
IK
aKI πσ= (2.2)
onde: =σ Tensão solicitante; a Comprimento da trinca. =
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Mais adiante serão apresentadas algumas expressões de para problemas com
geometria finita. Para muitas situações de geometria e carregamento, entretanto, não
existem soluções analíticas fechadas, o que provoca a busca de novas alternativas para se
analisar grande parte das estruturas reais. Uma das alternativas é a modelagem
experimental das estruturas e carregamentos, que leva à obtenção de expressões empíricas
de onde se pode estimar . Um outro caminho seria a modelagem numérica do problema,
podendo-se, por meio de técnicas computacionais, chegar ao valor de . Uma terceira
opção seria utilizar a modelagem experimental e numérica em conjunto, que permite
construir modelos computacionais, a partir de dados experimentais, para analisar situações
mais complexas (Pastoukhov e Voorwald, 1995; Cavalcanti, 1997).
IK
IK
IK
2.4 - EXPRESSÕES DE PARA PROBLEMAS COM GEOMETRIA FINITA IK
Serão apresentadas a seguir algumas expressões para o cálculo do fator de intensidade de
tensão que são bastante utilizadas na análise de projetos que envolvem a mecânica da
fratura (Broek, 1988).
O cálculo de para os casos de placa com trinca central, placa com trinca de bordo e
placa com trinca de bordo dupla é feito da seguinte maneira:
IK
aKI πβσ= (2.3)
onde β é o fator de correção geométrica que será expresso para cada caso.
Caso 1 Caso 2 Caso 3
Figura 2.3 (a) – Placa com
trinca central
Figura 2.3 (b) – Placa com
trinca de bordo
Figura 2.3 (c) – Placa com
trinca de bordo dupla
σ
σ
a
W
σ
σ
2a
W
σ
σ
a
W
a
14
onde:
Caso 1 32
2.12152.1256.01
+
−
+=
Wa
Wa
Waβ
Caso 2 432
39.3072.2155.10231.012.1
+
−
+
−=
Wa
Wa
Wa
Waβ
válida para a relação ( )Wa / até 0,6
Caso 3
Wa
Wa
Wa
Wa
Wa
−
−
+
−
−
=1
19.0471.0205.0561.012.1432
β
2.5 - PLASTICIDADE NA PONTA DA TRINCA
Figura 2.4 – Zona plástica na ponta da
trinca
onde:
=pr Comprimento da zona plástica
=YSσ Tensão de escoamento do material
Analisando - se as Expressões em (2.1), de acordo com o que foi explicado anteriormente,
observa-se que as componentes de tensão vão para o infinito ao se aproximarem da ponta
da trinca. Na realidade, porém, tal comportamento das tensões não é verdadeiro, pois
nenhum material seria capaz de suportá-lo.
15
A partir de determinado nível de tensões, a maioria dos materiais estruturais (materiais
dúcteis) se deforma plasticamente. Na região da ponta da trinca, o nível de tensões é
bastante elevado, provocando uma deformação plástica nesse local.
Os conceitos da MFLE são válidos quando as dimensões da zona plástica na ponta da
trinca são pequenas quando comparadas às demais dimensões do problema (Broek, 1988).
É importante comentar que existe uma discussão no meio acadêmico a respeito da maneira
correta de se abordar o tema “mecânica da fratura associada ao comportamento linear
elástico do material”. O termo mais comumente usado é Mecânica da Fratura Linear
Elástica (MFLE), termo este utilizado nesta dissertação, porém alguns pesquisadores
criticam esse termo argumentando que o correto seria Mecânica Elástica Linear da Fratura
(MELF), pois elástica linear é a mecânica e não a fratura.
2.6 – MÉTODOS DE OBTENÇÃO DO FATOR DE INTENSIDADE DE TENSÃO
O critério de Irwin (1957) supõe que a ruptura de um elemento estrutural ocorre quando o
fator de intensidade de tensão (modo I) atinge um valor crítico. O valor crítico do fator
de intensidade de tensão (modo I) é uma propriedade do material e é conhecido como
tenacidade à fratura ou resistência à fratura frágil (Pastoukhov e Voorwald, 1995).
IK
ICK
Em vista disso, o fator de intensidade de tensão representa um parâmetro fundamental
para avaliar a integridade estrutural de uma peça. Existem resultados experimentais e
analíticos tabelados em manuais para diversas geometrias preestabelecidas. À medida que
os conceitos e metodologias de análise se desenvolvem, porém, problemas mais complexos
de mecânica da fratura surgem, de maneira que as soluções presentes em ábacos e manuais
não suprem todas as necessidades de respostas requeridas. Dessa maneira, a partir da
década de 70, a pesquisa de processos numéricos de análise teve um grande impulso. Entre
as ferramentas numéricas existentes nesse período, o método dos elementos finitos, MEF,
apresentou-se como a mais adequada às necessidades dos pesquisadores e analistas
estruturais (Guimarães, 1992 revisto por Medeiros, 2000).
IK
Existem vários métodos de se obter o fator de intensidade de tensão. Foram apresentadas
expressões analíticas que permitem avaliar para algumas situações estruturais IK
16
específicas. Como comentado anteriormente, porém, as soluções analíticas existentes não
atendem a todos os casos. Dessa forma, serão apresentadas algumas técnicas numéricas
que, em concordância com o MEF, estimam o fator de intensidade de tensão para situações
gerais.
2.6.1 – Cálculo de pelo Método da Extrapolação dos deslocamentos IK
Com base nas Equações mostradas em (2.1), o comportamento dos deslocamentos ao longo
de linhas radiais com origem na ponta da trinca pode ser expresso como:
+
−=
2sen
21
2cos
22 θθ
πµkrKu I
X
−
+=
2cos
21
2sen
22 θθ
πµkrKu I
Y
(2.4)
Este método consiste em calcular como função dos deslocamentos nodais ao longo de
uma linha radial que emana da ponta da trinca. Escrevendo, em (2.4), como função dos
deslocamentos e u , tem-se:
IK
IK
Xu Y
=
−
+
+
−
Y
X
I
u
u
rk
k
K πµθθ
θθ
2
2cos
21
2sen
2sen
21
2cos
2
2
(2.5)
Conforme apresentado na Figura 2.5, observa-se que o valor de varia com a distância IK
r e com o ângulo θ com relação à ponta da trinca. Assim, utilizando o MEF para obter os
valores de e para os pontos nodais que se encontram posicionados ao longo da
linha radial com origem na ponta da trinca, plotam-se os valores de em função da
distância
Xu Yu
IK
r . Desprezando os resultados obtidos de pontos nodais muito próximos à ponta
da trinca, pode-se extrapolar o valor de para IK 0=r .
17
Figura 2.5 – Extrapolação de K com base nos deslocamentos
A grande vantagem da utilização dessa técnica está em sua simplicidade, uma vez que se
podem utilizar as rotinas convencionais da análise elástica bidimensional via MEF. Os
deslocamentos e são as únicas incógnitas da Equação (2.5), sendo estes calculados
por meio do MEF.
Xu Yu
Entre as desvantagens, pode-se citar o inconveniente de se precisar posicionar os
elementos finitos de uma maneira que estes sejam vizinhos à linha radial que emana da
ponta da trinca. Além disso, devido à necessidade de utilização da técnica de extrapolação
linear, espera-se que os resultados obtidos não tenham muita precisão comparados às
demais metodologias de obtenção de como, a integral – J, visto que pequenas IK 18
alterações nos valores calculados dos deslocamentos podem levar a um valor final de
distante do real (Cavalcanti, 1997; Medeiros, 2000).
IK
2.6.2 – Cálculo de pelo Método da Integral – J IK
Rice (1968a) utilizou uma integral de contorno para determinar a alteração na energia total
do sistema causada pela existência de defeitos em materiais elásticos. Para problemas em
regime linear elástico, o valor da integral – J relaciona-se diretamente com o fator de
intensidade de tensão. Além disso, o conceito da integral – J permite estender a teoria da
mecânica da fratura para os casos em que a consideração de análise linear elástica deixa de
ser válida (Ewalds e Wanhill, 1984).
A avaliação da integral – J é o foco principal desse trabalho. Dessa maneira, no capítulo 3,
será mostrada com detalhes a metodologia para a análise de estruturas trincadas utilizando
o método da integral – J.
19
3 - FUNDAMENTOS TEÓRICOS SOBRE A INTEGRAL – J
3.1 – INTRODUÇÃO
Este capítulo mostra a formulação original da integral – J juntamente com sua abordagem
numérica, além de apresentar a metodologia que será utilizada para problemas com
solicitações cíclicas.
3.2 - FORMULAÇÃO ORIGINAL
A integral - J foi proposta no trabalho de Rice (1968a), que utilizou uma integral de linha
para descrever a variação da energia total do sistema causada pela aplicação de forças em
estruturas trincadas.
Utilizando-se a integral - J, os conceitos da mecânica da fratura podem ser aplicados em
problemas em que a análise linear elástica não é válida (Ewalds e Wanhill, 1984).
A integral – J, associada a cargas monotônicas para problemas em duas dimensões, é
escrita da seguinte maneira:
∫Γ
∂∂
−= dsxutUdyJ
(3.1)
onde:
∫ ⇒=ε
εσ0
dU Densidade de energia de deformação;
σ e =ε Componentes de tensão e deformação, respectivamente;
=t Vetor de trações de superfície definido no plano da normal n;
=u Componentes do vetor deslocamento;
=ds Elemento infinitesimal de arco ao longo do caminho Γ .
Os termos da Equação (3.1) podem ser escritos de forma matricial:
[ ]
=
XY
YY
XX
XYYYXX
εεε
σσσσε2
21 ; t ; [ ]
=
XY
Y
X
XYYYXX
nnn
n0
0σσσ
∂∂
∂∂
=∂∂
xu
xu
xu
Y
X
(3.2)
20
Conforme apresentado na Figura 3.1 e com o auxílio dos termos escritos na forma
matricial mostrados na Equação (3.2), a integral de contorno (3.1) pode ser obtida por meio
do método dos elementos finitos. Posicionando-se adequadamente os elementos ao longo
do caminho , calcula-se o valor da integral - J fazendo-se o somatório dos valores
parciais obtidos elemento a elemento (Cavalcanti, 1997).
Γ
[ ] [ ] Γ
∂∂
∂∂
−
=∑∫
= Γ
dx
ux
u
nnn
ndyJ
N
i i Y
X
XY
Y
X
XYYYXX
XY
YY
XX
XYYYXX1
00
221 σσσ
εεε
σσσ (3.3)
Os valores das parcelas xuX ∂∂ e xuY ∂∂ , denominados sensibilidade do deslocamento,
podem ser determinados de várias maneiras. O modo mais simples é sua avaliação por
meio do método das diferenças finitas.
Figura 3.1 – Caminho ao longo do qual a integral - J é calculada
Conforme mostrado por Ewalds e Wanhill (1984), a integral - J é independente do caminho
quando tomada ao longo de qualquer caminho Γ , portanto pode-se adotar um contorno
circular com raio r e seu centro localizado na ponta da trinca. Para esse caso,
( )( )θsenry = , então ( )( )( )θθ dr cos=dy e ( )( )θdrds = . Assim, a Expressão (3.1) torna-se:
θθεσπ
π
ε
rdxutdJ ∫ ∫
−
∂∂
−
= cos
0
(3.4)
21
Analisando cada termo da Expressão (3.4), tem-se:
( )σεθαεσε
10
=∫ d ( )
( )εθσθ
2
1
cxuct
=∂∂=
( ) ( ) ( )σεθασεθθ 221 ==∂∂
⇒ ccxut
(3.5)
onde: ( )θα1 , ( )θα2 , ( )θ1c , ( )θ2c são valores constantes para um valor de θ
determinado.
Substituindo (3.5) em (3.4) e desenvolvendo, tem-se:
( ) ( ) ( ) θθσεαθθσεαπ
π
rdJ ∫−
−= 21 cos (3.6)
( ) ( ) rQrFdfrJ ... σεθσεθθσεπ
π
π
π
===−−
∫ (3.7)
Para rx = e , tem-se: 0=y
QrJ rrεσ= (3.8)
Usando a equação de Ramberg – Osgood para a curva tensão – deformação Fnσε =
(onde é o módulo plástico e n é o expoente de encruamento do material. O módulo
plástico é simplesmente o módulo de elasticidade
F
E elevado ao expoente ), chega-se a: n
FQrJ n
r1+= σ
(3.9)
11
+
=
n
r rQFJσ
(3.10)
Considerando comportamento linear elástico ( 1=n e EF = ), obtém-se:
22
rQEJ
r =σ (3.11)
Comparando a Expressão (3.11) com a Expressão (2.1) para rx = e 0=θ , observa-se
que:
π2=Q e EJKI = (3.12)
Portanto, em regime linear elástico, o valor da integral - J relaciona-se diretamente com o
fator de intensidade de tensão K (Broek, 1988). Para o modo I de carregamento, tem-se a
seguinte relação:
+==
kJJEKI 1
8' µ (3.13)
onde: ='E E e ='E ( )21 υ−E respectivamente para os estados planos de tensão e de
deformação;
Rice (1968b) desenvolveu uma alternativa, baseada em métodos variacionais, equivalente à
integral de contorno mostrada na Expressão (3.1). A integral - J pode ser calculada pela
variação da energia potencial em relação ao crescimento do comprimento da trinca . Π a
dadJ Π
−= (por unidade de espessura do sólido) (3.14)
3.3 - INTEGRAL – J PARA CARREGAMENTOS CÍCLICOS ( )J∆
Os tópicos (3.3) e (3.4) deste trabalho foram baseados na revisão bibliográfica feita por
Maneschy (1998).
Uma das primeiras formulações analíticas/numéricas desenvolvida para a determinação de
foi proposta por Lamba (1975) da seguinte maneira: J∆
23
( ) ( )∫
∂∆∂
∆−∆=∆ dsxutdyUJ m
mmnε (3.15)
onde:
( ) ( )⇒∆∆=∆ ∫∆ mn
mnmnmn dUε
εσε0
Variações na densidade da energia de deformação durante o
ciclo de carga;
mnσ∆ e =∆ mnε Variações nas componentes dos tensores de tensão e deformação;
=∆ mt Variações nas componentes do vetor de trações de superfície;
=∆ mu Variações nas componentes do vetor deslocamento;
=ds Elemento infinitesimal de arco ao longo do caminho Γ .
Conforme mostrado para o caso das solicitações monotônicas, Lamba (1975) provou que a
Equação (3.15) também independe do caminho por meio do qual é calculada.
Tanaka (1983) concluiu que, em regime linear elástico, a expressão proposta por Lamba
(1975) pode ser determinada de modo similar ao caso monotônico, ou seja, pode-se obter
em função da variação do fator de intensidade de tensões J∆ K∆ . Assim,
( )''
2minmax
2
EKK
EKJe
−=
∆=∆
(3.16)
onde: e são fatores de intensidade de tensões referentes, respectivamente, às
tensões máximas e mínimas de um determinado ciclo de carregamento.
maxK minK
De acordo com Maneschy (1998), a validade da Expressão (3.16) só é confirmada para
valores baixos de R ( maxmin )σσ= . Tal validação também foi confirmada nesta
dissertação.
O cálculo de ∆ conforme proposto por Lamba (1975) e Tanaka (1983) foi questionado
por Chow e Lu (1991) uma vez que a Equação (3.15) não considera toda a energia
disponível para propagar a trinca. Portanto, para o regime linear elástico, Chow e Lu
(1991) mostraram que pode ser calculado da seguinte forma:
J
J∆
24
'
2min
2max
EKKJe
−=∆
(3.17)
Em presença de plasticidade elevada, o cálculo de J∆ não pode ser obtido de maneira
análoga ao caso linear elástico pois minmax JJJ −≠∆ . Assim, faz-se necessário
acompanhar a história das deformações na região próxima à ponta da trinca.
Existem equações encontradas em referências de mecânica da fratura elastoplástica, como
o manual do EPRI (apud Maneschy, 1998), que avaliam J∆ a partir de fórmulas para J
aplicadas aos casos monotônicos, denominadas monJ∆ , sendo tais equações utilizadas na
prática pela indústria. Segundo Maneschy (1998), em presença de plasticidade elevada, a
utilização de , para estimar o crescimento de trincas, leva a resultados bastante
conservadores.
monJ∆
3.4 - CÁLCULO DE J∆
Como comentado anteriormente, Rice (1968b), a partir do princípio dos trabalhos virtuais,
obteve a representação da integral – J em termos de energia. Na ausência de forças de
corpo, a energia potencial Π pode ser escrita da seguinte forma:
∫∫Γ
−=Π dsutUdA mmA
(por unidade de espessura do sólido) (3.18)
onde Área do corpo; demais termos já foram definidos anteriormente. =A
Conforme revisto por Maneschy (1998) e mostrado na Equação (3.14), a integral – J pode
ser obtida pela relação entre a variação de energia Πd e a variação no comprimento de
trinca , da dadJ Π−= (a variação de energia é calculada subtraindo a energia
armazenada em uma estrutura que possui uma trinca de comprimento a da energia
armazenada na mesma estrutura com comprimento de trinca a da+ ).
