ENGRENAGENS

I – INTRODUÇÃO

Denomina-se engrenagem, o par de duas rodas dentadas que

trabalham acopladas para transmissão de movimento e torque entre

dois eixos. Na prática, o termo “engrenagem” é também empregado

com sinônimo de “roda dentada”.

A roda dentada menor denomina-se “Pinhão”.

A roda dentada maior denomina-se simplesmente roda. No caso

de engrenagem não cilíndrica, a roda dentada maior denomina-se

“Coroa”.

CLASSIFICAÇÃO GERAL DAS ENGRENAGENS

Para atender as necessidades da indústria mecânica foram

desenvolvidos diversos t ipos de engrenagens que podem ser

classif icadas sob diferentes critér ios. O critério mais uti l izado é o que

se apresenta a seguir:

1º - ENGRENAGENS CILÍNDRICAS

Sabe-se que as superfícies ci líndricas são obtidas pela

rotação de uma reta geratriz convenientemente em torno de um eixo.

Colocando-se dois ci l indros em contato, segundo uma l inha

geratriz comum aos dois ci l indros, pode-se obter transmissão de

movimento circular, por atrito, de um cil indro para o outro. Este é o

princípio básico de funcionamento das engrenagens ci l índricas.

01

Engrenagens cilíndricas são compostas por rodas dentadas

de corpo ci l índrico que são classif icadas de acordo com o formato dos

dentes em:

a) Engrenagens ci l índricas de dentes retos

• Dentes externos

• Dentes internos

As engrenagens cil índricas de dentes retos são empregadas

em larga escala na transmissão de movimento entre eixos paralelos.

São as de mais fácil estudo, fabricação e controle. Possuem alto

rendimento da ordem de 98-99% porém são ruidosas em velocidades

elevadas. Transmitem aos eixos de trabalho somente cargas radiais e

por isso necessitam de mancais para esforços apenas radiais.

As engrenagens cilíndricas de dentes retos internos são

empregadas quando o espaço disponível é restrito ou quando não se

quer expor os dentes da engrenagem, facil i tando com isso sua

proteção. Neste caso a rotação dos dois eixos do par de rodas tem o

mesmo sentido de rotação.

b) Engrenagens ci l índricas de dentes helicoidais

As engrenagens cil índricas de dentes helicoidais são

empregadas geralmente com eixos paralelos podendo, contudo, ser

uti l izadas com eixos reversos. São muito usadas quando cargas e/ou

velocidades de trabalho são elevadas. Transmitem empuxo axial ao

eixo de trabalho, porém, trabalham de modo mais suave e si lencioso

que as engrenagens de dentes retos. Por transmitirem aos eixos de

trabalho cargas radiais e axiais necessitam, por isso, de mancais para

esforços radiais e axiais simultâneos.

02

2º - ENGRENAGENS CÔNICAS

Sabe-se que as superfícies cônicas são obtidas pela

rotação de uma reta geratriz convenientemente em torno de um eixo.

Em se tratando de eixos concorrentes, colocando-se os dois

cones em contato, segundo uma l inha geratriz comum aos dois cones,

pode-se obter transmissão de movimento circular, por atrito, de um dos

cones para o outro. Este é o princípio básico de funcionamento das

engrenagens cônicas.

As engrenagens cônicas são, portanto, uti l izadas para na

transmissão de potência entre eixos concorrentes ou reversos. Este

conjunto de rodas dentadas exige grande precisão de montagem,

motivo pelo qual se uti l iza usualmente de mancais de rolamento.

As engrenagens cônicas são classif icadas de acordo com o

formato dos dentes em:

a) Engrenagens cônicas de dentes retos

As engrenagens cônicas de dentes retos são empregadas

na transmissão de movimento entre eixos concorrentes, porém não

devem ser empregadas em velocidades elevadas.

b) Engrenagens cônicas de dentes inclinados

As engrenagens cônicas de dentes inclinados são também

para transmissão de movimento entre eixos concorrentes podendo ser

empregadas em velocidades mais elevadas que as de dentes retos.

c) Engrenagens cônicas de dentes curvos

As engrenagens cônicas de dentes curvos são empregadas

na transmissão de movimento entre eixos concorrentes podendo ser

empregadas em velocidades bem mais elevadas que os outros t ipos.

