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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E TECNOLÓGICAS

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

JOÃO PAULO DE BARROS CAVALCANTE

ESTUDO DE TRELIÇAS PLANAS NO REGIME NÃO LINEAR FÍSICO: REVISÃO

E APLICAÇÕES COMPUTACIONAIS

MOSSORÓ-RN

2014




Monografia apresentada a Universidade

Federal Rural do Semi-Árido – UFERSA,

Departamento de Ciências Ambientais e

Tecnológicas para a obtenção do título de

Engenheiro Civil.

Orientador (a): Prof. M.Sc. Raimundo Gomes

de Amorim Neto - UFERSA

MOSSORÓ-RN

2014

O conteúdo desta obra é de inteira responsabilidade de seus autores

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

Biblioteca Central Orlando Teixeira (BCOT)

Setor de Informação e Referência

C376e Cavalcante, João Paulo de Barros.

Estudo de treliças planas no regime não linear físico: revisão

e aplicações computacionais. / João Paulo de Barros

Cavalcante. -- Mossoró, 2014.

70f.: il.

Orientador: Prof. MSc. Raimundo Gomes de Amorim Neto.

Monografia (Graduação em Engenharia Civil)–Universidade

Federal Rural do Semi-Árido. Pró-Reitoria de Graduação.

1. Elastoplástico. 2. Elementos finitos. 3. Não-linearidade

física. 4. Treliça. I. Titulo.

RN/UFERSA/BCOT /163-14 CDD ( 22.ed.) : 624.153 Bibliotecária: Vanessa Christiane Alves de Souza Borba

CRB-15/452




Monografia apresentada a Universidade

Federal Rural do Semi-Árido – UFERSA,

Departamento de Ciências Ambientais e

Tecnológicas para a obtenção do título de

Engenheiro Civil.

APROVADA EM: ______ /_____ /______

BANCA EXAMINADORA

__________________________________________________

Prof. M.Sc. Raimundo Gomes de Amorim Neto – UFERSA

Presidente

___________________________________________________

Profª. D.Sc. Marcilene Vieira da Nóbrega– UFERSA

Primeiro membro

___________________________________________________

Prof. M.Sc. João Paulo Matos Xavier – UFERSA

Segundo membro

Dedico este trabalho à minha família e aos

meus amigos pela compreensão e incentivo

durante o período de seu desenvolvimento.

AGRADECIMENTOS

Aos meus pais, João Agripino Cavalcante e a Maria Daguia Barros por todo apoio,

motivação e por tudo o que fizeram e ainda fazem por mim.

Ao meu orientador Raimundo Gomes de Amorim Neto, pela dedicação e compressão

durante este trabalho. Sempre me atendendo quando solicitei mesmo estando ocupado.

Guardo com grande satisfação sua amizade e uma baita admiração.

Ao coordenador do Curso de Engenharia Civil Prof. M.Sc. Raimundo Gomes de

Amorim Neto, por seus esforços para tornar o curso cada vez melhor e pelo comprometimento

com o aluno. Uma pessoa que com certeza, sempre guardarei na memória como a figura de

um grande professor e coordenador.

Aos meus parceiros Renato Alison, Tialison Romão, Dakson Câmara, Ronnifran Cabral,

Fabson Emerson e Edmilson Alves pela amizade durante esses dois anos de curso.

A toda equipe da Sete Engenharia e Projetos, em especial a Sérgio Martins pela

compreensão e companheirismo durante esse período.

A todos colegas que fizeram parte da minha vida acadêmica, todos tiveram um papel

importante nesta jornada.

A banca examinadora deste trabalho, por aceitar o convite disponibilizando do seu

tempo para contribuir com este trabalho.

A todos os professores do curso de Engenharia Civil da UFERSA-Mossoró.

“Os professores abrem as portas, mas você

precisa entrar sozinho.”

Provérbio Chinês

RESUMO

Este trabalho trata de um estudo sobre a análise de estruturas do tipo treliça, levando

em consideração os efeitos da não-linearidade física. A não-linearidade física é caracterizada

pela relação desproporcional entre tensão e deformação, decorrente da alteração das

propriedades físicas do material da estrutura, ou seja, o comportamento do material não

obedece a lei Hooke. A teoria da elasticidade linear prevê que as solicitações levam um

determinado material a um comportamento completamente elástico, já a plasticidade fica

evidenciada pela ocorrência de deformações permanentes. Por fim, o comportamento dos

materiais elastoplásticos é resultante de uma resposta inicialmente elástica, e a partir de certo

estado de tensão apresenta um comportamento predominantemente plástico. Os problemas

não-lineares são consideravelmente mais complexos, desta forma é imprescindível a

utilização de recursos computacionais como ferramenta de auxílio. Na análise numérica

podemos destacar o Método dos elementos finitos (MEF) que é uma ferramenta que apresenta

vasta área de atuação, demostra grande versatilidade e ótimo desempenho no âmbito

estrutural. As treliças são estruturas compostas exclusivamente por membros retilíneos

conectados entre si em suas extremidades, onde seus métodos de análise lineares estão

bastante difundidos. Então, este trabalho consta da análise da não-linearidade física em

treliças, por meio do MEF, através do programa ANSYS, que é um software capaz de

solucionar problemas com grande rapidez e eficiência. Os resultados obtidos ilustram a

importância que os efeitos da não-linearidade física apresentam na análise de estruturas.

Palavras-chave: Não-linearidade física. Treliça. Elastoplástico. Elementos finitos.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Método dos Nós.......................................................................................................24

Figura 2 - Método das seções....................................................................................................25

Figura 3 - Diagramas tensões-deformações..............................................................................27

Figura 4 - Relação Constitutiva elastoplástica perfeita.............................................................27

Figura 5 - Modelo de encruamento linear isótropo...................................................................31

Figura 6 - Parâmetro de encruamento linear isótropo...............................................................33

Figura 7 - Encruamento Linear cinemático...............................................................................33

Figura 8 - Treliça do centro de vivência...................................................................................43

Figura 9 - Treliça adaptada.......................................................................................................44

Figura 10 - Elemento LINK 1...................................................................................................45

Figura 11 - Modelo discretizado...............................................................................................45

Figura 12 - Deformada da treliça..............................................................................................46

Figura 13 - Deslocamentos máximos........................................................................................46

Figura 14 - Reações de apoio....................................................................................................47

Figura 15 - Forças normais.......................................................................................................47

Figura 16 - Tensões axiais, deformações plásticas e elásticas..................................................48

Figura 17 - Deformações elásticas............................................................................................49

Figura 18 - Tensões...................................................................................................................49

Figura 19 - Treliça Plana...........................................................................................................50

Figura 20 - Modelo Físico Discretizado...................................................................................51

Figura 21 - Deformada da treliça..............................................................................................52

Figura 22 - Reações de apoio....................................................................................................52

Figura 23 - Forças normais.......................................................................................................52

Figura 24 - Tensões axiais, deformações elásticas e plásticas..................................................53

Figura 25 - Tensões...................................................................................................................54

Figura 26 - Deformações elásticas............................................................................................54

Figura 27 - Deformações plásticas............................................................................................55

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

- Deformação Elástica

- Deformação Plástica

W - Trabalho Virtual

extW

- Trabalho virtual externo

U - Trabalho virtual interno

u - Vetor deslocamento

' - Deslocamento Virtual

A - Superfície do sólido

div - Divergente

E - Módulo de elasticidade longitudinal

Ɛ - Deformação Total

f - Força por unidade de volume

grad - Gradiente

H - Módulo de encruamento cinemático

k - Módulo plástico de encruamento isótropo

MEF - Método dos elementos finitos

n - Vetor posição

q - Deslocamento

r - Equilíbrio local

sign(.) - Operador de sinais

t - Força por unidade de superfície

T - Tensor

ⱱ - Coeficiente de Poisson

α - Parâmetro que registra a história do carregamento

Δ - Incremento de deformação elástica

Δ - Incremento de deformação plástica

Δ σ - Incremento de tensão

ΔƐ - Incremento total de deformação

Δp - Acréscimo de tensão

Δα - Incremento do parâmetro que registra a história do carregamento

Δλ - Valor absoluto do incremento de deformação plástica

ρ - Densidade

σ - Tensão

σy - Tensão de escoamento

τ - Cisalhamento

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO....................................................................................................................12

1.1 JUSTIFICATIVAS.............................................................................................................13

1.2 OBJETIVOS.......................................................................................................................13

1.2.1 Objetivo geral.................................................................................................................13

1.2.2 Objetivos específicos......................................................................................................14

2 REFERENCIAL TEÓRICO...............................................................................................15

2.1 MODELOS NÃO-LINEARES...........................................................................................15

2.1.1 Não-Linearidade Geométrica........................................................................................16

2.1.2 Não-Linearidade Física..................................................................................................16

2.2 MÉTODOS NUMÉRICOS.................................................................................................17

2.3 PROGRAMA COMPUTACIONAL (ANSYS)..................................................................19

2.4 ESTUDO DAS TRELIÇAS................................................................................................21

2.4.1 Classificação das treliças...............................................................................................22

2.4.2 Análise de treliças...........................................................................................................23

2.4.2.1 Análise de treliças pelo Método dos Nós......................................................................23

2.4.2.2 Análise de treliças pelo Método das Seções.................................................................24

3 ANÁLISE NUMÉRICA......................................................................................................26

3.1 COMPORTAMENTO ELASTOPLÁSTICO UNIDIMENSIONAL.................................26

3.1.1 Comportamento elastoplástico perfeito.......................................................................27

3.1.2 Comportamento elastoplástico com encruamento linear positivo............................30

3.1.2.1 Modelo de encruamento isótopro.................................................................................30