Para a situação monotônica e considerando uma estrutura submetida a um deslocamento
“d”, tem-se que o valor da integral – J é obtido por meio da variação da energia de
deformação calculado com as trincas a e U daa + , conforme mostrado na Figura 3.2
25
(quando uma estrutura trincada é submetida a um deslocamento “d”, o segundo termo da
Equação (3.18) é nulo pois não há aplicação de força externa).
Figura 3.2 – Energia de deformação para o cálculo da integral – J quando o carregamento é
monotônico (Maneschy, (1998) Modificado)
Para a situação com carregamento cíclico caracterizado pela aplicação de deslocamentos
máximos e mínimos, dMAX e dMIN, respectivamente, obtém-se o valor de utilizando o
conceito da integral – J desenvolvido por Rice (1968b) e adaptado por Dowling e Begley
(1976) para os casos de cargas cíclicas com abordagem numérica desenvolvida por
Maneschy (1998).
J∆
Para os casos em que o material tem comportamento linear elástico, as curvas F x d
associadas aos tamanhos de trinca e a daa + são mostradas na Figura 3.3.
O valor de , para esse caso, é obtido pela área ABCD dividida por : J∆ da
daareaJ ABCD=∆ (por unidade de espessura do sólido)
(3.19)
A área ABCD representa a diferença entre as energias de deformação para uma estrutura
com trinca a e . daa +
26
Figura 3.3 – Energia de deformação para o cálculo de J∆
Caso linear elástico (Maneschy, (1998) Modificado)
Para os casos em que o material tem comportamento elastoplástico, as curvas F x d
associadas se encontram na Figura 3.4.
Figura 3.4 – Energia de deformação para o cálculo de J∆
Caso elastoplástico (Maneschy, (1998) Modificado)
O valor de , para esta situação, é calculado da seguinte forma: J∆
daareaareaJ FEHGFEHG '''''''''''' −
−=∆ (por unidade de espessura do sólido) (3.20)
27
Para a trinca de comprimento , a energia de deformação é obtida pela área definida pelo
laço de histerese G’H’E’ e pelo segmento de reta paralelo ao eixo dos deslocamentos, que
passa pela ponta inferior do laço, limitado por dMAX e dMIN. A energia de deformação para a
trinca de comprimento é obtida de maneira idêntica.
a
daa +
O parâmetro representa, fisicamente, a energia por unidade de espessura necessária
para estender a trinca em cada ciclo de carga.
J∆
28
4 - MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS (MEF) APLICADO À
MECÂNICA DA FRATURA
4.1 - INTRODUÇÃO
No decorrer deste capítulo, será mostrada, de maneira simplificada, a teoria geral de
elementos finitos aplicada à elasticidade bidimensional, que é utilizada na abordagem de
problemas de mecânica da fratura nesta dissertação, baseada nos trabalhos de Brebbia e
Connor (1973). Além disso, será apresentado o modelo de elementos finitos, desenvolvido
por Barsoum (1976), que leva em consideração os campos de tensões singulares existentes
na ponta de trincas.
4.2 – DESENVOLVIMENTO DA FORMA FRACA
Considerando as equações de equilíbrio e as condições de contorno em elasticidade 2D,
tem-se:
ubyx XXYXX &&ρσσ
=+∂
∂+
∂∂
vbyx YYYXY &&ρσσ
=+∂∂
+∂
∂
(4.1)
onde:
Xb e b são as componentes das forças de corpo nas direções x e y, respectivamente; Y
u&& e são as acelerações nas direções x e y, respectivamente; v&&
ρ é a massa específica.
A Expressão (4.1) é a equação de equilíbrio geral para problemas de elasticidade em 2D.
Na análise estática, as acelerações, presentes nos termos do lado direito do sinal de
igualdade, são nulas. As condições de contorno são:
ii uu = (Deslocamento)
ii PP = (Tensões de Superfície)
(4.2)
29
Usando as Equações (4.1) e as condições de contorno (4.2), escreve-se uma expressão de
Galerkin, conhecida como Resíduos Ponderados.
=Ω
−+
∂∂
+∂
∂+Ω
−+
∂∂
+∂
∂∫∫ vdvb
yxudub
yx YYYXY
XXYXX δρσσδρσσ
&&&&
( ) ( ) Γ−++−+∫ dvPnnuPnn YYYYXXYXYXYXXX δσσδσσ
(4.3)
onde:
Xn e são cossenos diretores; Yn
uδ e vδ são funções de peso;
Ω representa o domínio do problema;
Γ representa o contorno do problema.
Na Equação (4.3), as expressões dentro dos parênteses são iguais a zero para valores exatos
de tensão e deslocamentos em uma estrutura. No caso de aproximações numéricas, os
valores não são exatamente zero, tendo-se, assim, um resíduo.
Integrando por partes ( )∫∫ −= vduuvudv os termos da Equação (4.3), tem-se:
∫ ∫ ∫ Ω∂∂
−Γ=Ω∂
∂ dxuudnud
x XXXXXXX δσδσδσ
∫ ∫ ∫ Ω∂∂
−Γ=Ω∂
∂ dyuudnud
y XYYXYXY δσδσδσ
∫ ∫ ∫ Ω∂∂
−Γ=Ω∂
∂ dxvvdnvd
x XYXXYXY δσδσδσ
∫ ∫ ∫ Ω∂∂
−Γ=Ω∂∂ d
yvvdnvd
y YYYYYYY δσδσδσ
(4.4)
Substituindo os valores de (4.4) em (4.3), cancelando os termos que aparecem nos dois
lados da igualdade e ajustando os sinais, obtém-se:
30
( ) =Ω++Ω
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
∫∫ dvvuudyv
xv
yu
xu
YYXYXYXX δρδρδσδσδσδσ &&&&
( ) ( )∫∫ Ω++Γ+ dvbubdvPuP YXYX δδδδ
(4.5)
Sabendo que as relações deformação-deslocamento são:
xu
XX ∂∂
=ε ; yv
YY ∂∂
=ε e xv
yu
XY ∂∂
+∂∂
=γ (4.6)
e considerando o caso estático ( 0)== vu &&&& , obtém-se:
[ ] =Ω++∫ dYYYYXYXYXXXX δεσδγσδεσ
( ) ( )∫∫ Ω++Γ+ dvbubdvPuP YXYX δδδδ
(4.7)
A Equação (4.7) é conhecida como Forma Fraca de Elementos Finitos para Problemas de
Elasticidade.
Para obter as matrizes de elementos finitos, precisa-se das funções de forma dos elementos.
4.3 – FUNÇÃO DE FORMA
A função de forma de elementos finitos expressa os valores das incógnitas em qualquer
posição num elemento em termos de valores nodais. Dessa maneira, pode-se escrever:
∑= niiuu φ (4.8)
onde: Incógnita; =u =iφ Função de forma de elementos finitos; u Valores nodais a
serem calculados.
=ni
A Expressão (4.8) é chamada de aproximação de elementos finitos. Quando substituído na
forma fraca, permite fazer diferenciações e, posteriormente, executar as integrações para
obter as equações matriciais.
31
A função de forma é uma relação geométrica, depende do número e posição dos nós no
elemento.
4.4 – ELASTICIDADE BIDIMENSIONAL: ESTADOS PLANOS DE
DEFORMAÇÕES E DE TENSÕES
Com base na forma fraca bidimensional apresentada na Equação (4.7), considerando a
transposta das matrizes e lembrando que
εσ D= (4.9)
onde é a matriz elástica (3x3), D
pode-se escrever:
( ) ( ) ( ) Γ+Ω=Ω ∫∫∫ dPudbudD TTT δδεδε (4.10)
onde:
=
XY
YY
XX
γεε
ε u b
=vu
=Y
X
bb
=Y
X
PP
P
Para Estado Plano de Tensões, tem-se que a matriz é: D
( )
−−=
2100
0101
1 2 υυ
υ
υED
(4.11)
onde: =E Módulo de Elasticidade do Material; =υ Coeficiente de Poisson do Material.
Para Estado Plano de Deformações, faz-se a seguinte transformação:
( )21'
υ−=
EE υ
υυ−
=1
' (4.12)
32
sabendo que
nXX u
xxu
∂∂
=∂∂
=φε
nYY v
yyv
∂∂
=∂∂
=φε
nnXY v
xu
yxv
yu
∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
=φφγ
nXX u
xxu δφδδε
∂∂
=∂∂
=
nYY v
yyv δφδδε
∂∂
=∂∂
=
nnXY v
xu
yxv
yu δφδφδδδγ
∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
=
(4.13)
onde: =φ Função de forma do elemento.
Escrevendo as Expressões (4.13) de forma matricial, tem-se:
∂∂∂∂∂∂
∂∂=
= n
n
XY
YY
XX
vu
xyy
x
φφφ
φ
γεε
ε 00
ou
nBu=ε
(4.14)
Considerando a matriz transposta, tem-se
[ ]
∂∂∂∂∂∂∂∂
=xyyx
vu nnT
φφφφ
ε0
0 ou
TTnT Bu=ε
(4.15)
Dessa maneira:
33
( ) ( )∫∫ Ω=Ω nTTT udDBBudD .δεδε ou
[ ]( )
Ω
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
−
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
−= ∫ n
nnn
vu
d
xy
y
x
xy
yxvuE
φφ
φ
φ
υυ
υ
φφ
φφ
δδυ
0
0
.
2100
0101
.0
0
1 2
(4.16)
A matriz de rigidez ( )K de elementos finitos é representada da seguinte maneira:
( ) Ω= ∫ dDBBK T (4.17)
Para se calcular a matriz de rigidez ( )K , é necessário obter x∂∂φ e y∂∂φ para o
elemento e depois integrar sobre sua área.
4.5 – ELEMENTO FINITO ISOPARAMÉTRICO DE OITO NÓS
Elementos finitos isoparamétricos são utilizados em problemas que possuem geometrias
com espaços arbitrários, ou seja, faz-se necessário ajustar a geometria do elemento à
geometria do espaço em questão.
Utilizam-se as mesmas funções de forma para modelar tanto as incógnitas do problema
quanto sua geometria.
Cada elemento isoparamétrico é baseado em um elemento original sem distorção.
Para expressar os valores das incógnitas, utiliza-se a Expressão (4.8), mostrada
anteriormente. Para se expressar a geometria do problema, utiliza-se:
∑= nii xx φ ∑= n
ii yy φ (4.18)
onde: e são as coordenadas nix n
iy x e dos nós do elemento. y
Dessa maneira, os nós se tornam independentes uns dos outros. A Figura 4.1 mostra o
elemento isoparamétrico retangular de oito nós original, com sua conectividade. 34
Figura 4.1 – Elemento Finito Isoparamétrico de 8 nós
Como será mostrado adiante, esse elemento foi modificado por Barsoum (1976) com a
finalidade de modelar um elemento finito capaz de representar a singularidade de tensões
que se apresenta na ponta da trinca, conforme Expressões (2.1).
As funções de forma do elemento isoparamétrico retangular de oito nós original em
coordenadas locais são:
( )( )( 11141
−+++= iiiii ηηξξηηξξφ ) nós 1, 2, 3, 4
( )( )21121 ηξξφ −+= ii nós 6, 8
( )( )21121 ξηηφ −+= ii nós 5, 7
(4.19)
onde: 11 ≥≥− ξ ; − 11 ≥≥η
Para este tipo de elemento é mais conveniente trabalhar com as coordenadas transformadas
do sistema global para o sistema ( yx, ) ( )ηξ , local, o que leva à necessidade de se
adaptarem algumas equações do problema.
A matriz Jacobiano é escrita da seguinte forma:
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
∂∂
∂∂
y
xyx
yx
φ
φ
ηη
ξξ
ηφ
ξφ
(4.20)
35
onde:
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
ηη
ξξyx
yxJ det (4.21)
Invertendo, tem-se:
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂−
∂∂−
∂∂
=
∂∂
∂∂
ηφ
ξφ
ξη
ξηφ
φ
xx
yy
Jy
x 1 (4.22)
Assim:
∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
=∂∂
ηφ
ξξφ
ηφ yy
Jx1
(4.23)
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
−=∂∂
ηφ
ξξφ
ηφ xx
Jy1
(4.24)
∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
=ξηηξyxyxJ
(4.25)
Substituindo as Expressões mostradas em (4.18) nas Expressões (4.23), (4.24) e (4.25),
chega-se a:
∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
=∂∂
ηφ
ξφ
ξφ
ηφφ nn yy
Jx1
(4.26)
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
−=∂∂
ηφ
ξφ
ξφ
ηφφ nn xx
Jy1
(4.27)
∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
= nnnn yxyxJξφ
ηφ
ηφ
ξφ
(4.28)
36
Para se calcular a matriz de rigidez ( )K do elemento, também é preciso utilizar J nas
integrais:
∫∫ ∫∫= ηξddJdA (4.29)
4.6 – ELEMENTO FINITO MODIFICADO DE BARSOUM (Barsoum, 1976)
Com o objetivo de obter um elemento capaz de representar a singularidade do campo de
tensões na ponta da trinca, conforme visto nas Expressões (2.1), Barsoum (1976) moveu o
nó intermediário dos lados adjacentes à ponta da trinca para a posição de nó a um quarto
(quarter point), considerando como início do lado o nó posicionado na ponta da trinca,
conforme observado na Figura 4.2.
Figura 4.2 – Elemento Finito Isoparamétrico
de 8 nós modificado por Barsoum (1976)
onde:
ξ = 1 (nós 2, 3, 6) η = 1 (nós 3, 4, 7)
ξ = 0 (nós 5, 7) η = 0 (nós 6, 8)
ξ = -1 (nós 1, 4, 8) η = -1 (nós 1, 2, 5)
O elemento finito modificado por Barsoum possui as mesmas funções de forma do
elemento isoparamétrico de oito nós original mostradas nas Expressões (4.19).
A singularidade de tensões ocorre nos lados 1-5-2 e 1-8-4. Considerando o lado 1-5-2, será
apresentado a seguir o comportamento das tensões tanto estando o nó intermediário no
meio do lado ( )215 Lx = , quanto estando o nó intermediário na posição quarter point
( )415 Lx = .
As funções de forma ao longo do lado 1-5-2 ( )1−=η são:
37
( ξξφ −−= 121
1 ) ; ( ξξφ += 121
2 ); 25 1 ξφ −=
(4.30)
A representação do deslocamento é feita de acordo com a Expressão (4.8):
( ) ( ) [ ] 52
21 11211
21 uuuuu ii ξξξξξφ −+
++
−−== ∑
(4.31)
Reordenando a Expressão (4.31) na potência de ξ , chega-se a:
( ) ( ) 2521125 2
121 ξξ
−++−+= uuuuuuu
(4.32)
Como a representação é isoparamétrica, tem-se também:
( ) ( ) 2521125 2
121 ξξ
−++−+= xxxxxxx
(4.33)
Para o nó intermediário no meio do elemento e considerando como o comprimento do
lado do elemento, tem-se:
L
01 =x ; 25Lx = ; Lx =2
(4.34)
A relação entre a posição no elemento ( )r e a variável ξ fica:
( ) ( ) 2521125 2
121 ξξ
−++−+= xxxxxxx
(4.35)
( ) ( ) 2
20
210
21
2ξξ
−++−+=
LLLLr (4.36)
1221
2−=→+=
LrLLr ξξ
=→=
=→=
−=→=
1
02
10
ξ
ξ
ξ
Lr
Lr
r
(4.37)
38
12−=
Lrξ
(4.38)
Substituindo a Expressão (4.38) na formulação do deslocamento mostrada em (4.32),
chega-se a:
( ) ( ) 2
2
5215121 42243Lruuu
Lruuuuu −+++−−+=
(4.39)
Diferenciando a Expressão (4.39), obtém-se uma expressão linear para a deformação no
elemento:
( ) ( ) 2521512 844143Lruuu
Luuu
drdu
−+++−−==ε (4.40)
Sob condições elásticas lineares, as tensões são linearmente relacionadas às deformações,
portanto a distribuição de tensões também será linear em r .
