2.2 – Implicação Lógica

Lógica Matemática e Computacional

• Definição:

Dadas as proposições compostas P e Q, diz-se que

ocorre uma implicação lógica (ou relação de

implicação) entre P e Q quando a proposição

condicional P Q é uma tautologia.

• Notação: P Q

Implicação Lógica

Portanto, dizemos que P Q quando nas

respectivas tabelas-verdade dessas duas

proposições não aparece V na última coluna de P e F

na última coluna de Q, com V e F em uma mesma

linha, isto é, não ocorre P e Q com valores lógicos

simultâneos respectivamente V e F.

Implicação Lógica

Em particular, toda proposição implica uma

tautologia e somente uma contradição implica outra

contradição.

Implicação Lógica

Exemplos:

a) 3 = 2 + 1 3² = (2 + 1)².

Podemos usar o símbolo , pois a proposição

condicional: 3 = 2 + 1 3²= (2 + 1)² é verdadeira.

b) Não podemos escrever que 3 > 2 3 > 4, pois

a proposição condicional: 3 > 2 3 > 4 é falsa.

• Observação: Os símbolos e têm

significados diferentes: O símbolo

entre duas proposições dadas indica uma

relação, isto é, que a proposição

condicional associada é uma tautologia,

enquanto realiza uma operação entre

proposições dando origem a uma nova

proposição p q (que pode conter

valores lógicos V ou F.

Implicação Lógica

Implicação - Propriedades

Propriedade Reflexiva:

P(p,q,r,...) P(p,q,r,...)

Propriedade Transitiva:

Se P(p,q,r,...) Q(p,q,r,...) E

Q(p,q,r,...) R(p,q,r,...), ENTÃO

P(p,q,r,...) R(p,q,r,...)

p ^ q, p v q, p q

p q p ^ q p v q p q

V V V V V

V F F V F

F V F V F

F F F F V

Exemplo

Exemplo

p ^ q, p v q, p q

p q p ^ q p v q p q

V V V V V

V F F V F

F V F V F

F F F F V

Assim, diz-se que p ^ q p v q

e p ^ q p q

Exemplo

p ^ q, p v q, p q

p q p ^ q p v q p q

V V V V V

V F F V F

F V F V F

F F F F VREGRA DE INFERÊNCIA: p p v q

(Adição)

Exemplo

p ^ q, p v q, p q

p q p ^ q p v q p q

V V V V V

V F F V F

F V F V F

F F F F VREGRA DE INFERÊNCIA: q p v q

(Adição)

Exemplo

p ^ q, p v q, p q

p q p ^ q p v q p q

V V V V V

V F F V F

F V F V F

F F F F V

REGRA DE INFERÊNCIA: p ^ q p

(Simplificação)

Exemplo

p ^ q, p v q, p q

p q p ^ q p v q p q

V V V V V

V F F V F

F V F V F

F F F F V

REGRA DE INFERÊNCIA: p ^ q q

(Simplificação)

Implicação

p q p q

p q q p

PROVE!

Implicação

(p v q) ^ ~p q

(p v q) ^ ~q p

REGRA DE INFERÊNCIA:

SILOGISMO DISJUNTIVO

Implicação

(p q) ^ p q

REGRA MODUS ponens

(p q) ^ ~q ~p

REGRA MODUS tollens

TAUTOLOGIA e IMPLICAÇÃO LÓGICA

Teorema: A proposição P(p,q,r,...) IMPLICA a

proposição Q(p,q,r,...) se e somente se a

condicional P Q é tautológica.

P(p,q,r,...) Q(p,q,r,...) se e somente se:

V(P Q) = V (tautológica).

Exemplo de Implicação e Tautologia

P(p,q,r,...) Q(p,q,r,...) se e somente se:

V(P Q) = V (tautológica).

A condicional:

(p q) ^ (q ^ r) (p r) é Tautologia.