3.1.2.2 Modelo de encruamento cinemático.............................................................................33

3.1.2.3 Modelo Misto................................................................................................................34

3.2 ALGORITMO PARA VERIFICAÇÃO DO MODELO CONSTITUTIVO

ELASTOPLÁSTICO COM ENCRUAMENTO ISÓTROPO LINEAR...........................36

3.3 GENERALIZAÇÃO PARA O CASO DE UMA ESTRUTURA......................................38

4 MATERIAL E MÉTODOS.................................................................................................41

4.1 ROTEIRO GERAL PARA ANÁLISE COM O ANSYS...................................................41

4.1.1 Pré-Processamento.........................................................................................................41

4.1.2 Solução............................................................................................................................41

4.1.3 Pós-Processamento.........................................................................................................42

5 RESULTADOS E DISCUSSÕES.......................................................................................43

5.1 EXEMPLO 1.......................................................................................................................43

5.2 EXEMPLO 2.......................................................................................................................50

6 CONCLUSÕES....................................................................................................................56

REFERÊNCIAS......................................................................................................................57

APÊNDICE A..........................................................................................................................61

APÊNDICE B..........................................................................................................................64

APÊNDICE C..........................................................................................................................68

12

1 INTRODUÇÃO

Na análise de estruturas destacam-se a análise linear e não-linear. A primeira destas,

caracteriza-se pela modificação da geometria da estrutura não interferir na distribuição dos

esforços e tensões, onde a relação entre tensões e deformações é linear. Já a não-linear é

proveniente da modificação da geometria ou das propriedades físicas do material, estes dois

tipos de efeitos correspondem respectivamente a não-linearidade geométrica e física. Sendo a

não-linearidade geométrica relacionada a configuração deformada da estrutura, enquanto que

a não-linearidade física é uma propriedade intrínseca dos materiais que provoca a perda de

rigidez dos elementos estruturais (AZEVEDO, 1985).

Entretanto, para problemas não-lineares, os processos de cálculo são mais complexos,

requerendo o auxílio de recursos computacionais. Atualmente, existem diversos programas

capazes de simular o comportamento dos materiais dos quais são constituídas as estruturas.

Dentre estes programa pode-se citar o ANSYS, que foi pioneiro na aplicação do Método dos

Elementos Finitos (MEF) (AMARAL et al., 2010).

O emprego do MEF como ferramenta de auxílio no dimensionamento de elementos

estruturais é bastante difundido. De acordo com Soriano (2003), o método nada mais é que

uma análise matemática, onde um meio contínuo é fragmentado em vários elementos, cujos

mesmos mantém as propriedades idênticas às originais. Esses elementos serão descritos por

equações diferenciais e resolvidos por modelos matemáticos, onde tal processo torna-se

complexo se resolvido analiticamente.

As treliças são estruturas formadas unicamente por elementos retilíneos que estão

conectados entre si em suas extremidades, onde são constituídas por elementos rígidos

(barras), que são projetadas com o objetivo de suportar cargas. Estas são largamente utilizadas

em projetos estruturais, pois possibilita leveza e praticidade na execução de coberturas e

outras edificações, por exemplo (BEER, 1994).

Conforme Rodrigues (1997), na maioria dos projetos de estruturas treliçadas que

apresentam grandes deformações, tais como edifícios altos, torres de transmissão, pontes e

outras, a consideração das não-linearidades física e geométrica é indispensável, uma vez que

os efeitos produzidos por tal consideração provocam deslocamentos e esforços finais bastante

amplificados. Então, a possibilidade de solucionar os problemas pertinentes a estas estruturas,

quando considerados os efeitos não-lineares através de métodos alternativos torna-se por sua

13

vez indispensável. Uma possibilidade para aplicação eficaz nestes tipos de análise remete ao

emprego do MEF.

Na prática da engenharia é bastante comum utilizar a teoria da elasticidade linear para

o cálculo das estruturas, logo, as solicitações consideram apenas o comportamento elástico

dos matérias constituintes. O comportamento elastoplástico é caracterizado por uma resposta

do material, inicialmente elástica e, a partir de um determinado nível de tensão, por um

comportamento essencialmente plástico (SEGININI, 2000). Então, um modelo que ele isso

consigo mostra-se como uma melhor aproximação do comportamento das peças em serviço.

Proença (1988) ressalta que o comportamento plástico de um material fica evidenciado

pelo aparecimento de deformações irreversíveis, ou permanentes, quando se anula a

solicitação a que o corpo está sujeita. Para simular este comportamento plástico pode-se fazer

o uso dos modelos elastoplástico perfeito e com encruamento linear positivo.

1.1 JUSTIFICATIVAS

Devido ao avanço tecnológico e à utilização de materiais mais resistentes, estruturas

mais complexas e esbeltas estão sendo desenvolvidas, necessitando para isso métodos

computacionais para a sua análise, tendo em vista a dificuldade de se modelar o

comportamento real destas estruturas com precisão.

Outra motivação para realização deste trabalho é abrir o campo de pesquisa na

presente universidade, referente aos efeitos da não-linearidade na análise de estruturas.

1.2 OBJETIVOS

1.2.1 Objetivo Geral

O trabalho em questão tem como objetivo desenvolver um estudo sobre a modelagem

de estruturas, levando em consideração os efeitos da não-linearidade física, com ênfase em

treliças.

14

1.2.2 Objetivos específicos

Utilização do MEF, visando representar o comportamento fisicamente não-linear de

estruturas.

Realizar aplicações práticas, através da simulação de problemas propostos pela

ferramenta computacional ANSYS.

15

2 REFERENCIAL TEÓRICO

Durante este capítulo será apresentado a revisão bibliográfica para que seja possível

identificar os assuntos que estão ligados diretamente aos objetivos deste trabalho como,

estudo dos efeitos da não-linearidade em estruturas, análise numérica, aplicação do MEF por

meio do software ANSYS, estudo do comportamento de treliças.

2.1 MODELOS NÃO-LINEARES

A análise de estruturas pode ser dividida em análise linear e análise não-linear. Em

projetos estruturais a análise normalmente é feita considerando-se o regime elástico linear,

todavia Dinis (2005) ressalta que na generalidade dos projetos de componentes estruturais,

considera-se que as solicitações impostas levam a um comportamento elástico dos materiais

que os constituem, entretanto, em determinadas ocasiões, como por exemplo, motivos de

segurança, é indispensável prever o comportamento dos componentes diante o aparecimento

de deformações com características plásticas.

Conforme Rubert (1993), na maioria dos projetos de estruturas não são consideradas

as não-linearidades, a partir da justificativa de que tais efeitos produzem pouca ou quase

nenhuma influência no resultado de deslocamentos e esforços finais, porém, a

desconsideração destes efeitos podem ocasionar em projetos inadequados.

Segundo Paula (2001), a análise estrutural linear clássica pressupõe proporcionalidade

entre carga e deslocamento. As condições para que essa proporcionalidade se verifique são:

resposta elástica linear do material e pequenos deslocamentos que são especificados pelas

normas vigentes. Já na análise não linear, incrementos constantes de carga não correspondem

a incrementos constantes de deslocamentos.

O comportamento não linear pode estar relacionado ao comportamento do material ou

associado a mudanças da configuração da estrutura, denominadas respectivamente como não-

linearidade física e geométrica. Em muitas situações a análise não-linear é importante, como

no caso de estruturas muito esbeltas ou então estruturas submetidas a ações excepcionais, tais

como terremotos ou furacões. Além disto, uma análise não linear torna-se necessária para a

verificação da capacidade resistente de estruturas existentes que serão submetidas a novos

carregamentos não previstos em projetos ou em casos onde as cargas foram subestimadas no

projeto estrutural (STRAMANDINOLI, 2007).

16

Leite (2000) apresentou o processo e a formulação de elementos finitos para análises

de treliças, considerando as não linearidades geométricas e físicas, onde utilizou-se um

software que é capaz de resolver estas não linearidades, baseado num processo incremental-

iterativo, no qual é verificado para cada iteração segundo um critério de convergência adotado

previamente.

2.1.1 Não-Linearidade Geométrica

A linearidade geométrica fica atendida se as alterações na configuração do sistema

estrutural forem consideravelmente pequenas, de maneira a permitir a utilização de relações

deformação versus deslocamento e equações de equilíbrio com base na geometria inicial.

Quando a variação de esforços e deslocamentos ocasionados pela mudança da geometria da

estrutura sob ação de carregamentos já não for tão pequena, valores esses especificados pelas

normas vigentes, deve-se considerar a não-linearidade geométrica, formulando as equações de

equilíbrio para a configuração deformada da estrutura (STRAMANDINOLI, 2007).

Segundo Rubert (1993), o estudo da não-linearidade geométrica é particularmente

importante para estruturas cuja esbeltez e deformabilidade excessivas fazem com que na

configuração final de equilíbrio da estrutura surjam esforços internos, de acordo as normas

vigentes, ditos de segunda ordem, cuja magnitude não pode ser desprezada.

De acordo com Segnini (2000), entende-se como não-linearidade geométrica todo

efeito causado em uma estrutura devido as alterações na geometria da mesma. As alterações

na geometria podem ocorrer de diversas formas, tais como: grandes deformações, grandes

rotações e grandes deslocamentos.

Conforme Rojas (2001), a não-linearidade geométrica surge devido a alteração da

geometria de referência da análise ao longo do processo de deformação do corpo, e pode

ocorrer devido a grandes deformações, grandes deslocamentos e rotações da configuração de

referência.

2.1.2 Não-Linearidade Física

De acordo com Segnini (2000), como linearidade física entende-se um comportamento

estrutural que segue a hipótese de uma relação tensão-deformação linear e, na teoria clássica,

o comportamento do material segue a lei de Hooke, enquanto a não-linearidade física,

17

segundo Rodrigues (1997), é caracterizada pela relação não linear entre tensão e deformação,

decorrente da modificação das propriedades físicas do material estrutural.