Considerando agora que o nó intermediário seja movido para a posição quarter point, tem-
se:
01 =x ; 45Lx = ; Lx =2
(4.41)
A relação entre a posição no elemento ( )r e a variável ξ fica:
( ) ( ) 2521125 2
121 ξξ
−++−+= xxxxxxx
(4.42)
( ) ( ) 2
40
210
21
4ξξ
−++−+=
LLLLr (4.43)
2
41
21
4ξξ LLLr ++=
(4.44)
39
( ) ( )22 14
214
ξξξ +=++=LLr
(4.45)
( ) 121214 2 −=→−=→+=LLr
Lr
Lr ξξξ
=→=
=→=
−=→=
1
04
10
ξ
ξ
ξ
Lr
Lr
r
(4.46)
12−=
LLrξ
(4.47)
Substituindo a Expressão (4.47) na formulação do deslocamento mostrada em (4.32),
chega-se a:
( ) ( )Lruuu
LLruuuuu 5215121 42243 −+++−−+=
(4.48)
Diferenciando a Expressão (4.48), obtém-se a seguinte expressão para a deformação no
elemento:
( )L
uuuLr
uuudrdu 142212
23
21
521512 −++
+−−==ε
(4.49)
Assim, com o nó intermediário do elemento movido para a posição quarter point, o
comportamento das deformações e, conseqüentemente, das tensões apresenta a
singularidade desejada r1 na ponta da trinca.
Outra vantagem desse elemento é que ele pode ser colapsado de modo a se transformar em
um triângulo de seis nós (colapso dos nós 1-8-4 – Figura 4.2), sem alterar suas funções de
forma. O elemento triangular tem a possibilidade de se posicionar na ponta da trinca
inscrito numa circunferência, como indicado na Figura 4.3, o que facilita o cálculo da
integral - J por meio do método dos elementos finitos.
Os elementos colapsados e não colapsados podem ser utilizados em uma mesma malha de
elementos finitos sem nenhum problema de acoplamento, o que permite que na ponta da
40
trinca sejam utilizados elementos triangulares e no restante da malha sejam utilizados
elementos isoparamétricos de oito nós comuns.
Figura 4.3 – Exemplos de elementos singulares colapsados (ANSYS User’s Manual, 1995)
41
5 – ASPECTOS COMPUTACIONAIS E SOLUÇÃO NUMÉRICA
5.1 – INTRODUÇÃO
Este capítulo tem como objetivo discutir a parte numérica computacional utilizada neste
trabalho para calcular a integral - J. Dessa maneira esse capítulo foi dividido em três partes
principais. A primeira apresenta a solução por elementos finitos no qual são mostrados os
detalhes dos modelos estruturais, a descrição dos elementos e a metodologia utilizada para
obter a curva F x d. A segunda descreve o programa computacional que foi utilizado para
calcular J e . A terceira fornece algumas explicações a respeito das macros do
programa ANSYS utilizadas neste trabalho.
J∆
5.2 – ARQUITETURA DA METODOLOGIA UTILIZADA PARA OBTER A
INTEGRAL – J VIA MÉTODO DA ENERGIA
O diagrama apresentado na Figura 5.1 ilustra a metodologia utilizada para obter os
parâmetros J e por meio do método da energia. J∆
Figura 5.1 – Metodologia utilizada para obter a integral – J ( J e J∆ ) via método da
energia
42
A Figura 5.1 mostra dois blocos que ilustram a maneira de se executar a metodologia de
cálculo da integral – J utilizando o método da energia. O bloco 1 esquematiza a análise
preliminar que deve ser feita para obter a curva Força x Deslocamento (F x d) da estrutura
trincada a ser avaliada. Nesta dissertação, essa análise será feita usando o método dos
elementos finitos (MEF) por meio do código ANSYS. Nessa etapa, além de se definir o
modelo estrutural (placa com trinca central, placa com trinca de bordo, placa com trinca de
bordo dupla, etc), parâmetros como propriedades do material e tipo de carregamento
(monotônico ou cíclico) também são fixados. O bloco 2 ilustra o cálculo da integral – J por
meio de um programa feito em linguagem FORTRAN que utiliza a curva F x d, obtida no
bloco 1, para avaliar J e das estruturas desejadas. J∆
5.3 – DETALHAMENTO DA ETAPA DE ANÁLISE VIA MEF (BLOCO 1)
O cálculo de elementos finitos é executado por meio do programa ANSYS 5.4. O modelo
estrutural analisado é definido nesse momento. Os tipos de elementos selecionados, da
biblioteca do ANSYS, para analisar os problemas de mecânica da fratura e fadiga neste
trabalho foram o PLANE82 e o PLANE2 que correspondem, respectivamente, ao elemento
isoparamétrico bidimensional de 8 nós, mostrado na Figura 4.1, e ao elemento
isoparamétrico bidimensional triangular de 6 nós, ambos tendo como graus de liberdade
para cada nó as translações nas direções x e y. A malha de elementos finitos é construída
de maneira automática pelo ANSYS. Explicações mais detalhadas serão escritas adiante.
Conforme mencionado no capítulo 4, uma grande vantagem do elemento PLANE82 é que
ele pode ser colapsado de modo a se transformar no elemento PLANE2 sem alterar suas
funções de forma. Em alguns exemplos deste trabalho utilizou-se o elemento PLANE2 em
toda a malha da estrutura enquanto, em outros exemplos, optou-se por usar o elemento
PLANE2 apenas na região próxima a ponta da trinca e o PLANE82 no restante da estrutura
conforme apresentado na Figura 3.1. Vale ressaltar que os resultados obtidos tanto
utilizando o elemento PLANE82 quanto utilizando o elemento PLANE2 foram muito
próximos entre si para um número de nós equivalente.
De acordo com a revisão bibliográfica apresentada no capítulo 2, sabe-se que estruturas
trincadas estão sujeitas à concentração de tensões nas regiões próximas à ponta da trinca,
dessa maneira, conforme mostrado no capítulo 4, o elemento finito modificado por
43
Barsoum (1976), apresentado nas Figuras 4.2 e 4.3, também será utilizado e comparado
com o elemento finito comum. Os elementos PLANE82 e PLANE2 têm a característica de
poderem se comportar tanto como elementos sem singularidade de tensões (sem quarter
point) quanto como elementos com singularidade de tensões na ponta da trinca (com
quarter point).
Os modelos estruturais utilizados nesta dissertação foram o painel com trinca central, o
painel com trinca de bordo e o painel com trinca de bordo dupla. Para os três modelos
foram obtidos valores de J aplicando-se tensão. Os valores de J foram calculados de
duas maneiras, pelo método da energia e por sub-rotinas (macros) internas do ANSYS
(detalhadas adiante) e foram comparados com valores obtidos de expressões da literatura.
Transientes térmicos em estruturas nucleares são importantes fontes de fadiga. A condição
de deslocamento imposto como carregamento representa os efeitos de temperatura em
sólidos de uma forma bastante adequada. Dessa maneira, estudou-se o comportamento de
J para um painel com trinca central por meio do método da energia e, também, das
macros do ANSYS. A Figura 5.2 mostra um exemplo de painel com trinca central sendo
submetido à condição de deslocamento imposto.
Figura 5.2 – Exemplo de painel com trinca central submetido à condição de carregamento
imposto
44
Além disso, analisou-se o comportamento de J∆ para um painel com trinca central por
meio do método da energia. Tais resultados também foram comparados com resultados
obtidos por expressões da literatura. Para todos os casos analisados os estudos foram
efetuados considerando comportamento linear elástico e elastoplástico do material.
As Figuras 5.3 e 5.4 mostram com detalhes a região destacada em vermelho na Figura 5.2.
Observa-se, com a ajuda das condições de contorno, que os elementos próximos à ponta da
trinca, na Figura 5.3, são elementos com quarter point e, na Figura 5.4, sem quarter point.
Figura 5.3 – Detalhe da região próxima à ponta da trinca (elementos com quarter point)
Figura 5.4 – Detalhe da região próxima à ponta da trinca (elementos sem quarter point)
Conforme recomendação indicada no manual do ANSYS, a malha de elementos finitos na
região próxima à ponta da trinca deve ser circular com centro na ponta da trinca. O
primeiro círculo, formado pelos elementos triangulares, deve ter raio de tamanho
aproximadamente igual a 8a , onde é o comprimento da trinca. O ângulo interno de a
45
cada elemento triangular, referente ao vértice coincidente com a ponta da trinca, deve ter
aproximadamente 30°, ou seja, a discretização deve ser formada por aproximadamente seis
elementos triangulares em volta da ponta da trinca.
Sobre os painéis estruturais, é importante comentar como foram modelados
numericamente. Devido à existência de simetria com relação aos eixos x e y, os painéis
estruturais foram modelados considerando-se apenas parte de sua estrutura. Para os nós
localizados sobre cada eixo de simetria, é imposta a condição de deslocamento nulo, com
exceção dos nós localizados ao longo do comprimento da trinca. Em relação aos painéis
com trinca central e trinca de bordo dupla, apenas um quarto da estrutura é modelada
devido à existência de dois eixos, x e y, de simetria. A Figura 5.2 mostra um exemplo de
placa com trinca central. O painel com trinca de bordo tem metade de sua estrutura
modelada. Para esse caso, a simetria só se apresenta com relação ao eixo x. As Figuras 5.5
e 5.6 apresentam exemplos de painéis com, respectivamente, trinca de bordo e trinca de
bordo dupla.
Figura 5.5 – Exemplo de painel com trinca
de bordo (Elemento PLANE2)
Figura 5.6 – Exemplo de painel com trinca
de bordo dupla (Elemento PLANE82)
46
A curva F x d é gerada com as forças e deslocamentos capturados na face superior da
estrutura analisada (as Figuras 5.5 e 5.6 apresentam uma linha em vermelho na face
superior das respectivas estruturas). Neste trabalho, as cargas sempre foram aplicadas na
face superior da placa na direção perpendicular ao plano da trinca (modo I), conforme
mostrado nas Figuras 5.1 e 5.2. Para o caso de tensão (σ ) aplicada, automaticamente
obtém-se o valor da força equivalente (F) aplicada simplesmente multiplicando a área da
face superior da placa pelo valor de σ , enquanto o deslocamento é capturado diretamente
do programa ANSYS nos dois nós extremos da face superior da placa, conforme
apresentado nas Figuras 5.5 e 5.6, obtendo-se a média de seus valores para obter o valor de
“d” (foram realizados testes capturando valores de deslocamento em até dez nós da face
superior das placas estudadas obtendo poucas alterações nos resultados). Para o caso de
deslocamento “d” aplicado, o valor de σ é que passa a ser capturado diretamente do
programa ANSYS nos dois nós extremos da face superior da placa.
Para se garantir a precisão numérica, em especial na análise elastoplástica, é necessário que
o carregamento seja aplicado incrementalmente. Neste trabalho, o carregamento foi
aplicado dividindo-se o valor total da solicitação em no mínimo dez passos de carga com
incrementos idênticos, sendo os deslocamentos e tensões registrados em cada um dos
passos. O ANSYS utiliza o método iterativo de Newton-Raphson para verificar a
convergência da solução final de cada passo.
As curvas F x d obtidas nas análises com as trincas e a daa + são armazenadas em um
arquivo de entrada de dados, conforme será visto adiante, para posterior processamento.
5.4 – DETALHAMENTO DA ETAPA DE CÁLCULO DE J E J∆ (BLOCO 2)
Os valores de J e J∆ são calculados utilizando-se a técnica da extensão virtual da trinca.
Essa metodologia consiste em realizar duas análises, a primeira considerando o modelo
com comprimento de trinca e a segunda com tamanho de trinca . Para cada
modelo, obtém-se a curva F x d. De posse das duas curvas F x d, aplica-se a metodologia
apresentada no capítulo 3 para obter
a daa +
J e J∆ . Neste trabalho, utilizou-se da . Tal
valor de foi escolhido devido ao fato de já ter sido testado por Maneschy (1998) com
bons resultados. Outros valores de não foram analisados neste trabalho. Os valores de
a005,0=
da
da
J também foram obtidos por meio de macros do ANSYS. Esse procedimento será
comentado adiante.
47
O cálculo de J e J∆ é realizado com a ajuda de um programa computacional, feito em
FORTRAN, produzido exatamente para essa finalidade. O diagrama de blocos, mostrado
na Figura 5.7, ilustra de maneira geral como esse programa funciona.
Figura 5.7 – Diagrama que ilustra o funcionamento do programa em FORTRAN
Os dois primeiros blocos, mostrados em vermelho na Figura 5.7, indicam a etapa de
transição entre a análise realizada com o programa ANSYS e o cálculo de J e J∆
executado por meio do programa computacional. Essa etapa está relacionada com a
montagem do arquivo de entrada de dados que será utilizado no processo de obtenção de
J e . O primeiro arquivo de entrada de dados é composto pelas forças e deslocamentos
(F x d) para a estrutura com trinca de tamanho obtidos por meio do programa ANSYS,
além da leitura de informações complementares como as características geométricas da
placa ( , ,
J∆
a
a
w B ). O segundo arquivo é formado apenas pelas forças e deslocamentos para
a estrutura com tamanho de trinca daa + . É importante comentar que apenas os pontos
referentes ao último ciclo do laço de histerese são considerados no processo de cálculo.
Além disso, a curva F x d deve ser toda deslocada para o 1° quadrante do gráfico com o
objetivo de facilitar o cálculo da área sob a curva, ou seja, o par F x d relacionado com os
valores mínimos da curva é deslocado para o ponto (0,0) do gráfico.
48
O bloco seguinte está relacionado com o cálculo da energia de deformação, representado
pelas Figuras 3.2, 3.3 e 3.4. O método de integração Gauss é utilizado para determinar as
áreas sob a curva F x d relacionadas com as trincas e a daa + . A função a ser integrada é
definida pelos pares de pontos da curva F x d. O procedimento numérico de cálculo
consiste em integrar a função entre os pares de pontos especificados, armazenar os
resultados, e continuar o procedimento até que todos os pontos da curva tenham sido
considerados. Cada intervalo é subdividido em outros sub-intervalos (método de integração
de Gauss com quatro termos), sendo os valores intermediários de F x d obtidos por
interpolação linear. A obtenção de J e J∆ é obtida em uma mesma sub-rotina. Para
facilitar esse procedimento, conforme comentado anteriormente, o sistema de coordenadas
inicial da curva F x d é modificado, tendo como origem o par de pontos mínimos da curva
F x d.
A energia complementar é obtida pela diferença entre o trabalho das forças externas e a
energia de deformação calculada no passo anterior. A energia complementar deve ser
calculada tanto para a configuração estrutural com comprimento de trinca quanto para a
configuração com tamanho de trinca a
a
da+ . A Equação (3.18) representa o cálculo
mencionado. As Equações (3.19) e (3.20) foram definidas para o caso de aplicação de
deslocamento, ou seja, caso em que o trabalho das forças externas é nulo. Dessa maneira,
para a situação de tensão imposta, torna-se necessário modificar tais Equações
introduzindo o termo referente ao trabalho das forças externas. O programa efetua
automaticamente essa correção. Para o caso estudado com carregamento definido por um
deslocamento imposto, a energia complementar é igual à energia de deformação.
Por fim, tem-se o bloco de cálculo de J e J∆ . As Equações (3.19) e (3.20) são utilizadas
para obter J e para o caso com deslocamento imposto. Para a situação com tensão
imposta, o cálculo é realizado modificando as Equações (3.19) e (3.20) conforme
explicado no item anterior. É importante destacar que o incremento de área relacionado
com as Equações (3.19) e (3.20) é diferente para cada tipo de geometria estrutural. Para os
painéis com trincas central e de bordo dupla, nos quais a trinca é representada pela metade
do seu tamanho, a área associada é
J∆
( )da2B e, para o painel com trinca de bordo, a área
incremental é . ( )daB
49
5.5 – MACROS UTILIZADAS DO ANSYS
Os valores de J (cargas monotônicas) foram calculados, também, por sub-rotinas internas
existentes no programa ANSYS e os resultados foram comparados com os resultados da
literatura e com os encontrados pelo método da energia. O manual do programa ANSYS,
versão 5.4, possui um exemplo de mecânica da fratura, VM143, com a macro que calcula a
integral – J. As sub-rotinas do programa ANSYS foram adaptadas para o problema
estudado nesta dissertação. Essas sub-rotinas serão mostradas em anexo. O capítulo 10, do
manual do ANSYS versão 5.4, possui um tutorial que esclarece de maneira mais detalhada
os procedimentos a serem executados no ANSYS para avaliar problemas que envolvem os
conceitos de mecânica da fratura.
Foram utilizadas duas macros do ANSYS neste trabalho. A primeira calcula o fator de
intensidade de tensão por meio do método de extrapolação dos deslocamentos e a
segunda calcula a integral – J utilizando o método da integral de contorno.
( IK )
50
6 – RESULTADOS
6.1 – INTRODUÇÃO
Os resultados apresentados a seguir foram obtidos com a utilização do programa ANSYS
em conjunto com o programa computacional desenvolvido em FORTRAN (baseado no
programa produzido por Maneschy (1998)). As análises foram realizadas em regimes
linear elástico e elastoplástico. Foram feitas análises do parâmetro comparando os
valores calculados com casos clássicos da literatura. Estudou-se também o parâmetro
IK
J
aplicando-se tanto tensão quanto deslocamento. Foram determinados valores de para
diferentes valores de
J∆
R . Por fim, algumas aplicações foram avaliadas como a estimativa
da vida útil de uma tubulação submetida a fadiga ou solicitada por transientes hidráulicos.