03

3º - ENGRENAGENS HIPERBÓLICAS

As engrenagens hiperbólicas também conhecidas como

hipóides permitem a transmissão de movimento entre eixos reversos.

São projetadas para grandes variações de velocidade e

também desenvolvem grande capacidade de carga. Por estas

características são largamente empregadas na indústria

automobilística, em carros, caminhões e tratores.

4º - CREMALHEIRA

A cremalheira é um sistema de dentes dispostos em linha

reta e por isto pode ser considerada como um caso l imite de

engrenagem cilíndrica, quando o raio do ci l indro tende a um valor

infinitamente grande.

Transforma movimento de rotação em movimento de

translação reti líneo e tem sua importância não só pelo uso específico

como também o de forma básica para várias ferramentas empregadas

na usinagem de rodas dentadas.

5º - ENGRENAGENS: COROA - PARAFUSO SEM FIM

As engrenagens do t ipo coroa - parafuso sem fim

apresentam dois campos de aplicações importantes:

a) grandes reduções de velocidade na transmissão de

potência.

b) Controle preciso do movimento circular de algum

equipamento, como por exemplo a mesa rotativa de uma máquina

operatriz.

04

05

II – EVOLVENTE

Definição: A curva evolvente é gerada por um ponto de uma reta

que rola, sem deslizamento, sobre uma circunferência.

Na prática, sentido físico, a evolvente é a curva gerada por um

ponto de uma corda que se desenrola de um círculo.

EVOLVENTE Esquema de funcionamento

Sobre o ci l indro 1 está enrolada a extremidade de um fio e sobre

o cil indro 2 está enrolada a outra extremidade deste mesmo fio.

Girando-se o ci l indro 1, o ponto “P” do f io irá se desenrolando do

cil indro 2 e, após descrever uma trajetória reti l ínea, irá enrolar-se

sobre o cil indro superior.

Considerando-se que dois planos I e II girem respectivamente

com os ci l indros de centros O1 e O2, as projeções do ponto P sobre

estes dois distintos planos, durante seu deslocamento, serão duas

evolventes que terão em cada instante como ponto de tangência a

projeção de P. Estas duas evolventes são as curvas do perfi l dos

dentes das duas rodas dentadas de uma engrenagem.

06

A

r P

ρ P

P

C

B

r b

α P

O

y

x

1º - TERMINOLOGIA

βP

a) Circunferência de base: é aquela sobre a qual rola a reta

que contém o ponto geratriz da evolvente.

b) Raio de base rb: é o raio da circunferência de base.

c) Reta geratriz: é aquela que rola sobre a circunferência de

base e contém o ponto gerador P.

d) Raio vetor rp: é aquele que une o centro da circunferência

de base com um ponto genérico P da evolvente.

e) Ângulo de incidência αP: é aquele determinado pelo raio

vetor e o raio que passa pelo ponto de tangência da reta geratriz com

a circunferência de base.

f) Raio da evolvente ρP: é a distância entre o ponto de

tangência C da reta geratriz e o ponto gerador P na curva evolvente.

07

2º - PROPRIEDADES

a) Qualquer geratriz da evolvente é tangente ao círculo base.

b) O segmento da geratriz entre o ponto gerador P e o ponto

de tangência C é o raio da evolvente no ponto P.

c) A tangente à evolvente é normal à geratriz correspondente.

d) O arco AC é igual ao segmento de reta CP.

e) O raio da evolvente em A é nulo.

f) A direção da evolvente na origem é a do raio

correspondente do círculo de base.

3º - A FUNÇÃO EVOLVENTE “βP”

Do tr iângulo retângulo OPC tem-se que: cos αP = rb / rP

então: rb = rP cos αP (1)

Na f igura tem-se para os arcos: AB + BC = AC (2)

Pela geração da curva evolvente tem-se: AC = CP (3)

Substituindo-se (3) em (2) tem-se: AB + BC = CP

08

Dividindo-se ambos os membros por rb tem-se:

AB + BC = CP βP + αP = CP rb rb rb rb

Substituindo-se rP por (1)

βP + αP = CP como: CP = sen αP rP cos αP rP

então: βP + αP = tg αP

ou: βP = tg αP - αP

O angulo “βP” é chamado de “Função da Evolvente” e como

visto anteriormente é calculado em função de αP.