A análise não-linear física leva em consideração a perda de rigidez do material durante

a história de carregamento da estrutura, sendo assim, a partir de certo valor de carga, os

elementos que compõem a estrutura perdem a capacidade de recuperar a sua forma inicial,

quando descarregados, ou seja, acumulam deformações permanentes chamadas deformações

plásticas (BRANCO, 2002).

Proença (1988) estudou o comportamento elastoplástico de estruturas ligado aos

efeitos da não-linearidade física, destacando que a variação das propriedades mecânicas dos

materiais durante a aplicação das cargas, pode conduzir a uma resposta fora do regime

elástico, onde enfatiza o modelo elastoplástico perfeito e o elastoplástico com encruamento

linear.

Conforme Rojas (2001), a variação das propriedades mecânicas dos materiais quando

submetidos a esforços, pode acarretar, para a estrutura global, uma resposta de deslocamentos

fora do regime elástico, onde o surgimento deste tipo de não-linearidade pode ou não, de

acordo com o tipo de estrutura, estar combinada com a não-linearidade geométrica.

2.2 MÉTODOS NUMÉRICOS

Atualmente, o MEF tornou-se uma das ferramentas mais utilizadas para análise não-

linear de estruturas, e, embora vários modelos de elementos finitos já tenham sido

desenvolvidos, esse ainda é um tema importante no meio técnico-cientifico, tendo em vista a

dificuldade de se modelar o comportamento real das estruturas (STRAMANDINOLI, 2007).

De acordo com Garzón (2002), o MEF é muito versátil e poderoso pois permite aos

engenheiros obter informações sobre o comportamento de objetos com formas complexas em

quase qualquer carga concebível (cargas pontuais, pressão, térmica, cargas dependentes do

tempo e etc). Permite resolver problemas estáveis ou dependentes do tempo, lineares ou não-

lineares. Pode-se considerar efeitos especiais nos materiais, como: plasticidade, propriedades

dependentes da temperatura, deformações. Os ramos de aplicação são variados, tais como:

mecânica dos sólidos, mecânica dos fluidos, eletromagnetismo, transferência de calor e

acústica, entre muitos outros.

18

Por muito tempo, a aplicação do MEF limitou-se à solução de problemas lineares, isto

é, aqueles nos quais há uma dependência linear entre a força externa aplicada sobre o corpo

em análise e os deslocamentos por ele sofridos (ROJAS, 2001).

A versatilidade do método não salva a necessidade de uma análise detalhada dos

resultados obtidos antes de ser aplicado na solução de um problema real. Os resultados podem

ser obtidos tão bem apresentados que geram confiança na análise, o que podem levar a erros.

Pode-se produzir grandes erros no modelamento devido ao uso de opções inadequadas do

programa ou devido a utilização de dados errados. Os resultados de uma programa não são

confiáveis, se o usuário não entender como o mesmo funciona, ou não tem noções físicas

suficiente para compreender os resultados obtidos pelo programa.

O modo como o MEF é formulado e aplicado varia de acordo com cada tipo de

problema. Conforme Azevedo (2003), há dois aspectos essências que devem ser levados em

consideração para a fase precedente a análise de estruturas, sendo eles, os tipos de análises

que serão consideradas e os tipos de elementos estruturais, onde:

Tipos de análises

- Análise dinâmica ou estática

Ações sobre estruturas são em geral dinâmicas. É plausível considerar que as ações

são aplicadas de uma maneira muito lenta, onde se tornam desprezíveis as forças de inércia,

onde este caso a análise indica-se estática.

- Análise não linear e linear

A análise linear ocorre quando as ações externas são muito pequenas quando

comparadas com as dimensões dos componentes das estruturas, caso contrário é uma análise

não linear. Admite-se que não existe influência da alteração da geometria da estrutura na

distribuição das tensões e dos esforços, o estudo é feito com base que não haja deformações.

19

Tipos de estruturas

As estruturas podem ser classificadas quanto a sua geometria como reticuladas,

laminares e sólidas. As estruturas reticuladas são constituídas por barras prismáticas, cujas

dimensões transversais são muito pequenas quando comparadas com o comprimento do

respectivo eixo. As estruturas laminares são aquelas que têm a espessura muito inferior ás

outras dimensões. As estruturas sólidas são aquelas que não apresentam características para se

encaixar no grupo das laminares e reticuladas.

Conforme destaca Xavier (2008), o MEF consiste em um método numérico

aproximado para análise de diversos fenômenos que ocorrem em meios contínuos, e que são

descritos através de equações diferenciais parciais, com determinadas condições de contorno e

possivelmente condições iniciais. A ideia principal do MEF consiste em dividir o domínio do

problema em sub-regiões de geometria simples, devido ao fato das sub-regiões apresentarem

dimensões finitas, estas sub-regiões são chamadas de elementos finitos.

Segundo Liu e Quek (2003), o MEF é um método numérico que procura uma solução

aproximada da distribuição de campos variáveis no domínio do problema, determinando

vários fatores e ações aos quais o nosso objeto de estudo está submetido, tendo como

propósito garantir a viabilidade econômica e a eficácia do produto a ser feito. Logo a

obtenção de resultados de forma rápida e precisa vem sendo bastante requerida nos tempos

atuais, destacando-se o MEF, pois o mesmo sintetiza de forma abrangente uma série de

funções para resolução de problemas que constam em nosso cotidiano.

Rios (2002) expôs através da utilização do MEF a viabilidade de se utilizar métodos

numéricos para a solução de problemas como a propagação de descontinuidade em estruturas,

principalmente em questões onde os comportamentos não-lineares são regidos pela evolução

do dano continuo, salientando as vantagens e imperfeições destes métodos.

2.3 PROGRAMA COMPUTACIONAL (ANSYS)

Dentre a grande variedade de ferramentas disponíveis na análise numérica de

estruturas, destacam-se os softwares que são elaborados tendo como base o Método dos

Elementos Finitos. O ANSYS é uma ferramenta numérica capaz de solucionar com grande

rapidez problemas que em geral se tornam de extrema dificuldade de serem realizados

20

analiticamente, disponibilizando soluções gráficas que facilitam a visualização e

entendimento do problema.

Garzon (2002) enfatiza que o ANSYS teve grande desenvolvimento nos últimos anos

devido ao avanço tecnológico e por sua vasta área de implementação e também por apresentar

benefícios aos seus usuários como simplicidade, agilidade, e diminuição nos custos de modo

geral. Em função deste avanço tecnológico aparece a utilização de estruturas mais complexas

e dos mais diversos tipos de materiais, surgindo assim a necessidade de encontrar modelos

que melhor se adaptem para representar o comportamento de tais estruturas.

A partir do ANSYS podem ser modeladas estruturas por elementos unidimensionais,

bidimensionais e tridimensionais de maneira que representem da melhor forma possível a

estrutura, garantindo bom desempenho na formulação de todo processo.

Conforme Pereira (2005), a generalização de meios de cálculo automático potentes

tem possibilitado o recurso cada vez mais frequente ao MEF, então, este método numérico

tornou-se o mais utilizado para adquirir soluções aproximadas em problemas que são

descritos por termos de equações com derivadas parciais.

Segundo Liu e Quek (2003), o processo da modelagem computacional utilizando o

MEF em geral é composto por quatro etapas, sendo:

A) Modelagem da geometria

Quando ocorre a necessidade de solucionar problemas estruturais é indispensável

conhecer a geometria da estrutura, é muito complexo representar as componentes e o formato

real das estruturas, logo existe a necessidade de simplificar o problema. Então, utiliza-se uma

geometria que possa ser gerenciada, no caso de estruturas de superfícies curvas ocorre a

necessidade deste gerenciamento, onde é necessário aproximá-la em diversas seções retas,

sendo importante ressaltar que quanto maior o número de seções melhor será a representação

da geometria da estrutura, ocasionado melhor precisão nas soluções.

B) Discretização

A geometria da estrutura é discretizada, onde o meio contínuo é fragmentado em

pequenos pedaços chamados de elementos, onde a solução para um elemento pode ser

21

aproximada facilmente através de simples funções, como por exemplo, polinômios. As

soluções para todos os elementos formam a solução para o domínio do problema todo.

C) Propriedades do material

Para diversas situações a serem simuladas existem vários grupos de propriedades do

material que são fundamentais, pois a partir destas propriedades seremos capazes de obter

diferentes informações como características, propriedades, comportamento e etc. As

propriedades do material são indispensáveis, sendo necessário especificá-las, pois irão

interferir diretamente na simulação, e quanto melhor especificadas mais preciso e confiável

será o resultado.

D) Especificação de limites e condições de carga

Esta etapa desempenha um papel decisivo na elaboração da simulação, pois são

determinadas as condições de contorno e carregamento. Introduzir as condições é geralmente

feito facilmente utilizando um sistema computacional.

2.4 ESTUDO DAS TRELIÇAS

Nesta seção será mostrada a teoria que envolve as treliças, elemento estrutural

analisado neste trabalho. Será descrita a definição de uma forma geral, apresentando suas

devidas classificações e método de análise de acordo com a literatura.

As estruturas do tipo treliça, sejam planas ou espaciais, tem vasta aplicação na

engenharia, sendo que os métodos de análises lineares destes tipos de estruturas já estão

bastante difundidos.

De acordo com Beer (1994), treliça é toda estrutura formada unicamente por

elementos retilíneos conectados em juntas localizadas nas extremidades de cada elemento.