6.2 – ANÁLISE DO PARÂMETRO IK
Para este caso foram analisados três exemplos clássicos de painéis com trincas: central, de
bordo e de bordo dupla. As características de geometria (W = 10 cm e altura de 30 cm),
tamanho de trinca (com “ ” = 1, 2, 3, 4 e 5 cm) e carregamento (σa a = 100 kN/cm2) estão
explicitadas nas Figuras 2.3(a), 2.3(b) e 2.3(c), respectivamente. O módulo de elasticidade
considerado é de 20500 kN/cm2 e o coeficiente de Poisson, de 0,3. Para esse problema, as
soluções analíticas são dadas pela Expressão (2.3).
As Tabelas 6.1, 6.2 e 6.3 mostram os valores dos erros obtidos para quando calculado
com o método dos elementos finitos (MEF) pelo programa ANSYS e comparado com as
expressões da literatura (Equações 2.3). As Figuras 6.1, 6.2 e 6.3 representam graficamente
tais valores. Observa-se que para, esse caso, foram rodadas cinco discretizações diferentes
para placa com trinca de bordo e quatro para as placas com trinca central e de bordo dupla,
variando o tamanho “ ” da trinca, representado pela relação
IK
a Wa .
Os métodos utilizados para obter foram a Extrapolação dos Deslocamentos e a Integral
– J, ambos calculados internamente pelo programa ANSYS. Os valores de foram
obtidos tanto utilizando elementos especiais quarter point (CQP = Com Quarter Point)
quanto sem o uso dos mesmos (SQP = Sem Quarter Point).
IK
IK
51
Tabela 6.1 - Resultados de erros de para painel com trinca central IK
Extrapolação dos Deslocamentos Integral - J a/w
CQP SQP CQP SQP
0,1 0,332 -13,317 0,256 -0,104
0,2 0,372 -12,667 0,267 0,010
0,3 0,160 -13,172 -0,129 -0,396
0,4 6,601 -7,088 7,223 6,771
Trinca Central
-15-10-505
10
0.1 0.2 0.3 0.4a/w
erro
(%)
MEF - Extr. Desl. (CQP) MEF - Extr. Desl. (SQP)MEF - Int. J (CQP) MEF - Int. J (SQP)
Figura 6.1 – Resultados de erros de para painel com trinca central IK
Tabela 6.2 - Resultados de erros de para painel com trinca de bordo IK
Extrapolação dos Deslocamentos Integral - J a/w
CQP SQP CQP SQP
0,1 0,287 -12,873 0,642 0,239
0,2 -0,502 -13,504 -0,516 -0,796
0,3 -0,267 -13,313 -0,183 -0,443
0,4 0,116 -13,002 0,156 -0,131
0,5 -0,338 -13,439 -0,478 -0,765
52
Trinca de Bordo
-15
-10
-5
0
5
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5a/wer
ro (%
)
MEF - Extr. Desl. (CQP) MEF - Extr. Desl. (SQP)MEF - Int. J (CQP) MEF - Int. J (SQP)
Figura 6.2 – Resultados de erros de para painel com trinca de bordo IK
Tabela 6.3 - Resultados de erros de para painel com trinca de bordo dupla IK
Extrapolação dos Deslocamentos Integral - J a/w
CQP SQP CQP SQP
0,1 -1,894 -14,020 -1,248 -1,572
0,2 -0,809 -13,006 -0,776 -0,978
0,3 -0,257 -12,543 -0,157 -0,369
0,4 3,467 -9,399 4,161 3,792
Trinca de Bordo Dupla
-15-10-505
10
0.1 0.2 0.3 0.4a/w
erro
(%)
MEF - Extr. Desl. (CQP) MEF - Extr. Desl. (SQP)MEF - Int. J (CQP) MEF - Int. J. (SQP)
Figura 6.3 – Resultados de erros de para painel com trinca de bordo dupla IK
53
Os erros do MEF obtidos utilizando a metodologia da integral – J foram, em média,
menores que 0,5% para a/w até 0,3. Com a integral – J, os erros observados tanto com o
uso de elementos especiais quarter point quanto sem o uso destes foram praticamente os
mesmos.
Como era de se esperar, utilizando o método da extrapolação dos deslocamentos,
observou-se uma grande diferença ao se utilizarem os elementos quarter point. Com o uso
dos elementos especiais, os erros encontrados foram muito próximos aos erros obtidos pela
integral – J, menores que 0,5% para a/w até 0,3. Ao se utilizarem, porém, apenas
elementos isoparamétricos normais, os erros aumentaram para, aproximadamente, 13%.
Para os casos de placas com trincas central e de bordo dupla, os erros para a/w igual a 0,4
aumentaram para, aproximadamente, 5%. Isso se explica pelo fato de que, nesses casos,
a/w igual a 0,4 representa apenas 20% de ligação remanescente na estrutura, ou seja, trata-
se de um problema altamente não linear devido aos elevados níveis de tensões e
deformações, que introduzem regiões de plastificação acentuadas.
Para o exemplo com trinca de bordo, a malha de elementos finitos, mostrada na Figura 6.4,
possui cerca de 2000 elementos, 4500 nós e, aproximadamente, 9000 graus de liberdade.
Esses números foram determinados após a geração automática de malha do ANSYS.
Para os exemplos com trincas central e de bordo dupla, as malhas de elementos finitos,
mostradas nas Figuras 6.5 e 6.6, possuem, aproximadamente, 1000 elementos, 2100 nós e e
4200 graus de liberdade. As condições de contorno foram mudadas de forma apropriada.
Figura 6.4 - Malha usada no ANSYS para discretização da trinca de bordo ( )1,0=Wa
usando simetria. O elemento utilizado foi o triângulo de 6 nós.
54
Figura 6.5 - Malha usada no ANSYS para discretização da trinca central ( )1,0=Wa
usando simetria. O elemento utilizado foi o triângulo de 6 nós.
Figura 6.6 - Malha usada no ANSYS para discretização da trinca de bordo dupla
( 1,0=Wa ) usando simetria. O elemento utilizado foi o triângulo de 6 nós.
6.3 – ANÁLISE DO PARÂMETRO J e J∆
Para este caso, a análise foi, inicialmente, o estudo do comportamento da integral – J
aplicando-se tensão na extremidade superior das placas analisadas. Para essa situação,
foram estudados painéis com trincas central, de bordo e de bordo dupla. Posteriormente
analisou-se o comportamento de J aplicando-se deslocamento na extremidade superior da
placa. Para esse caso analisou-se apenas a placa com trinca central. Para os dois casos, as
55
análises foram realizadas em regimes linear elástico e elastoplástico. Além disso, foram
utilizados, para todos os casos, tanto elementos especiais quarter point quanto elementos
isoparamétricos normais.
Em seguida, executou-se o estudo do parâmetro J∆ . As análises também foram feitas
considerando regimes linear elástico e elastoplástico do material. Para esse caso,
utilizaram-se apenas elementos especiais quarter point.
6.3.1 – Dados do problema
O material considerado para este caso é o aço inoxidável 304, cujas propriedades elásticas
e parâmetros da curva tensão x deformação são representadas pela relação de Ramberg –
Osgood mostrada abaixo. A Tabela 6.4 descreve as propriedades do aço inoxidável 304
(Maneschy, 1998).
n
YY ff
+=
σασεε
0
(6.1)
onde: σ é a tensão; ε é a deformação; é a tensão de escoamento do material; Yf 0ε é a
deformação de referência ( EfY=0 )ε ; E é o módulo de elasticidade do material; α é
uma constante adimensional e é o expoente de encruamento do material. n
Tabela 6.4 – Propriedades do aço inoxidável 304 a 21°C (Maneschy, 1998)
E (GPa) Yf (MPa) v n α
195 240 0,3 5,04 3,82
Todos os dados apresentados na Tabela 6.4 são válidos para a temperatura de 21°C.
Admite-se também que a resposta do material é estável durante a sua vida útil; dessa
maneira não é considerado endurecimento cíclico do material. A Figura 6.7 mostra a
relação tensão x deformação dada pela Expressão (6.1) para o aço em estudo. As análises
serão realizadas assumindo estado plano de deformações.
Os dados geométricos, mostrados na Tabela 6.5, referem-se às placas com trincas central e
de bordo dupla, representadas pelas Figuras 2.3(a) e 2.3(c), respectivamente. A Tabela 6.6
56
apresenta a geometria da placa com trinca de bordo, representada pela Figura 2.3(b). A
variável B corresponde à espessura das placas.
050
100150200250300350
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035
Deformação
Tens
ão (M
Pa)
Figura 6.7 - Relação tensão x deformação dada pela relação de Ramberg - Osgood para o
aço inoxidável 304
Tabela 6.5 – Propriedades geométricas das placas com trinca central e trinca de bordo
dupla
W (m) B (m) H (m) a (m)
0,254 0,00635 0,254 0,0254
Tabela 6.6 – Propriedades geométricas da placa com trinca de bordo
W (m) B (m) H (m) a (m)
0,254 0,00635 0,508 0,0254
A malha de elementos finitos para o exemplo com trinca central, mostrada na Figura 6.8,
possui, aproximadamente, 900 elementos, 2800 nós e 5600 graus de liberdade. O elemento
utilizado foi o isoparamétrico de 8 nós.
Para o exemplo com trinca de bordo dupla, a malha utilizada é a mesma apresentada na
Figura 6.8, porém tendo as condições de contorno alteradas consistentemente.
Para o exemplo com trinca de bordo, a malha de elementos finitos, mostrada na Figura 6.9,
possui, aproximadamente, 3300 elementos, 10100 nós e 20200 graus de liberdade.
57
Figura 6.8 - Malha usada no ANSYS para discretização da trinca central ( )1,0=Wa
usando simetria. O elemento utilizado foi o isoparamétrico de 8 nós (tamanho médio do
elemento igual a 0,005 m)
Figura 6.9 - Malha usada no ANSYS para discretização da trinca de bordo ( )1,0=Wa
usando simetria. O elemento utilizado foi o isoparamétrico de 8 nós (tamanho médio do
elemento igual a 0,005 m)
58
6.3.2 – Análise do parâmetro J aplicando-se tensão
Para este caso, o cálculo de J será realizado de três maneiras distintas. Conforme
apresentado na Expressão (2.3), o valor do fator de intensidade de tensão pode ser
calculado de maneira analítica para várias geometrias estruturais. Dessa maneira,
utilizando a Expressão (3.13), pode-se obter
IK
J analítico. Numericamente, a integral – J
será calculada tanto por rotinas internas do ANSYS, que utilizam a integral de contorno
apresentada na Expressão (3.1) para obter seus resultados, quanto pelo método da energia,
utilizando a Equação (3.14). Os estudos foram realizados com painéis com trincas central,
de bordo e de bordo dupla.
A Figura 6.10 mostra, como exemplo, uma placa com trinca central sendo solicitada por
uma tensão em sua extremidade superior sendo linear elástico o
comportamento do material. A Figura 6.11 apresenta os deslocamentos da estrutura em
resposta à aplicação da tensão. Na Figura 6.10 fica evidente a concentração de tensões
existente na ponta da trinca.
MPaY 240=σ
Yu
Figura 6.10 – Tensão Yσ aplicada em uma
placa com trinca central sendo linear elástico
o comportamento do material
Figura 6.11 – Deslocamentos u da
estrutura em resposta à solicitação de tensão
Y
As Figuras 6.12 a 6.17 mostram os valores de J em função da força aplicada . F
59
Trinca Central
0
5
10
15
20
25
0 100 200 300 400F (kN)
J (k
J/m
²)
Linear Elástico (Analítico) Linear Elástico (Energia)
Linear Elástico (Macro ANSYS)
Figura 6.12 - J x para placa com trinca central. Análise linear elástica (Tensão
Imposta)
F
Trinca Central
0
50
100
150
200
250
0 100 200 300 400F (kN)
J (k
J/m
²)
Linear Elástico (Analítico) Linear Elástico (Energia)Linear Elástico (Macro ANSYS) Elastoplástico (Energia)Elastoplástico (Macro ANSYS)
Figura 6.13 - J x para placa com trinca central. Análise linear elástica e elastoplástica
(Tensão Imposta)
F
60
Trinca de Bordo
0
5
10
15
20
25
30
35
0 100 200 300 400F (kN)
J (k
J/m
²)
Linear Elástico (Analítico) Linear Elástico (Energia)
Linear Elástico (Macro ANSYS)
Figura 6.14 - J x para placa com trinca de bordo. Análise linear elástica (Tensão
Figura 6.15 -
F
Imposta)
0
50
100
150
200
250
0 100 200 300 400F (kN)
J (k
J/m
²)
Linear Elástico (Analítico) Linear Elástico (Energia)
Linear Elástico (Macro ANSYS) Elastoplástico (Energia)Elastoplástico (Macro ANSYS)
Trinca de Bordo
J x para placa com trinca de bordo. Análise linear elástica e
F
elastoplástica (Tensão Imposta)
61
Trinca de Bordo Dupla
05
10152025
3035
0 100 200 300 400F (kN)
J (k
J/m
²)
Linear Elástico (Analítico) Linear Elástico (Energia)
Linear Elástico (Macro ANSYS)
Figura 6.16 - J x para placa com trinca de bordo dupla. Análise linear elástica (Tensão
Imposta)
F
Trinca de Bordo Dupla
0
50
100
150
200
250
0 100 200 300 400F (kN)
J (k
J/m
²)
Linear Elástico (Analítico) Linear Elástico (Energia)Linear Elástico (Macro ANSYS) Elastoplástico (Energia)Elastoplástico (Macro ANSYS)
Figura 6.17 - J x para placa com trinca de bordo dupla. Análise linear elástica e
elastoplástica (Tensão Imposta)
F
62
As Figuras 6.12, 6.14 e 6.16 apresentam a relação J x considerando comportamento
linear elástico do material. As Figuras 6.13, 6.15 e 6.17 mostram os resultados tanto para
análise linear elástica quanto para elastoplástica.
F
Para os casos com trinca central e de bordo, nota-se que, para a análise linear elástica, os
resultados obtidos tanto com as rotinas do programa ANSYS quanto com o método da
energia, apresentados no capítulo 3, encontram-se muito próximos aos resultados
analíticos.
Para a análise elastoplástica, os valores de J foram calculados utilizando as rotinas do
ANSYS e o método da energia. Comparando os resultados obtidos em cada método
observa-se um comportamento bastante similar entre os valores de J calculados. Como
esperado, para valores reduzidos de o comportamento do material é bem próximo ao
caso linear elástico. Para forças elevadas, porém, tem-se que
F
J elastoplástico se distancia
do caso linear elástico. Isso se deve ao fato de que, para forças elevadas, têm-se zonas
plásticas extensas comparadas com o tamanho da trinca.
O cálculo numérico da integral – J foi realizado com o uso de elementos especiais quarter
point e, também, com o uso de elementos isoparamétricos normais. Observou-se, para
todas as situações estudadas neste trabalho que a utilização de elementos especiais quarter
point ou de elementos isoparamétricos normais fornecem valores praticamente idênticos de
J .
Para o caso com trinca de bordo dupla, os resultados obtidos tanto pelo ANSYS quanto
pelo método da energia foram menos satisfatórios ao serem comparados com o resultado
analítico.
6.3.3 – Análise do parâmetro J aplicando-se deslocamento
Entre as principais fontes de fadiga que ocorrem em componentes estruturais nucleares,
pode-se destacar a expansão térmica causada por transientes térmicos existentes nos vasos
de reatores. A condição de deslocamento imposto assegura que a deformação em uma
estrutura trincada seja uniforme, representando de uma maneira mais adequada os efeitos
de temperatura em sólidos.
63
Para este caso o cálculo de J será realizado por rotinas internas do ANSYS e pelo
método da energia, mostrado no capítulo 3. Os estudos foram realizados utilizando um
painel com trinca central cujos dados do problema foram apresentados no item 6.3.1.
A Figura 6.18 mostra, como exemplo, uma placa com trinca central sendo solicitada por
um deslocamento em sua extremidade superior sendo linear elástico o
comportamento do material. A Figura 6.19 apresenta as tensões
muY 00014,0=
Yσ da estrutura em
resposta à aplicação do deslocamento. Na Figura 6.19 fica evidente a concentração de
tensões existente na ponta da trinca.