Logo, deduz-se a implicação lógica:

(p q) ^ (q ^ r) p r

(Regra do SILOGISMO HIPOTÉTICO)

Implicação Lógica

Exemplo: Mostrar que (p ^ q) p

p q p ^ q

V V V

V F F

F V F

F F F

Como (p ^ q) p é uma tautologia, então (p ^ q) p,isto é, ocorre a implicação lógica.

(p ^ q) p

V

V

V

V

Implicação Lógica

1. As tabelas-verdade das proposições p ^ q, p v q, p q

são:

p q p ^ q p v q p q

V

V

F

F

p ^ q p v q e p ^ q p q

F

V

F

V

F

V

F

F

V

V

F

V

F

V

V

F

A proposição “p ^ q” é verdadeira (V)

somente na linha 1 e, nesta linha, as

proposições “p v q” e “p q” também

são verdadeiras (V). Logo, a primeira

posição implica cada uma das outras

posições, isto é:

V V V

As mesmas tabelas-verdade também demonstramas importantes Regras de Inferência:

(i) p p v q e q p v q (Adição)

(ii) p ^ q p e p ^ q q (Simplificação)

Implicação Lógica

p q p ^ q p v q p q

V

V

F

F

F

V

F

V

F

V

F

F

V

V

F

V

F

V

V

F

V V V

Implicação Lógica

Regras de Inferência

Adição disjuntiva (AD) p p q

Simplificação conjuntiva(SIM) p q p ou p q q

Modus Ponens(MP) ( p q ) p q

Modus Tollens(MT) ( p q ) ~q ~p

Silogismo Disjuntivo(SD) ( p q ) ~q p

Silogismo Hipotético(SH) ( p q ) ( q r ) p r

Dilema Construtivo(DC) ( p q ) ( r s ) ( p r ) q s

Dilema Destrutivo(DD) ( p q ) ( r s ) ( ~q ~s ) ~p ~r

Absorção(ABS) p q p ( p q )

2. As tabelas-verdade das proposições p q, p q, q p

são:

p q p q p q q p

V

V

F

F

p q p q e p q q p

F

V

F

V

F

V

V

F

F

V

V

V

V

V

V

F

A proposição “p q” é verdadeira (V)

nas linhas 1 e 4 e, nestas linhas, as

proposições “p q” e “q p” também

são verdadeiras (V). Logo, a primeira

posição implica cada uma das outras

duas posições, isto é:

Implicação Lógica

V V V

V V V

3. A tabela-verdade da proposição “(p v q) ^ ~p”

é:

p q p v q ~p (p v q) ^ ~p

V

V

F

F(p v q) ^ ~p q ,

F

V

F

V

V

V

F

V

F

F

V

V

F

F

F

V

Esta proposição é verdadeira (V)

somente na linha 3 e, nesta linha, a

proposição “q” também é verdadeira.

Logo, subsiste a implicação lógica:

Implicação Lógica

4. A tabela-verdade da proposição “(p q) ^ p”

são:

p q p q (p q) ^ p

V

V

F

F(p q) ^ p q ,

denominada Regra Modus ponens.

F

V

F

V

F

V

V

V

F

V

F

F

Esta proposição é verdadeira (V)

somente na linha 1 e, nesta linha, a

proposição “q” também é verdadeira.

Logo, subsiste a implicação lógica:

Implicação Lógica

V V V V

5. As tabelas-verdade das proposições “(p q) ^ ~q” e “~p”

são:

p q p q ~q (pq) ^ ~q ~p

V

V

F

F(p q) ^ ~q ~p ,

denominada Regra do Modus tollens.

As mesmas tabelas-verdade também mostram que “~p”

implica “p q”, isto é: ~p p q

F

V

F

V

F

V

V

V

V

F

V

F

F

F

V

F

Esta proposição é verdadeira (V)

somente na linha 4 e, nesta linha, a

proposição “~p” também é verdadeira.

Logo, subsiste a implicação lógica: F

F

V

V

Implicação Lógica

V V V V