A razo entre amedida de um ladode um tringulo e oseno do ngulo opostoconstantee igual aodimetroda circunferncia circunscrita ao tringulo.

Saiba maisDemonstraoSeja o tringulo ABC, inscrito na circunferncia de raioR.

Seja BD = 2R (dimetro da circunferncia) e o tringulo retngulo BCD, com c= 90.Por defino: senou sen.Se agudo, tem-se =(ambos tem por medida a metade do ngulo central correspondente figura I ).Se obtuso, tem-se = 180 a (todo quadriltero inscritvel tem os ngulos opostos suplementares figura II ).Nos dois casos, sen a = sen e portanto,

Considerando-se os dimetros que passam por C e por A, de modo anlogo, obtm-se

Consequentemente,

Exerccios propostos1.Determinar a medida do lado AB do tringulo ABC sabendo que BC =, = 30 e C= 45.2.Calcular o raio da circunferncia circunscrita a um tringulo do qual se conhecem um lado a = 20 m e o ngulo oposto = 60.3. (UNIFOA MODELO ENEM) Um topgrafo pretende calcular o com pri mento da ponte OD que passa sobre o rio mostrado na figura abaixo. Para isto, toma como referncia os pontos A, O e C, situados em uma das margens do rio. Com ponto de referncia em A, calcula o ngulo DC = 45.Caminha 200 m at o ponto O e com ponto de referncia no mesmo, calcular o ngulo DC = 75. Com estes dados, qual ser o comprimento da ponte calculado pelo topgrafo?

4. (FGV MODELO ENEM) Uma estrela regular de 4 bicos est inscrita numa circunferncia de raio 2 m. Levando-se em conta a medida do ngulo assinalado na figura e os dados a seguir, pode-se afirmar que o permetro da estrela de:Medida ngulosenocosseno

30

45

60

9010

a)b)c)d)e)Gabarito1.RESOLUO

2.RESOLUO

3.RESOLUO

x . sen 30 = 200 . sen 45x .= 200 .x =Resposta: A4.RESOLUO

A partir do enunciado, podemos considerar o tringulo ABO, em que AO = 2, AB = 45, AO = 120 e, pela lei dos senos, temos

Portanto, o permetro da estrela, em metros,

Resposta: D