Figura 6.18 – Placa com trinca central sendo
solicitada por deslocamento sendo linear
elástico o comportamento do material
Figura 6.19 – Tensão Yσ da estrutura em
resposta à solicitação de deslocamento
As Figuras 6.20 e 6.21 mostram os valores de J em função da força existente na
estrutura em resposta à aplicação do deslocamento . A estrutura foi submetida a um
deslocamento monotônico com o intervalo de 0 a 0,00014 m. Os gráficos apresentarão
também os resultados encontrados anteriormente ao se aplicar tensão para efeito de
comparação (TI = Tensão Imposta e DI = Deslocamento Imposto).
F
Yu
64
Trinca Central
0
5
10
15
20
25
0 100 200 300 400F (kN)
J (k
J/m
²)
Linear Elástico - TI (Energia) Linear Elástico - TI (Macro ANSYS)
Linear Elástico - DI (Energia) Linear Elástico - DI (Macro ANSYS)
Figura 6.20 - J x para placa com trinca central. Análise linear elástica (Deslocamento
Imposto)
F
Trinca Central
0
5
10
15
20
0 50 100 150 200 250F (kN)
J (k
J/m
²)
Elastoplástico - TI (Energia) Elastoplástico - TI (Macro ANSYS)
Elastoplástico - DI (Energia) Elastoplástico - DI (Macro ANSYS)
Linear Elástico - DI (Energia) Linear Elástico - DI (Macro ANSYS)
Figura 6.21 - J x para placa com trinca central. Análise linear elástica e elastoplástica
(Deslocamento Imposto)
F
65
A Figura 6.20 apresenta a relação J x considerando comportamento linear elástico do
material. A Figura 6.21 mostra os resultados tanto para análise linear elástica quanto para
elastoplástica.
F
Observa-se que, tanto para a análise linear elástica quanto para a análise elastoplástica, os
valores de J obtidos, para a situação de deslocamento imposto, são superiores aos obtidos
com tensão imposta. Dessa maneira, é importante ressaltar que problemas controlados por
deslocamento imposto em mecânica da fratura, como o caso de estruturas trincadas
submetidas a transientes térmicos, devem ser tratados cuidadosamente.
Da mesma maneira que na análise de estruturas solicitadas por tensão, o cálculo da integral
– J foi realizado tanto com o uso de elementos quarter point quanto com o uso de
elementos isoparamétricos normais. De acordo com o que se observou anteriormente, a
utilização de elementos especiais quarter point não alterou os resultados de forma
significativa se comparada com o uso de elementos isoparamétricos normais na obtenção
de J .
6.3.4 – Análise do parâmetro aplicando-se tensão J∆
Para este caso a obtenção de será feita utilizando o método da energia, mostrado no
capítulo 3. Os estudos foram realizados utilizando um painel com trinca central cujos
dados do problema foram apresentados no item 6.3.1. As análises foram efetuadas
considerando comportamento linear elástico e elastoplástico do material.
J∆
Para a análise linear elástica, comparou-se o valor de J∆ , obtido pelo método da energia,
Expressão (3.19), com o valor de eJ∆ , calculado tanto pela Expressão (3.16) quanto pela
Expressão (3.17). Os resultados são analisados em função do parâmetro R (que representa
a relação entre a mínima tensão aplicada e a máxima tensão aplicada no ciclo de carga da
estrutura).
Analisando a Figura 6.22, observa-se que o valor de J∆ pode ser calculado, com excelente
precisão, pela Equação (3.17), ou seja, a obtenção de J∆ para materiais que trabalham em
regime linear elástico pode ser feita de maneira monotônica simplesmente subtraindo o
valor de (que corresponde ao valor da integral – J calculada utilizando o valor MAXJ
66
máximo de tensão do ciclo de carga) do valor de (que corresponde ao valor da
integral – J calculada utilizando o valor mínimo de tensão do ciclo de carga). A Equação
(3.16) só apresenta bons resultados para valores de
MINJ
R próximos de zero. Nas faixas de R
distantes de zero, a Expressão (3.16) possui valores inferiores aos valores obtidos pela
Expressão (3.17), ou seja, de acordo com os questionamentos apresentados por Chow e Lu
(1991) mostrados no capítulo 3, a energia disponível para propagar a trinca realmente não
é completamente considerada pela Expressão (3.16).
J∆
eJ
0
1
2
3
4
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6R
∆J
/ ∆Je
(Energia) / (Eq. 3.16)
(Energia) / (Eq. 3.17)
Figura 6.22 – Comparação entre J∆ , calculado pelo método da energia, com ,
calculado pelas Expressões (3.16) e (3.17)
eJ∆
Para a análise elastoplástica, estudou-se o comportamento de J∆ para várias solicitações
cuja variação de tensão é σ∆ . Os valores de J∆ foram plotados em função da variação da
força aplicada , que pode ser correlacionada diretamente com F∆ σ∆ ( σ..BWF = ).
O estudo foi iniciado comparando os valores de obtidos para dois tipos de
carregamento, e 0=R 1−=R , com os valores de ∆ calculados pela Expressão (3.16).
O cálculo de ∆ foi feito utilizando-se o método da energia, conforme mostrado nas
Figuras 6.23 e 6.24. O cálculo de
J
eJ∆ foi realizado para o caso de . O emprego da
Equação (3.16) se justifica pelos resultados apresentados na Figura 6.22. Os laços de
histerese, mostrados nas Figuras 6.23 e 6.24, foram obtidos utilizando o programa ANSYS.
Em seguida, o valor de foi calculado extraindo a área abaixo da curva em vermelho, de
acordo com o que foi apresentado no capítulo 3.
0=R
J∆
67
R = 0
0
50
100
150
200
250
0 0.2 0.4 0.6 0.8Desl (mm)
Tens
ão (M
Pa)
Figura 6.23 – Laço de histerese σ x δ para 0=R ( MPaMAX 240=σ e 0=MINσ )
R = -1
-150-100-50
050
100150
-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15
Desl (mm)
Tens
ão (M
Pa)
Figura 6.24 – Laço de histerese σ x δ para 1−=R ( MPaMAX 120=σ e
MPaMIN 120−=σ )
A Figura 6.25 mostra os resultados alcançados para a análise elastoplástica. Pode-se
observar que a concordância entre J∆ e eJ∆ só se confirma para valores de não
muito elevados. Para , valor que corresponde à tensão de escoamento do
material para a situação de , nota-se uma diferença considerável entre ∆ e . Tal
fato se explica devido à forte influência da plasticidade do material para esse nível de
tensões.
F∆
eJ∆
kNF 1,387=∆
0=R J
68
Comparando-se os valores de obtidos para J∆ 0=R e 1−=R nota-se uma grande
proximidade entre seus resultados para o nível de tensões estudado. Tal validação está de
acordo com Maneschy (1998).
0
10
20
30
40
0 100 200 300 400∆F (kN)
∆J
(kJ/
m²)
Energia (R = 0) Energia (R = -1) Eq. 3.16 (R = 0)
Figura 6.25 – x para J∆ F∆ 0=R e 1−=R ( J∆ obtido pelo método da energia);
eJ∆ x para F∆ 0=R ( eJ∆ obtido pela Equação (3.16))
6.4 – APLICAÇÕES
6.4.1 – Estimativa da vida útil de uma tubulação submetida à fadiga
Liaw, et al. (1993b) contribuíram para o desenvolvimento de uma metodologia que estima
a vida remanescente de tubulações a vapor que operam em elevadas temperaturas (comuns
em projetos nucleares). Os conceitos da mecânica da fratura elastoplástica foram utilizados
para determinar o tempo de vida dessas tubulações. As propriedades do aço A106B,
utilizadas nessa aplicação, serão descritas adiante.
A metodologia de previsão de vida de materiais que será apresentada pode ser usada para
quantificar a influência do modo de operação das peças estruturais além de avaliar o
comportamento de diferentes materiais no crescimento de trincas em estruturas contendo
defeitos e submetidas a carregamentos cíclicos.
As análises dos mecanismos de fratura podem ser utilizadas para determinar as estratégias
de inspeção em estruturas. Essa metodologia de previsão de vida de materiais submetidos a
69
fadiga considera a existência de falhas estruturais não detectadas durante um trabalho de
inspeção. O intervalo máximo de inspeção é, em geral, igual ao tempo de vida
remanescente estimado. Alternativamente, se é desejado um intervalo de inspeção fixado,
as análises da mecânica da fratura podem ser usadas para determinar o tamanho máximo de
defeito permitido.
Na análise dos mecanismos de mecânica da fratura, alguns passos podem ser seguidos para
avaliar a segurança de um sistema estrutural em operação. O primeiro passo é composto de
testes dos materiais para determinar parâmetros requeridos nas análises. Como exemplo
podem-se citar o módulo de elasticidade, a tensão de escoamento e a tenacidade à fratura,
propriedades relacionadas com o crescimento de trinca por fadiga do material e constantes
que descrevem características cíclicas e monotônicas de materiais fraturados. O modo de
determinar tais propriedades foi descrito por Liaw, et al. (1993a). Para essa aplicação, as
propriedades dos materiais são conhecidas. O segundo passo envolve identificar os
seguintes parâmetros associados com a configuração estrutural trincada de interesse: fator
de intensidade de tensão e integral – J ( )K ( )J . O terceiro passo está associado com a
previsão de vida remanescente da estrutura trincada. Esse passo envolve estimar tanto o
tamanho de trinca crítico , utilizando as propriedades de tenacidade à fratura do
material, quanto o tempo de vida remanescente do material
( cra )
( )fN em número de ciclos do
carregamento de fadiga.
As Figuras 6.26, 6.27 e 6.28 ilustram os passos 1, 2 e 3, respectivamente.
Peça utilizada para ensaio de tenacidade a
fratura
ICJ ou ICK
1' nKAdNda
∆= (A’, n1)
nDE
σσε += ( ) '' mDE
σσε ∆+∆
=∆
Parâmetros requeridos para analisar
mecanismos de fratura
Figura 6.26 – Metodologia para estimar o tempo de vida remanescente de materiais
submetidos à fadiga - Passo 1 (Liaw, et al. (1993b) Modificado)
70
Exemplo de estrutura trincada
Fator de Intensidade de Tensão ( )K
Integral – J ( )J
Parâmetros a se determinar para avaliar
a configuração estrutural de interesse
Figura 6.27 – Metodologia para estimar o tempo de vida remanescente de materiais
submetidos à fadiga - Passo 2 (Liaw, et al. (1993b) Modificado)
0a - Tamanho inicial da trinca
fN - Tempo de vida remanescente do
material
,0a ,cra ,dNda fN
Parâmetros a se determinar para se estimar o
tempo de vida remanescente da estrutura
trincada
Figura 6.28 – Metodologia para estimar o tempo de vida remanescente de materiais
submetidos à fadiga - Passo 3 (Liaw, et al. (1993b) Modificado)
71
Conforme comentado anteriormente, os procedimentos experimentais associados com o
passo 1 foram descritos por Liaw, et al. (1993a). Os detalhes sobre os passos 2 e 3 serão
comentados adiante.
Considerando que o sistema estrutural que será avaliado é uma tubulação, é importante
ressaltar que, durante sua operação, é esperado que o crescimento da trinca aconteça em
duas direções, circunferencial e ao longo da espessura da parede. A Figura 6.29 mostra o
problema em questão.
Figura 6.29 – Sistema estrutural a ser avaliado
(Liaw, et al. (1993b) Modificado)
Quando o tamanho da trinca ( se torna igual ao de trinca crítico )a ( )cra , é esperado que ela
se propague na direção da espessura da parede. Nesse momento, a ruptura completa da
tubulação pode ocorrer ou ser precedida por um vazamento de fluido, caso o valor crítico
na direção circunferencial seja ou não atingido, respectivamente. No esquema
mostrado na Figura 6.29, a linha tracejada em vermelho mostra a maneira como a fratura
se propaga. Para esse caso, a propagação da trinca acontecerá inicialmente na direção da
espessura da parede.
( crC )
O comportamento de fratura e de fadiga para materiais em regime linear elástico é
caracterizado pelo parâmetro do fator de intensidade de tensão ( )K e pelo parâmetro do
fator de intensidade de tensão cíclico ( )K∆ , respectivamente. Similarmente, o
comportamento de fratura e de fadiga para materiais em regime elastoplástico é 72
caracterizado pelos parâmetros J e J∆ , respectivamente. Dessa maneira, necessitam-se
expressões para estimar K e J das estruturas analisadas para poder avaliar a integridade
destas.
J∆
Para esse exemplo de aplicação, o tempo de vida remanescente do material ( )fN será
obtido utilizando os valores de J∆ calculados conforme a metodologia mostrada no
capítulo 3 desta dissertação e posteriormente serão comparados com os resultados
apresentados por Liaw, et al. (1993b), que calcularam J∆ por meio de expressões
tabeladas mostradas por Kumar e German (1988).
A Figura 6.30 mostra como a tubulação avaliada, submetida a um carregamento cíclico,
será modelada para estimar o seu tempo de vida utilizando o método da variação de
energia, apresentado anteriormente no capítulo 3. O modelo utilizado será uma placa com
trinca de bordo. O valor de será calculado utilizando a Expressão (3.20), mostrada
anteriormente.
Figura 6.30 – Tubulação trincada sendo modelada por meio de uma placa com trinca de
bordo
Para analisar um sistema estrutural em operação, é preciso detalhar os passos de avaliação
mencionados anteriormente. A Figura 6.31 apresenta um esquema que indica a seqüência
de passos a ser analisada.
73
Figura 6.31 – Esquema de análise de integridade estrutural de tubulações
(Liaw, et al. (1993b) Modificado)
O primeiro passo é definir a geometria do sistema em estudo e o carregamento ao qual ele
estará submetido. Como a estrutura avaliada será uma tubulação, é preciso conhecer as
seguintes características:
• Diâmetro externo ; ( )eD
• Espessura da tubulação ( ; )t• Tamanho inicial da trinca ( ); 0a
• Tensão máxima de fadiga ( )MAXσ ;
• Tensão mínima de fadiga ( )MINσ .
O próximo passo é estabelecer as propriedades do material. São elas:
• Tensão de escoamento ; ( )Yf
• Tensão de ruptura ; ( )uf
• Coeficiente de plasticidade ( ; )D
• Expoente de plasticidade ( ; )n
• Módulo de Elasticidade ; ( )E
• Tenacidade à fratura ; ( )ICK
• Coeficiente de crescimento de trinca por fadiga ( )'A ;
74
• Expoente de crescimento de trinca por fadiga ( )1n .
As constantes e são parâmetros que caracterizam a curva tensão x deformação do
material e estão relacionadas pela seguinte expressão:
D n
nDE
σσε += (6.2)
A razão de crescimento de trinca ( )dNda é representada como uma função de K∆ e é
escrita da seguinte maneira:
( ) 1' nKAdNda
∆= (6.3)
onde e são constantes do material, e 'A 1n JEK ∆=∆ ; J∆ será obtido utilizando a
Expressão (3.20).
A Figura 6.32 mostra um esquema para obter o tamanho de trinca crítico da
tubulação avaliada.
( cra )
Figura 6.32 – Esquema para estimar o tamanho crítico de trinca
(Liaw, et al. (1993b) Modificado)
75
O tamanho de trinca crítico corresponde à situação na qual o valor de J se iguala a ,
onde
ICJ
EKJ ICIC2= . Uma condição importante para a obtenção de a é garantir que o
ligamento remanescente de material
cr
( )at − seja menor que ( )MÉDIOJ σ25 , onde
( uYMÉDIO ff += 5,0 )σ . Essa condição é necessária, pois a metodologia que está sendo
utilizada tem a restrição de deformação plástica reduzida. A determinação de a é feita
por meio de um cálculo iterativo no qual o valor máximo é limitado em
cr
t750 .,
A Figura 6.33 mostra a metodologia utilizada para estimar o crescimento de trinca por
fadiga.
Figura 6.33 – Metodologia utilizada para estimar o crescimento de trinca por fadiga
(Liaw, et al. (1993b) Modificado)
Os dados do problema em estudo são definidos adiante. Inicialmente, serão definidos a
geometria do sistema e o carregamento ao qual ele estará submetido.
• Diâmetro externo = 177,8 mm = 0,1778 ; ( eD ) m
• Espessura da tubulação ( = 17,8 = 0,0178 ; )t mm m 76
• Tensão máxima de fadiga ( MAX )σ = 120 MPa ;
• Tensão mínima de fadiga ( MIN )σ = 0 MPa .
Em seguida, serão definidas as propriedades do material em estudo (aço A106B).
• Tensão de escoamento = 207 ( Yf ) MPa ;
• Tensão de ruptura = 517 ( uf ) MPa ;
• Coeficiente de plasticidade ( = ; )D 4610768,5 −x nPa −
• Expoente de plasticidade ( = 5,09; )n
• Módulo de Elasticidade = 20000 ( )E MPa ;
• Tenacidade à fratura = 257 ( ICK ) mMPa ;
• Coeficiente de crescimento de trinca por fadiga ( )'A = 1 3510434, −x ( )( ) 1nmPaciclo
m −;
• Expoente de crescimento de trinca por fadiga ( )1n = 3,73.
