Lajes maciças de concreto armado em estruturas portuárias ...

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671 ENGEVISTA, V. 20, n.5, p.671-688, Dezembro 2018. Todos as informações e direitos sobre o presente artigo são de total e única responsabilidade do(s) autor(es).

Lajes maciças de concreto armado em estruturas portuárias: Estudo de

confiabilidade

Reinforced concrete slabs in port structures: Reliability study Victória Sanmartin Prata

Mauro de Vasconcellos Real

Resumo: Este trabalho tem por objetivo avaliar a confiabilidade de lajes maciças de concreto

armado, presentes em zonas portuárias, dimensionadas seguindo a NBR-6118:2014. Para o cálculo

das solicitações utilizaram-se tabelas baseadas na Teoria da Elasticidade de Flexão de Placas. O

momento último para seções retangulares de concreto armado, submetidas à flexão simples no

estado limite último, foi definido e, através da Teoria das Linhas de Ruptura, foi também definido

o momento de plastificação. Ao igualar estes dois momentos, se fez a dedução de um modelo para

calcular a carga última das lajes. O estudo da confiabilidade foi feito a partir do cálculo de índices

de confiabilidade das lajes, com o método de simulações de Monte Carlo com calibração pelo

método FORM. Os índices foram obtidos para situações diferentes de combinações de parâmetros

de dimensionamento: resistência característica à compressão do concreto, vãos, proporção entre

carregamento variável e permanente e, por último, carregamento total solicitante. Diante dos

resultados, quatro estudos paramétricos foram realizados para análise da confiabilidade do

sistema, observando-se que aumentos na resistência característica à compressão do concreto

provocam pequenas quedas nos índices de confiabilidade, enquanto aumentos nos vãos e no

carregamento total solicitante aumentaram os índices. Já em relação à proporção entre

carregamentos, ao assumir valores maiores a carga variável causou quedas nos índices de

confiabilidade. Palavras-chave: Concreto armado; confiabilidade; lajes; estruturas portuárias.

Abstract: This paper aims to evaluate the reliability of reinforced concrete slabs located in port

zones, which were designed according to the NBR-6118:2014. The internal forces were calculated

using the tables based on the elastic method. The reinforced concrete slabs ultimate bending

moment, capacity was defined and, through the yield line theory, the ultimate bending moment in

the plastic regime was also defined. With these definitions of the bending moments, an equation

for the ultimate load of the slabs was defined. The reliability study was done through the

reliability indexes of the slabs, which were calculated using the Monte Carlo method and verified

with the FORM method. The reliability indexes were calculated for different situations by the

variation of some design parameters: characteristic compressive strength of concrete, ratio

between span and thickness, ratio between dead load and live load and the total load. From the

results it can be observed that an increase in the characteristic compressive strength of the concrete

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caused a little decrease on the reliability indexes. The ratio between the span and the thickness

increased the reliability indexes. The same pattern could be noticed by an increase on the total

load. The ratio between the live and dead loads was the parameter that caused the geatest change

in the reliability indexes. Keywords: Reinforced concrete; reliability; slabs; port structures.

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1. Introdução

O presente trabalho avalia a maneira através da qual os projetos estruturais são feitos no

Brasil: seguindo as prescrições da norma brasileira NBR-6118:2014 (ABNT, 2014). Utilizando

esta norma, os projetos são realizados por um método semi-probabilístico, ou seja, com valores

determinísticos para as resistências dos materiais, carregamentos solicitantes e dimensões da

estrutura. Como garantia de segurança estrutural, a norma apenas determina coeficientes

parciais a serem utilizados. Porém, de acordo com Santos, Stucchi e Beck (2014) o fato de que a

avaliação da segurança de uma estrutura de forma probabilística é a mais exata possível.

Os projetos estruturais devem considerar incertezas associadas aos parâmetros citados,

as quais tornam impossível a elaboração de um projeto com segurança total, visto que,

determinada combinação de valores das variáveis pode resultar na condição de falha. (Rocha,

2014). Segundo Minasi (2016), a segurança das estruturas projetadas por normas nacionais deve

ser questionada principalmente para situações em que a probabilidade de ocorrência de eventos

fora do esperado pode ser alta, como são as estruturas portuárias.

De acordo com Rocha et al. (2015), a grande variabilidade nas características dos

materiais componentes do concreto, bem como a alta variação da sua resistência, tornam de

suma importância a aplicação de metodologias estatísticas na avaliação das estruturas. Logo,

admitindo-se incertezas presentes nos projetos, se assume uma probabilidade de falha e

associado a ela, um índice de confiabilidade β. Este índice é um indicativo da segurança

estrutural e quanto menor for seu valor, maior será a probabilidade de falha. Em se tratando de

estruturas inseridas em zonas portuárias, o risco de vir a ocorrer um evento fora do esperado,

caracterizado por falha estrutural, é grande devido à agressividade das variações climáticas bem

como os elevados carregamentos aos quais as estruturas encontram-se expostas diariamente.