A função evolvente pode então ser tabelada sendo de

grande importância no estudo de engrenagens com perfi l de dente

evolvente.

O raio genérico da evolvente também pode ser calculado

em função de αP, conforme mostrado na seqüência:

Como ρ = CP e, pela f igura tgαP = CP rb

então: ρ = rb tgαP

09

I I I – CINEMÁTICA DO ENGRENAMENTO

1º - LEI FUNDAMENTAL DO ENGRENAMENTO

Para que o engrenamento seja perfeito, é necessário que:

• Não haja choque entre os dentes em contato

• A relação de transmissão permaneça constante durante

todo o percurso de engrenamento entre os dentes, isto é,

não pode ocorrer deslizamento entre as superfícies dos

f lancos dos dentes em contato.

10

As curvas que formam os perfis dos dentes deverão

obedecer a lei fundamental do engrenamento.

Ao observar-se a f igura, considere um dente da roda motora

(1) em contato com um dente de roda movida (2) no ponto P.

Estudando-se a velocidade periférica do ponto P como

pertencente a roda motora tem-se:

V1 = ω1 x O1P

Estudando-se agora a velocidade periférica do ponto P

como pertencente a roda movida tem-se:

V2 = ω2 x O2P

A projeção Vn dessas velocidades sobre a l inha normal às

superfícies em contato deverá ser igual pois se ocorrer:

Vn1 > Vn2 haverá penetração do dente da roda (1) em (2)

ou se ocorrer

Vn1 < Vn2 haverá afastamento do dente da roda (1) em (2)

As velocidades angulares das rodas são:

ω1 = V1/O1P e ω2 = V2/O2P

Observando-se a f igura do engrenamento, pode-se concluir

que os tr iângulos retângulos O1A1P e PBB1 são semelhantes, pois além

de seus ângulos retos nos vértices A1 e B, possuem seus outros

ângulos dos vértices O1 e P e também dos vértices P e B1

respectivamente iguais. A f igura que se segue melhor i lustra estas

identidades.

11

V1

Vn

P

A1

B

O1 .

B1

n

P

Vn V2

B2

A2

O2

Da relação de semelhança de triângulos tem-se:

Vn = O1A1 Vn = V1 O1A1 V1 O1P O1P

Substituindo-se ω1 = V1/O1P tem-se: Vn = ω1 O1A1

Analogamente os tr iângulos O2A2P e PBB2 são também

semelhantes e de sua relação de semelhança extrai-se:

Vn = O2A2 Vn = V2 O2A2 V2 O2P O2P

12

n

O2O1

A1

C

A2

Substituindo-se ω2 = V2/O2P tem-se: Vn = ω2 O2A2

Como Vn é comum, tem-se: ω1 O1A1 = ω2 O2A2

ou ω1/ω2 = O2A2/O1A1

Os triângulos O1A1C e O2A2C também são semelhantes.

O2A2 O2C Portanto, O1A1 O1C

Resultando: ω1 O2C Constante ω2 O1C

onde: ω1 = Velocidade angular da roda dentada 1

ω2 = Velocidade angular da roda dentada 2

O1C = Raio primit ivo da roda dentada 1

O2C = Raio primit ivo da roda dentada 2

Ou seja, a relação de transmissão ω1/ω2 é inversamente

proporcional aos raios primit ivos.

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O2

O1

n

r1

C

rb1

rb2

r2

α

α

α

2º - PERFIS CONJUGADOS

Para que a transmissão por engrenamento se efetue com

“relação de transmissão constante”, é necessário que a normal às

curvas dos perfis dos dentes em contato, traçada pelo ponto de

contato, passe pelo ponto de tangência das circunferências primit ivas.