Utilizando a Expressão (6.2), obtém-se a curva tensão x deformação do material em
estudo.
0
100
200
300
400
500
600
0 0.05 0.1 0.15 0.2
Deformação
Tens
ão (M
Pa)
Figura 6.34 - Relação tensão x deformação dada pela Expressão (6.2) para o aço A106B
A metodologia mostrada na Figura 6.32 foi utilizada para obter o tamanho de trinca crítico
para o problema em estudo. O valor encontrado foi 12,7=cra mm 00712,0= m .
77
A estimativa do tempo de vida remanescente da tubulação em estudo submetida à fadiga
está apresentada na Figura 6.35. O cálculo de J∆ foi realizado de três maneiras distintas e
os resultados finais foram comparados. Inicialmente, a estimativa de x obtida por
Liaw, et al. (1993b), que utilizaram expressões do EPRI (Kumar e German, 1988) para
obter os valores de
fN 0a
J∆ , foi plotada. Em seguida, obteve-se x calculando por
meio das Expressões (3.20) e (3.16).
fN 0a J∆
A placa com trinca de bordo utilizada para modelar a tubulação possui, aproximadamente,
1500 elementos, 4500 nós e 9000 graus de liberdade. As análises foram realizadas
assumindo estado plano de tensões e os resultados foram obtidos utilizando elementos
isoparamétricos de 8 nós com quarter point na ponta da trinca.
0123456
0 500 1000 1500 2000 2500
Nf x 1000
a (m
m)
Nf (EPRI) Nf (Eq. 3.20) Nf (Eq. 3.16)
Figura 6.35 - Estimativa do tempo de vida remanescente da tubulação em estudo submetida
à fadiga utilizando três maneiras distintas para o cálculo de ∆ J
Conforme previsto por Maneschy (1998), em presença de plasticidade significativa, o valor
de obtido por meio da Expressão (3.20) possui magnitude menor que o valor de J∆ J∆
calculado utilizando expressões do EPRI. Dessa maneira, observa-se que o tempo de vida
remanescente obtido por meio da Equação (3.20) possui valores menos conservadores
comparados com os valores obtidos por Liaw, et al. (1993b).
O cálculo de por meio da Equação (3.16) foi realizado apenas para efeito de
comparação. A Equação (3.16) calcula
fN
J∆ utilizando apenas os valores monotônicos de
J , assim, a magnitude de é ainda menor do que a obtida utilizando a Expressão (3.20). J∆
78
O uso dessa expressão (3.16) só é recomendado para problemas nos quais se domina a
mecânica da fratura linear elástica.
A diferença entre os resultados ocorre também devido à aproximação realizada na
modelagem da tubulação fraturada. As Expressões (3.16) e (3.20) utilizam o modelo
apresentado na Figura 6.30, ou seja, utilizam o modelo de uma trinca de bordo para
representar uma tubulação trincada. As expressões do EPRI utilizam modelos específicos
de tubulações trincadas para estimar os valores de J∆ .
A Figura 6.36 mostra uma tendência de distanciamento entre os valores estimados de
pelas duas metodologias de cálculo quando se têm valores de mais distantes de .
Isso pode ser explicado pois, para valores de mais distantes de , tem-se um aumento
de plasticidade envolvida no problema e, para valores elevados de plasticidade, os valores
de calculados pelas Expressões do EPRI crescem rapidamente, diminuindo assim o
valor de correspondente.
fN
cra0a
a0a cr
J∆
fN
0
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5 6
a0 (mm)
N (E
q. 3
.20)
/ N
(EPR
I)
Figura 6.36 – Relação entre da tubulação calculado utilizando fN
a Expressão (3.20) e as expressões do EPRI
6.4.2 – Estimativa da vida útil de uma tubulação solicitada por transientes hidráulicos
A segurança de circuitos pressurizados de petróleo (CPP), de reatores nucleares, e de
grandes instalações industriais, assim como de outros sistemas que comportam fluidos,
79
impõe o conhecimento de certo número de fenômenos acidentais, bem como de suas
conseqüências sobre a resistência mecânica das estruturas.
Condutos forçados são estruturas tubulares percorridas por fluido sob pressão. Problemas
estruturais consideráveis podem surgir na tubulação devido à ocorrência de escoamentos
transientes.
Acidentes tais como ruptura de um circuito oleoduto/gasoduto ou de uma tubulação
primária de um reator nuclear, fechamento brusco de elementos de controle de
escoamentos, ou mesmo quando manobras previstas ou acidentais ocorrem, esses eventos
criam regimes transitórios intensos nos circuitos tubulares.
Com a utilização de recursos computacionais, torna-se possível a análise de circuitos mais
complexos para se estudarem transientes em condutos forçados. Nesse exemplo de
aplicação, como comentado no capítulo 1, será utilizado o programa PRONDAS-1D,
desenvolvido por Fiuza Lima (2003), para gerar as pressões transientes que solicitarão a
tubulação. As pressões informadas pelo programa PRONDAS-1D serão fornecidas ao
programa ANSYS para se realizar a análise da estrutura. A parte teórica sobre transientes
hidráulicos se encontra com mais detalhes no anexo B desta dissertação.
O sistema avaliado consiste de um reservatório com nível constante e um conduto reto
trincado com uma válvula (inicialmente aberta) na outra extremidade, conforme mostrado
na Figura B.1, no anexo B.
Os dados gerais do problema são:
Comprimento da tubulação = 100 m; ( )L•
•
•
•
Ponto de análise da tubulação = 50 m; ( )x
Diâmetro da tubulação = 0,5 m; ( )D
Altura da coluna d’água no reservatório ( )H = 2 m;
Fator de atrito ( = 0,019; )f•
• Velocidade do som na tubulação ( )c = 1350 m/s.
80
Para esse caso, o fechamento de válvula avaliado é parabólico, de acordo com a Figura
6.37. No eixo vertical do gráfico apresentado na Figura 6.37, é representada uma referência
que indica o quanto a válvula bloqueia a passagem de fluido ao final da tubulação. Quando
TAU tem o valor de 1, a válvula se encontra completamente aberta; e, quando TAU tem o
valor 0, encontra-se completamente fechada.
Figura 6.37 – Fechamento parabólico de válvula
Os resultados obtidos pelo programa PRONDAS-1D, em termos de pressão e velocidade,
são apresentados, respectivamente, nas Figuras 6.38 e 6.39 para o ponto do conduto x =
50m.
-3-2-10123
0 0.5 1 1.5
Tempo (s)
Pres
são
(MPa
)
2
Figura 6.38 – Gráfico Pressão x Tempo obtido pelo programa PRONDAS-1D
Para esse exemplo de aplicação, o tempo de vida remanescente do material ( )fN também
será obtido utilizando os valores de J∆ calculados pelo método da energia, apresentado no
capítulo 3, similarmente ao caso 6.4.1.
81
-3-2-10123
0 0.5 1 1.5
Tempo (s)
V (m
/s)
2
Figura 6.39 – Gráfico Velocidade x Tempo obtido pelo programa PRONDAS-1D
A Figura 6.40 mostra como a tubulação avaliada, submetida a uma pressão transiente, será
modelada para que seja estimado o seu tempo de vida utilizando o método da variação de
energia. O valor de J∆ será calculado utilizando a Expressão (3.20).
Figura 6.40 – Tubulação trincada, submetida a pressão interna, sendo modelada por meio
de uma placa com trinca de bordo
O valor de Pσ é calculado com a seguinte expressão:
trP M
P =σ (6.4)
82
onde: P é a pressão interna da tubulação; é o raio médio da tubulação; t é a espessura
da tubulação e
Mr
Pσ é a tensão circunferencial na tubulação.
Utilizando os dados obtidos pelo programa PRONDAS-1D, apresentados na Figura 6.38, e
a Expressão (6.4), obtém-se a carga cíclica que solicita a estrutura. A Figura 6.41 mostra os
valores de Pσ ao longo do tempo.
-50
-30
-10
10
30
50
0 0.5 1 1.5 2
Tempo (s)
σ (M
Pa)
Figura 6.41 – Gráfico Pσ x Tempo (carga cíclica que solicita a estrutura)
De posse da carga que solicita a estrutura, aplica-se a metodologia apresentada na Figura
6.31 para obter o tempo de vida remanescente do material ( )fN . Os dados de geometria e
carregamento da estrutura são os seguintes:
• Raio médio = 250 = 0,25 ; ( Mr )
)
mm m
• Espessura da tubulação ( = 17,8 = 0,0178 ; )t mm m
• Tensão máxima de fadiga ( MAXσ = 40 MPa ;
• Tensão mínima de fadiga ( MIN )σ = - 40 MPa .
As propriedades do material são as mesmas do caso apresentado no item 6.4.1 (aço
A106B):
• Tensão de escoamento = 207 ( Yf ) MPa ;
• Tensão de ruptura = 517 ( uf ) MPa ;
83
• Coeficiente de plasticidade ( = ; )D 4610768,5 −x nPa −
• Expoente de plasticidade ( = 5,09; )n
• Módulo de elasticidade ( = 20000 )E MPa ;
• Tenacidade à fratura = 257 ( ICK ) mMPa ;
• Coeficiente de crescimento de trinca por fadiga ( )'A = 1 3510434, −x ( )( ) 1nmPaciclo
m −;
Expoente de crescimento de trinca por fadiga ( )1n = 3,73. •
O valor de a , calculado por meio da metodologia apresentada na Figura 6.32, é
= 0 .
cr
11=cra mm 011, m
A Figura 6.42 mostra a estimativa do tempo de vida remanescente da tubulação analisada
submetida a carga de pressão transiente. O cálculo de J∆ foi realizado com a expressão
(3.20).
Da mesma maneira que no caso 6.4.1, a placa com trinca de bordo utilizada para modelar a
tubulação possui cerca de 1500 elementos, 4500 nós e 9000 graus de liberdade. As análises
foram realizadas assumindo estado plano de tensões e os resultados foram obtidos
utilizando elementos isoparamétricos de 8 nós com quarter point na ponta da trinca.
10
10.2
10.4
10.6
10.8
0 100 200 300 400 500Nf
a (m
m) Nf (Eq. 3.20)
Figura 6.42 - Estimativa do tempo de vida remanescente da tubulação analisada submetida
a carga de pressão transiente
Os resultados apresentados na Figura 6.42 se mostram bastante coerentes. Para valores de
mais próximos de , observa-se que o valor de se reduz. É importante comentar 0a cra fN
84
que não foram realizadas comparações pois não se encontraram disponíveis na literatura
resultados que relacionassem mecânica da fratura com transientes hidráulicos. Para efeito
de comparação, sugere-se a realização de ensaios experimentais.
85
7 – CONCLUSÕES E SUGESTÕES
7.1 – CONCLUSÕES
A seguir, são apresentados as conclusões e comentários sobre a pesquisa realizada.
Considerando a quantidade de casos analisados e as comparações feitas entre resultados
numéricos com soluções analíticas, pode-se chegar a algumas conclusões importantes.
O cálculo do fator de intensidade de tensão ( )IK utilizando as macros do programa
ANSYS, para os casos estudados nesta dissertação (placa com trinca central, placa com
trinca de bordo e placa com trinca de bordo dupla), mostrou-se muito eficiente, podendo,
dessa maneira, ser utilizado para avaliar problemas diversos relacionados com a mecânica
da fratura, como era de se esperar. Avaliando os resultados, observa-se que a macro que
calcula por meio do método da integral – J apresentou resultados excelentes tanto
utilizando elementos finitos com quarter point quanto sem quarter point. Dessa maneira,
um dos importantes questionamentos levantados nesta pesquisa é se a utilização do
elemento finito desenvolvido por Barsoum (1976) é realmente necessária para o cálculo de
por meio do método da integral - J. Por outro lado, a macro que utiliza o método da
extrapolação dos deslocamentos apresentou bons resultados apenas com o uso de
elementos com quarter point.
IK
IK
As modificações implementadas no programa computacional desenvolvido por Maneschy
(1998) foram realizadas com sucesso. Esse programa calcula os valores de J e para
placa com trinca central por meio do método da energia considerando a tensão aplicada.
Implementou-se o cálculo de
J∆
J e J∆ para placas com trinca de bordo e trinca de bordo
dupla para a condição de tensão aplicada. Vale ressaltar que a metodologia utilizada para o
cálculo de J e por meio do método da energia para placas com trinca de bordo e
trinca de bordo dupla foi aprimorada ao longo deste trabalho.
J∆
Para a condição de regime linear elástico do material, os valores de J obtidos pelo método
da energia foram comparados com expressões analíticas disponíveis na literatura e com os
valores calculados utilizando as macros do ANSYS. Para a condição de regime
elastoplástico, os valores de J obtidos pelo método da energia foram comparados apenas
86
com os valores calculados utilizando as macros do ANSYS. Os resultados obtidos foram
muito coerentes entre si para todos os casos analisados.
Além disso, implementou-se também a condição de carregamento com deslocamento
aplicado utilizando o método da energia. Os valores de J foram obtidos para o caso de
uma placa com trinca central tanto para regime linear elástico do material quanto para
regime elastoplástico. Os resultados foram comparados com os valores obtidos utilizando
as macros do ANSYS, mostrando-se bastante satisfatórios.
O parâmetro também foi avaliado tanto considerando regime linear elástico do
material quanto considerando regime elastoplástico. Os valores de calculados pelo
método da energia foram comparados com as Expressões (3.16) e (3.17), apresentando
bons resultados. Dessa maneira, o parâmetro
J∆
J∆
J∆ mostra-se bastante adequado para avaliar
estruturas submetidas a carregamentos cíclicos.
Com o objetivo de avaliar a aplicabilidade do parâmetro J∆ , dois exemplos de aplicação
foram analisados. Estimou-se o tempo de vida remanescente ( )fN de tubulações
submetidas a fadiga e submetidas a transientes hidráulicos. No primeiro caso, os resultados
de encontrados, utilizando ∆ calculado pelo método da energia, foram comparados
com resultados obtidos por Liaw, et al. (1993b), que utilizaram expressões do EPRI para
obter os valores de
fN J
J∆ . A comparação dos resultados mostrou que o parâmetro obtido
por meio do método da energia é uma ferramenta simples e bastante útil para avaliar o
tempo de vida de componentes estruturais submetidos a fadiga. No segundo caso, avaliou-
se o tempo de vida de uma tubulação solicitada por um transiente hidráulico. Os resultados
obtidos se mostraram qualitativamente coerentes com os resultados esperados.
J∆
7.2 – SUGESTÕES
Considerando os resultados obtidos nesta dissertação, pode-se sugerir a realização dos
seguintes itens em trabalhos futuros:
Analisar o efeito do fechamento de trinca na obtenção do parâmetro , conforme
também sugerido por Maneschy (1998). A presença de plasticidade elevada influencia
Jƥ
87
bastante o cálculo de e o efeito do fechamento de trinca está relacionado com o
aumento de plasticidade nos problemas que envolvem mecânica da fratura.
J∆
J∆
Estudar exemplos de aplicações práticas, em mecânica da fratura, que envolvam a
condição de deslocamento imposto. Uma das importantes conclusões deste trabalho foi
implementar o cálculo de J para a situação de deslocamento imposto e mostrar que
esse parâmetro responde satisfatoriamente a esta condição. Porém, nenhum caso
prático foi avaliado. Dessa maneira, seria interessante avaliar problemas nos quais esta
consideração se encontra presente, como no caso de componentes estruturais
solicitados por transientes térmicos;
•
Avaliar o parâmetro para valores de R diferentes de 0 e –1, conforme também
sugerido por Maneschy (1998);
•
Validar os casos estudados nesta dissertação por meio de ensaios experimentais. O
último exemplo de aplicação desenvolvido neste trabalho foi a avaliação da integridade
estrutural de uma tubulação solicitada por transientes hidráulicos. Não foi encontrado
na literatura nenhum caso que pudesse validar os resultados obtidos neste trabalho.
Dessa maneira, uma das sugestões é tentar validar e calibrar a metodologia apresentada
de forma experimental;
•
• Avaliar o tempo de vida de tubulações utilizando modelos 3D em elementos finitos.
88
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Mechanics” In: International Journal for Numerical Methods in Engineering, 10, 25-37.
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Structural Engineers”, Butterworths, London.
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várias formulações via Método dos Elementos Finitos, Dissertação de Mestrado,
Universidade de Brasília (UnB), 100p.
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and Propagation” In: Engineering Fracture Mechanics, 39, 1-20.
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EPRI – Electric Power Research Institute (1989). “Ductile Fracture Handbook”, NP-6301-
D Research Project, prepared by A. Zahoor for Novetech Corporation and Electric
Power Research Institute.