O principal objetivo deste artigo é avaliar a confiabilidade estrutural de lajes maciças de

concreto armado de estruturas portuárias dimensionadas utilizando-se da NBR-6118:2014

(ABNT, 2014). Será avaliada a variabilidade dos índices de confiabilidade obtidos em função da

variação de parâmetros do dimensionamento: resistência característica à compressão do

concreto, relação entre cargas permanente e variável, relação entre espessura e vãos e nível total

de carga solicitante.

2. Projeto de lajes maciças de concreto armado segundo a NBR-6118:2014

O projeto de lajes maciças de concreto armado seguindo as prescrições da norma

brasileira NBR-6118:2014 (ABNT, 2014) inclui o dimensionamento estrutural, resultando na

quantidade e disposição das armaduras, bem como dimensões das peças, objetivando o

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equilíbrio no estado limite último durante a vida útil da estrutura. Além disto, devem ser

realizadas verificações

quanto ao cisalhamento, flecha máxima e capacidade resistente estrutural. A Figura 1 ilustra a

seção retangular de uma laje maciça de concreto armado.

Figura 1 –Esquema de seção retangular de laje maciça de concreto armado. (Fonte: Araújo,

2014)

2.1 Armadura longitudinal

Definidas as dimensões estruturais, as propriedades dos materiais e o momento fletor de

serviço Mk, o momento fletor de cálculo Md é calculado a partir da majoração com um

coeficiente parcial de segurança γf= 1,40, conforme Equação 1.

𝑀𝑑 = 𝑀𝑘 ∗ 1,40 (1)

O momento fletor reduzido μ é calculado pela Equação 2:

𝜇 =𝑀𝑑

𝑏𝑤∗𝑑2∗𝜎𝑐𝑑 (2)

A Figura 2 ilustra o diagrama retangular de tensões no concreto, onde σcd, calculada

pela Equação 3, representa a tensão de compressão atuando desde a borda comprimida até uma

distância λx. A resistência, de cálculo, ao escoamento do aço é representada por fyd, conforme

Equação 4.

Figura 2 - Diagrama retangular de tensões no concreto. (Fonte: Araújo, 2014)

𝜎𝑐𝑑 =𝑓𝑐𝑘

𝛾𝑐∗ 𝛼𝑐 (3)

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𝑓𝑦𝑑 =𝑓𝑦𝑘

𝛾𝑠 (4)

De acordo com a NBR-6118:2014 (ABNT, 2014), λ é um parâmetro, assim como αc,

segundo a resistência característica à compressão do concreto fck e x é a profundidade da linha

neutra.

𝑓𝑐𝑘 ≤ 50 𝑀𝑃𝑎 → 𝛼𝑐 = 0,85 (5)

𝑓𝑐𝑘 > 50 𝑀𝑃𝑎 → 𝛼𝑐 = 0,85 ∗ [1 −(𝑓𝑐𝑘−50)

200] (6)

𝑓𝑐𝑘 ≤ 50 𝑀𝑃𝑎 → 𝜆 = 0,8 (7)

𝑓𝑐𝑘 > 50 𝑀𝑃𝑎 → 𝜆 = 0,80 −(𝑓𝑐𝑘−50)

400 (8)

A área de aço As referente à armadura longitudinal é calculada segundo a Equação 9.

𝐴𝑠 = 𝜆 ∗ 𝑏 ∗ 𝑥 ∗𝜎𝑐𝑑

𝑓𝑦𝑑 (9)

onde a profundidade da linha neutra x é calculada utilizando a Equação 10.

x = ξ ∗ d (10)

onde ξ é um coeficiente adimensional que determina a posição da linha neutra dentro da seção

transversal, conforme Equação 11.

ξ =1−√1−2∗μ

λ (11)

2.1.1 Esforços solicitantes

Dentre os métodos para cálculo dos esforços de lajes de concreto armado citados por

Araújo (2014), a Teoria de Flexão de Placas é considerada a teoria exata dentre os princípios da

Teoria da Elasticidade. Sua solução é obtida através da resolução de uma equação diferencial de

quarta ordem, com duas condições de contorno para cada lado da placa. Em geral, a solução é

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obtida admitindo-se que os apoios sejam indeformáveis. O princípio básico da teoria é que o

material da placa é admitido como elástico linear. A Teoria de Flexão de Placas permite calcular

esforços de lajes maciças de concreto armado utilizando tabelas, as quais fornecem coeficientes

para cálculo das reações nos apoios, momentos fletores e a flecha no centro da laje.