Nos membros de uma treliça atuam duas forças de mesmo módulo e direção, mas de sentido

opostos. A treliça é um dos principais tipos de estruturas utilizadas na engenharia, pois

oferece na maioria das vezes uma solução prática e econômica, principalmente no projeto de

coberturas, pontes, viadutos, torres e etc.

22

2.4.1 Classificação das treliças

Conforme Soriano (2010) as treliças podem ser classificadas de acordo com a

disposição no espaço, de acordo com a formação e de acordo com o equilíbrio estático.

De acordo com a disposição no espaço têm-se as treliças planas e espaciais. Treliças

planas são aquelas onde os elementos pertencem a um único plano, enquanto as treliças

espaciais são aquelas que apresentam seus elementos em planos diferentes, ou seja, suas

barras estão unidas de maneira a formar uma configuração tridimensional.

Quanto à formação, as treliças podem ser classificadas como: treliças simples,

compostas e complexas (SORIANO, 2010; BEER, 1994 e HIBBELER, 2011).

Treliças simples

Uma treliça simples pode ser formada a partir de três barras birotuladas ligadas em

forma de triângulo, à qual são acrescentadas duas barras ligadas por meio de uma rótula, e

assim sucessivamente, com mais duas novas barras e uma rótula.

Treliças compostas

Toda treliça composta é formada a partir de treliças simples de maneira que não haja

deslocamento relativo entre essas treliças e o conjunto não seja outra treliça simples.

Treliças complexas

É toda treliça que não é simples e nem composta.

De acordo com o equilíbrio estático as treliças podem ser hipostática, isostática e

hiperestática (SUSSEKIND, 1983). Logo, com o número de barras representado por “b”, onde

“r” é o número de componentes de reações de apoio a determinar, e as equações de equilíbrio

em número igual a “2n”, sendo “n” o número total de pontos nodais, têm-se as seguintes

condições e concepções:

23

Treliça Hipostática

A desigualdade (b + r < 2n) é condição suficiente para que uma treliça seja hipostática.

A sua classificação como hipostática é devido ao fato de que o número de equações de

equilíbrio é superior ao número de incógnitas.

Treliça Isostática

A desigualdade (b + r = 2n) é uma condição necessária, mas não suficiente, para que

uma treliça seja isostática. Uma treliça é isostática quando o número de equações de equilíbrio

é igual ao número de variáveis a serem determinadas.

Treliça Hiperestática

A desigualdade (b + r > 2n) é uma condição necessária, mas não suficiente, para que

uma treliça seja hiperestática. Uma treliça é hiperestática quando a aplicação das equações de

equilíbrio é insuficiente para a determinação das reações de apoio e dos esforços nas barras.

2.4.2 Análise de treliças

A análise de treliças é feita basicamente através de dois métodos, que são: Método dos

Nós e Método das Seções (SORIANO, 2010; BEER, 1994, HIBBELER, 2011).

2.4.2.1 Análise de treliças pelo Método dos Nós

O Método dos Nós consiste na resolução das equações de equilíbrio dos pontos nodais

de uma treliça, de modo que os esforços nodais internos fiquem equilibrados pelas forças

nodais externas. A treliça pode ser desmembrada e para cada pino e barra pode ser desenhado

um diagrama de corpo livre. Cada barra está sujeita a duas forças, uma em cada extremidade,

estas forças possuem o mesmo módulo, a mesma linha de ação e sentidos opostos (FIGURA

1).

24

Para que este método torne-se simples, é imprescindível escolher uma sequência de

nós para escrever as equações de equilíbrio, de tal forma que se obtenha no máximo dois

esforços desconhecidos em cada nó, o que permitirá a resolução destas equações.

Figura 1: Método dos Nós.

Fonte: Meriam e Kraige (2011).

Este método torna-se bastante eficaz quando ocorre a necessidade de determinar as

forças em todas as barras da treliça. A análise é feita a partir do diagrama de cada nó que

compõe a treliça.

2.4.2.2 Análise de treliças pelo Método das Seções

Este método apoia-se no fato de que, devido à treliça está em equilíbrio, logo, cada

uma de suas partes também estão em equilíbrio. O método consiste basicamente em seccionar

a parte da treliça que se deseja conhecer, em seguida aplicam-se as equações de equilíbrio no

trecho escolhido (FIGURA 2). Deve-se repetir o procedimento até que todas as barras da

treliça tenham seus esforços determinados.

O Método das Seções é mais eficiente quando se deseja determinar forças em somente

uma barra ou em poucas barras.

25

Figura 2: Método das seções.

Fonte: Meriam e Kraige (2011).

26

3 ANÁLISE NUMÉRICA

Neste capítulo são apresentados os fundamentos básicos relacionados a teoria da

plasticidade, necessários para a elaboração da relação constitutiva de um material de

comportamento elastoplástico. Também é apresentada a formulação do comportamento

elastoplástico para o caso unidimensional, tanto para o modelo elastoplástico perfeito como

para o modelo elastoplástico com encruamento linear positivo e na sequência é feita a

generalização para o caso de um sólido ou estrutura. Faz-se uma revisão sobre os critérios de

plastificação utilizados e a formulação implementada com base nos estudos de Proença(2006),

Rojas (2001) e Azevedo (1985).

3.1 COMPORTAMENTO ELASTOPLÁSTICO UNIDIMENSIONAL

De modo geral, os projetos estruturais admitem que as solicitações acarretam a um

comportamento elástico dos materiais que os constituem. Entretanto, em algumas

circunstâncias, por motivos de segurança, por exemplo, é importante prever o comportamento

das estruturas diante o surgimento de deformações com características plásticas.

Segundo Schmidt (2006), o comportamento plástico de um material pode ser

caracterizado, a nível macroscópico, pela ocorrência de deformações permanentes, ou seja,

irrecuperáveis, observadas em um ciclo de carregamento e descarregamento. Normalmente, o

material apresenta um valor de tensão, denominado tensão de escoamento, que uma vez

atingido pode acarretar no acontecimento de deformações plásticas.

Conforme Proença (1988), pode-se citar como característica geral do comportamento

elastoplástico a irreversibilidade, no sentido que se trata de um processo que dissipa energia e

a não-viscosidade, esta condição enuncia o fato de que um incremento de deformação

corresponde, imediatamente, um incremento de tensão.

Segundo Azevedo (1985), é conveniente diferenciar o comportamento não linear

elástico do elastoplástico, em quanto no primeiro o diagrama de descarga coincide com o de

carga (FIGURA 3.a), no segundo, após o início da plastificação os dois diagramas são

distintos, uma vez que as deformações plásticas são irreversíveis (FIGURA 3.b).

27

Figura 3: Diagramas tensões-deformações.

Fonte: Azevedo (1985).

Nos modelos elásticos, cada estado de deformação (Ɛ) sempre está associado a um

único estado de tensão (σ). Enquanto no modelo elastoplástico, para se determinar a

intensidade de tensão respectiva a certa intensidade de deformação é necessário conhecer a

história prévia da deformação plástica ( ). Justifica-se essa colocação no que segue.

3.1.1 Comportamento elastoplástico perfeito

Os materiais elastoplástico perfeito são aqueles onde a tensão solicitante jamais

ultrapassa a tensão de escoamento e quando essa é atingida e mantida, todo acréscimo de

deformação é unicamente de natureza plástica.

Na figura 4, apresenta-se o modelo elastoplástico perfeito, onde não há encruamento, e

quando é atingido o estado de tensão o material escoa indefinidamente.

Figura 4 – Relação Constitutiva elastoplástica perfeita.

Fonte: Schmidt (2006).

28

A partir da figura 4 observa-se que a deformação total é composta pela soma das

parcelas elástica e plástica. No regime elastoplástico não existe proporcionalidade entre

tensão e deformação, sendo assim necessário conhecer o histórico do carregamento, que é

distinguido pelo nível de deformação plástica acumulada.

Admite-se então, que a deformação total (Ɛ) é resultado da soma das parcelas elástica

( ) e plástica ( ), de modo que:

Ɛ = + (1)

A lei de Hooke diz que as forças atuantes são proporcionais às deformações elásticas

produzidas, e pode ser escrita como:

σ = E * (2)

Onde, σ é a tensão e E é o módulo de elasticidade longitudinal do material.

Sendo,

= Ɛ - (3)

Logo,

σ = E * (Ɛ - ) (4)

Observa-se que na equação (4) a tensão é obtida através da parcela de deformação

plástica e da deformação total, onde a existência da deformação plástica concede à relação

constitutiva características de natureza não linear. O material entrará em processo de

escoamento quando o estado de tensão estiver situado sobre o patamar de escoamento, desta

forma, ocasionando aumento da deformação plástica, quando o material for submetido a um

descarregamento haverá uma recuperação elástica do mesmo.

Desta forma, a relação constitutiva é representada em termos de incrementos

infinitesimais de tensão e deformação. Então, considerando a continuidade para as funções

que descrevem Ɛ, σ e , no espaço de uma análise incremental as deformações permanentes

surgem, ou sofrem alguma modificação, quando:

Δ ≠ 0 (5)

Onde a resposta imediata causa deformações plásticas.

Portanto, a relação tensão-deformação pode ser enunciada em termos incrementais

pela seguinte expressão:

Δ σ = E * Δ (6)

Δ σ= E * (ΔƐ - Δ ) (7)

29

Considerando a relação tensão-deformação representado no diagrama da figura 4, em

um modelo elastoplástico perfeito, a tensão não pode ultrapassar, em valor absoluto, a tensão

de plastificação σy. Portanto, os estados admissíveis de tensão podem ser expressos pela

seguinte expressão:

f(σ) = | σ | - σy ≤ 0 (8)

Vale ressaltar que essa expressão é responsável por caracterizar o comportamento

plástico do material, apresentando uma participação fundamental no modelo constitutivo, pois

permite reconhecer o regime elástico e o elastoplástico.