Os perfis que obedecem estas condições são chamados de

“conjugados”

• Perfis evolventes - uti l ização atual

• Perfis cicloidais - uti l ização no passado

Por ser o mais uti l izado pela indústria mecânica mundial,

será objeto de estudo desta disciplina o perfi l evolvente.

3º - ENGRENAMENTO DE DUAS EVOLVENTES

r b 1 = raio do c irc . base 1

r b 2 = raio do c irc . base 2 r 1 = raio do c irc. pr imi t ivo 1 r 2 = raio do c irc. pr imi t ivo 2 α = ângulo de pressão

14

v1 = ω1.r1

v = ω1.r1 = ω2.r2 ω1/ω2 = r2/ r1

v2 = ω2.r2

rb1 = r1 . cosα

r2/ r1 = rb2/rb1

rb2 = r2 . cosα

Portanto: ω1 r2 rb2 ω2 r1 rb1

Como se vê, a relação de velocidades angulares depende

exclusivamente das circunferências de base, as quais correspondem

duas curvas envolventes.

Independem, portanto, da distância entre centros O1O2.

IV – A RODA DENTADA

É possível transmitir forças elevadas entre dois eixos, sem

eventuais escorregamentos que alterariam a relação de transmissão.

Para isto, a transmissão é executada por meio de rodas com dentes

convenientemente perfi lados e igualmente espaçados sendo chamadas

de rodas dentadas ou engrenagens.

Durante o movimento, os dentes da roda motora (pinhão)

empurram os dentes da roda movida (coroa) rolando uns contra os

outros.

15

As circunferências que determinam a relação de transmissão

rolam, uma contra a outra, sem escorregar. Estas circunferências são

chamadas de “circunferências primit ivas” cujos diâmetros d1 e d2 são

chamados de “diâmetros primitivos”.

1 - ENGRENAGEM CILíNDRICA DE DENTES RETOS.

Nomenclatura

p = passo da roda dentada

e = espessura do dente

l = largura do dente

df = diâmetro da circunferência do pé

ds = diâmetro da circunferência de cabeça

d = diâmetro da circunferência primitiva

db = diâmetro da circunferência de base

h = altura do dente h = 0,5 (ds - df)

hs = adendo hs = 0,5 (ds - d)

hf = dedendo hf = 0,5 (d – df)

ac = vão entre os dentes

a = distância ente os centros de duas rodas dentadas

z = número de dentes

i = relação entre o número de dentes da roda e pinhão i≥1

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Definições

Passo (p): é a distância medida ao longo da circunferência primitiva de um

certo ponto, num dente, ao ponto correspondente no dente

adjacente.

Espessura do dente (e): é o comprimento do arco da circunferência primit iva

compreendido entre os f lancos do mesmo dente.

Largura do dente (l): é a largura da engrenagem medida axialmente.

Circunferência de Pé (df): é a circunferência que passa pelo fundo dos vãos entre os dentes.

Circunferência de cabeça (ds) :

também chamada circunferência de topo, ou externa, l imita as

extremidades externas (topos) dos dentes.

Circunferência primitiva (d): é a base do dimensionamento das engrenagens e seu diâmetro

caracteriza a engrenagem. As rodas conjugadas tem usualmente

seus circulos primit ivos tangentes.

Circunferência de base (db) :

é a circunferência onde a evolvente é gerada.

Altura do dente (h): é a distância radial entre as circunferências de cabeça e da pé.

17

Adendo (hs): também chamado de altura da cabeça do dente, é a distância

radial entre as circunferências primitiva e de cabeça.

Dedendo (hf): também chamado de altura do pé do dente, é a distância radial

entre as circunferências primit iva e de pé.

Vão entre os dentes (ac): é a distância tomada em arco sobre a circunferência primit iva,

entre dois f lancos confrontantes de dentes consecutivos.