Fiuza Lima, R. (2003). Estudo de Escoamentos Transientes em Dutos sob Pressão e
Vibrações Livres de Cavidades Acústicas Tubulares, Monografia de Projeto Final,
Departamento de Engenharia Civil e Ambiental, Universidade de Brasília (UnB), 132p.
89
Guimarães, S. (1992). Sobre o Método dos Elementos de Contorno Aplicado à Mecânica
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Liaw, P. K.; Saxena, A. e Perrin, J. S. (1993b), “Life Extension Technology for Steam Pipe
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Universidade de Brasília (UnB), 100p.
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Pastoukhov, V. A. e Voorwald, H. J. C. (1995), “Introdução à mecânica da integridade
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90
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Tanaka, K. (1983), “The Cyclic J – Integral as a Criterion for Fatigue Crack Growth” In:
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Timoshenko, S. P. e Goodier, J. N. (1980), “Theory of Elasticity”, McGraw-Hill, New
York, USA.
91
ANEXO A – DETALHES DAS SUB-ROTINAS INTERNAS
(MACROS) UTILIZADAS DO PROGRAMA ANSYS
Este anexo tem a finalidade de apresentar exemplos das macros do programa ANSYS que
foram utilizadas neste trabalho para calcular os valores de J (cargas monotônicas). Os
resultados gerados pelas macros foram usados para auxiliar na validação dos resultados
obtidos pelo método da energia. Além disso, também serão mostradas as linhas de
comando que foram utilizadas no programa ANSYS para gerar os modelos estruturais
estudados nesta dissertação (definições de geometria estrutural, carregamento, condições
de contorno, definição de comportamento do material – linear elástico e elastoplástico).
A.1 – LINHAS DE COMANDO DO ANSYS UTILIZADAS PARA DEFINIR O
COMPORTAMENTO DO MATERIAL
Nesta dissertação, o material estudado foi o aço. As análises foram realizadas tanto
considerando o aço com comportamento exclusivamente linear elástico quanto com
comportamento elastoplástico. As linhas de comando do ANSYS utilizadas para definir
tais comportamentos serão mostradas a seguir.
A.1.1 - Comportamento linear elástico (exemplo):
ET,1,PLANE2 ! Definição do tipo de elemento utilizado
UIMP,1,EX, , ,20500, ! Módulo de elasticidade do material
UIMP,1,DENS, , , ,
UIMP,1,ALPX, , , ,
UIMP,1,REFT, , , ,
UIMP,1,NUXY, , , ,
UIMP,1,PRXY, , ,0.3, ! Coeficiente de Poisson
UIMP,1,GXY, , ,8000, ! Módulo de deformação transversal
UIMP,1,MU, , , ,
UIMP,1,DAMP, , , ,
UIMP,1,KXX, , , ,
UIMP,1,C, , , ,
UIMP,1,ENTH, , , ,
UIMP,1,HF, , , ,
UIMP,1,EMIS, , , ,
UIMP,1,QRATE, , , ,
92
UIMP,1,RSVX, , , ,
UIMP,1,PERX, , , ,
UIMP,1,VISC, , , ,
UIMP,1,SONC, , , ,
A.1.2 - Comportamento elastoplástico (exemplo):
ET,1,PLANE82,,,2 ! Definição do tipo de elemento utilizado
MP,EX,1,195000000000 ! Módulo de elasticidade do material
MP,NUXY,1,0.30 ! Coeficiente de Poisson
MP,ALPX,1,0
TB,KINH,1,1,16 ! Definição das propriedades da curva elastoplástica
TBTEMP,21
TBPT,DEFI,5.12821E-12,1 ! Curva que representa o comportamento do material
TBPT,DEFI,0.000258143,50000000 ! (Retirados da relação de Ramberg – Osgood)
TBPT,DEFI,0.000569834,100000000
TBPT,DEFI,0.001209254,150000000
TBPT,DEFI,0.002901355,200000000
TBPT,DEFI,0.007057596,250000000
TBPT,DEFI,0.016015058,300000000
TBPT,DEFI,0.033278029,350000000
A.2 – LINHAS DE COMANDO DO ANSYS UTILIZADAS PARA DEFINIR A
GEOMETRIA ESTRUTURAL
As linhas de comando utilizadas para definir a geometria estrutural de um dos exemplos
estudados nesse trabalho estão mostradas abaixo.
K,1,,,, ! Pontos chaves da geometria
K,2,0.1016,0,,
K,3,0.1016,0.127,,
K,4,-0.0254,0.127,,
K,5,-0.0254,0,,
L,1,2 ! Linhas criadas entre os pontos chaves
L,2,3
L,3,4
L,4,5
L,5,1
93
ESIZE,0.005,0, ! Tamanho médio do elemento
KSCON,1,0.00254,1,8,0.5, ! Características dos elementos ao redor da trinca
AL,1,2,3,4,5
DL,1,1,SYMM ! Definição das condições de contorno
DL,4,1,SYMM
AMESH,1
A.3 – LINHAS DE COMANDO DO ANSYS UTILIZADAS PARA DEFINIR O
CARREGAMENTO QUE SOLICITA A ESTRUTURA
Os tipos de carregamento avaliados neste trabalho foram: carregamentos monotônicos,
aplicando-se tensão ou deslocamento, e carregamentos cíclicos, aplicando-se tensão
( e 0=R 1−=R ). As linhas de comando do ANSYS utilizadas para definir tais
carregamentos serão mostradas a seguir.
A.3.1 - Carregamento monotônico aplicando-se tensão (exemplo):
*DO,I,1,25
SFL,3,PRES,-10000000*(I-1)
/SOLU
SOLVE
*ENDDO
A.3.2 - Carregamento monotônico aplicando-se deslocamento (exemplo):
*DO,I,1,15
D,P51X, ,0.00001*(I-1), , , ,UY
/SOLU
SOLVE
*ENDDO
A.3.3 - Carregamento cíclico aplicando-se tensão ( 0=R ) (exemplo):
!!!!!!!!!!!1° CICLO!!!!!!!!!!!!!
*DO,I,1,25
SFL,3,PRES,-10000000*(I-1)
/SOLU
SOLVE
94
*ENDDO
*DO,I,1,24
SFL,3,PRES,-10000000*(24-I)
/SOLU
SOLVE
*ENDDO
!!!!!!!!!!!2° CICLO!!!!!!!!!!!!!
*DO,I,1,24
SFL,3,PRES,-10000000*(I)
/SOLU
SOLVE
*ENDDO
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
A.3.4 - Carregamento cíclico aplicando-se tensão ( 1−=R ) (exemplo):
!!!!!!!!!!!1° CICLO!!!!!!!!!!!!!
*DO,I,1,4
SFL,3,PRES,-10000000*(I-1)
/SOLU
SOLVE
*ENDDO
*DO,I,1,3
SFL,3,PRES,-10000000*(3-I)
/SOLU
SOLVE
*ENDDO
*DO,I,1,3
SFL,3,PRES,10000000*(I)
/SOLU
SOLVE
*ENDDO
95
*DO,I,1,3
SFL,3,PRES,10000000*(3-I)
/SOLU
SOLVE
*ENDDO
!!!!!!!!!!!2° CICLO!!!!!!!!!!!!!
*DO,I,1,3
SFL,3,PRES,-10000000*(I)
/SOLU
SOLVE
*ENDDO
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
A.4 – MACROS UTILIZADAS PARA CALCULAR A INTEGRAL - J
As macros utilizadas para calcular a integral – J (cargas monotônicas) neste trabalho foram
baseadas no exemplo VM143 do manual do ANSYS, versão 5.4. Duas macros foram
usadas, a primeira calcula o fator de intensidade de tensão ( )IK por meio do método de
extrapolação dos deslocamentos e a segunda calcula a integral – J utilizando o método da
integral de contorno. Essas macros serão mostradas a seguir.
A.4.1 - Macro que utiliza o método da extrapolação dos deslocamentos (exemplo):
/POST1
ETABLE,SENE,SENE
ETABLE,VOLU,VOLU
C*** IN POST1 DETERMINE KI USING KCALC !**
NSEL,S,LOC,Y,0
NSEL,R,LOC,X,0
*GET,NOD1,NODE,,NUM,MIN
NSEL,A,LOC,Y
NSEL,R,LOC,X,-.0006, -.002
*GET,NOD2,NODE,,NUM,MIN
NSEL,A,LOC,Y
NSEL,R,LOC,X,-.002,-.0026
*GET,NOD3,NODE,,NUM,MIN
96
NSEL,ALL
PATH,KI2,3,,48
PPATH,1,NOD1
PPATH,2,NOD2
PPATH,3,NOD3
KCALC,,,1
*GET,KI1,KCALC,,K,1
A.4.2 - Macro que utiliza o método da integral de contorno (exemplo):
*CREATE,JIN1
STINFC
SEXP,W,SENE,VOLU,1,-1
PATH,JINT,4,50,48
PPATH,1,ARG1
PPATH,2,ARG2
PPATH,3,ARG3
PPATH,4,ARG4
PDEF,W,ETAB,W
PCALC,INTG,J,W,YG
*GET,JA,PATH,,LAST,J
PDEF,CLEAR
PVECT,NORM,NX,NY,NZ
PDEF,INTR,SX,SX
PDEF,INTR,SY,SY
PDEF,INTR,SXY,SXY
PCALC,MULT,TX,SX,NX
PCALC,MULT,C1,SXY,NY
PCALC,ADD,TX,TX,C1
PCALC,MULT,TY,SXY,NX
PCALC,MULT,C1,SY,NY
PCALC,ADD,TY,TY,C1
*GET,DX,PATH,,LAST,S
DX=DX/100
PCALC,ADD,XG,XG,,,,-DX/2
PDEF,INTR,UX1,UX
PDEF,INTR,UY1,UY
PCALC,ADD,XG,XG,,,,DX
PDEF,INTR,UX2,UX
PDEF,INTR,UY2,UY
97
PCALC,ADD,XG,XG,,,,-DX/2
C=(1/DX)
PCALC,ADD,C1,UX2,UX1,C,-C
PCALC,ADD,C2,UY2,UY1,C,-C
PCALC,MULT,C1,TX,C1
PCALC,MULT,C2,TY,C2
PCALC,ADD,C1,C1,C2
PCALC,INTG,J,C1,S
*GET,JB,PATH,,LAST,J
JINT=2*(JA-JB)
PDEF,CLEAR
*END
A.5 – EXEMPLO COMPLETO
Com o objetivo de um melhor entendimento, um dos exemplos avaliados nesta dissertação
será apresentado integralmente a seguir. O exemplo escolhido foi de uma placa com trinca
central submetida à tensão monotônica e comportamento elastoplástico do material.
/CLEAR, NOSTART ! CLEAR DATABASE FOR 2ND SOLUTION
/PREP7
SMRT,OFF
/NOPR
/TITLE, PLASTICIDADE
C*** MODELO TENDO ELEMENTOS QUARTER POINT
C*** PROPRIEDADES E DEFINICAO DOS ELEMENTOS DE ACO
ET,1,PLANE82,,,2
MP,EX,1,195000000000
MP,NUXY,1,0.30
MP,ALPX,1,0
TB,KINH,1,1,16
TBTEMP,21
TBPT,DEFI,5.12821E-12,1
TBPT,DEFI,0.000258143,50000000
TBPT,DEFI,0.000569834,100000000
TBPT,DEFI,0.001209254,150000000
TBPT,DEFI,0.002901355,200000000
98
TBPT,DEFI,0.007057596,250000000
TBPT,DEFI,0.016015058,300000000
TBPT,DEFI,0.033278029,350000000
K,1,,,,
K,2,0.1016,0,,
K,3,0.1016,0.127,,
K,4,-0.0254,0.127,,
K,5,-0.0254,0,,
K,5,-0.0254,0,,
L,1,2
L,2,3
L,3,4
L,4,5
L,5,1
ESIZE,0.005,0,
KSCON,1,0.00254,1,8,0.5,
AL,1,2,3,4,5
DL,1,1,SYMM
DL,4,1,SYMM
AMESH,1
OUTPR,ALL
FINISH
/COM
/OUTPUT,SCRATCH
/FORMAT,7,G,45,25
/CONFIG,NRES,1000000
*DO,I,1,25
SFL,3,PRES,-10000000*(I-1)
/SOLU
SOLVE
*ENDDO
SAVE
FINISH 99
/OUTPUT
C***********************************ENTRANDO NO POST-1
/POST1
ETABLE,SENE,SENE
ETABLE,VOLU,VOLU
C*** IN POST1 DETERMINE KI USING KCALC !**
NSEL,S,LOC,Y,0
NSEL,R,LOC,X,0
*GET,NOD1,NODE,,NUM,MIN
NSEL,A,LOC,Y
NSEL,R,LOC,X,-.0006, -.002
*GET,NOD2,NODE,,NUM,MIN
NSEL,A,LOC,Y
NSEL,R,LOC,X,-.002,-.0026
*GET,NOD3,NODE,,NUM,MIN
NSEL,ALL
PATH,KI2,3,,48
PPATH,1,NOD1
PPATH,2,NOD2
PPATH,3,NOD3
KCALC,,,1
*GET,KI1,KCALC,,K,1
C*****************************MACRO DA INT-J*************************************
!******************************************************************************
!************************** J-INTEGRAL USER FILE ****************************
!******************************************************************************
! ****NOTE:- IN GENERAL USAGE, THE USER FILE WOULD BE AVAILABLE IN THE
! LOCAL DIRECTORY RATHER THAN BEING CREATED IN THE INPUT
!******************************************************************************
*CREATE,JIN1
STINFC
SEXP,W,SENE,VOLU,1,-1
PATH,JINT,4,50,48
PPATH,1,ARG1
PPATH,2,ARG2 100
PPATH,3,ARG3
PPATH,4,ARG4
PDEF,W,ETAB,W
PCALC,INTG,J,W,YG
*GET,JA,PATH,,LAST,J
PDEF,CLEAR
PVECT,NORM,NX,NY,NZ
PDEF,INTR,SX,SX
PDEF,INTR,SY,SY
PDEF,INTR,SXY,SXY
PCALC,MULT,TX,SX,NX
PCALC,MULT,C1,SXY,NY
PCALC,ADD,TX,TX,C1
PCALC,MULT,TY,SXY,NX
PCALC,MULT,C1,SY,NY
PCALC,ADD,TY,TY,C1
*GET,DX,PATH,,LAST,S
DX=DX/100
PCALC,ADD,XG,XG,,,,-DX/2
PDEF,INTR,UX1,UX
PDEF,INTR,UY1,UY
PCALC,ADD,XG,XG,,,,DX
PDEF,INTR,UX2,UX
PDEF,INTR,UY2,UY
PCALC,ADD,XG,XG,,,,-DX/2
C=(1/DX)
PCALC,ADD,C1,UX2,UX1,C,-C
PCALC,ADD,C2,UY2,UY1,C,-C
PCALC,MULT,C1,TX,C1
PCALC,MULT,C2,TY,C2
PCALC,ADD,C1,C1,C2
PCALC,INTG,J,C1,S
*GET,JB,PATH,,LAST,J
JINT=2*(JA-JB)
PDEF,CLEAR
*END
C********************************END MACRO INT-J********************************
101
C**************** IN POST1 DETERMINE KI FROM J-INTEGRAL !***********************
CSYS,1
NSEL,S,LOC,X,.006,.009 ! SELECT NODES FOR LPATH COMMAND IN STINFC
NSEL,R,LOC,Y,-1,1
*GET,NOD4,NODE,,NUM,MAX
NSEL,S,LOC,X,.006,.009
NSEL,R,LOC,Y,35,55
*GET,NOD5,NODE,,NUM,MAX
NSEL,S,LOC,X,.006,.009
NSEL,R,LOC,Y,120,145
*GET,NOD6,NODE,,NUM,MAX
NSEL,S,LOC,X,.006,.009
NSEL,R,LOC,Y,179,181
*GET,NOD7,NODE,,NUM,MIN
NSEL,ALL
CSYS,0
*ULIB,JIN1
*USE,STINFC,NOD4,NOD5,NOD6,NOD7 ! USE DATA BLOCK STINFC AND GIVE PATH NODES
CON1=195E9/(1-(0.3*0.3)) ! J-TO-KI CONVERSION FACTOR
KI2=SQRT(CON1*JINT) ! CALCULATE KI FROM J
C******************************************************************STATUS,JINT
/OUTPUT,SAIDA,TXT
*STATUS,KI1 ! VIEW RESULTS
*STATUS,KI2
*STATUS,JINT
*DIM,LABEL,CHAR,2,2
*DIM,VALUE,,2,3
LABEL(1,1) = 'BY DISP ','BY J-', ‘INT-J’
LABEL(1,2) = 'EXTRP ','INT'
*VFILL,VALUE(1,2),DATA,KI1,JINT
SAVE,TABLE_2
/COM
/OUT,INTEGRAL_J,VRT
/NOPR
RESUME,TABLE_2 102
/GOPR
FINISH
*LIST,INTEGRAL_J,VRT
/DELETE,FRACT,MAC
103
ANEXO B – DESENVOLVIMENTO TEÓRICO SOBRE
TRANSIENTES
Este anexo tem o objetivo de mostrar a fenomenologia e a formulação das equações
fundamentais que regem o problema de transientes hidráulicos e está baseado nos trabalhos
desenvolvidos por Streeter (1979), Nascimento (2002) e Fiuza Lima (2003).