O desenvolvimento da plastificação, onde Δ ≠ 0, acontece apenas se f(σ)= 0, ou

seja, quando | σ | = σy. Se o estado de tensão for f(σ) ˂ 0, então a resposta do material tem

exclusivamente comportamento elástico, tal que:

Δ = Δ (9)

Logo,

Δ = 0 (10)

Portanto,

Δ σ = E * (Δ + Δ ) = E * Δ = E * Δ (11)

Numa segunda situação, considerando-se f(σ) = 0, se o novo estado de tensão for

f(σ+Δ σ) = 0, então a resposta incremental gerou acréscimo de deformação plástica. Logo,

f(σ) = 0 representa um requisito necessário para que haja variação da deformação plástica no

incremento.

Usualmente, denomina-se Δλ ≥ 0 ao valor absoluto do incremento de deformação

plástica, se ela existir. O desenvolvimento da deformação plástica pode acontecer tanto na

tração como na compressão, portanto, valem as relações:

Δ = Δλ ≥ 0 se σ = σy ( > 0 ) (12.a)

Δ = - Δλ ≤ 0 se σ = - σy ( < 0 ) (12.b)

Devido à coincidência de sinais entre Δ e σ, introduz-se o operador de sinal, sign(.),

sendo assim, pode-se escrever:

Δ = Δλ * sign(σ) se f(σ) = 0 com Δλ ≥ 0 (13)

Onde,

sign(σ) = +1, para σ > 0; (14.a)

sign(σ) = -1, para σ < 0. (14.b)

30

Se Δλ ≥ 0 então f(σ) = 0 e se f(σ) < 0 então Δλ = 0. Denominada de condição de

complementaridade, essas possibilidades podem ser reunidas na seguinte expressão:

Δλ * f(σ) = 0 (15)

Seja um estado atual de tensão, onde f(σ) = 0, considerando que no próximo

incremento exista Δλ> 0, então o novo estado de tensão também deverá verificar o critério de

plastificação, ou seja, f(σ+Δ σ) = 0. Então, considerando a função f continua pode-se fazer

uma linearização em torno do nível σ e escrever que:

f(σ+Δ σ) = f(σ) + Δ f(σ) (16)

Onde, Δλ> 0 implica em Δ f(σ) = 0.

As situações de carregamento e descarregamento se descrevem, respectivamente,

como:

Δλ > 0 se Δf = 0; (17.a)

Δλ = 0 se Δf < 0. (17.b)

Resultando em uma nova condição denominada de condição de consistência, expressa

por:

Δλ * Δf = 0 (18)

3.1.2 Comportamento elastoplástico com encruamento linear positivo

Neste caso, o intervalo elástico inicial é modificado com o decorrer da evolução da

plastificação, seja em tamanho (isótropo), posição (cinemático) e em uma combinação das

mesmas (misto).

3.1.2.1 Modelo de encruamento isótropo

O encruamento está associado à capacidade de ganho de resistência a partir do

crescimento da deformação. O mesmo é caracterizado pela alteração, em tamanho e/ou em

posição, do intervalo elástico inicial de tensões devido ao desenvolvimento da deformação

plástica.

É importante ressaltar que a relação incremental representada na equação (6), continua

sendo válida no modelo constitutivo elastoplástico com encruamento.

Há mais de uma maneira de modelar o encruamento. O modelo de encruamento linear

isótropo é mostrado na figura 5.

31

O encruamento é denominado isótropo quando acontece uma expansão do intervalo

elástico ([-σy, σy]) de modo simétrico ao seu centro e ocorre sempre que o incremento de

tensão implicar em evolução da deformação plástica.

O limite elástico inicial é modificado sucessivamente para (σy + kα1) e (σy + kα2) em

função da história de plastificação ocorrida no ciclo, onde a singela existência de deformação

plástica em instante anterior, independente do sinal, é o bastante para promover a expansão do

intervalo inicial das tensões admissíveis. O parâmetro k é denominado de módulo plástico de

encruamento isótropo e α (>0) uma medida que registra, justamente, a história da deformação

plástica no ciclo.

Figura 5: Modelo de encruamento linear isótropo.

Fonte: Proença (2006).

O encruamento pode ser introduzido na expressão do critério de plasticidade por meio

de um acréscimo “p” sobre o valor da tensão de plastificação σy, sendo:

p = kα, Δp = kΔα com k > 0 e Δα > 0 (19)

A lei de evolução de α está vinculada à lei de evolução da deformação plástica, onde

Δα=| Δ |. Sendo | Δ | = Δλ, tem-se que Δα = Δλ. Tendo em vista as condições exposta até

o momento, temos que a expressão do critério de plastificação passa a ser representada da

seguinte forma:

f(σ,α) = |σ| - (σy + kα) ≤ 0 (20)

32

As condições de complementaridade e consistência vistas anteriormente continuam

sendo válidas para o modelo elastoplástico com encruamento isótropo.

A condição de consistência admite obter uma relação explicita para Δλ, sendo assim,

admite-se uma linearização da função de plastificação em torno de certo nível de tensão e

considerando-se que:

)(

signf

(21)

Δ = Δλ x sign(σ) (22)

Desta forma, pode-se escrever:

**

fff (23)

Δf = sign(σ) * E * (ΔƐ - Δ ) – k * Δα (24)

Δf = sign(σ) * E * ΔƐ - sign(σ) * E * Δλ * sign(σ) – k * Δλ (25)

Δf = sign(σ) * E * ΔƐ – Δλ * (E + k) ≤ 0 (26)

Considerando-se Δf = 0, o que possibilita Δλ ≥ 0, resultando em:

)(

**)(

kE

Esign

(27)

Substituindo a equação (27) em (13) tem-se:

*

)(

*

)(

**

kE

kE

kE

EE se Δλ > 0 (28)

Substituindo a equação (27) em (6), obtém-se:

*

)(

*

)(

**

kE

kE

kE

EE

se Δλ> 0 (29)

Onde)(

*

kE

kE

define o módulo elastoplástico tangente.

33

Através da figura 6 é possível visualizar a interpretação para o módulo plástico de

encruamento k:

Figura 6: Parâmetro de encruamento linear isótropo


Onde,

k = (30)

3.1.2.2 Modelo de encruamento cinemático

Diferente do modelo de encruamento isótropo, no modelo de encruamento cinemático

não existe alteração do tamanho do intervalo elástico inicial, porém há alteração de posição no

eixo das tensões, que ocorre de acordo com o desenvolvimento do processo de plastificação.

A figura 7 ilustra o modelo, onde o centro do intervalo se desloca em sentido e

quantidade controlados pela deformação plástica.

Figura 7: Encruamento linear cinemático


34

A partir da figura 7 evidencia-se que o deslocamento do centro do intervalo plástico

fica caracterizado pela variável “q”, e tem sua lei de evolução representada pela seguinte

expressão:

Δq = H * Δ (31)

Onde H é o módulo de encruamento cinemático.

Então o critério de plastificação passa a ser representado por:

f(σ,q) = |σ - q| - σy ≤ 0 (32)

Logo, o incremento de deformação plástica Δ passa a ser caracterizado pelas

respectivas condições:

Δ = Δλ ≥ 0 se σ - q = σy (> 0) (33.a)

Δ = - Δλ ≥ 0 se σ - q = - σy (< 0) (33.b)

Introduzindo o operador de sinal, tem-se:

Δ = Δλ * sign(σ - q) (34)

Onde,

sign(σ - q) = +1 se (σ - q) > 0 (35.a)

sign(σ - q) = -1 se (σ - q) < 0 (35.b)

Substituindo a equação (34) na (31), tem-se:

Δq = H * Δ = Δλ * H * sign(σ - q) (36)

3.1.2.3 Modelo Misto

Através da combinação dos modelos isótropo e cinemático obtém-se um modelo

misto. Neste modelo tem-se uma nova formulação para o critério de plastificação expressa

por:

f(σ,q,α) = |σ - q| - (σy + kα) ≤ 0 (37)

As demais formulações que complementam o modelo misto são:

Δ σ= E * (ΔƐ - Δ ) (38)

Δ = Δλ * sign(σ) (39)

Δλ * f = 0 com Δλ ≥ 0 e f ≤ 0 (40)

Δλ * Δf = 0 com Δf ≤ 0 (41)

Δq = Δλ * H * sign(σ - q) (42)

Δα = Δλ (43)

35

De forma semelhante ao modelo do encruamento isótropo, é possível obter uma

relação explicita para Δλ através da condição de consistência, onde:

***

fq

q

fff (44)

||*

||

q

q

ff (45.a)

q

q

q

f

q

f ||*

||

(45.b)

As derivadas dos módulos fornecem respectivamente:

)(||

qsignq

(46.a)

)(||

qsign

q

q (46.b)

A partir da solução das derivadas referentes as equações (45) e (46), tem-se:

Δf = sign(σ - q) * Δσ - sign(σ - q) * Δq - k * Δα (47)

Δf = sign(σ - q) * E * (ΔƐ - Δ ) - sign(σ - q) * Δλ * H * sign(σ - q) - k * Δλ (48)

Δf = sign(σ - q) * E * (ΔƐ) - Δλ * (E + H + k) (49)

Na condição em que Δf = 0 obtém-se:

)(

**)(

kHE

Eqsign

(50)

Δ)(

*

kHE

E

(51)

Portanto, a relação constitutiva em termos incrementais resulta em:

Δσ = E x (ΔƐ) se Δλ = 0 (52)

*

)(

)(*

kHE

kHE se Δλ > 0 (53)

36

3.2 ALGORITMO PARA VERIFICAÇÃO DO MODELO CONSTITUTIVO

ELASTOPLÁSTICO COM ENCRUAMENTO ISÓTROPO LINEAR

Nas análises pelo Método dos Elementos Finitos de estruturas em regime

elastoplástico é preciso implementar um procedimento em passo finito para a conferência do

modelo constitutivo.

