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La estructura del átomo Albert Einstein es una de las figuras más conocidas de la física moderna. Pero su fama fue casi accidental. Como judío en la alemana nazi su carrera estaba más que problemática. Durante la primera guerra mundial, el astrofísico Arthur Eddington como secretario del Royal Astronomical Society se entero de artículos del físico holandés Willem de Sitter sobre la relatividad de Einstein. Eddington estaba el único astrónomo inglese capaz de entender el argumento matemático, pero también no se preocupaba de los preconceptos contra los alemanes. Con el astrónomo Frank Watson Dyson organizo una expedición en las islas Príncipe, cerca de África, para observar el eclipse total del Sol del 29 de Mayo de1919 para tentar verificar una de las predicciones de Einstein sobre la curvatura del espacio-tiempo. La noticia de la confirmación de esta predicción se propago al mundo entero como un rayo de luz y Einstein de un día al otro se encontró ser el físico más celebro de todos los tiempos. Einstein gaño el premio Nobel de física de 1921, pero no lo gaño para su descubierta de la relatividad. El premio dice: “…for his services to the theoretical physics and especially for its discovery of the law of the photoelectric effect.” Efecto fotoeléctrico El efecto fotoeléctrico es a la base de nuestro conocimiento de la estructura del átomo y de la mecánica cuántica

En 1814, Joseph von Fraunhofer invento el espectroscopio

• Cuando la fuente de luz es sólida incandescente o liquida caliente el espectro es continuo

• Cuando la fuente de luz es un gas caliente el espectro muestra líneas aisladas

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Cada línea es una imagen de la ranura espectrográfica desviada por ángulo proporcional a la longitud de la onda

• Elementos diferentes en su estado gaseoso tiene conjunto diferentes y único de longitudes de ondas è se usa esta característica para identificar el elemento

• Por lo tanto existe una relación directa entre el espectro de líneas característico de un elemento y la estructura de los átomos formando el elemento

El problema es que ambos, el modelo mecánico del átomo basado en la dinámica de Newton y la teoría electromagnética clásica de la luz no puede explicar las observaciones

• La energía total de un sistema, igual a E K U= + es una función continua – la energía cambia de manera continua no de manera cuantificada

Pero esto es en contradicción con el efecto fotoeléctrico - observado por Hertz en 1887

Después de la descubierta del electrón en 1892, el fenómeno se explica mejor:

• Cuando la luz incide sobre algún metal – semi-conductor – algunos electrones absorben la energía, quebrando su energía de ligación con el átomo

• La energía en exceso se transforma en energía cinética W K= ∆ • La cantidad mínima de energía para escapar es ϕ la función de trabajo

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El efecto fotoeléctrico fue estudiado en detalles por Wilhelm Hallwachs y Phillip Lenard de 1886 a 1900

• Encontró que el efecto aparece solamente si la luz tiene una frecuencia especial = frecuencia de umbral

• La frecuencia de umbral depende del material Arriba de la frecuencia de umbral, la energía se cambia en energía cinética:

(1) 2max max

12

K mv=

La relación entre el trabajo y la energía sintética: max 00W K K eV= ∆ = − = − (2) max 0K eV= Donde 0V es el potencial entre el cátodo y ánodo = potencial de frenado (para parar los electrones)

• Cuando aumenta la potencia entre ánodo y cátodo ACV la intensidad del señal

(número de electrón libre) es constante è todos los electrones son detectados • Si aumenta la intensidad de la luz – aumenta el número de electrón pero no

cambia 0V • Si cambia la frecuencia de la luz se cambia 0V pero no la cantidad de electrón

emitido El resultado es en contradicción con la teoría electrodinámica de la luz:

• La energía de la luz es proporcional a la intensidad 2

E I∝ pero no depende de la frecuencia f - la experiencia sugiere que E f∝

• También el fenómeno deberé ser continuo – con la acumulación continua de la energía se espero ver una aumentación gradual de electrón emitido con el voltaje – pero no se observa nada antes de 0V

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La explicación de Einstein Einstein aplico la hipótesis de Max Planck – la luz consiste de pequeño paquetes de energía = cuantos o fotones

(3) hc

E hfλ

= =

Donde h es la constante de Planck: ( ) 346.6260755 40 10 J sh −= × ⋅ Usando esta hipótesis y la conservación de energía encontró la relación:

(4) 2max max 0

12

K mv hf eVϕ= = − =

Es una relación lineal simple en frecuencia: (5) 0eV hf ϕ= − En la relatividad de Einstein el fotón es una partícula con cantidad de movimiento