B.1 – DESCRIÇÃO DO FENÔMENO TRANSIENTE PARA O CASO DE UMA
INTERRUPÇÃO BRUSCA DE UM ESCOAMENTO
Os movimentos dos fluidos, de modo geral, classificam-se em permanentes e variados:
• Movimento permanente: no escoamento permanente, parâmetros como velocidade e
pressão são invariáveis com o tempo.
• Movimento variado: no escoamento variado ou regime não permanente, tanto a
velocidade como a pressão variam de ponto para ponto além de variarem com o tempo.
O movimento variado de um líquido em um conduto forçado origina o fenômeno
transiente. A variação do regime no conduto pode ser provocada pelo acionamento de um
registro ou de uma válvula, pela mudança de rotação numa bomba ou por qualquer evento
que provoque alteração no valor da vazão e, portanto, na velocidade no conduto.
A variação da velocidade ao longo do tempo numa seção é acompanhada de uma variação
de pressão, tanto maior quanto mais rápida for a variação da velocidade. Essa perturbação
se propaga no conduto na forma de ondas, desde o ponto onde foi produzida até suas
extremidades, passando pelas bifurcações, curvas, mudanças de seção, etc, em que se
refletem parcial ou totalmente, mudando de sinal e retornando ao local de origem.
Supondo existir um conduto forçado saindo de um reservatório R , funcionando em regime
permanente e transportando uma vazão Q com velocidade média V0 0
r; seu comprimento é
, a pressão na embocadura é e, na extremidade a jusante, existe uma válvula de
fechamento capaz de obturar o escoamento instantaneamente, conforme ilustrado na Figura
B.1.
L 0P
104
Figura B.1 – Sistema reservatório tubo
Ao se fechar a válvula da Figura B.1, instantaneamente tem-se a seguinte seqüência de
eventos, desprezando-se o efeito do atrito (Figuras B.2a, B.2b, B.2c e B.2d).
Figura B.2a - Fechamento instantâneo da válvula e surgimento da onda de compressão
No instante do fechamento , a camada de fluido mais próximo da válvula é frenado
e comprimido e a parede do tubo se distende. Tão logo a primeira camada seja
comprimida, o processo repete-se com a camada adjacente. O fluido a montante da válvula
continua movendo-se para jusante sem diminuição de velocidade até que camadas
sucessivas tenham sido comprimidas em toda extensão do conduto. A alta pressão move-se
para montante como uma onda de celeridade - , frenando e comprimindo o fluido e
expandindo o tubo durante sua passagem. Quando a onda atinge o início do conduto
( 0tt = )
c
+=
cLtt 0 , todo fluido encontra-se sob a pressão extra P , toda a quantidade de
movimento foi eliminada e toda a energia cinética transformou-se em energia elástica
(Figura B.2b).
Decorrido o intervalo de tempo cLT = , a partir do instante em que foi feita a manobra
de fechamento, a onda de pressão atinge o reservatório
0t
R no instante em que todo o 105
líquido está comprimido. Nesse instante t T+0 , entretanto, a última camada de líquido,
situada na embocadura do conduto, está sob a pressão na face a montante e sob a
pressão +
0P
0P P na face a jusante. Esse estrato de líquido é impelido para o reservatório R
pela diferença de pressões, descomprimindo também o estrato subseqüente e dando origem
a uma onda de descompressão que se propaga para jusante, com celeridade c , até atingir
novamente o obturador. Esse escoamento alivia a pressão até o valor normal reinante antes
do fechamento, a parede do conduto volta a seu normal e o fluido assume a velocidade V
dirigida para o sentido contrário. Esse processo propaga-se para jusante, em direção à
válvula (Figura B.2c).
0
Figura B.2b - Chegada da onda de pressão ao reservatório e surgimento da onda de
descompressão
Figura B.2c - Chegada da onda à válvula e surgimento de uma onda de baixa pressão
No instante em que a onda chega à válvula, as pressões voltaram ao normal em
todo o conduto e a velocidade em todos os pontos é V no sentido de montante. Estando a
válvula fechada, não há fluido disponível para manter o escoamento na seção da válvula e
Tt 20 +
0
106
uma baixa pressão se desenvolve ( )P− de modo a parar o fluido. Essa onda de baixa
pressão avança para montante à velocidade - , paralisa o fluido, ocasiona a sua expansão
em virtude da pressão mais baixa e permite que a parede do conduto se contraia (Figura
B.2d).
c
Figura B.2d - Chegada da onda de baixa pressão e surgimento da onda de pressão que
restitui as condições iniciais
No instante t , em que a onda de baixa pressão atinge o reservatório, a última camada
tem pressão a montante e -
T30 +
0P 0P P a jusante, sendo impulsionada para dentro do
conduto. Surge assim uma nova onda que avança para jusante com a velocidade ,
restabelecendo ao conduto e ao fluido as condições normais que prevaleciam no instante
do fechamento, t , segundos antes.
c
T40 +
Esse fenômeno é periódico com período T4 e formado por ondas de pressão e
descompressão, que se sucedem até o seu amortecimento total em razão das perdas de
energia na tubulação.
Tal fenômeno pode ser graficamente ilustrado, conforme mostrado na Figura B.3, por meio
da variação da pressão, em função do tempo, num ponto no meio do tubo.
107
Figura B.3 – Evolução da pressão no meio do tubo em função do tempo
B.2 – HIPÓTESES E EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS
Para o estudo do problema em questão, devem ser consideradas as seguintes hipóteses
básicas simplificadoras: fluido homogêneo, viscoso e compressível; escoamento
monofásico e isentrópico; pequenas deformações das tubulações; as pressões mínimas no
sistema sempre superiores à pressão de vapor d’água (sem cavitação).
As equações fundamentais que regem o problema são, respectivamente:
( ) 0=+∂∂ VDIV
tr
ρρ (Equação da continuidade) (B.1)
onde:
ρ = densidade do fluido;
Vr
= velocidade de escoamento do fluido;
( )zV
yV
xVVDIV
∂∂
+∂∂
+∂∂
=r
( ) ( ) ( )( ) 031
0 =
+∆−++
∂∂ VDIVGRADVPGRADVGRADV
tV rrrrr
µρρ
(Equação de movimento)
(B.2)
( ) 2, cPctePf ρρ =⇔= (linearizada) ρPc =2∴
(Equação de estado)
(B.3)
108
onde = velocidade de propagação do som no fluido; c 0µ = viscosidade do fluido.
As equações mostradas acima regem, para um certo ponto dado, a pressão ( )P , a
velocidade ( , e a densidade )V ( )ρ do fluido.
B.3 – MÉTODO DE SOLUÇÃO DE ‘TRANSIENTES’ NO DOMÍNIO DO TEMPO
O Método das Características apresentado abaixo utiliza a técnica das diferenças finitas de
primeira ordem para resolver as equações diferenciais que governam o problema dos
transientes. A utilização desse método permite uma ampla simplificação das equações,
aspecto que permite implementá-las com facilidade num algoritmo computacional.
B.3.1 - Método das Características (M. C.)
Desenvolvendo-se as Equações (B.1), (B.2) e (B.3), chega-se às Equações (B.4) e (B.5),
que representam, respectivamente, a equação da quantidade de movimento e a equação da
continuidade, simplificadas para o problema em estudo. As Equações (B.4) e (B.5) são
necessárias à implementação do (M.C.).
( ) 02
sen =++++DVfV
gVVVPtX
X αρ
(Equação da quantidade de movimento)
(B.4)
02 =++ XtX VcPVP ρ
(Equação da continuidade)
(B.5)
onde α é o ângulo que a tubulação faz com a horizontal.
Fazendo a Equação (B.4) = e (B.5) = , então e passam a conter duas
incógnitas (V e
1L 2L 1L 2L
P ). As equações podem ser combinadas por meio de um multiplicador
desconhecido, como 2L1LL λ+= . Quaisquer dois valores reais distintos de λ fornecem
duas equações em V e P que representam o mesmo fenômeno físico que as duas
equações originais, e , e que podem substituí-las diante de qualquer solução. Pode 1L 2L
109
acontecer que resultem uma grande simplificação se dois valores particulares de λ forem
encontrados. Com a substituição de e na expressão de e após algum rearranjo,
tem-se:
1L 2L L
+
+ λ
xP
tV
dtdx
∂∂
=
λρ1
=
cdtdx
=
sen+ g
02
sen12 =+
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
=DVfV
gtP
tVc
xVL α
ρλλρ
dtdV
dtdP
O primeiro termo entre parênteses é a derivada total dtdV se dtdxc =2λρ , pois do
cálculo,
tVc
xV
xV
dtdV
∂∂
+∂∂
=+∂∂
= 2λρ
Analogamente, o segundo termo entre parênteses é a derivada total dtdP se .dtdx1 ρλ
Para que ambas as relações sejam corretas,
λρ 2= cdtdx ou
cρλ 1
±= (B.6)
Então,
± (B.7)
A Equação agora fica L
( ) 02
1=+±=
DVfV
dtdP
cdtdVL α
ρ
(B.8)
sujeita às condições da Equação (B.7). Portanto foram achados dois valores reais e
distintos de λ que convertem as duas equações diferenciais de derivadas parciais no par de
equações diferenciais ordinárias (B.8).
110
Como a Equação (B.8) só é válida quando a Equação (B.7) é satisfeita, é conveniente
visualizar a solução num diagrama de x e , como na Figura B.4. Pode-se considerar que
o tubo comece na origem O, a montante, e termine em , a jusante. Dessa forma,
t
L x
localiza um ponto no conduto e t , o instante no qual as variáveis dependentes V e P
devem ser determinadas.
Figura B.4 - Método das diferenças finitas aplicado à solução de problemas transientes
Para a dedução que está sendo apresentada, os pontos R e coincidem com os pontos
e
S A
B , respectivamente.
Com as Equações (B.4) e (B.5), aplica-se o método das características associado à técnica
das diferenças finitas e essas duas equações diferenciais são solucionadas numericamente
pela solução dos sistemas de equações obtidos. A seguir, tem-se o primeiro sistema a ser
resolvido:
( ) ( ) ( ) 02
sen1=∆+∆+−+− t
DVfV
tgPPc
VV AAAPAP α
ρ ( ) +c
( ) ( ) ( ) 02
sen1=∆+∆+−−− t
DVfV
tgPPc
VV BBBPBP α
ρ ( ) −c
(B.9)
A resolução desse sistema permite o cálculo de e V no instante a partir de
dois pontos cujos valores
PP P ( tt ∆+ )P e V são conhecidos em um mesmo instante t .
Somando a primeira equação com a segunda do conjunto de Equações (B.9), e isolando
, sendo que, neste trabalho PV 0=α , tem-se:
111
( ) ( )
+
∆−−++= BBAABABAP VVVV
DtfPP
cVVV
21
21
ρ
(B.10)
E subtraindo a segunda equação da primeira no conjunto de Equações (B.9), tem-se:
( ) ( )
−
∆−−++= BBAABABAP VVVV
DtfcVVcPPP
221 ρρ
(B.11)
Conhecendo-se as condições iniciais do problema proposto e suas condições de contorno,
poder-se-á, por meio da repetição do sistema (B.9), determinar os valores de P e ao
longo da tubulação em função do tempo (múltiplo de
V
t t∆ ).
B.3.2 – Condições de Contorno
As condições de contorno irão definir os valores de P e V , em função do tempo, nas
extremidades da tubulação. Essas condições variam de acordo com cada tipo de problema.
B.3.2.1 – Reservatório com nível constante a montante da tubulação e válvula na
extremidade a jusante
Para esse caso, a bancada estudada está ilustrada na Figura B.5 e consiste de um tubo
submetido inicialmente a um escoamento permanente onde o transiente é ocasionado pelo
fechamento de uma válvula.
Figura B.5 – Reservatório com nível constante e válvula a jusante inicialmente aberta
A condição de contorno a montante, isto é, na parte de conecção do tubo com o
reservatório, é considerada constante ( . Para se calcular a velocidade do fluido nesta
posição no instante t basta substituir o valor de
)0P
,t∆+ P para 0=jL em na segunda PP
112
Equação (B.9), sendo V e os valores da velocidade e pressão do ponto posterior ao
ponto inicial do conduto no instante de tempo .
B
( )
BP
t
1 Pc
−B
c1ρ
VB sen
t∆VB=
P6
γPo
Reescrevendo a segunda Equação (B.9), referente à característica negativa, tem-se,
( ) ( ) 02
sen =∆+∆+−− tDVfV
tgPVV BBBPP α
ρ
( ) ( ) tDVfV
tgPPV BBBPP ∆−∆−−+=
2α
( )−c
A equação acima pode ser simplificada, fazendo-se,
( ) tDVfV
gPc
C BBB ∆−−−
2sen1
5 αρ
e cρ
16 =C
tendo-se,
PP CCV 5 += (B.12)
Observa-se que as funções e C são constantes e conhecidas ao longo do tempo. 5C 6
A condição de contorno a jusante é determinada pela velocidade de fechamento da válvula
na saída da tubulação. Caso ela seja fechada de uma forma instantânea, a condição de
contorno imposta V (velocidade de saída do fluido) igual a zero. Quando se fecha esta
válvula em função do tempo, entretanto, a condição de contorno a jusante varia em razão
do tempo.
S
A válvula será tratada como um orifício. A velocidade de escoamento de um fluido ( )0V
por um orifício, com pressão , é determinado por: 0P
gCVo d 2= (B.13)
113
em que, “ ” é o coeficiente de descarga do orifício, “dC g ” é a aceleração da gravidade e
“γ ” é o peso específico do fluido.
Se, em uma tubulação, o fluido escoa a uma velocidade permanente Vo; em uma tubulação
de seção transversal Ao e na saída dessa tubulação há uma válvula que determina uma área
menor ; pela lei de continuidade e usando a Equação (B.13), tem-se: gA
Situação inicial (válvula aberta - 0AAg = ):
γ0
000 2)( PgACAV gd= (B.14)
Então, a velocidade de escoamento do fluido na saída, que será no N ésimo ponto, será:
Situação em instante qualquer (área é função do tempo - )0AAg <
γN
gdNPgACAV 20 =
(B.15)
Para que não seja necessário o cálculo de C , divide-se a Equação (B.15) pela (B.14) e
determina-se um valor de TAU
d
( )τ necessário para os futuros cálculos. Então:
γ
γτ00 P
P
VV
N
N = (B.16)
onde,
0)( gd
gd
ACAC
=τ (B.17)
Isolando da Equação (B.16), tem-se: nP
114
220
02
τVPV
P NN =
(B.18)
Por outro lado, escrevendo de outra forma a equação referente à característica positiva,
tem-se:
PAA
AAP Pc
tDVfV
Pc
VVρρ1
21
−∆−+= (B.19)
Sendo, no contorno o índice P = e o = -1, tem-se: N A N
NN PCCV 23 −= (B.20)
onde,
cC
ρ1
2 = (B.21)
DVtV
fPCVC NNNN 2
111213
−−−−
∆−+=
(B.22)
Substituindo a Equação (B.18) na (B.20), obtêm-se uma equação do segundo grau em
razão de V :N
04342 =−+ CCVCV NN (B.23)
onde,
)( 02
220
4 PCVC τ
= (B.24)
que, resolvido, terá a seguinte solução:
115
43
244
42CC
CCVN +±−=
(B.25)
No entanto, somente se utiliza o sinal (+), porque sendo (-) obtêm-se velocidades negativas
na saída da tubulação, que seria um absurdo no caso estudado. Logo,
43
244
42CC
CCVN ++−=
(B.26)
Substituindo V na Equação (B.18) ou (B.20), obtém-se o valor de . Portanto, havendo
a modificação da abertura da válvula de saída da tubulação na próxima unidade de tempo,
basta modificar o valor de
N NP
τ para determinar os novos valores de V utilizando a Equação
(B.26) e, por conseguinte, calcular o novo valor de .
N
NP
Portanto, para qualquer extremidade de tubo apenas uma das equações características,
(B.12) ou (B.20), estará disponível para as duas variáveis V ou . No caso de um
problema de contorno à esquerda (à montante), a Equação (B.12) será a equação utilizada,
ao passo que para um problema de contorno à direita (à jusante), a Equação utilizada será a
(B.20). Para solucionar as equações a fim de se obter o valor de uma das incógnitas, é
necessário conhecer-se uma das variáveis no ponto
P PP
P ou uma relação entre elas.
116