Então, sendo conhecido o incremento finito de deformação total no passo, a

verificação do modelo constitutivo dá-se em duas etapas, sendo denominadas de previsão e

correção.

Na etapa de previsão calcula-se o incremento de tensão considerando-se que o passo

tenha ocasionado somente deformação elástica, ou seja, não houve desenvolvimento das

deformações plásticas. Esta hipótese é regida pelo critério de plastificação, onde o sinal do

mesmo é que confirmará ou não a evolução das deformações plásticas. Um sinal negativo

garante uma resposta puramente elástica, já um sinal positivo nega a hipótese de passo

elástico, sendo assim, passa-se a etapa de correção, onde o acréscimo finito de deformação

plástica é calculado e são atualizados os valores totais da variável de encruamento e de tensão.

É importante observar que ao final de cada passo o estado de tensão deve verificar o

critério de plastificação com a igualdade, sendo essa a condição fundamental empregada nas

etapas de previsão e correção. Logo, em passo finito, as condições de complementaridade e

consistência do modelo incremental são substituídas por:

Δλ *f(σ+ Δ σ) = 0 (54)

Seja um passo n do procedimento, onde são conhecidos a deformação total Ɛn, a

parcela de deformação plástica n, o parâmetro de encruamento αn e a tensão total σn.

Considerando-se que tenha sido efetuado um novo passo de carregamento, sendo esse passo

n+1 e que se conhece o acréscimo de deformação total ΔƐn, onde esse acréscimo resulta na

modificação do estado conhecido. Logo, deseja-se determinar os valores dos acréscimos

n, Δαn e Δσn, onde as relações que regem o modelo constitutivo sejam verificadas no novo

estado n+1, sendo expressas os valores das variáveis de interesse ao final de cada novo passo

por:

Ɛn+1 = Ɛn +ΔƐn (55)

n+1 = n + n (56)

αn+1 = αn + Δαn (57)

37

σn+1 = σn + Δσn (58)

Os acréscimos devem ser tais que:

σn+1 = E * (Ɛn+1 - n+1) (59)

fn+1 = |σn+1| - (σy + kαn+1) ≤ 0 (60)

n = Δλn * sign(σn+1) (61)

Δαn = Δλn (62)

De acordo com o que foi dito, na etapa de previsão admite-se que não há evolução das

deformações plásticas, sendo:

Δλn = 0 (63)

n = 0 (64)

Onde,

Δαn = 0 (65)

A partir das relações (60) e (59) obtém-se os valores de tensão total e da função de

plastificação, expressos por:

n+1 = E * (Ɛn+1 - n) (66)

n+1 = | n+1| - (σy + kαn) (67)

A hipótese referente a etapa de previsão será confirmada ou não em função do sinal de

n+1, caso o resultado seja negativo ou zero a hipótese se confirma, ou seja, no passo

n = 0, sendo assim as variáveis são atualizadas e expressas pelas seguintes relações:

σn+1 = E * (Ɛn+1 - n) (68)

n+1 = n (69)

αn+1 = αn (70)

Entretanto, se o resultado de n+1 for positivo implica que a hipótese é inconsistente,

logo, no passo existe um acréscimo de deformação plástica que precisa ser calculado.

Portanto, nesta condição a determinação de Δλn resulta da imposição de fn+1 = 0, que para o

caso de encruamento linear escreve-se:

fn+1 =| n+1| - (σy + kαn) (71)

Uma maneira para determinar o módulo | n+1| consiste de substituir a equação (56) em

(59) e reescrevê-la da seguinte forma:

σn+1 = E * (Ɛn+1 - n) - E * n (72)

38

Representando | n+1| como | n+1|*sign( n+1) e substituindo (61) em (72), tem-se:

| n+1|*sign( n+1) = E * (Ɛn+1 - n) - E * Δλn * sign( n+1) (73)

Observa-se que a primeira parcela do lado direito da expressão coincide com a

equação (66). Utilizando a expressão | n+1|*sign( n+1), tem-se:

| n+1|*sign( n+1) = | n+1|*sign( n+1) - E * Δλn * sign( n+1) (74)

(| n+1| + E * Δλn) * sign( n+1) = | n+1|*sign( n+1) (75)

Observa-se que sign( n+1) = sign( n+1), logo:

| n+1| + E * Δλn = | n+1| (76)

| n+1| = | n+1| - E * Δλn (77)

Através da substituição das equações (62), (57) e (77) em (60) pode-se escrever:

fn+1 = | n+1| - (σy + kαn) - E * Δλn - k * Δλn (78)

Portanto, observa-se que a equação (78) possui um parcela igual a equação (67) e

considerando que fn+1 = 0, obtém-se:

Δλn)(

1

kE

ft

n

(79)

O incremento de deformação plástica é representado pela seguinte expressão:

n = Δλn * sign( n+1) (80)

A partir daí, todas as variáveis de interesse podem ser atualizadas conforme o

resultado anterior.

3.3 GENERALIZAÇÃO PARA O CASO DE UMA ESTRUTURA

Seja um sólido, ou uma estrutura, submetida num certo instante de tempo à ação de

uma força “f” por unidade de volume e “t” por unidade de superfície.

O equilíbrio local em um ponto genérico do sólido, é representado propriamente pela

seguinte equação vetorial:

r = divT + f = 0 (81)

onde,

T: Tensor

div: Divergente

Sendo que divT é expresso por:

39

divT =

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

zyx

(82)

Logo,

divT =

zyxzyxzyx

zzyzxzzyyyxyzxyxxx (83)

Sendo que a simetria de T garante a verificação do balanço de momentos.

Quando uma deformação ocorre as tensões internas tendem a retornar o corpo a sua

posição de equilíbrio.

Então, admitindo-se que os pontos do sólido venham a sofrer deslocamentos virtuais

compatíveis e que respeitem as condições de contorno, então a relação de equilíbrio pode ser

ponderada e interpretada como um trabalho virtual, onde a mesma é escrita da seguinte forma:

udVrW (84)

Sendo u o vetor deslocamento.

A partir da equação (82) e (81), tem-se:

VVV

udVfudVdivTudVr (85)

Seja,

div(T u ) = divT u +Tgrad u (86)

Tem –se,

divT u = div(T u )- Tgrad u (87)

Sendo,

A

undATdVuTdiv )( (85)

Onde,

grad: gradiente;

A:superfície do sólido;

n:vetor posição.

A partir das equações (84) e (85), obtem-se:

VVVV

udVfudVTgradndAuTudVr . (86)

Empregando-se o teorema de Cauchy (Tn = t), onde o mesmo diz que as tensões

tangenciais sobre dois planos ortogonais são recíprocas, tem –se:

40

tuTnunuT ... (87)

Levando em consideração que uTgradugradT s . (devido T ser simétrico) e

'*2

1 ugradugradugrad Ts (deformação virtual), a expressão do trabalho virtual

passa a ser expressa da seguinte forma:

VVVV

dVTudVfdAutudVr '... (88)

Denominando-se,

AV

ext udAtudVfW ..

como trabalho virtual externo;

V

dVTU '.

como trabalho virtual interno.

Então, diz-se que o sólido está em equilíbrio se:

0W ou 0 extWU (89)

Então, tem-se que para a solução numérica de um caso genérico de uma estrutura as

únicas suposições usadas são o equilíbrio e o conceito do meio contínuo, sendo o mesmo

válido, portanto, para a análise linear e não-linear geométrica e física. Por fim, é importante

ressaltar que o caso genérico não é tema deste trabalho, desta forma não há necessidade de se

aprofundar no assunto, para mais considerações sobre o referente tema pode-se consultar o

trabalho de Proença (1988).

41

4 MATERIAL E MÉTODOS

O MEF é um método numérico em engenharia, onde aplica-se em geral a problemas

em que não é possível obter soluções satisfatórias através de métodos analíticos.

Durante este trabalho foi apresentado o referencial teórico e os fundamentos básicos

relacionados a análise numérica utilizando o MEF.

Nesta seção pretende-se apresentar de maneira geral, as principais etapas do processo

de modelagem utilizando o ANSYS que serão utilizadas neste trabalho.

4.1 ROTEIRO GERAL PARA ANÁLISE COM O ANSYS

4.1.1 Pré-Processamento

Nesta etapa são realizados os seguintes procedimentos:

- Tipo de análise;

- Determinação do tipo do elemento;

- Determinação da seção transversal da barra;

- Determinação das propriedades do material;

- Elaboração da geometria da estrutura;

- Criação da malha de elementos finitos;

- Aplicação das condições de contorno e carregamento.

4.1.2 Solução

Na etapa de Solução os sistemas de equações algébricas são montados e resolvidos de

forma que representem eficientemente o sistema físico do objeto em estudo. Esta etapa é

dividida em:

- Escolha das opções de saída de resultados;

- Definição dos passos de deslocamento impostos e do seu número;

- Solução do problema.

42

4.1.3 Pós-Processamento

Na etapa final, o pós-processamento, consiste na manipulação dos resultados

numéricos obtidos, quer seja em forma de listas, tabelas ou gráficos. Estes resultados podem

ser: deslocamentos nodais, deformação da geometria, frequências naturais e modos de

vibração e outros. Está etapa é formada por:

- Visualização dos resultados.

43

5 RESULTADOS E DISCURSSÕES

Esta seção consta da aplicação do MEF em estruturas do tipo treliça, por meio do

programa ANSYS, com o objetivo de representar o comportamento não-linear das mesmas.