2 - MÓDULO

Sendo o passo p a distância medida ao longo da

circunferência primitiva entre pontos correspondentes de dentes

adjacentes e, Z o número de dentes da roda dentada, tem-se na

circunferência primit iva:

2πr = pZ ou πd = pZ

portanto: d = (p/π) Z

A relação p/π denomina-se módulo

m p π

então d = mZ

18

3 - RELAÇÃO PARA ENGRENAGENS CILINDRICAS DE

DENTES RETOS

SÍMBOLO E DESCRIÇÃO RELAÇÕES

z Número de dentes z = d/m

m Módulo m = d/z = p/π

d diâmetro primit ivo d = mz

p Passo p = (πd)/z = mπ

e Espessura do dente e = p/2 = (mπ)/2

df diâm. da circunf. de pé df = (d-2hf) = zm-2(1,167m) = m(z-2,334)

ds diâm. da circ. de cabeça ds = d+2hs = zm+2m = m(z+2)

α Ângulo de pressão α = 14º30’ ; α = 15º ; α = 20º (mais usuais)

db diâm. da circ. de base db = d cosα

h altura do dente h = hs+ hf = m + (7/6)m = (13/6)m = 2,167m

hs adendo hs = m

hf dedendo hf = h-hs = (13/6)m –m = (7/6)m = 1,167m

a distância entre centros a = m(z1±z2)/2 = (d1±d2)/2 {*}

i Relação de multipl icação i = ω1/ω2 = d2/d1 = z2/z1 = db2/db1 = n1/n2

{*} O sinal – é usado para acoplamento interno. Exemplo: Um pinhão com 24 dentes, módulo 2 mm, ângulo de pressão 20º, aciona uma

engrenagem de 40 dentes. Calcule:

a) Diâmetros primitivos d1 e d2; b) Passo e espessura do dente; c) diâmetros das circunferências de base db1 e db2; d) adendo hs; e) dedendo hf; f) Distância entre centros a g) relação de multipl icação i;

h) se o pinhão gira a 1750 rpm qual será a rotação da roda e quais os módulos das velocidades tangenciais nas circunferências primitivas?

19

EXERCÍCIOS

1) Um par de rodas dentadas ci l índricas de dentes retos, com

módulo 2,000mm e ângulo de pressão α = 20º, foi projetado para

operar uma redução de rotação de n1 = 1800 rpm para n2 = 1200

rpm, trabalhando em eixos paralelos com distância entre centros de a

= 60,000mm. Calcular:

a) Numero de dentes z1 do pinhão e z2 da roda.

b) Diâmetro primit ivo do pinhão d1 e da roda d2.

c) Diâmetro da circunferência de base do pinhão db1 e da roda db2.

d) Diâmetro da circunferência de cabeça do pinhão ds1 e da

roda ds2.

e) Quando da montagem, a distância entre centros foi montada

incorretamente com 1,000mm para maior. Calcule os novos

valores dos diâmetros primit ivos e do ângulo de pressão.

2) Um sistema de transmissão com engrenagem cilíndrica de

dentes retos, está montado na seguinte configuração:

módulo = 12 mm

pinhão = 16 dentes

roda = 40 dentes

α = 20º

a) calcule: passo: p

distância de centros: a

diâmetros de base: db

b) na montagem do sistema, a distância entre os centros foi

montada incorretamente com 5,6 mm para maior. Calcule os novos

valores dos diâmetros primitivos e do ângulo de pressão.

20

4 - GRAU DE RECOBRIMENTO

O grau de recobrimento informa ao projetista quantos pares

de dentes se encontram acoplados numa engrenagem. Assim, um grau

um grau de recobrimento igual a 1,9 informa que temos durante todo o

tempo, um par de dentes em contato e 9/10 do tempo um segundo par

está em contato.

O início de engrenamento se dá quando um dente da roda

motora toca na aresta de um dente da roda movida. Como a aresta

está situada sobre a circunferência de cabeça da engrenagem e como

o lugar geométrico dos pontos de contato é a reta de ação, concluimos

que o ponto A1 da figura abaixo representa o primeiro ponto de

contato. O fim do contato se verif ica no ponto A2 onde a circunferência

de cabeça da roda motora corta a reta de ação. Na figura, em linha

cheia aparece o par de dentes no início do engrenamento e em linha

ponti lhada no final do engrenamento.

Os pontos A1 e A2 denominam-se pontos l imites. O

segmento A1 A2 denomina-se segmento de ação e constitui o lugar

geométrico dos pontos de contato das duas superfícies evolventes.

