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Administração Financeira IIValor do dinheiro no tempo

Base da Matemática Financeira:

• Fluxo monetário;

• Tempo;

• Equivalência financeira.

Lemes Júnior, A. B. Administração financeira: princípios, fundamentos e práticas brasileiras.



Fluxo monetário:

• Entradas de saídas de valores monetários;

• Representa os eventos e suas dimensões financeiras;

• Pagamentos e recebimentos ao longo do tempo;

• Para efetuar alguma operação matemática entre eles é necessário utilizar recursos que compensem suas distâncias.


0 N



Tempo:

• O valor monetário sempre está relacionado a um tempo ou período;

• Um valor monetário nominal hoje é diferente desse mesmo valor monetário nominal no passado ou no futuro.

• Na escala de tempo o 0 (zero ) indica o início e o N indica o final da sequência de tempo com N períodos iguais.


0 N



Equivalência financeira:

• Fluxos diferentes podem ter o mesmo valor equivalente.


0 N

0 N



Fluxo de caixa:

• É uma forma de demonstrar graficamente o que acontece com o dinheiro com o passar do tempo;

• Facilita a visualização;

• Representa uma aplicação, um investimento, um empréstimo ou um financiamento;

• Mostra as entradas e saídas de dinheiro ao longo do tempo.


0 N1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12



Juros:• Quem tem dinheiro sobrando pode emprestar para quem precisa;• Por isso, as taxas de juros remuneram o capital investido;• Portanto, o dinheiro recebido hoje tem mais valor do que a mesma quantia de dinheiro

recebida amanhã;• Essa é a Teoria da Preferência pela Liquidez;• Quem tem o direito de receber hoje só aceita deixar para amanhã se o montante

aumentar. As taxas de juros fazem o dinheiro aumentar.




Juros:•JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado;•JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.

Taxa de jurosA taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere:8 % a.a. - (a.a. significa ao ano)10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre)

Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %: 0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês)0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)




Para compreender um fluxo de caixa:• Eixo horizontal: linha de tempo;• Setas para cima: entradas de dinheiro no caixa da empresa;• Setas para baixo: saídas de dinheiro do caixa da empresa;• P = capital, principal, quantidade de dinheiro disponível hoje;• F = valor do dinheiro no futuro;• A = valor de cada prestação;• n = número de períodos;• i = taxa de juros (valor decimal);• i% = taxa de juros (valos percentual);• j = taxa de juros acumulada em um período total N (valor decimal);• j% = taxa de juros acumulada em um período total N (valor percentual);• J = juros pagos ou recebidos.




Juros simples:Neste caso os juros não são cumulativos. Incidem uma vez em cada período sem

considerar que no período anterior houve pagamento de juros.

J = P . i . n

Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:

J = 1000 x 0.08 x 2 = 160

F = P . ( 1 + ( i . n ) )

Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$ 70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.

F = P . ( 1 + (i.n) )F = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$ 72.960,42




Juros compostos:Neste caso os juros são cumulativos. Incidem uma vez em cada período considerando

que no período anterior houve pagamento de juros.Em um regime de capitalização a juros simples o saldo cresce em progressão aritmética.

F = P . (1 + i)n

Exemplo: Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês.P = R$6.000,00t = 1 ano = 12 mesesi = 3,5 % a.m. = 0,035

F = 6000.(1+0,035)12 = 6000. (1,035)12 = R$ 9.066,41

J = F - P




TAXAS EQUIVALENTESDuas taxas i1 e i2 são equivalentes, se aplicadas ao mesmo capital P durante o mesmo

período de tempo, através de diferentes sistemas de capitalização, produzem o mesmo montante final.

Seja o capital P aplicado por um ano a uma taxa anual ia.

O montante S ao final do período de 1 ano será F = P(1 + ia )

Consideremos agora, o mesmo capital P aplicado por 12 meses a uma taxa mensal im.

O montante F’ ao final do período de 12 meses será igual a F’ = P(1 + im)12.

Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deveremos ter F = F’.Portanto, P(1 + ia) = P(1 + im)12

Daí concluímos que 1 + ia = (1 + im)12

Com esta fórmula podemos calcular a taxa anual equivalente a uma taxa mensal conhecida.

Exemplo: Qual a taxa anual equivalente a 8% ao semestre?Em um ano temos dois semestres, então teremos: 1 + ia = (1 + is)2

1 + ia = 1,082 ia = 0,1664 = 16,64% a.a.




TAXAS NOMINAIS• A taxa nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital

não coincide com aquele a que a taxa está referida.

Exemplo: Uma taxa de 15 % a.a., capitalização mensal, terá qual taxa efetiva?15/12 = 1,251,2512 = 1,1608 = 16,08% a.a.

TAXAS EFETIVAS • A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital

coincide com aquele a que a taxa está referida.




VALOR FUTURO:É o quanto valerá o capital no futuroF = P (1 + i)n

Exemplo: Quanto teremos daqui a 12 meses se aplicarmos R$ 1.500,00 a 2% ao mês?F = 1500 (1 + 0,02)12 = R$ 1.902,36

VALOR PRESENTEÉ o quanto precisamos investir hoje para termos determinado montante no futuroP = F / (1 + i)n

Exemplo: Quanto devemos aplicar para termos R$ 2.200,00 daqui a 12 meses a 2% ao mês?P = 2200 / (1 + 0,02)12 = R$ 1.734,68




Tempo de capitalização:É possível saber quanto tempo será necessário para se obter um determinado montante

n = Log(F/P)/Log(1 + i/100)

Exemplo: Quanto tempo devemos aplicar R$ 3.000,00 para termos R$ 4.886,68 rendendo 5% ao mês?n = Log(4886,68/3000)/Log(1 + 0,05) = 10 meses




Taxa de juros:É possível saber qual a taxa de juros necessária para se obter um determinado montante

i = (F/P)1/n - 1

Exemplo: Qual a taxa de juros que retorna R$ 10.305,16 para uma aplicação de R$ 5.000 durante 10 meses?

i = (10305,16/5000)0,1 – 1 = 7,5% a.m.




Série uniforme de pagamentos:Um fluxo financeiro pode ser composto de uma série de pagamentos ou recebimentos

idênticos em períodos de tempo iguais.

F = A[(1 + i/100)n – 1]/(i/100)

P = A[1 - (1 + i/100)-n]/(i/100)

A = (P.i/100)/[1 - (1 + i/100)-n]

n = Log[A/(A - P.i/100)]/Log(1 + i/100)




Série uniforme de pagamentos:

Valor futuro:

F = A[(1 + i/100)n – 1]/(i/100)

Exemplo: Quanto teremos ao aplicar R$ 200 todo mês durante dois anos a uma taxa de 6% a.m.?

F = 200[(1 + 0,06)24 – 1]/(0,06) = R$ 10.163,12





Valor presente:

P = A[1 - (1 + i/100)-n]/(i/100)

Exemplo: Quanto teremos que aplicar para receber R$ 300 todo mês durante um ano e meio a uma taxa de 4,5% a.m.?

P = 300[1 - (1 + 0,045)-18]/(0,045) = R$ 3.648,00





Valor da prestação:

A = (P.i/100)/[1 - (1 + i/100)-n]

Exemplo: Quanto renderá R$ 10.000 aplicados durante três anos a uma taxa de 5% a.m.?A = (10000.0,05)/[1 - (1 + 0,05)-36] = R$ 604,34





Tempo:

n = Log[A/(A - P.i/100)]/Log(1 + i/100)

Exemplo: Quanto tempo levará para pagar uma dívida de R$ 5.000 com pagamentos mensais de R$ 427,68 a uma taxa de 2,5% a.m.?

n = Log[427,68/(427,68 - 5000.0,025)]/Log(1 + 0,025) = 14 meses


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