2.2 Verificação quanto ao cisalhamento

Para lajes maciças de concreto armado, a verificação quanto ao cisalhamento, de acordo

com a NBR-6118:2014 (ABNT, 2014), é compreendida pela verificação definida na Equação

12, onde τwu1 é a tensão limite de cisalhamento para lajes sem armadura transversal.

τwd < τwu1 (12)

2.3 Verificação quanto à flecha

A verificação da flecha se dá através da Equação 13, na qual 𝑤∞ representa a flecha

final da laje e wadm a flecha máxima admissível estabelecida pela NBR-6118:2014 (ABNT,

2014). Em casos específicos de a verificação não ser atendida, é possível utilizar contraflechas.

w∞ ≤ wadm (13)

wadm =l

250 (14)

2.4 Verificação quando à capacidade resistente

Para seções retangulares de concreto armado com armadura simples, considerando a

possível ruptura nos domínios 2 ou 3 de dimensionamento, o momento resistente, também

denominado momento último Mu, é calculado através da Equação 15.

𝑀𝑢 = 𝐴𝑠 ∗ 𝑓𝑦𝑑 ∗ (𝑑 − 0,5 ∗𝐴𝑠∗𝑓𝑦𝑑

𝑏∗𝜎𝑐𝑑) (15)

3. Modelo para cálculo da carga última de lajes maciças de concreto armado

3.1 Teoria das linhas de ruptura

A Teoria das Linhas de Ruptura permite determinar o momento de ruína para lajes de

diferentes formas, cargas e condições de contorno, considerando o equilíbrio da laje no

momento que antecede a ruína, de acordo com Araújo (2014). Consideram-se desprezadas as

deformações elásticas da laje, adotando-se comportamento rígido-plástico. A laje é dividida em

partes planas que só experimentam movimentos de rotação e na iminência de sua ruína,

formam-se linhas de ruptura nas regiões de momento máximo.

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Segundo Duarte (1998), para as linhas de ruptura, todas as configurações

geometricamente possíveis são consideradas como configurações possíveis de ruína. Cada

posicionamento das linhas corresponde a uma intensidade de carga que fornece energia

consumida na formação das linhas. A Figura 3 ilustra uma laje na iminência de ruptura, apoiada

ao longo de seu contorno e solicitada a um carregamento p uniformemente distribuído em sua

área.

Figura 3 – Configuração de ruína de uma laje simplesmente apoiada. (Fonte: Araújo, 2014)

Uma aplicação do princípio dos trabalhos virtuais à teoria das linhas de ruptura,

denominada de processo de energia, admite que não há perda de energia na laje enquanto a

mesma se deforma sob determinado carregamento (Duarte, 1998). Assim, igualando-se o

trabalho virtual interno Wint ao externo Wext:

𝑊𝑖𝑛𝑡 = 4𝑀𝑥 ∗ (𝑙𝑦+𝑘∗𝑙𝑥

𝑙𝑥) = 𝑊𝑒𝑥𝑡 = 𝑃𝑢 ∗

𝑙𝑥∗(3𝑙𝑦−𝑙𝑥)

6 (16)

𝑀𝑥 = 𝑀𝑝 = 𝑃𝑢 ∗ 𝑙𝑥2 ∗

3∗𝑙𝑦−𝑙𝑥

24∗(𝑙𝑦+𝑘∗𝑙𝑥) (17)

3.2 Equação para cálculo da carga última

Este item tem por objetivo demonstrar o modelo para cálculo da carga última ou carga de

ruptura das lajes, denominada Pu. O mesmo foi obtido através das Equações 17 e 15, as quais

representam o momento de plastificação de uma laje retangular simplesmente apoiada

submetida a um carregamento uniformemente distribuído e o momento de ruína estrutural de

uma seção transversal retangular, respectivamente. Igualando estas equações, é possível chegar

a uma equação para obtenção de Pu, conforme demonstra a Equação 19.

Mp = Mu (18)

Pu =24∗(ly+k∗lx)

3∗ly−lx∗

1

lx2 ∗ [As ∗ fy ∗ (d − 0,5 ∗

As∗fy

b∗σc)] (19)

3.3 Validação do modelo para cálculo da carga última

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Laje As (cm²/m) Puexp (kN/m²) Pumod (kN/m²) Pumod/Puexp

L2 1,02 6,00 6,30 1,05

L3 0,46 3,00 3,00 1,00

Com a finalidade de validação do modelo de cálculo definido pela Equação 19,

selecionaram-se três ensaios realizados por outros autores. As dimensões das lajes ensaiadas,

bem como as propriedades dos materiais utilizados encontram-se resumidos nas Tabelas 1 e 2.