21

Como já visto, o ponto P genérico de contato das duas

superfícies evolventes se desloca sobre a reta de ação (que é sempre

normal às superfícies, no ponto de contato) com uma velocidade:

vn = ω1rb1 = ω2rb2 = ω1r1cosα

Um par de dentes permanece em engrenamento durante o

tempo que o ponto P leva para ir de A1 até A2.

Define-se grau de recobrimento “R” como sendo a relação

entre o tempo que um par de dentes permanecem e engrenamento e o

tempo entre dois inícios de engrenamento sucessivos. De forma que:

R Tempo para o ponto de contato percorrer o segmento de ação Tempo entre dois inícios de engrenamento sucessivos

Chamando de t1 o tempo dado pelo numerador tem-se:

t1 = A1A2/vn

Chamando de t2 o tempo dado pelo denominador tem-se:

t2 = P/v

pois este é o tempo necessário para que o dente seguinte (por ex. da

roda 1) venha se encontrar na posição de contato A1, de seu

antecessor. A distância entre dois dentes sucessivos é o passo, que

deve ser dividido pela velocidade ”v” na circunferência primit iva , sobre

a qual o passo é normalmente medido.

Então:

R t1 A1A2 ÷ p A1A2 t2 ω1r1cosα ω1r1 pcosα

Observando-se a próxima figura, determina-se o valor do

segmento de ação:

A1A2 A1C + CA2 (A1B2 – CB2) + (A2B1 – CB1)

22

Observando-se o tr iângulo A1O2B2 obtêm-se: A1B2 [(rs2)2 – (rb2)2]1 /2 e CB2 r2sen∝ Observando-se o tr iângulo A2O1B1 obtêm-se: A2B1 [(rs1)2 – (rb1)2]1 /2 e CB1 r1sen∝ Como: CB1 + CB2 (r1 + r2)sen∝ asen∝ Portanto: R 1 [(rs2)2 – (rb2)2]1 /2 + [(rs1)2 – (rb1)2]1 /2 - asen∝ pcos∝

Nas engrenagens de dentes retos o grau de recobrimento

não pode ser menor que 1 a f im de garantir a continuidade do

movimento. Praticamente deve-se evitar que R < 1,2. Quanto maior o

valor de R, maior a suavidade de funcionamento da engrenagem,

menos vibrações e ruídos. Contudo geralmente R é menor que 2.

23

5 - ENGRENAGENS CILINDRICAS DE DENTES HELICOIDAIS

Engrenagens com dentes helicoidais são usadas em

sistemas mecânicos que exigem alta velocidade e baixo ruído.

A formação da superfície evolvente do dente reto é

esquematizada como sendo um cil indro de base (com diâmetro do

circulo de base) rolando sobre um plano. Uma linha desse plano,

paralela ao eixo do ci l indro, gerará a superfície de um dente de

engrenagem cilíndrica de dentes retos evolventais.

A f igura (a) abaixo mostra a formação da superfície

evolvente em esquema semelhante ao mostrado na formação do perfi l

evolvente que é um fio desenrolando-se de um aro. Neste caso é como

se uma folha de papel plana desenrola-se do rolo de papel. Uma linha

no papel, paralela ao eixo de giro do rolo, descreve em sua trajetória

uma superfície evolvente.

Se a l inha geradora for inclinada em relação ao eixo de giro

do rolo, será gerada uma superfície evolvente de um dente helicoidal.

Figura a superfície evolvente de um dente reto.

Figura b superfície evolvente de um dente helicoidal.

24

Roda dentada helicoidal

A

B

pc β

pc

β

pn pn

C

pc = Passo circular

pn = passo normal

β = ângulo de hélice ou ângulo de inclinação

Pelo tr iângulo retângulo ABC tem-se: cosβ = pn/pc ou pn = pccosβ Observando-se o perfi l do dente helicoidal por um plano de corte normal ao dente, e também por um plano frontal da roda (região lateral) teremos: No plano normal mn = módulo normal

No plano frontal mf = módulo frontal Pela definição de módulo tem-se: m = p/π Portanto: mn = pn/π e mf = pc/π

