Álgebra de Boole e Teorema de De...
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Colegiado de Engenharia da Computação – CECOMP
Álgebra de Boole e Teorema de De Morgan
Prof. Rômulo Calado Pantaleão Camara
Carga Horária: 2h/60h
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Álgebra de Boole
A Álgebra de Boole é empregada no projeto de circuitos digitais, para:
análise - é um método prático e econômico de descrever as funções de um circuito digital e, consequentemente, seu funcionamento.
projeto - ao identificar a função a ser realizada por um circuito, a álgebra de Boole pode ser aplicada para simplificar sua descrição e, assim, também sua implementação.
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Álgebra de Boole
A vantagem de se utilizar a álgebra de Boole como fundamento é que se pode efetuar, inicialmente, toda a análise matemática do problema lógico antes da construção do circuito digital. Ela serve como suporte para a construção de um sistema digital.
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Classificação dos Circuitos Digitais
Podem ser classificados em: – Circuitos Combinacionais
– Circuitos Senquenciais
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Classificação dos Circuitos Digitais
Circuitos Combinacionais: são circuitos nos quais a saída é função dos valores de entrada correntes; Esse circuito não tem capacidade de armazenamento;
Exemplo: Multiplexadores, Codificadores, circuito de operações matemáticas.
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Classificação dos Circuitos Digitais
Circuitos Sequenciais: são circuitos nos quais a saída é função dos valores de entrada correntes e dos valores de entrada no instante anterior; elemento básico: Flip-flop.
Exemplo: Memórias, registradores.
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Curiosidade: FLIP em
inglês pode significar “atirar
ao alto” e FLOP pode
significar “queda repentina”.
Assim, o dispositivo sendo
biestável (possui dois
estados lógicos estáveis)
pode ser levado ao alto
(FLIP), ou ser forçado a
voltar repentinamente ao
estado baixo (FLOP).
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Projeto de um Circuitos Combinacional
Sequência de operações: – Determinar as variáveis de entradas do circuito; – Determinar as variáveis de saída do circuito; – A partir das combinações das variáveis de
entrada, montar a tabela verdade para cada saída;
– Obter a expressão booleana de cada saída; – Implementar o circuito combinacional
correspondente. 7
Especificação Tabela
Verdade Expressão Circuito
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Projeto de um Circuitos Combinacional
Exemplo: Considere um sistema de segurança: – Há um sensor de contato que, ligado, (on), indica
que a porta está fechada;
– Um sensor infravermelho que, ligado, indica que não há pessoas ou coisas se movendo no interior da loja.
– Há, também, um alarme que é acionado quando um dos dois sensores é desligado. Isto é, basta um único sensor ser desativado para soar o alarme.
Determine a expressão lógica e o circuito correspondentes deste sistema.
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Especificação Tabela
Verdade Expressão Circuito
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Projeto de um Circuitos Combinacional
Solução: Tabela-Verdade
A = "sensor de contato"
B = "sensor infravermelho"
S = “alarme”
– Como obter a expressão lógica e o circuito correspondente?
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Especificação Tabela
Verdade Expressão Circuito
0 1 1
1 0 1
1 1 0 1 0 0 S B A
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Tabela Verdade Expressão Lógica
Função AND => Produto
Função OR =>Soma
– Soma de produtos
– Produto de somas
Soma de Produtos: OR dos minitermos que levam a saída para “1”; (Mais utilizado).
Produto de somas – AND dos maxitermos que levam a saída para “0”;
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C . B C . A B .A
)C A C B( . B) (A ).(
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Tabela Verdade Expressão Lógica
Minitermos:
1. faz a função AND dos termos de entrada
2. Variável de entrada é “1” – Função direta;
3. Variável de entrada é “0” – Função Negada;
Exemplo do Alarme:
11
A B S Minitermos
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
BAS1
BAS2
BAS3
0S4
BABABAS
SSSSS 4321
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Expressão Lógica Circuito Lógico
Obtido a expressão lógica, desenvolva o circuito direto.
Exemplo do Alarme:
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BABABAS
A
B
S
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Expressão Lógica Circuito Lógico
O Circuito não é o mais simples?!!
» Simplifica
Utilizando a álgebra de Boole
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Simplificação de circuitos lógicos utilizando Álgebra de Boole
Regras básicas da Álgebra de Boole Postulados
Complementação
Se A = 0 então 1A
Se A = 1 então 0A
Identidade
AA
Adição Multiplicação
0 + 0 = 0 0 . 0 = 0
0 + 1 = 1 0 . 1 = 0
1 + 0 = 1 1 . 0 = 0
1 + 1 = 1 1 . 1 = 1
Identidade Identidade
A + 0 = A A . 0 = 0
A + 1 = 1 A . 1 = A
A + A = A A . A = A
A + = 1 A . = 0
A A
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Simplificação de circuitos lógicos utilizando Álgebra de Boole
Regras básicas da Álgebra de Boole Propriedades
ComutativaA . B = B . A
A + B = B + A
AssociativaA . (B . C) = (A . B) . C
A + (B + C) = (A + B) + C
DistributivaA . (B + C) = A . B + A . C
A + (B . C) = (A + B) . (A + C)
Teoremas
Teoremas de De Morgan
B . ABA
BAB .A
Teoremas da AbsorçãoA + A . B = A
BAB . AA
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Simplificação de circuitos lógicos utilizando Álgebra de Boole
Obtenha a expressão lógica simplificada e o circuito lógico correspondente para o exemplo do Alarme.
ABS
BAS
BAAS
BAB)B(AS
BABABAS
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Simplificação de circuitos lógicos utilizando Álgebra de Boole
Exercício: Suponha que um circuito digital é descrito pela tabela ao lado:
Obtenha o que se pede: – expressão lógica
correspondente; – circuito lógico
correspondente; – expressão lógica
simplificada; – circuito lógico
correspondente à expressão simplificada.
A B C S
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 0
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Exemplos de Aplicação
Controle de Bombeamento de água:
O desenho a seguir mostra um processo simples para encher uma caixa d´água de um rio próximo.
Os sensores de nível alto (H) e de nível baixo (L) são utilizados
para determinar o acionamento da bomba (B) e do alarme (A).
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Exemplos de Aplicação
Tabela-Verdade e Expressões Lógicas
Entradas Saídas
Linhas H L B A
1a
0 0 1 1
2a
0 1 1 0
3a
1 0 X X
4a
1 1 0 0
LHA
LHLHB
.
..
)(. LHLHA
HB
ou
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Exemplos de Aplicação
Circuito Lógico
Montagem
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Exercício
A figura ao lado mostra de forma esquemática a conexão de 4 computa-dores de uma determi-nada empresa a uma única impressora. Esta conexão é feita através de um circuito de controle.
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Exercício
Qual a expressão que descreve o funcionamento do circuito de controle (determine também o circuito lógico e a montagem correspondentes à expressão simplificada)?
Devem ser obedecidas às seguintes prioridades:
– Computador do setor administrativo (ADM) – 1a prioridade
– Computador do setor pessoal (PES) – 2a prioridade
– Computador do setor de engenharia (ENG) – 3a prioridade
– Computador do setor de vendas (VEN) – 4a prioridade