Tabela 1 - Dimensões estruturais e propriedades dos materiais da laje S9 ensaiada por Taylor et

al. (1966).

Tabela 2 - Dimensões estruturais e propriedades dos materiais das lajes L2 e L3 ensaiadas por

Campos et al. (2012).

As Tabelas 3 e 4 ilustram os valores de carga última Pu retirados de suas publicações

originais, denominados por Puexp, assim como os valores obtidos para Pu através do modelo

deduzido no presente trabalho, denominados por Pumod. Por serem ensaios em laboratório de

curta duração, para o cálculo de Pumod não foi levado em conta o efeito Rüsch, considerando-

se, assim, o valor do parâmetro αc com valor igual a 1,0.

Tabela 3 - Comparação entre os valores da carga última Pu experimental e calculada da laje S9

ensaiada por Taylor et al. (1966).

Tabela 4 - Comparação entre os valores da carga última Pu experimental e calculada da laje L2

e L3 ensaiadas por Campos et al. (2012)

Como a razão encontrada entre os valores de Pu, denominada por Pumod/Puexp,

resultou em uma boa precisão com valores próximos a 1,0, foi concluído que o modelo da

Equação 19 é satisfatório.

4. Confiabilidade estrutural

Segundo prescrições da NBR-8681:2003, para avaliação da segurança estrutural se deve

admitir que R > S. Logo, a margem de segurança estrutural é definida pela Equação 20.

M = R − S (20)

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onde R define a resistência estrutural e S a solicitação, ambas consideradas variáveis aleatórias

de distribuição Normal e estatisticamente independentes.

Uma variável aleatória representa um evento, assumindo um valor associado a uma

probabilidade de este evento ocorrer, onde através da distribuição de probabilidade é possível

quantificar qual será esta probabilidade. (Real, 2000)

O objetivo da confiabilidade estrutural é quantificar as chances de ocorrência de cada

cenário possível ao longo da vida útil de uma estrutura: falha, limite ou segurança. O cenário de

falha é denominado por probabilidade de falha estrutural Pf, a qual tem como cenário

complementar, de segurança, a confiabilidade do sistema. Para a quantificação destes cenários,

denomina-se a margem de segurança M como sendo a função de estado limite G(X).

𝐺(𝑋) > 0 → 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑟𝑎𝑛ç𝑎 (21)

𝐺(𝑋) = 0 → 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 (22)

𝐺(𝑋) < 0 → 𝐹𝑎𝑙ℎ𝑎 (23)

O cenário de falha denominado probabilidade de falha estrutural Pf é calculado de

acordo com a Equação 24 e seu complemento, a confiabilidade estrutural C, é indicada na

Equação 25.

𝑃𝑓 = 𝑃(𝐺(𝑋) < 0) (24)

𝐶 = 1 − 𝑃𝑓 (25)

O índice de confiabilidade β, denominado também por índice de segurança, é um

parâmetro que permite avaliar o grau de segurança oferecido em relação a um estado limite

último para diversas estruturas (Haldar e Mahadevan, 2000). O mesmo pode ser calculado de

acordo com a Equação 26.

𝛽 = −𝜙−1(𝑃𝑓) (26)

onde –ϕ-1 representa a função distribuição de probabilidade acumulada inversa da distribuição

Normal.

5. Análise das lajes

Todas as lajes analisadas no presente estudo são maciças de concreto armado,

simplesmente apoiadas ao longo de seu contorno e submetidas a elevados carregamentos,

característicos de zonas portuárias. A seção transversal das mesmas está ilustrada na Figura 4.

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lx=ly pd fck fyk Asx=Asy τwd τwu1 w,final w,adm

(m) (kN/m²) (MPa) (MPa) (cm²/m) (kN/cm²) (kN/cm²) (m) (m)