(6) E hf h

pc c λ

= = =

Modelo del átomo de Bohr A partir de esta explicación Bohr desarrollo la idea que cada electrón en el átomo esta ligado con una energía interna única è átomo = conjunto de niveles de energía estable Se puede excitar un electrón dando una energía correspondiente E hf= El electrón regresará a su nivel de energía original emitiendo un fotón de luz de manera que (7) i fE hf E E= = −

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En 1885, Johann Balmer encontró una formula empírica para explicar el espectro de Hidrógeno

(8) 2 2

1 1 12

Rnλ

= −

para 3,4,5,...n =

Donde R es la constante empírica de Rydberg : 7 11.097 10 mR − −= × Para 3n = , 656.3 nmλ = (Ha), para 4n = , 486.1 nmλ = (Hß) etc. Siguiendo su hipótesis Bohr propuso la siguiente relación:

(9) 2 2

1 12

hcE hcR

nλ = = −

Donde el valor numérico 1813.60 eV 2.179 10 JhcR −= = × Entonces, sugiere que los electrones en el átomo de hidrogeno son localizados en diferentes niveles discretos (no continúo) de energía, iguales a

(10) 2n

hcRE

n= − donde 1,2,3,...n =

Otras series encontradas para el hidrogeno :

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• En el modelo de Bohr, todos los átomos tiene un nivel de energía más bajo = estado (o nivel) fundamental

• Y varios niveles excitados con energía mayor (menos negativo) – se emite un

fotón correspondiente a una línea particular del espectro cuando el electrón regresa a su estado fundamental

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Modelo mecánico del átomo de Bohr Entre 1910 y 1911, Ernest Rutheford, Hans Geiger y Ernest Marsden descubrir que los protones estaban concentrada en una región muy concentrada, con un radio del orden de

1410 m− en el centro del átomo = el núcleo • El núcleo ocupa del orden de 1210− del volumen del átomo pero contiene todas las

cargas positivas y 99.95% de la masa del átomo En 1913, Bohr desarrollo el modelo mecánico del átomo de hidrogeno como un electrón girando en torno del núcleo, ligado por la fuerza electromagnética (una carga negativa atraída por una carga positiva), y en equilibrio por su rotación

Pero tiene un problema fundamental – la teoría electrodinámica clásica predice que un carga eléctrica acelerada (el electrón en rotación) debe emite un fotón, por lo tanto pierde su energía y el orbita no es estable Bohr por lo tanto hizo un paso de gigante haciendo una suposición muy osada:

• Ya había admitido que los niveles de energía de los orbitas estaba proporcional a

una constante 2n

hcRE

n= − o E h∝

• También noto que la unidad de esta constante

[ ] [ ]2 2

2

m mJ s kg s kg

s sh L mvr= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = =

es una unidad de momento angular L mvr= La hipótesis de cuantificación de la energía de los orbitales es equivalente a asumir el momento angular constante múltiple de h

(11) 2h

L mrv n nπ

= = = h

8

Si la fuerza de atracción es igual a

(12) 2

20

14 n

eF

rπε=

Por la segunda ley de Newton, esto debe ser igual a la fuerza centrípeta

(13) 2 2

20

14

n

n n

v em

r rπε=

Usando la cuantificación del momento angular 2

2

2 2n nn

h nhmrv n v

mrπ π

= ⇒ =

La relación de equilibrio se transforma en 2 2 2

2 2 2 20

14 4n n n

m n h er m r rπ πε

=

(14) 2 2

0 2nn h

rme

επ

=

O en términos de la velocidad

(15) 2

0

12ne

vnhε

=

Para 1n = encontramos2

0 0 2nh

r ame

επ

= =

Donde ( )

( )

12 342

100 231 19

C8.854 10 6.626 10 J s

N m 0.529 10 m3.1416 9.109 10 kg 1.0602 10 C

a

− −

−

− −

× × ⋅⋅= = ×

⋅ × ×

También se puede mostrar que 6 m2.19 10

sv = × , 1% de la velocidad de la luz (no es

relativista)

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Las energía cinética y potencial de los orbitas:

(16) 4

22 2 20

1 12 8n n

meK mv

n hε= =

(17) 2 4

2 2 20 0

1 14 4n

n

e meU

r n hπε ε= − = −

Vemos que 12n nK U= , sigue el teorema del virial

Y por lo tanto la energía total

(18) 4

2 2 20

1 12 8n n n n

meE K U U

n hε= + = = −

El modelo predice un valor teórico para la constante de Rydberg

(19) 4 4

7 12 2 2 30 0

1 11.097 10 m

8 8me me

hcR Rh h cε ε

−= ⇒ = = ×

Consistente con las mediciones

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Modificaciones al modelo de Bohr 1) al lugar de usar la masa del electrón usamos la masa reducida

(20) 1 2

1 2r

m mm

m m=

+

Donde 2 1836.2 0.99946p rm m m m m= = ⇒ = 2) se puede usar el modelo de Bohr para átomo similar al hidrogeno como He+ ,