5.1 EXEMPLO 1

Analisar pelo programa ANSYS a treliça plana apresentada na figura 9, onde a mesma

foi tema de estudo no trabalho de conclusão de curso de Cavalcante (2011). As forças devem

ser simultaneamente aplicadas em cinco incrementos iguais. Determinar as reações de apoio,

forças normais, deslocamentos máximos, tensões axiais e deformações elásticas e plásticas

nas barras para cada passo de carregamento. A mesma é isostática, e consta de uma adaptação

da treliça que compõe a cobertura do centro de vivência da Universidade Federal Rural do

Semi-Árido – Angicos. A treliça que compõe a cobertura do centro de vivência é apresentada

na figura 8 e possui as seguintes características:

- Material elastoplástico com encruamento isótropo linear.

- Densidade (ρ) = 7850 kg/m³;

- Coeficiente de Poisson (ⱱ) = 0,30;

- Módulo de Elasticidade (E) = 200 GPa;

- Tensão de Escoamento (σ) = 25,0 kN/cm²;

- Módulo Elastoplástico Tangente: 2000,0 kN/cm².

Todos os dados apresentados para este problema estão de acordo com as informações

expostas por Cavalcante (2011) e Hibbeler (2004).

Figura 8: Treliça do centro de vivência.

Fonte: Autoria Própria.

44

A figura 9 mostra a treliça adaptada submetida a suas devidas forças com seus

respectivos nós. Vale salientar que no cálculo destas forças não foram levados em

consideração os efeitos do vento e do peso próprio da estrutura.

Figura 9: Treliça adaptada.


O primeiro passo é escolher o tipo de análise que será executada, pois essa simples

ação irá restringir os comandos e menus ao respectivo tipo de análise escolhido, onde os

demais comandos são ocultados para facilitar a visualização dos caminhos a se percorrer. Em

nosso problema o tipo de análise é o estrutural.

Para representar as barras que compõem a treliça foi utilizado o elemento LINK 1

(FIGURA 10), que é um elemento que pode ser aplicado na solução de uma grande variedade

de problemas de engenharia. Dependendo da aplicação, este poderá atuar como uma barra de

treliça, um elemento de ligação, uma mola e etc. O LINK 1 é bidimensional, pode ser

submetido à compressão e tração na direção de seu eixo, possuindo dois graus de liberdade

por nó e translações na direção dos eixos coordenados x e y.

O programa divide as propriedades do material em elásticas e plásticas, as informação

inseridas referentes as características elásticas são o coeficiente de poisson e o módulo de

elasticidade longitudinal, enquanto as de caráter plástico são representadas pelo módulo

elastoplástico tangente e pela tensão de escoamento.

45

Figura 10: Elemento LINK 1.

Fonte: Manual ANSYS (2007).

Após escolha do elemento partiu-se para a discretização da treliça. O modelo

numérico desenvolvido possui 81 elementos e 42 nós, conforme apresentado na figura 11.

A seguir foram impostas as condições de contorno e carregamento, onde a estrutura

treliçada encontra-se biapoiada, conforme exposto na figura 11.

Figura 11: Modelo discretizado.


Partindo para a etapa de solução, tem-se que a estrutura está submetida a um

carregamento distribuído simultaneamente em cinco incrementos iguais de carga.

Na etapa de Pós-processamento obtém-se os resultados requeridos no problema em

questão.

Através da figura 12 é possível visualizar o comportamento final da treliça na sua

condição deformada depois de submetida a todos os devidos incrementos de carregamento.

46

Figura 12: Deformada da treliça.


Os deslocamentos máximos, reações de apoio e forças normais para cada passo de

carregamento estão devidamente listadas na figura 13, 14 e 15, respectivamente.

A figura 16 apresenta para cada passo de carregamento as tensões, deformações

elásticas e deformações plásticas.

A treliça possui um grande número de elementos, logo, por questão de praticidade,

para a análise dos resultados adotou-se somente um segmento dos resultados gerados pelo

ANSYS, conforme expostos nas figuras 15 e 16. A lista com todos os resultados encontra-se

presente no Apêndice A.

Figura 13: Deslocamentos máximos.


47

Figura 14: Reações nos apoio.


Figura 15: Forças normais.


48

Figura 16: Tensões axiais, deformações plásticas e elásticas.


A partir das figuras 17 e 18 é possível visualizar os resultados das tensões e

deformações elásticas finais, respectivamente, referentes ao último incremento de carga.

49

Figura 17: Deformações elásticas.


Figura 18: Tensões.


A partir dos resultados contidos no Apêndice A percebe-se que todas as barras

apresentam deformação plástica igual a zero, ou seja, o comportamento do material foi

puramente elástico. Então, cada incremento constante de carga corresponde a um incremento

constante de deformação, obedecendo desta forma a lei de Hooke. As tensão e deformações

aumentam ao passar de cada incremento de carga.

O modelo numérico para este exemplo encontra-se no Apêndice B.

50

5.2 EXEMPLO 2

Neste exemplo, pretende-se analisar pelo programa ANSYS o problema proposto por

Proença (2006), conforme segue:

Analisar a treliça plana representada na figura 19, onde as forças devem ser

simultaneamente aplicadas em cinco incrementos iguais. Determinar as reações de apoio,

forças normais, tensões axiais e deformações plásticas e elásticas nas barras para cada passo

de carregamento. Representar a resposta estrutural mediante um gráfico do parâmetro de

carregamento contra o deslocamento vertical do nó 1.

Dados complementares do problema:

- Material elastoplástico com encruamento isótropo linear.

- Módulo de Elasticidade Longitudinal: E = 20500,00 kN/cm²;

- Coeficiente de Poisson: ⱱ = 0,3;

- Área da seção transversal: 3,50 cm²;

- Tensão de escoamento: σy = 5,0 kN/cm²;

- Módulo elastoplástico tangente: 1000,0 kN/cm².

O exemplo em questão processado pelo ANSYS deve-se proceder as etapas de pré-

processamento, solução e pós-processamento.

Figura 19: Treliça Plana.

Fonte: Autoria Própria (2014).

De forma análoga ao exemplo anterior, adota-se o tipo de análise estrutural. O

elemento utilizado para representar as barras foi o LINK 1, conforme descritivo

anteriormente. As propriedades do material requeridas pelo programa foram inseridas

conforme explicado no exemplo anterior.

51

O modelo numérico desenvolvido possui 7 elementos e 5 nós. A figura 20 apresenta a

treliça discretizada com suas respectivas condições de contorno e carregamento.

Figura 20: Modelo Físico Discretizado.


Partindo para a etapa de solução, tem-se que a estrutura está submetida a um

carregamento distribuído simultaneamente em cinco incrementos iguais de carga.

Passando para a etapa de Pós-processamento obteve-se os resultados requeridos

inicialmente.

Através da figura 21 é possível visualizar o comportamento final da treliça na sua

condição deformada depois de submetida aos devidos carregamento.

As reações de apoio, forças normais para cada passo de carregamento estão listadas na

figura 22 e 23, respectivamente.

O gráfico 1 mostra os deslocamentos verticais no nó 1 para cada incremento de carga,

onde os deslocamentos aumentam a medida que o carregamento é aplicado, sendo assim

possível visualizar as características não-lineares da treliça com o decorrer dos passos de

carga.

52

Figura 21: Deformada da treliça.


Figura 22: Reações de apoio


Figura 23: Forças normais.


53

A figura 24 apresenta para cada incremento de carregamento, sua devidas tensões,

deformações elásticas e plásticas para casa elemento.

Gráfico 1: Deslocamento Vertical.


Figura 24: Tensões axiais, deformações elásticas e plásticas.


54

A partir das figura 25, 26 e 27 é possível visualizar os resultados das tensões,

deformações elásticas e deformações plásticas, respectivamente, referentes ao último

incremento de carga.

Figura 25: Tensões.


Figura 26: Deformações elásticas.


55

Figura 27: Deformações plásticas.


Então, com base nos resultados obtidos a partir do ANSYS, percebe-se que em alguns

passos a resposta do material foi puramente elástica, ou seja, não houve deformações

plásticas. A partir do 3º passo surgiram as deformações plásticas, que foram evoluindo à

medida que os demais incrementos de carga foram aplicados, onde essas deformações

ocorreram nos elementos 5, 6 e 7. Observa-se que as barras não sofreram redistribuição das

tensões, sendo assim, não houve ganho de resistência do material devido ao crescimento das

deformações.

O modelo numérico para este exemplo encontra-se no Apêndice C.

56

5 CONCLUSÕES

No presente trabalho, procurou-se estudar e utilizar conceitos relativos aos efeitos da

não-linearidade física em estruturas do tipo treliça. Para tal, resolveram-se exemplos

elucidativos através do programa ANSYS, implementando as características elastoplásticas no

elemento estrutural analisado. Em primeiro lugar, ressalta-se a vantagem que a análise

incremental oferece, pois permite a obtenção das tensões, deformações e outros, ao longo de

toda a história do carregamento.

A partir dos resultados obtidos no Exemplo 1, percebe-se que a treliça analisada está

dimensionada no regime elástico linear, sendo que as deformações de caráter plástico foram

nulas. De acordo com os resultados e as especificações das normas vigentes, presume-se que

os coeficientes de segurança utilizados para o dimensionamento da treliça foram elevados,

tendo em vista que a tensão resultante do último incremento de carga está distante de

ultrapassar a tensão de escoamento do material. Ressalta-se que neste exemplo não foram

considerados as cargas do vento e peso próprio.