L1 40 6,55 0,0386 0,8928 0,0049 0,0160

L2 50 6,49 0,0386 1,0348 0,0042 0,0160

L3 60 6,46 0,0386 1,0778 0,0039 0,0160

L4 40 10,50 0,0483 0,9632 0,0119 0,0200

L5 50 10,34 0,0483 1,1146 0,0104 0,0200

L6 60 10,27 0,0483 1,1600 0,0096 0,0200

L7 40 15,65 0,0579 1,0551 0,0239 0,0240

L8 50 15,29 0,0579 1,2170 0,0215 0,0240

L9 60 15,12 0,0579 1,2646 0,0199 0,0240

L10 40 8,28 0,0483 0,9236 0,0061 0,0160

L11 50 8,18 0,0483 1,0699 0,0053 0,0160

L12 60 8,14 0,0483 1,1139 0,0049 0,0160

L13 40 13,37 0,0603 1,0146 0,0149 0,0200

L14 50 13,12 0,0603 1,1721 0,0130 0,0200

L15 60 13,00 0,0603 1,2188 0,0120 0,0200

L16 40 20,18 0,0724 1,1361 0,0309 0,0240

L17 50 19,56 0,0724 1,3053 0,0269 0,0240

L18 60 19,27 0,0724 1,3542 0,0239 0,0240

L19 40 10,05 0,0579 0,9552 0,0073 0,0160

L20 50 9,91 0,0579 1,1056 0,0064 0,0160

L21 60 9,84 0,0579 1,1507 0,0059 0,0160

L22 40 16,38 0,0724 1,0682 0,0179 0,0200

L23 50 15,99 0,0724 1,2314 0,0156 0,0200

L24 60 15,80 0,0724 1,2793 0,0144 0,0200

L25 40 25,09 0,0869 1,2235 0,0371 0,0240

L26 50 24,06 0,0869 1,3985 0,0323 0,0240

L27 60 23,61 0,0869 1,4478 0,0299 0,0240

70

84

500

20

25

30

4

5

6

4

5

6

4

5

6

25

30

20

25

30

Dimensionamento Verificações

Laje L/h

20

56

Figura 4 - Seção transversal das lajes em análise.

5.1 Características gerais e dimensionamento

As dimensões dos vãos lx e ly, resistências adotadas para os materiais fck e fyk e o nível

de carregamento total solicitante de cálculo pd encontram-se na Tabela 5. A área de aço As

calculada para a armadura longitudinal também se faz presente na mesma tabela. Como as lajes

são quadradas, sendo assim os vãos lx=ly, e todas armadas em cruz, as áreas de aço das

armaduras longitudinais são iguais para ambas as direções x e y. Resumidamente, as

verificações referentes ao cisalhamento e flecha também se encontram- na Tabela 5, conforme

explicado nos itens 2.2 e 2.3 do presente trabalho.

Adotou-se classe de agressividade ambiental igual a IV para o dimensionamento das

lajes deste trabalho, que de acordo com a NBR-6118:2014 (ABNT, 2014) é caracterizada pela

agressividade muito forte, em ambiente com respingos de maré e risco elevado de deterioração

estrutural. Este é um dos fatores pelos quais as lajes deste trabalho são características de zonas

portuárias, além dos elevados carregamentos solicitantes e espessura total h também alta.

Tabela 5 – Resumo: dimensionamento e verificações quanto ao cisalhamento e flecha das lajes.

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As (cm²/m) χ βref βmod βmod/βref

0,0 2,37 2,4171 1,0199

0,1 2,42 2,4500 1,0124

0,2 2,48 2,4834 1,0014

0,3 2,53 2,5141 0,9937

0,4 2,56 2,4984 0,9759

0,5 2,58 2,4836 0,9626

0,6 2,55 2,4568 0,9635

0,7 2,53 2,4142 0,9542

0,8 2,45 2,3662 0,9658

0,9 2,40 2,3200 0,9667

5,00

5.2 Modelo para cálculo dos índices de confiabilidade

O modelo utilizado para o cálculo dos índices de confiabilidade das lajes, em diferentes

combinações de dimensões estruturais, resistência característica à compressão do concreto fck,

proporção entre carregamentos variável e permanente qk/gk e nível total de carregamento

solicitante pd foi baseado em Santos, Stucchi e Beck (2014). A Tabela 6 demonstra que este foi

satisfatório ao resultar em uma precisão próxima a 1,0 para a proporção entre os índices de

confiabilidade obtidos da publicação dos autores originais, denominados por βref, e os valores

calculados através do modelo desenvolvido no presente trabalho, denominados por βmod.

Para a obtenção dos resultados expostos na Tabela 6, bem como os índices de

confiabilidade referentes às lajes dimensionadas e analisadas no presente trabalho, utilizou-se o

método de simulações de Monte Carlo e posteriormente foi realizada a calibração dos resultados

através do método de confiabilidade de primeira ordem: FORM.