Ou: pn = mnπ e pc = mfπ

como: pn = pccosβ mnπ = mfπ cosβ

então: mn = mfcosβ ou mf = mn/cosβ

Para o diâmetro primit ivo tem-se:

d = mz

no caso do dente helicoidal, o diâmetro primit ivo é:

d = mfz ou ainda d = (mn/cosβ)z

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6 - RELAÇÕES PARA ENGRENAGENS CILINDRICAS DE

DENTES HELICOIDAIS

SÍMBOLO E DESCRIÇÃO RELAÇÕES

z Número de dentes z = d/mf

mn Módulo normal mn = mfcosβ = (d/z)cosβ = pn/π

mf Módulo frontal (circunfer) mf = (d/z) = mn/cosβ = pc/π

d Diâmetro primitivo d = mfz = mnz/cosβ = pcz/π

p Passo circular pc = mfπ = pn/cosβ = (πd)/z = πmn/cosβ

p Passo normal pn = mnπ = pccosβ

ec Espessura circular do dente ec = pc/2 = (mfπ)/2

en Espessura normal do dente en = pn/2 = (mnπ)/2

df Diâm. da circunfer de pé df = d-2hf = d-(14/6)mn = mn[(z/cosβ) -2,334]

ds Diâm. da circ. de cabeça ds = d+2hs = d+2mn = mn[(z/cosβ) +2]

hs Adendo hs = mn

hf Dedendo hf = (7/6)mn = 1,167mn

α Ângulo de pressão α = 14º30’ ; α = 20º (mais usuais)

β Ângulo de helice/inclinação cosβ = mn/mf = pn/pc =mnz/d

a Distância entre centros {*} a = (d1±d2)/2 = mf(z1±z2)/2 = (z1±z2)mn/2 cosβ

i Relação de multipl icação i = ω1/ω2 = d2/d1 = z2/z1 = n1/n2

{*} O sinal – é usado para acoplamento interno.

Exemplo: Para uma roda dentada com 32 dentes, módulo normal mn= 2 mm, e ângulo

de inclinação 19º 30’, calcular:

a) módulo frontal mf b) diâmetro primit ivo c) diâmetro da circunferência de cabeça d) passo normal e) passo circular

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EXERCÍCIOS

1 – Um par de rodas dentadas helicoidais deve efetuar a redução de

1650 rpm (pinhão), para 300 rpm (coroa), entre dois eixos paralelos

que distam a = 229,500 mm, entre seus centros de giro.

Sabendo-se que o modulo normal é mn = 4,000 mm e, o passo circular,

pc = 13,8655 mm, calcular:

a) Ângulo de hélice β.

b) Número de dentes Z1 e Z2.

c) Diâmetros primitivos d1 e d2.

d) Módulo frontal mf.

e)Passo normal pn.

2 – Um conjunto de transmissão por engrenagem externa helicoidal

sofreu avarias em seus dentes. Para fabricação de um novo conjunto,

foram obtidas as seguintes informações:

• Diâmetro da circunferência de cabeça ds

do pinhão ds1 = 125,260 mm

da roda ds2 = 206,540 mm

• Distância entre centros a = 160,400 mm

• Número de dentes do pinhão Z1 = 28 dentes

Através das informações obtidas calcular:

a) O módulo normal mn

b) Os diâmetros primitivos d1 e d2

c) O número de dentes da roda Z2

d) O ângulo de inclinação β

e) Qual a rotação da roda para 1680rpm do pinhão?

27

3 – Duas engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais devem ser

substituídas por engrenagens helicoidais. As retas foram cortadas por

um fresa de dentes normais, ângulo de pressão 20º, módulo 3,000 mm,

tem relação de velocidades 1,75 : 1 e a distância entre eixos de

132,000 mm.

As engrenagens helicoidais devem ser cortadas com a mesma

fresa, manter a mesma distância entre eixos e, a mesma relação de

velocidades.

Determine para o par helicoidal:

a) O novo número de dentes Z1’ e Z2’.

b) Ângulo de hélice β.

c) Os novos diâmetros primitivos d1’ e d2’.

d) Os novos diâmetros de cabeça ds1’ e ds2’.

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