Já no Exemplo 2 tem-se que a treliça analisada apresenta deformação plástica a partir

do terceiro incremento de carga, onde a plastificação evolui no decorrer da aplicação dos

incrementos e ocorre em 3 barras. Os efeitos do encruamento não provocaram aumento de

resistência e não ocorreu redistribuição das tensões atuantes.

Em suma, com base na literatura e nos resultados obtidos, pode-se afirmar que a

implementação computacional em análises não-lineares é bastante eficiente e recomendável,

pois em determinadas circunstâncias é indispensável prever o comportamento das estruturas

diante o aparecimento de deformações de caráter plástico, garantindo desta forma um projeto

mais detalhado e confiável.

Ainda existe uma série de estudos que podem ser explorados dentro da linha de

pesquisa referente a não-linearidade. Como sugestão para trabalhos futuros pode-se citar a

consideração dos efeitos da não-linearidade geométrica e o estudo dos efeitos da não-

linearidade em outros elementos estruturais.

57

REFERÊNCIAS

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61

APÊNDICE A

64

APÊNDICE B

!==================================================================

! UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO

! CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

! DISCENTE: JOÃO PAULO BARROS CAVALCANTE

! ORIENTADOR: RAIMUNDO GOMES DE AMORIM NETO

!==================================================================

!*

!=============================INÍCIO===============================

/BATCH

! /COM,ANSYS RELEASE 10.0 UP20050718 00:47:56 01/24/2014

/input,menust,tmp,'',,,,,,,,,,,,,,,,1

/PREP7

!*

!===================CARACTERÍSTICAS DO MATERIAL==================

ET,1,LINK1

!*

R,1,7,0,

!*

!*

MPTEMP,,,,,,,,

MPTEMP,1,0

MPDATA,EX,1,,20500

MPDATA,PRXY,1,,0.3

TB,BISO,1,1,2,

TBTEMP,0

TBDATA,,25,2000,,,,

!========================NÓS E ELEMENTOS=========================

N,1,0,0,0,,,,

N,2,0,80,0,,,,

N,3,100,0,0,,,,

N,4,100,87,0,,,,

N,5,200,0,0,,,,

N,6,200,94,0,,,,

N,7,300,0,0,,,,

N,8,300,101,0,,,,

N,9,400,0,0,,,,

N,10,400,108,0,,,,

N,11,500,0,0,,,,

N,12,500,115,0,,,,

N,13,600,0,0,,,,

N,14,600,122,0,,,,

N,15,700,0,0,,,,

N,16,700,129,0,,,,

N,17,800,0,0,,,,

N,18,800,136,0,,,,

N,19,900,0,0,,,,

N,20,900,143,0,,,,

N,21,1000,0,0,,,,

N,22,1000,150,0,,,,

N,23,1100,0,0,,,,

N,24,1100,143,0,,,,

N,25,1200,0,0,,,,

N,26,1200,136,0,,,,

N,27,1300,0,0,,,,

N,28,1300,129,0,,,,

N,29,1400,0,0,,,,

N,30,1400,122,0,,,,

N,31,1500,0,0,,,,

N,32,1500,115,0,,,,

N,33,1600,0,0,,,,

N,34,1600,108,0,,,,

N,35,1700,0,0,,,,

N,36,1700,101,0,,,,

N,37,1800,0,0,,,,

N,38,1800,94,0,,,,

N,39,1900,0,0,,,,

N,40,1900,87,0,,,,

N,41,2000,0,0,,,,

N,42,2000,80,0,,,,

!*

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FITEM,2,36

E,P51X

FLST,2,2,1

FITEM,2,35

FITEM,2,37

E,P51X

FLST,2,2,1

FITEM,2,36

FITEM,2,38

E,P51X

FLST,2,2,1

FITEM,2,37

FITEM,2,38

E,P51X

FLST,2,2,1

FITEM,2,37

FITEM,2,39

E,P51X

FLST,2,2,1

FITEM,2,38

FITEM,2,40

E,P51X

FLST,2,2,1

FITEM,2,39

FITEM,2,40

E,P51X

FLST,2,2,1

FITEM,2,39

FITEM,2,41

E,P51X

FLST,2,2,1

FITEM,2,40

FITEM,2,42

E,P51X

FLST,2,2,1

FITEM,2,41

FITEM,2,42

E,P51X

FLST,2,2,1

FITEM,2,4

FITEM,2,5

E,P51X

FLST,2,2,1

FITEM,2,5

FITEM,2,8

E,P51X

FLST,2,2,1

FITEM,2,8

FITEM,2,9

E,P51X

FLST,2,2,1

FITEM,2,9

FITEM,2,12

E,P51X

FLST,2,2,1

FITEM,2,12

FITEM,2,13

E,P51X

FLST,2,2,1

FITEM,2,13

FITEM,2,16

E,P51X

FLST,2,2,1

FITEM,2,16

FITEM,2,17

E,P51X

FLST,2,2,1

FITEM,2,17

FITEM,2,20

E,P51X

FLST,2,2,1

FITEM,2,20

FITEM,2,21

E,P51X

FLST,2,2,1

FITEM,2,21

FITEM,2,24

E,P51X

FLST,2,2,1

FITEM,2,24

FITEM,2,25

E,P51X

FLST,2,2,1

FITEM,2,25

FITEM,2,28

E,P51X

FLST,2,2,1

FITEM,2,28

FITEM,2,29

E,P51X

FLST,2,2,1

FITEM,2,29

FITEM,2,32

E,P51X

FLST,2,2,1

FITEM,2,32

FITEM,2,33

E,P51X

FLST,2,2,1

FITEM,2,33

FITEM,2,36

E,P51X

FLST,2,2,1

FITEM,2,36

67

FITEM,2,37

E,P51X

FLST,2,2,1

FITEM,2,37

FITEM,2,40

E,P51X

FLST,2,2,1

FITEM,2,40

FITEM,2,41

E,P51X

FLST,2,1,1,ORDE,1

FITEM,2,1

!*

!==============CONDIÇÕES DE CONTORNO E CARREGAMENTO============

/GO

D,P51X, , , , , ,UX,UY, , , ,

FLST,2,1,1,ORDE,1

FITEM,2,41

!*

/GO

D,P51X, , , , , ,UY, , , , ,

FLST,2,8,1,ORDE,8

FITEM,2,2

FITEM,2,6

FITEM,2,10

FITEM,2,16

FITEM,2,28

FITEM,2,34

FITEM,2,38

FITEM,2,42

!*

/GO

F,P51X,FY,-2.086

FLST,2,1,1,ORDE,1

FITEM,2,22

/GO

F,P51X,FY,-4.172

FINISH

!================DEFINIÇÃO DO NÚMERO DE PASSOS===================

/SOL

ANTYPE,0

NSUBST,5,5,5

OUTRES,ERASE

OUTRES,ALL,ALL

RESCONTRL,DEFINE,ALL,ALL,1

TIME,2

! /STATUS,SOLU

SOLVE

! LGWRITE,'TRELIÇA_UFERSA','','C:\USERS\JPBARROS\GOOGLE~1\LISTER~1\'

!================================FIM===============================

68

APÊNDICE C

!==================================================================

! UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO

! CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

! DISCENTE: JOÃO PAULO BARROS CAVALCANTE

! ORIENTADOR: RAIMUNDO GOMES DE AMORIM NETO

!================================================================== !*

!=============================INÍCIO===============================

/BATCH

! /COM,ANSYS RELEASE 10.0 UP20050718 21:03:35 01/10/2014

/input,menust,tmp,'',,,,,,,,,,,,,,,,1

!*

/PREP7

!=================CARACTERÍSTICAS DO MATERIAL====================

ET,1,LINK1

!*

R,1,3.5,0,

!* !*

MPTEMP,,,,,,,,

MPTEMP,1,0

MPDATA,EX,1,,20500

MPDATA,PRXY,1,,0.30

TB,BISO,1,1,2,

TBTEMP,0

TBDATA,,5,1000,,,,

!==========================NÓS E ELEMENTOS========================

N,1,0,240,0,,,,

N,2,360,240,0,,,,

N,3,720,240,0,,,,

N,4,180,0,0,,,,

N,5,540,0,0,,,,

FLST,2,2,1

FITEM,2,1

FITEM,2,4

E,P51X

FLST,2,2,1

FITEM,2,4

FITEM,2,2

E,P51X

FLST,2,2,1

FITEM,2,1

FITEM,2,2

E,P51X

FLST,2,2,1

FITEM,2,4

FITEM,2,5

69

E,P51X

FLST,2,2,1

FITEM,2,2

FITEM,2,5

E,P51X

FLST,2,2,1

FITEM,2,2

FITEM,2,3

E,P51X

FLST,2,2,1

FITEM,2,5

FITEM,2,3

E,P51X

FLST,2,1,1,ORDE,1

FITEM,2,5

!*

!===========CONDIÇÕES DE CONTORNO E CARREGAMENTO==========

/GO

D,P51X, , , , , ,UX,UY, , , ,

FLST,2,1,1,ORDE,1 FITEM,2,3

!*

/GO

D,P51X, , , , , ,UY, , , , ,

FLST,2,1,1,ORDE,1

FITEM,2,1

!*

/GO

F,P51X,FY,-10

FLST,2,1,1,ORDE,1

FITEM,2,2

!*

/GO

F,P51X,FY,-5

FINISH

!==============DEFINIÇÃO DO NÚMERO DE PASSOS===================

/SOL

!*

ANTYPE,0

NSUBST,5,5,5

OUTRES,ERASE

OUTRES,ALL,ALL

RESCONTRL,DEFINE,ALL,ALL,1

TIME,2

!================================================================

! /STATUS,SOLU

SOLVE

! LGWRITE,'TRELIÇA_PROENÇA(2006)','C:\USERS\JPBARROS\GOOGLE~1\'

!*

!================================FIM===============================

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