De acordo com Real (2000), o método de Monte Carlo consiste na obtenção de uma

estimativa de distribuição de probabilidade da resposta através da geração aleatória de

parâmetros de entrada, de acordo com as distribuições de probabilidade de cada, a partir de N

simulações numéricas. Os resultados dos índices de confiabilidade pelo método de Monte Carlo

foram obtidos através de rotina computacional no software Octave, de acordo com os dados da

Tabela 7. Para a calibração dos resultados utilizou-se o método de primeira ordem FORM –

First Order Reliability Method, através de planilha adaptada e baseada na publicação de Low e

Tang (2007) no software Excel, com o auxílio do comando Solver.

onde χ representa a proporção entre carregamento variável e carregamento total solicitante.

Tabela 6 – Verificação do modelo – comparação entre os índices de confiabilidade de referência

e os obtidos com o modelo do presente trabalho.

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Normal fck = 40 MPa fcm 0,15



fy (kN/cm²) Normal fyk fym

h (cm) Normal h hm

d' (cm) Lognormal d' d'm

θR Lognormal θR 1,0

θS Lognormal θS 1,0

0,60 cm

0,60 cm

8 MPa

Dimensões da

estrutura

Incertezas - ações e

resistência

Resistência dos

materiais

fc (kN/cm²)

0,05

0,05

0,15Vfc*μ

Vfy*μ

Classificação da

variável

Variáveis aleatórias e suas distribuições de probabilidade

VMq*μValores

Extremos Tipo IMqk 0,93*Mqk

Momento devido à

carga permanente

Mg

(kN.cm/m)Normal Mgk Mgk

Momento devido à

carga variável

Mq

(kN.cm/m)

Variável

aleatória

Distribuição de

probabilidade

Valor

característicoMédia μ

VMg*μ

Coeficiente

de variação

0,10

0,20

Desvio

padrão σ

0,05

~

~

~

~

A Tabela 7 ilustra os parâmetros do dimensionamento adotados como variáveis

aleatórias e suas respectivas distribuições de probabilidade. Apenas a resistência

característica à compressão do concreto fck teve duas combinações diferentes de dados

de entrada, com a finalidade da análise dos resultados para ambas situações.

Na primeira combinação, o valor do coeficiente de variação da resistência à

compressão do concreto foi mantido constante, igual a 0,15 e o desvio padrão variou

conforme fck. Para a segunda combinação, o valor do desvio padrão foi calculado

apenas uma vez, para um fck de 40 MPa, resultando em 8 MPa. Então, foi mantido fixo

este valor para todos os cálculos e o coeficiente de variação foi variado conforme fck.

Na Tabela 7 estão demonstrados os valores utilizados em cada combinação.

A expressão que define a função de estado limite G(X) utilizada nos modelos de cálculo

é igual a:

𝐺(𝑋) = 𝑝𝑢 − 𝑝𝑑 (27)

𝐺(𝑋) =24∗(ly+k∗lx)

3∗ly−lx∗

1

lx2 ∗ [As ∗ fy ∗ (d − 0,5 ∗

As∗fy

b∗σc)] − [(𝛾𝑔 ∗ 𝑔𝑘) + (𝛾𝑞 ∗ 𝑞𝑘)] (28)

6. Resultados

Na Tabela 8 encontram-se os resultados obtidos, através do método de Monte Carlo, para

os índices de confiabilidade β das lajes dimensionadas no presente trabalho.

Tabela 7 – Variáveis aleatórias e suas distribuições de probabilidade

Tabela 8 – Índices de confiabilidade β obtidos em diferentes combinações pelo método de

Monte Carlo com N=4e7 simulações.

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Vfc=0,15 σ=8MPa Vfc=0,15 σ=8MPa Vfc=0,15 σ=8MPa

