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IV-Fractais
ReferênciaPrincipal:ChaosK.Alligood,T.D.Sauer,J.A.Yorke
Springer(1997)
Geometria Fractal
Geometria euclideana descreve órbitas regulares (periódicas e quase-periódicas) Geometria fractal descreve órbitas caóticas
Características dos fractais: • Estrutura complexa em várias escalas • Repetição da estrutura em escalas diferentes • Dimensão fractal (não inteira)
1- Conjuntos de Cantor
Conjunto de Cantor
Extremos de cada intervalo pertencem ao conjunto de Cantor K. Outros pontos também, como ¼.
( ) 03/2lim :nulo éK de ocompriment O
KK lim no restam que pontos dos conjunto o éK Cantor de conjunto O
(2/3) éK intervalo do ocompriment O
(1/3) ocompriment de intervalos 2:K
(1/3) ocompriment de intervalos 2:K
(1/3) ocompriment de intervalos 2:K
1/3 ocompriment de intervalos 2:K
n
n
nn
nn
nnn
333
222
1
→
→
∞→
∞→
Conjunto de Cantor
Para os números entre 0 e 1, na base 3r = a1 3−1 + a2 3−2 + a3 3−3 + ..... + an 3−n + .....ak = 0 ou 1 ou 2 ak : dígito ternário de rr = 0. a1 a1 a1...an
(Ponto fora de K ) 1/3 ⇒ r = 0. 1 0 0 ...a1 = [1/3 × 3] = 1 a2 = [0 x 3] = 0 a3 = [0 x 3] = 0
(Ponto fora de K ) 1/2 ⇒ r = 0.1111 ... = 0. 1_
a1 = [1/2 × 3] = [1,5] = 1 a2 = [0.5 × 3] = 1 a3 = [0.5 × 3] = [1.5] = 1
Pontos em K1 = [0, 1 / 3]∪ [2 / 3, 1]possuem a1 = 0 ou 2
Pontos em K2 = [0, 1 / 9]∪ [2 / 9, 3 / 9]∪ [6 / 9, 7 / 9] ∪ [8 / 9, 1]
possuem a1 = 0 ou 2 e a2 = 0 ou 2
Teorema: O conjunto de Cantor, K , consiste dosnúmeros em [0, 1] que podem ser representados,na base 3, apenas pelos dígitos 0 e 2.
Exemplo: r = 0.02 ∈ Kr = 0x3-1 + 2x3−2 + 0x3-3 + 2x3-4 ..... =29
(1+ 3−2 + 3−4 + ....) = 29
11−1/ 9
= 1/ 4
( Soma = a / (1 − q) )
contável. conjunto um é contáveis conjuntos dois de Uniãocontável. conjunto um é contável conjunto um de oSubconjunt
contável. não : incontável Conjuntocontável. nteinfinitame conjuntoou finito conjunto : contável Conjunto
naturais. números os com ênciacorrespondem colocadosser podem elementos seus :contável nteinfinitame Conjunto
Conjunto dos racionais 0 < m/n < 1 (m, n inteiros) é contável
O conjunto de pontos da figura é contável (ele está ordenado). O conjunto dos racionais é um subconjunto do conjunto da figura → esse conjunto é ordenado.
Conjunto dos números do conjunto de Cantor K, com um número finito numa base 3, é contável.
Números correspondentes à extrema direita dos intervalos retirados.