2Li + cambiando la carga de 2e a 2Ze

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3) Modelo cuántico El cambio más importante es un cambio de paradigma = mecánica quántica

• El efecto fotoeléctrico sugiere que la luz es compuesta de partículas = fotones o cuantos de energía

• Del otro lado las experiencias de difracción y interferencias sugieren que la luz es una onda

En 1928, Bohr propuso el principio de complementariedad – la Luz tiene naturaleza complementar onda-partícula que depende del tipo de interacciones (experiencia) NOTA: esta visión es consistente con modelo epistemológico de Piaget: recuerda que no trabajamos sobre la realidad escondida (objeto) misma pero sobre las acciones del sujeto sobre el objeto (experiencia) – en este cuadro no hay ninguna ambigüedad conceptual Cuando se usa un detector de fotones en el espectrógrafo

• la intensidad de las líneas esta consistente con la distribución espacial estadística (probabilidad donde se encuentra el fotón) de los fotones

Un descripción más completa se obtiene por la extensión de niveles de energía cuantificado a campo electromagnético = QED la electrodinámica quántica

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Ondas de de Broglie En 1924, el físico Louis de Broglie considero el principio de complementariedad en términos de simetría: Si la naturaleza es simétrica, por lo tanto las partículas como electrones también deberé mostrar un comportamiento ondulatorio

Como p mv= y h

pλ

=

(21) h hp mv

λ = =

Por lo tanto es posible de describir la partícula con una función de onda Ψ = base de la mecánica quántica

• La amplitud de esta onda es consistente con la distribución espacial estadística (probabilidad espacial) de la partícula

Considerando la hipótesis de Bohr, 2nh

L mvrπ

= = se busca una interpretación en términos

de ondas è el problema de la cuantificación del momento angular se transforma en un problema de frontera de una función de onda

Imaginamos el electrón con una onda estacionar

• Una onda estacionar no transmite energía y por lo tanto es estable • El problema de frontera consiste en ajustar la onda estacionar al orbita de Bohr è

implica que la circunferencia del orbita debe ser un múltiple de la longitud de

onda de la partícula: 2 n

hr n

mvπ λ= =

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Esta relación implica que

(22) 2n

nhmvr L

π= =

La mecánica de onda estacionar para el electrón conduce naturalmente a la cuantificación del momento angular Función y paquete de ondas La función de onda nos da la distribución de una partícula en el espacio de la misma manera que las funciones de ondas para una onda electromagnético nos dan la distribución de los campos eléctrico y magnético

• Experiencia de difracción y interferencia muestra que la intensidad I de la radiación en cualquier punto es proporcional a la magnitud del campo eléctrico

2E - intensidad de la luz consistente con el número de fotones incidentes –

proporcional a la probabilidad de cualquier fotón individual incida alrededor del punto

• De misma manera para una partícula2 ∗Ψ = Ψ Ψ representa la probabilidad de

encontrar la partícula alrededor de ese punto - 2

dVΨ es la probabilidad que se encuentra dentro del volumen

• Para un electrón en un átomo en un estado definido de energía el valor 2

constanteΨ = independiente del tiempo – estado estacionar Fundamentalmente, la función de onda nos da solamente una visión probabilística de la partícula – es una consecuencia epistemológica Para detectar una partícula, el detector debe interactuar con ella, y esta interacción inevitablemente cambia el estado de movimiento de la partícula, introduciendo una incertidumbre sobre su posición inicial Principio de incertidumbre de Heisenberg

(23) 2h

p xπ

∆ ∆ ≥

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La relación de de Broglie hp

λ = sugiere que una partícula debe haber una cantidad de

movimiento definida 0p⇒ ∆ =

Pero el principio de incertidumbre de Heisenberg dice que 2h

x pπ

∆ ∆ ≥ ⇒ x∆ → ∞ , es

función de onda sin limíte espacial De otro lado, el principio de Fourrier dice que cualquier onda se puede representar con la combinación de muchas ondas è paquete de ondas = representa una onda localizada en el espacio

(24) ( ) ( )0

2cos

xx A d

πψ λ λ

λ

∞

= ∫

La integral representa una superposición de ondas con longitudes diferentes λ y amplitud ( )A λ

• Si ( )A λ tiene un pico agudo (a) se superpone sólo intervalo estrecho de

λ ( )xψ⇒ la onda resultante (b) es amplia

• Si ( )A λ es amplia (c) se superpone intervalo más amplio de λ ( )xψ⇒ la onda resultante (d) es más estrechamente localizado

El principio de incertidumbre 2h

p xπ

∆ ∆ ≥ es una consecuencia inevitable de la

relación de de Broglie y de la propiedades de las integrales de Fourrier