β β β β β β

L1 4,3294 4,3318 3,8678 3,8660 3,4650 3,4678

L2 4,3010 4,3124 3,8586 3,8463 3,4482 3,4484

L3 4,2972 4,2865 3,8355 3,8330 3,4422 3,4380

L4 4,3744 4,3767 3,9024 3,9024 3,4900 3,5033

L5 4,3346 4,3017 3,8769 3,8645 3,4679 3,4619

L6 4,3327 4,3010 3,8551 3,8451 3,4642 3,4508

L7 4,4035 4,3975 3,9458 3,9397 3,5388 3,5419

L8 4,3423 4,3470 3,8975 3,9002 3,4970 3,4912

L9 4,3331 4,3374 3,8732 3,8760 3,4800 3,4677

L10 4,3331 4,3301 3,8906 3,8845 3,4810 3,4797

L11 4,3017 4,3215 3,8544 3,8483 3,4544 3,4493

L12 4,3012 4,2865 3,8502 3,8407 3,4524 3,4418

L13 4,4005 4,4056 3,9268 3,9197 3,5179 3,5140

L14 4,3494 4,3331 3,8795 3,8763 3,4785 3,4777

L15 4,3431 4,3229 3,8801 3,8642 3,4703 3,4638

L16 4,4652 4,4404 3,9754 3,9830 3,5745 3,5711

L17 4,4271 4,3813 3,9219 3,9120 3,5112 3,5144

L18 4,3678 4,3661 3,8970 3,8784 3,4979 3,4830

L19 4,3897 4,3602 3,9025 3,8997 3,4907 3,4931

L20 4,3510 4,3222 3,8653 3,8614 3,4604 3,4641

L21 4,3454 4,3200 3,8555 3,8462 3,4599 3,4492

L22 4,4140 4,3988 3,9598 3,9458 3,5443 3,5447

L23 4,3486 4,3518 3,9015 3,9060 3,4955 3,4921

L24 4,3439 4,3309 3,8829 3,8732 3,4864 3,4725

L25 4,4922 4,4692 4,0266 4,0230 3,6091 3,6123

L26 4,3888 4,4076 3,9479 3,9225 3,5476 3,5327

L27 4,3644 4,3671 3,9205 3,9078 3,5159 3,5039

pd

(kN/m²)r

84

70 0,5

Método de Monte Carlo - N=4e7

1,0 2,0

r r

56

Laje

Na Tabela 9 encontram-se os resultados obtidos, através do método FORM, para os índices

de confiabilidade β para as lajes dimensionadas no presente trabalho.

Tabela 9 - Índices de confiabilidade β obtidos em diferentes combinações pelo método FORM.

ISSN: 1415-7314 ISSN online: 2317-6717


Vfc=0,15 σ=8MPa Vfc=0,15 σ=8MPa Vfc=0,15 σ=8MPa

β β β β β β

L1 4,7469 4,7470 4,0947 4,0947 3,6142 3,6142

L2 4,7224 4,7226 4,0748 4,0749 3,5971 3,5971

L3 4,7113 4,7115 4,0660 4,0661 3,5895 3,5896

L4 4,7918 4,7920 4,1299 4,1299 3,6442 3,6442

L5 4,7526 4,7532 4,0980 4,0983 3,6165 3,6167

L6 4,7398 4,7403 4,0879 4,0882 3,6079 3,6081

L7 4,8507 4,8508 4,1769 4,1769 3,6845 3,6845

L8 4,7982 4,7994 4,1335 4,1341 3,6465 3,6470

L9 4,7750 4,7760 4,1149 4,1155 3,6306 3,6310

L10 4,7671 4,7671 4,1104 4,1104 3,6276 3,6276

L11 4,7345 4,7361 4,0840 4,0842 3,6045 3,6047

L12 4,7265 4,7268 4,0778 4,0780 3,5995 3,5997

L13 4,8216 4,8216 4,1534 4,1534 3,6643 3,6643

L14 4,7791 4,7799 4,1186 4,1191 3,6339 3,6343

L15 4,7606 4,7613 4,1039 4,1043 3,6214 3,6217

L16 4,9020 4,9006 4,2175 4,2175 3,7199 3,7199

L17 4,8362 4,8381 4,1630 4,1642 3,6716 3,6723

L18 4,8060 4,8077 4,1389 4,1399 3,6506 3,6515

L19 4,7880 4,7866 4,1257 4,1257 3,6406 3,6406

L20 4,7526 4,7530 4,0981 4,0984 3,6167 3,6169

L21 4,7367 4,7374 4,0855 4,0857 3,6059 3,6061

L22 4,8578 4,8578 4,1825 4,1825 3,6894 3,6894

L23 4,8057 4,8068 4,1393 4,1400 3,6513 3,6519

L24 4,7802 4,7812 4,1189 4,1196 3,6340 3,6344

L25 4,9575 4,9560 4,2644 4,2644 3,7628 3,7613

L26 4,8768 4,8785 4,1939 4,1957 3,6994 3,6991

L27 4,8393 4,8421 4,1648 4,1664 3,6727 3,6738

rpd

(kNr

2,0

Método FORM (First Order Reliability Method )

Laje r

56

0,570

84

1,0

A precisão dos resultados obtidos para os índices de confiabilidade β é comprovada a

partir de uma comparação entre os resultados de ambos os métodos utilizados para tal, a qual

pode ser observada na Figura 5.

Figura 5 - Comparação entre os resultados pelos métodos de Monte Carlo e FORM

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As Figuras de 6 a 10 ilustram graficamente os resultados dos estudos paramétricos, a

partir do comportamento dos índices de confiabilidade β obtidos pelo Método de Monte Carlo

diante da variação de parâmetros de dimensionamento. A Figura 6 apresenta o comportamento

do índice de confiabilidade β diante da variação da resistência característica à compressão do

concreto fck, mantendo o valor do coeficiente de variação Vfc do mesmo constante com valor

igual a 0,15.