2/3 2/9 8/9
Lista de números no conjunto de cantor K Esse conjunto é incontável
2ou 0aij =
incontável conjunto um é ,K Portanto,lado. ao lista na está nãor
)a de (contrário 2ou 0b
)a de (contrário 2ou 0b)a de (contrário 2ou 0b
...b...bb0.b r ,K r Número
nnn
222
111
j321
∞
=
=
=
=∈
2- Fractais em Sistemas Determinísticos
Mapa do Padeiro
branca) região a e. i. meio, do terçoo subtraido (Cantor de conjunto :Atrator
! bastante afastam se iteração a após,2/1y e 1/2 y próximos, pontos Dois o.descontínu Mapa
11/2para1) -y 2,32
3x(
2/1y0 para)y 2,3x (
y) (x, B
21 ><
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≤<+
≤≤=
y
AlligoodChaos
Atrator fractal: conjunto de Cantor (n → ∞)
Contração em x Expanção em y
AlligoodChaos
Atrator Fractal
Atrator para n → ∞
AlligoodChaos
Atrator Fractal
Atrator para n → ∞
AlligoodChaos
Fractal no Mapa da Tenda
),1(T pois-x lim
)9/8,9/7( ) 2/9 1/9, (x
),1(T pois-x lim ) 2/3 1/3, (x
-x lim),1( ) 0 , - (x1/2 x para )x -1(3
1/2 x para x 3T
32
3
3
∞∈
∞→
⇒∈
∞∈
∞→⇒∈
∞→⇒∞∞∈⎩⎨⎧
>
≤
∪
∪
AlligoodChaos
x)y, 0.3 x- (1.4 y) (x, fHénon de Mapa
2 +=
Atrator Fractal
AlligoodChaos
fractal é bacias entre Fronteira
1)}(0.3,0.3),(1,{periódica órbita e :Atratores
x)y, 0.3 x- (1.39 y) (x, fHénon de Mapa
2
∞
−=
AlligoodChaos
Conjunto de Cantor Fractal
4-DimensãoFractal
5-CálculodaDimensãodeContagemdeCaixas
Objetivo: Introduzir algorítmo para quantificar a dimensão de um atrator caótico
)1/ ( C ) ( N
:dfor dimensão a Se
)1/ ( C ) ( Ncom cobertoser pode Retângulo
1/ C ) ( N1/ caixa da largura da depende N, caixas, de Número
intervalo) do depende C constante ( largura de caixas ) 1/ ( Cpor coberto 1] [0, Intervalo
1/n largura de caixasn 8por coberto 8] [0, Intervalo1/n largura de caixasn por coberto 1] [0, Intervalo
d
2
εε
εε
εε
ε
εε
=
=
=
caixas) 1/ ( C Narbitrário lado de Quadrado
caixas 49 4 ) 1/71 ( 4 N e 1/7 1/n 7 n
1/n lados de caixas )1/ ( 4 Npor coberto 2 lados de quadrado
:Exemplo
2
2
2
ε
ε
εε
=
×====⇒=
==
)1/ (ln ) ( Nln lim ) caixa de ( Dimensão
:Definição
! inteiroser não pode d)1/ ( C ) ( N
lados de caixas Npor cobertofor ele se d é conjunto um de dimensãoA
0
d
εε
εε
ε
ε →=
=
AlligoodChaos
) x ,y 0.3 x- 1.4 ( )y , x ( fHénon deAtrator
2 +=
Atrator ocupa 76 das 256 caixas.
AlligoodChaos
Caixas de tamanhos diferentes
AlligoodChaos
Cálculo da Dimensão de Caixa para o Atrator de Hénon
d = 1.27
Dimensão de Correlação ( útil para dados experimentais )
Órbita S = { v0 , v1,...vN} do mapa f em Rn.Pr oporção de pares de pontos da órbita cujas distâncias são maiores que r > 0
C ( r ) = limN → ∞
{ pares { vi , v j } : vi , v j ∈ SN , vi −v j < r
{ pares { vi , v j } : vi , v j ∈ SN }
0 ≤ C ≤ 1 para 0 < r < ∞
Se C( r ) ≈ rd , d é a dimensão de correlação da órbita
Definição:
d ≡ dim cor = limr → ∞
logC (r )log( r )
AlligoodChaos
Cálculo da Dimensão para o Atrator de Hénon Com a Dimensão de Correlação
d = 1.23
1 )(K dim 0
...631.03ln2ln
3ln n 2ln n lim
3ln 2ln lim )K ( dim
1/3 largura de intervalos2KCantor de conjunto do Dimensão
n n
n
n
nn
<<
====∞→∞→