A Figura 7 ilustra o comportamento do índice de confiabilidade β diante da variação da

resistência característica à compressão do concreto fck, mantendo o desvio padrão σ constante.

O comportamento do índice de confiabilidade β devido à variação das dimensões das

lajes L/h é demonstrado na Figura 8.

Figura 6 – fck (MPa) x Índice de confiabilidade β – Vfc=0,15.

Figura 7 - fck (MPa) x Índice de confiabilidade β –σ = 8 MPa

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A Figura 9 demonstra o comportamento apresentado pelo índice de confiabilidade β

diante da variação da relação entre os carregamentos variável e permanente r=qk/gk.

A Figura 10 demonstra o comportamento de β quando é variado o valor de nível total de

carregamento solicitante de cálculo pd.

Figura 8 - L/h x Índice de confiabilidade β.

Figura 9 - qk/gk x Índice de confiabilidade β.

Figura 10 - pd (kN/m²) x Índice de confiabilidade β.

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7. Conclusões

Comprovou-se, ao fim do presente trabalho, tamanha a importância de um estudo

relativo à confiabilidade estrutural de lajes maciças de concreto armado localizadas em zonas

portuárias, através da NBR-6118:2014 (ABNT, 2014). Esta se deve ao fato de que as normas

brasileiras não consideram as incertezas provenientes da aleatoriedade de parâmetros de

dimensionamento e, assim, prescrevem coeficientes parciais de segurança de mesmo valor para

carregamentos solicitantes tanto variáveis quanto permanentes. Um estudo probabilístico, como

o apresentado neste trabalho, permite avaliar a segurança estrutural com mais precisão, através

da adoção adequada de distribuições de probabilidade para cada parâmetro.

Os estudos paramétricos apresentados no capítulo anterior vieram a permitir a avaliação

da confiabilidade estrutural diante da variação de parâmetros do dimensionamento: resistência

característica à compressão do concreto fck, dimensões L dos vãos, proporção entre

carregamento variável e permanente e nível de carregamento total solicitante pd.

O primeiro avaliou o comportamento do índice de confiabilidade β diante da variação

da resistência característica à compressão do concreto fck para duas situações distintas. Na

primeira situação, fixou-se um valor para o coeficiente de variação da resistência do concreto

Vfc, demonstrando que um aumento na fck gera pequenas quedas em β. Na segunda situação, foi

fixado um valor para o desvio padrão σ na distribuição de probabilidade da resistência à

compressão do concreto, enquanto Vfc variou de acordo com fck, gerando resultados para β de

mesmo comportamento à primeira situação, com igual proporcionalidade nas quedas

apresentadas em β. Concluiu-se, a partir destes resultados, que estas quedas se deram devido a

área de aço da armadura tracionada As resultar menor conforme fck aumenta.

No segundo estudo paramétrico, variou-se a relação entre as dimensões estruturais L/h,

fixando-se um valor para h e adotando-se três valores para L. Logo, quanto maior a relação,

maior o valor assumido para L. Os esforços solicitantes nas lajes foram mensurados levando-se

em consideração diretamente L e, assim, ao assumir valores maiores L implicou valores maiores

para a área de aço da armadura tracionada As. Valores mais altos foram, então, obtidos para os

índices de confiabilidade β.

Já para o terceiro estudo paramétrico a variação foi realizada no parâmetro r, o qual

representa a razão entre os carregamentos variável e permanente solicitantes: qk/gk. Foi

observado que quando qk cresce em relação à gk, β decai. Este comportamento se deve ao

coeficiente de variação de qk ser maior se comparado ao de gk. Além disso, os coeficientes de

majoração de esforços, dados na NBR-6118:2014 (ABNT, 2014), são de valores iguais para

ambos os carregamentos sem considerar as aleatoriedades dos mesmos.

No quarto estudo paramétrico, o valor do nível de carregamento total solicitante pd foi

variado, observando-se que β cresce conforme pd cresce. A área de aço da armadura tracionada

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As aumenta conforme o nível de carregamento total aumenta e isto é o que causa o

comportamento crescente no índice de confiabilidade β.

8. Referências bibliográficas

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ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de concreto –

Procedimento. NBR 6118. 2014.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Ações e segurança nas estruturas –

Procedimento. NBR 8661. 2003.

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Dissertação de mestrado, Universidade de São Paulo.

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Dissertação de mestrado, Universidade Federal do Rio Grande.

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